Алгебра і початки аналізу – Ірраціональні, тригонометричні рівняння та системи рівнянь

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=2\), то \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Корені рівняння:

якщо \(n=0\), $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо \(n=-1\),

Відповідь: B.

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром.

Зробімо заміну: \(\sqrt{5x-a}=t\ge 0\), тоді \(5x-a=t^2.\)

Розв'яжімо квадратне рівняння відносно \(t{:}\)

Сума коренів:

Отже, за \(a=-0\mathord{,}875\) сума коренів рівняння дорівнює \(1\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Щоб визначити корінь рівняння, треба підставити значення \(x\) у рівняння. Після цього з'ясувати, за якого значення \(x\) рівняння стає правильною рівністю.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\mathord{:}\)

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\) не є коренем рівняння.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\mathord{:}\)

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\) не є коренем рівняння.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\mathord{:}\)

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\) – корінь рівняння.

Другий спосіб:

Якщо \(k=0\mathord{:}\)

Це – корінь рівняння.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

При \(n=0\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати тригонометричні рівняння, нерівності другого степеня та їх системи з параметрами.

Тригонометричне рівняння \(\sin\left(x+\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)=2a^2+5a-6\) має корені при \(|2a^2+5a-6|\le 1.\)

1)

2)

Розв'язок системи:

Найменше значення \(a=-3,5.\)

Відповідь: -3,5.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

Розв'яжемо тригонометричне рівняння:

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) найпростіше тригонометричне рівняння. Корені знаходимо за формулою:

На відрізку \(x\in [0;\ 3\mathbf{\pi}]\) знаходимо корені:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

\((16;\ -5)\) – розв'язок системи. Отже, \begin{gather*} x_0+y_0=16+(-5)=11. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Розкладемо квадратний тричлен на множники:

що й треба було довести.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність.
I спосіб:

Отже, вирази рівні.

ІІ спосіб:

Розкладемо вираз \(2a^2+5a-3\) на множники:

Розклали за формулою: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), де \(x_1,\ x_2\) – корені квадратного тричлена.

Отримаємо, \begin{gather*} \frac{(2a-1)(a+3)}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\\[6pt] 2a-1=2a-1, \end{gather*} вирази рівні.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність

що й вимогалось довести.

При доведенні використали формули: \begin{gather*} \sin2x=2\sin x\cos x\\[6pt] \sin^2x+\cos^2x=1\\[6pt] x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \end{gather*}

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

За властивістю пропорції $$ \frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac 25,\ \ \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}. $$ Отже, \(\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac 25.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати степеневі рівняння.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування тригонометричних рівнянь.

Рівняння \(\cos x=a\) при \(|a|\lt 1\) має розв'язок \(x\pm \mathrm{arccos}\ a+2\mathbf{\pi}n\), \(n\in Z.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних рівнянь, уміння розв'язувати ірраціональні рівняння.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата й знаходимо \(x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні рівняння. Функції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, знаходити область визначення функції, знання методів розв’язування ірраціональних рівнянь.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата. Отримали рівняння, яке є наслідком даного:

Перевірка показує, що \(x=-2\mathord{,}5\) є коренем даного рівняння:

Корінь рівняння належить проміжку \([-3; -1).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між тригонометричними функціями одного аргумента та вміння розв'язувати тригонометричні рівняння.

Оскільки $$ \frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\ x, $$ то вихідне рівняння запишемо у вигляді: $$ 3\mathrm{tg}\ x=\sqrt{3}, $$ звідки $$ \mathrm{tg}\ x=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Розв'язком такого рівняння є

Оскільки $$ \mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}, $$ то остаточно отримаємо

Відповідь: A.