ЗНО онлайн 2012 року з математики – пробний тест

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію.

Щоб визначити розмах ряду даних, потрібно від найбільшого із даних чисел відняти найменше, тобто

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості.

Це завдання перевіряє знання про суміжні та вертикальні кути.

Кути \(\alpha\) та \(\beta\) – вертикальні.

За властивістю вертикальних кутів \(\alpha = \beta.\)

За аксіомою вимірювання кутів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою.

Область визначення функції – множина всіх допустимих значень аргументу функції.

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

\(M(0; 8; 6)\) лежить у площині \(Oyz.\)

\(MK\!\perp\!Oy\) – відстань від точки \(M\) до осі \(Oy.\)

\(MK = 6.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратичні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(4.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба.

I. Протилежні кути ромба рівні (властивість будь-якого паралелограма).

II. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба).

III. У будь-який ромб можна вписати коло (сума довжин протилежних сторін рівна).

Усі твердження є правильними.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Верстат виготовляє \(40\) деталей за \(t\) годин. Отже, за \(1\) годину верстат виготовляє \(\dfrac{40}{t}\) деталей.

За \(5\) годин верстат виготовить:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

За правилом паралелограма додаємо вектори:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання формули площі трикутника.

Проведемо висоту \(BK\!\perp\!AC.\) \(BK = 3\) см, \(AC = 5\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратичні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв’яжемо методом додавання:

Дане рівняння не має жодного розв’язку.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Перший літак відлітає о шостій ранку. Тридцятий за рахунком відлітатиме через

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди, знання формули об’єму піраміди.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(AB = BC = CD = DA = 4\) см.

де \(S_{\text{осн}} = S_{ABCD}\), \(H = EO\) – висота піраміди.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратичні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння.

\(\cos x = \pi\) не має коренів, бо рівняння \(\cos x = a\) має корені при \(|a| \le 1.\)

\(x = -x\) має один корінь \(x = 0.\)

\(|x| = x\) має безліч коренів при \(x \ge 0.\)

\(|-x| = 2\) має два корені \(x = \pm 2\).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули площі поверхні циліндра.

\(H = 12\) см, \(R = 4\) см.

Площа поверхні циліндра на рис. 1.

Сума площ поверхонь утворених циліндрів відрізняється на суму площ двох кругів, які є основами циліндра.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів.

Використали формулу «сума кубів».

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кола та його частин до розв’язування задач практичного змісту.

Радіус великого кола \(R = 2\) м. Тоді радіус малого кола (з якого зроблені півкола всередині) \(r = 1\) м.

Для виготовлення емблеми необхідно гнучкого матеріалу довжиною

Для придбання матеріалу вартістю \(100\) грн за \(1\) м необхідно

Найменша сума грошей з наведених \(2310\) грн.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, застосовуючи її основні властивості.

Первісна для даної функції \((C = 0).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою або графіком.

Виконаємо елементарні перетворення графіків функції на площині \(y = \sqrt{x} \Rightarrow y = \sqrt{-x}\) симетрія відносно осі \(Oy.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

1. \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha.\) Отже, 1 – Д.

2. \(2\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin2\alpha.\) Отже, 2 – В.

3. \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – В, 3 – Б, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознаки паралельності прямої та площини у просторі.

Використаємо ознаку паралельності прямої та площини: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна прямій, що лежить у площині, то ця пряма паралельна площині.

1. \(BC\!\parallel\!B_1C_1\) та \(B_1C_1 \in (AB_1C_1D)\), звідси \(BC\!\parallel\!(AB_1C_1D).\) Отже, 1 – A.

2. \(D_1C\!\parallel\!A_1B\) та \(D_1C \in (DCC_1D_1)\), звідси \(A_1B\!\parallel\!(DCC_1D_1).\) Отже, 2 – B.

3. \(DD_1\!\parallel\!AA_1\) та \(AA_1 \in (AA_1C_1C)\), звідси \(DD_1\!\parallel\!(AA_1C_1C).\) Отже, 3 – Д.

4. \(BD\!\parallel\!B_1D_1\) та \(B_1D_1 \in (AB_1D_1)\), звідси \(BD\!\parallel\!(AB_1D_1).\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратичні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, показникові, логарифмічні, квадратичні нерівності.

