ЗНО онлайн 2010 року з математики (1 варіант) – пробний тест

Тестові завдання пробного тесту 1 ЗНО 2010 року з математики

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 36

У саду в окремі ящики зібрали груші та яблука. Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами, як \(7:3\). Серед наведених чисел укажіть число, яке може виражати загальну кількість ящиків з яблуками та грушами, зібраними в саду.

А\(37\)

Б\(73\)

В\(75\)

Г\(80\)

Д\(84\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності.

Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами як \(7 : 3.\) Отже, серед наведених чисел умові відповідає число \(80\) (кратне \(7 + 3 = 10\)).

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6381

Завдання 2 з 36

Точка \(A(3;1)\) належить колу з центром у точці \(O(-2;1)\). Знайдіть радіус цього кола.

А\(10\)

Б\(5\)

В\(3\)

Г\(2\)

Д\(1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точок на площині, формули відстані між точками на площині.

Точка \(A(3; 1)\) належить колу, \(O(-2; 1)\) – центр кола. \(OA\) – радіус кола. За формулою відстані між точками

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{gather*}

знайдемо

\begin{gather*} OA=\sqrt{(3+2)^2+(1-1)^2}=5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6382

Завдання 3 з 36

Поле, площа якого дорівнює \(60\) га, засіяли горохом і соєю. Горохом засіяли \(\dfrac{3}{4}\) площі поля. Скільки всього гектарів поля засіяли соєю?

А\(10\)

Б\(15\)

В\(20\)

Г\(24\)

Д\(45\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, зокрема на відношення.

Горохом засіяли \(\dfrac 34\) від площі поля \(60\) га.

\begin{gather*} 60 \cdot \frac 34=45\ \text{га – засіяли горохом}, \\[6pt] 60 - 45 = 15\ \text{га – засіяли соєю}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6383

Завдання 4 з 36

На одному з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції \(y=-2x+3\). Укажіть цей рисунок.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє знання властивостей лінійної функції.

\(y = -2x + 3\) – лінійна функція.

\(k = -2\), отже, функція спадна.

\(b = 3\) – \((0; 3)\) точка перетину з віссю \(Oy.\)

З наведених рисунків ескіз графіка на рисунку Д.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6384

Завдання 5 з 36

Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють \(2\) см, \(3\) см, \(4\) см.

А\(\sqrt{29}\) см

Б\(9\) см

В\(\sqrt{13}\) см

Г\(5\) см

Д\(2\sqrt5\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів.

Виміри прямокутного паралелепіпеда \(a = 2\) см, \(b = 3\) см, \(c = 4\) см.

Діагональ паралелепіпеда

\begin{gather*} d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6385

Завдання 6 з 36

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(3^{\textstyle {x+4}}=27\)?

А\([-4;-2)\)

Б\([-2;0)\)

В\([0;2)\)

Г\([2;4)\)

Д\([4;6)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} 3^{x + 4} = 27;\\[7pt] 3^{x + 4} = 3^{3};\\[7pt] x + 4 = 3;\\[7pt] x = 3 - 4;\\[7pt] x = -1. \end{gather*}

Корінь належить проміжку \([-2; 0).\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6386

Завдання 7 з 36

Діагоналі трапеції \(ABCD\ (AD||BC)\) перетинаються в точці \(O\). Знайдіть довжину основи \(BC\) трапеції, якщо \(AD=24\) см, \(AO=9\) см, \(OC=6\) см.

А\(6\) см

Б\(9\) см

В\(12\) см

Г\(16\) см

Д\(18\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції та подібних трикутників.

\(\angle BCO = \angle OAD\) внутрішні різносторонні при \(BC\!\parallel\!AD\) та січної \(AC.\)

\(\angle BOC = \angle AOD\) вертикальні.

\(\Delta AOD\) подібний \(\Delta COB\) (за двома кутами).

\begin{gather*} \frac{BC}{AD} = \frac{CO}{OA};\\[6pt] \frac{BC}{24} = \frac 69;\\[6pt] BC = \frac{6 \cdot 24}{9} = 16\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6387

Завдання 8 з 36

Яке з наведених чисел є раціональним числом?

А\(\sqrt[\scriptstyle 3]9\)

Б\(\sqrt{10}\)

В\(\pi\)

Г\(\sqrt{3{,}6}\)

Д\(\sqrt{0{,}64}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання означення та властивості дійсних чисел.

\(\sqrt[\scriptstyle 3]{9}\), \(\sqrt{10}\), \(\pi\), \(\sqrt{3{,}6}\) – ірраціональні.

\(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8 = \dfrac 45\) – раціональне \(\left(\dfrac mn,\ n \ne 0,\; n, m \in Z\right).\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6388

Завдання 9 з 36

Знайдіть найбільший від’ємний член арифметичної прогресії \(2{,}9\); \(2{,}2\); \(1{,}5\); \(…\)

А\(-0{,}1\)

Б\(-0{,}3\)

В\(-0{,}6\)

Г\(-0{,}8\)

Д\(-1{,}3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

\((a_n)\) – арифметична прогресія \(a_1=2{,}9\); \(a_2=2{,}2\); \(a_3=1{,}5.\)

\begin{gather*} d=a_2-a_1=2{,}2-2{,}9=-0{,}7. \end{gather*}

\(a_n=a_1+d(n-1)\) знайдемо найбільший від'ємний член

\begin{gather*} 2{,}9-0{,}7(n-1)\lt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\lt 0;\\[7pt] -0{,}7n\lt -3{,}6;\\[6pt] n\gt \frac{36}{7};\\[6pt] n\gt 5\frac 17. \end{gather*}

Найбільший від'ємний член

\begin{gather*} a_6=2{,}9-0{,}7\cdot 5=-0{,}6. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6389

Завдання 10 з 36

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює \(10\) см, а висота, опущена на неї, – \(8\) см. Знайдіть довжину основи трикутника.

А\(6\) см

Б\(4\sqrt2\) см

В\(12\) см

Г\(4\sqrt5\) см

Д\(16\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трикутника, теореми Піфагора.

\(AB = BC = 10\) см, \(CH = 8\) см.

\(\Delta BHC\ (\angle H = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} BH^2=BC^2-CH^2=100-64=36;\\[7pt] BH=6\ \text{см}.\\[7pt] HA=AB-BH=10-6=4\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta AHC\ (\angle H = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AH^2+HC^2=64+16=80;\\[7pt] AC=\sqrt{80}=\sqrt{16 \cdot 5}=4\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6390

Завдання 11 з 36

Упродовж чверті учень отримав \(12\) оцінок з алгебри. Інформацію про отримані оцінки та їхню кількість відображено в таблиці.

Оцінка	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)
Кількість оцінок	\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)	\(1\)

Знайдіть середнє арифметичне всіх оцінок, отриманих учнем упродовж чверті.

А\(7\)

Б\(7{,}2\)

В\(7{,}25\)

Г\(8\)

Д\(8{,}1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння знаходити середнє арифметичне декількох чисел.

Знайдемо середнє арифметичне всіх оцінок

\begin{gather*} \frac{5 \cdot 2 + 6 \cdot 1 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 1}{12} = \frac{10 + 6 + 21 + 40 + 10}{12} = \frac{87}{12} = \frac{29}{4} = 7{,}25. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6391

Завдання 12 з 36

Обчисліть \(\sqrt[\scriptstyle4]{16\cdot81}\).

А\(6\)

Б\(12\)

В\(18\)

Г\(36\)

Д\(72\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей коренів, вміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{16 \cdot 81} = \sqrt[\scriptstyle 4]{2^{4} \cdot 3^{4}} = \sqrt[\scriptstyle 4]{2^{4}} \cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{3^{4}} = 2 \cdot 3 = 6. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6392

Завдання 13 з 36

При яких значеннях \(m\) і \(n\) вектори \(\vec a(m;2;3)\) і \(\vec b(-12;6;n)\) колінеарні?

А\(m=-36\) i \(n=9\)

Б\(m=-4\) i \(n=1\)

В\(m=-36\) i \(n=1\)

Г\(m=3\) i \(n=9\)

Д\(m=-4\) i \(n=9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання властивостей векторів у просторі, знання ознаки колінеарних векторів.

Вектори \(\vec{a}(m; 2; 3)\), \(\vec{b}(-12; 6; n)\) колінеарні. Координати колінеарних векторів пропорційні:

\begin{gather*} \frac{m}{-12} = \frac 26 = \frac 3n;\\[6pt] \frac{m}{-12} = \frac 13;\\[6pt] m = -4;\\[6pt] \frac 3n = \frac 13;\\[6pt] n = 9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6393

Завдання 14 з 36

Розташуйте в порядку зростання числа: \(a=\operatorname{tg}36^\circ\), \(b=\operatorname{tg}93^\circ\), \(c=\operatorname{tg}180^\circ\).

А\(b;c;a\)

Б\(c;b;a\)

В\(a;b;c\)

Г\(c;a;b\)

Д\(b;a;c\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей тригонометричних виразів та вміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} a = \mathrm{tg}\ 36^\circ\gt 0;\\[7pt] b = \mathrm{tg}\ 93^\circ\lt 0;\\[7pt] c = \mathrm{tg}\ 180^\circ = 0;\\[7pt] \end{gather*}

Отже, в порядку зростання

\begin{gather*} b\lt c\lt a. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6394

Завдання 15 з 36

Периметр бічної грані правильної трикутної призми дорівнює \(20\) см. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо сторона її основи дорівнює \(4\) см.

А\(96\) см\(^2\)

Б\(80\) см\(^2\)

В\(72\) см\(^2\)

Г\(32\) см\(^2\)

Д\(24\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників до розв’язування стереометричних задач.

Бічна грань – прямокутник.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній \(AB = BC = AC = 4\) см.

\begin{gather*} P_{AA_1C_1C} = 2(AC + AA_1) = 20\ \text{см};\\[7pt] AA_1=6\ \text{см}.\\[6pt] S_\text{біч} = 3 \cdot S_{\text{грані}} = 3 \cdot a \cdot H = 3 \cdot AB \cdot AA_1 = 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6395

Завдання 16 з 36

Розв'яжіть нерівність \(\dfrac1x\le\dfrac13\).

А\((-\infty; 0)\)

Б\((0; 3]\)

В\([3; +\infty)\)

Г\((-\infty; 0)\cup [3; +\infty)\)

Д\((-\infty; 3]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \frac 1x\le \frac 13;\\[6pt] \frac 1x-\frac 13\le 0;\\[6pt] \frac{3-x}{3x}\le 0;\\[6pt] \frac{x-3}{3x}\ge 0.\\[6pt] \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів.

ОДЗ: \(x\ne 0.\)

\(x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6396

Завдання 17 з 36

Подайте вираз \(\dfrac{a}{\sqrt[\scriptstyle7]a}\) у вигляді степеня з основою \(a\).

А\(a^{\textstyle -\frac17}\)

Б\(a^{-6}\)

В\(a^{\textstyle \frac17}\)

Г\(a^{7}\)

Д\(a^{\textstyle \frac67}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення зі степеневими виразами.

\begin{gather*} \frac{a}{\sqrt[\scriptstyle 7]{a}} = a : \sqrt[\scriptstyle 7]{a} = a : a^{\textstyle \frac 17} = a^{\textstyle 1 - \frac 17} = a^{\textstyle \frac 67}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6397

Завдання 18 з 36

На полиці розміщено \(16\) книг, з яких \(6\) книг – історичні романи, а решта – детективи. Знайдіть імовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом.

А\(\dfrac58\)

Б\(\dfrac1{16}\)

В\(\dfrac35\)

Г\(\dfrac1{10}\)

Д\(\dfrac38\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

На полиці \(16\) книг. Історичних романів – \(6\), детективів \(16 - 6 = 10\) книг.

Імовірність того, що перша книга буде детективом:

\begin{gather*} P = \frac{10}{16} = \frac 58. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6398

Завдання 19 з 36

Точки \(A\) і \(B\) належать колу радіуса \(10\) см і ділять його на дві дуги, довжини яких відносяться як \(3:2\). Знайдіть довжину більшої дуги кола.

А\(20\pi\) см

Б\(12\pi\) см

В\(8\pi\) см

Г\(6\pi\) см

Д\(4\pi\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та його частин.

Довжина кола

\begin{gather*} C = 2\pi R, \end{gather*}

де \(R = 10\) см.

\begin{gather*} C = 2\pi \cdot 10 = 20\pi\ \text{см}. \end{gather*}

Довжина більшої дуги становить \(\dfrac 35\) від довжини кола.

Отже,

\begin{gather*} l = \frac 35 \cdot 20\pi = 12\pi\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6399

Завдання 20 з 36

Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А\(\frac32\)

Б\(\frac{2-\sqrt3}2\)

В\(1\)

Г\(\frac{\sqrt3}2\)

Д\(\frac12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для знаходження площі криволінійної трапеції.

Площу зафарбованої фігури знаходимо за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S = \mathop{\int}\limits_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{3}} \sin x\ dx = -\cos x\bigg|_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{3}} = -\cos \frac{\pi}{3} - (-\cos 0^\circ) = -\frac 12 + 1 = \frac 12\ \text{кв. од}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6400

Завдання 21 з 36

Які з наведених тверджень правильні?

І. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині.
ІІ. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині.
ІІІ. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.

Алише II

Блише III

Влише I i II

Глише I i III

Длише II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

I твердження неправильне.

II. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то за аксіомою стереометрії вони визначають площину. Отже, твердження правильне.

III. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то не обов'язково всі точки круга належать площині. Твердження правильне.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6401

Завдання 22 з 36

Розв’яжіть нерівність \(\log_{\textstyle \frac15}x\gt2\).

А\((-\infty;\frac1{25})\)

Б\((\frac1{25};+\infty)\)

В\((0;\frac1{25})\)

Г\((10;+\infty)\)

Д\((-\infty;\frac1{10})\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac 15} x\gt 2;\\[7pt] \log_{\textstyle \frac 15} x\gt \log_{\textstyle \frac 15} \frac{1}{25}. \end{gather*}

Функція \(\log_{\textstyle \frac{1}{5}} x\) – спадна, отже ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\lt \dfrac{1}{25}, \\ x\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in \left(0; \frac{1}{25}\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6402

Завдання 23 з 36

Об’єм циліндра дорівнює \(48\) см\(^3\). Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.

А\(6\) см\(^3\)

Б\(8\) см\(^3\)

В\(16\) см\(^3\)

Г\(24\) см\(^3\)

Д\(36\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра та конуса, формули об’ємів тіл обертання.

\begin{gather*} V_\text{циліндра} = S_\text{осн} \cdot H = \pi R^{2}H = 48\ \text{см}^3. \end{gather*}

\(R\) – радіус основи циліндра.
\(H\) – висота циліндра.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13 S_\text{осн} \cdot h = \frac 13\pi r^2h. \end{gather*}

\(r = R\) – радіус конуса.
\(h = \dfrac 12H\) – висота конуса.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13\pi R^2 \cdot \frac 12H = \frac 16\pi R^2H = \frac 16 \cdot 48 = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6403

Завдання 24 з 36

У кіоску є \(10\) видів вітальних листівок з Новим роком. Скільки всього можна утворити різних наборів листівок, кожен із яких складається з трьох листівок різних видів?

А\(30\)

Б\(90\)

В\(120\)

Г\(240\)

Д\(720\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати з \(10\) листівок \(3\) знайдемо за формулою сполук.

\begin{gather*} C_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!\cdot m!}.\\[6pt] C_{10}^{3} = \frac{10!}{(10 - 3)!\cdot 3!} = \frac{10!}{7!\cdot 3!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 4 \cdot 3 \cdot 10 = 120. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6404

Завдання 25 з 36

Прямі, що містять сторони правильного п’ятикутника \(ABCDF\), перетинаються у точках \(K\), \(L\), \(M\), \(N\), \(P\). Знайдіть градусну міру кута \(AKB\).

А\(18^\circ\)

Б\(26^\circ\)

В\(30^\circ\)

Г\(36^\circ\)

Д\(60^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання формули суми внутрішніх кутів многокутника, суми кутів трикутника.

Сума внутрішніх кутів \(n\)-кутника знаходимо за формулою: \(180^\circ (n - 2).\)

Кожний кут правильного п’ятикутника дорівнює:

\begin{gather*} \frac{180^\circ (5 - 2)}{5} = 108^\circ. \end{gather*}

\(\angle FAB = 108^\circ.\)

\(\angle KAB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\) (суміжний з \(\angle FAB\)).

\(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(\angle A = \angle B = 72^\circ.\)

\begin{gather*} \angle K = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (72^\circ + 72^\circ) = 36^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6405

Завдання 26 з 36

Установіть відповідність між числовими виразами (1–4) та їхніми значеннями (А – Д).

1\(2003^2-1997^2\)

2\(186^2-186\cdot132+66^2\)

3\(98^2+98\cdot104+52^2\)

4\(47^3-47^2\cdot51+17^2\cdot141-17^3\)

А\(64\,000\)

Б\(27\,000\)

В\(24\,000\)

Г\(22\,500\)

Д\(14\,400\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати арифметичні дії з натуральними числами.

1. \(2003^2-1997^2=(2003-1997)(2003+1997)=6\cdot 4000=24000.\) Отже, 1 – B.

2. \(186^2-186\cdot 132+66^2=186^2-2\cdot 186\cdot 66+66^2=(186-66)^2=\)
\(=120^2=14400.\) Отже, 2 – Д.

3. \(98^2+98\cdot 104+52^2=98^2+2\cdot 98\cdot 52+52^2=(98+52)^2=150^2=22500.\) Отже, 3 – Г.

4. \(47^3-47^2\cdot 51+17^2\cdot 141-17^3=47^3-3\cdot 47^2\cdot 17+3\cdot 47\cdot 17^2-17^3=\)
\(=(47-17)^3=30^3=27000.\) Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6406

Завдання 27 з 36

Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1–4), та їхніми областями значень (А – Д).

1\(y=\log_2x\)

2\(y=2^x\)

3\(y=2\sqrt x\)

4\(y=2-x^2\)

А\([2;+\infty)\)

Б\([0;+\infty)\)

В\((-\infty;2]\)

Г\((0;+\infty)\)

Д\((-\infty;+\infty)\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання властивостей елементарних функцій.

1. \(y = \log_2 x\), \(E(y) = (-\infty; +\infty).\)

Отже, 1 – Д.

2. \(y = 2^x\), \(E(y) = (0; +\infty).\)

Отже, 2 – Г.

3. \(y = 2\sqrt{x}\), \(E(y) = [0; +\infty).\)

Отже, 3 – Б.

4. \(y = 2 - x^2\), \(E(y) = (-\infty; 2].\)

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6407

Завдання 28 з 36

На рисунках (1–4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1–4) та назвою фігури (А – Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три задані точки.

Атрикутник

Бпрямокутник

Втрапеція

Гп’ятикутник

Дромб

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4
5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників, уміння будувати перерізи, встановлювати їх вид.

трапеція. Січна площина перетинає паралельні площини по паралельних прямих \(BC\!\parallel\!AD.\) Отже, 1 – В.

трикутник. Отже, 2 – А.

ромб. Отже, 3 – Д.

прямокутник. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – А, 3 – Д, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6409

Завдання 29 з 36

Знайдіть значення похідної функції \(f(x)=\sqrt{10-3x}\) у точці \(x_0=-2\).

Впишіть відповідь:

-0.375

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

Знаходимо похідну функції як складної:

\begin{gather*} f'(x) = (\sqrt{10 - 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{10 - 3x}} \cdot (10 - 3x)' = \frac{-3}{2\sqrt{10 - 3x}};\\[6pt] f'(x_{0}) = f'(-2) = \frac{-3}{2\sqrt{10 + 6}} = -\frac 38 = -0{,}375. \end{gather*}

Відповідь: \(-0{,}375.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6410

Завдання 30 з 36

\(4\) кг огірків і \(5\) кг помідорів коштували \(44\) гривні. Після того як огірки подорожчали на \(50\ \%\), а помідори подешевшали на \(40\ \%\), за \(4\) кг огірків і \(5\) кг помідорів заплатили \(39\) гривень. Знайдіть початкову вартість \(x\) одного кілограма огірків і початкову вартість \(y\) одного кілограма помідорів. У відповідь запишіть суму \(x+y\) (у грн).

Впишіть відповідь:

9.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їхніх систем.

Нехай \(x\) грн коштували \(1\) кг огірків, \(y\) грн – \(1\) кг помідорів.

За \(4\) кг огірків і \(5\) кг помідорів заплатили \(44\) гривні, отже, \(4x + 5y = 44.\)

Після подорожчання огірків їхня ціна за \(1\) кг стала \(1{,}5x\) грн, а помідорів після подешевшання – \(0{,}6y\) грн за \(1\) кг.

За \(4\) кг огірків та \(5\) кг помідорів заплатили \(39\) грн.

\begin{gather*} 4 \cdot 1{,}5x + 5 \cdot 0{,}6y = 39. \end{gather*}

Складемо систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4x + 5y = 44, \\ 6x + 3y = 39\ \ |:3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 4x + 5y = 44, \\ 2x + y = 13, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 4x+5(13-2x)=44,\\ y=13-2x, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} -6x=-21,\\ y=13-2x, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=3{,}5,\\ y=13-2\cdot 3{,}5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=3{,}5,\\ y=6. \end{array}\right.\\[7pt] x + y = 3{,}5 + 6 = 9{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(9{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6411

Завдання 31 з 36

Обчисліть \(\log_{32}8-3^{\textstyle \frac2{\log_73}}\).

Впишіть відповідь:

-48.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

\begin{gather*} \log_{32} 8 - 3^{\textstyle \frac{2}{\log_7 3}} = \log_{32} 8 - 3^{\textstyle 2\log_3 7} =\\[6pt] =\log_{\textstyle 2^5} 2^3 - 3^{\textstyle \log_3 49} = \frac 35 - 49 = 0{,}6 - 49 = -48{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(-48{,}4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6412

Завдання 32 з 36

Функцію \(y=x^4+2x-3\), визначену на множині всіх дійсних чисел, подайте у вигляді \(y=f(x)+g(x)\), де \(f(x)\) – парна функція, \(g(x)\) – непарна функція. У відповідь запишіть значення виразу \(f(-1)-4\cdot g(3)\).

Впишіть відповідь:

-26

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

\(y = x^{4} + 2x - 3\), \(D(y) = R.\)

Подамо функцію у вигляді

\begin{gather*} y = f(x) + g(x), \end{gather*}

де \(f(x)\) – парна функція, \(g(x)\) – непарна функція.

\begin{gather*} f(x) = x^4 - 3\left(f(-x) = (-x)^4 - 3 = x^4 - 3 = f(x)\right).\\[7pt] g(x) = 2x\left(g(-x) = -2x = -g(x)\right);\\[7pt] f(-1) = (-1)^4 - 3 = 1 - 3 = -2;\\[7pt] g(3) = 2 \cdot 3 = 6. \end{gather*}

Значення виразу

\begin{gather*} f(-1) - 4g(3) = -2 - 4 \cdot 6 = -2 - 24 = -26. \end{gather*}

Відповідь: \(-26.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6413

Завдання 33 з 36

Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{2\cos x+1}{\sqrt{27+6x-x^2}}=0\).

У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні та квадратні рівняння, нерівності та їхні системи.

Знайдемо область допустимих значень \(x{:}\)

\begin{gather*} 27 + 6x - x^2\gt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27\lt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27 = 0;\\[7pt] D = 36 + 4 \cdot 27 = 144;\\[6pt] x_1=\frac{6 + 12}{2} = 9;\\[6pt] x_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-3; 9). \end{gather*}

\begin{gather*} 2\cos x + 1 = 0;\\[6pt] \cos x = -\frac 12;\\[6pt] x = \pm \arccos\left(-\frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \left(\pi - \arccos \frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Знайдемо корені, які належать ОДЗ.

\begin{gather*} n = 0\ x = \frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 1\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 2\ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] n = -1\ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \notin \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Отже, кількість коренів – \(4.\)

Відповідь: \(4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6414

Завдання 34 з 36

Точки \(K\) і \(L\) – середини сторін \(AB\) і \(AD\) паралелограма \(ABCD\) (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника \(KBCDL\) (у см\(^2\)), якщо площа паралелограма \(ABCD\) дорівнює \(24\) см\(^2\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, властивостей та ознак подібних трикутників.

Площа паралелограма \(S_{ABCD} = 24\ \text{см}^2.\)

У \(\Delta ABD\) \(KL\) середня лінія, \(KL = \dfrac 12BD.\)

\(\Delta AKL\) подібний \(\Delta ABD.\)

\begin{gather*} \frac{KL}{BD} = \frac 12 = k;\\[6pt] \frac{S_{AKL}}{S_{ABD}} = \frac 14 = k^{2};\\[6pt] S_{AKL} = \frac 14S_{ABD} = \frac 14 \cdot 12 = 3\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{KBCDL} = S_{ABCD} - S_{AKL} = 24 - 3 = 21\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(21.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6415

Завдання 35 з 36

Знайдіть найбільше значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\left|x^2-3|x|-4\right|=a\) має тільки чотири корені. Якщо такого значення \(a\) не існує, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

6.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв'язувати рівняння графічним методом, рівнянь з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно.

