ЗНО онлайн 2011 року з математики – пробний тест

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Найпростіші геометричні фігури на площині.

Це завдання перевіряє знання суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

Кут \(30^\circ\) та \(\angle BCA\) – вертикальні, отже, рівні. Зовнішній кут трикутника \(110^\circ\) дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з даним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів.

Хибне твердження: діагоналі прямокутника є бісектрисами його кутів.

Усі інші твердження – правильні.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з векторами.

Суму векторів \(\vec{a} + \vec{b}\) знаходимо за правилом паралелограма.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

\(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8.\)

\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) – ірраціональне число.

\(\pi^0 = 1.\)

\(\sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2.\)

\(2{,}7.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку фігури з номерами \(2\) і \(3\) є розгортками куба.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій заданих формулою.

\(y = x^2.\ D(y) = R\), \(E(y) = [0; +\infty).\)

\(y = 3.\ D(y) = R\), \(E(y) = \{3\}.\)

\(y = \sin x.\ D(y) = R\), \(E(y) = [-1; 1].\)

\(y = \sqrt{x}.\ D(y) = [0; +\infty)\), \(E(y) = [0; +\infty).\)

\(D(y) = E(y)\) для функції \(y = \sqrt{x}.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та описаних чотирикутників.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо сума протилежних сторін рівна.

Отже, для чотирикутника \(ABCD\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання рівняння кола.

За умовою завдання коло з центром у початку координат, тому рівняння кола має вигляд: \begin{gather*} x^2 + y^2 = R^2, \end{gather*} і проходить через точку \((3; -4).\) Тобто точка належить колу.

Підставляємо числові значення у рівняння кола

Отже рівняння, яке задовольняє умові:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити період тригонометричної функції.

Найменший додатний період функції знаходимо за формулою:

де \(T\) – найменший додатний період функції \(y = \mathrm{tg}\ x\), \(k\) – коефіцієнт змінної \(x.\)

Отже, для функції \(y = \dfrac{1}{2}\mathrm{tg}\ (4x)\ T_1 = \dfrac{\pi}{4}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За означенням модуля:

Cума коренів рівняння:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою або графіком.

\(y = kx\) – пряма пропорційність, графік – пряма, яка проходить через початок координат.

При \(k \gt 0\) пряма утворює з віссю \(Ox\) гострий кут.

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів, порівнювати числа.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

Точка, симетрична точці \(A(2; -3; 7)\) відносно площини \(yz\), матиме такі самі значення \(y\) та \(z\), але протилежне значення \(x.\)

Отже, \((-2; -3; 7)\) симетрична \((2; -3; 7).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання властивостей арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((a_n)\) – арифметична прогресія, \(a_2 =-9\), \(a_4 = -4.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена

знайдемо різницю \(d\) арифметичної прогресії.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі поверхні циліндра.

\(ABCD\) – осьовий переріз. \(AB = 10\) см – висота циліндра (твірна). \(P_{ABCD} = 32\) см.

де \(H\) – висота, \(H = 10\) см.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функцій за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну частки, похідну елементарних функцій.

Знайдемо похідну за правилом «похідна частки»:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей конуса.

\(AC\), \(AB\) – твірна, \(AO\) – висота конуса, \(OB\) – радіус основи.

\(\Delta AOC\) – рівнобедрений прямокутний.

Кут між \(AC\) та площиною основи – \(\angle ACO = 45^\circ\) (кут між похилою \(AC\) та проекцією \(CO\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції, формули площі трапеції.

\(AB = 120\) м, \(BC = 27\) м, \(AD = 33\) м.

Знайдемо площу трапеції за формулою:

Оранка ділянки площею \(100\) м\(^2\) коштує \(8\) грн. Отже, за оранку всього городу господар повинен заплатити:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіками.

На рисунку зображено пряму \(f(x) = x + 3\) та півколо \(g(x) = \sqrt{9 - x^2}.\)

Розв'язком нерівності \(f(x) \ge g(x)\) буде значення \(x\), при якому пряма вище півкола та точки їх перетину.

Отже, \(x \in [0; 3] \cup \{-3\}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою або графіком, виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

1. \(y = \sin x.\) Отже, 1 – Б.

2. \(y = -\cos x\) графік симетричний \(y = \cos x\) відносно осі \(Ox.\) Отже, 2 – Д.

3. \(y = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\) паралельно перенесений \(y = \cos x\) на \(\dfrac{\pi}{2}\) вліво. Отже, 3 – Г.

4. \(y = \cos|x|\) графік симетричний відносно осі \(Oy.\) Графіки \(y = \cos x\) та \(y = \cos|x|\) збігаються. Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції, трикутника.

\(ABCD\) – рівнобедрена трапеція. \(AD = 8\) см, \(BC = 4\) см, \(AC = 10\) см.

1. Проекція \(BC\) на \(AD\) – відрізок \(KM\). \((BK\), \(CM\) – висоти). \(BC = KM = 4\) см. Отже, 1 – Б.

2. Проекція \(CD\) на \(AD\) – відрізок \(MD.\)

\begin{gather*} MD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. Проекція \(AC\) на \(AD\) – відрізок \(AM.\)

\begin{gather*} AM = AK + KM = 2 + 4 = 6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

4. Проекція \(AD\) на \(AC\) – відрізок \(AO.\) \((DO\!\perp\!AC).\)

\(\Delta ACM\ (\angle M = 90^\circ)\), \(AM = 6\) см, \(AC = 10\) см єгипетський, отже, \(CM = 8\) см.

У \(\Delta AOD\ (\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функцій за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше значення функції за допомогою похідної.

\(y = -x^2 + 3x - 4\) – квадратична функція, графік – парабола з гілками вниз. Отже, найбільше значення функції – у вершині параболи.

Відповідь: \(-1{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі на відсотки.

Нехай \(5\)-відсоткового розчину потрібно додати \(x\) л.

Складемо рівняння

Отже, \(5\)-відсоткового розчину потрібно \(22{,}5\) л.

Відповідь: \(22{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

У розкладі має бути шість уроків, але фізична культура – остання.

Отже, \(5\) предметів можуть переставлятись між собою. Використаємо формулу перестановок: \(P_n = n!\)

Відповідь: \(120.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\(15^x \gt 0\) при будь-якому значенні \(x.\) Поділимо на \(15^x\) нерівність:

Нехай \(\left(\dfrac 35\right)^x = t \gt 0.\)

Отже, \(t\gt \dfrac 53.\)

Повертаємось до заміни

Функція \(y=\left(\dfrac 35\right)^x\) – спадна, тому \(x\lt -1.\)

Найбільший цілий розв'язок \(x = -2.\)

Відповідь: \(-2.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди та кулі, формули об’єму піраміди, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв’язування стереометричних задач.

Дано: піраміда \(DABC\), в основі якої лежить \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(\angle A = 15^\circ.\)

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), отже, основа висоти (точка \(O\)) – центр описаного навколо \(\Delta ABC\) кола. У прямокутному трикутнику – це середина гіпотенузи \(AB\).

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка \(O_1\) належить висоті \(DO.\)

\(DB\), \(DC\), \(DA\) – похилі; \(OB\), \(OC\), \(OA\) – їхні проекції. Отже,

У \(\Delta ADB\ (\angle A = \angle B = 60^\circ).\) Отже, \(\angle D = 60^\circ.\) \(\Delta ADB\) – рівносторонній, точка \(O_1\) – центр описаного кола (\(O_1D = O_1B = O_1A = 6\) см). \(AB = O_1D\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.

У \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(AC = AB\cos 15^\circ = 6\sqrt{3}\cos 15^\circ.\)

Відповідь: \(40{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

Рівняння буде мати один корінь у двох випадках:

1) рівняння \(x^2-x+a=0\) має один корінь \((D=0)\) та він не дорівнює \(-1{,}5.\)

2) рівняння \(x^2-x+a=0\) має два корені \((D\gt 0)\), але один з коренів дорівнює \(-1{,}5.\)

Розглянемо кожний випадок: \begin{gather*} \text{1)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a=0;\\[7pt] a=\frac 14;\\[7pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Отже, при \(a=\frac 14\) рівняння має один корінь.

\(x_1\gt 0\), отже, не може дорівнювати \(-1{,}5.\)

Знайдемо значення \(a\), при якому \(x_2=-1{,}5.\)

Отже, при \(a=-3{,}75\) рівняння має один корінь.

У відповідь запишем найменше значення \(a.\)

Відповідь: \(-3{,}75.\)