Алгебра і початки аналізу – Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила суми.

Кількість різних варіантів замовлення одного десерту – \(10\), а однієї чашки кави – \(12.\)

За комбінаторним правилом суми кількість способів замовити або один десерт, або одну чашку кави дорівнює:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має \(4\) різні листівки і \(2\) кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього \(4\) штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати \(4\) листівки \(4\) різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

Для кожного з \(4\) адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо \(2^4=16.\)

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(384.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

Виберімо \(2\) білі троянди з \(12\) наявних.

Використаймо формулу:

Виберімо \(1\) червону троянду з \(25\) наявних.

Тут усе просто: вибрати \(1\) об’єкт із \(25\) можна \(25\) способами: \begin{gather*} C_{25}^1=25. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати \(2\) білі й \(1\) червону троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(1650.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є \(10\) моделей кольорових принтерів. Вибрати \(2\) з них можна \(\mathrm{C}_{10}^2\) варіантами.

Вибрати \(3\) принтери з \(8\) монохромних моделей можна \(\mathrm{C}_8^3\) варіантами.

Підприємство планує купити і \(2\) кольорові, і \(3\) монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(2520.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила добутку.

Кількість варіантів вибрати з \(9\) учнів і \(12\) учениць першого класу (всього \(21\) особа) одну дитину: $$ C_{21}^1=21. $$

Кількість варіантів вибрати з \(10\) учнів одного: $$ C_{10}^1=10, $$ а з \(8\) учениць одну: $$ C_8^1=8. $$

Оскільки вибір незалежний, вибрати \(1\) учня й \(1\) ученицю з одинадцятого класу можна \begin{gather*} 10\cdot 8=80 \end{gather*} варіантами.

Вибір одного першокласника та вибір учня разом з ученицею з одинадцятого класу не впливають один на одного, тобто є незалежними подіями. Тому загальну кількість можливостей визначаємо за комбінаторним правилом добутку: \begin{gather*} 80\cdot 21=1680 \end{gather*} варіантів.

Відповідь: \(1680.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Якщо першим уроком буде фізкультура, а інші п'ять можна переставляти, то різних варіантів скласти розклад знаходимо за комбінаторною формулою перестановок $$ P_A=n! $$ Отже, $$ P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$ Варіантів скласти розклад з останнім уроком фізкультури також \(120.\)

Всього існує \(240\) різних варіантів розкладу уроків.

Відповідь: 240.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторні правила добутку.

Кількість можливостей розмістити політичні новини - \(2,\) суспільних - \(3!=6,\) спортивну - \(1.\)

Отже, за правилом добутку кількість різних полідовностей розміщення новин $$ 2\cdot 6\cdot 1=12. $$

Відповідь: 12.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє здатність застосування формул комбінаторики, зокрема сполук, до розв’язування комбінаторних задач.

Склад музичного квартету – \(4\) будь-які учасники (хлопці чи дівчата). Отже, вибирають з \(6\) учасників, порядок вибору неважливий, тому застосуємо формулу сполук: $$ \mathrm{C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}}. $$

Відповідь: 15.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Розв'яжемо задачу з комбінаторики: вибираємо з \(8\) збірників \(2,\) а з \(10\) науково-популярних книг \(3.\)

Книги різні, тому застосуємо формулу сполук, щоб знайти кількість варіантів вибору книг кожного виду та правило добутку:

Відповідь: 3360.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення.

Кількість способів вибрати 3 смайлики з 15 знаходимо за формулою розміщень:

$$ A^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} $$ Вибрані смайлики можуть розміщуватися по-різному.

Відповідь: 2730.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.

Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:

Кількість розміщень політичних новин в стрічці \(2!\), а суспільних новин – \(3!\). Спортивна новина 1 та йде останньою.

За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$

Відповідь: 12.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.

У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$

Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.

Відповідь: 0,56.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення (без повторень), комбінаторні правила суми та добутку.

Кількість способів вибрати 2 теми з 10 запропонованих знаходимо за формулою розміщень:

Відповідь: 90.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

На місце водія є \(2\) можливості посадити водія. Решта копанії розсядуться довільно. Кількість варіантів розсадити на пасажирські місця знаходимо за формулою: \begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(5)=5!=120. \end{gather*}

Усього способів зайняти місця $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: \(240.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.

Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.

Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$

Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.

Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$

За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Піднятись на гору можна \(1\) з \(5\) варіантів, а спуститися – \(1\) з \(4\) (спускатися треба іншою).

Усього варіантів вибору маршруту \(5 \cdot 4 = 20\) (за правилом добутку).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Оскільки спочатку інформацію промовляють українською, то таких варіантів – один.

Далі \(4\) елементи: англійська, німецька, російська, польська переставляються. Отже, за формулою $$ P_n=n! $$ знаходимо $$ P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24. $$

За правилом добутку знаходимо загальнку кількість можливих варіантів: $$ 1\cdot 24=24. $$

Відповідь: \(24.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість варіантів вибору в місті з \(10\) об'єктів \(4\) знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти

Відповідь: \(630.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати тарілку – \(6\), чашку та блюдце \(8\cdot 12=96.\)

Якщо влаштовує варіант вибрати або тарілку, або чашку та блюдце, то, використовуючи комбінаторне правило додавання, отримаємо \(96+6=102\) способи купити подарунок.

Відповідь: \(102.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.

Солісті – \(4\), гурти – \(3.\)

Варіантів скласти послідовності виступів солістів \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.\)

Варіантів скласти послідовність гуртів \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6.\)

За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
\(24\cdot 6=144.\)

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі комбінаторного характеру, знання комбінаторного правила добутку.

Для оформлення салону замовили \(2\) орхідеї з \(10\) та \(5\) хризантем з \(8.\)

Оскільки всі квіти різного кольору, то кількість способів формування замовлення знаходимо за формулою комбінацій та комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(2520.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінації комбінаторного правила добутку; уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Клієнт вибирає \(2\) м'ясні добавки з \(8\), але однією обов'язково повинна бути шинка. За формулою \(C_n^m\), де \(n=7\) (тому що шинка є обов'язковою) \(m=1.\)

\(C_7^1\) – кількість варіантів вибрати м'ясну добавку.

З \(9\) овочевих добавок клієнт вибирає \(3\), крім цибули, тому за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=56 $$ кількість варіантів вибрати овочеву добавку.

Отже, якщо необхідно вибрати і м'ясну, і овочеву добавку, то за комбінаторним правилом добутку знаходимо: $$ C_7^1\cdot C_8^3=7\cdot 56=392. $$

Відповідь: \(392.\)

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Комбінації. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінацій, комбінаторні правила суми й добутку, уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість усіх можливих комбінацій з \(n\) елементів по \(k\) елементів знаходимо за формулою $$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}. $$

Кількість способів вибрати \(3\) фотографії з \(8\) зі своїм зображенням знаходимо за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{(8-3)!3!}=\frac{8!}{5!3!}. $$

Кількість способів вибрати \(2\) фотографії з \(6\) для сайту $$ C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}. $$

Кількість способів вибрати означені в умові фотографії знаходимо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(840.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість способів розташування \(5\) автобусів в колоні знаходимо за формулою перестановок:

Так як супровідні автомобілі можуть помінятися місцями, то способів складання колони $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: \(240.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати один торт з десяти: $$ C_{10}^1=10. $$

Кількість способів вибрати \(3\) пачки печива з \(15\) знаходимо:

Необхідно вибрати або \(1\) торт або \(3\) пачки печива, тому використовуємо комбінаторне правило суми:

Відповідь: \(465.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи комбінаторні формули.

Оскільки серед трьох різних видів чаю, які обирає покупець, обов'язково є вид "чорна перлина", то шукана кількість варіантів вибору трьох коробок чаю дорівнює кількості варіантів вибору двох коробок різних видів з \(7\) видів чаю, відмінних від виду "чорна перлина". Тому всього у покупця є \(C_7^2\) варіантів сформувати такий набір з трьох коробок чаю. Використовуючи формулу $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ в якій $$ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot (n-1)n, $$ знайдемо:

Наведені міркування можна обґрунтувати ще так.

Правило добутку. Якщо елемент \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а після цього елемент \(B\) – \(m\) способами, то \(A\) i \(B\) можна вибрати \(nm\) способами.

Розділимо \(8\) видів чаю на дві частини: перша частина – вид чаю "чорна перлина", а друга – решта \(7\) видів. Набір з \(3\) видів чаю містить чай виду "чорна перлина" та двох інших видів. Вид чаю "чорна перлина" з одного виду можна вибрати лише одним способом \((C_1^1=1)\), а чай двох інших різних видів можна вибрати \(C_7^2\) способами. Оскільки вибір чаю "чорна перлина" та чаю двох інших видів не залежить один від одного, то за правилом добутку загальна кількість варіантів формування наборів чаю, зазначених в умові, дорівнює $$ C_1^1C_7^2=1\cdot C_7^2=21. $$

Зауваження. Важливо розрізняти, у яких випадках потрібно застосовувати формулу для обчислення кількості комбінацій: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ а в яких – формулу для обчислення кількості розміщень:

У нашому випадку, під час формування наборів чаю не важливим є порядок вибору виду чаю, тому використано формулу для обчислення кількості комбінацій.

Відповідь: \(21.\)