ЗНО онлайн 2013 року з математики – 2 сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

У грудні спожито \(220\ \text{кВт}\cdot\text{год}\), у липні – \(80\ \text{кВт}\cdot\text{год}.\) \begin{gather*} 220 : 80 = 2{,}75. \end{gather*} Отже, I твердження правильне.

За літні місяці спожито: \begin{gather*} 100 + 80 + 100 = 280\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} За весняні місяці спожито: \begin{gather*} 160 + 150 + 130 = 440\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} За весняні місяці спожито більше, ніж у літні на: \begin{gather*} 440 - 280 = 160\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} Отже, II твердження правильне.

Середньомісячне споживання електроенергії:

Отже, III твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння знаходити неповну частку та остачу від ділення одного натурального числа на інше.

Нехай \(k = 5p + 2.\) Число

Отже, остача від ділення на \(5\) становить \(3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної та геометричної прогресії. Формула \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. За властивістю геометричної прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Означення функції, область визначення, область значень функції, графік функції. Екстремуми функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити екстремуми функції, досліджувати функції за допомогою похідної.

На відрізку \([-3; 7]\) \(3\) точки екстремуму. \begin{gather*} x_{max} = 1;\\[7pt] x_{min} = 3{,}5;\\[7pt] x_{max} = 6. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі. Ознаки паралельності прямих, прямої і площини, площин.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознак паралельності прямої та площини, площин у просторі.

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину (аксіома). Отже, твердження I правильне.

Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

Отже, твердження II правильне.

Якщо дві різні площини паралельні одній прямій, то вони необов'язково паралельні між собою. Якщо пряма перетину площин паралельна прямій, то ці площини паралельні прямій.

Наприклад, \(\alpha \cap \beta = a\), \(a\ ||\ b.\)

Отже, \(\alpha\ ||\ b\), \(\beta\ ||\ b.\) Отже, твердження III неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння з однією змінною, означення кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною. Методи розв'язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, розкладати многочлен на множники.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, властивостей нерівностей.

Дріб менше за нуль, якщо \(x - 5 \lt 0\), \(x\lt 5.\)

\begin{gather*} x \in (-\infty; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язань.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь.

Складемо рівняння почленно: \(x = 9.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y = x^2 - 2x\), використовуючи елементарні перетворення, перетворимо в графік функції \(y = |x^2 - 2x|.\)

Частина графіка, яка знаходилась нижче від осі абсцис, симетрично відображається відносно осі \(Ox\), решта – залишається без змін.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення. Означення та властивості логарифма.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма, вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використавши формулу переходу до нової основи, отримаємо: \begin{gather*} \frac{\lg 25}{\lg5} = \log_5 25 = 2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання формули бічної поверхні призми.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – правильна призма. \(ABCD\) – квадрат. \(AB = 3\) см.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення. Означення кореня \(n\text{-го}\) степеня та арифметичного кореня \(n\text{-го}\) степеня. Властивості коренів.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

Спростимо вираз:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема синусів.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів.

За теоремою синусів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутна система координат на площині, координати точки. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат на площині, формули відстані між двома точками на площині.

Радіус кола \(R = 10.\) Отже, \(M(0; -10).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі трикутника, теореми Фалеса, ознаки паралельності прямих на площині.

За теоремою Фалеса: якщо \(MC = MB,\) то \(CM_1 = M_1B_1.\)

\(MM_1\) – середня лінія \(\Delta BB_1C.\) За властивістю середньої лінії трикутника

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну складеної функції, знання правил диференціювання.

За правилом знаходження похідної складеної функції, знаходимо похідну функції:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

\(\log_{0{,}4} x \ge \log_{0{,}4} 2.\)

Функція \(y = \log_{0{,}4} x\) спадна, отже \(x \ge 2.\)

Аргумент \(x \lt 0\), \(x\in (0; 2].\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера. Планіметрія. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл та поверхонь обертання до розв’язування стереометричних задач практичного змісту.

\(OA = 12\) см, \(O_1A = 9\) см.

Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається до півсфери:
\(\Delta OO_1A\ (\angle O_1 = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, – \(7\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

1. За \(1\) годину велосипедисти пройдуть \((x + y) \cdot 1 = x + y\) км. На \((x + y)\) зменшилась відстань по шосе між велосипедистами. Отже, 1 – Д.

2. Через \(t\) годин велосипедисти зустрілись. Отже, відстань між пунктами \(A\) і \(B\) \((x + y)t.\) Отже, 2 – А.

3. За умовою \(x \gt y.\) За \(1\) годину перший велосипедист проїхав більше ніж другий на \((x - y)\) км. За \(t\) години різниця відстаней, які проїхали велосипедисти, становить: \((x - y)t\). Отже, 3 – Б.

4. Відстань \(CB = yt\) км. Час, за який перший подолає відстань \(CB\): \((yt/x)\) год. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Графік функції не перетинає жодну з осей координат.

Отже, 1 – В.

2. Областю значення функції є проміжок \((0; +\infty).\)

Отже, 2 – Г.

3. Функція спадає на всій області визначення.

Отже, 3 – А.

4. На відрізку \([-1{,}5; 1{,}5]\) функція має два нулі.

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – A, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, довжини вектора, колінеарних векторів, рівних векторів, координати вектора, скалярного добутку векторів та його властивостей.

1. Довжина вектора \(\overrightarrow{a}{:}\)

Отже, 1 – Г.

2.

рівні вектори мають рівні координати: \(4 + k = 0\), \(k = -4.\) Отже, 2 – В.

3. Вектори \(\overrightarrow{b}\) і \(\overrightarrow{d}\) колінеарні \(\overrightarrow{b}(-2;\ 2)\), \(\overrightarrow{d}(-4;\ m).\) Отже, \begin{gather*} \frac{-2}{-4} = \frac{2}{m},\\[6pt] m = 4. \end{gather*} Отже, 3 – Д.

4. Скалярний добуток векторів:

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Д, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Квадрат зі стороною \(a\) обертається навколо прямої. Отримаємо циліндр з радіусом основи \(a\) та висотою \(a.\)

Отже, 1 – Г.

2. Прямокутний рівнобедрений трикутник з катетом \(a\) обертається навколо прямої. Отримаємо конус з радіусом основи \(a\) та висотою \(a.\)

Отже, 2 – А.

3. Отримаємо циліндр, в якому вирізано конус з радіусом основи \(a\), висотою \(a.\)

Отже, 3 – В.

4. \(OA = \dfrac{3}{4}a\)

Отримаємо кулю з радіусом \(OA.\)

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє знання відсотків, уміння розв’язувати основні задачі на відсотки.

Нехай одна футболка коштує \(x\) грн. Тоді друга футболка зі знижкою \(40\,\%\) коштує \(0{,}6x\) грн. За дві футболки Микола заплатив \(200\) грн. Складемо рівняння:

Отже, одна футболка коштує \(125\) грн.

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування показникових рівнянь.

Використаємо властивості степенів:

Відповідь: \(-1{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, модуля дійсного числа та його властивостей.

Отже, \(|y - 2x| = 1{,}5.\)

Відповідь: \(1{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Це завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, вміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної функції (складеної):

Знаходимо критичні точки: \(y' = 0.\)

На проміжку довжиною \(2\pi\) знайдемо знаки похідної:

\(x = 0;\ \ \pi\) – точка максимуму.

Найбільше значення функції \(y = 40{,}5.\)

Відповідь: \(40{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник, дотичних до кола та їхніх властивостей.

\(\Delta ABC\) – прямокутний, \(\angle C = 90^\circ.\) \(AK = 4{,}5\) см, \(MB = 6\) см.
Точка \(O\) – центр вписаного кола. \(OK\), \(OM\), \(OE\) – радіуси вписаного кола. За властивістю радіуса кола, проведеного в точку дотику \(OK\!\perp\!AC\), \(OE\!\perp\!AB\), \(OM\!\perp\!CB.\)
\(KOMC\) – квадрат. За властивістю дотичних до кола \begin{gather*} AK = AE = 4{,}5\ \text{см},\\[7pt] MB = BE = 6\ \text{см}. \end{gather*} Отже,

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи:

Відповідь: \(5{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Ляйбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площа фігури, обмеженої лініями

Побудуємо графіки параболу та пряму:

\(y = x^2\) перетворимо \(y{:}\) \(y = -(x + 1)^2 + \dfrac{22}{3}\) за допомогою елементарних перетворень: перенесемо вліво на \(1\) одиницю вздовж осі \(Ox\), симетрично відобразимо відносно осі \(Ox\) та піднімемо вгору на \(\dfrac{22}{3}\) одиниці.

За формулою Ньютона – Ляйбніца

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

У фестивалі беруть участь \(25\) гуртів. Гурт з України може бути першим з імовірністю \(\dfrac{1}{25}.\)

Імовірність того, що порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює \(\dfrac{12}{24}\) (парних номерів \(12\) з \(24\) можливих).

За правилом добутку ймовірностей, ця подія \((A)\) відбудеться з імовірністю

Відповідь: \(0{,}02.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – ромб, \(\angle B = 120^\circ.\)

Побудуємо \(BK\!\perp\!AD\), \(BM\!\perp\!CD\) (висоти ромба). За теоремою про три перпендикуляри \(SK\!\perp\!AD\), \(SM\!\perp\!CD.\)

\((SKB)\!\perp\!AD \Rightarrow \angle SKB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SAD)\) і \((ABC).\)

\((SMB)\!\perp\!CD\ \Rightarrow \angle SMB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SDC)\) і \((ABC).\)

У \(\Delta SBK\) \((\angle B = 90^\circ)\), \(\angle K = 30^\circ\),

\(\Delta ABK\) \((\angle K = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\) (за властивістю кутів ромба \(\angle A + \angle B = 180^\circ\))

\begin{gather*} AB = \frac{BK}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ASD = \Delta CSD\) (за трьома сторонами: \(AD = DC\) – сторони ромба, \(SD\) – спільна, \(SA = SC\) як рівні похилі).

\(\Delta SBA = \Delta SBC\) (за трьома сторонами),

Відповідь: \(96.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, користуватися графічним методом розв'язування і дослідженням рівнянь.

Розв'яжемо графічно. \begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} - 2x = a,\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} = 2x + a. \end{gather*}

Умова задачі зводиться до знаходження найбільшого значення параметра \(a\), при якому графіки функцій \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}\) та \(y = 2x + a\) мають одну спільну точку. Побудуємо графіки даних функцій

\(y = 2x + a\) лінійна функція, пряма буде переміщатися на \(a\) одиниць вздовж осі \(y.\)

При \(a \lt 0\) пряма \(y = 2x + a\) може мати спільні точки тільки з одною гілкою параболи \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Щоб така точка була одна, необхідно прямій \(y = 2x + a\) бути дотичною до графіка функції \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Отже, знайдемо рівняння дотичної:

\((y = 2x + a\) – рівняння дотичної \(k = y'(x_0) = 2).\)

\(x_0\) – точка дотику.

За формулою рівняння дотичної до графіка функції в точці \(x_0\), маємо:

Отже, \(y = 2x + a = 2x - 1\dfrac{5}{8}\),

\(a = -1\dfrac{5}{8} = -1{,}625.\)

Відповідь: \(-1{,}625.\)