Побудуємо графік \(y=\left|x^2-3|x|-4\right|.\)

Використаємо елементарні перетворення графіка \(y=x^2-3x-4\Rightarrow y=x^2-3|x|-4\) симетрія відносно осі \(Oy\Rightarrow y=\left|x^2-3|x|-4\right|\) симетрія відносно осі \(Ox.\)

\begin{gather*} x_0=\frac 32=1{,}5;\\[6pt] y_0=1{,}5^2-3\cdot 1{,}5-4=-6{,}25. \end{gather*}

\((1{,}5; -6{,}25)\) – вершина параболи.

Точки перетину з осями:

– з \(Ox{:}\)

\begin{gather*} y=0;\\[7pt] x^2-3x-4=0;\\[7pt] D=9+16=25;\\[6pt] x_1=\frac{3+5}{2}=4;\\[6pt] x_2=\frac{3-5}{2}=-1. \end{gather*}

– з \(Oy{:}\)

\begin{gather*} x=0;\\[7pt] y=-4. \end{gather*}

\(a=1\) гілки напрямлені вгору.

\(y=a\) – пряма, паралельна осі \(Ox.\) Кількість розв'язків рівняння \(\left|x^2-3|x|-4\right|=a\) – кількість точок перетину графіків.

Найбільше значення \(a\), при якому рівняння має чотири корені: \(a=6{,}25.\)

Відповідь: \(6{,}25.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6416

Завдання 36 з 36

У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює \(36\pi\) см\(^2\). Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом \(60^\circ\). Знайдіть об’єм піраміди (у см\(^3\)).

Впишіть відповідь:

324

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для об’єму піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(EO\) – висота піраміди, центр квадрата.

Побудуємо апофеми \(EK\!\perp\!DC\), \(EL\!\perp\!AD\), \(EM\!\perp\!AB\), \(EN\!\perp\!BC.\) \(DK = KC = AL = LD = AM = MB = BN = NC.\)

За теоремою про три перпендикуляри \(OK\!\perp\!DC\), \(OL\!\perp\!AD\), \(OM\!\perp\!AB\), \(ON\!\perp\!BC.\)

\((EOK)\!\perp\!DC\), \(\angle EKO\) – лінійний кут відповідного двогранного, \(\angle EKO = 60^\circ.\) Аналогічно \(\angle ELO = \angle EMO = \angle ENO = 60^\circ.\)

Центр сфери, вписаної у піраміду, належить висоті \(EO\) (точка \(O_1\)). У \(\Delta EOK\) на катеті \(EO\) виберемо точку \(O_1\) так, щоб \(OO_1=O_1H\), \(O_1H\!\perp\! EK.\) \((EOK)\!\perp\!(EDC)\) за ознакою перпендикулярності площин. Отже, відстань від точки \(O_1\) до \((EDC)\) – відрізок \(O_1H.\)

Аналогічно доводиться, що \((EON)\!\perp\!(BEC)\), \((EOM)\!\perp\!(AEB)\), \((EOL)\!\perp\!(AED).\) \(\Delta EOK = \Delta EON = \Delta EOM = \Delta EOL\), відстані від точки \(O_1\) до апофем \(EL\), \(EM\), \(EN\), \(EK\) – рівні. Отже, точка \(O_1\) – рівновіддалена від бічних граней та основи. Точка \(O_1\) – центр вписаної сфери. \(O_1H=O_1O\) – радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\pi R^2 = 36\pi;\\[7pt] R^2 = 9;\\[7pt] R = 3\ \text{см радіус сфери.} \end{gather*}

Точка \(O_1\) – рівновіддалена від сторін кута \(HKO\), \(KO_1\) – бісектриса кута. \(\angle O_1KO = 30^\circ.\)

\(\Delta OO_1K\ (\angle O = 90^\circ)\), \(OK = OO_1\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\) см.

\(AD = 2OK = 6\sqrt{3}\ \text{см}.\)

\(\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)\), \(EO = OK\mathrm{tg}\ 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\) см.

\begin{gather*} V_\text{піраміди} = \frac 13S_\text{осн} \cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн} = S_{ABCD} = AD^{2} = (6\sqrt{3})^2 = 108\ \text{см}^2.\\[6pt] H = EO = 9\ \text{см}.\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 \cdot 108 \cdot 9 = 324\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(324.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6418

Новини

Вступники до вишів наразі подали понад 770 тисяч заяв на вступ
Вартість навчання на всіх спеціальностях бакалавра
Встановлення пріоритетів у заявах на вступ: нюанси 2026 року

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра