Розділ: Функції
Тема: Функціональна залежність.
Кількість завдань: 67
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття екстремуму функції, знання геометричного змісту похідної.
На рисунку функція зростає при \(x \in [-2;-1]\), а спадає – при \(x\in [-1;4]\). Отже, \(x_0=-1\) – точка максимуму цієї функції (точка екстремуму).
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів.
З формули \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}\) визначимо \(L\). \begin{gather*} T^2=(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC})^2,\\[7pt] T^2=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2LC,\\[6pt] L=\frac{T^2}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2C}. \end{gather*}
Відповідь: Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область значень функції, будувати графіки квадратичних функцій, установлювати властивості числових функцій, заданих формулою, використання перетворення графіків функцій, знаходити первісну функції.
1. \begin{gather*} y(0)=2\cdot 0+8=8\\[7pt] y=0,\ \ 2x+8=0,\ \ x=-4\\[7pt] y(9)=2\cdot 9+8=26. \end{gather*}
| x | y |
| 0 | 8 |
| –4 | 0 |
| 9 | 26 |
2. \(M(-4;\ 0)\) – точка перетину графіка функції з віссю \(x\).
3.
4. Первісна функції \(f\), яка проходить через точку \(M(-4;\ 0)\) \begin{gather*} 0=(-4)^2+8\cdot (-4)+C,\\[7pt] 0=16-32+C,\ \ C=16\\[7pt] F(x)=x^2+8x+16. \end{gather*}
5. Побудуємо графік функції \(F(x)=x^2+8x+16\), \(F(x)=(x+4)^2\).
Використаємо елементарні перетворення графіків:
\(F(x)=x^2 \rightarrow F(x)=(x+4)^2\) переносимо вліво на 4 одиниці вздовж осі \(Ox\).
6. Область визначення функції \(F(x)\ E(y)=[0;\ +\infty)\).
Функцію \(G(x)=3F(x)+1\) отримаємо з функції \(F(x)\) стисканням в 3 рази до осі \(Oy\) та паралельним перенесенням на 1 одиницю вгору вздовж осі \(Oy\).
Отже, \(E(G)=[1;\ \infty)\).
Відповідь:
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність) функції.
1.
Симетричний відносно початку координат. Отже, 1 - Г.
2.
Має з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\) лише одну спільну точку. Отже, 2 - Б.
3.
Симетричний відносно осі \(y\). Отже, 3 - В.
Відповідь: 1Г, 2Б, 3В.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.
Температура двигуна була не більшою за 50 °C протягом 3 хвилин.
Відповідь: В.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.
Дано: лінійна функція \(y=-2x+3\).
\(k=-2\), отже, функція спадна
\(b=3\), отже, точка перетину графіка з віссю \(Oy\) (0; 3).
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність) функції.
1. \((x-3)^2+(y-4)^2=4,\ \ (3;\ 4)\) – центр кола, \(R=2\).
Графік функції не має спільних точок з колом. Отже, 1 - Г.
2.
Найменше значення функції на проміжку \([1;\ 3]\) дорівнює \(2\). Отже, 2 - Б.
3. Графік функції тричі перетинає пряму \(y=1\). Отже, 3 - Д.
Відповідь: 1Г, 2Б, 3Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.
Задано функцію \(y=x^3-3x\)
1.
| x | y |
| 0 | 0 |
| –1 | 2 |
| 2 | 2 |
2. Точки перетину графіка \(y=x^3-3x\) із віссю \(x\) знаходимо за умови \(y=0\): \begin{gather*} x^3-3x=0,\ \ x(x^2-3)=0,\\[7pt] x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=\sqrt{3}& \\ x=-\sqrt{3}& \end{array}\right. \end{gather*} \((0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)\) – точки перетину з віссю \(x\).
3.
4. \begin{gather*} f'(x)=0,\ \ 3x^2-3=0,\\[7pt] 3(x^2-1)=0,\ \ 3(x-1)(x+1)=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x-1=0 & \\ x+1=0& \end{array}\right. \ \ \left [ \begin{array}{l l} x=1 & \\ x=-1& \end{array}\right. \end{gather*}
5. Визначимо проміжки зростання і спадання функції
При \(f'(x)\gt 0\) функція зростає, при \(f'(x)\lt 0\) – спадає. Отже,
\(f(x)\) зростає при \(x \in (-\infty;\ -1]\) i \([1;\ +\infty)\);
\(f(x)\) спадає при \(x\in [-1;\ 1]\).
Точки екстремуму: \(x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1\),
екстремуми функції: \(f_{max}=f(-1)=2;\ \ f_{min}=f(1)=-2\).
6.
Відповідь:
1. \(x=0,\ \ y=0,\)
\(x=-1,\ \ y=2,\)
\(x=2,\ \ y=2\).
2. \((0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)\).
3. \(f'(x)=3x^2-3\).
4. \(x=1;\ \ x=-1\).
5. Проміжки зростання: \((-\infty;\ -1],\ [1;\ +\infty)\)
проміжок спадання: \([-1;\ -1]\)
\(x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1\).
\(f_{max}=2;\ \ f_{min}=-2\).
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.
Функція, графік якої проходить через початок координат, проходить через точку \((0;\ 0)\). З наведених функцій це \(y=x\).
Відповідь: Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.
Задано функцію \(y=x^3-12x\)
1.
| x | y |
| –1 | 11 |
| 0 | 0 |
| 2 | –16 |
2. Точки перетину графіка \(y=x^3-12x\) із віссю \(x\):
3.
\begin{gather*} f'(x)=3x^2-12 \end{gather*}Використали правило знаходження похідної степеневої функції $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}. $$
4. Нулі функції \(f'\) \begin{gather*} f'=3x^2-12=0,\ \ 3(x^2-4)=0,\\[7pt] x^2-4=0,\ \ x_1=2\ \text{або}\ x_2=-2. \end{gather*}
5. Знайдемо знаки похідної функції.
\(f'=0\) при \(x_1=2\) та \(x_2=-2\)
Точки екстремуму: \(x_{max}=-2\) (знак похідної змінюється з "+" на "–"),
\(x_{min}=2\) (знак похідної змінюється з "–" на "+").
\(f(x)\) зростає при \(x\in (-\infty;\ -2]\) та \([2;\ +\infty)\)
\(f(x)\) спадає при \(x\in [-2;\ 2]\).
Знайдемо екстремуми функції:
6.
Відповідь:
1. \(x=-1,\ \ y=11,\)
\(x=0,\ \ y=0,\)
\(x=2,\ \ y=-16\).
2. \((0;\ 0),\ (-2\sqrt{3};\ 0),\ (2\sqrt{3};\ 0)\).
3. \(f'(x)=3x^2-12\).
4. \(x_1=2;\ \ x_2=-2\).
5. Проміжки зростання: \((-\infty;\ -2],\ [2;\ +\infty)\)
проміжок спадання: \([-2;\ 2]\)
точки екстремуму: \(x_{max}=-2;\ \ x_{min}=2\).
екстремуми: \(f_{max}=16;\ \ f_{min}=-16\).
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції.
Графіком квадратичної функції \(y=x^2\) є парабола, яка симетрична осі \(Oy.\) Отже, якщо точка \(P\) належить графіку, то симетрична їй точка \(N\) може належати цьому графіку.
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.
Графік функції \(y=\sqrt{x}\) паралельно перенесли на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(x.\) Отримали функцію \(y=\sqrt{x+2}.\)
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.
1. \(f(x)=2^x\)
Б область значень \((0;\ +\infty).\)
2. \(f(x)=tg x\)
A функція непарна (графік симетричний осі \(y\)).
3. \(f(x)=2x+1\)
Д графік має лише дві точки перетину з осями координат.
Відповідь: 1Б, 2А, 3Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.
Графік функції проходить через точку \((-3;\ 1).\) Отже, правильна відповідь – Г.
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком. використовувати перетворення графіків функцій.
Якщо графік функції \(y=f(x)\) паралельно перенесли вздовж осі \(y\) вниз на \(3\) одиниці, то отримали $$ y=f(x)-3. $$
Застосували елементарне перетворення графіка функції.
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.
1. Графік є фрагментом графіка функції \(y=1-x.\) Отже, 1 – Б.
2. Графік функції двічі перетинає графік функції \(y = 2^x.\) Отже, 2 – А.
3. Функція зростає на проміжку \([0; 3].\) Отже, 3 – Д.
Відповідь: 1Б, 2А, 3Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на