1. \(5^{x-2} \gt 1\), \(5^{x-2} \gt 5^0\), \(x - 2 \gt 0\), \(x \gt 2\) (\(y = 5^x\) зростаюча функція). \(x \in (2; +\infty)\).
Отже, 1 – Д.

2. \(-\dfrac{2}{x + 2} \gt 0\), \(x + 2 \lt 0\), \(x\lt -2\), \(x \in (-\infty; -2).\)

\(-\dfrac{2}{x + 2}\), дріб додатний, коли чисельник та знаменник одного знаку. Значить, \(x + 2 \lt 0.\) Отже, 2 – Г.

3. \(\log_2 x \lt 1\), \(\log_2 x \lt \log_2 2\) (\(y = \log_2 x\) зростаюча функція), область допустимих значень \(x \lt 2\), \(x\gt 0.\)

\begin{gather*} x \in (0; 2). \end{gather*}

Отже, 3 – B.

4. \(x^2\lt 4\), \(x^2 - 4\lt 0\), \((x - 2)(x + 2)\lt 0.\) Використовуємо метод інтервалів:

\begin{gather*} x \in (-2; 2). \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком або формулою.

1.

Отже, 1 – A.

2.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, 3 – Г.

4.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Якщо \(a = 1{,}1\); \(b = 0{,}8\), то

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратичні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Знайдемо ОДЗ:

Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння:

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше значення функції за допомогою похідної:

Найбільше значення функції знаходимо за допомогою похідної:

Знаходимо критичні точки: \(y' = 0{:}\)

\(x = 2\), \(x = -2\) – критичні точки.

Відрізку \([0; 3]\) належить лише \(x = 2.\) Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці:

Відповідь: \(16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Всього \(10\) цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

Для того, щоб перша цифра двоцифрового числа була парною, існує \(4\) способи (\(2\), \(4\), \(6\), \(8\)), а щоб друга цифра непарною - \(5\) способів (\(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\)).

Отже, використовуючи комбінаторне правило множення, отримаємо:

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, властивостей прямокутника.

\(MB = 100\) км, \(KM = 120\) км, \(AK = 60\) км. Додаткова побудова: \(BC\!\perp\!AK.\)

Отримали \(\Delta ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(KC = MB = 100\) км,

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(200.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Нехай громадянин узяв \(x\) грн під \(12\ \%\), а \(y\) грн під \(15\ \%.\)

Нарахована сума відсотків становить \(654\) грн, тому

Всього отримано \(5000\) грн у двох банках, тому

Складемо систему рівнянь:

Підставимо значення \(x\) у перше рівняння

Громадянин узяв під більші відсотки (\(15\ \%\)) \(1800\) гривень.

Відповідь: \(1800.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) вписані у кола.

Точка \(O\) – центр сфери. Проведемо \(OO_1\!\perp\!(ABC)\), \(ON\!\perp\!BB_1.\)

Точка \(O_1\) – центр кола, описаного навколо \(\Delta ABC.\)

\(ONBO_1\) – прямокутник.

За умовою \(\angle OBN=30^\circ.\) Отже, \(\angle OBO_1=60^\circ.\) Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1.\) \(OB=6\) см.

У \(\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\),

У \(\Delta ABC\ O_1B=3\) см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де \(a=AB\) – сторона правильного трикутника.

Відповідь: \(121{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратичні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з параметрами.

Знайдемо ОДЗ: \(x \gt 0\).

Зробимо заміну \(\log_2 x = t\). Отримаємо:

Якщо \(x_1\), \(x_2\) – корені рівняння та \(x_1 \cdot x_2 = 8\), то прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою \(2.\)

Але корені \(t_1\) та \(t_2\) повинні існувати, а це виконується за умови

За теоремою Вієта сума коренів \(t_1 + t_2 = 2a^2 - a = 3.\)

Перевіримо, при яких значеннях \(a\) дискримінант буде невід’ємним:

При \(a = -1\)

При \(a = 1{,}5\)

Отже, при \(a = 1{,}5\) рівняння має корені, добуток яких дорівнює \(8\).

Відповідь: \(1{,}5.\)