Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Лінійні, квадратні, раціональні рівняння та системи рівнянь
Кількість завдань: 70
ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.
\begin{gather*} 2x-3=4,\\[7pt] 2x=4+3,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x=7:2,\\[7pt] x=3\mathord{,}5. \end{gather*}
Значення \(x\) належить проміжку \([2; 4).\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.
Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} x^2-8x+15=0,\\[6pt] D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4,\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2\cdot 1}=5,\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2\cdot 1}=3. \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.
Розв'яжемо систему лінійних рівнянь методом додавання: \begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6, \end{array}\right.\\[0pt] \ \ \ \ \ \ \overline{16x=32,}\\[7pt] x=32:16,\ \ x=2. \end{gather*}
Підставимо значення \(x=2\) в друге рівняння: \begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6,\\[7pt] 12+4y=6,\\[7pt] 4y=6-12,\\[7pt] 4y=-6,\\[7pt] y=-6: 4,\\[7pt] y=-1\mathord{,}5. \end{gather*}
Розв'язок системи \((2; -1\mathord{,}5).\)
Обчислимо добуток \(x_0\cdot y_0=2\cdot (-1\mathord{,}5)=-3.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.
За властивістю модуля
У відповідь запишемо суму розв'язків: \(0\mathord{,}5+2=2\mathord{,}5.\)
Відповідь: \(2\mathord{,}5.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
Помножимо обидві частини рівняння на \(3.\)
\(5x+8=3\), \(5x=-5\), \(x=-1.\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.
Розв'яжемо квадратне рівняння:
\begin{gather*} x^2-4x+3=0,\\[7pt] D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\\[7pt] x_1=\frac{4+2}{2}=3;\ \ x_2=\frac{4-2}{2}=1. \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.
\begin{gather*} \frac{x}{10}=2,5;\\[6pt] x=2,5\cdot 10=25. \end{gather*}
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.
Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 6(x+5)+10y=3 & \\ 2x=y+4& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+30+10y=3 & \\ 2x-y=4& \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ 2x-y=4\ \ |\cdot (-3)& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ -6x+3y=-12& \end{array}\right. \\[7pt] 13y=-39,\ \ y=-3. \end{gather*}
Підставимо значення \(y=-3\) у друге рівняння: \begin{gather*} 2x-(-3)=4;\ \ 2x+3=4; \\[6pt] 2x=1;\ \ x=\frac 12\\[6pt] x_0=\frac 12;\ \ y_0=-3. \end{gather*}
У відповідь запишемо суму $$ x_0+y_0=\frac 12+(-3)=-2,5. $$
Відповідь: А.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, використовуючи означення та властивості модуля.
Якщо \(x\geq 0\), то \(|x|=x\). Отже, \(x+4x=3,\ 5x=3,\ x=0,6\).
Якщо \(x\lt 0\), то \(|x|=-x\). Отже, \(x-4x=3,\ -3x=3,\ x=-1\).
У відповідь запишемо їхню суму \(0,6+(-1)=-0,4\).
Відповідь: –0,4.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.
1. Знайдемо множину допустимих значень змінної \(x\):
2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень \(a\): \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} \left[ \begin{array}{l l} x-2=0 & \\ x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0& \end{array}\right. &\\ x\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5) & \end{array}\right. \end{gather*}
1) \(x-2=0,\ \ x=2\ \notin\) ОДЗ.
2) \(x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0\).
Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} D=\left(-3(a-1)\right)^2-4(2a^2-3a)=\\[7pt] =9(a^2-2a+1)-8a^2+12a=(a-3)^2\\[6pt] x_1=\frac{3(a-1)+(a-3)}{2}=2a-3;\\[6pt] x_2=\frac{3(a-1)-(a-3)}{2}=a. \end{gather*}
Знайдемо значення переметра \(a\), при яких \(x_1=2a-3\) належить ОДЗ: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} 2a-3\lt -0,5 & \\ -0,5\lt 2a-3\lt 1,5& \end{array}\right. \left[ \begin{array}{l l} a\lt 1,25 & \\ 1,25\lt a\lt 2,25& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ 1,25)\cup (1,25;\ 2,25). \end{gather*} Для кореня \(x_2=a\) \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} a\lt -0,5 & \\ a\in (-0,5;\ 1,5)& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5). \end{gather*}
Відповідь:
якщо
якщо \(a=1,25\ x=a\),
якщо \(a\in [2,25;\ +\infty)\ x\in \varnothing\).
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеню.
Розв'яжемо лінійне рівняння:
\begin{gather*} 1-5x=0\\[7pt] -5x=-1\\[6pt] x=\frac{-1}{-5}\\[6pt] x=\frac 15 \end{gather*}
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.
Рівняння \(x^4-x^2-20=0\) – біквадратне. Розв'яжемо заміною:
Повернемось до заміни:
\begin{gather*} x^2=5\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x_1=\sqrt{5} & \\ x_2=-\sqrt{5}& \end{array}\right. \end{gather*}Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$
Відповідь: –5.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння другого степеня, знання теореми Вієта.
І спосіб: заходимо корні рівняння
ІІ спосіб: за теоремою Вієта: $$ x_1+x_2=-b=-3 $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння.
Розв'яжемо рівняння $$ \frac{x}{9-x}=\frac 12;\ \ x\ne 9 $$
Використаємо властивість пропорції
належить проміжку \((2;\ 5]\).
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
Розв'яжемо лінійне рівняння:
\begin{gather*} 2x-3=4\\[7pt] 2x=4+3\\[7pt] 2x=7\\[7pt] x=3,5 \end{gather*}
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, знання теореми Вієта.
Добуток коренів рівняння за теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння:
\begin{gather*} x^2+px+q=0\\[7pt] x_1*x_2=q\\[7pt] x_1*x_2=-55. \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
$$ \frac x2 +\frac x3= 2, $$ зведемо до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac{3x+2x}{6}=2,\\[6pt] \frac{5x}{6}=2,\\[6pt] 5x=12,\\[6pt] x=2,4. \end{gather*}
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Застосувавши розподільний закон множення, розкриємо дужки:
$$ 2(5x+6)=2\cdot 5x+2\cdot 6=10x+12. $$Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних та раціональних рівнянь.
Розв'яжемо систему рівнянь:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}
Застосуємо основну властивість пропорції до першого рівняння:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1\cdot x=2\cdot 3y, \\ x-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}Методом підстановки маємо:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 6y-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 5y=30, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ y=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6\cdot 6, \\ y=6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=36, \\ y=6. \end{array} \right. \end{gather*}\((36;\ 6)\) – розв'язок системи, тому \(36+6=42\) – правильна відповідь.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.
Дано рівняння \(x^2-4ax+4a^2-25=0.\) Корені квадратного рівняння задовольняють умову \(x_1\lt 1\lt x_2.\)
Знайдемо \(a,\) при яких
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 2a-5\lt 1,\\ 2a+5\gt 1, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} 2a\lt 6,\\ 2a\gt -4, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} a\lt 3,\\ a\gt -2. \end{array} \right. \end{gather*}
Цілі значення \(a\in (-2;\ 3)\) це \(a=-1;\ 0;\ 1;\ 2.\)
Таких значень \(4.\)
Відповідь: 4.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
Розв'яжемо лінійне рівняння \(0,01x=-1,\) \begin{gather*} x=-1:0,01;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}
Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.
\(x^2-(2m-4)x+16=0,\ \ x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6.\)
Знайдемо дискримінант рівняння:
Додатнє значення \(m,\) при якому рівняння має два різних кореня \(m\gt 6.\)
За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=2m-4,\\ x_1\cdot x_2=16,\\ x_1-x_2=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x_2+6+x_2=2m-4,\\ (x_2+6)x_2=16,\\ x_1=x_2+6, \end{array} \right. \\[7pt] 2x_2=2m-10,\ \ x_2=m-5. \end{gather*}Підставимо значення \(x_2\) у друге рівняння:
\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16,\ \ (m+1)(m-5)=16,\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0,\ \ m^2-4m-21=0. \end{gather*}Корені рівняння:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ \ne\ m\gt 6. \end{array} \right. \end{gather*}Отже, додатнє значення \(m=7.\)
Відповідь: 7.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня, використовуючи означення та властивості модуля.
\begin{gather*} |3x+2|=2\\[7pt] 3x+2=2\\[7pt] 3x=0\\[7pt] x=0\\[7pt] \text{або}\\[7pt] 3x+2=-2\\[7pt] 3x=-4\\[6pt] x=-\frac 43. \end{gather*}
З наведених чисел \(-\frac 43\) є коренем рівняння.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.
$$ \frac{x^2-ax+4}{x-5}=0. $$ ОДЗ:
Рівняння буде мати один корінь за умов:
1) \(D=0\) та \(x\ne 5;\)
2) \(D\gt 0,\) але один з коренів дорівнює \(5.\)
Розглянемо обидва випадки: \begin{gather*} \text{1)}\ \ D=0,\ \ a^2-16=0,\ \ a^2=16,\\[7pt] a=4\ \text{або}\ a=-4\\[6pt] x=\frac a2=\frac 42=2\ \text{або}\ x=-2. \end{gather*} Отже, корінь один. \begin{gather*} \text{2)}\ \ D\gt 0,\ \ a^2-16=0,\\[7pt] a\in (-\infty; -4)\cup (4; +\infty) \end{gather*}
\begin{gather*} x_1=\frac{a+\sqrt{a^2-16}}{2},\\[6pt] x_2=\frac{a-\sqrt{a^2-16}}{2}. \end{gather*}
Нехай \(x_1=5,\) тоді
Нехай \(x_2=5,\) отже
Отже, рівняння має один корінь при \(a=4,\ a=-4, a=5\mathord{,}8.\) Добуток усіх значень \(a\) дорівнює: $$ 4\cdot (-4)\cdot 5\mathord{,}8=-92\mathord{,}8. $$
Відповідь: -92,8.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.
Розв'яжемо систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 4x+\frac{2y}{3}=6\ | : 2, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 2x+\frac y3=3. \end{array} \right. \end{gather*}
Почленно додамо рівняння: $$ 4x=10,\ \ x=10:4,\ \ x=2,5. $$ Підставимо значення \(x\) у перше рівняння: \begin{gather*} 2\cdot 2,5-\frac y3=7,\ \ 5-\frac y3=7,\\[6pt] -\frac y3=2,\ \ y=-6. \end{gather*} \((2,5; -6)\) – розв'язок системи.
Отже, \(x_0+y_0=2,5+(-6)=-3,5.\)
Відповідь: A.