Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку – тести ЗНО/НМТ

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика
Тема: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку
Кількість завдань: 52

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 52

Автомобільний шлях має $5$ перехресть. Перед кожним перехрестям автомобіль або зупиняється, або проїжджає перехрестя без зупинки. Скільки всього варіантів проїжджання автомобілем через ці перехрестя?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння застосовувати правило добутку в розв’язуванні комбінаторних задач.

На кожному з 5 перехресть автомобіль має лише $2$ варіанти дії:

зупинитися;
проїхати без зупинки.

Щоб обчислити загальну кількість способів, треба перемножити кількість варіантів для кожного перехрестя:

\begin{gather*} 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5=32\ \text{варіанти}. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ – $m$ способами, то пару $A$ і $B$ можна вибрати $n\cdot m$ способами.

Відповідь: $32.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37474

Завдання 2 з 52

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте залу кінотеатру, яку відвідало найбільше глядачів.

Абіла

Бблакитна

Вжовта

Гзелена

Дфіолетова

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Треба знайти залу, яку відвідало найбільше глядачів, тобто відшукати найвищий стовпчик на графіку.

А Біла зала: стовпчик сягає позначки $55.$
Б Блакитна зала: стовпчик сягає позначки $40.$
В Жовта зала: стовпчик сягає позначки $35.$
Г Зелена зала: стовпчик сягає позначки $20.$
Д Фіолетова зала: стовпчик сягає позначки $45.$

Отже, найбільше глядачів відвідало білу залу:

\begin{gather*} 20\lt 35\lt 40\lt 45\lt 55. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37457

Завдання 3 з 52

Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із $5$ різних книг, у якому $2$ збірники олімпіадних задач і $3$ науково-популярні книжки. Скільки всього є варіантів формування такого комплекту, якщо в наявності $8$ різних збірників і $10$ різних науково-популярних книжок?

Впишіть відповідь:

3360

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Оскільки порядок книг у комплекті не має значення, для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Кількість способів вибрати $2$ збірники з $8{:}$

\begin{gather*} C_{8}^2=\frac{8!}{2!\cdot (8-2)!}=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=\frac{7\cdot 8}{1\cdot 2}=7\cdot 4=28. \end{gather*}

Кількість способів вибрати $3$ науково-популярні книжки з $10{:}$

\begin{gather*} C_{10}^3=\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}=\\[6pt] =\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=4\cdot 3\cdot 10=120. \end{gather*}

Оскільки треба вибрати і збірники, і науково-популярні книжки одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 28\cdot 120=3360. \end{gather*}

Відповідь: $3360.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 739. Завдання: 37397

Завдання 4 з 52

Інтернет-магазин пропонує флешнакопичувачі обсягом пам'яті $32$ Гб ($12$ видів) та обсягом пам'яті $64$ Гб ($10$ видів). Микола планує в цьому магазині купити $3$ різні флешнакопичувачі: $2$ – обсягом $32$ Гб і $1$ – обсягом $64$ Гб. Скільки всього в Миколи варіантів замовлення для купівлі флешнакопичувачів із заданими параметрами пам'яті?

Впишіть відповідь:

660

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Оскільки Микола купує «різні» флешки і нам не важливо, яку він покладе в кошик першою, а яку другою, скористаймося формулою комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Обираємо $2$ флешки по $32$ ГБ.

Миколі потрібно вибрати $2$ з $12$ наявних варіантів.

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{10!\cdot 11\cdot 12}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{1\cdot 2}=11\cdot 6=66\ (\text{способів}). \end{gather*}

Обираємо $1$ флешку по $64$ ГБ.

Миколі потрібно вибрати $1$ варіант із $10.$ Це можна зробити $10$ способами.

\begin{gather*} C_{10}^1=10\ (\text{способів}). \end{gather*}

Оскільки Микола має купити і першу групу, і другу одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 66\cdot 10=660\ (\text{способів}). \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ — $m$ способами, то пару $A$ і $B$ можна вибрати $n\cdot m$ способами.

Відповідь: $660.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37373

Завдання 5 з 52

В інтернет-магазині пропонують футболки $10$ видів і шорти $15$ видів українського виробництва, а також $8$ видів імпортних готових комплектів (футболка та $2$ однакові пари шортів). Скільки всього є варіантів вибору в цьому магазині футболки та $2$ однакових пар шортів, якщо речі з комплекту не можна купити окремо?

Впишіть відповідь:

158

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило суми та добутку.

1. “Готовий комплект” (Імпортні).

Магазин пропонує $8$ видів готових імпортних комплектів (кожен з яких вже містить $1$ футболку та $2$ однакові пари шортів). Речі з комплекту не можна купити окремо. Отже маємо $8$ варіантів вибору.

2. “Збери сам” (Українське виробництво).

Магазин пропонує $10$ видів футболок і $15$ видів шортів українського виробництва. Оскільки нам потрібно $2$ однакові пари шортів, то ми обираємо один вид шортів із $15$ наявних (і беремо дві штуки цього виду). Тобто маємо $10$ варіантів вибору футболок і $15$ варіантів вибору шортів.

Згідно з правилом добутку, кількість способів скласти такий вибір:

\begin{gather*} 10\cdot 15=150\ \text{варіантів}. \end{gather*}

3. Тепер необхідно об'єднати результати. Ми можемо купити АБО готовий комплект, АБО скласти його самостійно.

Згідно з правилом суми, додаємо варіанти з першої та другої груп:

\begin{gather*} 8 + 150 = 158\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Правило суми: Якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ — $m$ способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «$A$ або $B$» можна здійснити $n + m$ способами.

Відповідь: $158.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37180

Завдання 6 з 52

З трьох хлопців і трьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі за допомогою комбінацій (сполук).

Формуючи музичний квартет (групу виконавців), ми зважаємо лише на склад учасників. Оскільки порядок вибору не має значення, використовуємо формулу для обчислення кількості комбінацій із $n$ елементів по $k{:}$

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Треба обрати $4$ учасників із $6$ можливих ($3$ дівчини та $3$ хлопці) без урахування порядку. Отже:

\begin{gather*} C_6^4=\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}=\frac{6!}{4!\cdot 2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\cdot (1\cdot 2)}=\frac{5\cdot 6}{1\cdot 2}=5\cdot 3=15. \end{gather*}

Відповідь: $15.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37117

Завдання 7 з 52

У магазині електроніки можна придбати оптичні диски $20$ різних брендів. Юлія планує купити в цьому магазині по одному диску трьох різних брендів. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1140

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Оскільки Юля купує диски різних брендів і порядок, у якому вона кладе їх у кошик, не має значення, скористаймося формулою комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!},\ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n=n!\\[6pt] C_{20}^3=\frac{20!}{3!\cdot (20-3)!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2\cdot 1}=20\cdot 19\cdot 3=1140. \end{gather*}

Відповідь: $1140.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36921

Завдання 8 з 52

Софія бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має $10$ різних листівок такої тематики. Для кожного із чотирьох адресатів Софія вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Софії способів такого вибору, якщо вона надсилатиме всі листівки в конвертах одного кольору?

Впишіть відповідь:

10080

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Софія має $10$ різних листівок, їй потрібно вибрати по одній для $4$ різних адресатів.

Оскільки адресати різні, порядок вибору має значення. Кількість способів вибрати $4$ листівки з $10$ листівок та розподілити їх між $4$ різними адресатам обчислюємо за формулою розміщення $m$ елементів з $n$ можливих:

\begin{gather*} A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}.\\[6pt] A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040. \end{gather*}

Всі листівки надсилаються в конвертах одного кольору: або всі жовті або всі сині. Тобто всього є два варіанти.

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 5040\cdot 2=10080. \end{gather*}

Відповідь: $10080.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36609

Завдання 9 з 52

У квітковому магазині є $13$ білих і $8$ жовтих троянд. Покупець вибирає у цьому магазині чотири білі й одну жовту троянди. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

5720

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати задачі, використовуючи комбінацї та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $4$ білі троянди з $13$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{13}^4=\frac{13!}{4!\cdot (13-4)!}=\frac{13!}{4!\cdot 9!}=\frac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{2\cdot 3\cdot 4}=5\cdot 11\cdot 13=715\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ жовту троянду з $8$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об'єкт із $8$ наявних можна $8$ способами:

\begin{gather*} C_{8}^1=8. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $4$ білі й $1$ жовту троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{13}^4\cdot _8^1=715\cdot 8=5720. \end{gather*}

Відповідь: $5720.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36404

Завдання 10 з 52

Для перевезення учасників симпозіуму треба замовити один автобус або два мікроавтобуси. Скільки всього існує варіантів вибору машин за такого замовлення, якщо у виконавця замовлення є $8$ різних автобусів і $6$ різних мікроавтобусів?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є $8$ різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є $6$ різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можлих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};\\[6pt] C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15. \end{gather*}

Отже, існує $15$ способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

\begin{gather*} N=N_1+N_2=8+15=23. \end{gather*}

Усього існує $23$ варіанти вибору машин.

Відповідь: $23.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36366

Завдання 11 з 52

У штаті фірми з надання будівельних послуг $22$ майстри: $5$ електриків, $8$ плиточників, решта – маляри. На об'єкт треба підрядити бригаду з електрика, плиточника та двох малярів. Скільки всього є способів вибору зі штату фірми майстрів таких професій для цієї бригади?

Впишіть відповідь:

1440

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Спочатку визначмо кількість майстрів кожної професії:

електрики – $5$ осіб;
плиточники – $8$ осіб;
маляри – $(22 - 5 - 8) = 9$ осіб.

Для формування бригади треба вибрати:

одного електрика з п'яти. Це $C_5^1=5$ способів;
одного плиточника з восьми. Це $C_8^1=8$ способів;
двох малярів із дев'яти.

Для визначення кількості малярів використаємо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};\\[6pt] C_9^2=\frac{9!}{2!\cdot 7!}=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}=36\ \text{(способів)}. \end{gather*}

Оскільки нам потрібно вибрати і електрика, і плиточника, і малярів одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} N=5\cdot 8\cdot 36=40\cdot 36=1440\ \text{(способів)}. \end{gather*}

Отже, існує $1440$ способів сформувати таку бригаду.

Відповідь: $1440.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36344

Завдання 12 з 52

Фермер планує висадити $6$ рядів саджанців: $4$ ряди – кісточкові (абрикос, персик, вишня, слива) та $2$ ряди – плодові (яблуня та груша). У кожному ряду мають бути однакові саджанці. Скільки всього варіантів оформлення саду в нього є, якщо $4$ ряди кісточкових саджанців мають бути поруч?

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбінаторні задачі, задачі на перестановки, комбінаторні правила добутку.

Є $6$ рядів для $6$ різних типів саджанців. Оскільки $4$ ряди кісточкових мають бути поруч, їх можна розглядати як один елемент.

Разом із плодовими маємо $3$ елементи, які можна переставляти між собою.

За формулою перестановок: $P_n=n!$ отримаємо $$ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6 $$ варіантів розташування цих елементів.

Усередині блоку із $4$ кісточкових саджанців також можливі перестановки, їх буде $$ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\ \text{варіанти}. $$

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість варіантів висадити саджанці: $$ 6\cdot 24=144\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: $144.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35810

Завдання 13 з 52

У кав’ярні пропонують $10$ видів десертів і $12$ видів кави. Відвідувач хоче замовити один десерт або одну чашку кави у цьому кафе. Скільки всього різних варіантів замовлення є у відвідувача?

А$120$

Б$12$

В$60$

Г$10$

Д$22$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила суми.

Кількість різних варіантів замовлення одного десерту – $10$, а однієї чашки кави – $12.$

За комбінаторним правилом суми кількість способів замовити або один десерт, або одну чашку кави дорівнює:

$$ 10+12=22\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35793

Завдання 14 з 52

Дарина бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має $4$ різні листівки такої тематики й конверти жовтого й синього кольорів. Для кожного із чотирьох адресатів Дарина вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Дарини є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

384

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має $4$ різні листівки і $2$ кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього $4$ штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати $4$ листівки $4$ різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

\begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(4)=4!=24. \end{gather*}

Для кожного з $4$ адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо $2^4=16.$

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 24\cdot 16=384. \end{gather*}

Відповідь: $384.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35788

Завдання 15 з 52

У квітковому магазині є $12$ білих та $25$ червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1650

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $2$ білі троянди з $12$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ червону троянду з $25$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об’єкт із $25$ можна $25$ способами: \begin{gather*} C_{25}^1=25. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $2$ білі й $1$ червону троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{12}^2\cdot C_{25}^1=66\cdot 25=1650. \end{gather*}

Відповідь: $1650.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35444

Завдання 16 з 52

Підприємство планує закупити два різні кольорові й три різні монохромні принтери. На ринку є $10$ моделей кольорових й $8$ моделей монохромних принтерів із відповідними характеристиками. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

2520

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є $10$ моделей кольорових принтерів. Вибрати $2$ з них можна $\mathrm{C}_{10}^2$ варіантами.

Вибрати $3$ принтери з $8$ монохромних моделей можна $\mathrm{C}_8^3$ варіантами.

Підприємство планує купити і $2$ кольорові, і $3$ монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} \mathrm{C}_{10}^2\cdot \mathrm{C}_8^3=\frac{10!}{2!\ 8!}\cdot \frac{8!}{3!\ 5!}=\frac{9\cdot 10\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 2\cdot 3}=\\[6pt] =3\cdot 10\cdot 6\cdot 7\cdot 2=2520. \end{gather*}

Відповідь: $2520.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35384

Завдання 17 з 52

У першому класі школи навчаються $9$ учнів і $12$ учениць, а в одинадцятому – $10$ учнів і $8$ учениць. Для проведення свята першого дзвоника потрібно вибрати трьох учнів: двох одинадцятикласників (учня й ученицю) та одного першокласника (учня або ученицю). Скільки всього існує варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1680

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила добутку.

Кількість варіантів вибрати з $9$ учнів і $12$ учениць першого класу (всього $21$ особа) одну дитину: $$ C_{21}^1=21. $$

Кількість варіантів вибрати з $10$ учнів одного: $$ C_{10}^1=10, $$ а з $8$ учениць одну: $$ C_8^1=8. $$

Оскільки вибір незалежний, вибрати $1$ учня й $1$ ученицю з одинадцятого класу можна \begin{gather*} 10\cdot 8=80 \end{gather*} варіантами.

Вибір одного першокласника та вибір учня разом з ученицею з одинадцятого класу не впливають один на одного, тобто є незалежними подіями. Тому загальну кількість можливостей визначаємо за комбінаторним правилом добутку: \begin{gather*} 80\cdot 21=1680 \end{gather*} варіантів.

Відповідь: $1680.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35362

Завдання 18 з 52

Заступник директора школи складає розклад уроків для $10\text{-го}$ класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на цей день, якщо урок фізичної культури має бути першим або останнім у розкладі?

Впишіть відповідь:

240

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Якщо першим уроком буде фізкультура, а інші п'ять можна переставляти, то різних варіантів скласти розклад знаходимо за комбінаторною формулою перестановок $$ P_A=n! $$ Отже, $$ P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$ Варіантів скласти розклад з останнім уроком фізкультури також $120.$

Всього існує $240$ різних варіантів розкладу уроків.

Відповідь: 240.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28395

Завдання 19 з 52

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити $6$ різних новин: $2$ політичні, $3$ суспільні та $1$ спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих $6$ новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина має бути останньою? Уважайте, що кожна з цих $6$ новин у стрічці не повторюватиметься.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторні правила добутку.

Кількість можливостей розмістити політичні новини - $2,$ суспільних - $3!=6,$ спортивну - $1.$

Отже, за правилом добутку кількість різних полідовностей розміщення новин $$ 2\cdot 6\cdot 1=12. $$

Відповідь: 12.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27704

Завдання 20 з 52

З трьох хлопців та трьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє здатність застосування формул комбінаторики, зокрема сполук, до розв’язування комбінаторних задач.

Склад музичного квартету – $4$ будь-які учасники (хлопці чи дівчата). Отже, вибирають з $6$ учасників, порядок вибору неважливий, тому застосуємо формулу сполук: $$ \mathrm{C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}}. $$

\begin{gather*} \mathrm{C_6^4}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{5\cdot 6}{2}=15. \end{gather*}

Відповідь: 15.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26843

Завдання 21 з 52

Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із $5$ книг, у якому $2$ збірники олімпіадних задач та $3$ науково-популярні книги. Скільки всього варіантів формування такого комплекту книг, якщо є $8$ різних збірників та $10$ різних науково-популярних книг?

Впишіть відповідь:

3360

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Розв'яжемо задачу з комбінаторики: вибираємо з $8$ збірників $2,$ а з $10$ науково-популярних книг $3.$

Книги різні, тому застосуємо формулу сполук, щоб знайти кількість варіантів вибору книг кожного виду та правило добутку:

\begin{gather*} \mathrm{C_8^2\cdot C_{10}^3}=\frac{8!}{2!6!}\cdot \frac{10!}{3!7!}=\frac{7\cdot 8\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=\\[6pt] =4\cdot 4\cdot 3\cdot 10\cdot 7=48\cdot 70=3360. \end{gather*}

Відповідь: 3360.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26818

Завдання 22 з 52

Олег пише смс-повідомлення з трьох речень. У кінці кожного з них він прикріпить один із п'ятнадцяти веселих смайликів. Скільки всього є способів вибору таких смайликів для прикріплення, якщо всі смайлики в повідомленні мають бути різними?

Впишіть відповідь:

2730

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення.

Кількість способів вибрати 3 смайлики з 15 знаходимо за формулою розміщень:

$$ A^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} $$ Вибрані смайлики можуть розміщуватися по-різному.

\begin{gather*} A^3_{15}=\frac{15!}{(15-3)!}=\frac{15!}{12!}=\\[6pt] =\frac{1\cdot 2\cdot ... 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{1\cdot 2\cdot ... \cdot 12}=13\cdot 14\cdot 15=2730. \end{gather*}

Відповідь: 2730.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24710

Завдання 23 з 52

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні й 1 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина – бути останньою? Уважайте, що кожну із цих 6 новин у стрічці не повторюють.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.

Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:

Кількість розміщень політичних новин в стрічці $2!$, а суспільних новин – $3!$. Спортивна новина 1 та йде останньою.

За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$

Відповідь: 12.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23688

Завдання 24 з 52

У першому класі 15 дівчаток, з яких лише одна на ім'я Дарина, і 11 хлопчиків. На першому уроці вчителька навмання формує пари дітей, які сидітимуть за однією партою. Першою вона вибирає пару для Дарини. Яка ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою?

Впишіть відповідь:

0.56

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.

У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$

Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.

Відповідь: 0,56.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23684

Завдання 25 з 52

На курсах з вивчення іноземних мов як бонус запропоновано два безкоштовні заняття, одне з яких проводитимуть дистанційно, а друге – в аудиторії. Тему кожного з цих двох занять слухач може вибрати самостійно з 10 запропонованих. Скільки всього існує способів вибору форм проведення цих двох занять та різних тем до них?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення (без повторень), комбінаторні правила суми та добутку.

Кількість способів вибрати 2 теми з 10 запропонованих знаходимо за формулою розміщень:

\begin{gather*} A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\\[6pt] A^2_{10}=\frac{10!}{(10-2)!}=\frac{10!}{8!}=\frac{1\cdot 2\cdot ...\cdot 10}{1\cdot 2\cdot ...\cdot 8}=9\cdot 10=90. \end{gather*}

Відповідь: 90.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22928

Завдання 26 з 52

Компанія з $6$ дорослих, з яких лише двоє мають відповідні посвідчення водія, сідають в автомобіль, у якому окрім місця водія є ще $5$ пасажирських місць. Скільки всього є способів у цих $6$ осіб зайняти місця в автомобілі, якщо на місці водія має бути особа з відповідним посвідченням?

Впишіть відповідь:

240

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

На місце водія є $2$ можливості посадити водія. Решта копанії розсядуться довільно. Кількість варіантів розсадити на пасажирські місця знаходимо за формулою: \begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(5)=5!=120. \end{gather*}

Усього способів зайняти місця $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: $240.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21237

Завдання 27 з 52

Для участі в роботі студентської ради з кожної з двох груп навмання вибирають по $1$ студенту. Серед $24$ студентів першої групи проживають у гуртожитку $6$ студентів, а серед $28$ студентів другої групи – $14$ студентів. Яка ймовірність того, що обидва вибрані для роботи в раді студенти будуть з тих, хто проживає в гуртожитку?

Впишіть відповідь:

0.125

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.

Серед $24$ студентів першої групи проживають у гуртожитку $6$ студентів.

Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$

Серед $28$ студентів другої групи у гуртожитку проживають $14$ студентів.

Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$

За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$

Відповідь: $0\mathord{,}125.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19975

Завдання 28 з 52

На вершину гори ведуть $5$ доріг. Скільки всього є варіантів вибору маршруту підйому на вершину гори однією дорогою, а спуску - іншою?

А$5$

Б$9$

В$10$

Г$20$

Д$25$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Піднятись на гору можна $1$ з $5$ варіантів, а спуститися – $1$ з $4$ (спускатися треба іншою).

Усього варіантів вибору маршруту $5 \cdot 4 = 20$ (за правилом добутку).

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19952

Завдання 29 з 52

Довідкову інформацію промовляють почергово по одному разу п’ятьма мовами: українською, англійською, німецькою, російською та польською. Скільки всього є варіантів послідовностей озвучування цієї інформації цими п’ятьма мовами, якщо спочатку її промовляють українською?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Оскільки спочатку інформацію промовляють українською, то таких варіантів – один.

Далі $4$ елементи: англійська, німецька, російська, польська переставляються. Отже, за формулою $$ P_n=n! $$ знаходимо $$ P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24. $$

За правилом добутку знаходимо загальнку кількість можливих варіантів: $$ 1\cdot 24=24. $$

Відповідь: $24.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19516

Завдання 30 з 52

Туристичне бюро запропонувало Ганні відвідати на вихідний три міста. Ганна дізналася з Інтернету, що в кожному з них є $10$ цікавих туристичних об'єктів. Дівчина планує вибрати для поїздки лише одне місто і відвідати в ньому чотири цікавих об'єкти. Скільки всього в Ганни є варіантів вибору міста й чотирьох таких об'єктів у ньому? Уважайте, що порядок відвідування об'єктів неважливий.

Впишіть відповідь:

630

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість варіантів вибору в місті з $10$ об'єктів $4$ знаходимо за формулою сполук: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. $$ У кожному з трьох міст кількість варіантів однакова. Отже, всього у Ганни варіантів вибрати туристичні об'єкти

$$ 3\cdot C_{10}^4=3\cdot \frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{3\cdot 10!}{4!6!}=\frac{3\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 3\cdot 4}=630. $$

Відповідь: $630.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 19003

Завдання 31 з 52

У магазині в продажу є $6$ видів тарілок, $8$ видів блюдець та $12$ видів чашок. Олена збирається купити бабусі в подарунок у цьому магазині або чашку та блюдце, або лише тарілку. Скільки всього є способів в Олени купити бабусі такий подарунок?

Впишіть відповідь:

102

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати тарілку – $6$, чашку та блюдце $8\cdot 12=96.$

Якщо влаштовує варіант вибрати або тарілку, або чашку та блюдце, то, використовуючи комбінаторне правило додавання, отримаємо $96+6=102$ способи купити подарунок.

Відповідь: $102.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17670

Завдання 32 з 52

У фінал пісенного конкурсу вийшло $4$ солісти та $3$ гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них – солісти?

Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.

Солісті – $4$, гурти – $3.$

Варіантів скласти послідовності виступів солістів $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.$

Варіантів скласти послідовність гуртів $3!=1\cdot 2\cdot 3=6.$

За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
$24\cdot 6=144.$

Відповідь: $144.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17089

Завдання 33 з 52

Для оформлення салону краси вирішили замовити в магазині квітів $2$ орхідеї різних кольорів та $5$ кущів хризантем п’яти різних кольорів. Усього в магазині є в продажу орхідеї $10$ кольорів та кущі хризантем $8$ кольорів. Скільки всього є способів формування такого замовлення?

Впишіть відповідь:

2520

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі комбінаторного характеру, знання комбінаторного правила добутку.

Для оформлення салону замовили $2$ орхідеї з $10$ та $5$ хризантем з $8.$

Оскільки всі квіти різного кольору, то кількість способів формування замовлення знаходимо за формулою комбінацій та комбінаторним правилом добутку:

$$ C_{10}^2\cdot C_8^5=\frac{10!}{2!8!}\cdot \frac{8!}{5!3!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=2520. $$

Відповідь: $2520.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16626

Завдання 34 з 52

Піцерія пропонує послугу «Зроби піцу сам», що передбачає вибір клієнтом добавок для піци. Поміж добавок – $8$ м’ясних (шинка, ковбаса та інші) і $9$ овочевих (цибуля, перець та інші). Клієнт вибирає $2$ м’ясні добавки, однією з яких обов’язково має бути шинка, і $3$ – овочевих, за винятком цибулі. Скільки всього існує варіантів такого вибору добавок клієнтом?

Впишіть відповідь:

392

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінації комбінаторного правила добутку; уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Клієнт вибирає $2$ м'ясні добавки з $8$, але однією обов'язково повинна бути шинка. За формулою $C_n^m$, де $n=7$ (тому що шинка є обов'язковою) $m=1.$

$C_7^1$ – кількість варіантів вибрати м'ясну добавку.

З $9$ овочевих добавок клієнт вибирає $3$, крім цибули, тому за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=56 $$ кількість варіантів вибрати овочеву добавку.

Отже, якщо необхідно вибрати і м'ясну, і овочеву добавку, то за комбінаторним правилом добутку знаходимо: $$ C_7^1\cdot C_8^3=7\cdot 56=392. $$

Відповідь: $392.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15263

Завдання 35 з 52

B Оленки є $8$ різних фотографій з її зображенням тa $6$ різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них $3$ фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі тa $2$ фотографії свого класу для сайту школи?

Впишіть відповідь:

840

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Комбінації. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінацій, комбінаторні правила суми й добутку, уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість усіх можливих комбінацій з $n$ елементів по $k$ елементів знаходимо за формулою $$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}. $$

Кількість способів вибрати $3$ фотографії з $8$ зі своїм зображенням знаходимо за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{(8-3)!3!}=\frac{8!}{5!3!}. $$

Кількість способів вибрати $2$ фотографії з $6$ для сайту $$ C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}. $$

Кількість способів вибрати означені в умові фотографії знаходимо за комбінаторним правилом добутку:

$$ C_8^3\cdot C_6^2=\frac{8!}{5!3!}\cdot \frac{6!}{4!2!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 5\cdot 6}{2\cdot 3\cdot 2}=7\cdot 4\cdot 5\cdot 6=840. $$

Відповідь: $840.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14624

Завдання 36 з 52

З натуральних чисел від $1$ до $30$ учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа $30$?

А$\dfrac {1}{30}$

Б$\dfrac {2}{30}$

В$\dfrac {4}{15}$

Г$\dfrac {6}{15}$

Д$\dfrac {7}{15}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14525

Завдання 37 з 52

Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

А$28$

Б$56$

В$70$

Г$112$

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14318

Завдання 38 з 52

Для перевезення дітей формують колону, яка складається з п’яти автобусів і двох супровідних автомобілів: одного на чолі колони, іншого – позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?

Впишіть відповідь:

240

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість способів розташування $5$ автобусів в колоні знаходимо за формулою перестановок:

\begin{gather*} P_n=n!\\[7pt] P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\ \text{способами.} \end{gather*}

Так як супровідні автомобілі можуть помінятися місцями, то способів складання колони $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: $240.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14263

Завдання 39 з 52

У магазині в наявності є $10$ видів тортів та $15$ видів пачок печива. Скільки всього є способів вибору в цьому магазині або одного торта, або трьох різних пачок печива для святкового вечора?

Впишіть відповідь:

465

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати один торт з десяти: $$ C_{10}^1=10. $$

Кількість способів вибрати $3$ пачки печива з $15$ знаходимо:

$$ C_{15}^3=\frac{15!}{3!(15-3)!}=\frac{15!}{3!\cdot 12!}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{1\cdot 2\cdot 3}=13\cdot 35=455. $$

Необхідно вибрати або $1$ торт або $3$ пачки печива, тому використовуємо комбінаторне правило суми:

$$ C_{10}^1+C_{15}^3=10+455=465. $$

Відповідь: $465.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10860

Завдання 40 з 52

У чайному кіоску в наявності є лише розфасований у коробки по $100$ г листовий чорний чай $8$ видів, серед яких є вид "чорна перлина". Покупець вирішив придбати в цьому кіоску для подарункового набору три коробки чорного чаю трьох різних видів, серед яких обов'язково повинен бути вид "чорна перлина". Скільки всього в покупця є варіантів такого придбання трьох коробок чаю для набору з наявних у кіоску?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи комбінаторні формули.

Оскільки серед трьох різних видів чаю, які обирає покупець, обов'язково є вид "чорна перлина", то шукана кількість варіантів вибору трьох коробок чаю дорівнює кількості варіантів вибору двох коробок різних видів з $7$ видів чаю, відмінних від виду "чорна перлина". Тому всього у покупця є $C_7^2$ варіантів сформувати такий набір з трьох коробок чаю. Використовуючи формулу $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ в якій $$ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot (n-1)n, $$ знайдемо:

$$ C_7^2=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{5!\cdot 6\cdot 7}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{2}=21. $$

Наведені міркування можна обґрунтувати ще так.

Правило добутку. Якщо елемент $A$ можна вибрати $n$ способами, а після цього елемент $B$ – $m$ способами, то $A$ i $B$ можна вибрати $nm$ способами.

Розділимо $8$ видів чаю на дві частини: перша частина – вид чаю "чорна перлина", а друга – решта $7$ видів. Набір з $3$ видів чаю містить чай виду "чорна перлина" та двох інших видів. Вид чаю "чорна перлина" з одного виду можна вибрати лише одним способом $(C_1^1=1)$, а чай двох інших різних видів можна вибрати $C_7^2$ способами. Оскільки вибір чаю "чорна перлина" та чаю двох інших видів не залежить один від одного, то за правилом добутку загальна кількість варіантів формування наборів чаю, зазначених в умові, дорівнює $$ C_1^1C_7^2=1\cdot C_7^2=21. $$

Зауваження. Важливо розрізняти, у яких випадках потрібно застосовувати формулу для обчислення кількості комбінацій: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ а в яких – формулу для обчислення кількості розміщень:

$$ A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot\ \text{...}\ \cdot (n-m+1). $$

У нашому випадку, під час формування наборів чаю не важливим є порядок вибору виду чаю, тому використано формулу для обчислення кількості комбінацій.

Відповідь: $21.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9456

Завдання 41 з 52

Марійка зірвала на клумбі $9$ нарцисів та $4$ тюльпани. Скільки всього існує способів вибору із цих квітів $3$ нарцисів та $2$ тюльпанів для букета?

Впишіть відповідь:

504

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовучі комбінаторне правило добутку.

Правило добутку. Якщо елемент $A$ можна вибрати $n$ способами, а після цього елемент $B$ – $m$ способами, то $A$ і $B$ можна вибрати $nm$ способами.

З $9$ нарцисів $3$ нарциси можна вибрати $C_9^3$ способами, а $2$ тюльпани з $4$ – $C_4^2$ способами. Оскільки вибір нарцисів та тюльпанів не залежить один від одного, то за правилом добутку загальна кількість способів вибору $3$ нарцисів із $9$ та $2$ тюльпанів із $4$ дорівнює $C_9^3C_4^2.$ Використовуючи формулу $$ C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ в якій $n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)n$, знайдемо:

\begin{gather*} C_9^3=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!\cdot 6!}=\frac{6!\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{3!\cdot 6!}=\frac{7\cdot 8\cdot 9}{3\cdot 2}=84,\\[6pt] C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{3\cdot 4}{2}=6. \end{gather*}

Тоді $$ C_9^3C_4^2=84\cdot 6=504. $$

Відповідь: $504.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9260

Завдання 42 з 52

Блок соціальної реклами складається з $4$ рекламних роликів: про шкідливість паління, про охорону навколишнього середовища, про дотримання правил дорожнього руху та про велосипедне місто. Ролик про шкідливість паління заплановано показати двічі – першим і останнім, а інші три ролики – по одному разу. Скільки всього існує варіантів формування цього блоку соціальної реклами за вказаним порядком рекламних роликів?

А$6$

Б$8$

В$12$

Г$24$

Д$120$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Основні поняття комбінаторики. Перестановки, розміщення, комбінації.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи формулу для знаходження кількості перестановок.

Кількість перестановок множини, що складається з $m$ елементів (кількість $m\text{-елементних}$ множин, що відрізняються лише порядком елементів), дорівнює

$$ P_m=m!=m(m-1)(m-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1. $$

Оскільки ролик про шкідливість паління заплановано показати першим і останнім (його місце у рекламному блоці визначене однозначно), то кількість варіантів формування блоку соціальної реклами дорівнює кількості перестановок трьох інших роликів, тобто кількості перестановок з трьох елементів, отже, дорівнює

$$ P_3=3!=3\cdot 2\cdot 1=6. $$

Якщо занумерувати вказані в умові ролики цифрами від $1$ до $4$, причому ролик про шкідливість паління позначити цифрою $1$, то всі можливі варіанти формування блоку соціальної реклами матимуть вигляд: $12341$, $13241$, $12431$, $13421$, $14321$, $14231.$ Всього $6$ варіантів.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7168

Завдання 43 з 52

Студент на першому курсі повинен вибрати одну з трьох іноземних мов, яку вивчатиме, та одну з п'яти спортивних секцій, що відвідуватиме. Скільки всього існує варіантрів вибору студентом іноземної мови та спортивної секції?

А$5$

Б$8$

В$10$

Г$15$

Д$28$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи правило добутку.

Якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ – $m$ способами, то вибір пари $A$ і $B$ можна здійснити $nm$ способами. Оскільки студенту необхідно вибрати одну з трьох іноземних мов ($3$ варіанти) і одну з п’яти спортивних секцій ($5$ варіантів), то за правилом добутку загальна кількість варіантів вибору дорівнює $$ 3\cdot 5=15. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6877

Завдання 44 з 52

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6463

Завдання 45 з 52

У кіоску є $10$ видів вітальних листівок з Новим роком. Скільки всього можна утворити різних наборів листівок, кожен із яких складається з трьох листівок різних видів?

А$30$

Б$90$

В$120$

Г$240$

Д$720$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6404

Завдання 46 з 52

Впишіть відповідь:

120

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6376

Завдання 47 з 52

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6341

Завдання 48 з 52

Студенти двох груп (у першій – $20$ студентів, у другій – $25$ студентів) обирають по одному представнику з кожної групи для участі в студентському заході. Знайдіть ймовірність того, що учасниками заходу будуть обрані старости цих груп. Уважайте, що всі студенти кожної групи мають однакові шанси стати учасниками заходу, і в кожній групі є один староста.

Впишіть відповідь:

0.002

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6309

Завдання 49 з 52

Кодовий замок на дверях має десять кнопок, на яких нанесено десять різних цифр (див. рисунок). Щоб відчинити двері, потрібно одночасно натиснути дві кнопки, цифри на яких складають код замка. Скільки всього існує різних варіантів коду замка? Уважайте, що коди, утворені перестановкою цифр (наприклад, $1$-$2$ і $2$-$1$), є однаковими.

А$100$

Б$90$

В$45$

Г$20$

Д$10$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6231

Завдання 50 з 52

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6203

Завдання 51 з 52

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6179

Завдання 52 з 52

Впишіть відповідь:

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6115

Новини

У ВР планують законодавчо закріпити систему освітніх студентських грантів
Пільгові категорії абітурієнтів: спеціальні умови вступу
Фестиваль «КРОК збирає друзів»: більше ніж День відкритих дверей

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter

Алгебра і початки аналізу – Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку