Алгебра і початки аналізу – Ірраціональні, тригонометричні рівняння та системи рівнянь

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні та ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння з параметром, нерівності; знання властивостей логарифмічної, тригонометричної та степеневої функцій.

ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \sin 5\pi x\gt 0,\\ 16+a-x\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] 0\lt \sin 5\pi x \le 1. \end{gather*}

Розглянемо функцію \(y=\lg(\sin 5\pi x).\) Якщо аргумент зростаючої функції належить проміжку \((0; 1)\), тоді \(\lg(\sin 5\pi x)\le 0.\)

Функція $$ g(x)=\sqrt{16+a-x} $$ приймає значення \([0; +\infty).\)

Отже, рівність досягається за умови:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \sin 5\pi x\gt 0,\\ 16+a-x\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] 0\lt \sin 5\pi x \le 1. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку \(\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].\)

\begin{gather*} \frac{3}{2}\le \frac{1}{10}+\dfrac{2}{5}n\le 2,\\[6pt] \frac{14}{10}\le \frac{2}{5}n\le \frac{19}{10},\\[6pt] 3{,}5\le n\le 4{,}75, \end{gather*}

при \(n\in Z\) нерівності задовольняє значення \(n=4.\)

Отже,

При \(a=-14{,}3\) корінь рівняння належить проміжку \(\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].\)

Відповідь: \(-14{,}3.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, користуватися графічним методом розв'язування і дослідженням рівнянь.

Розв'яжемо графічно. \begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} - 2x = a,\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} = 2x + a. \end{gather*}

Умова задачі зводиться до знаходження найбільшого значення параметра \(a\), при якому графіки функцій \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}\) та \(y = 2x + a\) мають одну спільну точку. Побудуємо графіки даних функцій

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1},\\[7pt] D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty),\\[7pt] |x| - 1 \ge 0,\\[7pt] |x| \ge 1. \end{gather*}

\(y = 2x + a\) лінійна функція, пряма буде переміщатися на \(a\) одиниць вздовж осі \(y.\)

При \(a \lt 0\) пряма \(y = 2x + a\) може мати спільні точки тільки з одною гілкою параболи \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Щоб така точка була одна, необхідно прямій \(y = 2x + a\) бути дотичною до графіка функції \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Отже, знайдемо рівняння дотичної:

\((y = 2x + a\) – рівняння дотичної \(k = y'(x_0) = 2).\)

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{(x_0 - 1)^3} = \frac{1}{8},\\[6pt] (x_0 - 1)^3 = (2^{-3})^4,\\[7pt] x_0 - 1 = \frac{1}{16},\\[7pt] x_0 = 1\frac{1}{16}, \end{gather*}

\(x_0\) – точка дотику.

За формулою рівняння дотичної до графіка функції в точці \(x_0\), маємо:

\begin{gather*} y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0),\\[6pt] y = 2\left(x - 1\frac{1}{16}\right) + \frac{1}{2},\\[6pt] y = 2x - \frac{17}{8} + \frac{1}{2},\\[6pt] y = 2x - 1\frac{5}{8}. \end{gather*}

Отже, \(y = 2x + a = 2x - 1\dfrac{5}{8}\),

\(a = -1\dfrac{5}{8} = -1{,}625.\)

Відповідь: \(-1{,}625.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння.

1. \(x + \pi = 0\), \(x = -\pi\) – коренем рівняння є ірраціональне число.
Отже, 1 – А.

2. \(\cos x = \sqrt{3}\) не має коренів, бо \(\cos x = a\) має корені при \(a \in [-1; 1]\), \(\sqrt{3} \gt 1.\)
Отже, 2 – В.

3. \(\sqrt{x} = 4\), \((\sqrt{x})^2 = 4^2\), \(x = 16.\)
Отже, 3 – Б.

4. \(\dfrac{x - 1}{x + 7} = 0\), \(\begin{cases} x - 1 = 0,\\ x + 7 \ne 0, \end{cases}\ \begin{cases} x = 1,\\ x \ne -7. \end{cases}\)

Корінь \(x = 1\) належить відрізку \([-2; 2].\)
Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \sqrt{(\sqrt{x-3})^2+2\sqrt{x-3}+1}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] \sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] |\sqrt{x-3}+1|+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] \sqrt{x-3}+1 \gt 0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} |\sqrt{x-3}+1|=\sqrt{x-3}+1;\\[7pt] \sqrt{x-3}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+33-6a=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}=t\ge 0\), тоді

\begin{gather*} t^2+(14-2a)t+33-6a=0;\\[7pt] D=(14-2a)^2-4(33-6a)=196-56a+4a^2-132+24a=\\[7pt] =4a^2-32a+64=4(a-4)^2;\\[6pt] t_1=\frac{2a-14+2(a-4)}{2}=a-7+(a-4);\\[6pt] t_2=\frac{2a-14-2(a-4)}{2}=a-7-(a-4). \end{gather*}

Розглянемо випадок \(D=0\), \(a=4.\)
\(t=4-7=-3\) не задовольняє умові \(t\gt 0.\)

\(D \gt 0,\ a\ne 4\).

