ЗНО онлайн 2014 року з математики – основна сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Функція \(y=\frac{5}{x}\) визначена для всіх дійсних значень аргументу, крім значення \(x=0\) (на \(0\) ділити не можна), на проміжку \((0; +\infty)\) набуває лише додатних значень, а на проміжку \((-\infty; 0)\) – лише від'ємних. Отже, графік шуканої функції розміщений у першій та третій координатних чвертях і не перетинає вісь ординат. Серед наведених на рисунках графіків ці умови виконуються лише для графіка на рисунку Г. Отже, відповідь – Г.

Охарактеризуємо детальніше функцію \(y=\frac{5}{x}\). Ця функція є окремим випадком оберненої пропорційності \(y=\frac{k}{x}\), де \(k\ne 0\), число \(k=5\) – коефіцієнт оберненої пропорційності. Графік оберненої пропорційності називають гіперболою.

Зазначимо, що графік функції \(y=\frac{5}{x}\) можна отримати з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) (див. рисунок) за допомогою його розтягнення в \(5\) разів уздовж осі \(y.\)

Проаналізуємо решту наведених на рисунках ескізів графіків.

А. Зображена на рисунку лінія може бути ескізом графіка показникової функції \(y=5^x\), адже цій функції притаманні такі властивості: вона є зростаючою та \(R\), набуває лише додатних значень, графік проходить через точки \((0; 1)\) та \((1; 5)\) (\(5^0=1\) та \(5^1=5\)).

Б. Є всі підстави вважати, що на рисунку зображено ескіз графіка логарифмічної функції \(y=\log_5 x\), яка визначена лише для додатних значень аргументу, є зростаючою, графік проходить через точки \((1; 0)\) та \((5; 1)\), оскільки \(\log_5 1=0\) та \(\log_5 5=1.\)

В. На рисунку зображено пряму, яка проходить через точки \((0; 0)\) та \((1; 5)\), її рівняння \(y=5x.\)

Д. На рисунку зображено ескіз графіка функції \(y=\frac{5}{|x|}\). Графік цієї функції симетричний відносно осі ординат і збігається з графіком функції \(y=\frac{5}{x}\) на проміжку \((0; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Система координат у просторі. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора, зображеного на рисунку.

Нехай точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) та \(B(x_2; y_2; z_2)\) є відповідно початком та кінцем вектора \(\overrightarrow{AB}.\) Тоді вектор \(\overrightarrow{AB}\) має координати \((x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\) З рисунка видно, що вектор \(\overrightarrow{OA}\) лежить на осі аплікат, його початком є точка \(O(0; 0; 0)\), а кінцем – точка \(A(0; 0; 3).\) Отже, вектор \(\overrightarrow{OA}\) має координати \((0-0; 0-0; 3-0)=(0; 0; 3).\)

Зауважимо, що коли точка \(O\) є початком координат, то координати вектора \(\overrightarrow{OA}\) збігаються з координатами точки \(A.\) Отже, правильна відповідь В.

Також важливо пам’ятати, що якщо вектор паралельний одній з осей координат, то у нього відмінна від нуля лише одна координата, наприклад, якщо у просторі вектор \(\overrightarrow{a}\) паралельний осі ординат, то він має координати \((0; y; 0)\), де \(y\ne 0.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Корінь рівняння.

Це завдання перевіряє знання та розуміння означення кореня рівняння.

Число \(a\) є коренем рівняння \(f(x)=g(x)\), якщо при його підстановці у рівняння замість змінної \(x\) отримаємо числову тотожність: \(f(a)=g(a)\), тобто ліва і права частини рівняння набувають однакових значень. Щоб отримати відповідь на запитання завдання, можна розв’язувати окремо кожне з наведених рівнянь, або ж скористатися означенням кореня рівняння. Підставимо число \(2\) у кожне з наведених рівнянь.

А. Дріб \(\frac{a}{b}\) дорівнює нулю лише тоді, коли чисельник \(a=0\) і знаменник \(b\ne 0.\) Чисельник рівняння \(\frac{1}{x-2}=0\) дорівнює \(1\) незалежно від значення \(x.\) Отже, це рівняння коренів не має.

Б. \(2^2+4=4+4=8\ne 0.\) Це означає, що число \(2\) не є коренем рівняння \(x^2+4=0.\) Окрім цього зазначимо, що вираз \(x^2+4\) за будь-яких \(x\) набуває лише додатних значень, точніше, дорівнює \(4\), якщо \(x=0\), та більше \(4\), якщо \(x\ne 0.\)

В. \(5\cdot 2+12=10+12=22\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Г. \(\frac{3\cdot 2-6}{2}=\frac{6-6}{2}=0=0\) – число \(2\) є коренем рівняння.

Д. \(2+2=4\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей вертикальних та суміжних кутів, які відносяться до найпростіших геометричних фігур на площині.

Нагадаємо, що суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути \(AOC\) та \(COB\) є суміжними.

Вертикальними називаються два кути, в яких сторони одного кута є доповнювальними променями сторін другого. На рис. 2 кути \(AOB\) та \(COD\) є вертикальними. Вертикальними також є кути \(AOD\) та \(BOC.\)

Проаналізуємо наведені твердження.

I. Вертикальні кути є рівними, але їх сума дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Тому твердження I не є правильним.

II. Суміжні кути в сумі утворюють розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює \(180^\circ.\) Отже, твердження II є правильним.

III. Кут називається гострим, якщо його градусна міра менше \(90^\circ\), і тупим, якщо його градусна міра більше \(90^\circ\) і менше \(180^\circ.\) Їх сума не обов’язково дорівнює \(180^\circ\), а дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли вони суміжні. Отже, твердження III не є правильним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи правило добутку.

Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то вибір пари \(A\) і \(B\) можна здійснити \(nm\) способами. Оскільки студенту необхідно вибрати одну з трьох іноземних мов (\(3\) варіанти) і одну з п’яти спортивних секцій (\(5\) варіантів), то за правилом добутку загальна кількість варіантів вибору дорівнює $$ 3\cdot 5=15. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази.

Це завдання перевіряє розуміння означення арифметичного кореня \(n\text{-го}\) степеня (зокрема, кубічного кореня) та вміння його добувати.

Оскільки \(64=4^3\), то $$ \frac{\sqrt[3]{64}}{64}=\frac{\sqrt[3]{4^3}}{64}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формула загального члена арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії та вміння за формулою загального \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії визначати її різницю.

Послідовність \((a_n)\) називається арифметичною прогресією, якщо кожен її член, починаючи з другого, відрізняється від попереднього на одне й те саме число \(d\). Число \(d\) – різниця прогресії. Загальний член арифметичної прогресії визначається за формулою: $$ a_n=a_1+d(n-1)=a_1-d+dn. $$

Оскільки за умовою \(n\text{-й}\) член задано формулою \(a_n=4-8n\), то коефіцієнт біля \(n\) є різницею прогресії: \(d=-8.\)

Різницю прогресії можна визначити ще таким способом. Підставимо у формулу $$ a_n=4-8n $$ значення \(n=1\) і \(n=2\). Отримаємо: \begin{gather*} a_1=4-8\cdot 1=-4,\\[7pt] a_2=4-8\cdot 2=-12. \end{gather*}

Тоді $$ d=a_2-a_1=-12+4=-8 $$ шукана різниця прогресії.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Декартова система координат на площині. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координат точок та вміння визначати координати точки, розташованої на координатній осі.

Згідно з умовою точка \(C\) лежить на осі \(x\), тому її координати \((x_0; 0)\). Оскільки відрізок \(AC\) перетинає вісь \(y\), то \(x_0\gt 0\) і відрізок розташований так, як показано на рисунку. Трикутник \(AKC\) є прямокутним із катетом \(AK=4\) (довжина \(AK\) дорівнює модулю ординати точки \(A\)) і гіпотенузою \(AC=5\), тобто його другий катет \(KC\) можна визначити за теоремою Піфагора:

Додавши до \(-2\) число \(3\), дістанемо абсцису \(x_0=1\) точки \(C.\) Тоді \(C(1; 0)\) – шукана точка.

Це завдання можна розв’язати, використовуючи лише формулу довжини відрізка за заданими координатами його кінцевих точок.

Оскільки точка \(C\) лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю, тобто \(C(x; 0)\). Тоді, довжина відрізка \(AC{:}\)

Розв’язавши це рівняння, одержимо два корені: \(x=-5\) та \(x=1.\) Значення \(x=-5\) не може бути абсцисою точки \(C\), оскільки в цьому випадку відрізок \(AC\) не перетинатиме вісь ординат. Отже, \(C(1; 0).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Монотонність функцій. Періодичність функцій. Парність і непарність функцій.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функції: парності, періодичності, монотонності.

Функція \(y=f(x)\) називається періодичною, якщо існує таке число \(T\ne 0\) (\(T\) – період функції), що для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(f(x)=f(x+T).\)

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(y(-x)=y(x).\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(y.\)

Функція \(y=f(x)\) називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(y(-x)=-y(x).\) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Функція \(y=f(x)\) зростає (спадає) на проміжку \([a; b]\), якщо для будь-яких \(x_1\) та \(x_2\) з цього проміжку і таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується умова \(f(x_1)\lt f(x_2)\) (\(f(x_1)\gt f(x_2)\)).

Зображена на рисунку функція не є періодичною і парною. Вона зростає на проміжках \([-6; 3]\), \([-1; 1]\) і \([3; 6]\), спадає на проміжках \([3; -1]\), \([1; 3]\). Функція є непарною, оскільки її графік симетричний відносно початку координат.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесемо обидві частини рівняння до кубу, отримаємо рівносильне рівняння: \begin{gather*} 2x=(-3)^3,\ \text{або}\\[7pt] 2x=-27,\\[6pt] x=-\frac{27}{2}=-13{,}5. \end{gather*} Отже, корінь рівняння належить проміжку \((-20; -10)\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Висота трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє знання означення висоти трикутника і вміння використовувати тригонометричні функції для знаходження елементів прямокутного трикутника.

Висота трикутника – це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. Оскільки \(BM\) – висота, то трикутник \(AMB\) є прямокутним (див. рисунок). У цьому трикутнику сторона \(AB\) є гіпотенузою.

Синусом гострого кута \(\alpha\) називається відношення протилежного до нього катета \(BM\) до гіпотенузи \(AB.\)

Отже, $$ \sin\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{12}{AB}, $$ звідки $$ AB=\frac{12}{\sin\alpha}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння визначати координатну чверть, в якій тригонометричні функції набувають певних знаків, та можливе значення іншої тригонометричної функції для кута, що належить цій чверті.

Якщо \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\), то кут \(\alpha\) належить першій або третій координатній чверті (див. рисунок); \(\cos\alpha\gt 0\) для кутів першої та четвертої чверті (див. рисунок). Отже, якщо одночасно \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\) і \(\cos\alpha\gt 0\), то кут \(\alpha\) знаходиться у IV координатній чверті. Для кутів \(\alpha\) цієї чверті виконується нерівність \(\sin\alpha\lt 0\) (див. рисунок), причому \(\sin\alpha \ne -1.\) Якщо припустити, що \(\sin\alpha=-1\), то \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання. Тому

\(\sin\alpha\) серед наведених значень може приймати лише значення \(-\frac{1}{2}.\)

Або можна міркувати наступним чином: оскільки $$ \mathrm{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\lt 0 $$ і \(\cos\alpha\gt 0\), то \(\sin\alpha\lt 0\), причому \(\sin\alpha\ne -1\), тому що тоді \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення. Модуль числа.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати вираз, що містить під знаком модуля раціональний дріб.

Для розв’язання цього завдання потрібно знати формули скороченого множення: $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ та означення модуля. Модулем (абсолютною величиною) числа \(a\) називається саме число \(a\), якщо воно невід’ємне, та протилежне число \(-a\), якщо \(a\) – від’ємне, тобто

Спочатку спростимо заданий вираз:

За означенням,

Оскільки за умовою \(a\lt -7\), то

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Розгортки многогранників.

Це завдання перевіряє вміння за наданою розгорткою многогранника визначати вид цього многогранника та обчислювати площу його бічної поверхні.

Оскільки розгортка піраміди складається з квадрата та чотирьох правильних трикутників, то це піраміда є правильною. Бічна поверхня заданої чотирикутної піраміди складається з чотирьох рівних правильних трикутників. Отже, площа бічної поверхні \(S_\text{б}\) у чотири рази більше за площу рівностороннього трикутника, що є бічною гранню цієї піраміди.

Площа правильного трикутника зі стороною \(a\) обчислюється за формулою: $$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2. $$

Сторона трикутника \(a=10\) см, тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Застосуємо метод інтервалів. Для цього піднесемо ліву частину до квадрата, а праву – перенесемо у ліву частину, змінивши знак: $$ x^2+8x+16-16\le 0, $$ звідси $$ x^2+8x\le 0. $$

Винесемо за дужки спільний множник \(x{:}\) $$ x(x+8)\le 0. $$ Таку ж нерівність отримаємо, якщо скористаємося формулою різниці квадратів:

Визначимо нулі функції $$ y=x(x+8). $$ Прирівняємо \(y\) до нуля: $$ x(x+8)=0. $$ Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю, отже \(x=-8\), \(x=0.\) Нанесемо їх на числову вісь \(x.\) Визначимо знаки виразу \(x(x+8)\) на кожному з отриманих проміжків (див. рисунок).

Отже, \(x\in[-8; 0]\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Зауваження. Можна спочатку зробити заміну \(x+4=t\) і розв’язати нерівність $$ t^2\le 16, $$ звідки $$ -4\le t\le 4, $$ тоді \begin{gather*} -4\le x+4\le 4,\\[7pt] -8\le x\le 0. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Проєкція похилої на площину.

Це завдання перевіряє вміння знаходити проекцію відрізка на площину, використовуючи подібність трикутників для знаходження їх невідомих елементів.

Нехай \(C\) і \(D\) – проекції точок \(A\) і \(B\) на площину \(\alpha\) відповідно (див. рисунок), тоді відрізки \(CO\) і \(OD\) – проекції відрізків \(AO\) і \(BO\) на площину \(\alpha.\) За умовою \(CO=5\) см, \(BO=20\) см.

Розглянемо прямокутні трикутники \(ACO\) та \(ODB\), які лежать в одній площині. Ці трикутники подібні за двома кутами: \(\angle ACO=\angle BDO=90^\circ\), \(\angle AOC=\angle BOD\) як вертикальні.

З подібності цих трикутників випливає, що \begin{gather*} \frac{BO}{AO}=\frac{DO}{CO},\\[6pt] \frac{BO}{8}=\frac{20}{5}, \end{gather*} звідки $$ BO=8\cdot 4=32\ \text{см}. $$

Тоді

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання практичного змісту перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі з використанням формули об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Зображена на рисунку ємність для квітів є прямокутним паралелепіпедом, з якого вирізаний менший паралелепіпед. Отже, об’єм цієї ємності шукатимемо як різницю об’ємів двох паралелепіпедів. Об’єм паралелепіпеда знаходиться за формулою $$ V=abc, $$ де \(a\), \(b\) і \(c\)   виміри паралелепіпеда. Виміри першого паралелепіпеда задані: \(40\) см, \(40\) см, \(50\) см, а виміри другого паралелепіпеда (порожня частина) знаходимо:

Об’єм однієї ємності:

Тоді об’єм \(10\) таких ємностей дорівнює \(440000\) см\(^3\) або \(0{,}44\) м\(^3.\)

Тут враховано, що \(1\) м\(=100\) см, \(1\) м\(^3=1000000\) см\(^3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання формули дотичної, проведеної до графіка функції, та вміння використовувати геометричний зміст похідної до розв’язування задач.

Похідна функції \(y=f(x)\) в точці \(x_0\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної \(y=kx+b\), проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0{:}\) \(f'(x_0)=k.\)

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0\), має вигляд $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). $$ Підставляємо дані з умови та отримуємо $$ y=2(x-1)+5. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, тригонометричні, логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, основних тригонометричних та логарифмічних співвідношень.

Перетворимо кожен з наведених виразів:

3. \(100^{\lg m}=10^{2\lg m}=10^{\lg m^2}=m^2.\) Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій та аналізувати їх взаємне розташування.

Побудуємо в одній системі координат графіки всіх заданих функцій. Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма. Щоб побудувати цю пряму, достатньо задати дві точки, що їй належать, наприклад, \((0; 0)\), \((5; 1).\)

1. Графіком функції \(y=x+5\) є пряма, яка перетинає осі координат у точках \((-5; 0)\) та \((0; 5)\). З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) перетинаються в одній точці. Можна міркувати по- іншому: кутові коефіцієнти двох прямих \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) не рівні \(\left(\frac{1}{5}\ne 1\right)\), тому ці прямі не є паралельними, тобто перетинаються. Отже, 1 – Б.

2. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=5^x\) не перетинаються. Отже, 2 – А.

3. Спочатку зазначимо, що графік функції \(y=\sqrt{x}\) симетричний графіку квадратичної функції \(y=x^2\), де \(x\in[0; +\infty)\), відносно прямої \(y=x.\) Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма, що проходить через початок координат. Пряма і парабола можуть мати дві, одну або жодної спільної точки. З рисунка видно, що \((0; 0)\) – спільна точка графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Окрім цієї точки, графіки мають ще одну спільну точку.

Обчислимо значення цих функцій, наприклад, у точках \(x=16\); \(25\); \(36{:}\) \begin{gather*} \sqrt{16}=4\gt \frac{16}{5}=3\frac{1}{5},\\[6pt] \sqrt{25}=5=\frac{25}{5},\\[6pt] \sqrt{36}=6\lt \frac{36}{5}=7\frac{1}{5}. \end{gather*} Точка \((25; 5)\) є другою спільною точкою графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Інших спільних точок немає. Можна ще міркувати так: оскільки кількість спільних точок графіків функцій \(y=f(x)\) та \(y=g(x)\) дорівнює кількості коренів рівняння \(f(x)=g(x)\), то, розв’язуючи рівняння $$ \frac{x}{5}=\sqrt{x}, $$ дістанемо: \begin{gather*} \frac{x}{5}=\sqrt{x},\\[6pt] \frac{x^2}{25}=x,\\[6pt] x^2=25x,\\[7pt] x(x-25)=0, \end{gather*} звідки \(x_1=0\), \(x_2=25\) – корені. Отже, 3 – В.

4. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sin x\), кожна з яких є непарною, перетинаються тричі – у точці \((0; 0)\) та ще у двох точках, які симетричні відносно початку координат. Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої.

Знайдемо довжини елементів (1 – 4).

1. У прямокутному трикутнику \(CDF\) (\(\angle D=90^\circ\)) відомі катет та гіпотенуза: \(CD=1\) см, \(CF=\sqrt{5}\) см. Довжину катета \(FD\) обчислимо за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – Г.

2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює половині довжини діагоналі цього квадрата. Оскільки діагональ квадрата зі стороною \(1\) дорівнює \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), то радіус описаного кола дорівнює $$ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$ Отже, 2 – Б.

3. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BC\) дорівнює довжині перпендикуляра \(h\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BC\) (див. рисунок). Оскільки прямі \(AF\) і \(BC\) паралельні, то відстань від точки \(F\) та від будь-якої іншої точки прямої \(AF\) до прямої \(BC\) рівні. Оскільки \(CD\ \perp\ BC\), то \(h=CD=1.\) Отже, 3 – А.

4. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BD\) дорівнює довжині перпендикуляра \(FL\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BD\) (див. рисунок). \(\angle ABD=\angle ADB=45^\circ\) як кути між діагоналлю квадрата і його стороною. \(\angle FDL=\angle ADB=45^\circ\) як вертикальні. Оскільки \(\angle DLF=90^\circ\), то \(\angle DFL=45^\circ.\) Таким чином прямокутний трикутник \(DLF\) рівнобедрений з гіпотенузою \(FD=2.\) Катет такого трикутника дорівнює $$ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану і розмах) за полігоном частот, зображеним на рисунку.

Визначимо характеристики ряду даних:

1. З діаграми видно, що елемент \(6\) зустрічається у ряді даних тричі, \(12\) – \(5\) разів, \(18\) – \(1\) раз, \(24\) – тричі, \(30\) – двічі і \(36\) – \(4\) рази. Тому кількість елементів цього ряду даних:

Отже, 1 – Б.

2. Розмахом \((R)\) ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=36-6=30. $$ Отже, 2 – Г.

3. Модою \((Mo)\) називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. Найбільшу частоту, що дорівнює \(5\), має елемент \(12\), тому мода \(Mo=12.\) Отже, 3 – А.

4. Медіаною \((Me)\) впорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне \(9\text{-го}\) і \(10\text{-го}\) елементів ряду даних: $$ Me=\frac{18+24}{2}=21. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання практичного змістом перевіряє вміння знаходити відсоток від числа.

1. Початкова вартість сукні – \(144\) грн – складає \(100\ \%.\) Позначимо вартість сукні після уцінення за \(x\) грн. Оскільки сукня подешевшала на \(60\ \%\), то \(x\) складає $$ 100\ \%-60\ \%=40\ \%. $$ Складемо пропорцію:

Тоді $$ \frac{144}{x}=\frac{100}{40}, $$ звідки $$ x=\frac{144\cdot 40}{100}=57{,}6\ \text{грн}. $$

2. Позначимо вартість сукні після уцінення (\(57{,}6\) грн) за \(100\ \%\), а початкову вартість (\(144\) грн) за \(x\ \%.\) Тоді $$ \frac{57{,}6}{144}=\frac{100}{x}, $$ звідки $$ x=\frac{144\cdot 100}{57{,}6}=250\ \%. $$

Варто зазначити, що частину \(2\) завдання можна розв’язувати без значень початкової вартості сукні та її вартості після уцінення. Нехай сукня коштувала \(x\) грн, тоді після уцінення її вартість становила \(0{,}4x\) грн. Складемо пропорцію:

Тоді $$ y=\frac{100\cdot x}{0{,}4x}=250\ \%. $$

Відповідь: 1. \(57{,}6.\)
                   2. \(250.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм. Коло.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та паралелограма, формули довжини дуги і вміння обчислювати площу паралелограма.

1. Нехай \(ABCD\) заданий паралелограм, \(O\) – центр півкола радіуса \(r\), що дотикається до сторони \(BC\) в точці \(M\) (див. рисунок). Оскільки півколо дотикається до сторони \(BC\) в точці \(M\), то \(OM\ \perp\ BC\) – як радіус, проведений в точку дотику. За означенням паралелограма \(AD\ ||\ BC\), отже, \(OM\ \perp\ AD.\) Тоді дуга \(MD\) – четверта частина кола радіуса \(r\), її довжина дорівнює $$ \frac{2\pi r}{4}=\frac{\ }{2}\ \text{см}. $$ За умовою довжина дуги \(MD\) дорівнює \(6{,}5\pi\) см.

Отже, $$ \frac{\pi r}{2}=6{,}5\pi, $$ звідки \(r=13\) см.

2. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї:

Відповідь: 1. \(13.\)
                   2. \(338.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення двох чисел.

Це завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння її застосовувати до перетворення дробової рівності.

Виразимо з рівності $$ \frac{y-x}{2x}=\frac{3}{4} $$ змінну \(y\) через \(x\), скориставшись основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх: \begin{gather*} 4(y-x)=6x,\\[7pt] 4y=10x,\\[7pt] y=2{,}5x. \end{gather*} Тоді $$ \frac{y}{x}=\frac{2{,}5x}{x}=2{,}5. $$ Таким чином \(y\) більше за \(x\) у \(2{,}5\) рази.

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання з практичним змістом перевіряє вміння знаходити значення кусково-заданої функції.

Формула обчислення вартості поїздки на таксі передбачає врахування декількох параметрів, а саме: довжини маршруту, вартості замовлення таксі та час, протягом якого таксі рухається (наприклад, очікує на пасажира) або рухається дуже повільно (затори на дорогах або аварійна ситуація). Під час розв’язування завдання потрібно з’ясувати, довжина маршруту \(S\) більше чи менше за \(6\) км. Якщо довжина маршруту менша за \(6\) км, то вартість поїздки є мінімальною. Якщо ж довжина маршруту більша за \(6\) км, то вартість поїздки потрібно визначати за першою формулою кусково-заданої функції.

За умовою, $$ S=10{,}5\gt 6, $$ тоді обчислюємо значення функції (вартість поїздки на таксі) за формулою $$ P=P_{min}+2{,}4\cdot(S-6)+0{,}5t. $$ Підставляємо дані, наведені в умові: \begin{gather*} P_{min}=28,\\[7pt] t=12,\\[7pt] S=10{,}5 \end{gather*} та отримуємо:

Відповідь: \(44{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою

(враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу). Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} 5x^2-8=-3x,\\[7pt] 5x^2+3x-8=0, \end{gather*} звідки \begin{gather*} x_1=1,\\[7pt] x_2=-1{,}6. \end{gather*}

Значення \(x_1=1\), що не задовольняє ОДЗ рівняння, не є коренем заданого рівняння; значення \(x_2=-1{,}6\) задовольняє ОДЗ, отже, є єдиним коренем заданого рівняння.

Відповідь: \(-1{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівності мішаного типу. Методи інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності мішаного типу.

Виконаємо рівносильні перетворення: \begin{gather*} \frac{10^x-16\cdot 5^x}{x+2}\ge 0,\\[6pt] \frac{5^x(2^x-16)}{x+2}\ge 0,\\[6pt] \frac{5^x(2^x-2^4)}{x+2}\ge 0. \end{gather*}

Оскільки для всіх \(x\in(-\infty; +\infty)\) \(5^x\gt 0\), то $$ \frac{2^x-2^4}{x+2}\ge 0. $$

Останню нерівність, яка рівносильна початковій, розв’яжемо методом інтервалів на заданому проміжку \([-3; 7].\) Знайдемо нулі функції $$ y=\frac{2^x-2^4}{x+2} $$ та точки, в яких вона не визначена. Функція дорівнює нулю, якщо $$ 2^x-2^4=0, $$ звідки \(x=4\). Функція не визначена в точці \(x=-2.\) Нанесемо ці точки на числову вісь, враховуючи, що задана нерівність є нестрогою (знак «\(\ge\)»), отже, точка \(x=4\) – зафарбована. Визначимо знаки виразу $$ \frac{2^x-2^4}{x+2} $$ на цьому проміжку (див. рисунок).

Отже, \([-3; -2)\cup [4; 7]\) – множина розв’язків заданої нерівності на проміжку \([-3; 7].\)

З рисунка видно, що цілими розв’язками нерівності $$ \frac{2^x-2^4}{x+2}\ge 0 $$ на проміжку \([-3; 7]\) є числа \(-3\), \(4\), \(5\), \(6\) та \(7.\) Їх сума дорівнює \(19.\)

Відповідь: \(19.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу трапеції.

Щоб розв’язати це завдання потрібно знати саме означення рівнобічної трапеції, її властивості, означення та властивості середньої лінії трапеції та трикутника, бісектриси кута трапеції, а також формули площі трапеції.

Нехай \(ABCD\) – задана рівнобічна трапеція, \(LN\) – її середня лінія, \(LO=13\) см, \(NO=23\) см, \(\angle BAC=\angle CAD\) (див. рисунок). Оскільки \(LO\) і \(NO\) – середні лінії в трикутниках \(BAC\) і \(CAD\) відповідно, то $$ BC=13\cdot 2=26\ \text{см} $$ і $$ AD=23\cdot 2=46\ \text{см}. $$ Оскільки \(\angle BCA=\angle CAD\) як внутрішні різносторонні, то трикутник \(BAC\) рівнобедрений і $$ AB=BC=26\ \text{см}. $$

Опустимо з вершин \(B\) і \(C\) на сторону \(AD\) перпендикуляри \(BK\) і \(CM\) відповідно (див. рисунок). З прямокутного трикутника \(CMD\) за теоремою Піфагора знаходимо висоту:

Площа трапеції дорівнює добутку півсумі її основ на висоту, врахуємо, що за властивістю середньої лінії трапеції

Відповідь: \(864.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл. Площа криволінійної трапеції.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції \(y=f(x)\), прямими \(x=0\), \(x=1\) і віссю \(x\) (пряма \(y=0\)) (див. рисунок) дорівнює визначеному інтегралу:

За умовою значення цього інтеграла дорівнює \(21\) кв. од. Тоді $$ \frac{a+b}{3}+5=21, $$ звідки \(a+b=48\).

Відповідь: \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Циліндр. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра, вміння будувати переріз циліндра та знаходити зазначені відстані.

На рисунку зображено циліндр, точки \(A\) і \(B\), що лежать відповідно на колах верхньої та нижньої його основи, вісь циліндра \(OO_1.\)

Перерізом циліндра площиною, паралельною осі циліндра \(OO_1\), є прямокутник \(ALBC.\)

Відстань від точки \(O\) – центра нижньої основи – до заданої площини дорівнює довжині відрізка \(OK\), \(OK\ \perp\ BL\), де точка \(K\) – середина відрізка \(BL\) (оскільки радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл), за умовою \(OK=2\) см. Для зручності введемо позначення: \(R\) – радіус основи циліндра, \(H\) – висота циліндра, \(BK=\frac{1}{2}BL=a.\) Шуканий відрізок \(AB\) є гіпотенузою прямокутного трикутника \(BLA.\) За теоремою Піфагора: $$ AB^2=4a^2+H^2. $$

Отже, щоб знайти довжину відрізка \(AB\), потрібно визначити висоту \(H\) і довжину відрізка \(BK.\) За умовою, площа утвореного перерізу дорівнює \(60\sqrt{2}\). Врахувавши, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін, записуємо рівняння: $$ 2aH=60\sqrt{2}, $$ тобто $$ aH=30\sqrt{2}. $$ Площа бічної поверхні циліндра радіуса \(R\) і висоти \(H\) дорівнює $$ S=2\pi RH, $$ отже, записуємо рівняння: $$ 2\pi RH=20\sqrt{30}\pi, $$ звідки $$ RH=10\sqrt{30}. $$ Розглянемо прямокутний трикутник \(BKO\), в якому відрізок \(OK\) є катетом. За теоремою Піфагора запишемо співвідношення: $$ a^2+4=R^2. $$ Отже, маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

У формулі для знаходження довжини відрізка \(AB\) радіус \(R\) не фігурує. Тому спочатку виключимо із системи змінну \(R.\) Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо $$ \frac{R}{a}=\frac{1}{3}\sqrt{15}, $$ звідки $$ R=\frac{a}{3}\sqrt{15}. $$ Підставимо це значення в останнє рівняння системи: $$ a^2+4=\left(\frac{a}{3}\sqrt{15}\right)^2, $$ звідки \begin{gather*} a^2+4=\frac{5}{3}a^2,\\[6pt] a^2=6. \end{gather*} Ураховуючи друге рівняння, дістаємо \begin{gather*} H=\frac{30\sqrt{2}}{a},\\[6pt] H^2=\frac{1800}{a^2}=\frac{1800}{6}=300. \end{gather*} Таким чином,

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Система рівнянь з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь залежно від значень параметра \(a.\)

Перетворимо систему, виконавши рівносильні перетворення

Побудуємо геометричний образ кожного рівняння в прямокутній системі координат.

1. З рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) виразимо \(y\) через \(x\), розкривши модуль \(|y-2|.\)

Якщо \(y\in(-\infty; 2)\), то \(2(-y+2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=3|x|-7.\)

Якщо \(y\in[2; +\infty)\), то \(2(y-2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=-|x|+5.\)

Таким чином, графіком рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) є об’єднання частин графіків двох функцій: \(y=3|x|-7\), якщо \(y\in(-\infty; 2)\), і \(y=-|x|+5\), якщо \(y\in[2; +\infty)\) (див. рисунок).

2. Геометричним образом рівняння \(|5x-2a|=|y|\) є сукупність двох прямих: \(y=5x-2a\) і \(y=-5x+2a.\) На рисунку зображено геометричні образи цього рівняння для певних значень параметра \(a.\) Зазначимо, що графік цього рівняння при кожному фіксованому значенні параметра \(a\) симетричний відносно прямої \(x=\frac{2}{5}a.\)

Після геометричної інтерпретації рівнянь системи $$ \left\{\begin{array}{l} 2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x|=11-y,\\ 25x^2-20ax=y^2-4a^2, \end{array}\right. $$ зрозуміло, що єдине від’ємне значення параметра \(a\), при якому ця система матиме єдиний розв’язок буде лише у випадку, зображеному на рисунку.

В цьому випадку пряма \(y=5x-2a\) має пройти через точку \((-3; 2).\) З цієї умови і знаходимо значення параметра \(a{:}\) \(2=5\cdot(-3)-2a\), звідки \(a=-8{,}5.\)

Відповідь: \(-8{,}5.\)