ЗНО онлайн 2008 року з математики – основна сесія

Визначте кількість усіх дробів із знаменником \(28\), які більші за \(\dfrac{4}{7}\), але менші від \(\dfrac{3}{4}\).

Під час закладання нового парку \(25\ \%\) його площі відвели під посадку кленів, \(50\ \%\) площі, що залишилася, – під посадку дубів, а решту площі – під газони. Вкажіть, на якій із діаграм правильно показано розподіл посадок:

Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{x^2+64}{x-5} \gt 0\).

Якщо \(F=\dfrac{GMm}{R^2}\) і \(R \gt 0\), то \(R=\)

В уривку художнього твору \(47\) слів мають різну кількість букв. Укажіть моду (мода – це те значення випадкової величини, яке зустрічається найчастіше) даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігона частот.

Укажіть правильну нерівність, якщо \(a=5\sqrt2\), \(b=7\), \(c=\sqrt{51}\).

Обчисліть \(\cos^4\dfrac{\pi}{12}-\sin^4\dfrac{\pi}{12}\).

Укажіть найменший додатний період функції \(y=2\operatorname{ctg}(3x)\).

На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції \(y=f(x)\). Укажіть функцію \(f(x)\).

Розв’яжіть рівняння \(\sin x-\sqrt 3\cos x=0\).

Обчисліть \(\log_a\sqrt{ab}\), якщо \(\log_a b=7\).

Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}5}5 \lt \log_{0{,}5}x\).

Укажіть корінь рівняння \(|x^2-6x|=9\), який належить проміжку \((-2;1]\).

Розв’яжіть рівняння: \(3^{\textstyle x}=\dfrac{2\sqrt3}{6}\).

Укажіть область значень функції \(y=\sqrt{x^2+9}-6\).

На рисунку зображено графіки функцій

\(g(x)=\sqrt{4-x}\) і \(f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{x+8}\).

Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність \(f(x)\le g(x)\).

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

Знайдіть значення виразу \(\dfrac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}\), якщо \(a=2{,}5\).

Тіло рухається прямолінійно за законом \(s(t)=\frac{2}{3}t^3-2t^2+4t\) (час \(t\) вимірюється в секундах, шлях \(s\) – в метрах). Визначте прискорення його руху в момент \(t = 10\) c.

У трикутнику \(ABC\ \angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ\). Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці \(O\). Визначте величину кута \(AOB\).

Сторони трикутника, одна з яких на \(8\) см більша за другу, утворюють кут \(120^\circ\), а довжина третьої сторони дорівнює \(28\) см. Знайдіть периметр трикутника.

На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – \(3\) см і \(6\) см. Визначте об’єм цього тіла.

У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

Обчисліть \(2\sqrt{13}\cos(\operatorname{arctg}\dfrac{2}{3})\).

Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої \(b_n=5\cdot3^{-n}\).

Розв’яжіть рівняння \(x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0\). Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить \(0{,}25\), а в другому – \(0{,}4\). На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою \(50\) кілограмів, концентрація солі в якому – \(0{,}34\).

У коробці є \(80\) цукерок, з яких \(44\) – з чорного шоколаду, а решта – з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.

Використовуючи графік рівняння \(|y|=1-|x-12|\) (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких система

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gather*}

має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.

Визначте кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}+\vec{c}\) у градусах, якщо відомо, що \(\vec{a}(2;2)\), \(\vec{b}(2;4)\) і \(\vec{c}(-2;-6)\).

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

У правильній трикутній піраміді \(SABC\) з основою \(ABC\) бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки \(K\) і \(L\) є серединами ребер \(AC\) і \(BC\) відповідно. Через пряму \(KL\), паралельно до ребра \(SC\), проведено площину \(\alpha\). Знайдіть кут \(\varphi\) між площиною \(\alpha\) і площиною \((ABC)\).

Розв’яжіть систему нерівностей

\(\begin{cases}\dfrac{(x+3)(x-2)}{x^2-1}\le 1, \\[0,5ex] 4^\sqrt{9-x^2}\le 0{,}25^{x-3}.\end{cases}\)

Задано функцію \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2\).

1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
2. Побудуйте ескіз графіка функції \(f(x)\).
3. Знайдіть кількість коренів рівняння \(f(x)=a\), де \(a\in R\), залежно від значення параметра \(a\).