Розділ: Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика
Тема: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку
Кількість завдань: 35
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі.
Якщо першим уроком буде фізкультура, а інші п'ять можна переставляти, то різних варіантів скласти розклад знаходимо за комбінаторною формулою перестановок $$ P_A=n! $$ Отже, $$ P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$ Варіантів скласти розклад з останнім уроком фізкультури також \(120.\)
Всього існує \(240\) різних варіантів розкладу уроків.
Відповідь: 240.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє здатність застосування формул комбінаторики, зокрема сполук, до розв’язування комбінаторних задач.
Склад музичного квартету – \(4\) будь-які учасники (хлопці чи дівчата). Отже, вибирають з \(6\) учасників, порядок вибору неважливий, тому застосуємо формулу сполук: $$ \mathrm{C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}}. $$
\begin{gather*} \mathrm{C_6^4}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{5\cdot 6}{2}=15. \end{gather*}Відповідь: 15.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.
Розв'яжемо задачу з комбінаторики: вибираємо з \(8\) збірників \(2,\) а з \(10\) науково-популярних книг \(3.\)
Книги різні, тому застосуємо формулу сполук, щоб знайти кількість варіантів вибору книг кожного виду та правило добутку:
\begin{gather*} \mathrm{C_8^2\cdot C_{10}^3}=\frac{8!}{2!6!}\cdot \frac{10!}{3!7!}=\frac{7\cdot 8\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=\\[6pt] =4\cdot 4\cdot 3\cdot 10\cdot 7=48\cdot 70=3360. \end{gather*}Відповідь: 3360.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення.
Кількість способів вибрати 3 смайлики з 15 знаходимо за формулою розміщень:
$$ A^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} $$ Вибрані смайлики можуть розміщуватися по-різному.
Відповідь: 2730.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.
Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:
Кількість розміщень політичних новин в стрічці \(2!\), а суспільних новин – \(3!\). Спортивна новина 1 та йде останньою.
За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$
Відповідь: 12.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.
У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$
Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.
Відповідь: 0,56.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення (без повторень), комбінаторні правила суми та добутку.
Кількість способів вибрати 2 теми з 10 запропонованих знаходимо за формулою розміщень:
Відповідь: 90.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.
Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.
Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.
Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$
Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.
Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$
За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$
Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі.
Піднятись на гору можна \(1\) з \(5\) варіантів, а спуститися – \(1\) з \(4\) (спускатися треба іншою).
Усього варіантів вибору маршруту \(5 \cdot 4 = 20\) (за правилом добутку).
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.
Кількість варіантів вибору в місті з \(10\) об'єктів \(4\) знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти
Відповідь: \(630.\)