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} t_1=a-7\pm(a-4),\ \text{при } a\gt 4,\\ t_2=a-7\pm(a-4),\ \text{при } a\lt 4. \end{array}\right. \end{gather*}

1) \(t_1=a-7+a-4=2a-11\), \(2a-11\ge 0\), \(2a\ge 11\), \(a\ge 5{,}5\),
\(t_2=a-7-a+4=-3.\)

2) \(t_1=a-7+(a-4)=2a-11\), \(a\ge 5{,}5\),
\(t_2=a-7-(a-4)=-3.\)

Найменше значення \(a\), при якому рівняння має хоча б один корінь \(a=5{,}5.\)

Відповідь: \(5{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування раціональних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь, нерівностей та їхніх систем, уміння розв’язувати рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \frac 12\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 6 - 5a - 2a^2;\\[6pt] \cos\frac{\pi}{3} = \frac 12;\\[6pt] \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Використовуємо метод допоміжного кута. Отримаємо:

Тригонометричне рівняння має корені, якщо \(|6 - 5a - 2a^2| \le 1.\)

Розв’яжемо кожну нерівність:

1) \(2a^2 + 5a - 5 \ge 0,\)

\begin{gather*} 2a^2 + 5a - 5 = 0;\\[7pt] D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 65;\\[6pt] a_1 = \frac{-5 + \sqrt{65}}{4};\\[6pt] a_2 = \frac{-5 - \sqrt{65}}{4} \end{gather*}

2) \(2a^2 + 5a - 7 \le 0,\)

Знайдемо розв’язок системи нерівностей

Найменше значення \(a\), при якому рівняння має розв’язки \(a = -3{,}5.\)

Відповідь: \(-3{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння та їхні системи, застосовувати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

Використаємо властивість функцій для розв'язку рівняння

\begin{gather*} 5\cos\frac{\pi y}{2} = x^2 - 8x + 21. \end{gather*}

Оцінимо вирази:

Отже, рівність \(5\cos\dfrac{\pi y}{2} = (x - 4)^2 + 5\) досягається при значенні змінних \(x\) та \(y\), при яких ліва і права частина дорівнюють \(5.\)

Розв'язком першого рівняння є пара \((4; 4n)\), \(n \in Z.\)

Підставимо у друге рівняння:

\begin{gather*} y + 5x - 4 = 0;\\[7pt] 4n + 5 \cdot 4 - 4 = 0;\\[7pt] 4n = -16;\\[7pt] n = -4. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи \((4; -16).\)

У відповідь запишемо суму

\begin{gather*} x_0 + y_0 = 4 + (-16) = -12. \end{gather*}

Відповідь: \(-12.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування рівнянь.

1.

\begin{gather*} \cos^2 x - \sin^2 x = 1,\\[7pt] \cos 2x = 1,\\[7pt] 2x = 2\mathbf{\pi}n,\ n \in Z,\\[7pt] x = \mathbf{\pi}n,\ n \in Z,\\[7pt] -5 \le \mathbf{\pi}n \le 5,\\[6pt] -\frac{5}{\mathbf{\pi}} \le n \le \frac{5}{\mathbf{\pi}},\\[6pt] n = -1; 0; 1. \end{gather*}

Рівняння має три корені.

Отже, 1 – Г.

2. \(\log_3 x = -2\), \(x = 3^{-2}\), \(x = \dfrac{1}{9}\) – один корінь.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, рівняння має два корені \(x = 0\), \(x = 2.\)

Отже, 3 – В.

4. \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0.\)

Нехай

\begin{gather*} x^2 = t \ge 0,\\[7pt] t^2 + 5t + 4 = 0,\\[7pt] D = 25 - 4\cdot 4 = 9,\\[6pt] t_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1,\\[6pt] t_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4. \end{gather*}

Обидва значення \(t < 0\), тому початкове рівняння не має жодного кореня.

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

Початкове рівняння має корінь \(x=-7{,}5\) незалежно від параметра \(a.\)

Отже, для того, щоб рівняння мало лише два різних кореня, друге рівняння повинно мати один корінь, який не дорівнює \(-7{,}5.\)

Розв'яжемо графічно рівняння \(|x+9|-|x-5|=a.\)

Розглянемо функції \(y=|x+9|-|x-5|\) та \(g(x)=a.\)

 

на області допустимих значень
при \(x \in [-7{,}5; 5]\) \begin{gather*} y=x+9+x-5,\\[7pt] y=2x+4. \end{gather*}
при \(x \in (5; +\infty)\) \begin{gather*} y=x+9-x+5,\\[7pt] y=14. \end{gather*}

 

 

Функції перетинаються в одній точці при \(a \in (-11; 14)\), але при \(a=-11\) корені двох рівнянь співпадуть та рівняння буде мати один корінь.

 

Отже, правильна відповідь \(a \in (-11; 14).\)
Найменше ціле значення \(a=-10.\)

Відповідь: \(-10.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння та їхні системи, застосовувати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

Оцінимо значення виразів:

\begin{gather*} \sqrt{2x^{2} + 7x - 9} \ge 0,\\[7pt] |\sin(\pi x) + 1| \ge 0. \end{gather*}

Отже, якщо рівняння має розв'язки, то кожний з виразів повинен дорівнювати нулю (щоб їх сума дорівнювала нулю).

\begin{gather*} \begin{cases} 2x^2 + 7x - 9 = 0,\ (1) \\ \sin(\pi x) + 1 = 0.\ (2) \end{cases} \end{gather*}

Розв'язуємо (1) рівняння:

Перевіримо, чи є коренями \(x_1 = 1\) та \(x_2=-\dfrac 92\) коренями (2) рівняння:

\begin{gather*} x_1=1;\\[7pt] \sin \pi + 1 = 0;\\[7pt] \end{gather*}

\(1 \ne 0\) не є розв'язком.

Отже, \(x = -4{,}5\) – корінь рівняння.

Відповідь: \(-4{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, ірраціональні рівняння, та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні, лінійні та квадратні рівняння та їхні системи.

$$ \text{ОДЗ:}\ \left\{\begin{array}{l} y-7x+33 \ge 0,\\ x \ge 0. \end{array}\right. $$

Піднесемо до квадрату обидві частини першого рівняння.

Перевіримо, чи належить ОДЗ \((4; 11).\)

\begin{gather*} 11-7\cdot 4+33\ge 0,\\[7pt] 11-28+33\ge 0. \end{gather*}

Нерівність виконується. Отже, \((4; 11)\) – розв’язок системи.

$$ x_0\cdot y_0=4\cdot 11=44. $$

Відповідь: \(44.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння і нерівності, що містять показникові вирази, рівняння з параметрами, застосовувати властивості функцій у процесі розв'язування рівнянь.

Розглянемо ліву частину рівняння.

Оцінимо область значень функції

\begin{gather*} y=2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)},\\[6pt] -1\le sin\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)\le 1,\\[6pt] 0\le sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)\le 1,\\[6pt] 2^0\le 2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}\le 2^1,\\[6pt] 1\le 2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}\le 2. \end{gather*}

Розглянемо праву частину рівняння:

Отже, рівність досягається при

Корінь рівняння буде додатним при \begin{gather*} \frac{n}{2}-\frac{5}{8},\\[6pt] n\gt \frac{5}{4},\\[6pt] n\gt 1\frac{1}{4},\ n\in Z. \end{gather*}

Отже, при \(n=2\), \(3\), \(4\text{...}\)

Найменше значення параметра \(a{:}\ n=2.\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}, \\ x=a+3, \end{array}\right.\\[6pt] a+3=\frac{3}{8},\\[6pt] a=-2\frac{5}{8},\\[6pt] a=-2{,}625. \end{gather*}

Відповідь: \(-2{,}625.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0,\\[6pt] x + \frac{\pi}{3} = \pi n,\ n \in Z,\\[6pt] x = -\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

При \(n = 1\) \begin{gather*} x = -\frac{\pi}{3} + \pi= \frac{2\pi}{3} \end{gather*} найменший додатний корінь.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x(x - 5) \ge 0, \\ (x - 4)(x - 5) \ge 0, \\ x - 5 \ge 0, \\ a \ge 0, \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge 5, \\ a \ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Використаємо властивість коренів:

\(x = 5\) – корінь рівняння незалежно від параметра \(a.\)

Для того, щоб рівняння мало два корені, необхідно, щоб \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) мало один корінь, який не збігається з \(x = 5.\)

\(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) піднесемо до квадрата обидві частини рівняння: \begin{gather*} x + x - 4 + 2\sqrt{x(x - 4)} = a,\\[7pt] 2\sqrt{x(x - 4)} = a + 4 - 2x. \end{gather*}

Ліва частина рівняння невід'ємна, тому й права частина повинна бути невід'ємною. Отже,

\begin{gather*} a + 4 - 2x,\\[7pt] 2x \le a + 4,\\[7pt] x \le \frac{a + 4}{2}. \end{gather*}

З урахуванням ОДЗ:

Найменше ціле значення параметра \(a\), при якому початкове рівняння має два корені при \(a \gt 6 + 2\sqrt{5}\)
\(6 + 2\sqrt{5} \approx 10{,}5.\) Отже, \(a = 11.\)

Відповідь: \(11.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння.

\(\cos x = \pi\) не має коренів, бо рівняння \(\cos x = a\) має корені при \(|a| \le 1.\)

\(x = -x\) має один корінь \(x = 0.\)

\(|x| = x\) має безліч коренів при \(x \ge 0.\)

\(|-x| = 2\) має два корені \(x = \pm 2\).

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Знайдемо ОДЗ:

\begin{gather*} \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x + 1 \ge 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge -0{,}5. \end{cases}\\[7pt] x \in [2; +\infty). \end{gather*}

Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння:

\begin{gather*} (x - 2)(2x + 1) = 3;\\[7pt] 2x^2 + x - 4x - 2 - 3 = 0;\\[7pt] 2x^2 - 3x - 5 = 0;\\[7pt] D = 9 - 4 \cdot 2(-5) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{3 + 7}{4} = 2{,}5;\\[6pt] x_2 = \frac{3 - 7}{4} = -1 \notin\ \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні та квадратні рівняння, нерівності та їхні системи.

Знайдемо область допустимих значень \(x{:}\)

\begin{gather*} 27 + 6x - x^2\gt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27\lt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27 = 0;\\[7pt] D = 36 + 4 \cdot 27 = 144;\\[6pt] x_1=\frac{6 + 12}{2} = 9;\\[6pt] x_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3. \end{gather*}

Знайдемо корені, які належать ОДЗ.

Отже, кількість коренів – \(4.\)

Відповідь: \(4.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесемо обидві частини рівняння до кубу, отримаємо рівносильне рівняння: \begin{gather*} 2x=(-3)^3,\ \text{або}\\[7pt] 2x=-27,\\[6pt] x=-\frac{27}{2}=-13{,}5. \end{gather*} Отже, корінь рівняння належить проміжку \((-20; -10)\).

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 3x=\mathrm{arctg}(\sqrt{3})+\pi n,\ n\in Z,\\[6pt] \mathrm{arctg}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},\\[6pt] 3x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in Z,\\[6pt] x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Система рівнянь з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь залежно від значень параметра \(a.\)

Перетворимо систему, виконавши рівносильні перетворення

Побудуємо геометричний образ кожного рівняння в прямокутній системі координат.

1. З рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) виразимо \(y\) через \(x\), розкривши модуль \(|y-2|.\)

Якщо \(y\in(-\infty; 2)\), то \(2(-y+2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=3|x|-7.\)

Якщо \(y\in[2; +\infty)\), то \(2(y-2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=-|x|+5.\)

Таким чином, графіком рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) є об’єднання частин графіків двох функцій: \(y=3|x|-7\), якщо \(y\in(-\infty; 2)\), і \(y=-|x|+5\), якщо \(y\in[2; +\infty)\) (див. рисунок).

2. Геометричним образом рівняння \(|5x-2a|=|y|\) є сукупність двох прямих: \(y=5x-2a\) і \(y=-5x+2a.\) На рисунку зображено геометричні образи цього рівняння для певних значень параметра \(a.\) Зазначимо, що графік цього рівняння при кожному фіксованому значенні параметра \(a\) симетричний відносно прямої \(x=\frac{2}{5}a.\)

Після геометричної інтерпретації рівнянь системи $$ \left\{\begin{array}{l} 2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x|=11-y,\\ 25x^2-20ax=y^2-4a^2, \end{array}\right. $$ зрозуміло, що єдине від’ємне значення параметра \(a\), при якому ця система матиме єдиний розв’язок буде лише у випадку, зображеному на рисунку.

В цьому випадку пряма \(y=5x-2a\) має пройти через точку \((-3; 2).\) З цієї умови і знаходимо значення параметра \(a{:}\) \(2=5\cdot(-3)-2a\), звідки \(a=-8{,}5.\)

Відповідь: \(-8{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати систему рівнянь з двома змінними.

Запишемо задані рівності у вигляді системи: $$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{x} + y = 5,\\ 2\sqrt{x} - y = 7. \end{array}\right. $$ Ця система є лінійною відносно \(\sqrt{x}\) та \(y.\)

Перший спосіб. Додамо почленно обидва рівняння системи: $$ \sqrt{x} + y + 2\sqrt{x} - y = 5 + 7. $$ Звівши подібні доданки, отримаємо рівняння \(3\sqrt{x} = 12\), або \(\sqrt{x} = 4.\) Підставивши у перше рівняння системи замість \(\sqrt{x}\), його значення \(4\), отримаємо \(4 + y = 5\), звідки \(y = 1.\)

Другий спосіб. З першого рівняння системи виразимо \(\sqrt{x}\) через \(y\mathord{:}\) \(\sqrt{x} = 5 - y\) і підставимо в друге рівняння замість \(\sqrt{x}\) значення \(5 - y.\) Отримаємо:

\begin{gather*} 2(5 - y) - y = 7,\\[7pt] 10 - 2y - y = 7,\\[7pt] -3y = 7 - 10,\\[7pt] y = 1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння досліджувати найпростіші тригонометричні рівняння \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\mathrm{tg}\ x = a\) і \(\mathrm{ctg}\ x = a.\)

Потрібно знати, що рівняння \(\sin x = a\) і \(\cos x = a\) мають безліч коренів, якщо \(a \in [-1; 1]\), і не мають коренів, якщо \(|a| \gt 1\), тобто \(a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty).\) Тригонометричні рівняння \(\mathrm{tg}\ x = a\) і \(\mathrm{ctg}\ x = a\) мають безліч коренів при будь-яких значеннях \(a.\)

Отже, рівняння, наведені у варіантах Б, В і Г, мають корені.
Розглянемо А: $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Оскільки $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1; 1] $$ (нагадаємо, що \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)), то рівняння $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ має корені.

Д: $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$ Оскільки $$ \frac{2}{\sqrt{3}} \gt 1, $$ то рівняння $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} $$ не має коренів.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати точки, що належить графіку функції.

Точка \((x_0; y_0)\) належить графіку функції \(y=f(x)\), якщо її координати задовольняють умову \(y_0=f(x_0).\)

Якщо точка \((x_0; 4)\) належить графіку функції $$ y=\sqrt{2x^2+x+1}, $$ то має виконуватися рівність: $$ 4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}. $$

Звідси після піднесення лівої і правої частин до квадрата дістанемо: \begin{gather*} 2x_0^2+x_0+1=16,\\[7pt] 2x_0^2+x_0-15=0,\\[7pt] x_0=2{,}5\ \text{або}\ x_0=-3. \end{gather*}

Оскільки за умовою \(x_0\gt 0\), то \(x_0=2{,}5.\)

Відповідь: \(2{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння з параметрами та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи тригонометричних рівнянь з параметрами.

Уведемо нові змінні: \(\cos x=u\), \(\sin x=v\), \(u,v\in [-1; 1].\) За основною тригонометричною тотожністю $$ \sin^2x+\cos^2x=1, $$ тому змінні \(u\) і \(v\) задовольняють умову $$ u^2+v^2=1. $$ Тоді вихідна система рівносильна системі

$$ \left\{\begin{array}{l} (2a-1)v+u=2,\\ av+(2a-1)u=a+1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)\\ u^2+v^2=1. \end{array}\right. $$

 

Дамо геометричне тлумачення системи (*). У координатній площині \(uv\) перші два рівняння задають прямі, а третє рівняння – коло радіуса \(1\) з центром у початку координат. Ця система може мати розв’язки лише у двох випадках:
1) прямі непаралельні, причому точка їх перетину лежить на колі;
2) прямі збігаються і мають з колом \(1\) або \(2\) спільні точки.

 

Якщо \((u_0; v_0)\) – розв’язок (*), то \(u_0\in [-1; 1]\) і \(v_0\in [-1; 1].\) Тоді задана система набуває вигляду $$ \left\{\begin{array}{l} \cos x=u_0,\\ \sin x=v_0 \end{array}\right. $$ і має безліч розв’язків. Отже, вихідна система має безліч розв’язків, якщо система (*) має принаймні один розв’язок.

 

Дослідимо систему (*). З першого рівняння виразимо змінну \(u\) через \(v\) і \(a{:}\) $$ u=2-(2a-1)v. $$ З урахуванням цього після підстановки отриманого виразу в друге рівняння системи і тотожних перетворень, друге рівняння набуде вигляду $$ (4a-1)(a-1)v=3(a-1). $$

 

У випадку, коли \(a=1\), маємо несумісну систему $$ \left\{\begin{array}{l} v+u=2,\\ u^2+v^2=1. \end{array}\right. $$ Це означає, що задана система рівносильна рівнянню $$ \sin x+\cos x=2, $$ яке розв’язків не має. Отже, \(a\ne 1.\)

 

Тоді \begin{gather*} v=\frac{3}{4a-1},\\[6pt] u=\frac{2a+1}{4a-1}. \end{gather*} Залишилося врахувати обмеження \(u^2+v^2=1\). Маємо:

\begin{gather*} \left(\frac{2a+1}{4a-1}\right)^2+\left(\frac{3}{4a-1}\right)^2=1,\\[6pt] (2a+1)^2+9=(4a-1)^2,\\[7pt] 4a^2-4a-3=0, \end{gather*}

звідки \(a_1=1{,}5\), \(a_2=-0{,}5\) – корені.

 

Отже, при кожному із значень \(a=1{,}5\) і \(a=-0{,}5\) задана система має безліч розв’язків. Так, при \(a=1{,}5\) система набуває вигляду

$$ \left\{\begin{array}{l} 2\sin x+\cos x=2,\\ 3\sin x+4\cos x=5, \end{array}\right. $$

звідки \(\sin x=\dfrac{3}{5}\) і \(\cos x=\dfrac{4}{5}\), а розв’язки системи задаються формулою

$$ x=\mathrm{arctg}\frac{3}{4}+2\pi n,\ n\in Z. $$

Отже, найбільшим значенням параметра \(a\), за якого вихідна система має безліч розв’язків, є число \(1{,}5.\)

 

Відповідь: \(1{,}5.\)

 

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sin x = 1;\\[6pt] \sin x = \frac 12;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \arcsin \frac 12 + \pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь методом підстановки.

З першого рівняння маємо \(\sqrt{x} = 4.\) Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, отримаємо \(x_{0} = 16.\) Підставивши це значення в друге рівняння, отримаємо $$ 16 - 2y = 26, $$ звідки \(y_{0} = -5.\) Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 16 - 5 = 11. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між тригонометричними функціями одного аргумента та вміння розв'язувати тригонометричні рівняння.

Оскільки $$ \frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\ x, $$ то вихідне рівняння запишемо у вигляді: $$ 3\mathrm{tg}\ x=\sqrt{3}, $$ звідки $$ \mathrm{tg}\ x=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Розв'язком такого рівняння є

$$ x=\mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n,\ n\in Z. $$

Оскільки $$ \mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}, $$ то остаточно отримаємо

$$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in Z. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні рівняння. Функції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, знаходити область визначення функції, знання методів розв’язування ірраціональних рівнянь.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата. Отримали рівняння, яке є наслідком даного:

\begin{gather*} 6-4x=16,\\[7pt] -4x=10,\\[7pt] x=-2\mathord{,}5. \end{gather*}

Перевірка показує, що \(x=-2\mathord{,}5\) є коренем даного рівняння:

\begin{gather*} \sqrt{6-4\cdot (-2\mathord{,}5)}=4,\\[7pt] \sqrt{16}=4. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку \([-3; -1).\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні нерівності.

Рівняння однорідне I степені. Поділимо обидві частини рівняння на \(\cos x \ne 0.\)

\begin{gather*} \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0\ | : \cos x \ne 0;\\[7pt] \mathrm{tg}\ x - \sqrt{3} = 0;\\[7pt] \mathrm{tg}\ x = \sqrt{3};\\[7pt] x = \mathrm{arctg}\ \sqrt{3} + \pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} x - 5 = \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 0;\\[7pt] \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x;\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = (5 - x)^2, \\ 5 - x \ge 0, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2, \\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 6, \\ x = -2, \end{array}\right.\\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] x = -2. \end{gather*}

Відповідь: \(-2.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=\sqrt{3};\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ \sqrt{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] \frac x2=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\ne Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати степеневі рівняння.

За властивістю модуля числа:

1) при \(x\gt 0\)

\begin{gather*} x^3-4x=0;\\[7pt] x(x-2)(x+2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2,\\ x=-2\ \text{не належить}\ [0; +\infty). \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння має два корені.

2) при \(x\lt 0\)

\begin{gather*} x^3+4x=0;\\[7pt] x(x^2+4)=0. \end{gather*}

\(x=0\) не належить \((-\infty; 0).\)

Рівняння не має коренів.

Отже, при всіх значеннях \(x\) рівняння має \(2\) корені.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні та ірраціональні нерівності.

Корені рівняння \(x_1=3\) та \(x_2=5.\)

Сума коренів

\begin{gather*} x_1+x_2=3+5=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних рівнянь, уміння розв'язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{x}=1,\\[6pt] \sqrt{x}=\frac 14. \end{gather*}

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата й знаходимо \(x.\)

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=\left(\frac 14\right)^2,\\[6pt] x=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування тригонометричних рівнянь.

Рівняння \(\cos x=a\) при \(|a|\lt 1\) має розв'язок \(x\pm \mathrm{arccos}\ a+2\mathbf{\pi}n\), \(n\in Z.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати степеневі рівняння.

\begin{gather*} x^3=-0\mathord{,}027\\[7pt] x^3=(-0\mathord{,}3)^3\\[7pt] x=-0\mathord{,}3\\[7pt] -0\mathord{,}5\lt -0\mathord{,}3\lt -0\mathord{,}25. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

За властивістю пропорції $$ \frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac 25,\ \ \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}. $$ Отже, \(\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac 25.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Розв'яжемо ірраціональне рівняння: $$ \sqrt{x+12}=3 $$ піднесемо обидві частини рівняння до квадрату.

\begin{gather*} x+12=9\\[7pt] x=9-12\\[7pt] x=-3\\[7pt] x=-3\ \in [-6;\ 0) \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

\((16;\ -5)\) – розв'язок системи. Отже, \begin{gather*} x_0+y_0=16+(-5)=11. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) найпростіше тригонометричне рівняння. Корені знаходимо за формулою:

\begin{gather*} x=(-1)^k\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathbf{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}.\\[6pt] x=(-1)^k\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}. \end{gather*}

На відрізку \(x\in [0;\ 3\mathbf{\pi}]\) знаходимо корені:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

Розв'яжемо тригонометричне рівняння:

\begin{gather*} \sin 4x=-1,\\[6pt] 4x=-\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\ \ |\ :4\\[6pt] x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8}+\frac{\mathbf{\pi}n}{2},\ n\in \mathbb{Z}\\[6pt] \text{при}\ n=0\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8};\\[6pt] \text{при}\ n=1\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8}+\frac{\mathbf{\pi}}{2}=\frac{-\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}}{8}=\frac{3\mathbf{\pi}}{8} - \text{корінь рівняння}. \end{gather*}

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати тригонометричні рівняння, нерівності другого степеня та їх системи з параметрами.

Тригонометричне рівняння \(\sin\left(x+\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)=2a^2+5a-6\) має корені при \(|2a^2+5a-6|\le 1.\)

1)

2)

Розв'язок системи:

Найменше значення \(a=-3,5.\)

Відповідь: -3,5.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

При \(n=0\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}.\)

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Щоб визначити корінь рівняння, треба підставити значення \(x\) у рівняння. Після цього з'ясувати, за якого значення \(x\) рівняння стає правильною рівністю.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\mathord{:}\)

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)\right)=-1,\\[6pt] 2\cdot \sin \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)=-1,\\[6pt] 2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1,\\[6pt] \sqrt{3}\ne -1. \end{gather*}

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\) не є коренем рівняння.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\mathord{:}\)

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)\right)=-1,\\[6pt] -2\cdot \sin \frac{\mathbf{2\pi}}{3}=-1,\\[6pt] \sin{2\mathbf{\pi}}{3}=\frac 12,\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac 12. \end{gather*}

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\) не є коренем рівняння.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\mathord{:}\)

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\right)\right)=-1,\\[6pt] -2\cdot \sin \frac{\mathbf{\pi}}{6}=-1,\\[6pt] -2\cdot \frac 12=-1. \end{gather*}

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\) – корінь рівняння.

Другий спосіб:

Якщо \(k=0\mathord{:}\)

$$ x=(-1)^{0+1}\frac{\mathbf{\pi}}{12}+\frac{\mathbf{\pi}\cdot 0}{2}=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}. $$

Це – корінь рівняння.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром.

Зробімо заміну: \(\sqrt{5x-a}=t\ge 0\), тоді \(5x-a=t^2.\)

\begin{gather*} 10x-2a-7\sqrt{5x-a}+3=0,\\[7pt] 2(5x-a)-7\sqrt{5x-a}+3=0,\\[7pt] 2t^2-7t+3=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння відносно \(t{:}\)

Сума коренів:

Отже, за \(a=-0\mathord{,}875\) сума коренів рівняння дорівнює \(1\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}875.\)

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac{x}{2}=1,\\[6pt] \frac x2=\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ n\in Z,\\[6pt] x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}n,\ n\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння:

якщо \(n=0\), $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо \(n=-1\),

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=2\), то \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} \sqrt{x-2}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрату:

\begin{gather*} (\sqrt{x-2})^2=4^2,\\[7pt] x-2=16,\\[7pt] x=16+2,\\[7pt] x=18. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac x2=-1;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in Z;\\[6pt] x=-\pi+4\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння: якщо \(k=1\), \(x=-\pi+4\pi=3\pi.\)

Серед запропонованих варіантів відповіді є цей корінь.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Загальний розв'язок:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \pi x=1;\\[7pt] \pi x=\mathrm{arctg}\ 1+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(\pi{:}\)

\begin{gather*} x=\frac{1}{4}+k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac 14.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 3\sqrt{x}=12;\\[6pt] \sqrt{x}=\frac{12}{3};\\[6pt] \sqrt{x}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата й обчислімо \(x{:}\)

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=4^2;\\[7pt] x=16. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sqrt{3}\cos x=3;\\[6pt] \cos x=\frac{3}{2\sqrt{3}}. \end{gather*}

Усуньмо ірраціональність у знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо \(k=0\), \(x=\pm \frac{\pi}{6}.\)

Оскільки функція косинус парна, то

\begin{gather*} \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Отже, \(-\frac{\pi}{6}\) – корінь рівняння.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{3}\sin x=6;\\[6pt] \sin x=\frac{6}{4\sqrt{3}}. \end{gather*}

Позбудимося ірраціональності в знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\\[6pt] \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=(-1)^n\mathrm{arcsin}\ \frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=(-1)^n\frac{\pi}{3}=\pi^2n,\ n\in Z;\\[6pt] n=0\Rightarrow x= (-1)^0\frac{\pi}{3}+\pi\cdot 0=\frac{\pi}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\frac{\pi}6+\pi n,\ \text{де}\ n\in Z. \end{gather*}

 

Розгляньмо значення \(n\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

 

Якщо \(n=0\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=-1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\frac x3=0;\\[6pt] \frac x3=\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=3\pi n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=0.\)

Якщо \(n=1\), то \(x=3\pi.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\cos x=\sqrt{2};\\[6pt] \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Рівняння \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\pm\mathrm{arccos}\ \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k, \ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

 

Якщо \(k=0\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{\pi}{4}\) належить проміжку \([0; \pi].\)

 

Якщо \(k=1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

 

Якщо \(k=-1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

 

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

Піднесімо обидві частини першого рівняння до квадрата:

\begin{gather*} ((\sqrt{a})^2=a,\ \text{якщо}\ a\ge 0){:}\\[7pt] 2x=6;\\[7pt] x=6:2. \end{gather*}

Підставмо \(x=3\) у рівняння \(x-4y=7{:}\)

\begin{gather*} 3-4y=7;\\[7pt] -4y=7-3;\\[7pt] -4y=4;\\[7pt] y=4:(-4);\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-1.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=-1.\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ (-1)+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi\cdot 0=-\dfrac{\pi}{2}.\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \pi x=1;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=\frac 12 +2n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=\dfrac 12.\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник визначений і не дорівнює нулю.

Область допустимих значень (ОДЗ).

Для існування коренів виразу підкореневі вирази мають бути невід'ємними:

\begin{gather*} x\ge 0;\\[7pt] 3-x\ge 0;\\[7pt] x\le 3. \end{gather*}

 

Отже, допустимі значення змінної: \(x\in [0; 3].\)

 

(Зауважмо, що знаменник \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\) ніколи не перетворюється на \(0\), бо сума двох невід'ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли вони обоє одночасно дорівнюють нулю, що для \(x=0\) та \(x=3\) неможливо).

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}-\sqrt{27}=0;\\[7pt] 3^{\textstyle 2a-5x+2}=\sqrt{27}. \end{gather*}

Зведімо обидві частини до однієї основи \(3\) (зважаємо на те, що \(27=\sqrt{3^3}=3^{\textstyle \frac 32}=3^{1{,}5}\)):

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}=3^{\textstyle 1{,}5}. \end{gather*}

Показники степенів рівні:

\begin{gather*} 2a-5x+2=1{,}5;\\[7pt] 5x=2a+0{,}5;\\[6pt] x=\frac{2a+0{,}5}{5}. \end{gather*}

Рівняння матиме корені, якщо обчислене значення \(x\) задовольняє ОДЗ, тобто належить проміжку \([0; 3]{:}\)

\begin{gather*} 0\le\frac{2a+0{,}5}{5}\le 3. \end{gather*}

Помножмо всі частини нерівності на \(5{:}\)

\begin{gather*} 0\le 2a+0{,}5\le 15;\\[7pt] 0-0{,}5\le 2a\le 15-0{,}5;\\[7pt] -0{,}5\le 2a\le 14{,}5. \end{gather*}

Поділімо на \(2{:}\)

\begin{gather*} -0{,}25\le a\le 7{,}25. \end{gather*}

 

Найбільше значення \(a\), за якого рівняння має корені, дорівнює \(7{,}25.\)

 

Відповідь: \(7{,}25.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння й порівнювати раціональні числа.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата:

\begin{gather*} (\sqrt{48-12x})^2=12^2;\\[7pt] 48-12x=144;\\[7pt] -12x=144-48;\\[7pt] -12x=96;\\[7pt] x=96:(-12);\\[7pt] x=-8. \end{gather*}

Корінь належить проміжку \((-16; 0].\)

Відповідь: Б.