ЗНО онлайн 2012 року з математики – 1 сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою.

Область визначення функції – множина всіх значень аргумента функції.

\(D(y)=(-\infty; 0)\cup (0; +\infty)\ (x\ne 0).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

На діаграмі кількість відвідувачів становить:
у вівторок – \(60\),
у середу – \(100\),
у четвер – \(180\),
у п'ятницю – \(360\),
у суботу – \(600\),
у неділю – \(700\).

Отже, у п'ятницю кількість відвідувачів була вдвічі більшою, ніж у четвер.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

Точка лежить на осі \(Oz\), якщо \(x = 0\) та \(y = 0.\)

Отже, правильна відповідь – \(F(0; 0; -3).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

\(f(x)\le -2\) при \(x\in[0; 3].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати текстові задачі на відношення.

\(5000\) грн було розподілено таким чином:

\(\dfrac 14\) – отримав перший фахівець,

\(\dfrac 34\) – другий фахівець.

Отже, другий фахівець отримав:

\begin{gather*} 5000\cdot \frac 34=1250\cdot 3=3750\ \text{грн.} \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямі на площині.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралельних прямих.

\(a\ ||\ b\), \(c\) – січна.

За властивістю паралельних прямих:

I. \(\angle 1\) i \(\angle 3\) суміжні (за означенням суміжних кутів).

II. \(\angle 1=\angle 2\) як відповідні при паралельних прямих.

IІІ. \(\angle 1=\angle 2\), \(\angle 1+\angle 3=180^\circ\) (за властивістю суміжних кутів).

Отже, \(\angle 2+\angle 3=180^\circ\).

Усі з наведених тверджень є правильними.

Відповідь: Д.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати, виконувати тотожні перетворення степеневих виразів; знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

Запишемо всі числа у вигляді кореня \(15\) степеня.

Отже, в порядку зростання дані числа запишемо

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання умови перпендикулярності векторів, уміння знаходити скалярний добуток векторів.

Умова перпендикулярності векторів – їх скалярний добуток дорівнює нулю. Якщо \(\overrightarrow{a}(a_1; a_2)\), \(\overrightarrow{b}(b_1; b_2)\), то \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2.\)

\(\overrightarrow{a}(2; x)\), \(\overrightarrow{b}(-4; 10)\).

Отже, \(\overrightarrow{a}\ \perp\ \overrightarrow{b}\) при

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій на площині.

Застосуємо перетворення графіка \(y = x^2\) на площині:

\(y = x^2\) вправо на \(1\) одиницю \(\Rightarrow\ y = (x - 1)^2\)
симетрія відносно осі \(Ox\) \(\Rightarrow\ y = -(x - 1)^2\)
вгору на \(4\) одиниці \(\Rightarrow y = (x - 1)^2 + 4\).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії, вміння розв’язувати текстові задачі.

Математична модель задачі: дана арифметична прогресія з \(a_1 = 7\), \(d = 2.\) Необхідно знайти \(S_{18}.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n = a_1 + d(n - 1), \end{gather*} знаходимо

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі бічної поверхні циліндра.

При обертанні прямокутника навколо меншої сторони отримаємо циліндр.
\(OO_1 = 8\) см – висота циліндра.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, порівнювати значення тригонометричних функцій.

Функція \(y = \sin x\) – періодична, з періодом \(T = 2\mathbf{\pi}.\)

Отже, \begin{gather*} \sin 410^\circ = \sin(360^\circ + 50^\circ) = \sin 50^\circ. \end{gather*}

На проміжку \(x \in (0; 90^\circ)\) функція \(y = \sin x\) зростає.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгбера і початки аналізу. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Швидкість зближення автобуса та таксі: $$ v=65+80=145\ \text{км}/\text{год}. $$ За \(t\) годин вони разом проїдуть: \(145t\ \text{км}.\)

За умовою початкова відстань між автобусом та таксі дорівнює \(340\ \text{км}\) і через \(t\) годин після початку руху вони ще не зустрілися. Тоді відстань між ними через \(t\) годин після початку руху: $$ S=340-145t. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(SABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат.
\(SO = 4\) см – висота піраміди, \(SK\!\perp\!AD\), \(SK = 5\) см – апофема.

\(SK\!\perp\!AD\), \(SO\!\perp\!(ABC)\), \(OK\!\perp\!AD\) (за теоремою про три перпендикуляри), звідси \((SKO)\!\perp\!AD\), \(\angle SKO\) – лінійний кут відповідного двогранного.

У \(\Delta SOK\ (\angle O = 90^\circ)\ \cos K = \dfrac{OK}{SK}\).

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK^2 = SK^2 - SO^2 = 25 - 16 = 9,\\[7pt] OK = 3\ \text{см},\\[6pt] \cos K = \frac{3}{5}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання формул площі трикутника та паралелограма, поняття площі фігури.

\(MK\) – висота паралелограма та трикутника.

Площа фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників, дорівнює

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\frac{4}{\mathbf{\pi}}\right)^3,\\[6pt] \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{-3}. \end{gather*}

Використаємо властивість показникової функції. \begin{gather*} \frac{\mathbf{\pi}}{4}\lt 1. \end{gather*}

Функція \(y=a^x\) при \(0\lt a\lt 1\) спадає.

Тому нерівність \( \left(\dfrac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\dfrac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{-3}\) рівносильна нерівності \(x\gt -3.\)

Отже, \(x\in (-3; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей подібних трикутників.

Розглянемо \(\Delta ABC\), \(\angle B = 90^\circ\), \(MK\ ||\ AC\).

За властивістю трикутника (пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього подібний), \(\Delta MBK\) подібний \(\Delta ABC.\)

\(\Delta BKM\) – прямокутний, тому більша сторона – гіпотенуза \(MK.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання модуля числа.

За означенням модуля числа

Розв’яжемо методом інтервалів:
\(a = 0\), \(a = 1\) – нулі функції.

\begin{gather*} a \in \{0\} \cup [1; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Знаходимо похідну функції \(g(x)\): \begin{gather*} g'(x) = 2f'(x) + 7. \end{gather*}

При \(x = x_0\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

Використаємо властивості степенів з раціональними показниками.

1. \(\dfrac{2a^5}{a^6} = \dfrac{2}{a} = 2a^{-1}.\)

Отже, 1 – Г.

2. \((2a)^5 \cdot a^6 = 2^5 \cdot a^5 \cdot a^6 = 32a^{11}.\)

Отже, 2 – А.

3. \((2a^6)^5 = 2^5 \cdot (a^6)^5 = 32a^{30}.\)

Отже, 3 – Д.

4. \(\sqrt[\scriptstyle 6]{64a^5} = \sqrt[\scriptstyle 6]{64}\cdot \sqrt[\scriptstyle 6]{a^5} = 2a^{\textstyle \frac{5}{6}}.\)

Отже, \(4\) – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Д, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою.

Підставимо координати точки в рівняння, яким задана функція. Якщо координати точки перетворюють рівняння в правильну рівність, то вона лежить на графіку функції.

1. \(O(0; 0)\ y = \mathrm{tg}\ x,\) \(0 = \mathrm{tg}\ 0.\)
Отже, 1 – В.

2. \(M(0; -1)\ y = \sqrt{x} - 1\), \(-1 = \sqrt{0} - 1.\)
Отже, 2 – Г.

3. \(N(-1; 0)\ y = 2x + 2\), \(0 = 2(-1) + 2.\)
Отже, 3 – А.

4. \(K(0; 1)\ y = 2^x\), \(1 = 2^0.\)
Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування рівнянь.

1.

Рівняння має три корені.

Отже, 1 – Г.

2. \(\log_3 x = -2\), \(x = 3^{-2}\), \(x = \dfrac{1}{9}\) – один корінь.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, рівняння має два корені \(x = 0\), \(x = 2.\)

Отже, 3 – В.

4. \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0.\)

Нехай

Обидва значення \(t < 0\), тому початкове рівняння не має жодного кореня.

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CB\!\perp\!BA,\\ CB\!\perp\!BB_1, \end{array}\right| \Rightarrow CB\!\perp\!(ABB_1). \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

Отже, 2 – А.

Отже, 3 – Д.

4. \(A_1B \in (ABB_1).\)

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

ТЕМА: Алгбера і початки аналізу. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

За умовою задачі складемо таблицю:

Максимальна вартість трьох атракціонів для Марійки становить: $$ 16+15+13=44\ \textit{грн}, $$ для Богдана: $$ 20+17+15=52\ \textit{грн}. $$

Максимальна сума коштів, що витратять батьки: $$ 44+52=96\ \textit{грн}. $$

Відповідь: 96.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Дріб \(\dfrac mn\), де \(m\) набуває значень \(1\), \(2\) або \(4\), \(n\) набуває значень \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\).

\(m\) може набувати \(3\) значення, \(n\) – \(5\). Отже, різних дробів можна скласти
\(3 \cdot 5 = 15\) способами.

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

ОДЗ: \begin{gather*} 2y - 5 \ne 0,\\[7pt] 2y \ne 5,\\[7pt] y \ne 2{,}5. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\((-6; 3)\) – розв'язок системи.

Добуток \(x_0\cdot y_0 = -6\cdot 3 = -18.\)

Відповідь: \(-18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуємо властивості логарифма, спростимо вираз:

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів та наслідку з неї, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

1. У \(\Delta AKB\ (\angle K = 90^\circ)\) \begin{gather*} \mathrm{tg}\ B = \frac{AK}{KB} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \end{gather*} Отже, \(\angle B = 60^\circ\).

2. \(\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ\) (суміжні), \(\angle ABC = 120^\circ\).

3. За наслідком з теореми синусів:

Відповідь: \(45.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

\(\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx\) – площа фігури, обмеженої графіком функції \(y=\sqrt{25-x^2}\),
\(y \ge 0\), \(x \in [-5; 0].\)

Відповідь: \(6{,}25.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – пряма призма, тому \(CC_1 \perp (ABC)\), \(ABCD\) – трапеція, \(AB=CD.\)

Додаткова побудова: \(CK\ ||\ AB.\)

\(CC_1\ ||\ BB_1\), \(CK\ ||\ AB\), \(CK\cap CC_1\), \(AB\cap BB_1\), звідси, за ознакою паралельності площин \((CKC_1)\ ||\ (ABB_1).\)

Січна площина \((CC_1K)\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, \(KK_1\ ||\ AA_1\), \(C_1K_1\ ||\ CK.\)

\(AB\ ||\ CK\), \(CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).\)

Прямокутник \(KCC_1K_1\) – шуканий переріз.

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай \(BC=x\) см, тоді \(AD=CE=6x\) см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де \(CE \perp AD\) – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=CD\) (за умовою), \(AB=CK\) (протилежні сторони паралелограма).

Отже, \(CK=13\) см.

Відповідь: \(104.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

Початкове рівняння має корінь \(x=-7{,}5\) незалежно від параметра \(a.\)

Отже, для того, щоб рівняння мало лише два різних кореня, друге рівняння повинно мати один корінь, який не дорівнює \(-7{,}5.\)

Розв'яжемо графічно рівняння \(|x+9|-|x-5|=a.\)

Розглянемо функції \(y=|x+9|-|x-5|\) та \(g(x)=a.\)

на області допустимих значень
при \(x \in [-7{,}5; 5]\) \begin{gather*} y=x+9+x-5,\\[7pt] y=2x+4. \end{gather*}
при \(x \in (5; +\infty)\) \begin{gather*} y=x+9-x+5,\\[7pt] y=14. \end{gather*}

Функції перетинаються в одній точці при \(a \in (-11; 14)\), але при \(a=-11\) корені двох рівнянь співпадуть та рівняння буде мати один корінь.

Отже, правильна відповідь \(a \in (-11; 14).\)
Найменше ціле значення \(a=-10.\)

Відповідь: \(-10.\)