ЗНО онлайн 2008 року з математики – основна сесія

Тестові завдання основної сесії ЗНО 2008 року з математики

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 36

Знайдіть натуральне, одноцифрове число \(N\), якщо відомо, що сума \(510+N\) ділиться на \(9\) без остачі.

А\(1\)

Б\(3\)

В\(5\)

Г\(6\)

Д\(9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознаки подільності на \(9.\)

Число \(510 + N\) ділиться на \(9\) без остачі, якщо сума цифр ділиться на \(9\) без остачі.

Отже, \(N = 3.\)

\begin{gather*} 510 + N = 510 + 3 = 513;\\[7pt] 5 + 1 + 3 = 9. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14306

Завдання 2 з 36

Визначте кількість усіх дробів із знаменником \(28\), які більші за \(\dfrac{4}{7}\), але менші від \(\dfrac{3}{4}\).

Ашість

Бчотири

Втри

Гдва

Додин

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, порівнювати числа, зводити до спільного знаменника звичайні дроби.

\begin{gather*} \frac 47\lt x\lt \frac 34;\\[6pt] \frac{16}{28}\lt x\lt \frac{21}{28};\\[6pt] x = \frac{17}{28};\ \frac{18}{28};\ \frac{19}{28};\ \frac{20}{28}. \end{gather*}

Отже, кількість таких дробів – \(4.\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14307

Завдання 3 з 36

Під час закладання нового парку \(25\ \%\) його площі відвели під посадку кленів, \(50\ \%\) площі, що залишилася, – під посадку дубів, а решту площі – під газони. Вкажіть, на якій із діаграм правильно показано розподіл посадок:

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

Клени посадили на \(25\ \%\) площі парку. На \(50\ \%\) площі, що залишилась, посадили дуби та газони на рівних за площею ділянках.

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14308

Завдання 4 з 36

Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{x^2+64}{x-5} \gt 0\).

А\((-\infty;5)\cup(8;+\infty)\)

Б\((-\infty;5)\cup(5;+\infty)\)

В\((5;8)\)

Г\((5;+\infty)\)

Д\((-\infty;5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \frac{x^2 + 64}{x - 5}\gt 0;\\[6pt] x^2 + 64\gt 0 \end{gather*}

при будь-яких значеннях \(x.\)

Отже, дріб \(\dfrac{x^2 + 64}{x - 5}\gt 0\) за умови

\begin{gather*} x - 5\gt 0;\\[7pt] x\gt 5;\\[7pt] x \in (5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14309

Завдання 5 з 36

Якщо \(F=\dfrac{GMm}{R^2}\) і \(R \gt 0\), то \(R=\)

А\(\sqrt{FGMm}\)

Б\(\sqrt{\frac{Mm}{GF}}\)

В\(\sqrt{\frac{GF}{Mm}}\)

Г\(\sqrt{\frac{F}{GMm}}\)

Д\(\sqrt{\frac{GMm}{F}}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} F = \frac{GMm}{R^2};\\[6pt] R\gt 0.\\[6pt] FR^2 = GMm;\\[6pt] R^2 = \frac{GMm}{F};\\[6pt] R = \sqrt{\frac{GMm}{F}}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14310

Завдання 6 з 36

В уривку художнього твору \(47\) слів мають різну кількість букв. Укажіть моду (мода – це те значення випадкової величини, яке зустрічається найчастіше) даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігона частот.

А\(2\)

Б\(4\)

В\(5\)

Г\(8\)

Д\(10\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді графіка, знаходити моду вибірки.

Найчастіше в уривку художнього твору зустрічаються слова, в яких \(5\) букв.

Таких слів – \(10.\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14311

Завдання 7 з 36

Укажіть правильну нерівність, якщо \(a=5\sqrt2\), \(b=7\), \(c=\sqrt{51}\).

А\(b \lt a \lt c\)

Б\(a \lt b \lt c\)

В\(c \lt a \lt b\)

Г\(a \lt c \lt b\)

Д\(b \lt c \lt a\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення виразів з коренями, порівнювати ірраціональні числа.

Для того, щоб порівняти числа, внесемо множник під знак кореня:

\begin{gather*} a = 5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50};\\[7pt] b = 7 = \sqrt{49};\\[7pt] c = \sqrt{51}. \end{gather*}

Отже, \(\sqrt{49}\lt \sqrt{50}\lt \sqrt{51}\). Тому \(b\lt a\lt c.\)

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14312

Завдання 8 з 36

Обчисліть \(\cos^4\dfrac{\pi}{12}-\sin^4\dfrac{\pi}{12}\).

А\(1\)

Б\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

В\(\dfrac{1}{2}\)

Г\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння, що містять тригонометричні вирази.

Спростимо за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} \cos^4 \frac{\pi}{12} - \sin^4 \frac{\pi}{12} =\left(\cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12}\right) \left(\cos^2 \frac{\pi}{12} + \sin^2 \frac{\pi}{12}\right) =\\[6pt] = \left(\cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12}\right) \cdot 1 = \cos 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14313

Завдання 9 з 36

Укажіть найменший додатний період функції \(y=2\operatorname{ctg}(3x)\).

А\(2\pi\)

Б\(\pi\)

В\(\dfrac{\pi}{3}\)

Г\(\dfrac{2\pi}{3}\)

Д\(\dfrac{\pi}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Властивості тригонометричних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити період функції.

\(T_1 = \dfrac Tk\), де \(T\) – головний період функції \(y = \mathrm{ctg}\ x\ (T = \pi)\), \(k\) – коефіцієнт змінної \(x\ (k = 3).\)

\(T_1 = \dfrac{\pi}{3}.\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14314

Завдання 10 з 36

На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції \(y=f(x)\). Укажіть функцію \(f(x)\).

А\(f(x)=-x\)

Б\(f(x)=\sqrt x\)

В\(f(x)=\log_2 x\)

Г\(f(x)=x^3\)

Д\(f(x)=3^{-x}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей та графіків функцій.

а) \(f(x) = -x\) графік – бісектриса I та III координатній чверті.

б) \(f(x) = \sqrt{x}\) – графік лежить в першій чверті.

в) \(f(x) = \log_2 x\) – графік лежить в I та IV чверті.

г) \(f(x) = x^3\) – графік лежить в I та III координатній чверті.

д) \(f(x) = 3^{-x}\) – графік в I та II чверті.

Отже, в II координатній чверті лежить тільки графік показникової функції \(f(x) = 3^{-x}.\) \(f(-1) = 3.\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14315

Завдання 11 з 36

Розв’яжіть рівняння \(\sin x-\sqrt 3\cos x=0\).

А\(-\dfrac{\pi}{6}+\pi n\), \(n\in Z\)

Б\(-\dfrac{\pi}{3}+\pi n\), \(n\in Z\)

В\(\dfrac{\pi}{6}+\pi n\), \(n\in Z\)

Г\(\dfrac{\pi}{3}+\pi n\), \(n\in Z\)

Д\(\dfrac{\pi}{2}+\pi n\), \(n\in Z\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні нерівності.

Рівняння однорідне I степені. Поділимо обидві частини рівняння на \(\cos x \ne 0.\)

\begin{gather*} \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0\ | : \cos x \ne 0;\\[7pt] \mathrm{tg}\ x - \sqrt{3} = 0;\\[7pt] \mathrm{tg}\ x = \sqrt{3};\\[7pt] x = \mathrm{arctg}\ \sqrt{3} + \pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14316

Завдання 12 з 36

Обчисліть \(\log_a\sqrt{ab}\), якщо \(\log_a b=7\).

А\(\dfrac{2}{3}\)

Б\(2\)

В\(3\)

Г\(\dfrac{7}{2}\)

Д\(4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

За властивістю логарифма

\begin{gather*} \log_a a = 1;\\[7pt] \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c;\\[7pt] \log_a b^n = n \log_a b. \end{gather*}

Cпростимо вираз:

\begin{gather*} \log_a \sqrt{ab} = \log_a \sqrt{a} + \log_a \sqrt{b}= \log_a a^{\textstyle \frac 12} + \log_a b^{\textstyle \frac 12}=\\[6pt] =\frac 12\log_a a + \frac 12\log_a b=\frac 12\cdot 1 + \frac 12\cdot 7=\frac 12 + \frac 72=\frac 82 = 4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14317

Завдання 13 з 36

Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

А\(28\)

Б\(56\)

В\(70\)

Г\(112\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Правильний дріб – це дріб, у якого чисельник менше знаменника.

Зі знаменником \(9\) правильні дроби мають чисельники: \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) (\(7\) дробів).

Зі знаменником \(8\) – \(6\) дробів, зі знаменником \(7\) – \(5\) дробів, з \(6\) у знаменнику – \(4\) дроби, з \(5\) – \(3\) дроби, з \(4\) – \(2\) дроби, з \(3\) – \(1\) дріб.

Отже, кількість правильних дробів

\begin{gather*} 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14318

Завдання 14 з 36

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}5}5 \lt \log_{0{,}5}x\).

А\((-5;0)\)

Б\((0;5)\)

В\((5;+\infty)\)

Г\((0{,}5;5)\)

Д\((-\infty;5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція \(y = \log_{0{,}5} x\) спадна. Область визначення функції – \(x \in (0; +\infty).\)

\begin{gather*} \begin{cases} 5\gt x, \\ x\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x\lt 5, \\ x\gt 0. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (0; 5). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14319

Завдання 15 з 36

Укажіть корінь рівняння \(|x^2-6x|=9\), який належить проміжку \((-2;1]\).

А\(3-3\sqrt 2\)

Б\(3-\sqrt 2\)

В\(1\)

Г\(2\)

Д\(4-2\sqrt 2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні нерівності з модулем.

\begin{gather*} \begin{cases} x^2 - 6x = 9, \\ x^2 - 6x = -9, \end{cases} \ \ \begin{cases} x^2 - 6x - 9 = 0, \\ x^2 - 6x + 9 = 0. \end{cases} \end{gather*}

1) \(x^2 - 6x - 9 = 0\)

\begin{gather*} D = 36 - 4 \cdot (-9) = 72;\\[6pt] x_1 = \frac{6 + \sqrt{72}}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2};\\[6pt] x_2 = 3 - 3\sqrt{2}. \end{gather*}

2) \(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\begin{gather*} (x - 3)^2 = 0;\\[7pt] x_3 = 3. \end{gather*}

Корінь, який належить проміжку \((-2; 1]\ x = 3 - 3\sqrt{2}.\)

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14320

Завдання 16 з 36

Розв’яжіть рівняння: \(3^{\textstyle x}=\dfrac{2\sqrt3}{6}\).

Арівняння не має коренів

Б\(x=-1\)

В\(x=-0{,}5\)

Г\(x=0{,}5\)

Д\(x=1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x = \frac{2\sqrt{3}}{6};\\[7pt] 3^x = \frac{\sqrt{3}}{3};\\[7pt] 3^x = 3^{{\textstyle \frac 12}-1};\\[7pt] 3^x = 3^{\textstyle -\frac 12};\\[7pt] x = -0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14321

Завдання 17 з 36

Укажіть область значень функції \(y=\sqrt{x^2+9}-6\).

А\([9;+\infty)\)

Б\([0;+\infty)\)

В\([3;+\infty)\)

Г\([-3;+\infty)\)

Д\((-\infty;+\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функції.

\begin{gather*} x^2 + 9 \ge 9;\\[7pt] \sqrt{x^2 + 9} \ge 3;\\[7pt] \sqrt{x^2 + 9} - 6 \ge -3. \end{gather*}

Отже, \(E(y) = [-3; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14322

Завдання 18 з 36

На рисунку зображено графіки функцій

\(g(x)=\sqrt{4-x}\) і \(f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{x+8}\).

Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність \(f(x)\le g(x)\).

А\((-\infty;0]\)

Б\([-8;+\infty)\)

В\([0;+\infty)\)

Г\([0;4]\)

Д\([-8;0]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій, розв’язувати нерівності графічно.

Проміжок, на якому \(f(x) \le g(x)\), графічно – це проміжок, на якому графік функції \(f(x)\) лежить нижче графіка \(g(x).\)

Отже, \(x \in [-8; 0).\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14323

Завдання 19 з 36

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А\(\int\limits^{1}_{-1}f(x)dx\)

Б\(\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx-\int\limits^{1}_{0}f(x)dx\)

В\(\int\limits^{1}_{0}f(x)dx-\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx\)

Г\(2\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx\)

Д\(2\int\limits^{1}_{0}f(x)dx\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} S = S_1 + S_2.\\[6pt] S = \mathop{\int}\limits_{-1}^{0} f(x)\ dx + \mathop{\int}\limits_{0}^{1} -f(x)\ dx= \mathop{\int}\limits_{-1}^{0} f(x)\ dx - \mathop{\int}\limits_{0}^{1} f(x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14324

Завдання 20 з 36

Знайдіть значення виразу \(\dfrac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}\), якщо \(a=2{,}5\).

А\(-1\)

Б\(-0{,}5\)

В\(0\)

Г\(0{,}5\)

Д\(1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} \frac{\sqrt{9 + a^2 - 6a}}{a - 3} = \frac{\sqrt{(a - 3)^2}}{a - 3}= \frac{|a - 3|}{a - 3}. \end{gather*}

При \(a = 2{,}5\)

\begin{gather*} |a - 3| = 3 - a. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \frac{|a - 3|}{a - 3} = \frac{-(a - 3)}{a - 3} = -1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14325

Завдання 21 з 36

Тіло рухається прямолінійно за законом \(s(t)=\frac{2}{3}t^3-2t^2+4t\) (час \(t\) вимірюється в секундах, шлях \(s\) – в метрах). Визначте прискорення його руху в момент \(t = 10\) c.

А\(164\) м/с\(^2\)

Б\(60\) м/с\(^2\)

В\(36\) м/с\(^2\)

Г\(20\) м/с\(^2\)

Д\(10\) м/с\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати механічний зміст похідної функції.

\begin{gather*} S(t) = \frac 23t^3 - 2t^2 + 4t.\\[6pt] V(t) = S'(t) = \frac 23 \cdot 3t^2 - 2 \cdot 2t + 4 = 2t^2 - 4t + 4.\\[6pt] a(t) = v'(t) = 4t - 4. \end{gather*}

Прискорення руху тіла – це друга похідна від рівняння шляху.

\begin{gather*} a(10) = 4 \cdot 10 - 4 = 40 - 4 = 36\ \text{м/с}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14326

Завдання 22 з 36

У трикутнику \(ABC\ \angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ\). Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці \(O\). Визначте величину кута \(AOB\).

А\(98^\circ\)

Б\(121^\circ\)

В\(144^\circ\)

Г\(149^\circ\)

Д\(154^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів многокутника.

\(\angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ.\)

\begin{gather*} \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (59^\circ + 62^\circ) = 59^\circ \end{gather*}

(сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)).

\(MOPC\) – чотирикутник. Сума кутів чотирикутника – \(360^\circ.\) \(\angle P + \angle M = 180^\circ\), отже, \(\angle O + \angle C = 180^\circ.\)

\begin{gather*} \angle O = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ. \end{gather*}

\(\angle AOB = \angle POM = 121^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14327

Завдання 23 з 36

Сторони трикутника, одна з яких на \(8\) см більша за другу, утворюють кут \(120^\circ\), а довжина третьої сторони дорівнює \(28\) см. Знайдіть периметр трикутника.

А\(84\) см

Б\(72\) см

В\(64\) см

Г\(60\) см

Д\(56\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів.

Нехай \(AB = x\) см, \(BC = (x + 8)\) см, \(AC = 28\) см. \(\angle B = 120^\circ.\)

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B;\\[6pt] 784 = x^2 + (x + 8)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 8) \cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] x^2 + x^2 + 16x + 64 + x(x + 8) = 784;\\[7pt] 3x^2 + 24x - 720 = 0;\\[7pt] x^2 + 8x - 240 = 0;\\[7pt] x = 12;\\[7pt] x = -20\ \text{(не задовольняє умові задачі).}\\[7pt] P = AB + BC + AC = 12 + 20 + 28 = 60\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14328

Завдання 24 з 36

На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – \(3\) см і \(6\) см. Визначте об’єм цього тіла.

А\(108\) см\(^3\)

Б\(54\) см\(^3\)

В\(144\) см\(^3\)

Г\(36\) см\(^3\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Основа – квадрат зі стороною \(6\) см.

\begin{gather*} V = a \cdot b \cdot c;\\[7pt] V = 6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14329

Завдання 25 з 36

У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

А\(1:\pi\)

Б\(2:\pi\)

В\(1:2\)

Г\(2:3\)

Д\(1:3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формул площ поверхонь кулі та циліндра.

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R^2 H;\\[6pt] R_\text{ц} = R_\text{к};\\[6pt] H = 2R_\text{к}. \end{gather*}

Oб’єм циліндра:

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R_\text{к}^2 \cdot 2R_\text{к} = 2\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм кулі, об’єм води, яка вилилася зі склянки:

\begin{gather*} V_\text{к} = \frac 43\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм води, що залишилася:

\begin{gather*} V_\text{ц} - V_\text{к}=2\pi R_\text{к}^3 - \frac 43\pi R_\text{к}^3 =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3}.\\[6pt] \frac{V_\text{ц}-V_\text{к}}{V_\text{к}} =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3 \cdot 4 \cdot \pi R_\text{к}^3} = \frac 12. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14330

Завдання 26 з 36

Обчисліть \(2\sqrt{13}\cos(\operatorname{arctg}\dfrac{2}{3})\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника, вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha = \frac 23;\\[6pt] \alpha = \mathrm{arctg}\ \frac 23;\\[6pt] a = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\ \text{(за теоремою Піфагора).}\\[6pt] \cos\left(\mathrm{arctg}\ \frac 23\right) = \frac{3}{\sqrt{13}};\\[6pt] 2\sqrt{13}\cos\left(\mathrm{arctg}\ \frac 23\right)= 2\sqrt{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 6. \end{gather*}

Відповідь: \(6.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14331

Завдання 27 з 36

Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої \(b_n=5\cdot3^{-n}\).

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Дано: нескінченно спадна геометрична прогресія.

\begin{gather*} b_n = 5 \cdot 3^{-n};\\[6pt] b_1 = 5 \cdot 3^{-1} = \frac 53;\\[6pt] b_2 = 5 \cdot 3^{-2} = \frac 59;\\[6pt] q = \frac{b_2}{b_1} = \frac 59 : \frac 53 = \frac 13;\\[6pt] S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac 53 : \left(1 - \frac 13\right)= \frac 53 : \frac 23 = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14332

Завдання 28 з 36

Розв’яжіть рівняння \(x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0\). Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

Впишіть відповідь:

-2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} x - 5 = \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 0;\\[7pt] \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x;\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = (5 - x)^2, \\ 5 - x \ge 0, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2, \\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 6, \\ x = -2, \end{array}\right.\\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] x = -2. \end{gather*}

Відповідь: \(-2.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14333

Завдання 29 з 36

Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить \(0{,}25\), а в другому – \(0{,}4\). На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою \(50\) кілограмів, концентрація солі в якому – \(0{,}34\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсотки, лінійні рівняння.

Нехай маса першого розчину \(x\) кг, а \((50 - x)\) кг – другого.

Маса солі у I розчині – \(0{,}25x\) кг, а у II розчині – \(0{,}4(50 - x)\) кг. Маса солі в отриманому розчині \(0{,}34 \cdot 50\) кг.

\begin{gather*} 0{,}25x + 0{,}4(50 - x) = 0{,}34 \cdot 50;\\[7pt] 0{,}25x + 20 - 0{,}4x = 17;\\[7pt] -0{,}15x = -3;\\[7pt] x = 20. \end{gather*}

Отже, I розчину взяли \(20\) кг, II розчину – \(30\) кг. Одного розчину треба взяти на \(30 - 20 = 10\) кг більше.

Відповідь: \(10.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14334

Завдання 30 з 36

У коробці є \(80\) цукерок, з яких \(44\) – з чорного шоколаду, а решта – з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.

Впишіть відповідь:

0.45

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Цукерки
з чорного шоколаду – \(44\);
з білого шоколаду – \(36.\)
Усього \(80\) цукерок.

\(A\) – ймовірність того, що навмання взята цукерка буде з білого шоколаду.

\begin{gather*} P(A)=\frac{36}{80}=\frac{9}{20}=0{,}45. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}45.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14335

Завдання 31 з 36

Використовуючи графік рівняння \(|y|=1-|x-12|\) (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких система

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gather*}

має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння та їхні системи, зокрема графічно.

Система має єдиний розв'язок за умови однієї спільної точки графіка рівняння \begin{gather*} |x-12|+|y|=1 \end{gather*} та кола \begin{gather*} (x-a)^2+y^2=4. \end{gather*}

Центр кола \((a; 0).\) Радіус кола – \(2.\)

На рисунку зображено можливі чотири варіанти розташування кола відносно графіку рівняння.

\(a=9\); \(11\); \(13\); \(15.\)

Сума значень параметра \(a{:}\)

\begin{gather*} 9+11+13+15=48. \end{gather*}

Відповідь: \(48.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14336

Завдання 32 з 36

Визначте кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}+\vec{c}\) у градусах, якщо відомо, що \(\vec{a}(2;2)\), \(\vec{b}(2;4)\) і \(\vec{c}(-2;-6)\).

Впишіть відповідь:

135

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, уміння виконувати дії з векторами, знаходити кут між векторами.

Кут між векторами знайдемо за формулою:

\begin{gather*} \cos \varphi = \frac{\vec a \cdot (\vec b + \vec c)}{|\vec a| \cdot |\vec b + \vec c|}, \end{gather*}

де \(\varphi\) – кут між векторами.

\begin{gather*} \vec a \cdot (\vec b + \vec c) = 2 \cdot (2 + (-2)) + 2 \cdot (4 + (-6))= 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = -4;\\[7pt] |\vec a| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2};\\[7pt] |\vec b + \vec c| = \sqrt{(2 + (-2))^2 + (4 + (-6))^2} = 2;\\[6pt] \cos \varphi = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}= -\frac{\sqrt{2}}{2};\\[7pt] \varphi = 135^\circ. \end{gather*}

Відповідь: \(135.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14337

Завдання 33 з 36

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Впишіть відповідь:

1.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей і формул площі поверхні конуса, уміння застосовувати властивості конуса за його розгорткою.

На рисунку зображено розгортку конуса.

\(AB = 15\), \(OB = 6.\)

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi Rl, \end{gather*}

де \(R = OB\) – радіус основи, \(l = AB\) – твірна.

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi \cdot 6 \cdot 15 = 90\pi;\\[7pt] S_\text{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi;\\[7pt] S_\text{поверхні} = S_\text{біч} + S_\text{осн}= 90\pi + 36\pi = 126\pi;\\[6pt] \frac{S_\text{поверхні}}{S_\text{біч}}= \frac{126\pi}{90\pi}= \frac{21}{15}= \frac 75=1\frac 25= 1{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(1{,}4.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14338

Завдання 34 з 36

У правильній трикутній піраміді \(SABC\) з основою \(ABC\) бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки \(K\) і \(L\) є серединами ребер \(AC\) і \(BC\) відповідно. Через пряму \(KL\), паралельно до ребра \(SC\), проведено площину \(\alpha\). Знайдіть кут \(\varphi\) між площиною \(\alpha\) і площиною \((ABC)\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників, ознак паралельності прямої та площини, кута між прямою та площиною, між площинами, уміння будувати перерізи.

\(SABC\) – правильна піраміда, \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(SO\) – висота піраміди, (точка \(O\) – центр \(\Delta ABC\)). \(AK = KC\), \(CL = LB.\)

У \(\Delta ABC\ KL\) – середня лінія

\begin{gather*} KL = \frac 12AB;\\[6pt] KL\!\parallel\!AB. \end{gather*}

У \(\Delta SBC\) через точку \(L\) проведемо пряму \(PL\!\parallel\!SC.\) У \(\Delta SKA\ KE\!\parallel\!SC.\)

\(EPLK\) – переріз піраміди площиною, паралельною \(SC.\) Доведемо це твердження:

\(SC\) не лежить у \((PLK)\); \(SC\!\parallel\!PL\) \((PL\) належить \((PLK))\) звідси, за ознакою паралельності прямої та площини \(SC\!\parallel\!(PLK).\)

\(SC\!\parallel\!(PLK)\), тому кут між \((PLK)\) і \((ABC)\) дорівнює куту між \(SC\) та \((ABC).\)

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SC\) – похила, \(CO\) – проєкція похилої.

Звідси \(\angle(SC, (ABC)) = \angle SCO.\)

Нехай \(AB = BC = CA = \alpha.\) Тоді \(SC = SB = SA = 2\alpha.\) \(CO\) – радіус описаного кола навколо \(\Delta ABC.\) \(CO = \dfrac{\alpha}{\sqrt{3}}.\)

У \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\)

\begin{gather*} \cos C = \frac{CO}{SC}= \frac{\alpha}{\sqrt{3}\cdot 2\alpha}= \frac{1}{2\sqrt{3}}.\\[6pt] \angle C = \arccos\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right). \end{gather*}

Відповідь: \(\arccos\left(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right).\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14339

Завдання 35 з 36

Розв’яжіть систему нерівностей

\(\begin{cases}\dfrac{(x+3)(x-2)}{x^2-1}\le 1, \\[0,5ex] 4^\sqrt{9-x^2}\le 0{,}25^{x-3}.\end{cases}\)

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні, показникові та раціональні нерівності та їх системи.

\begin{gather*} \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 6}{x^2 - 1} - 1 \le 0, \\ 4^{\textstyle\sqrt{9 - x^2}} \le 4^{\textstyle 3 - x}, \end{cases}\ \ \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 6 - x^2 + 1}{x^2 - 1} \le 0,\\ \sqrt{9-x^2}\le 3-x, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \dfrac{x - 5}{(x - 1)(x + 1)} \le 0,\\ \sqrt{9 - x^2} \le 3 - x, \end{cases}\ \ \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l} 9 - x^2 \le (3 - x)^2, \\ 9 - x^2 \ge 0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l} x^2 - 3x \ge 0, \\ (x - 3)(x + 3) \le 0. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Розв’яжемо методом інтервалів кожну систему нерівностей:

\begin{gather*} \begin{cases} x(x-3) \ge 0, \\ (x - 3)(x + 3) \le 0. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in [-3; 0] \cup \{3\}. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ x \in [-3; 0] \cup \{3\}. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in [-3; -1) \cup \{3\}. \end{gather*}

Відповідь: \([-3; -1) \cup \{3\}.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14340

Завдання 36 з 36

Задано функцію \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2\).

1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
2. Побудуйте ескіз графіка функції \(f(x)\).
3. Знайдіть кількість коренів рівняння \(f(x)=a\), де \(a\in R\), залежно від значення параметра \(a\).

Впишіть відповідь:

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, точок екстремуму, проміжків зростання та спадання функції, будувати ескіз графіка функції, розв’язувати графічно рівняння з параметром.

1. Знайдемо проміжки зростання та спадання, екстремуми функції.

\begin{gather*} f'(x)=12x^3-12x^2-24x.\\[7pt] f'(x)=0;\\[7pt] 12x^3-12x^2-24x=0;\\[7pt] 12x(x^2-x-2)=0;\\[7pt] 12x(x-2)(x+1)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x-2=0,\\ x+1=0, \end{array}\right.\\[7pt] \text{Критичні точки:}\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2,\\ x=-1. \end{array}\right. \end{gather*}

Знайдемо знак похідної:

\(x=-1\), \(x=2\) – точки мінімуму;
\(x=0\) – точка максимуму.

\(f(x)\) зростає при \(x\in [-1; 0]\cup [2; +\infty)\),
\(f(x)\) спадає при \(x\in (-\infty; -1)\cup [0; 2].\)

2. Побудуємо ескіз графіка:

\(D(f)= R.\)

Знайдемо нулі функції \(f(x)=0\)

\begin{gather*} f(x)=3x^4-4x^3-12x^2=0;\\[7pt] x^2(3x^2-4x-12)=0;\\[7pt] 3x^2-4x-12=0;\\[7pt] D=16-4\cdot 3\cdot (-12)=160;\\[6pt] x_1=\frac{4+4\sqrt{10}}{6}=\frac{2+2\sqrt{10}}{3};\\[6pt] x_2=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}.\\[6pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3},\\ x=\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо проміжки знакосталості функції.

\(f(x)\gt 0\) при \(x\in\left(-\infty; \dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}\right)\cup \left(\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}; +\infty\right).\)

\(f(x)\lt 0\) при \(x\in \left(\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}; 0\right)\cup \left(0; \dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}\right).\)

\begin{gather*} f(-x)=3(-x)^4-4(-x)^3-12(-x)^2=3x^4+4x^3-12x^2=\\[7pt] =-(-3x^4-4x^3+12x^2) \end{gather*}

Функція ні парна, ні непарна.

Відповідь:
при \(a\in (-\infty; -32\) немає коренів;
при \(a=-32\ \ 1\) корінь;
при \(a\in (-32; -5)\cup (0; +\infty)\ \ 2\) корені;
при \(a\in \{0; -5\}\ \ 3\) корені;
при \(a\in (-5; 0)\ \ 4\) корені;
при \(a\lt 32\) немає коренів;
при \(a=-32\ \ 1\) корінь;
при \(-32\lt a\lt -5\ \ 2\) корені;
при \(a=-5\ \ 3\) корені;
при \(-5\lt a\lt 0\ \ 4\) корені;
при \(a=0\ \ 3\) корені;
при \(a\gt 0\ \ 2\) корені.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14341

Новини

Вступ на бакалавра на контракт: додатковий набір
Розпочався додатковий набір студентів на контракт
Максимальні розміри освітніх грантів для вступників у 2026 році

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра