Розділ: Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика
Тема: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку
Кількість завдань: 35
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі.
Якщо першим уроком буде фізкультура, а інші п'ять можна переставляти, то різних варіантів скласти розклад знаходимо за комбінаторною формулою перестановок $$ P_A=n! $$ Отже, $$ P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$ Варіантів скласти розклад з останнім уроком фізкультури також \(120.\)
Всього існує \(240\) різних варіантів розкладу уроків.
Відповідь: 240.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторні правила добутку.
Кількість можливостей розмістити політичні новини - \(2,\) суспільних - \(3!=6,\) спортивну - \(1.\)
Отже, за правилом добутку кількість різних полідовностей розміщення новин $$ 2\cdot 6\cdot 1=12. $$
Відповідь: 12.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє здатність застосування формул комбінаторики, зокрема сполук, до розв’язування комбінаторних задач.
Склад музичного квартету – \(4\) будь-які учасники (хлопці чи дівчата). Отже, вибирають з \(6\) учасників, порядок вибору неважливий, тому застосуємо формулу сполук: $$ \mathrm{C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}}. $$
\begin{gather*} \mathrm{C_6^4}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{5\cdot 6}{2}=15. \end{gather*}Відповідь: 15.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.
Розв'яжемо задачу з комбінаторики: вибираємо з \(8\) збірників \(2,\) а з \(10\) науково-популярних книг \(3.\)
Книги різні, тому застосуємо формулу сполук, щоб знайти кількість варіантів вибору книг кожного виду та правило добутку:
\begin{gather*} \mathrm{C_8^2\cdot C_{10}^3}=\frac{8!}{2!6!}\cdot \frac{10!}{3!7!}=\frac{7\cdot 8\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=\\[6pt] =4\cdot 4\cdot 3\cdot 10\cdot 7=48\cdot 70=3360. \end{gather*}Відповідь: 3360.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення.
Кількість способів вибрати 3 смайлики з 15 знаходимо за формулою розміщень:
$$ A^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} $$ Вибрані смайлики можуть розміщуватися по-різному.
Відповідь: 2730.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.
Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:
Кількість розміщень політичних новин в стрічці \(2!\), а суспільних новин – \(3!\). Спортивна новина 1 та йде останньою.
За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$
Відповідь: 12.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.
У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$
Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.
Відповідь: 0,56.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення (без повторень), комбінаторні правила суми та добутку.
Кількість способів вибрати 2 теми з 10 запропонованих знаходимо за формулою розміщень:
Відповідь: 90.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.
На місце водія є \(2\) можливості посадити водія. Решта копанії розсядуться довільно. Кількість варіантів розсадити на пасажирські місця знаходимо за формулою: \begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(5)=5!=120. \end{gather*}
Усього способів зайняти місця $$ 120\cdot 2=240. $$
Відповідь: \(240.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.
Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.
Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.
Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$
Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.
Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$
За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$
Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі.
Піднятись на гору можна \(1\) з \(5\) варіантів, а спуститися – \(1\) з \(4\) (спускатися треба іншою).
Усього варіантів вибору маршруту \(5 \cdot 4 = 20\) (за правилом добутку).
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.
Оскільки спочатку інформацію промовляють українською, то таких варіантів – один.
Далі \(4\) елементи: англійська, німецька, російська, польська переставляються. Отже, за формулою $$ P_n=n! $$ знаходимо $$ P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24. $$
За правилом добутку знаходимо загальнку кількість можливих варіантів: $$ 1\cdot 24=24. $$
Відповідь: \(24.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.
Кількість варіантів вибору в місті з \(10\) об'єктів \(4\) знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти
Відповідь: \(630.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.
Кількість способів вибрати тарілку – \(6\), чашку та блюдце \(8\cdot 12=96.\)
Якщо влаштовує варіант вибрати або тарілку, або чашку та блюдце, то, використовуючи комбінаторне правило додавання, отримаємо \(96+6=102\) способи купити подарунок.
Відповідь: \(102.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.
Солісті – \(4\), гурти – \(3.\)
Варіантів скласти послідовності виступів солістів \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.\)
Варіантів скласти послідовність гуртів \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6.\)
За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
\(24\cdot 6=144.\)
Відповідь: \(144.\)
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі комбінаторного характеру, знання комбінаторного правила добутку.
Для оформлення салону замовили \(2\) орхідеї з \(10\) та \(5\) хризантем з \(8.\)
Оскільки всі квіти різного кольору, то кількість способів формування замовлення знаходимо за формулою комбінацій та комбінаторним правилом добутку:
$$ C_{10}^2\cdot C_8^5=\frac{10!}{2!8!}\cdot \frac{8!}{5!3!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=2520. $$Відповідь: \(2520.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.
Це завдання перевіряє знання означення комбінації комбінаторного правила добутку; уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.
Клієнт вибирає \(2\) м'ясні добавки з \(8\), але однією обов'язково повинна бути шинка. За формулою \(C_n^m\), де \(n=7\) (тому що шинка є обов'язковою) \(m=1.\)
\(C_7^1\) – кількість варіантів вибрати м'ясну добавку.
З \(9\) овочевих добавок клієнт вибирає \(3\), крім цибули, тому за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=56 $$ кількість варіантів вибрати овочеву добавку.
Отже, якщо необхідно вибрати і м'ясну, і овочеву добавку, то за комбінаторним правилом добутку знаходимо: $$ C_7^1\cdot C_8^3=7\cdot 56=392. $$
Відповідь: \(392.\)
ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Комбінації. Комбінаторні правила суми та добутку.
Це завдання перевіряє знання означення комбінацій, комбінаторні правила суми й добутку, уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.
Кількість усіх можливих комбінацій з \(n\) елементів по \(k\) елементів знаходимо за формулою $$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}. $$
Кількість способів вибрати \(3\) фотографії з \(8\) зі своїм зображенням знаходимо за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{(8-3)!3!}=\frac{8!}{5!3!}. $$
Кількість способів вибрати \(2\) фотографії з \(6\) для сайту $$ C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}. $$
Кількість способів вибрати означені в умові фотографії знаходимо за комбінаторним правилом добутку:
Відповідь: \(840.\)
