ЗНО онлайн 2007 року з математики – основна сесія

Тестові завдання основної сесії ЗНО 2007 року з математики

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 38

Розташуйте у порядку спадання числа \(\sqrt{5}\); \(2^{\log_2 5}\); \(\dfrac{5}{2}\).

А\(2^{\log_2 5}\); \(\dfrac{5}{2}\); \(\sqrt{5}\)

Б\(\dfrac{5}{2}\); \(\sqrt{5}\); \(2^{\log_2 5}\)

В\(\dfrac{5}{2}\); \(2^{\log_2 5}\); \(\sqrt{5}\)

Г\(\sqrt{5}\); \(\dfrac{5}{2}\); \(2^{\log_2 5}\)

Д\(2^{\log_2 5}\); \(\sqrt{5}\); \(\dfrac{5}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} \sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12};\\[6pt] 2^{\textstyle \log_2 5}=5;\\[6pt] \frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Запишемо у порядку спадання:

\begin{gather*} 5;\ \ 2{,}5;\ \ 5^{\textstyle \frac 12}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14523

Завдання 2 з 38

Банк сплачує своїм вкладникам \(8\ \text{%}\) річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати \(60\) грн прибутку.

А\(1150\)

Б\(1050\)

В\(950\)

Г\(850\)

Д\(750\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсоткові розрахунки.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

\(60\) грн прибутку – це \(8\ \%\) від грошей, що поклали на рахунок.

\begin{gather*} 60:8\cdot 100 = 750\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14524

Завдання 3 з 38

З натуральних чисел від \(1\) до \(30\) учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа \(30\)?

А\(\dfrac {1}{30}\)

Б\(\dfrac {2}{30}\)

В\(\dfrac {4}{15}\)

Г\(\dfrac {6}{15}\)

Д\(\dfrac {7}{15}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Дільниками числа \(30\) є числа:

\(1\); \(2\); \(3\); \(5\); \(6\); \(10\); \(15\); \(30\) (\(8\) чисел).

Отже, ймовірність того, що навмання назване число – дільник \(30{:}\)

\begin{gather*} P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14525

Завдання 4 з 38

Розв'яжіть нерівність \(x + \dfrac{1}{x - 3}\gt\dfrac{1}{x - 3} - 2\).

А\((-2; 3)\)

Б\((-2; +\infty)\)

В\((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\)

Г\((-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)

Д\((-2; 3) \cup (3; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -2,\\ x\ne 3, \end{cases}\\[7pt] x\in (-2; 3)\cup (3; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14526

Завдання 5 з 38

Знайдіть область визначення функції \(y = \sqrt{x + 9}\).

А\([3; +\infty)\)

Б\([9; +\infty)\)

В\([-3; +\infty)\)

Г\([-9; +\infty)\)

Д\([-9; 9]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функції, вміння знаходити область значень функції.

Область визначення функції

\begin{gather*} y=\sqrt{x+9};\\[7pt] x+9\ge 0;\\[7pt] x\ge -9. \end{gather*}

Отже, \(x\in [-9; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14527

Завдання 6 з 38

Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні \(4:1\). Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

А\(41\)

Б\(45\)

В\(54\)

Г\(68\)

Д\(81\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє ознаки подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості вікон та дверей \(4 : 1.\) Загальна кількість вікон та дверей виражається числом, кратним \(5.\) З наведених чисел це може бути число \(45.\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14528

Завдання 7 з 38

Обчисліть \(\sqrt{(2\sin 45^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\cos 45^\circ)^2}\).

А\(1\)

Б\(\dfrac {\sqrt 2}{2}\)

В\(\dfrac {1}{2}\)

Г\(\sqrt 2\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \sqrt{(2\sin 45^\circ+1)^2}-\sqrt{(1-2\cos 45^\circ)^2}=|2\sin 45^\circ+1|-|1-2\cos 45^\circ|=\\[6pt] =\left|2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1\right|-\left|1-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right|=|\sqrt{2}+1|-|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}+1+1-\sqrt{2}=2. \end{gather*}

\(\sqrt{2}+1\gt 0\), oтже, \(|\sqrt{2}+1|=\sqrt{2}+1.\)

\(1-\sqrt{2}\lt 0\), oтже, \(|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14529

Завдання 8 з 38

Розв'яжіть рівняння \(\operatorname{tg} \dfrac{x}{2} = \sqrt{3}\).

