Елементарні геометричні фігури на площині. Геометричні величини – тести ЗНО/НМТ

Предмет: Геометрія
Розділ: Планіметрія
Тема: Елементарні геометричні фігури на площині. Геометричні величини
Кількість завдань: 35

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 35

Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\gamma$, якщо $\alpha=20^\circ$, $\beta=50^\circ.$

А$330^\circ$

Б$290^\circ$

В$250^\circ$

Г$160^\circ$

Д$110^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Геометричні величини та їх вимірювання. Величини кута, вимірювання кутів.

Це завдання перевіряє вміння вимірювати кути, знання аксіом планіметрії.

Градусна міра повного кута $360^\circ.$

\begin{gather*} \alpha+\beta+\gamma= 360^\circ,\\[7pt] \gamma=360^\circ - \alpha-\beta=360^\circ - 20^\circ - 50^\circ = 290^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 2. Завдання: 5315

Завдання 2 з 35

Пряма $c$ перетинає паралельні прямі $a$ i $b$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними для кутів $1$, $2$, $3$?

I. $\angle 1$ i $\angle 3$ – суміжні.

II. $\angle 1=\angle 2$.

III. $\angle 2+ \angle 3=180^\circ$.

Алише I

Блише I i III

Влише IІІ

Глише I i ІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямі на площині.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралельних прямих.

$a\ ||\ b$, $c$ – січна.

За властивістю паралельних прямих:

I. $\angle 1$ i $\angle 3$ суміжні (за означенням суміжних кутів).

II. $\angle 1=\angle 2$ як відповідні при паралельних прямих.

IІІ. $\angle 1=\angle 2$, $\angle 1+\angle 3=180^\circ$ (за властивістю суміжних кутів).

Отже, $\angle 2+\angle 3=180^\circ$.

Усі з наведених тверджень є правильними.

Відповідь: Д.

Тест 3. Завдання: 6080

Завдання 3 з 35

Пряма $n$ перетинає перпендикулярні прямі $l$ i $m$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha.$

А$34^\circ$

Б$46^\circ$

В$54^\circ$

Г$56^\circ$

Д$58^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

$\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ$ як суміжні.

$\angle DAC = 146^\circ$, $\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.$

У $\Delta ABC$ $(\angle B = 90^\circ).$ $\angle A + \angle C = 90^\circ$, $\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.$ $\angle ACB = \alpha = 56^\circ$ (як вертикальні).

Відповідь: Г.

Тест 126. Завдання: 6285

Завдання 4 з 35

Три прямі, що розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha$.

А$101^\circ$

Б$99^\circ$

В$81^\circ$

Г$79^\circ$

Д$69^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості.

Це завдання перевіряє знання про суміжні та вертикальні кути.

Кути $\alpha$ та $\beta$ – вертикальні.

За властивістю вертикальних кутів $\alpha = \beta.$

За аксіомою вимірювання кутів:

\begin{gather*} 52^\circ + \beta + 49^\circ = 180^\circ;\\[7pt] \beta = 180^\circ - (52^\circ + 49^\circ) = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ;\\[7pt] \alpha = \beta = 79^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 127. Завдання: 6316

Завдання 5 з 35

Прямі $a$, $b$, $c$ попарно перетинаються в точках $A$, $B$, $C$ (див. рисунок). За даними, вказаними на рисунку, знайдіть градусну міру кута $ABC$.

А$70^\circ$

Б$80^\circ$

В$140^\circ$

Г$100^\circ$

Д$40^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Найпростіші геометричні фігури на площині.

Це завдання перевіряє знання суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

Кут $30^\circ$ та $\angle BCA$ – вертикальні, отже, рівні. Зовнішній кут трикутника $110^\circ$ дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з даним.

\begin{gather*} \angle B = 110^\circ – 30^\circ = 80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 128. Завдання: 6347

Завдання 6 з 35

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Сума двох будь-яких вертикальних кутів дорівнює $180^\circ.$

II. Сума двох будь-яких суміжних кутів дорівнює $180^\circ.$

III. Сума будь-якого гострого кута та будь-якого тупого кута дорівнює $180^\circ.$

Алише І

Блише ІI

Влише І i III

Глише ІI i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей вертикальних та суміжних кутів, які відносяться до найпростіших геометричних фігур на площині.

Нагадаємо, що суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути $AOC$ та $COB$ є суміжними.

Вертикальними називаються два кути, в яких сторони одного кута є доповнювальними променями сторін другого. На рис. 2 кути $AOB$ та $COD$ є вертикальними. Вертикальними також є кути $AOD$ та $BOC.$

Проаналізуємо наведені твердження.

I. Вертикальні кути є рівними, але їх сума дорівнює $180^\circ$ лише тоді, коли ці кути прямі. Тому твердження I не є правильним.

II. Суміжні кути в сумі утворюють розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює $180^\circ.$ Отже, твердження II є правильним.

III. Кут називається гострим, якщо його градусна міра менше $90^\circ$, і тупим, якщо його градусна міра більше $90^\circ$ і менше $180^\circ.$ Їх сума не обов’язково дорівнює $180^\circ$, а дорівнює $180^\circ$ лише тоді, коли вони суміжні. Отже, твердження III не є правильним.

Відповідь: Б.

Тест 138. Завдання: 6876

Завдання 7 з 35

Відрізок, довжина якого дорівнює $60$ см, розділений точками на чотири рівні відрізки. Визначте відстань між серединами отриманих крайніх відрізків.

А$36$ см

Б$40$ см

В$45$ см

Г$48$ см

Д$50$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Довжина відрізка.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, використовуючи основну властивість вимірювання відрізків.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які відрізок ділиться будь-якою його точкою.

Розділимо відрізок $AB$ точками $K$, $L$, $M$ на рівні відрізки $AK$, $KL$, $LM$ та $MB$ (див. рисунок).

Тоді довжина кожного з цих відрізків дорівнює $$ \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15\ \text{см}. $$ Нехай точки $C$ і $D$ – середини крайніх відрізків $AK$ і $MB$ відповідно. Тоді

\begin{gather*} AC = CK = MD = DB = \frac{15}{2} = 7{,}5\ \text{см}\ \text{і}\\[6pt] CD = CK + KL + LM + MD = 7{,}5 + 15 + 15 + 7{,}5 = 45\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 142. Завдання: 7072

Завдання 8 з 35

Прямі $k$, $l$, $m$ i $n$ лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha.$

А$15^\circ$

Б$25^\circ$

В$35^\circ$

Г$45^\circ$

Д$55^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити градусні міри кутів.

Для розв’язання завдання потрібно знати такі теореми.

Теорема 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює $180^\circ.$

Теорема 2. Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ.$

Наведемо декілька способів розв’язання цього завдання.

Перший спосіб. Розглянемо трикутник $ABC$ (див. рисунок), у якого $\angle B=85^\circ$, $\angle MAB$ – зовнішній кут трикутника, суміжний з кутом $A$, тоді $$ \angle A=180^\circ-\angle MAB=40^\circ. $$ Знаючи два внутрішніх кути трикутника $ABC$, можемо визначити градусну міру його третього кута: $$ \angle C=180^\circ-(40^\circ+85^\circ)=55^\circ. $$ Оскільки за умовою $\angle ACN=90^\circ$, то $$ 55^\circ+\alpha=90^\circ, $$ звідки $\alpha=35^\circ.$

Другий спосіб. Опустимо з вершини $B$ трикутника $ABC$ на сторону $AC$ перпендикуляр $AD$ (див. рисунок). З паралельності прямих $BD$ і $CN$ випливає, що $\angle DBC=\angle BCN$ як внутрішні різносторонні. Тому шуканий кут $\alpha$ дорівнює куту $DBC.$ Маємо:

\begin{gather*} \angle A=180^\circ-\angle MAB=40^\circ,\\[7pt] \angle ABD=90^\circ-\angle A=90^\circ-40^\circ=50^\circ,\\[7pt] \alpha=\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=85^\circ-50^\circ=35^\circ. \end{gather*}

Третій спосіб. Скористаємось теоремою. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним. Отже, $\angle BCP=\angle A+\angle B$ (див. рисунок). Оскільки

\begin{gather*} \angle BCP=90^\circ+\alpha,\\[7pt] \angle A=180^\circ-140^\circ=40^\circ, \end{gather*}

то

$$ 90^\circ+\alpha=40^\circ+85^\circ. $$

Звідки одержуємо:

$$ \alpha=125^\circ-90^\circ=35^\circ. $$

Відповідь: B.

Тест 144. Завдання: 7170

Завдання 9 з 35

Прямі $AB$ i $CK$ паралельні, $CB$ – бісектриса кута $ACK.$ Визначте градусну міру кута $ABC$, якщо $\angle BAC=52^\circ.$

А$38^\circ$

Б$52^\circ$

В$64^\circ$

Г$69^\circ$

Д$128^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Кути при паралельних прямих. Бісектриса кута.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів, що утворюються при перетині двох паралельних прямих січною та означення бісектриси кута.

Кути $\angle BAC$ та $\angle ACK$ – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $AB$ i $CK$ та січній $AC.$ Сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих дорівнює $180^\circ.$ Отже, $$ \angle BAC+\angle ACK=180^\circ, $$ звідки

$$ \angle ACK=180^\circ-\angle BAC=180^\circ-52^\circ=128^\circ. $$

Оскільки $BC$ є бісектрисою кута $\angle ACK$, то за означенням бісектриси, вона ділить цей кут навпіл, отже,

$$ \angle ACB=\angle BCK=\frac{128^\circ}{2}=64^\circ. $$

Кути $\angle BCK$ i $\angle ABC$ – внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $AB$ i $CK$ та січній $BC$, тому вони рівні. Отже, $\angle ABC=64^\circ.$

Відповідь: B.

Тест 187. Завдання: 9240

Завдання 10 з 35

На рисунку зображено прямі $m$ i $n$, що перетинаються. Визначте градусну міру кута $\gamma$, якщо $\alpha+\beta=50^\circ.$

А$310^\circ$

Б$155^\circ$

В$145^\circ$

Г$140^\circ$

Д$130^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні та суміжні кути.

Це завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення суміжних кутів і властивості вертикальникх кутів.

Зображені на рисунку кути $\alpha$ i $\beta$ є вертикальними, тому що утворені при перетині двох прямих $m$ i $n.$

Вертикальні кути рівні, тому $$ \alpha=\beta=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ. $$ Кути $\alpha$ i $\gamma$ є суміжними, оскільки промінь $OA$, що лежить на прямій $n$, є спільною стороною цих кутів, а сторони $OB$ та $OC$, що лежать на прямій $m$, є доповняльними променями. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$, то $$ \gamma=180^\circ-\alpha=180^\circ-25^\circ=155^\circ. $$

Відповідь: Б.

Тест 191. Завдання: 9427

Завдання 11 з 35

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ так, що довжина відрізка $AM$ утричі більша за довжину $MB.$ Визначте довжину відрізка $AB$, якщо $MB=12$ см.

А$48$ см

Б$36$ см

В$24$ см

Г$42$ см

Д$54$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

\begin{gather*} AM=3MB=3\cdot 12=36\ \textit{см},\\[7pt] AB=AM+MB=36+12=48\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 247. Завдання: 12066

Завдання 12 з 35

Усі зображені на рисунку прямі лежать в одній площині, прямі $m$ i $n$ є паралельними. Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}.$

А$20^\circ$

Б$50^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$110^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, властивостей паралельних прямих, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

$\angle ABC+\angle CBD+\angle DBE=180^\circ$, $\angle CBD=\angle BDE=70^\circ$, як внутрішні різносторонні при $m\ ||\ n$ та січною $BD.$ Кут $\mathbf{\alpha}=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ.$

Відповідь: Б.

Тест 247. Завдання: 12072

Завдання 13 з 35

Точка $B$ належить відрізку $AC.$ Визначте відстань між серединами відрізків $AB$ і $BC$, якщо $AB=10\ \textit{см}$, $BC=5\mathord{,}2\ \textit{см}.$

А$2\mathord{,}4$ см

Б$2\mathord{,}6$ см

В$5\mathord{,}0$ см

Г$7\mathord{,}6$ см

Д$10\mathord{,}2$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач.

Нехай точка $K$ – середина $AB$, а точка $M$ – середина $BC.$

\begin{gather*} KM=KB+BM=\frac 12AB+\frac 12BC=\\[6pt] =\frac 12(AB+BC)=(10+5\mathord{,}2):2=7\mathord{,6}\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 256. Завдання: 12505

Завдання 14 з 35

Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}.$

А$80^\circ$

Б$50^\circ$

В$90^\circ$

Г$100^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач, знання властивості вертикальних кутів.

$\angle \mathbf{\beta}=60^\circ$ як вертикальний з даним кутом $60^\circ.$

$\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}+40^\circ=180^\circ$ оскільки складають розгорнутий кут.

Тому $\mathbf{\alpha}=180^\circ-40^\circ-\mathbf{\beta}=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ.$

Відповідь: A.

Тест 298. Завдання: 14597

Завдання 15 з 35

Ha рисунку зображено паралельні прямі $a$ i $b$ тa січну $CD.$ Знайдіть відстань між прямими $a$ i $b$, якщо $CK=5$ см, $KD=2$ см, a відстань від точки $K$ до прямої $a$, дорівнює $1$ см.

А$2\mathord{,}5$ см

Б$3$ см

В$3\mathord{,}5$ см

Г$4$ см

Д$4\mathord{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Суміжні та вертикальні кути, паралельні та перпендикулярні прямі. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралельних прямих, ознаки подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Зробимо додаткову побудову і терез точку $K$ проведемо пряму $AB$, перпендикулярну до прямих $a$ i $b.$

Розглянемо трикутники $ADK$ та $BCK.$ Вони подібні за двома кутами: $\angle ADK=\angle BCK$ як внутрішні різносторонні при $a\ ||\ b$ та січною $CD.$

$\angle DAK=\angle KBC=90^\circ$ за побудовою.

У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{KB}=\frac{KD}{CK}. $$

Відстань від точки $K$ до прямої $a$ – це довжина перпенидкуляра $KA=1$ см \begin{gather*} \frac{1}{KB}=\frac 25,\\[6pt] KB=2\mathord{,}5\ \textit{см}. \end{gather*}

Відстань між прямими $a$ i $b$ – це довжина спільного перпендикуляра

$AB=AK+KB=1+2\mathord{,}5=3\mathord{,}5$ см.

Відповідь: B.

Тест 298. Завдання: 14606

Завдання 16 з 35

Дві дороги розходяться на рівнинній місцевості як промені $OA$ та $OB$, позначені на рисунку. Перша дорога (промінь $OA$) утворює кут $40^\circ$ з напрямком «схід», а друга (промінь $OB$) – кут $20^\circ$ з напрямком «південь». Який кут утворюють ці дороги між собою?

А$90^\circ$

Б$100^\circ$

В$110^\circ$

Г$120^\circ$

Д$130^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування задач практичного змісту.

Кут $COD$ – прямий.

\begin{gather*} \angle COB=\angle COD-\angle BOD=90^\circ-20^\circ=70^\circ,\\[7pt] \angle AOB=\angle AOC+\angle COB=40^\circ+70^\circ=110^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 310. Завдання: 15236

Завдання 17 з 35

Прямі $l$, $m$ і $n$ лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру
кута $\mathbf{\alpha}.$

А$110^\circ$

Б$50^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$80^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

$\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ – суміжний до кута $120^\circ.$

$\angle ACB=\mathbf{\alpha}$ – вертикальні кути.

Сума кутів $\Delta ABC$ дорівнює $180^\circ$, тому $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$

Відповідь: Г.

Тест 400. Завдання: 19946

Завдання 18 з 35

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ та $n$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}$, якщо $\mathbf{\beta} = 125^\circ.$

А$35^\circ$

Б$45^\circ$

В$55^\circ$

Г$65^\circ$

Д$75^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей вертикальних i суміжних кутів, паралельних прямих.

$\angle\mathbf{\beta}=\angle\mathbf{\gamma}$ як вертикальний. $\mathbf{\alpha}+\mathbf{\gamma}=180^\circ.$ За властивістю паралельних прямих. $\mathbf{\alpha}$, $\mathbf{\gamma}$ – внутрішні односторонні. $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-\mathbf{\gamma}=180^\circ-125^\circ=55^\circ. $$

Відповідь: B.

Тест 425. Завдання: 21208

Завдання 19 з 35

Прямі $AB$ і $CK$ паралельні, $CB$ – бісектриса кута $ACK$. Визначте градусну міру кута $ABC$, якщо $\angle BAC = 52^\circ.$

А$38^\circ$

Б$52^\circ$

В$64^\circ$

Г$69^\circ$

Д$128^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості.

Перевіряє знання властивостей, паралельних прямих, суми кутів трикутника.

$$ \angle BAC+\angle ACK=180^\circ $$ за властивістю паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів $180^\circ.$ $$ \angle ACK=180^\circ-52^\circ=128^\circ. $$ $CB$ – бісектриса, тому $$ \angle ACB=\angle BCK=128^\circ:2=64^\circ. $$ Сума кутів трикутника $180^\circ.$ Отже, \begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-(\angle BAC +\angle ACB)=\\[7pt] =180^\circ-(52^\circ+64^\circ)=180^\circ-116^\circ=64^\circ. \end{gather*} Або в такий спосіб: $\angle ABC=\angle BCK=64^\circ$ як внутрішні різносторонні при $AB\ ||\ CK$ та січної $BC.$

Відповідь: B.

Тест 521. Завдання: 26118

Завдання 20 з 35

Із точки $O,$ яка лежить на прямій $AB,$ проведено промені $OM$ і $OK$ (див. рисунок). Відомо, що $\angle BOM = 30^\circ,$ $\angle MOK = 80^\circ.$ Визначте градусну міру кута $AOK.$ Уважайте, що промені $OK,\ OM$ і пряма $AB$ лежать в одній площині.

А$60^\circ$

Б$70^\circ$

В$80^\circ$

Г$150^\circ$

Д$170^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

$\angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ.$

$\angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Тест 547. Завдання: 26824

Завдання 21 з 35

Відомо, що вісь $AO$ Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі $BO$ на кут $4^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $AOC,$ який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею $OC.$

А$176^\circ$

Б$94^\circ$

В$104^\circ$

Г$86^\circ$

Д$96^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кутів, аксіом планіметрії.

$\angle BOC=90^\circ, \angle BOA=4^\circ.$ Отже,

$$ \angle AOC=\angle BOC-\angle BOA=90^\circ-4^\circ=86^\circ. $$

Відповідь: Г.

Тест 606. Завдання: 28379

Завдання 22 з 35

На рисунку зображено дві прямі, що перетинаються.

Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}$, якщо $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ.$

А$145^\circ$

Б$135^\circ$

В$125^\circ$

Г$110^\circ$

Д$290^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів.

Кути $\mathbf{\beta}$ i $\mathbf{\varphi}$ – вертикальні. За їхньою властивістю $\mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}.$

За умовою $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ$, тому $$ \mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}=70^\circ:2=35^\circ. $$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\beta}$ – суміжні. За властивістю суміжних кутів:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=180^\circ - \mathbf{\beta}=180^\circ-35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 699. Завдання: 35325

Завдання 23 з 35

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ і $n.$ Визначте градусну міру кута $\mathbf{\beta}$, якщо $\mathbf{\alpha}=35^\circ.$

А$135^\circ$

Б$125^\circ$

В$155^\circ$

Г$55^\circ$

Д$145^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих.

Кути $\mathbf{\gamma}$ i $\mathbf{\beta}$ – вертикальні. За властивістю вертикальних кутів $\mathbf{\beta} = \mathbf{\gamma}.$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\gamma}$ – внутрішні односторонні. За їхньою властивістю:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+ \mathbf{\gamma}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=35^\circ,\\[7pt] \mathbf{\gamma}=180^\circ - 35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\beta}=145^\circ.$

Відповідь: Д.

Тест 700. Завдання: 35346

Завдання 24 з 35

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з п’яти довгих і чотирьох коротких стрілок, які виходять з вершини розгорнутого кута та поділяють його на рівні частини. Знайдіть градусну міру кута між двома довгими сусідніми стрілками.

А$18^\circ$

Б$20^\circ$

В$30^\circ$

Г$36^\circ$

Д$40^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей і видів кутів.

Розгорнутий кут поділено на $10$ рівних частин. Градусна міра кожного з-поміж цих кутів $$ 180^\circ: 10=18^\circ. $$

Градусна міра кута між довгими стрілками складається з двох градусних мір кутів між довгою і короткою стрілкою.

Отже,

$$ 18^\circ\cdot 2=36^\circ. $$

Відповідь: Г.

Тест 701. Завдання: 35369

Завдання 25 з 35

Визначте радіанну міру кута $\beta$, якщо суміжний із ним кут $\alpha=\frac{\pi}{5}.$

А$\frac{\pi}{5}$

Б$\frac{7\pi}{10}$

В$\frac{4\pi}{5}$

Г$\frac{9\pi}{5}$

Д$\frac{3\pi}{10}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Завдання спрямовано на перевірку знань про суміжні та вертикальні кути як основні геометричні фігури на площині.

Суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути $AOC$ та $COB$ суміжні.

Рис. 1

Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ.$ Оскільки в умові міру кута наведено в радіанах, скористаймось еквівалентом: \begin{gather*} \alpha+\beta=\pi. \end{gather*}

Відомо, що кут \begin{gather*} \alpha=\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Щоб визначити міру кута $\beta$, віднімімо від $\pi$ відомий кут: \begin{gather*} \beta=\pi-\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Зведімо до спільного знаменника:

\begin{gather*} \beta=\frac{5\pi}{5}-\frac{\pi}{5}=\frac{5\pi-\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 731. Завдання: 36326

Завдання 26 з 35

З точки $O$, яка лежить на прямій $AB$, проведено промені $OM$ і $OK$ (див. рисунок). Відомо, що $\angle BOM=30^\circ$, $\angle MOK=80^\circ$. Визначте градусну міру кута $AOK$. Уважайте, що промені $OK$, $OM$ і пряма $AB$ лежать в одній площині.

А$50^\circ$

Б$60^\circ$

В$80^\circ$

Г$70^\circ$

Д$110^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\begin{gather*} \angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ;\\[7pt] \angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Тест 735. Завдання: 36904

Завдання 27 з 35

На рисунку зображено прямі, що перетинаються. Визначте градусну міру кута $\beta$, якщо $\alpha=25^\circ.$

А$145^\circ$

Б$155^\circ$

В$115^\circ$

Г$65^\circ$

Д$165^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Суміжні кути.

Завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення і властивість суміжних кутів.

Кути $\alpha$ та $\beta$ суміжні, оскільки мають спільну сторону, а інші їхні сторони є доповняльними променями. Сума суміжних кутів завжди дорівнює $180^\circ.$ Тому

\begin{gather*} \beta=180^\circ-\alpha=180^\circ-25^\circ=155^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 736. Завдання: 37099

Завдання 28 з 35

На відрізку $AB$ вибрано точку $C$ так, що $AC:CB=2:3.$ Визначте довжину відрізка $AC$, якщо $CB=12$ см.

А$4$ см

Б$18$ см

В$6$ см

Г$12$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Відрізок $AC$ складається з $2$ частин, отже: $AC=2x.$

Відрізок $CB$ складається з $3$ частин, отже: $CB=3x.$

За умовою $CB=12$ см. Тоді

\begin{gather*} 3x=12;\\[7pt] x=4\ \text{см}. \end{gather*}

Підставимо це значення у вираз для $AC{:}$

\begin{gather*} AC=2x=2\cdot 4=8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 737. Завдання: 37161

Завдання 29 з 35

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Визначте відстань між серединами відрізків $AM$ i $MB$, якщо $AM=12$ см, $MB=2AM.$

А$9$ см

Б$24$ см

В$12$ см

Г$18$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

За умовою $MB=2AM$, отже $MB=2\cdot 12=24$ см.

Нехай точка $K$ – середина $AM$, а точка $C$ – середина $MB.$

\begin{gather*} KC=KM+MC=\frac 12 AM+\frac 12 MB;\\[6pt] KC=\frac 12(AM+MB)=\frac 12(12+24)=\frac 12\cdot 36=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 739. Завдання: 37381

Завдання 30 з 35

З вершини зображеного на рисунку розгорнутого кута $AOB$ проведено два промені $OK$ i $OM$ так, що $\angle KOB=110^\circ$, $\angle MOB=30^\circ.$ Обчисліть градусну міру кута $KOM.$

А$140^\circ$

Б$80^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$90^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

$\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.$

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 110^\circ=\angle KOM+30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=110^\circ-30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 741. Завдання: 37506

Завдання 31 з 35

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Обчисліть відстань від середини відрізка $AM$ до точки $B$, якщо $AB=26$ см, $AM=8$ см.

А$17$ см

Б$22$ см

В$18$ см

Г$24$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Оскільки точка $M$ лежить на відрізку $AB$, загальна довжина складається з двох частин:

\begin{gather*} AB=AM+MB;\\[7pt] MB=AB-AM=26-8=18\ \text{см}. \end{gather*}

Нехай точка $K$ – середина відрізка $AM.$ Тоді відстань від $K$ до $M$ дорівнює половині довжини $AM{:}$

\begin{gather*} KM=AM:2=8:2=4\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань від середини відрізка $AM$ (точки $K$) до точки $B$ складається з відрізків $KM$ та $MB{:}$

\begin{gather*} KB=KM+MB=4+18=22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 743. Завдання: 37687

Завдання 32 з 35

З вершини зображеного розгорнутого кута $AOB$ проведено два промені $OK$ i $OM$ так, що $\angle KOB=115^\circ$, $\angle MOB=35^\circ.$ Обчисліть градусну міру кута $KOM.$

А$140^\circ$

Б$120^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$80^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

$\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.$

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 115^\circ=\angle KOM+35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=115^\circ-35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 749. Завдання: 38250

Завдання 33 з 35

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з дев’яти стрілок, які виходять із вершини розгорнутого кута й поділяють його на рівні частини. Обчисліть градусну міру кута між двома сусідніми стрілками.

А$20^\circ$

Б$18^\circ$

В$15^\circ$

Г$10^\circ$

Д$9^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання видів і властивостей кутів.

Розгорнутий кут поділено на $10$ рівних частин. Обчислімо градусну міру кожного із цих кутів:

\begin{gather*} 180^\circ:10=18^\circ. \end{gather*}

Отже, градусна міра кута між двома сусідніми стрілками становить $18^\circ.$

Відповідь: Б.

Тест 804. Завдання: 38367

Завдання 34 з 35

Група туристів рухається в напрямку $OA$, який утворює кут $15^\circ$ із напрямком північ (див. рисунок). На який кут треба змінити напрямок руху цій групі, щоб рухатися в напрямку південний схід?

А$75^\circ$

Б$85^\circ$

В$110^\circ$

Г$120^\circ$

Д$125^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур для розв'язання задач практичного змісту.

Напрямки північ і схід перпендикулярні, тому кут між ними дорівнює $90^\circ.$ Кут між напрямком північ і напрямком $OA$ дорівнює $15^\circ$, тому:

\begin{gather*} \angle AOB=90^\circ-15^\circ=75^\circ. \end{gather*}

Напрямок південний схід є бісектрисою прямого кута між напрямками схід і південь, тобто

\begin{gather*} \angle BOC=\angle COD=90^\circ: 2=45^\circ. \end{gather*}

Обчислімо шуканий кут повороту:

\begin{gather*} \angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=75^\circ+45^\circ=120^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 806. Завдання: 38594

Завдання 35 з 35

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ і $n$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha$, якщо $\alpha+\beta=58^\circ.$

А$116^\circ$

Б$32^\circ$

В$24^\circ$

Г$29^\circ$

Д$19^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Кути при паралельних прямих.

Завдання перевіряє знання властивостей кутів, що утворюються внаслідок перетинання двох паралельних прямих січною.

Оскільки прямі $m$ і $n$ паралельні $(m\!\parallel\!n)$, а пряма $l$ є січною, то кути $\alpha$ та $\beta$ є внутрішніми різносторонніми. За властивістю паралельних прямих внутрішні різносторонні кути рівні: $\alpha=\beta.$

Підставмо $\alpha=\beta$ в задану в умові рівність $\alpha+\beta=58^\circ{:}$

\begin{gather*} \alpha+\alpha=58^\circ;\\[7pt] 2\alpha=58^\circ;\\[7pt] \alpha=29^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 810. Завдання: 38873

Новини

МОН пропонує університетам організувати підготовчі курси до НМТ
Вступники зазвичай не чекають останніх днів для подання заяв
Набір студентів на аграрні спеціальності зріс майже на чверть

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Геометрія – Елементарні геометричні фігури на площині. Геометричні величини