Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Ірраціональні, тригонометричні рівняння та системи рівнянь
Кількість завдань: 46
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.
При \(n=0\ \ x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{12}.\)
Відповідь: А.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.
Розв'яжемо тригонометричне рівняння:
\begin{gather*} \sin 4x=-1,\\[6pt] 4x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}+2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\ \ |\ :4\\[6pt] x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n}{2},\ n\in \mathbb{Z}\\[6pt] \text{при}\ n=0\ \ x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8};\\[6pt] \text{при}\ n=1\ \ x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}=\frac{-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8}=\frac{3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8} - \text{корінь рівняння}. \end{gather*}Відповідь: А.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.
\(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) найпростіше тригонометричне рівняння. Корені знаходимо за формулою:
\begin{gather*} x=(-1)^k\mathrm{arcsin}\frac{\sqrt{3}}{2}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}.\\[6pt] x=(-1)^k\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{3}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}. \end{gather*}На відрізку \(x\in [0;\ 3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}]\) знаходимо корені:
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3\sqrt{x}=12, & \\ x-2y=26, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} \sqrt{x}=4, & \\ x-2y=26, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x=16, & \\ 16-2y=26, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} x=16, & \\ 2y=-10, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} x=16, & \\ y=-5. & \end{array}\right. \end{gather*}
\((16;\ -5)\) – розв'язок системи. Отже, \begin{gather*} x_0+y_0=16+(-5)=11. \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.
Розкладемо квадратний тричлен на множники:
що й треба було довести.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.
Доведемо тотожність.
I спосіб:
Отже, вирази рівні.
ІІ спосіб:
Розкладемо вираз \(2a^2+5a-3\) на множники:
Розклали за формулою: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), де \(x_1,\ x_2\) – корені квадратного тричлена.
Отримаємо, \begin{gather*} \frac{(2a-1)(a+3)}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\\[6pt] 2a-1=2a-1, \end{gather*} вирази рівні.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.
Доведемо тотожність
що й вимогалось довести.
При доведенні використали формули: \begin{gather*} \sin2x=2\sin x\cos x\\[6pt] \sin^2x+\cos^2x=1\\[6pt] x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \end{gather*}