А\(\dfrac{\pi}{6}\)

Б\(\dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z\)

В\(\dfrac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z\)

Г\(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=\sqrt{3};\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ \sqrt{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] \frac x2=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\ne Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14530

Завдання 9 з 38

За видом графіка функції \(y = kx + b\) визначте знаки коефіцієнтів \(k\) і \(b\). Оберіть правильне твердження.

А\(\begin{cases} k > 0, \\ b < 0 \end{cases}\)

Б\(\begin{cases} k < 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

В\(\begin{cases} k < 0, \\ b < 0 \end{cases}\)

Г\(\begin{cases} k > 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

Д\(\begin{cases} k = 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей лінійної функції.

Пряма перетинає вісь \(Ox\) під гострим кутом, тому \(k\gt 0.\)

\(b\) – точка перетину прямої з віссю \(Oy\), \(b\gt 0.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14531

Завдання 10 з 38

Укажіть парну функцію.

А\(y = x\)

Б\(y = 2^x\)

В\(y = \operatorname{tg} x\)

Г\(y = \log_2 x\)

Д\(y = x^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, показникові, тригонометричні, логарифмічні, степеневі функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння досліджувати функції на парність.

Парна функція \(y=x^2.\)

\begin{gather*} D(y)=R;\\[7pt] y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14532

Завдання 11 з 38

Обчисліть \(\log_{\textstyle \frac{1}{25}}\sqrt5\).

А\(-\dfrac{1}{4}\)

Б\(-\dfrac{1}{2}\)

В\(-2\)

Г\(\dfrac{1}{2}\)

Д\(\dfrac{1}{4}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac{1}{25}}\sqrt{5}=\log_{\textstyle 5^{-2}} 5^{\textstyle \frac 12}=\frac 12\cdot \left(-\frac 12\right)\log_5 5=-\frac 14. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14533

Завдання 12 з 38

Розв'яжіть нерівність \(\log_{0,1}10 \lt \log_{0,1}x\).

А\((10;+\infty)\)

Б\((0;10)\)

В\((0{,}1;10)\)

Г\((-10;0)\)

Д\((-\infty;10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція \(y=\log_{0{,}1} x\) – спадна (основа логарифма менше \(1\)).

Отже, \(\begin{cases} 10\gt x,\\ x\gt 0.\end{cases}\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14534

Завдання 13 з 38

Розв'яжіть рівняння \(\sqrt[\scriptstyle{3}]{8^x}=\sqrt2\cdot\sqrt[\scriptstyle{3}]2\).

А\(\dfrac{2}{3}\)

Б\(\dfrac{1}{6}\)

В\(\dfrac{3}{2}\)

Г\(\dfrac{5}{6}\)

Д\(\dfrac{2}{5}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи обидві частини рівняння:

\begin{gather*} 2^{\textstyle \frac{3x}{3}}=2^{\textstyle \frac 12}\cdot 2^{\textstyle \frac 13};\\[6pt] 2^{x}=2^{\textstyle \frac 12\!+\!\frac 13};\\[6pt] 2^{x}=2^{\textstyle \frac 56};\\[6pt] x=\frac 56. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14535

Завдання 14 з 38

Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння \(x^3-4|x|=0\).

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати степеневі рівняння.

За властивістю модуля числа:

1) при \(x\gt 0\)

\begin{gather*} x^3-4x=0;\\[7pt] x(x-2)(x+2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2,\\ x=-2\ \text{не належить}\ [0; +\infty). \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння має два корені.

2) при \(x\lt 0\)

\begin{gather*} x^3+4x=0;\\[7pt] x(x^2+4)=0. \end{gather*}

\(x=0\) не належить \((-\infty; 0).\)

Рівняння не має коренів.

Отже, при всіх значеннях \(x\) рівняння має \(2\) корені.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14536

Завдання 15 з 38

Знайдіть первісну функції \(f(x)=2x+2\), графік якої проходить через точку з координатами \((1;4)\).

А\(F(x)=x^2+2x\)

Б\(F(x)=x^2+2x+1\)

В\(F(x)=x^2+2x+2\)

Г\(F(x)=x^2+2x-4\)

Д\(F(x)=x^2+2x-23\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну функції, яка проходить через дану точку.

Загальний вигляд первісної функції

\begin{gather*} F(x)=\frac{2x^2}{2}+2x+C=x^2+2x+C. \end{gather*}

Первісна, графік якої проходить через точку \((1; 4)\)

\begin{gather*} 4=1^2+2\cdot 1+C;\\[7pt] 4=3+C;\\[7pt] C=1. \end{gather*}

Отже, \(F(x)=x^2+2x+1.\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14537

Завдання 16 з 38

На рисунку зображений графік функції \(y=f(x)\) та дотичні до нього в точках \(x_1\) та \(x_2\). Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть \(f'x_1+f'x_2\).

А\(1\)

Б\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)

В\(\sqrt3\)

Г\(\dfrac{1}{2}\)

Д\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Геометричний зміст похідної:

\begin{gather*} f'(x_0)=k=\mathrm{tg}\ \alpha, \end{gather*}

де \(\alpha\) – кут нахилу дотичної до графіка функції в точці \(x_0\) до додатного напряму осі абсцис.

\begin{gather*} f'(x_1)=\mathrm{tg}\ 45^\circ=1;\\[7pt] f'(x_2)=\mathrm{tg}\ 0^\circ=0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} f'(x_1)+f'(x_2)=1+0=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14538

Завдання 17 з 38

Градусна міра зовнішнього кута \(A\) рівнобедреного трикутника \(ABC\) \((AB=BC)\) становить \(125^\circ\). Знайдіть градусну міру внутрішнього кута \(B\).

А\(30^\circ\)

Б\(40^\circ\)

В\(50^\circ\)

Г\(60^\circ\)

Д\(70^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника та зовнішнього кута трикутника.

\(\angle DAB=125^\circ.\)

\begin{gather*} \angle BAC=\angle BCA=180^\circ-125^\circ=55^\circ. \end{gather*}

Сума кутів трикутника

\begin{gather*} \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ;\\[7pt] \angle B=180^\circ-2\cdot 55^\circ=70^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14539

Завдання 18 з 38

Точка \(M\) – середина сторони квадрата \(ABCD\). Площа зафарбованої частини дорівнює \(7\) см\(^2\). Знайдіть площу всього квадрата.

А\(14\) см\(^2\)

Б\(21\) см\(^2\)

В\(28\) см\(^2\)

Г\(35\) см\(^2\)

Д\(42\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання поняття площі, формул площі трикутника та квадрата.

\(S_{ABM}=7\) см\(^2.\)

Нехай \(AB=a\), тоді \(BM=\dfrac 12 BC=\dfrac a2.\)

\begin{gather*} S_{ABM}=\frac 12\cdot AB\cdot BM;\\[6pt] \frac 12\cdot a\cdot \frac a2=7;\\[6pt] a^2=28\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{ABCD}=a^2=28\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14540

Завдання 19 з 38

Знайдіть координати точки \(M\), відносно якої симетричні точки \(E(-3;8;7)\) і \(F(-9;6;1)\).

А\((-6;7;4)\)

Б\((-12;14;8)\)

В\((0;0;0)\)

Г\((3;1;3)\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання властивостей симетричних фігур, формули координат середини відрізка.

Якщо точки \(F\) та \(E\) симетричні відносно точки \(M\), то \(EM=MF.\)

За формулою координати середини відрізка знайдемо координати точки \(M{:}\)

\begin{gather*} x_M=\frac{-3+(-9)}{2}=\frac{-12}{2}=-6;\\[6pt] y_M=\frac{8+6}{2}=7;\\[6pt] z_M=\frac{7+1}{2}=4.\\[6pt] M(-6; 7; 4). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14541

Завдання 20 з 38

Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює \(a\) см.

А\(\dfrac{4}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

Б\(\dfrac{2}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

В\(\dfrac{1}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

Г\(\dfrac{1}{6}\pi a^3\) см\(^3\)

Д\(\dfrac{1}{12}\pi a^3\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

При обертанні круга навколо діаметра, довжина якого \(a\), утвориться куля.

За формулою об'єму кулі

\begin{gather*} V=\frac 43\pi R^3, \end{gather*}

де \(R\) – радіус кулі, знаходимо

\begin{gather*} R=\frac a2;\\[6pt] V=\frac 43\pi\left(\frac a2\right)^3=\frac 43\pi\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}=\frac 16\pi a^3\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14542

Завдання 21 з 38

Обчисліть \((\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}+\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})(\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}-\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})\).

Впишіть відповідь:

-5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} (\sqrt[\scriptstyle 6]{27}+\sqrt[\scriptstyle 4]{64})(\sqrt[\scriptstyle 6]{27}-\sqrt[\scriptstyle 4]{64})=(\sqrt[\scriptstyle 6]{27})^2-(\sqrt[\scriptstyle 4]{64})^2=\\[7pt] =\sqrt[\scriptstyle 6]{3^6}-\sqrt[\scriptstyle 4]{2^{12}}=3-2^3=3-8=-5. \end{gather*}

Відповідь: \(-5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14543

Завдання 22 з 38

Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Непарні натуральні числа складають арифметичну прогресію: \(a_1=1\), \(d=2.\)

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

знаходимо

\begin{gather*} S_{12}=\frac{2\cdot 1+2(12-1)}{2}\cdot 12=\frac{2+22}{2}\cdot 12=12\cdot 12=144. \end{gather*}

Відповідь: \(144.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14544

Завдання 23 з 38

Укажіть найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності

\(\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9} \lt 0\).

Впишіть відповідь:

-8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладемо \((x^2+8x-9)\) на множники: \begin{gather*} x^2+8x-9=(x-1)(x+9);\\[7pt] \begin{cases} (x-3)(x+10)\lt 0,\\ x\ne 1,\\ x\ne -9. \end{cases} \end{gather*}

Найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14545

Завдання 24 з 38

На перегоні, довжина якого дорівнює \(240\) км, поїзд рухався зі швидкістю на \(10\) км/год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на \(48\) хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? (Відповідь в км/год).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на рух.

Нехай швидкість поїзда за розкладом \(x\) км/год, тоді швидкість на перегоні була \((x-10)\) км/год.

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За розкладом	\(x\)	\(\dfrac{240}{x}\)	\(240\)
Фактично	\(x-10\)	\(\dfrac{240}{x-10}\)	\(240\)

Поїзд запізнився на \(48\ \text{хв}=\dfrac{48}{60}\ \text{год}=\dfrac 45\ \text{год}.\) Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{240}{x-10}-\frac{240}{x}=\frac 45;\\[6pt] \frac{240(x-x+10)}{x(x-10)}=\frac 45;\\[6pt] \frac{2400}{x(x-10)}=\frac 45\ \big| :4;\\[6pt] \frac{600}{x(x-10)}=\frac 15;\\[6pt] \begin{cases} x(x-10)=5\cdot 600,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-10x-3000=0,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x=-50;\ x=60,\\ x\ne 0;\ x\ne 10. \end{cases} \end{gather*}

\(x=-50\) не задовольняє умові задачі.

Отже, швидкість поїзда за розкладом – \(60\) км/год.

Відповідь: \(60.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14546

Завдання 25 з 38

Обчисліть \(2\sin15^\circ\cos15^\circ\operatorname{tg}30^\circ\operatorname{ctg}30^\circ\).

Впишіть відповідь:

0.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} 2\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ\mathrm{tg}\ 30^\circ\mathrm{ctg}\ 30^\circ=\sin 30^\circ\cdot 1=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14547

Завдання 26 з 38

Розв'яжіть рівняння \((x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0\). У відповідь запишіть суму коренів.

Впишіть відповідь:

11|8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні та ірраціональні нерівності.

\begin{gather*} (x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0.\\[7pt] \begin{cases} -15+8x-x^2\ge 0,\\ \left[\begin{array}{l} x^2-9=0,\\ -15+8x-x^2=0, \end{array}\right. \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-8x+15\le 0,\\ \left[\begin{array}{l} x=\pm 3,\\ x^2-8x+15=0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] x^2-8x+15=0;\\[7pt] D=64-4\cdot 1\cdot 15=4;\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2}=5;\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2}=3. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} x\in [3; 5],\\ \left[\begin{array}{l} x_1=3,\\ x_2=5,\\ x_3=-3. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Корені рівняння \(x_1=3\) та \(x_2=5.\)

Сума коренів

\begin{gather*} x_1+x_2=3+5=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14548

Завдання 27 з 38

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases}2^{2y-x}=32, \\ \log_\frac{1}{2}(y-x)=-2.\end{cases}\)

Запишіть у відповідь добуток \(x_0 \cdot y_0\), якщо пара \((x_0,y_0)\) є розв'язком вказаної системи рівнянь.

Впишіть відповідь:

-3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та логарифмічні рівняння.

ОДЗ: \(y-x\gt 0\), \(y\gt x.\)

\begin{gather*} \begin{cases} 2^{2y-x}=2^5,\\ y-x=\left(\dfrac 12\right)^{-2}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2y-x=5,\\ \underline{y-x=4}, \end{cases}\\[0pt] y=1. \end{gather*}

Підставимо значення \(y=1\) у друге рівняння:

\begin{gather*} 1-x=4,\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

\((-3; 1)\) – розв'язок системи рівнянь.

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-3. \end{gather*}

Відповідь: \(-3.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14549

Завдання 28 з 38

Середній вік одинадцяти футболістів команди становить \(22\) роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання середнього арифметичного чисел, уміння розв'язувати текстові задачі.

Середній вік одинадцяти футболістів \(22\) роки. Отже, сумарний вік одинадцяти футболістів

\begin{gather*} 22\cdot 11=242\ \text{роки}. \end{gather*}

Після того, як одного футболіста було вилучено з поля, середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Отже, сумарний вік \(10\) футболістів:

\begin{gather*} 21\cdot 10=210\ \text{років}.\\[7pt] 242-210=32\ \text{роки} - \text{вік футболіста, який залишив поле}. \end{gather*}

Відповідь: \(32.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14550

Завдання 29 з 38

Обчисліть \(\log_34\cdot\log_45\cdot\log_57\cdot\log_781\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки чисел. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Спростимо за формулою переходу до нової основи:

\begin{gather*} \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.\\[7pt] \log_3 4\cdot \log_4 5\cdot \log_5 7\cdot \log_7 81=\\[6pt] =\log_3 4\cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_3 7}{\log_3 5}\cdot \frac{\log_3 81}{\log_3 7}=\log_3 81=4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14551

Завдання 30 з 38

Знайдіть найбільше ціле значення параметра \(a\), при якому система рівнянь

\(\begin{cases}y-x=a, \\ x^2+y^2=1\end{cases}\) має два розв'язки.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, зокрема графічно.

Розв'яжемо графічно:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} y-x=a,\\ x^2+y^2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=x+a,\\ x^2+y^2=1. \end{array}\right. \end{gather*}

\(x^2+y^2=1\) – рівняння кола, з центром в точці \((0; 0)\) та радіусом \(R=1.\)

\(y=x+a\) – пряма \(y=x\), яка переміщується вздовж осі \(Oy\) на \(a\) одиниць.

Кількість розв'язків системи – кількість точок перетину графіків.

Найбільше ціле значення параметра \(a=1\) при якому система має два розв'язки.

Відповідь: \(1.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14552

Завдання 31 з 38

Знайдіть найбільше значення функції \(y=x^3-3x^2+2\) на проміжку \([-1;1]\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку за допомогою похідної.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y'=3x^2-6x. \end{gather*}

Знайдемо критичні точки:

\begin{gather*} y'(x)=0;\\[7pt] 3x^2-6x=0;\\[7pt] 3x(x-2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2\ \notin [-1; 1]. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо значення функції в критичній точці \(x=0\) та у кінцях відрізка \([-1; 1]{:}\)

\begin{gather*} f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2;\\[7pt] f(1)=1^3-3\cdot 1+2=0;\\[7pt] f(0)=0^3-3\cdot 0+2=2.\\[7pt] \underset{[-1; 1]}{\mathrm{max}} f(x) =f(0)=2. \end{gather*}

Відповідь: \(2.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14553

Завдання 32 з 38

Знайдіть найменше ціле значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\log_8(x+2)=\log_8(2x-a)\) має корені.

Впишіть відповідь:

-3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \begin{cases} x+2=2x-a,\\ x+2\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x=2+a,\\ x\gt -2. \end{cases} \end{gather*}

Рівняння має корені, якщо корінь \(x=2+a\) належить ОДЗ \(x\gt -2.\)

Отже,

\begin{gather*} 2+a\gt -2;\\[7pt] a\gt -4. \end{gather*}

Найменше ціле значення параметра \(a\) дорівнює \(-3.\)

Відповідь: \(-3.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14554

Завдання 33 з 38

Сторона рівностороннього трикутника \(ABC\) дорівнює \(5\) см. Знайдіть скалярний добуток \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Впишіть відповідь:

12.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння знаходити скалярний добуток векторів.

\begin{gather*} AB=BC=AC=5\ \text{см}.\\[7pt] \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A. \end{gather*}

\(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=5\) (довжина вектора).

\(\Delta ABC\) рівносторонній, отже\(\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.\)

\begin{gather*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 5\cdot \cos 60^\circ=25\cdot \frac 12=12{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(12{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14555

Завдання 34 з 38

Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на \(50\) м\(^3\). Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру \(15\) м \(\times\) \(18\) м \(\times\) \(25\) м?

Впишіть відповідь:

405

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, знаходити об'єм прямокутного паралелепіпеда.

Знайдемо об'єм будинку

\begin{gather*} V=15\cdot 18\cdot 25=6750\ \text{м}^3. \end{gather*}

Кількість радіаторів, які треба замовити

\begin{gather*} 6750:50\cdot 3=405. \end{gather*}

Відповідь: \(405.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14556

Завдання 35 з 38

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(2\sqrt3\) см і нахилена під кутом \(60^\circ\) до площини основи. Знайдіть об'єм піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кути в просторі, знання властивостей правильної піраміди.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат. \(SK=2\sqrt{3}\) см – апофема.

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої.

Отже, \(\angle(SK, (ABC))=\angle SKO=60^\circ.\) \(SK=2\sqrt{3}\) см. \(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ).\)

\begin{gather*} SO=SK\sin K=2\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\ \text{см};\\[6pt] OK=SK\cdot \cos 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac 12=\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] OK=\frac 12 AD;\\[6pt] AD=2\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}=S_{ABCD}=AD^2=(2\sqrt{3})^2=12\) см\(^2\), \(H=SO=3\) см.

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot 12\cdot 3=12\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(12.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14557

Завдання 36 з 38

У правильній чотирикутній піраміді \(SABCD\) (\(S\) – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника \(SDC\), проведеною з вершини \(D\), та середньою лінією трикутника \(ASC\), що паралельна основі піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Нехай \(SABCD\) – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат \(ABCD\), і \(SO\) її висота. Позначимо сторону основи \(AB\) через \(a\), тоді бічне ребро \(SA=2a.\)

У трикутнику \(SDC\) з вершини \(D\) проведемо медіану \(DN\), \(N\) – середина ребра \(SC.\) У трикутнику \(ASC\) проведемо середню лінію, паралельну \(AC.\) Вона перетинає ребра \(SA\) та \(SC\) у точках \(M\) та \(N\) відповідно, \(AM = MS\) та \(SN = NC\) (за означенням середньої лінії). Оскільки \(AC\) лежить у площині \(ABC\) і \(MN\!\parallel\!AC\), то \(MN\!\parallel\!(ABC).\) Прямі \(MN\) та \(ND\) перетинаються в точці \(N\), тому кут \(MND\) є шуканим кутом між медіаною \(DN\) трикутника \(SDC\) і середньою лінією \(MN\) трикутника \(ASC.\) Позначимо \(\angle MND=\alpha.\)

Діагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\) дорівнює \(a\sqrt{2}\), тому середня лінія \(MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\)

Висота \(SO\) піраміди перетинає \(MN\) в точці \(L.\) Оскільки трикутники \(ASC\) і \(SMN\) є рівнобедреними, то \(AO=OC\) і \(ML=LN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.\)

З прямокутного трикутника \(SOC\)

\begin{gather*} SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{4a^2-\frac{2a^2}{4}}=a\sqrt{\frac 72}. \end{gather*}

За теоремою Фалеса

\begin{gather*} SL=LO=\frac 12SO=a\sqrt{\frac 78}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(LOD\)

\begin{gather*} LD=\sqrt{OD^2+LO^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{7a^2}{8}}=a\sqrt{\frac{11}{8}}. \end{gather*}

Трикутник \(DNM\) рівнобедрений, оскільки \(DM=DN\) як медіани рівних трикутників \(SAD\) та \(SCD.\) Медіана \(DL\) є висотою. Отже, трикутник \(DLN\) є прямокутним.

З трикутника \(DLN\) маємо:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha=\frac{LD}{LN}=\sqrt{11}.\\[7pt] \alpha=\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}. \end{gather*}

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14558

Завдання 37 з 38

Побудуйте графік функції \(y-\dfrac{\sqrt{-x}+|4-\sqrt{-x}|}{2}\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність \(−x\ge 0.\) Отже, \(D(y)=(-\infty; 0].\)

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння \(4-\sqrt{-x}=0\), звідки \(x=−16.\)

Якщо \(x\in (-\infty; −16]\), то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}-(4-\sqrt{-x})}{2}=\frac{2\sqrt{-x}-4}{2}=\sqrt{-x}-2. \end{gather*}

Якщо \(x\in (−16; 0]\), то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}+4-\sqrt{-x}}{2}=2. \end{gather*}

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14559

Завдання 38 з 38

Розв'яжіть нерівність \((x^2-2\sqrt a\cdot x+1)(2^x+\lg a) \lt 0\).

Впишіть відповідь:

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Визначимо область допустимих значень параметра \(a{:}\ a\gt 0.\)

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x^2-2x\sqrt{a}+1\gt 0,\\ 2^x+\lg a\lt 0; \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x^2-2x\sqrt{a}+1\lt 0,\\ 2^x+\lg a\gt 0. \end{cases} \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0.\)

\(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то розв’язком першої нерівності даної системи буде \(x\in R.\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\lt -\lg a\) буде \(x\in \left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\) Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд \(x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\)

2. Якщо \(a\ge 1\), то розв’язком нерівності \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0\) буде \(x\in (-\infty; \sqrt{a}- \sqrt{a-1})\cup (\sqrt{a}+\sqrt{a+1}; +\infty)\), а нерівність \(2^x\lt -\lg a\) не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, \(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо \(a\gt 1\), то розв’язком нерівності \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\lt 0\) буде \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\gt -\lg a\) буде \(x\in R.\) Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\)

3. Якщо \(a=1\), то одержимо нерівність \(x^2-2x+1\lt 0\), звідси \(x\in \varnothing.\)

Відповідь:
при \(0\lt a\lt 1\ \ x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\);
при \(a\gt 1\ \ x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1})\);
при \(a=1\ \ x\in \varnothing.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14560

Новини

Завтра завершується прийом заяв від вступників на бакалаврат
Завершуються творчі конкурси та співбесіди для вступників на контракт
Чи можна перескладати НМТ, якщо не подолав порогові бали?

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра