Алгебра і початки аналізу – Лінійні та квадратичні функції

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x-2\)

За \(x=1\) маємо \(y=1-2=-1.\)

Оскільки \(-1\lt 0\), функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. \(y=x^3\)

Обчислімо значення в точці \(x=0.\)

Для \(y=x^3{:}\) \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для \(y=\log_{0{,}5}(x+1){:}\)

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку \((0; 0).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\cos x\)

Функція є парною \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\)

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції \(y=7x+4\) перетинає вісь у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція \(y=-\frac 7x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(y=\log_{0{,}5}(x-4)\) – логарифмічна функція, \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати геометричні перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(y=f(x)+a\) треба графік функції перенести вздовж осі \(Oy\) на \(a\) одиниць угору, якщо \(a\) – додатне число, і на \(a\) одиниць униз, якщо \(a\) – від’ємне число.

Отже, для побудови графіка \(y=f(x)+3\) треба перемістити графік \(y=f(x)\) на три одиниці вгору вздовж осі \(Oy.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Якщо функція набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\), її графік має повністю лежати вище від осі \(Ox\) і не дотикатися її.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Лінійні, квадратичні та логарифмічні функції.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей лінійної, квадратичної та логарифмічної функцій, уміння визначати область визначення, області значень, властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=2x-5\) – лінійна функція, її графік – пряма.

Графік функції має лише дві точки перетину з осями координат. Отже, правильна відповідь – А.

2. \(y=\log_3(x-5)\) – логарифмічна функція. Графік функції \(y=\log_3x\) перенесено паралельно вздовж осі \(Ox\) на \(5\) одиниць управо.

Областю визначення функції є проміжок \((5; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=x^2-5\) – квадратична функція. Графік функції \(y=x^2\) перенесено вздовж осі \(Oy\) на \(5\) одиниць униз.

Областю значень функції є проміжок \([-5; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, знання властивостей лінійної функцій.

1.\(y=-2x\) проходить через початок координат.

Отже, 1 – Г.

2.\(y=2x+2\), \(k=2.\) Лінійна функція \(y=kx+b.\) При \(k\gt 0\) пряма утворює гострий кут із додатним напрямком осі \(x.\)

Отже, 2 – А.

3. \(y=-2x+4\) пряма симетрична прямій \(y=2x+4\) відносно осі \(y.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік лінійної функції \(y=x+2\) проходить через дану точку.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. \(y=0\) це вісь \(Ox.\) Отже, спільних точок прямої та ламаної \(ABCA\) – безліч, правильна відповідь – Д.

2. Спільних точок параболи \((y=1-x^2)\) та ламаної \(ABCA\) – три: \((0; 1),\ (1; 0),\ (-1; 0),\) правильна відповідь – Г.

3. Спільних точок функції \(y=\cos x\) та ламаної \(ABCA\) – лише одна \((0, 1).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д 2Г 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=\sqrt{x-4}\) не визначена в точці \(x=1,\) бо \(x-4\ge 0,\ x\ge 4.\) Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=2\) при будь-якому значенні \(x.\) Отже, набуває додатного значення в точці \(x=-3,\) правильна відповідь – Г.

3. \(y=x^3\) є непарною \begin{gather*} y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x)\\[7pt] D(y)=R. \end{gather*} Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1Б 2Г 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Графіком лінійної функції є пряма. Всі точки прямої, паралельної осі абсцис, мають однакові ординати.

Якщо пряма проходить через \(\text{т.}\ A(-2;\ 3),\) то функція задається формулою: \(y=3.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції.

Графіком квадратичної функції \(y=x^2\) є парабола, яка симетрична осі \(Oy.\) Отже, якщо точка \(P\) належить графіку, то симетрична їй точка \(N\) може належати цьому графіку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дано: лінійна функція \(y=-2x+3\).

\(k=-2\), отже, функція спадна
\(b=3\), отже, точка перетину графіка з віссю \(Oy\) (0; 3).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.

А неправильно, бо зупинка тривала 1 годину, а не 4.

Б неправильно, бо туристи не пройшли 20 км.

