НМТ онлайн 2026 року з математики – 2 сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

Час перегляду та швидкість відтворення – обернено пропорційні величини: зі збільшенням швидкості в \(1{,}5\) раза час перегляду зменшується в \(1{,}5\) раза.

Щоб обчислити час пришвидшеного перегляду, поділімо початкову тривалість на коефіцієнт швидкості:

\begin{gather*} 60:1{,}5=40\ \text{хвилин}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника.

Завдання перевіряє вміння визначати градусні міри кутів.

Кут \(BKD\) є зовнішнім кутом трикутника \(AKD\) при вершині \(K.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle BKD=\angle BAD+\angle ADK. \end{gather*}

Підставмо відомі значення й обчислімо градусну міру кута \(BKD\):

\begin{gather*} 128^\circ=\angle BAD+68^\circ;\\[7pt] \angle BAD=128^\circ-68^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x-1\ge 0;\\[7pt] 2x\ge 1;\\[6pt] x\ge \frac 12. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left[\frac 12; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Непарність функцій.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість симетрії графіка непарної функції відносно початку координат \((0; 0)\) для визначення координат її точок.

Графік непарної функції завжди симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Це означає: якщо графік проходить через точку \((x; y)\), то він обов'язково проходить і через точку \((-x; -y).\)

На зображеному фрагменті видно точку з координатами \((2; 2)\), яка належить графіку функції. Оскільки функція непарна, її графік також має проходити через точку \((-2; -2).\) На координатній площині це точка \(M.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події та вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n=24\) – загальна кількість усіх рівноможливих варіантів (загальна кількість учнів у класі), а \(k\) – кількість сприятливих варіантів для події (кількість учнів, вік яких менший за \(15\) років).

Складімо пропорцію

\begin{gather*} \frac{m}{24}=\frac 16;\\[6pt] 6m=24;\\[7pt] m=4. \end{gather*}

Отже, у класі таких учнів \(4\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами й визначати модуль (довжину) вектора.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c(-2+4; 2+(-3); 1+0);\\[7pt] \vec c(2; -1; 1). \end{gather*}

Модуль вектора обчислімо за формулою

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Перетворімо мішані числа в неправильні дроби:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло й круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, зокрема хорд.

I. Будь-яка хорда кола більша за його радіус.

Хорда може бути більшою, меншою за радіус або дорівнювати йому.

Якщо центральний кут між радіусами дорівнює \(60^\circ\), вони разом із хордою утворюють рівносторонній трикутник. Тоді хорда дорівнює радіусу \((a=R).\)

Якщо центральний кут менший за \(60^\circ\), хорда менша за радіус \((a\lt R).\) З’єднавши дві сусідні точки на колі, отримаємо хорду, довжина якої прямує до \(0.\) Твердження неправильне.

II. Кінці діаметра кола ділять коло навпіл.

Діаметр проходить через центр кола й ділить його на два півкола – дві рівні дуги по \(180^\circ.\) Твердження правильне.

III. Рівні хорди кола стягують рівні дуги.

Це одна з основних геометричних властивостей кола: рівні хорди стягують рівні дуги (і навпаки, рівні дуги стягнуто рівними хордами). Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння й знання властивостей степенів.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[6pt] 2^{x+1}-2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x\cdot 2^1-2^x=\frac{1}{2^3}. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \(2^x\) за дужки:

\begin{gather*} 2^x\cdot (2-1)=2^{-3};\\[7pt] 2^x\cdot 1=2^{-3};\\[7pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Число \(-3\) належить проміжку \([-3; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

За таблицею первісних для степеневої функції

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати площу прямокутної трапеції, застосовуючи властивості дотичної до кола й тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Позначмо \(M\) точку дотику кола зі стороною \(AD.\) Тоді \(OM\!\perp\!AD\), а \(OM=R.\)

Проведімо радіус \(OM\!\perp\!AD\) в точку дотику \(M.\) У прямокутному трикутнику \(OMD\ (\angle OMD=90^\circ){:}\)

Коло дотикається двох паралельних сторін \(AD\) і \(BC\), тому сторона \(CD=2R=24\) см.

Радіус \(OK\!\perp\!BC\), тому \(OK\!\parallel\!CD.\) Чотирикутник \(OKCD\) – це прямокутна трапеція з основами \(OK=12\) см і \(CD=24\) см.

Оскільки \(BK=AM=R\), отримуємо \(KC=MD=12\sqrt{3}\) см (висота трапеції).

Обчислімо площу \(OKCD{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Синус – непарна функція \((\sin(-x)=-\sin x)\), тому

\begin{gather*} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1. \end{gather*}

Косинус має період \(2\pi\), тому

\begin{gather*} \cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos\pi=-1. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення у вираз:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Перше рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є логарифмічним. Розв'яжімо це рівняння. За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=a^b\Leftrightarrow \log_a x=b. \end{gather*}

Оскільки \(\log_2 x=2\), то \(x=2^2=4.\)

(Оскільки \(x=4\gt 0\) і знаменник другого рівняння \(x+1=5\ne 0\), це число належить до області допустимих значень).

Обчислімо \(y\), підставивши \(x=4\) у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+10}{4+1}=\frac{4+2}{2};\\[6pt] \frac{y+10}{5}=3;\\[6pt] y+10=15;\\[7pt] y=5. \end{gather*}

Обчислімо суму \(x_0+y_0{:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=4+5=9. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Прямі \(y=2x-3\) та \(y=x+1.\)

Спосіб 1

Прирівняймо праві частини рівнянь:

\begin{gather*} 2x-3=x+1;\\[7pt] 2x-x=1+3;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

За \(x=4\) \(y=5.\) Система має один розв'язок, а графіки – єдину спільну точку \((4; 5).\)

Спосіб 2

Це дві лінійні функції, графіки яких – прямі з кутовими коефіцієнтами \(k_1=2\) та \(k_2=1.\) Оскільки \(k_1\ne k_2\), прямі не паралельні й перетинаються в єдиній точці.

Отже, 1 – Б.

2. Параболи \(y=x^2\) та \(y=x^2-2.\)

Спосіб 1.

Прирівняємо праві частини рівнянь:

Рівняння не має розв'язків. Графіки не мають жодної спільної точки.

Спосіб 2.

Графік \(y=x^2-2\) утворюється шляхом паралельного перенесення параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\) Параболи мають однакову форму та напрямок віток, але зміщені одна відносно одної, тому вони не мають жодної спільної точки.

Отже, 2 – A.

3. Гіпербола \(y=\dfrac 2x\) та коло \(x^2+y^2=4.\)

Спосіб 1

Підставмо \(y=\dfrac 2x\) у рівняння кола:

\begin{gather*} x^2+\left(\frac 2x\right)^2=4;\\[6pt] x^2+\frac{4}{x^2}=4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(x^2\ne 0{:}\)

\begin{gather*} x^4-4x^2+4=0;\\[7pt] (x^2-2)^2=0;\\[7pt] x^2-2=0;\\[7pt] x^2=2. \end{gather*}

Отримуємо два значення: \(x_1=\sqrt{2}\) та \(x_2=-\sqrt{2}.\) Отже, графіки мають лише дві спільні точки.

Спосіб 2

Рівняння \(x^2+y^2=4\) задає коло із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=2.\)

\(y=\dfrac 2x\) – гіпербола з вітками в I та III координатних чвертях. Вітки гіперболи дотикаються кола у двох точках. Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння тотожно перетворювати й спрощувати алгебраїчні вирази, застосовуючи формули скороченого множення, властивості степенів, коренів \(n\)-го степеня та правила обчислення логарифмів.

1. \(\sqrt[\scriptstyle 3]{\dfrac{27}{a^3}}.\)

Застосуймо властивість кореня із частки \(\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\), де \(b\ne 0.\)

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{27}{a^3}}=\frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{27}}{\sqrt[\scriptstyle 3]{a^3}}=\frac 3a. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(a^{-2}\cdot a^3\cdot \log_{27} 3.\)

За властивістю степенів \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}{:}\)

\begin{gather*} a^{-2}\cdot a^3=a^{-2+3}=a^1=a. \end{gather*}

Оскільки \(27=3^3\), то

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Перемножмо результати:

\begin{gather*} a\cdot \frac 13=\frac a3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\dfrac{(a-3)^2-a^2-9}{2}.\)

Застосуймо формулу квадрата різниці в чисельнику:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника й рівнобедреного трикутника, теореми Піфагора та подібності прямокутних трикутників для обчислення довжин відрізків і відстаней.

1. Довжина відрізка \(AM\)

За умовою \(AD=12\) см, а \(DM=2AD=2\cdot 12=24\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Bідстань від точки \(K\) до прямої \(AM\)

Відстань від \(K\) до прямої \(AM\) – це довжина перпендикуляра \(KH\!\perp\!AM.\)

Оскільки \(\Delta DKM\) рівнобедрений \((DK=KM)\), висота \(KH\) є також медіаною, тому

\begin{gather*} DH=\frac{DM}{2}=\frac{24}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси

Оскільки \(CD\!\perp\!AM\) та \(KH\!\perp\!AM\), трикутники \(\Delta ADC\) та \(\Delta AHK\) є подібними \((\Delta ADC\sim \Delta AHK).\)

Коефіцієнт подібності:

\begin{gather*} k=\frac{AH}{AD}=\frac{24}{12}=2. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} KH=k\cdot CD=2\cdot 16=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина відрізка \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(ADC\) за теоремою Піфагора:

З подібності трикутників \(\Delta ADC\sim \Delta AHK\) маємо

\begin{gather*} AK=k\cdot AC=2\cdot 20=40\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найменше значення функції визначмо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2-42x-90=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2-7x-15=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-1{,}5\) та \(x=5.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої направлені вгору):

На \((-\infty; -1{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-1{,}5; 5){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((5; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=5\) знак похідної змінюється з мінуса на плюс \((-\) на \(+)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою мінімуму.

Критичні точки: \(-1{,}5\) та \(5.\) Точка мінімуму: \(x_\text{min}=5.\)

Відповідь: \(5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсотки.

Батько сплачує повну вартість квитка, тобто \(800\) грн.

Мама має знижку \(20\ \%\), тому її квиток коштує \(80\ \%\) від початкової ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}8=640\ \text{грн}. \end{gather*}

Син отримує знижку \(25\ \%\), отже, він сплачує \(75\ \%\) від ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}75=600\ \text{грн}. \end{gather*}

Разом за сплав сім'я заплатить

\begin{gather*} 800+640+600=2040\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: \(2040.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему Піфагора для визначення елементів прямокутного паралелепіпеда, визначати радіус і висоту циліндра за заданими співвідношеннями й обчислювати його об'єм.

В основі прямокутного паралелепіпеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежить прямокутник \(ABCD\) зі сторонами \(AD=9\) см і \(CD=12\) см. Його діагональ \(AC\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники \((\Delta ADC\) та \(\Delta ABC).\)

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(ADC{:}\)

За умовою діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда

\begin{gather*} d=AC=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус циліндра:

\begin{gather*} R=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Бічне ребро \(CC_1\) перпендикулярне до площини основи, тому \(\angle ACC_1=90^\circ.\) З прямокутного трикутника \(ACC_1\) (де діагональ паралелепіпеда \(AC_1=39\) см, а катет \(AC=15\) см) за теоремою Піфагора знаходимо висоту \(CC_1{:}\)

За умовою висота циліндра \(H\) відноситься до висоти паралелепіпеда \(CC_1\) як \(2:3{:}\)

\begin{gather*} H=\frac 23\cdot CC_1=\frac 23\cdot 36=24\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра:

Відповідь: \(1350.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння досліджувати дробово-раціональні рівняння з модулем і параметром на кількість розв'язків, зважаючи на область допустимих значень.

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |4x+5a-3|-3=0,\\ (x+2)(x^2+9)\ne 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Вираз \(x^2+9\gt 0\) за будь-яких \(x\in R\), тому єдине обмеження з ОДЗ: \(x\ne -2.\)

Рівняння з модулем зведімо до сукупності двох лінійних рівнянь.

Оскільки \(x_1-x_2=\dfrac 64=1{,}5\ne 0\), корені \(x_1\) та \(x_2\) за жодного \(a\) не збігаються.

Отже, чисельник завжди має два різні значення.

Випадок 1 \((x_1=-2){:}\)

\begin{gather*} \frac{6-5a}{4}=-2;\\[6pt] 6-5a=-8;\\[7pt] 5a=14;\\[7pt] a_1=2{,}8. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_2=-3{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Випадок 2 \((x_2=-2){:}\)

\begin{gather*} -\frac{5a}{4}=-2;\\[6pt] -5a=-8;\\[7pt] 5a=8;\\[7pt] a_2=1{,}6. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_1=-0{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Обчислімо суму:

\begin{gather*} a_1+a_2=2{,}8+1{,}6=4{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(4{,}4.\)