ЗНО онлайн 2013 року з математики – 2 сесія

Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість електроенергії (у кВт · год, спожитої певною сім'єю в кожному місяці \(2012\) року. Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.

I.   У грудні порівняно з липнем спожито електроенергії більше, ніж у \(2\) рази.

II.  За всі літні місяці спожито електроенергії на \(150\) кВт · год менше, ніж за всі весняні місяці.

III. Середньомісячне споживання електроенергії за рік є більшим за \(120\) кВт · год.

Остача від ділення натурального числа \(k\) на \(5\) дорівнює \(2.\) Укажіть остачу від ділення на \(5\) числа \(k+21.\)

У геометричній прогресії \((b_n)\) задано \(b_3=0{,}2\); \(b_4=\dfrac 34.\) Знайдіть знаменник цієї прогресії.

На рисунку зображено графік неперервної функції \(y=f(x)\), визначеної на відрізку \([-3; 7].\) Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку \([-3; 7]\)?

Які з наведених тверджень є правильними?

I.   Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.

II.  Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

III. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.

Розв'яжіть рівняння \(2x(x+2)=5(x+2).\)

Розв'яжіть нерівність \(\dfrac{1}{x-5}\lt 0.\)

Якщо \(x+2y-6z=-1\) i \(-y+3z=5\), то \(x=\)

На рисунку зображено графік функції \(y=x^2-2x.\) Укажіть графік функції \(y=|x^2-2x|.\)

\(\dfrac{\lg 25}{\lg 5}=\)

Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює \(3\) см, а периметр її бічної грані – \(22\) см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

Знайдіть значення виразу \(\dfrac 1b-\dfrac 1a\), якщо \(\dfrac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab}=\sqrt{12}.\)

У трикутнику \(ABC\) задано \(AC=2\) см, \(\angle A=50^\circ\), \(\angle B=70^\circ\) (див. рисунок). Визначте \(BC\) (у см) за теоремою синусів.

На координатній площині \(xy\) зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки \(K(8; 6)\) i \(M(x; y)\) належать цьому колу. Визначте координати точки \(M.\)

У трикутнику \(ABC\) точка \(M\) – середина сторони \(BC\), \(AC=24\) см (див. рисунок). Знайдіть відстань \(d\) від точки \(M\) до сторони \(AC\), якщо площа трикутника \(ABC\) дорівнює \(96\) см\(^2.\)

Спростіть вираз \(\sin^2 \alpha(1-\mathrm{ctg}^2\ \alpha).\)

Знайдіть похідну функції \(y=e^{-2x}.\)

Розв'яжіть нерівність \(\log_{0{,}4}x\ge \log_{0{,}4}2.\)

Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює \(9\) см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює \(12\) см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

З пунктів \(A\) i \(B\) одночасно по шосе назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Вони їхали без зупинок зі сталими швидкостями: перший – зі швидкістю \(x\) км/год, другий – зі швидкістю \(y\) км/год \((x\gt y).\) Через \(t\) годин \((t\gt 1)\) вони зустрілися в точці \(C\) і, не зупиняючись, продовжили рух без зміни напрямків. До кожного запитання (1–4) доберіть правильну відповідь (А – Д).

Установіть відповідність між твердженням (1–4) та функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

У прямокутній системі координат на площині дано вектори \(\overrightarrow{a}\ (3; 4)\) i \(\overrightarrow{b}\ (-2; 2).\) До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Установіть відповідність між тілом обертання (1–4) та формулою (А – Д) для обчислення його об'єму \(V.\)

У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну з них платять на \(40\ \%\) менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола заплатив \(200\) гривень. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку?

Розв'яжіть рівняння \(3^x\cdot 4^x=(12^{x+1})^5\).

Знайдіть значення виразу \(|y-2x|\), якщо \(4x^2-4xy+y^2=\dfrac 94.\)

Знайдіть найбільше значення функції \(y=\dfrac{(1-2\cos x)^4}{2}.\)

У прямокутний трикутник \(ABC\) вписано коло, яке дотикається катетів \(AC\) та \(BC\) у точках \(K\) i \(M\) відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника \(ABC\) (у см), якщо \(AK=4{,}5\) см, \(MB=6\) см.

Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції \(y=\dfrac{22}{3}-(x+1)^2\) і прямими \(y=\dfrac x3\), \(x=-1\) та \(x=1.\)

У фестивалі беруть участь \(25\) гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від \(1\) до \(25.\) Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним.

Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює \(120^\circ.\) Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом \(30^\circ.\) Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см\(^2\)), якщо її висота дорівнює \(4\) см.

При якому найбільшому від'ємному значенні параметра \(a\) рівняння \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x|-1}-2x=a\) має один корінь?