В неправильно, бо туристи пройшли до зупинки більшу відстань, ніж після зупинки.

Г правильна відповідь. Туристи зробили зупинку через 4 години.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння використовувати перетворення графіків функцій.

Елементарними перетвореннями графік функції \(y=x^2\) перемістили на \(2\) одиниці вліво вздовж осі \(Ox\) та отримали графік фукнції \(y=(x+2)^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Використаємо основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac ab=\frac cd\ =\gt\ a\cdot d=b\cdot c\\[6pt] E=\frac{mv^2}{2}\\[6pt] 2E=mv^2\\[6pt] m=\frac{2E}{v^2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення буквеного виразу.

За формулою \(\mathrm{F}=1\mathord{,}8\cdot \mathrm{C} +32\) знаходимо значення, яке показуватиме термометр, якщо \(\mathrm{C}=50^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратична функція.

Це завдання перевіряє вміння знаходити нулі функції.

Нулі функції знаходимо з рівняння

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійна функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=-x\) перенесемо паралельно вздовж осі \(y\) на \(4\) одиниці вгору. Отримаємо \(y=4-x.\)

Отже, правильна відповідь Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, показникові функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Пряма \(y=4\mathord{,}5\) перетинає графік \(y=3^x\) у точці з абсцисою \(x_0=2.\)

\(3^2=4\mathord{,}5\cdot 2=9.\)

Отже, правильна відповідь – В.

2. Пряма \(y=-4\) не має спільних точок з графіком \(y=x^2-1.\)

\(y=x^2-1\) – графік – парабола з гілками вгору та вершиною \((0; -1)\), a \(y=-4\) – пряма, паралельна осі абсцис.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Пряма \(y=2x+4\) є паралельною прямій \(y=2x\), бо вони мають однаковий кутовий коефіцієнт \(k=2.\)

Отже, правильна відповідь – A.

4. Пряма \(y=x\) є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей, бо кутовий коефіцієнт \(k=1\), тому \(\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}=1\), \(\mathbf{\alpha}=45^\circ\) – кут нахилу прямої до додатнього напряму осі \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння та їхні системи, зокрема графічно.

Система має єдиний розв'язок за умови однієї спільної точки графіка рівняння \begin{gather*} |x-12|+|y|=1 \end{gather*} та кола \begin{gather*} (x-a)^2+y^2=4. \end{gather*}

Центр кола \((a; 0).\) Радіус кола – \(2.\)

На рисунку зображено можливі чотири варіанти розташування кола відносно графіку рівняння.

\(a=9\); \(11\); \(13\); \(15.\)

Сума значень параметра \(a{:}\)

Відповідь: \(48.\)

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійна функція, її властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік функції перетинає вісь абсцис у точці \(A(4; 0).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Точка перетину графіка функції \(y=2x-2\) з віссю абсцис має ординату нуль \((y=0).\) Абсцису точки знаходимо з рівняння:

Точка перетину графіка з віссю абсцис \((1; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратична функція.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, використовувати перетворення графіків функцій.

Задано функцію \(y=x^2\) з вершиною \((0; 0).\)

Використаємо елементарні перетворення графіків функції. Вершина параболи \((0; 0)\) переміщується вліво на \(2\) одиниці.

Отримана функція \(y=(x+2)^2.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків основних елементарних функцій.

Пряма є графіком лінійної функції, тобто функції, заданої рівнянням $$ y=kx+b, $$ де \(k\), \(b\) – числа. Серед наведених функцій лінійною є лише функція \(y=2x.\)

Цю функцію отримаємо, якщо в рівняння $$ y=kx+b $$ підставимо значення \(k=2\) i \(b=0.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки лінійної та квадратичної функцій. Рівняння кола. Властивості лінійної функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних та квадратичних функцій, кола, заданого рівнянням, встановлювати кількість точок перетину прямої з колом та прямої з параболою. Для розв'язання завдання потрібно також знати властивості лінійної функції \(y=kx+b\) та умову паралельності прямих.

1. Побудуємо графік рівняння \(y=5-x\).

Пряма задана рівнянням \(y=5-x\) має від'ємний кутовий коефіцієнт \(k=-1\), тому вона утворює з додатним напрямом осі \(x\) тупий кут, причому цей кут становить \(135^\circ\), оскільки \(\mathrm{tg}\ 135^\circ=-1.\) Отже, 1 – B.

2. Побудуємо графік рівняння \(y=2x+3\) і коло \(x^2+y^2=4.\)

Пряма перетинає коло. Отже, 2 – Д.

3. Графіком рівння \(x=a\) є пряма, що паралельна осі ординат і перетинає вісь абсцис у точці \((a; 0).\) Отже, графіком рівняння \(2x+6=0\), тобто \(x=-3\), є пряма, що паралельна осі ординат і яка проходить через точку \((-3; 0).\) Тому 3 – А.

4. Графік функції \(y=x-4\) і пряма \(y-x=0\), тобто \(y=x\) мають рівні кутові коефіцієнти, кожна з цих прямих утворює з додатним напрямом осі \(x\) кут \(45^\circ.\) Отже, 4 – Г.

Графіком функції \(y=x^2-5\) є парабола з вершиною у точці \((0; -5)\), симетрична відносно осі ординат, вітки параболи напрямлені вгору, вісь абсцис перетинає у точках \((-\sqrt{5}; 0)\) i \((\sqrt{5}; 0)\) (див. рисунок).

Зазначимо, що кожна з прямих, що задані в (1–4), перетинає задану параболу. Отже, варіант Б не може бути закінченням речення для жодного з початків речення (1–4).

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік лінійної функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції, зокрема прямій.

Графік функції проходить через точку, якщо її координати задовольняють рівняння, яким задано функцію, тобто при підстановці в це рівняння обертають його на тотожність. Підставимо координати точки \(O(0; 0)\) в кожне з наведених рівнянь:

А: \(0 = -2 \cdot 0 = 0\) – рівність виконується, отже пряма \(y = -2x\) проходить через точку \(O(0; 0)\);

Б: \(0 \neq 0 + 2 = 2\) – рівність не виконується;

В: \(0 \neq 0 - 2 = -2\) – рівність не виконується;

Г: \(0 \neq 2 - 0 = 2\) – рівність не виконується;

Д: \(0 \neq -2\) – рівність не виконується.

Це завдання можна розв’язати, безпосередньо скориставшись властивістю лінійної функції. Оскільки точка \(O(0; 0)\) є початком координат, а пряма, яка проходить через початок координат, задається рівнянням \(y = kx\), \(k\) – дійсне число, то серед наведених рівнянь цю умову задовольняє лише рівняння прямої \(y = -2x.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Монотонність функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити проміжки монотонності – зростання або спадання елементарних функцій.

Зображений на рисунку ескіз графіка є параболою – графіком квадратичної функції. Вона спадає на проміжку \((-\infty; x_{в}]\), де \(x_{в}\) – абсциса вершини параболи \begin{gather*} y = ax^{2} + bx + c, \\[6pt] x_{в} = -\frac{b}{2a}. \end{gather*} У нашому випадку \begin{gather*} a = 1,\\[7pt] b = 2,\\[6pt] x_{в} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1. \end{gather*}

Отже, задана функція спадає на проміжку \((-\infty; -1].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Основні властивості функцій: парність, періодичність, монотонність.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій: парності, періодичності, монотонності.

Ця лінійна функція не є парною, оскільки умова \(y(-x) = y(x)\) не виконується:

Ця лінійна функція не є непарною, оскільки умова \(y(-x) = -y(x)\) теж не виконується:

Функція не є періодичною, оскільки періодичною серед лінійних функцій є лише функція \(y = a\), \(a = \mathrm{const}.\)

Якщо кутовий коефіцієнт \(k\) лінійної функції \(y = kx + b\) додатний, то ця функція зростає на проміжку \((-\infty; +\infty)\), а якщо від’ємний – то функція спадає. У нашому випадку \(k = 2 \gt 0.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Застосування похідної до розв’язку задач.

Це завдання перевіряє вміння використовувати похідну функції для знаходження її найбільшого значення.

Нехай \(ABCD\) – задана трапеція, вершини якої належать графіку квадратичної функції \(y=36-x^2\) (див. рисунок).

Оскільки в умові задачі зазначено, що всі вершини трапеції належать графіку функції, а основа \(AD\) лежить на осі \(x\), то точки \(A\) і \(D\) є точками перетину графіка з віссю \(x.\) Для знаходження абсцис цих точок розв’яжемо рівняння $$ 36-x^2=0, $$ оскільки на вісі \(x\) ордината \(y\) дорівнює \(0.\) Тоді \(x_1=6\), \(x_2=-6\) і \(A(-6; 0)\), \(D(6; 0).\)

Нехай абсциса точки \(C\) дорівнює \(a\), тоді абсциса точки \(B\) дорівнює \(-a\), а ординати цих точок дорівнюють \(36-a^2.\) При цьому \(a\in (0; 6)\).

Визначимо залежність площі трапеції \(ABCD\) від значення змінної \(a.\) Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту: $$ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h. $$

Довжина нижньої основи трапеції $$ AD=6+6=12, $$ довжина верхньої основи трапеції $$ BC=a+a=2a, $$ висота трапеції дорівнює ординаті точки \(C\), тобто $$ h=36-a^2, $$ тоді площа трапеції \(ABCD\) виражається формулою $$ S=\frac{12+2a}{2}\cdot(36-a^2), $$ або

Для знаходження найбільшого значення площі, знайдемо похідну

$$ S'(a)=36-12a-3a^2=3(12-4a-a^2)=3(2-a)(a+6). $$

Щоб визначити стаціонарні точки функції \(S(a)\), прирівняємо її похідну до нуля: $$ 3(2-a)(a+6)=0. $$ Розв’язавши рівняння, знайдемо дві стаціонарні точки \(a_1=-6\) і \(a_2=2\), але досліджуватимемо лише точку \(a=2\), оскільки \(-6\notin (0; 6).\) З наведеної діаграми видно, що в точці \(a=2\) функція

$$ S(a)=216+36a-6a^2-a^3 $$

досягає максимуму.

Отже, найбільшого значення площа трапеції досягає у випадку, коли \(a=2.\) Обчислимо значення

$$ S(2)=216+36\cdot 2-6\cdot 4\cdot 8=256. $$

Відповідь: \(256.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Область визначення функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, заданої аналітично.

Функція $$ y = \frac{4 - x}{5} $$ є лінійною:

Отже, ця функція визначена на всій дійсній осі, тобто область визначення є проміжок \((-\infty; +\infty).\)

Можна не акцентувати увагу на тому, що задана функція є лінійною. Достатньо зауважити, що знаменник дробового виразу $$ \frac{4 - x}{5}, $$ тобто число \(5\), не залежить від \(x\) і не дорівнює нулю, а чисельник \(4 - x\) має сенс за будь-якого значення \(x.\) Отже, функція $$ y = \frac{4 - x}{5} $$ визначена для всіх \(x \in (-\infty; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання з практичним змістом перевіряє вміння знаходити значення кусково-заданої функції.

Формула обчислення вартості поїздки на таксі передбачає врахування декількох параметрів, а саме: довжини маршруту, вартості замовлення таксі та час, протягом якого таксі рухається (наприклад, очікує на пасажира) або рухається дуже повільно (затори на дорогах або аварійна ситуація). Під час розв’язування завдання потрібно з’ясувати, довжина маршруту \(S\) більше чи менше за \(6\) км. Якщо довжина маршруту менша за \(6\) км, то вартість поїздки є мінімальною. Якщо ж довжина маршруту більша за \(6\) км, то вартість поїздки потрібно визначати за першою формулою кусково-заданої функції.

За умовою, $$ S=10{,}5\gt 6, $$ тоді обчислюємо значення функції (вартість поїздки на таксі) за формулою $$ P=P_{min}+2{,}4\cdot(S-6)+0{,}5t. $$ Підставляємо дані, наведені в умові: \begin{gather*} P_{min}=28,\\[7pt] t=12,\\[7pt] S=10{,}5 \end{gather*} та отримуємо:

Відповідь: \(44{,}8.\)