ЗНО онлайн 2009 року з математики – основна сесія

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, означення бісектриси кута.

\(BD\) – бісектриса кута \(B.\) Отже, \(\angle ABD = \angle DBC = 35^\circ.\) \(\angle ABC = 70^\circ.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\)

Отже, у \(\Delta ABC\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення виразів, що містять знак кореня.

\begin{gather*} \frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{128}}{\sqrt[\scriptstyle 3]{2}} = \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{128}{2}} = \sqrt[\scriptstyle 3]{64} = 4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання властивостей арифметичної прогресії.

Арифметичною прогресією називається послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.

\begin{gather*} a_{n+1} = a_n + d;\\[7pt] d = a_{n+1} - a_n. \end{gather*}

Отже, з поданих послідовностей тільки \(3\); \(7\); \(11\); \(15\) буде арифметичною прогресією.

\begin{gather*} 7 - 3 = 11 - 7 = 15 - 11 = 4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності чисел.

Якщо Оксана розклала по \(3\) горіхи у купки, то зайвих не виявилось. Отже, кількість горіхів була кратна \(3.\) При діленні на \(5\) купок, два залишилось.

\begin{gather*} 57 : 5 = 11\ (\text{ост.}\ 2). \end{gather*}

Із запропонованих варіантів тільки число \(57\) кратне \(3\) та при діленні на \(5\) дає в остачі \(2.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac 15\right)^{\textstyle x} \le \frac{1}{25};\\[6pt] \left(\frac 15\right)^{\textstyle x} \le \left(\frac 15\right)^{\textstyle 2}. \end{gather*}

Функція \(y = \left(\dfrac 15\right)^{\textstyle x}\) – спадна, тому \(x \ge 2,\; x \in [2; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників.

Створимо математичну модель задачі: дано два подібні трикутники, знайти сторону одного з них.

\(BC = 16\) м, \(A_1B_1 = 1{,}5\) м, \(B_1C_1 = 2\) м.

\(\Delta ABC\) подібний \(\Delta A_1B_1C_1\) (подібні за гострим кутом). \(\angle C = \angle C_1\) (кут, під яким світить сонце).

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсоткові розрахунки.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

За переказ \(30000\) грн клієнт повинен сплатити банку винагороду в розмірі \(2\ \%\) від даної суми. Отже,

\begin{gather*} 30000 \cdot 0{,}02 = 600\ \text{грн} \end{gather*}

розмір винагороди, яку повинен сплатити клієнт.

У касу банку потрібно сплатити

\begin{gather*} 30000 + 600 = 30600\ \text{грн} \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення з раціональними виразами.

З рівності \(a = 1 - \dfrac bc\) виразимо \(b{:}\)

\begin{gather*} \frac bc = 1 - a;\\[6pt] b = c(1 - a). \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати звичайні дроби, знання основної властивості дробу.

З двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого чисельник більший.

Отже,

\begin{gather*} \frac 38\gt \frac 58;\\[6pt] \frac{19}{21}\lt \frac 67 = \frac{18}{21} \end{gather*}

неправильні нерівності.

З двох дробів з однаковими чисельниками більше той, у якого знаменник менший.

Отже,

\begin{gather*} \frac 72\lt \frac 73 \end{gather*}

неправильна нерівність.

\(\dfrac{8}{9}\gt \dfrac 98\) також неправильна, тому що правильний дріб менше неправильного.

Отже, \(\dfrac 56\gt \dfrac 45\) правильна, бо

\begin{gather*} \frac 56 = \frac{25}{30};\\[6pt] \frac 45 = \frac{24}{30};\\[6pt] 25\gt 24. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, показникові, тригонометричні, логарифмічні, степеневі функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, властивостей парних та непарних функцій.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

З наведених графіків тільки B симетричний відносно \(Oy.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з векторами.

\begin{gather*} \vec{a}(3; -1; 2);\\[7pt] \vec{b}(-2; 2; 5).\\[7pt] 2\vec{a}(2 \cdot 3; -1 \cdot 2; 2 \cdot 2);\\[7pt] 2\vec{a}(6; -2; 4);\\[7pt] \vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b} = (8; -4; -1). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Імовірність випадкової події

\begin{gather*} P(A) = \frac mn, \end{gather*}

де \(n = 10\) – загальна кількість банок, \(m = 6\) – кількість банок з рибою, \(A\) – подія, коли навмання взята банка буде з рибою. \begin{gather*} P(A) = \frac{6}{30} = \frac 35. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знання правил знаходження похідних.

\begin{gather*} y = x^4 + 3\cos x;\\[7pt] y' = 4x^3 - 3\sin x. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей перпендикулярних прямих та площин.

Якщо через точку \(A\) провести площину \(\beta\), паралельну \(\alpha\), то будь-яка пряма, що проходить через точку \(A\) та лежить у площині \(\beta\), паралельна \(\alpha.\) Отже, I – неправильне твердження.

Через точку \(A\), що не належить площині \(\alpha\), можна провести лише одну площину, паралельну \(\alpha.\) Отже, II – правильне твердження.

Отже, III – правильне твердження.

Через пряму, перпендикулярну площині \(\alpha\), можна провести безліч площин. Якщо точка \(A\) лежить на даній прямій, то через неї проходить безліч площин. Отже, IV – неправильне твердження.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій на площині.

Графік функції \(y = f(x)\) паралельно вздовж осі ординат переміщуємо на \(a\) одиниць та отримуємо графік функції \(y = f(x) + a.\)

При \(a = 2\) точка \(M(1; 1)\) переміститься у точку \(N(1; 3).\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sin x = 1;\\[6pt] \sin x = \frac 12;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \arcsin \frac 12 + \pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння використовувати формулу розміщення для розв’язання комбінаторних задач.

1 спосіб.

Для розв'язання використаймо формулу розміщення \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.\\[6pt] A_{16}^2=\frac{16!}{(16-2)!}=\frac{16!}{14!}=\frac{16\cdot 15\cdot 14!}{14!}=16\cdot 15=240. \end{gather*}

2 спосіб.

Кожна з \(16\) команд зіграє \(15\) матчів. Усього матчів зіграно

\begin{gather*} 16 \cdot 15 = 240. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей паралелограма.

Менша діагональ паралелограма лежить напроти гострого кута.

Нехай \(AB = 3\) см, \(AD = 4\) см, \(\angle A = 60^\circ.\)

У \(\Delta ABD\) за теоремою косинусів

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

Об'єм кулі радіуса \(5\) см

Об'єм кулі радіуса \(1\) см

\begin{gather*} V = \frac 43\pi \cdot 1^3 = \frac 43\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже, об'єм великої кулі в \(125\) разів більше об'єму маленької. Можна одержати \(125\) куль.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Відповідь: \(64.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, теорем Піфагора, властивості трапеції.

У \(\Delta ABD\ KM\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії \(KM = \dfrac 12AD\), \(AD = 11\) см.

У \(\Delta BCD\ ML\) – середня лінія. \(ML = \dfrac 12BC\), \(BC = 6\) см.

Проведемо \(CE\!\perp\!AD.\)

\(ABCE\) – прямокутник, \(BC = AE = 6\) см.

\begin{gather*} AD = AE + ED.\\[7pt] ED = AD - AE = 11 - 6 = 5\ \text{см}.\\[7pt] AB = CE = 12\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta CED\ (\angle E = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(42.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знаходити значення тригонометричних виразів.

Використаємо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\)

Якщо \(\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi\), то \(\cos \alpha \lt 0.\)

Отже, \(\cos \alpha = -0{,}6.\)

Відповідь: \(-0{,}6.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

\begin{gather*} V_\text{куба}=a^3=216;\\[6pt] a=6\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди

Відповідь: \(36.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\(\log_6(x - 3) + \log_6(x - 8) = 2.\) ОДЗ: \(x\gt 8.\)

\(x_2 \notin\) ОДЗ.

Відповідь: \(12.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

\(24 \cdot 600 = 14400\) ц – зібрали пшениці в \(2007\) році.

\(14400 + 19200 = 33600\) ц – зібрали пшениці в \(2008\) році.

\(33600 : 600 = 336 : 6 = 56\) ц – з \(1\) га в середньому зібрали в \(2008\) році.

Відповідь: \(56.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладаємо чисельник дробу на множники:

\begin{gather*} x^2 - x - 12 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4;\\[6pt] x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3;\\[6pt] x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3).\\[6pt] \frac{(x - 4)(x + 3)}{(x + 1)^2} \le 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

\begin{gather*} x = 4;\\[7pt] x = -3;\\[7pt] x \ne -1. \end{gather*}

\(x = -1\) – кратний корінь, отже, при переході функції через дану точку, функція не міняє знак.

\begin{gather*} x \in [-3; -1) \cup (-1; 4]. \end{gather*}

Цілі розв'язки: \(-3\); \(-2\); \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4\) – сім розв'язків.

Відповідь: \(7.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул площі поверхні паралелепіпеда, вміння розв'язувати текстові задачі.

Площа бічної поверхні

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=P_{ABCD}\cdot CC_1=(5+4)\cdot 2\cdot 2{,}5=45\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа стін становить \(0{,}8\) від площі бічної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{стін}=45\cdot 0{,}8=36\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площі стелі:

\begin{gather*} S_\text{стелі}=4\cdot 5=20\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа, яку треба пофарбувати:

\begin{gather*} S=36+20=56\ \text{м}^2. \end{gather*}

На \(1\) м\(^2\) витрачається \(0{,}25\) кг фарби, отже,

\begin{gather*} 56\cdot 0{,}25=14\ \text{кг} \end{gather*}

потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни та стелю.

Відповідь: \(14.\)

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та їх системи.

У відповідь запишемо добуток

\begin{gather*} x_0 \cdot y_0 = 0{,}5 \cdot 0{,}75 = 0{,}375. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}375.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функції, вміння знаходити область значень функції, вміння знаходити найбільше та найменше значення функції за допомогою похідної.

Оцінимо значення виразу \(\dfrac{1}{3\sin x + 5}.\)

\begin{gather*} -1 \le \sin x \le 1;\\[7pt] -3 \le 3\sin x \le 3;\\[7pt] 2 \le 3\sin x + 5 \le 8;\\[6pt] \frac 18 \le \frac{1}{3\sin x + 5} \le \frac 12. \end{gather*}

Отже, даний вираз набуває значення \(\left[\dfrac 18; \dfrac 12\right].\)

Найбільше значення функції \(0{,}5.\)

Відповідь: \(0{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей конуса, вміння знаходити кути та відстані у просторі.

\(CA\) – твірна, \(CO\!\perp\!(AOB)\), \(CA\) – похила, \(AO\) – проекція похилої. Отже, \(\angle(CA, (AOB)) = \alpha.\)

\(CD\!\perp\!AB\), \(OD\!\perp\!AB\) (за теоремою про три перпендикуляри). Отже, \((COD)\!\perp\!AB.\)

\(OH\!\perp\!CD\), \(OH \in (COD)\) звідси \(OH\!\perp\!(ABC)\), \(CO\) – похила, \(CH\) – проекція похилої. \(\angle(CO, (ABC)) = \angle OCD = \varphi.\)

У \(\Delta COA\ (\angle O = 90^\circ)\), \(CO = OA\mathrm{tg}\ A = R\mathrm{tg}\ \alpha.\)

У \(\Delta COD\ (\angle O = 90^\circ)\), \(OD = CO\mathrm{tg}\ C = R\mathrm{tg}\ \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \varphi.\)

\begin{gather*} CD = \frac{CO}{\cos O} = \frac{R\mathrm{tg}\ \alpha}{\cos\ \varphi}. \end{gather*}

\(\Delta DOA\ (\angle D = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа перерізу

Відповідь: \(\dfrac{R^2\mathrm{tg}\ \alpha\sqrt{1 - \mathrm{tg}^2\ \alpha \cdot \mathrm{tg}^2\ \varphi}}{\cos\ \varphi}.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну функції, знаходити площу фігури, обмеженої лініями.

1. Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій \(f(x)\) та \(g(x).\)

\begin{gather*} x^2 + 1 = 7 - x;\\[7pt] x^2 + x - 6 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25;\\[6pt] x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3. \end{gather*}

Знаходимо у прямокутній системі координат фігуру, обмежену цими графіками.

\(f(x) = x^2 + 1\) – парабола, \(y = 7 - x\) – пряма.

2. Площу фігури, обмеженої графіками функції, знаходимо за допомогою визначеного інтегралу:

Відповідь: 1. \(x=-3\); \(x=2.\)
                   2. \(20\dfrac 56\) кв. од.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, рівняння з модулем.

Розкриємо модуль на кожному проміжку:

1) \(x \in (-1; 3)\)

\begin{gather*} 2(-x + 3) - (x + 1) \le x;\\[7pt] -2x + 6 - x - 1 - x \le 0;\\[7pt] -4x + 5 \le 0;\\[7pt] -4x \le -5;\\[6pt] x \ge 1\frac 14. \end{gather*}

2) \(x \in [3; +\infty]\)

\begin{gather*} 2(x - 3) - (x + 1) \le x;\\[7pt] 2x - 6 - x - 1 - x \le 0;\\[7pt] -7 \le 0;\\[7pt] x \in [3; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: \(x\in [1{,}25; +\infty).\)