ЗНО онлайн 2010 року з математики (2 варіант) – пробний тест

Тестові завдання пробного тесту 2 ЗНО 2010 року з математики

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 36

Молоко містить \(3\, \%\) білків. Скільки всього білків (у г) міститься в \(600\) г молока?

А\(1{,}8\) г

Б\(18\) г

В\(20\) г

Г\(180\) г

Д\(200\) г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знаходити відсоток від числа.

Знайдемо \(3\ \%\) від \(600\) г.

\begin{gather*} 600 : 100 \cdot 3 = 18\ \text{г білка в молоці.} \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6424

Завдання 2 з 36

Знайдіть координати вектора \(\overrightarrow{AB}\), якщо \(A(-2;3)\), \(B(-8;-5)\).

А\(\overrightarrow{AB}(6;8)\)

Б\(\overrightarrow{AB}(-10;-8)\)

В\(\overrightarrow{AB}(-10;-2)\)

Г\(\overrightarrow{AB}(-6;-2)\)

Д\(\overrightarrow{AB}(-6;-8)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо \(A(x_1; y_1)\), \(B(x_2; y_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x_2 - x_1; y_2 - y_1).\)

\begin{gather*} A(-2; 3);\\[7pt] B(-8; -5);\\[7pt] \overrightarrow{AB}(-8 - (-2); -5 - 3);\\[7pt] \overrightarrow{AB}(-6; -8). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6429

Завдання 3 з 36

Задано геометричну прогресію (\(b_n\)), для якої другий член \(b_2=12\) і знаменник \(q=-2\). Знайдіть \(b_1\).

А\(24\)

Б\(14\)

В\(10\)

Г\(-6\)

Д\(-24\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

\((b_n)\) – геометрична прогресія, \(b_2 = 12\), \(q = -2.\)

За означенням геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_2 = b_1 \cdot q;\\[6pt] b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{12}{-2} = -6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6430

Завдання 4 з 36

Довжина кола дорівнює \(16\pi\) см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом.

А\(128\pi\) см\(^2\)

Б\(64\pi\) см\(^2\)

В\(32\pi\) см\(^2\)

Г\(16\pi\) см\(^2\)

Д\(8\pi\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та його частин.

Довжина кола \(C = 16\pi\) см,

\begin{gather*} C = 2\pi R = 16\pi;\\[7pt] R = 8\ \text{см – радіус};\\[7pt] S = \pi R^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6431

Завдання 5 з 36

Відомо, що \(a\lt b\). Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.

А\(-2a\lt-2b\)

Б\(\sqrt2a\gt\sqrt2b\)

В\(\dfrac a3\gt\dfrac b3\)

Г\(a-4\gt b-4\)

Д\(0{,}5-a\gt0{,}5-b\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Числові нерівності.

Це завдання перевіряє знання властивостей числових нерівностей.

Відомо, що \(a \lt b.\)

Використаємо властивість числових нерівностей:
якщо до обох частин нерівності додати те саме число або помножити їх на те саме додатне число, отримаємо правильну нерівність;
якщо обидві частини нерівності помножити на те саме від’ємне число, то знак нерівності треба поміняти на протилежний.

\begin{gather*} a\lt b;\\[7pt] -a\gt -b;\\[7pt] -a + 0{,}5\gt -b + 0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6432

Завдання 6 з 36

Обчисліть \(\dfrac13\cdot5{,}8+\dfrac13\cdot8{,}3\).

А\(3{,}7\)

Б\(4{,}07\)

В\(4{,}7\)

Г\(4{,}9\)

Д\(47\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 13\cdot 5{,}8 + \frac 13\cdot 8{,}3 = \frac 13(5{,}8 + 8{,}3) = \frac 13\cdot 14{,}1 = 4{,}7. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6435

Завдання 7 з 36

Спростіть вираз \(\sqrt[\scriptstyle3]{\sqrt[\scriptstyle4]{a^6}}\), якщо \(a\ge0\).

А\(\sqrt[\scriptstyle 3]{a^2}\)

Б\(\sqrt a\)

В\(a^2\)

Г\(\sqrt[\scriptstyle 6]a\)

Д\(\sqrt[\scriptstyle 7]{a^6}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей коренів, вміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{\sqrt[\scriptstyle 4]{a^6}} = \sqrt[\scriptstyle 3\cdot 4]{a^6} = \sqrt[\scriptstyle 12]{a^6} = \sqrt{a}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6438

Завдання 8 з 36

Скільки всього граней у піраміди, яка має \(12\) ребер?

А\(4\)

Б\(6\)

В\(7\)

Г\(12\)

Д\(13\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів.

У піраміді \(2n\) ребер (де \(n\) – кількість вершин основи).

Отже, \(2n = 12\), \(n = 6\) – кількість вершин основи.

\(n + 1 = 6 + 1 = 7\) – кількість граней (\(6\) – бічних, \(1\) – основа).

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6442

Завдання 9 з 36

Лучник здійснив \(11\) пострілів по мішені і набрав відповідно \(6\), \(5\), \(7\), \(9\), \(6\), \(9\), \(10\), \(8\), \(7\), \(9\), \(10\) очок. Знайдіть моду цього ряду даних.

А\(5\)

Б\(7\)

В\(8\)

Г\(9\)

Д\(10\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння знаходити моду випадкової величини.

Мода вибірки – значення випадкової величини, що трапляється найчастіше в сукупності значень.

Отже, мода даної вибірки – \(9.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6443

Завдання 10 з 36

Обчисліть \(27^{\textstyle\frac23}-16^{\textstyle\frac14}\).

А\(1\)

Б\(2\)

В\(4\)

Г\(5\)

Д\(7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей степенів, уміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} 27^{\textstyle \frac 23} - 16^{\textstyle \frac 14} = (3^3)^{\textstyle \frac 23} - (2^4)^{\textstyle \frac 14} = 3^{\textstyle 3\cdot\frac 23} - 2^{\textstyle 4 \cdot \frac 14} = 3^2 - 2^1 = 9 - 2 = 7. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6445

Завдання 11 з 36

Знайдіть довжину ребра куба, площа поверхні якого дорівнює \(96\) см\(^2\).

А\(2\) см

Б\(3\) см

В\(4\) см

Г\(6\) см

Д\(8\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів, знання формули площі поверхні куба.

Площа поверхні куба \(S = 6a^2.\)

За умовою,

\begin{gather*} 6a^2 = 96;\\[7pt] a^2 = 16;\\[7pt] a = 4\ \text{см}. \end{gather*}

\(a\) – довжина ребра.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6447

Завдання 12 з 36

Якщо \(\log_43=a\), то \(\log_{16}9=\)

А\(4a\)

Б\(a^2\)

В\(2a\)

Г\(\dfrac a2\)

Д\(a\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення з логарифмічними виразами.

\begin{gather*} \log_{16} 9 = \log_{\textstyle 4^2} 3^2 = \frac 22 \log_4 3 = a. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6452

Завдання 13 з 36

Розв'яжіть нерівність \(\left(\dfrac13\right)^{\textstyle x}\gt1\).

А\((-\infty;0)\)

Б\((-\infty;1)\)

В\((0;+\infty)\)

Г\((1;+\infty)\)

Д\((3;+\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{\textstyle x}\gt 1;\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{\textstyle x}\gt \left(\frac 13\right)^{\textstyle 0};\\[6pt] y = \left(\frac 13\right)^{\textstyle x}\ \text{– спадає}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6453

Завдання 14 з 36

Знайдіть об'єм конуса, якщо його радіус дорівнює \(6\) см, твірна – \(10\) см.

А\(48\pi\) см\(^3\)

Б\(60\pi\) см\(^3\)

В\(96\pi\) см\(^3\)

Г\(120\pi\) см\(^3\)

Д\(288\pi\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра та конуса, формули об’ємів тіл обертання.

\(OB = 6\) см, \(AB = 10\) см.

\(\Delta AOB\) – єгипетський, \(AO = 8\) см – висота.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13\pi R^2 H, \end{gather*}

де \(R = 6\) см, \(H = AO = 8\) см.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13\cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6454

Завдання 15 з 36

Функція \(y=f(x)\) визначена на всій числовій прямій і є періодичною з найменшим додатним періодом \(7\). На рисунку зображено графік цієї функції на відрізку \([-4;3]\). Обчисліть \(f(5)\).

А\(4\)

Б\(1\)

В\(0\)

Г\(-2\)

Д\(-3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей періодичної функції.

Функція \(y = f(x)\) періодична з найменшим додатним періодом \(7.\)

\begin{gather*} f(x) = f(x \pm T),\ T = 7.\\[7pt] f(5) = f(5 - 7) = f(-2) = 4. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6455

Завдання 16 з 36

Точки \(A\), \(B\), \(C\) і \(D\) лежать на колі. \(BD\) – діаметр цього кола (див. рисунок). Знайдіть величину кута \(ACD\), якщо \(\angle ADB=35^\circ\).

А\(35^\circ\)

Б\(55^\circ\)

В\(60^\circ\)

Г\(65^\circ\)

Д\(70^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та центральних кутів.

Вписаний кут \(BAD\), який спирається на діаметр \(BD\) – прямий. \(\angle BAD = 90^\circ.\)

\(\Delta ABD\), \(\angle B = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ.\)

Вписані кути \(\angle ABD = \angle ACD = 55^\circ\), бо спираються на ту саму дугу.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6456

Завдання 17 з 36

У лотереї \(10\) виграшних білетів і \(290\) білетів без виграшу. Яка ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним?

А\(\dfrac{1}{29}\)

Б\(\dfrac{29}{30}\)

В\(\dfrac{1}{300}\)

Г\(\dfrac{1}{30}\)

Д\(\dfrac{1}{10}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Імовірність того, що перший білет буде виграшний

\begin{gather*} P = \frac{10}{300} = \frac{1}{30}. \end{gather*}

Усього білетів – \(300\), виграшних – \(10.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6457

Завдання 18 з 36

У магазині придбали \(6\) однакових зошитів і кілька ручок по \(3\) грн за кожну з них. Яке з наведених чисел може виражати загальну вартість покупки (у грн)?

А\(29\)

Б\(26\)

В\(25\)

Г\(24\)

Д\(23\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності.

Зошитів придбали \(6\), ручок – кілька по \(3\) грн. Загальна вартість покупки повинна виражатися числом, кратним \(3.\)

З наведених чисел умові відповідає число \(24.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6458

Завдання 19 з 36

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння \(2\sin x=-1\).

А\(\dfrac\pi6\)

Б\(\dfrac\pi3\)

В\(\dfrac{5\pi}{6}\)

Г\(\dfrac{5\pi}{3}\)

Д\(\dfrac{7\pi}{6}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sin x = -1;\\[6pt] \sin x = -\frac 12;\\[6pt] x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac 12\right) + \pi k,\ k \in Z;\\[6pt] x = (-1)^k \cdot \sin^{-1}\left(-\frac 12\right) + \pi k,\ k \in Z;\\[6pt] x = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k,\ k \in Z.\\[6pt] k = 0,\ x = -\frac{\pi}{6};\\[6pt] k = 1,\ x = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}\ \text{– найменший додатний корінь.} \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6459

Завдання 20 з 36

Знайдіть відстань від точки \(A(2;3;6)\) до осі \(Oz\).

А\(\sqrt{13}\)

Б\(7\)

В\(6\)

Г\(5\)

Д\(3\sqrt5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

Відстань від точки \(A(2; 3; 6)\) до осі \(OZ{:}\)

\begin{gather*} d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6460

Завдання 21 з 36

Бісектриса гострого кута \(A\) паралелограма \(ABCD\) ділить сторону \(BD\) на відрізки \(BM=3\) см і \(MC=5\) см (див. рисунок). Знайдіть периметр паралелограма \(ABCD\).

А\(18\) см

Б\(20\) см

В\(22\) см

Г\(24\) см

Д\(26\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, властивостей паралельних прямих.

\(AM\) – бісектриса \(\angle A\), \(\angle BAM = \angle MAD.\)

\(\angle MAD = \angle AMB\) – внутрішні різносторонні при \(AD\!\parallel\! BC\) та січної \(AM.\)
\(AB = BM = 3\) см.

\begin{gather*} P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(3 + 8) = 22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6461

Завдання 22 з 36

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), яка визначена на проміжку \((-6;5)\). У кожній точці цього проміжку існує похідна \(y=f'(x)\). Скільки всього коренів має рівняння \(f'(x)=0\) на проміжку \((-6;5)\)?

Аодин

Бдва

Втри

Гчотири

Дп'ять

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати похідну для дослідження властивостей функції.

Функція \(y = f(x)\) має похідну в кожній точці проміжку \((-6; 5).\)

\(f'(x) = 0\) в тих точках функції, в яких вона має екстремум (точки мінімуму та максимуму). Таких точок – \(5.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6462

Завдання 23 з 36

Скільки всього різних п'ятицифрових чисел можна утворити з цифр \(0\), \(1\), \(3\), \(5\), \(7\)
(у числах цифри не повинні повторюватися)?

А\(5\)

Б\(24\)

В\(25\)

Г\(96\)

Д\(120\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість п'ятицифрових чисел можна знайти декількома способами:

1) кількість способів скласти \(5\)-ти цифрові числа з \(5\) цифр знаходимо за формулою перестановок \(P_5 = 5! = 120.\)

Оскільки першою цифрою не може бути цифра \(0\), то \(P_4 = 4! = 24\) варіанти не задовольняють умові. Отже, можна утворити \(P_5 - P_4 = 96\) способами.

2) на першому місці може бути \(1\) цифра з \(4\ (1\), \(3\), \(5\), \(7)\), на другому – \(4\), третьому – \(3\), на четвертому – \(2\), на п'ятому – \(1.\)

Отже, кількість способів:
\(4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6463

Завдання 24 з 36

У трикутнику \(ABC\): \(AB=6\) см, \(BC=\sqrt2\) см, \(\angle B=45^\circ\). Обчисліть довжину медіани, проведеної з вершини \(C\).

А\(\sqrt5\) см

Б\(\sqrt{14}\) см

В\(2\sqrt2\) см

Г\(\sqrt7\) см

Д\(\sqrt{17}\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, уміння знаходити невідомі елементи трикутника.

\(CD\) – медіана, \(AD = DB = 3\) см.

У \(\Delta BDC\) за теоремою косинусів

\begin{gather*} DC^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos B = 9 + 2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 11 - 6 = 5;\\[6pt] DC = \sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6464

Завдання 25 з 36

Об'єм прямої трикутної призми \(ABCA_1B_1C_1\) дорівнює \(48\) см\(^3\). Точка \(M\) – середина ребра \(CC_1\) (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди \(MABC\).

А\(6\) см\(^3\)

Б\(8\) см\(^3\)

В\(12\) см\(^3\)

Г\(16\) см\(^3\)

Д\(24\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів, знання формул об’ємів многогранника.

Об'єм призми

\begin{gather*} V_1 = S_\text{осн} \cdot H = S_{ABC} \cdot CC_1 = 48\ \text{см}^3. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V_2 = \frac 13 S_\text{осн} \cdot h = \frac 13S_{ABC} \cdot MC = \frac 13S_{ABC} \cdot \frac 12 CC_1 = \frac 16 \cdot S_{ABC} \cdot CC_1 = \frac 16 \cdot 48 = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6465

Завдання 26 з 36

Установіть відповідність між заданими виразами (1–4) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А – Д).

1\((2a+b)^2\)

2\((2a-b)(b+2a)\)

3\((a-2b)^2\)

4\((a+2b)(2a-b)\)

А\(4a^2-b^2\)

Б\(4b^2-2ab+a^2\)

В\(2a^2+3ab-2b^2\)

Г\(4a^2+4ab+b^2\)

Д\(4b^2-4ab+a^2\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення цілих виразів.

1. \((2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2.\) Отже, 1 – Г.

2. \((2a - b)(b + 2a) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2.\) Отже, 2 – А.

3. \((a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2.\) Отже, 3 – Д.

4. \((a + 2b)(2a - b) = 2a^2 - ab + 4ab - 2b^2 = 2a^2 + 3ab - 2b^2.\) Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Д, 4 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6466

Завдання 27 з 36

Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції \(y=\cos x\) (1–4) та функціями, одержаними в результаті цих перетворень (А – Д).

1графік функції \(y=\cos x\) паралельно перенесли вздовж осі \(Ox\) на дві одиниці ліворуч

2графік функції \(y=\cos x\) паралельно перенесли вздовж осі \(Oy\) на дві одиниці вниз

3графік функції \(y=\cos x\) стиснули до осі \(Ox\) у два рази

4графік функції \(y=\cos x\) стиснули до осі \(Oy\) у два рази

А\(y=\cos(2x)\)

Б\(y=\dfrac12\cos x\)

В\(y=\cos(x-2)\)

Г\(y=\cos(x+2)\)

Д\(y=\cos x-2\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє знання елементарних перетворень графіків функцій.

Використаємо елементарні перетворення графіків функцій.

1. \(y = \cos(x + 2).\) Отже, 1 – Г.

2. \(y = \cos x - 2.\) Отже, 2 – Д.

3. \(y = \dfrac 12\cos x.\) Отже, 3 – Б.

4. \(y = \cos(2x).\) Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – Б, 4 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6467

Завдання 28 з 36

На рисунку зображено куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Установіть відповідність між заданими кутами (1–4) та їхніми градусними мірами (А – Д).

1Кут між прямими \(AA_1\) і \(DC_1\)

2Кут між прямими \(BD\) і \(A_1C_1\)

3Кут між прямими \(AB_1\) і \(A_1D\)

4Кут між прямими \(BB_1\) і \(DD_1\)

А\(0^\circ\)

Б\(30^\circ\)

В\(45^\circ\)

Г\(60^\circ\)

Д\(90^\circ\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(DC_1\!\parallel\!AB_1\)
\(\angle(AA_1, DC_1) = \angle(AA_1, AB_1) = 45^\circ.\) Отже, 1 – В.

2. \(BD\!\parallel\!B_1D_1\)
\(\angle(BD, A_1C_1) = \angle(B_1D_1, A_1C_1) = 90^\circ.\) Отже, 2 – Д.

3. \(A_1D\!\parallel\!B_1C\)
\(\angle(AB_1, A_1D) = \angle(AB_1, B_1C) = 60^\circ.\) \(\Delta AB_1C\) – рівносторонній. Отже, 3 – Г.

4. \(BB_1\!\parallel\!DD_1\)
\(\angle(BB_1, DD_1) = 0^\circ.\) Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6468

Завдання 29 з 36

Знайдіть значення виразу \(\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha\), якщо \(\alpha=15^\circ\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha + \mathrm{ctg}\ \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} =\\[6pt] =\frac{1}{\dfrac 12\sin 2\alpha} = \frac{1}{\dfrac 12\sin 30^\circ} = \frac{1}{\dfrac 12 \cdot \dfrac 12} = 4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6469

Завдання 30 з 36

Розв'яжіть нерівність \(\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}\lt0\).

У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа немає, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

-4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, квадратні нерівності.

Розкладаємо на множники
1)

\begin{gather*} x^2 + 11x + 30 = 0;\\[7pt] D = 11^2 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1;\\[6pt] x_1 = \frac{-11 + 1}{2} = -5;\\[6pt] x_2 = \frac{-11 - 1}{2} = -6;\\[6pt] x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6). \end{gather*}

\begin{gather*} x^2 + 3x - 10 = 0;\\[7pt] D = 9 - 4 \cdot (-10) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5;\\[6pt] x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5). \end{gather*}

Отримали

\begin{gather*} \frac{(x + 5)(x + 6)}{(x - 2)(x + 5)}\lt 0;\\[6pt] x \ne 2,\ -5,\\[6pt] \frac{x + 6}{x - 2}\lt 0. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-6; -5) \cup (-5; 2). \end{gather*}

Найменше ціле число, що задовольняє нерівність \((-4).\)

Відповідь: \(-4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6470

Завдання 31 з 36

У прямокутнику \(ABCD\): \(AB=6\) см, \(BC=8\) см, і \(L\) – середини сторін \(BC\) і \(CD\) відповідно (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника \(AKL\) (у см\(^2\)).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формул площ трикутника та прямокутника.

\(ABCD\) – прямокутник, \(AB = 6\) см, \(CL = LD = 3\) см, \(BC = 8\) см, \(BK = KC = 4\) см.

\begin{gather*} S_{ABK} = \frac 12 \cdot AB \cdot BK = \frac 12 \cdot 6 \cdot 4 = 12\ \text{см}^2.\\[6pt] S_{KCL} = \frac 12 \cdot KC \cdot CL = \frac 12 \cdot 4 \cdot 3 = 6\ \text{см}^2.\\[6pt] S_{ADL} = \frac 12 \cdot AD \cdot DL = \frac 12 \cdot 8 \cdot 3 = 12\ \text{см}^2.\\[6pt] S_{AKL} = S_{ABCD} - (S_{ABK} + S_{KCL} + S_{ADL}) = 6 \cdot 8 - (12 + 6 + 12) = 48 - 30 = 18\ \text{см}^2.\\[6pt] \end{gather*}

Відповідь: \(18.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6471

Завдання 32 з 36

Знайдіть найменше значення функції \(y=x^3-12x\) на відрізку \([0;3]\).

Впишіть відповідь:

-16

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, найменшого значення функції на відрізку.

Найменше значення функції на відрізку знаходимо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y' = 3x^2 - 12;\\[7pt] y' = 0;\\[7pt] 3x^2 - 12 = 0;\\[7pt] 3x^2 = 12;\\[7pt] x^2 = 4;\\[7pt] x_1 = 2;\\[7pt] x_2 = -2. \end{gather*}

Відрізку \([0; 3]\) належить значення \(x = 2.\)

Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці \(x = 2.\)

\begin{gather*} y(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 = 0;\\[7pt] y(3) = 3^3 - 12 \cdot 3 = 27 - 36 = -9;\\[7pt] y(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 = 8 - 24 = -16;\\[7pt] \min y(x) = y(2) = -16.\\[7pt] [0; 3]. \end{gather*}

Відповідь: \(-16.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6472

Завдання 33 з 36

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: \(y=x^3\), \(y=8\), \(x=0\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для знаходження площі криволінійної трапеції.

Зобразимо схематично фігуру.

\(x^3 = 8\), \(x = 2\) – точка перетину графіків. Площу фігури знаходимо за допомогою визначеного інтегралу.

\begin{gather*} S = \mathop{\int}\limits_{0}^{2}(8 - x^3)\ dx = \left(8x - \frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\\[6pt] = \left(8 \cdot 2 - \frac{2^4}{4}\right) - \left(8 \cdot 0 - \frac{0^4}{4}\right) = 16 - 4 = 12\ \text{(кв. од.)}. \end{gather*}

Відповідь: \(12.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6473

Завдання 34 з 36

Знайдіть найбільше значення параметра \(a\), при якому система

\(\begin{cases}x^2+y^2=81, \\ (x+2)^2+y^2=a^2\end{cases}\)

має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

1) \(x^2+y^2=81\) коло з центром \((0; 0)\) та радіусом \(9.\)

2) \((x+2)^2+y^2=a^2\) коло з центром \((-2; 0)\) та радіусом \(a.\)

Система має єдиний розв'язок за умови внутрішнього або зовнішнього дотику двох кіл.

Найбільше значення параметра \(a\), за якого система має єдиний розв'язок \(a=11.\)

Відповідь: \(11.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6474

Завдання 35 з 36

Розв'яжіть рівняння \(\lvert3\lg x+1\rvert-\lvert\lg x-3\rvert=2\).

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.

Впишіть відповідь:

10.001

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з модулем.

\(|3\lg x + 1| - |\lg x - 3| = 2.\) ОДЗ: \(x\gt 0.\)

Розкриємо модуль:
1)

\begin{gather*} 3\lg x + 1 = 0;\\[7pt] 3\lg x = -1;\\[6pt] \lg x = -\frac 13;\\[6pt] x = 10^{\textstyle -\frac 13};\\[6pt] x = \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}. \end{gather*}

\begin{gather*} \lg x - 3 = 0;\\[7pt] \lg x = 3;\\[7pt] x = 1000. \end{gather*}

Розкриємо модуль на кожному проміжку:

\begin{gather*} x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}\right);\\[6pt] -3\lg x - 1 + \lg x - 3 = 2;\\[7pt] -2\lg x - 4 = 2;\\[7pt] -2\lg x = 6;\\[7pt] \lg x = -3;\\[6pt] x = 0{,}001 \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}\right)\ \text{корінь рівняння.} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in \left[\frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}; 1000\right];\\[6pt] 3\lg x + 1 + \lg x - 3 = 2;\\[7pt] 4\lg x = 4;\\[7pt] \lg x = 1;\\[6pt] x = 10 \in \left[\frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}; 1000\right]\ \text{корінь рівняння.}\\[6pt] x \in (1000; +\infty);\\[7pt] 3\lg x + 1 - \lg x + 3 = 2;\\[7pt] 2\lg x = -2;\\[7pt] \lg x = -1;\\[7pt] x = 0{,}1 \in (1000; +\infty). \end{gather*}

Рівняння має два корені, тому у відповідь запишемо суму коренів:

\begin{gather*} 10 + 0{,}001 = 10{,}001. \end{gather*}

Відповідь: \(10{,}001.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6475

Завдання 36 з 36

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(6\). Бічне ребро піраміди нахилене до площини її основи під кутом \(60^\circ\). Обчисліть площу \(S\) сфери, описаної навколо піраміди. У відповідь запишіть значення \(\dfrac S\pi\).

Впишіть відповідь:

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для площі бічної поверхні піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(KABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(AB = 6\) см.

Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), отже, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей) точка \(O.\)

\(KA = KB = KC = KD\) – похилі, \(OA = OB = OC = OD\) – проекції.
\(\angle KDO = \angle KCO = \angle KBO = \angle KAO = 60^\circ.\)

Сфера описана навколо піраміди. Центр сфери належить висоті \(KO.\) Нехай точка \(M\) – центр сфери.
\(MA = MB = MC = MD = MK\) – радіуси,
\(BO = AO = OC = OD.\) Це доводить, що центр сфери належить висоті \(KO.\)

Розглянемо \(\Delta BKD.\) \(KB = KD\), \(\angle B = \angle D = 60^\circ.\) Отже, \(\angle K = 60^\circ.\) \(\Delta BKD\) – рівносторонній. Точка \(M\) рівновіддалена від вершин трикутника. Отже, точка \(M\) – центр кола, описаного навколо трикутника.

\begin{gather*} R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \end{gather*}

де \(a\) – сторона трикутника, \(R\) – радіус описаного кола. \(AB = 6\) см.

У \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 2 \cdot 6^2;\\[7pt] AC = 6\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус кола

\begin{gather*} R = \frac{AC\sqrt{3}}{3} = \frac{6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{6}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа сфери

\begin{gather*} S_\text{сфери} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot (2\sqrt{6})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 = 96\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

У відповідь запишемо

\begin{gather*} \frac{S_\text{сфери}}{\pi} = \frac{96\pi}{\pi} = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(96.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6476

Новини

Встановлення пріоритетів у заявах на вступ: нюанси 2026 року
Завершується реєстрація на співбесіди і творчі конкурси бакалаврів-контрактників
Як розрахувати конкурсний бал при вступі до вишу

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра