Алгебра і початки аналізу – Похідна функції

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію \(f(x)\) у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

Зауважмо, що \(\ln 2\) – це стале число (константа), оскільки вираз не містить змінної \(x.\)

Отже, функцію \(f(x)\) можна записати у вигляді:

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

Обчислімо значення похідної, підставивши \(x=4\) в отриманий вираз:

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента \(x\), за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначимо найвищу точку на локальному згині графіка (у місці, де зростання функції змінюється на спадання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі .

Отже, \(x_0=-2\) – точка локального максимуму заданої функції.

Важливо: точка \(x=1\) – це точка локального мінімуму, а не максимуму. Точки на кінцях проміжку \(( x=-5\) та \(x=5)\) не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворімо вираз \(\frac{2}{x^2}\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}{:}\)

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u + v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4;\\[6pt] f(x)=3x^2+2x^{-2}+4;\\[7pt] f'(x)=6x+2\cdot (-2)x^{-2-1}+0;\\[7pt] f'(x)=6x-4x^{-3};\\[6pt] f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}. \end{gather*}

Застосували формулу для обчислення похідної:

\begin{gather*} (x^n)'=nx^{n-1}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

За означенням, якщо \(F(x)\) є первісною для \(f(x)\), то похідна від первісної дорівнює самій функції: \begin{gather*} F'(x)=f(x). \end{gather*}

Для цього обчислімо похідну від заданої функції \(F(x)=4x^3-3x^2+9{:}\)

Тепер підставмо число \(2\) замість \(x\) у цю формулу функції:

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

\(f(-4)=10\), тому що \(x=-4\lt-2.\)

При \(x=2\mathord{:}\)

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Якщо \(x\lt -2,\ f(x)=30.\) Отже, \(f(-3)=30.\)

Якщо \(x\ge -2,\ f(x)=2x^4+x.\)

Обчислимо

Відповідь: \(-35.\)

ТЕМА: Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної, обчислювати похідні функцій.

За геометричним змістом похідної, \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коєфіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

За умовою, дотична до графіка функції в точці \(x_0=3\) паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\) Паралельні прямі мають рівні кутові коєфіцієнти. Отже, $$ f'(x_0)=f'(3)=1\mathord{,}5. $$

Похідна

Відповідь: \(-3\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Якщо \(x\lt -2\ f(x)=10.\) Отже, \(f(-4)=10.\)

Якщо \(x\ge -2\), \(f(x)=4x^2+3x.\)

Обчислімо

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворення виразу \(\frac 3x\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathord{:}\) $$ \frac 3x=3\cdot \frac 1x=3x^{-1}. $$

За правилом визначення похідних \((u+v)'=u'+v'\) визначимо похідну функції:

За таблицею похідних

Відповідь: A.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій і похідну суми двох функцій.

За правилом визначення похідної суми:

і похідної степеневої функції:

визначаємо похідну функції \(y=x^3-5.\)

Похідна сталої функції \(\mathrm{c}'=0.\) Отже, \(5'=0.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

Похідна функції

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу, кутового коефіцієнта дотичної.

Дотична, проведена до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0=3\) паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\)

Відповідь: \(-3\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції.

За формулою \((x^n)'=nx^{n-1}\) знайдемо похідну функції $$ f'(x)=4x^3+1. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

За означенням первісної функції \(F'(x)=f(x).\)

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом \(x(t)=6t^2.\) За фізичним змістом похідної $$ v(t)=x'(t)=(6t^2)'=12t. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Перевіряє вміння знаходити похідні функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

$$ f(x)=2x^3 – 5 $$

Похідна функції: \begin{gather*} f'(x)=3\cdot 2x^2=6x^2.\\[7pt] f'(-1)=6\cdot (-1)^2=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, похідну суми.

Знаходимо похідну функції $$ y=2x+\cos x. $$

За правилом \((u+v)'=u'+v'\) \begin{gather*} y'=2-\sin x \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

\(F(x)=2x^3-1.\)

За означенням первісної \(F'(x)=f(x).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, правил знаходження похідних.

За таблицею похідних: \begin{gather*} (x^n)'=n\cdot x^{n-1},\\[6pt] (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x}. \end{gather*}

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Фунції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій; похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

Використали формулу \(y=x^n\), \(y=nx^{n-1}\) та правило знаходження похідної суми.

Відповідь: B.

ТЕМА: Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знаходити суми двох функцій.

Знайдемо похідну за правилом знаходження похідної суми двох функцій та похідної степеневої функції: $$ f'(x)=4x^3+1. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, похідну суми.

За правилами диференціювання \((u\pm v)'=u'\pm v'\) та таблицею похідних знаходимо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Це завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила знаходження похідної суми, вміння розв'язувати задачі з використанням фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом: $$ S(t)=4t^2+9t+8. $$

Швидкість руху $$ V(t)=S'(t)=8t+9. $$

При \(t=4\ \text{с}\)

Відповідь: \(41.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Правило знаходження похідної складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати значення похідної складеної функції у заданій точці.

Нехай \(y=f(u(x))\) – складена функція, тобто \(y=f(u)\), де \(u=u(x).\)

Якщо функція \(u(x)\) має в точці \(x\) похідну \(u'(x)\), а функція \(y=f(u)\) – похідну у відповідній точці \(u=u(x)\), то складена функція \(y=f(u(x))\) також має похідну в точці \(x\), причому $$ y'=f_u'(u)\cdot u_x'(x). $$

Функцію \(y=\sqrt{13-3x}\) запишемо у вигляді \(y=\sqrt{u}\), де \(u=13-3x.\) Тоді

Обчислюємо значення похідної в точці \(x_0=3\mathord{:}\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні. Похідна від складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну від складеної функції.

За означенням, якщо \(f(g(x))\) – складена функція і існують похідні функції \(g(x)\) у точці \(x\), а функції \(f(u)\) – у відповідній точці \(u = g(x)\), то існує похідна складеної функції \(f(g(x))\), причому $$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). $$

Тоді

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Якщо пряма \(y = kx + b\) є дотичною, проведеною до графіка функції \(y = f(x)\) у точці з абсцисою \(x_{0} = 2\), то, згідно з геометричним змістом похідної, \(f'(x_{0}) = k.\) Оскільки \(f'(2) = -3\), то кутовий коефіцієнт \(k\) дотичної дорівнює \(-3.\) Визначимо кутові коефіцієнти всіх наданих дотичних. \begin{gather*} \text{А:}\ k = -\frac{3}{2},\\[6pt] \text{Б:}\ k = 3,\\[7pt] \text{В:}\ k = 2,\\[6pt] \text{Г:}\ k = \frac{3}{2},\\[6pt] \text{Д:}\ k = -3. \end{gather*} Серед наведених прямих лише варіант Д задовольняє цю умову.

Слід зауважити, що для розв’язання цього завдання не потрібно знаходити рівняння дотичної, проведеної до графіка функції.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Застосування похідної до розв’язку задач.

Це завдання перевіряє вміння використовувати похідну функції для знаходження її найбільшого значення.

Нехай \(ABCD\) – задана трапеція, вершини якої належать графіку квадратичної функції \(y=36-x^2\) (див. рисунок).

Оскільки в умові задачі зазначено, що всі вершини трапеції належать графіку функції, а основа \(AD\) лежить на осі \(x\), то точки \(A\) і \(D\) є точками перетину графіка з віссю \(x.\) Для знаходження абсцис цих точок розв’яжемо рівняння $$ 36-x^2=0, $$ оскільки на вісі \(x\) ордината \(y\) дорівнює \(0.\) Тоді \(x_1=6\), \(x_2=-6\) і \(A(-6; 0)\), \(D(6; 0).\)

Нехай абсциса точки \(C\) дорівнює \(a\), тоді абсциса точки \(B\) дорівнює \(-a\), а ординати цих точок дорівнюють \(36-a^2.\) При цьому \(a\in (0; 6)\).

Визначимо залежність площі трапеції \(ABCD\) від значення змінної \(a.\) Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту: $$ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h. $$

Довжина нижньої основи трапеції $$ AD=6+6=12, $$ довжина верхньої основи трапеції $$ BC=a+a=2a, $$ висота трапеції дорівнює ординаті точки \(C\), тобто $$ h=36-a^2, $$ тоді площа трапеції \(ABCD\) виражається формулою $$ S=\frac{12+2a}{2}\cdot(36-a^2), $$ або

Для знаходження найбільшого значення площі, знайдемо похідну

$$ S'(a)=36-12a-3a^2=3(12-4a-a^2)=3(2-a)(a+6). $$

Щоб визначити стаціонарні точки функції \(S(a)\), прирівняємо її похідну до нуля: $$ 3(2-a)(a+6)=0. $$ Розв’язавши рівняння, знайдемо дві стаціонарні точки \(a_1=-6\) і \(a_2=2\), але досліджуватимемо лише точку \(a=2\), оскільки \(-6\notin (0; 6).\) З наведеної діаграми видно, що в точці \(a=2\) функція

$$ S(a)=216+36a-6a^2-a^3 $$

досягає максимуму.

Отже, найбільшого значення площа трапеції досягає у випадку, коли \(a=2.\) Обчислимо значення

$$ S(2)=216+36\cdot 2-6\cdot 4\cdot 8=256. $$

Відповідь: \(256.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання формули дотичної, проведеної до графіка функції, та вміння використовувати геометричний зміст похідної до розв’язування задач.

Похідна функції \(y=f(x)\) в точці \(x_0\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної \(y=kx+b\), проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0{:}\) \(f'(x_0)=k.\)

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0\), має вигляд $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). $$ Підставляємо дані з умови та отримуємо $$ y=2(x-1)+5. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, знання правила знаходження похідної добутку.

За правилом $$ (uv)' = u'v + uv' $$ знаходимо похідну:

Відповідь: Б.

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

\(f(x)=2x^3-5.\)

Знайдемо похідну функції: \(f'(x)=6x^2.\)

Похідна функції в точці \(x_0=-1{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

\(f(x)=4\cos x+5.\)

Знайдемо похідну: \(f'(x)=-4\sin x.\)

Похідна функції в точці \(x_0=\frac{\pi}{2}{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості функції за її графіком, а також розуміння геометричного змісту визначеного інтеграла.

1. При \(x=8\) значення функції \(f(8)=3\mathord{,}5.\)
Число \(3\mathord{,}5\) належить проміжку \((2; 4].\)
Отже, 1 — Г.

2. Дотична до графіка функції \(f(x)\) в точці \(x=7\) паралельна осі \(Ox.\)
Тоді \(f'(7)=k=\operatorname{tg}\ 90^\circ=0.\)
Число \(0\) належить проміжку \((-0\mathord{,}5; 2].\)
Отже, 2 – B.

3. Найменше значення функції \(f(x)\) на її області визначення дорівнює \(f(0)=-3\mathord{,}5.\)
Число \(-3\mathord{,}5\) належить проміжку \((-\infty; -2].\)
Отже, 3 – A.

4. Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа криволінійної трапеції.
З рисунку бачимо, що \(-2\lt \int_1^3f(x)dx\lt 0.\) Тобто \(\int_1^3f(x)dx \in (-2; -0\mathord{,}5].\)
Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А, 4 – Б.