ЗНО онлайн 2007 року з математики – основна сесія

Тестові завдання основної сесії ЗНО 2007 року з математики

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 38

Розташуйте у порядку спадання числа \(\sqrt{5}\); \(2^{\log_2 5}\); \(\dfrac{5}{2}\).

А\(2^{\log_2 5}\); \(\dfrac{5}{2}\); \(\sqrt{5}\)

Б\(\dfrac{5}{2}\); \(\sqrt{5}\); \(2^{\log_2 5}\)

В\(\dfrac{5}{2}\); \(2^{\log_2 5}\); \(\sqrt{5}\)

Г\(\sqrt{5}\); \(\dfrac{5}{2}\); \(2^{\log_2 5}\)

Д\(2^{\log_2 5}\); \(\sqrt{5}\); \(\dfrac{5}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} \sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12};\\[6pt] 2^{\textstyle \log_2 5}=5;\\[6pt] \frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Запишемо у порядку спадання:

\begin{gather*} 5;\ \ 2{,}5;\ \ 5^{\textstyle \frac 12}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Тест 296. Запитання: 14523

Завдання 2 з 38

Банк сплачує своїм вкладникам \(8\ \text{%}\) річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати \(60\) грн прибутку.

А\(1150\)

Б\(1050\)

В\(950\)

Г\(850\)

Д\(750\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсоткові розрахунки.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

\(60\) грн прибутку – це \(8\ \%\) від грошей, що поклали на рахунок.

\begin{gather*} 60:8\cdot 100 = 750\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 296. Запитання: 14524

Завдання 3 з 38

З натуральних чисел від \(1\) до \(30\) учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа \(30\)?

А\(\dfrac {1}{30}\)

Б\(\dfrac {2}{30}\)

В\(\dfrac {4}{15}\)

Г\(\dfrac {6}{15}\)

Д\(\dfrac {7}{15}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Дільниками числа \(30\) є числа:

\(1\); \(2\); \(3\); \(5\); \(6\); \(10\); \(15\); \(30\) (\(8\) чисел).

Отже, ймовірність того, що навмання назване число – дільник \(30{:}\)

\begin{gather*} P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 296. Запитання: 14525

Завдання 4 з 38

Розв'яжіть нерівність \(x + \dfrac{1}{x - 3}\gt\dfrac{1}{x - 3} - 2\).

А\((-2; 3)\)

Б\((-2; +\infty)\)

В\((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\)

Г\((-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)

Д\((-2; 3) \cup (3; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -2,\\ x\ne 3, \end{cases}\\[7pt] x\in (-2; 3)\cup (3; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 296. Запитання: 14526

Завдання 5 з 38

Знайдіть область визначення функції \(y = \sqrt{x + 9}\).

А\([3; +\infty)\)

Б\([9; +\infty)\)

В\([-3; +\infty)\)

Г\([-9; +\infty)\)

Д\([-9; 9]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функції, вміння знаходити область значень функції.

Область визначення функції

\begin{gather*} y=\sqrt{x+9};\\[7pt] x+9\ge 0;\\[7pt] x\ge -9. \end{gather*}

Отже, \(x\in [-9; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Тест 296. Запитання: 14527

Завдання 6 з 38

Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні \(4:1\). Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

А\(41\)

Б\(45\)

В\(54\)

Г\(68\)

Д\(81\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє ознаки подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості вікон та дверей \(4 : 1.\) Загальна кількість вікон та дверей виражається числом, кратним \(5.\) З наведених чисел це може бути число \(45.\)

Відповідь: Б.

Тест 296. Запитання: 14528

Завдання 7 з 38

Обчисліть \(\sqrt{(2\sin 45^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\cos 45^\circ)^2}\).

А\(1\)

Б\(\dfrac {\sqrt 2}{2}\)

В\(\dfrac {1}{2}\)

Г\(\sqrt 2\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \sqrt{(2\sin 45^\circ+1)^2}-\sqrt{(1-2\cos 45^\circ)^2}=|2\sin 45^\circ+1|-|1-2\cos 45^\circ|=\\[6pt] =\left|2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1\right|-\left|1-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right|=|\sqrt{2}+1|-|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}+1+1-\sqrt{2}=2. \end{gather*}

\(\sqrt{2}+1\gt 0\), oтже, \(|\sqrt{2}+1|=\sqrt{2}+1.\)

\(1-\sqrt{2}\lt 0\), oтже, \(|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1.\)

Відповідь: Д.

Тест 296. Запитання: 14529

Завдання 8 з 38

Розв'яжіть рівняння \(\operatorname{tg} \dfrac{x}{2} = \sqrt{3}\).

А\(\dfrac{\pi}{6}\)

Б\(\dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z\)

В\(\dfrac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z\)

Г\(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=\sqrt{3};\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ \sqrt{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] \frac x2=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\ne Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 296. Запитання: 14530

Завдання 9 з 38

За видом графіка функції \(y = kx + b\) визначте знаки коефіцієнтів \(k\) і \(b\). Оберіть правильне твердження.

А\(\begin{cases} k > 0, \\ b < 0 \end{cases}\)

Б\(\begin{cases} k < 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

В\(\begin{cases} k < 0, \\ b < 0 \end{cases}\)

Г\(\begin{cases} k > 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

Д\(\begin{cases} k = 0, \\ b > 0 \end{cases}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей лінійної функції.

Пряма перетинає вісь \(Ox\) під гострим кутом, тому \(k\gt 0.\)

\(b\) – точка перетину прямої з віссю \(Oy\), \(b\gt 0.\)

Відповідь: Г.

Тест 296. Запитання: 14531

Завдання 10 з 38

Укажіть парну функцію.

А\(y = x\)

Б\(y = 2^x\)

В\(y = \operatorname{tg} x\)

Г\(y = \log_2 x\)

Д\(y = x^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, показникові, тригонометричні, логарифмічні, степеневі функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння досліджувати функції на парність.

Парна функція \(y=x^2.\)

\begin{gather*} D(y)=R;\\[7pt] y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 296. Запитання: 14532

Завдання 11 з 38

Обчисліть \(\log_{\textstyle \frac{1}{25}}\sqrt5\).

А\(-\dfrac{1}{4}\)

Б\(-\dfrac{1}{2}\)

В\(-2\)

Г\(\dfrac{1}{2}\)

Д\(\dfrac{1}{4}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac{1}{25}}\sqrt{5}=\log_{\textstyle 5^{-2}} 5^{\textstyle \frac 12}=\frac 12\cdot \left(-\frac 12\right)\log_5 5=-\frac 14. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 296. Запитання: 14533

Завдання 12 з 38

Розв'яжіть нерівність \(\log_{0,1}10 \lt \log_{0,1}x\).

А\((10;+\infty)\)

Б\((0;10)\)

В\((0{,}1;10)\)

Г\((-10;0)\)

Д\((-\infty;10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція \(y=\log_{0{,}1} x\) – спадна (основа логарифма менше \(1\)).

Отже, \(\begin{cases} 10\gt x,\\ x\gt 0.\end{cases}\)

Відповідь: Б.

Тест 296. Запитання: 14534

Завдання 13 з 38

Розв'яжіть рівняння \(\sqrt[\scriptstyle{3}]{8^x}=\sqrt2\cdot\sqrt[\scriptstyle{3}]2\).

А\(\dfrac{2}{3}\)

Б\(\dfrac{1}{6}\)

В\(\dfrac{3}{2}\)

Г\(\dfrac{5}{6}\)

Д\(\dfrac{2}{5}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи обидві частини рівняння:

\begin{gather*} 2^{\textstyle \frac{3x}{3}}=2^{\textstyle \frac 12}\cdot 2^{\textstyle \frac 13};\\[6pt] 2^{x}=2^{\textstyle \frac 12\!+\!\frac 13};\\[6pt] 2^{x}=2^{\textstyle \frac 56};\\[6pt] x=\frac 56. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 296. Запитання: 14535

Завдання 14 з 38

Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння \(x^3-4|x|=0\).

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати степеневі рівняння.

За властивістю модуля числа:

1) при \(x\gt 0\)

\begin{gather*} x^3-4x=0;\\[7pt] x(x-2)(x+2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2,\\ x=-2\ \text{не належить}\ [0; +\infty). \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння має два корені.

2) при \(x\lt 0\)

\begin{gather*} x^3+4x=0;\\[7pt] x(x^2+4)=0. \end{gather*}

\(x=0\) не належить \((-\infty; 0).\)

Рівняння не має коренів.

Отже, при всіх значеннях \(x\) рівняння має \(2\) корені.

Відповідь: B.

Тест 296. Запитання: 14536

Завдання 15 з 38

Знайдіть первісну функції \(f(x)=2x+2\), графік якої проходить через точку з координатами \((1;4)\).

А\(F(x)=x^2+2x\)

Б\(F(x)=x^2+2x+1\)

В\(F(x)=x^2+2x+2\)

Г\(F(x)=x^2+2x-4\)

Д\(F(x)=x^2+2x-23\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну функції, яка проходить через дану точку.

Загальний вигляд первісної функції

\begin{gather*} F(x)=\frac{2x^2}{2}+2x+C=x^2+2x+C. \end{gather*}

Первісна, графік якої проходить через точку \((1; 4)\)

\begin{gather*} 4=1^2+2\cdot 1+C;\\[7pt] 4=3+C;\\[7pt] C=1. \end{gather*}

Отже, \(F(x)=x^2+2x+1.\)

Відповідь: Б.

Тест 296. Запитання: 14537

Завдання 16 з 38

На рисунку зображений графік функції \(y=f(x)\) та дотичні до нього в точках \(x_1\) та \(x_2\). Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть \(f'x_1+f'x_2\).

А\(1\)

Б\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)

В\(\sqrt3\)

Г\(\dfrac{1}{2}\)

Д\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Геометричний зміст похідної:

\begin{gather*} f'(x_0)=k=\mathrm{tg}\ \alpha, \end{gather*}

де \(\alpha\) – кут нахилу дотичної до графіка функції в точці \(x_0\) до додатного напряму осі абсцис.

\begin{gather*} f'(x_1)=\mathrm{tg}\ 45^\circ=1;\\[7pt] f'(x_2)=\mathrm{tg}\ 0^\circ=0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} f'(x_1)+f'(x_2)=1+0=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 296. Запитання: 14538

Завдання 17 з 38

Градусна міра зовнішнього кута \(A\) рівнобедреного трикутника \(ABC\) \((AB=BC)\) становить \(125^\circ\). Знайдіть градусну міру внутрішнього кута \(B\).

А\(30^\circ\)

Б\(40^\circ\)

В\(50^\circ\)

Г\(60^\circ\)

Д\(70^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника та зовнішнього кута трикутника.

\(\angle DAB=125^\circ.\)

\begin{gather*} \angle BAC=\angle BCA=180^\circ-125^\circ=55^\circ. \end{gather*}

Сума кутів трикутника

\begin{gather*} \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ;\\[7pt] \angle B=180^\circ-2\cdot 55^\circ=70^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 296. Запитання: 14539

Завдання 18 з 38

Точка \(M\) – середина сторони квадрата \(ABCD\). Площа зафарбованої частини дорівнює \(7\) см\(^2\). Знайдіть площу всього квадрата.

А\(14\) см\(^2\)

Б\(21\) см\(^2\)

В\(28\) см\(^2\)

Г\(35\) см\(^2\)

Д\(42\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання поняття площі, формул площі трикутника та квадрата.

\(S_{ABM}=7\) см\(^2.\)

Нехай \(AB=a\), тоді \(BM=\dfrac 12 BC=\dfrac a2.\)

\begin{gather*} S_{ABM}=\frac 12\cdot AB\cdot BM;\\[6pt] \frac 12\cdot a\cdot \frac a2=7;\\[6pt] a^2=28\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{ABCD}=a^2=28\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 296. Запитання: 14540

Завдання 19 з 38

Знайдіть координати точки \(M\), відносно якої симетричні точки \(E(-3;8;7)\) і \(F(-9;6;1)\).

А\((-6;7;4)\)

Б\((-12;14;8)\)

В\((0;0;0)\)

Г\((3;1;3)\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання властивостей симетричних фігур, формули координат середини відрізка.

Якщо точки \(F\) та \(E\) симетричні відносно точки \(M\), то \(EM=MF.\)

За формулою координати середини відрізка знайдемо координати точки \(M{:}\)

\begin{gather*} x_M=\frac{-3+(-9)}{2}=\frac{-12}{2}=-6;\\[6pt] y_M=\frac{8+6}{2}=7;\\[6pt] z_M=\frac{7+1}{2}=4.\\[6pt] M(-6; 7; 4). \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 296. Запитання: 14541

Завдання 20 з 38

Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює \(a\) см.

А\(\dfrac{4}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

Б\(\dfrac{2}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

В\(\dfrac{1}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

Г\(\dfrac{1}{6}\pi a^3\) см\(^3\)

Д\(\dfrac{1}{12}\pi a^3\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

При обертанні круга навколо діаметра, довжина якого \(a\), утвориться куля.

За формулою об'єму кулі

\begin{gather*} V=\frac 43\pi R^3, \end{gather*}

де \(R\) – радіус кулі, знаходимо

\begin{gather*} R=\frac a2;\\[6pt] V=\frac 43\pi\left(\frac a2\right)^3=\frac 43\pi\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}=\frac 16\pi a^3\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 296. Запитання: 14542

Завдання 21 з 38

Обчисліть \((\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}+\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})(\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}-\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})\).

Впишіть відповідь:

-5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} (\sqrt[\scriptstyle 6]{27}+\sqrt[\scriptstyle 4]{64})(\sqrt[\scriptstyle 6]{27}-\sqrt[\scriptstyle 4]{64})=(\sqrt[\scriptstyle 6]{27})^2-(\sqrt[\scriptstyle 4]{64})^2=\\[7pt] =\sqrt[\scriptstyle 6]{3^6}-\sqrt[\scriptstyle 4]{2^{12}}=3-2^3=3-8=-5. \end{gather*}

Відповідь: \(-5.\)

Тест 296. Запитання: 14543

Завдання 22 з 38

Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Непарні натуральні числа складають арифметичну прогресію: \(a_1=1\), \(d=2.\)

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

знаходимо

\begin{gather*} S_{12}=\frac{2\cdot 1+2(12-1)}{2}\cdot 12=\frac{2+22}{2}\cdot 12=12\cdot 12=144. \end{gather*}

Відповідь: \(144.\)

Тест 296. Запитання: 14544

Завдання 23 з 38

Укажіть найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності

\(\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9} \lt 0\).

Впишіть відповідь:

-8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладемо \((x^2+8x-9)\) на множники: \begin{gather*} x^2+8x-9=(x-1)(x+9);\\[7pt] \begin{cases} (x-3)(x+10)\lt 0,\\ x\ne 1,\\ x\ne -9. \end{cases} \end{gather*}

Найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

Тест 296. Запитання: 14545

Завдання 24 з 38

На перегоні, довжина якого дорівнює \(240\) км, поїзд рухався зі швидкістю на \(10\) км/год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на \(48\) хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? (Відповідь в км/год).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на рух.

Нехай швидкість поїзда за розкладом \(x\) км/год, тоді швидкість на перегоні була \((x-10)\) км/год.

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За розкладом	\(x\)	\(\dfrac{240}{x}\)	\(240\)
Фактично	\(x-10\)	\(\dfrac{240}{x-10}\)	\(240\)

Поїзд запізнився на \(48\ \text{хв}=\dfrac{48}{60}\ \text{год}=\dfrac 45\ \text{год}.\) Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{240}{x-10}-\frac{240}{x}=\frac 45;\\[6pt] \frac{240(x-x+10)}{x(x-10)}=\frac 45;\\[6pt] \frac{2400}{x(x-10)}=\frac 45\ \big| :4;\\[6pt] \frac{600}{x(x-10)}=\frac 15;\\[6pt] \begin{cases} x(x-10)=5\cdot 600,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-10x-3000=0,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x=-50;\ x=60,\\ x\ne 0;\ x\ne 10. \end{cases} \end{gather*}

\(x=-50\) не задовольняє умові задачі.

Отже, швидкість поїзда за розкладом – \(60\) км/год.

Відповідь: \(60.\)

Тест 296. Запитання: 14546

Завдання 25 з 38

Обчисліть \(2\sin15^\circ\cos15^\circ\operatorname{tg}30^\circ\operatorname{ctg}30^\circ\).

Впишіть відповідь:

0.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} 2\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ\mathrm{tg}\ 30^\circ\mathrm{ctg}\ 30^\circ=\sin 30^\circ\cdot 1=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}5.\)

Тест 296. Запитання: 14547

Завдання 26 з 38

Розв'яжіть рівняння \((x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0\). У відповідь запишіть суму коренів.

Впишіть відповідь:

11|8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні та ірраціональні нерівності.

\begin{gather*} (x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0.\\[7pt] \begin{cases} -15+8x-x^2\ge 0,\\ \left[\begin{array}{l} x^2-9=0,\\ -15+8x-x^2=0, \end{array}\right. \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-8x+15\le 0,\\ \left[\begin{array}{l} x=\pm 3,\\ x^2-8x+15=0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] x^2-8x+15=0;\\[7pt] D=64-4\cdot 1\cdot 15=4;\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2}=5;\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2}=3. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} x\in [3; 5],\\ \left[\begin{array}{l} x_1=3,\\ x_2=5,\\ x_3=-3. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Корені рівняння \(x_1=3\) та \(x_2=5.\)

Сума коренів

\begin{gather*} x_1+x_2=3+5=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

Тест 296. Запитання: 14548

Завдання 27 з 38

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases}2^{2y-x}=32, \\ \log_\frac{1}{2}(y-x)=-2.\end{cases}\)

Запишіть у відповідь добуток \(x_0 \cdot y_0\), якщо пара \((x_0,y_0)\) є розв'язком вказаної системи рівнянь.

Впишіть відповідь:

-3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та логарифмічні рівняння.

ОДЗ: \(y-x\gt 0\), \(y\gt x.\)

\begin{gather*} \begin{cases} 2^{2y-x}=2^5,\\ y-x=\left(\dfrac 12\right)^{-2}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2y-x=5,\\ \underline{y-x=4}, \end{cases}\\[0pt] y=1. \end{gather*}

Підставимо значення \(y=1\) у друге рівняння:

\begin{gather*} 1-x=4,\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

\((-3; 1)\) – розв'язок системи рівнянь.

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-3. \end{gather*}

Відповідь: \(-3.\)

Тест 296. Запитання: 14549

Завдання 28 з 38

Середній вік одинадцяти футболістів команди становить \(22\) роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання середнього арифметичного чисел, уміння розв'язувати текстові задачі.

Середній вік одинадцяти футболістів \(22\) роки. Отже, сумарний вік одинадцяти футболістів

\begin{gather*} 22\cdot 11=242\ \text{роки}. \end{gather*}

Після того, як одного футболіста було вилучено з поля, середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Отже, сумарний вік \(10\) футболістів:

\begin{gather*} 21\cdot 10=210\ \text{років}.\\[7pt] 242-210=32\ \text{роки} - \text{вік футболіста, який залишив поле}. \end{gather*}

Відповідь: \(32.\)

Тест 296. Запитання: 14550

Завдання 29 з 38

Обчисліть \(\log_34\cdot\log_45\cdot\log_57\cdot\log_781\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Алгебра і початки чисел. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Спростимо за формулою переходу до нової основи:

\begin{gather*} \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.\\[7pt] \log_3 4\cdot \log_4 5\cdot \log_5 7\cdot \log_7 81=\\[6pt] =\log_3 4\cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_3 7}{\log_3 5}\cdot \frac{\log_3 81}{\log_3 7}=\log_3 81=4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

Тест 296. Запитання: 14551

Завдання 30 з 38

Знайдіть найбільше ціле значення параметра \(a\), при якому система рівнянь

\(\begin{cases}y-x=a, \\ x^2+y^2=1\end{cases}\) має два розв'язки.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, зокрема графічно.

Розв'яжемо графічно:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} y-x=a,\\ x^2+y^2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=x+a,\\ x^2+y^2=1. \end{array}\right. \end{gather*}

\(x^2+y^2=1\) – рівняння кола, з центром в точці \((0; 0)\) та радіусом \(R=1.\)

\(y=x+a\) – пряма \(y=x\), яка переміщується вздовж осі \(Oy\) на \(a\) одиниць.

Кількість розв'язків системи – кількість точок перетину графіків.

Найбільше ціле значення параметра \(a=1\) при якому система має два розв'язки.

Відповідь: \(1.\)

Тест 296. Запитання: 14552

Завдання 31 з 38

Знайдіть найбільше значення функції \(y=x^3-3x^2+2\) на проміжку \([-1;1]\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку за допомогою похідної.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y'=3x^2-6x. \end{gather*}

Знайдемо критичні точки:

\begin{gather*} y'(x)=0;\\[7pt] 3x^2-6x=0;\\[7pt] 3x(x-2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2\ \notin [-1; 1]. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо значення функції в критичній точці \(x=0\) та у кінцях відрізка \([-1; 1]{:}\)

\begin{gather*} f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2;\\[7pt] f(1)=1^3-3\cdot 1+2=0;\\[7pt] f(0)=0^3-3\cdot 0+2=2.\\[7pt] \underset{[-1; 1]}{\mathrm{max}} f(x) =f(0)=2. \end{gather*}

Відповідь: \(2.\)

Тест 296. Запитання: 14553

Завдання 32 з 38

Знайдіть найменше ціле значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\log_8(x+2)=\log_8(2x-a)\) має корені.

Впишіть відповідь:

-3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \begin{cases} x+2=2x-a,\\ x+2\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x=2+a,\\ x\gt -2. \end{cases} \end{gather*}

Рівняння має корені, якщо корінь \(x=2+a\) належить ОДЗ \(x\gt -2.\)

Отже,

\begin{gather*} 2+a\gt -2;\\[7pt] a\gt -4. \end{gather*}

Найменше ціле значення параметра \(a\) дорівнює \(-3.\)

Відповідь: \(-3.\)

Тест 296. Запитання: 14554

Завдання 33 з 38

Сторона рівностороннього трикутника \(ABC\) дорівнює \(5\) см. Знайдіть скалярний добуток \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Впишіть відповідь:

12.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння знаходити скалярний добуток векторів.

\begin{gather*} AB=BC=AC=5\ \text{см}.\\[7pt] \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A. \end{gather*}

\(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=5\) (довжина вектора).

\(\Delta ABC\) рівносторонній, отже\(\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.\)

\begin{gather*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 5\cdot \cos 60^\circ=25\cdot \frac 12=12{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(12{,}5.\)

Тест 296. Запитання: 14555

Завдання 34 з 38

Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на \(50\) м\(^3\). Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру \(15\) м \(\times\) \(18\) м \(\times\) \(25\) м?

Впишіть відповідь:

405

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, знаходити об'єм прямокутного паралелепіпеда.

Знайдемо об'єм будинку

\begin{gather*} V=15\cdot 18\cdot 25=6750\ \text{м}^3. \end{gather*}

Кількість радіаторів, які треба замовити

\begin{gather*} 6750:50\cdot 3=405. \end{gather*}

Відповідь: \(405.\)

Тест 296. Запитання: 14556

Завдання 35 з 38

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(2\sqrt3\) см і нахилена під кутом \(60^\circ\) до площини основи. Знайдіть об'єм піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кути в просторі, знання властивостей правильної піраміди.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат. \(SK=2\sqrt{3}\) см – апофема.

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої.

Отже, \(\angle(SK, (ABC))=\angle SKO=60^\circ.\) \(SK=2\sqrt{3}\) см. \(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ).\)

\begin{gather*} SO=SK\sin K=2\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\ \text{см};\\[6pt] OK=SK\cdot \cos 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac 12=\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] OK=\frac 12 AD;\\[6pt] AD=2\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}=S_{ABCD}=AD^2=(2\sqrt{3})^2=12\) см\(^2\), \(H=SO=3\) см.

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot 12\cdot 3=12\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(12.\)

Тест 296. Запитання: 14557

Завдання 36 з 38

У правильній чотирикутній піраміді \(SABCD\) (\(S\) – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника \(SDC\), проведеною з вершини \(D\), та середньою лінією трикутника \(ASC\), що паралельна основі піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Нехай \(SABCD\) – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат \(ABCD\), і \(SO\) її висота. Позначимо сторону основи \(AB\) через \(a\), тоді бічне ребро \(SA=2a.\)

У трикутнику \(SDC\) з вершини \(D\) проведемо медіану \(DN\), \(N\) – середина ребра \(SC.\) У трикутнику \(ASC\) проведемо середню лінію, паралельну \(AC.\) Вона перетинає ребра \(SA\) та \(SC\) у точках \(M\) та \(N\) відповідно, \(AM = MS\) та \(SN = NC\) (за означенням середньої лінії). Оскільки \(AC\) лежить у площині \(ABC\) і \(MN\!\parallel\!AC\), то \(MN\!\parallel\!(ABC).\) Прямі \(MN\) та \(ND\) перетинаються в точці \(N\), тому кут \(MND\) є шуканим кутом між медіаною \(DN\) трикутника \(SDC\) і середньою лінією \(MN\) трикутника \(ASC.\) Позначимо \(\angle MND=\alpha.\)

Діагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\) дорівнює \(a\sqrt{2}\), тому середня лінія \(MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\)

Висота \(SO\) піраміди перетинає \(MN\) в точці \(L.\) Оскільки трикутники \(ASC\) і \(SMN\) є рівнобедреними, то \(AO=OC\) і \(ML=LN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.\)

З прямокутного трикутника \(SOC\)

\begin{gather*} SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{4a^2-\frac{2a^2}{4}}=a\sqrt{\frac 72}. \end{gather*}

За теоремою Фалеса

\begin{gather*} SL=LO=\frac 12SO=a\sqrt{\frac 78}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(LOD\)

\begin{gather*} LD=\sqrt{OD^2+LO^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{7a^2}{8}}=a\sqrt{\frac{11}{8}}. \end{gather*}

Трикутник \(DNM\) рівнобедрений, оскільки \(DM=DN\) як медіани рівних трикутників \(SAD\) та \(SCD.\) Медіана \(DL\) є висотою. Отже, трикутник \(DLN\) є прямокутним.

З трикутника \(DLN\) маємо:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha=\frac{LD}{LN}=\sqrt{11}.\\[7pt] \alpha=\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}. \end{gather*}

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}.\)

Тест 296. Запитання: 14558

Завдання 37 з 38

Побудуйте графік функції \(y-\dfrac{\sqrt{-x}+|4-\sqrt{-x}|}{2}\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність \(−x\ge 0.\) Отже, \(D(y)=(-\infty; 0].\)

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння \(4-\sqrt{-x}=0\), звідки \(x=−16.\)

Якщо \(x\in (-\infty; −16]\), то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}-(4-\sqrt{-x})}{2}=\frac{2\sqrt{-x}-4}{2}=\sqrt{-x}-2. \end{gather*}

Якщо \(x\in (−16; 0]\), то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}+4-\sqrt{-x}}{2}=2. \end{gather*}

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

Тест 296. Запитання: 14559

Завдання 38 з 38

Розв'яжіть нерівність \((x^2-2\sqrt a\cdot x+1)(2^x+\lg a) \lt 0\).

Впишіть відповідь:

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Визначимо область допустимих значень параметра \(a{:}\ a\gt 0.\)

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x^2-2x\sqrt{a}+1\gt 0,\\ 2^x+\lg a\lt 0; \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x^2-2x\sqrt{a}+1\lt 0,\\ 2^x+\lg a\gt 0. \end{cases} \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0.\)

\(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то розв’язком першої нерівності даної системи буде \(x\in R.\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\lt -\lg a\) буде \(x\in \left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\) Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд \(x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\) при \(0\lt a\lt 1.\)

2. Якщо \(a\ge 1\), то розв’язком нерівності \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0\) буде \(x\in (-\infty; \sqrt{a}- \sqrt{a-1})\cup (\sqrt{a}+\sqrt{a+1}; +\infty)\), а нерівність \(2^x\lt -\lg a\) не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, \(\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.\)

1. Якщо \(a\lt 1\), то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо \(a\gt 1\), то розв’язком нерівності \(x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\lt 0\) буде \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\) Тоді розв’язком нерівності \(2^x\gt -\lg a\) буде \(x\in R.\) Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд \(x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).\)

3. Якщо \(a=1\), то одержимо нерівність \(x^2-2x+1\lt 0\), звідси \(x\in \varnothing.\)

Відповідь:
при \(0\lt a\lt 1\ \ x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)\);
при \(a\gt 1\ \ x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1})\);
при \(a=1\ \ x\in \varnothing.\)

Тест 296. Запитання: 14560

Новини

Вибір абітурієнта: куди вступати після 11 класу
МОН пропонує університетам організувати підготовчі курси до НМТ
Вступники зазвичай не чекають останніх днів для подання заяв

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра