Національний мультитест з математики – Варіант 31

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів,  додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c(1+(-8); -2+(-3); 5+6);\\[7pt] \vec c(-7; -5; 11). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} \frac 13-\frac 12=\frac{2-3}{6}=-\frac 16\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність:

\begin{gather*} -\frac 16(x+1)\gt 0. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число \(-6.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x+1\lt 0;\\[7pt] x\lt -1. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -1).\) З наведених чисел лише \(-4\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, яку відображено на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(500 : 2 = 250.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять другу половину, тобто \(250\) занять.

Сектор Teams візуально менший за чверть від усього круга: \(500:4=125.\) Отже, кількість занять у Teams менша за \(125.\)

А менша від \(150\)». – Правильно, оскільки цей сектор менший навіть за \(125.\)

Б становить половину від загальної кількості». – Неправильно (половину становлять заняття в Zoom).

В становить третину від загальної кількості». – Неправильно (третина – це приблизно \(167\) занять).

Г більша за кількість занять у Google Meet». – Неправильно (темно-сірий сектор менший за світло-сірий).

Д належить проміжку \([250; 400]\)». – Неправильно (у цьому проміжку – кількість занять у Zoom або сума кількостей занять на інших платформах: Teams + Google Meet).

Отже, лише твердження «менша від \(150\)» задовольняє умову.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) в точці \((0; 4).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, зокрема властивостей чотирикутників, вписаних у коло.

I. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин його діагоналей.

З нерівності трикутника для половини прямокутника відомо, що сума двох сторін більша за третю сторону (діагональ): \(a+b\gt d\), відповідно \(2(a+b)\gt 2d.\) Твердження неправильне.

II. Сума квадратів усіх сторін прямокутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного сторонами та діагоналлю:

\(a^2+b^2=d^2.\)

Помноживши обидві частини на \(2\), отримуємо:

\begin{gather*} 2(a^2+b^2)=2d^2;\\[7pt] 2a^2+2b^2=2d^2. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює діагоналі прямокутника.

Центр описаного кола лежить на перетині діагоналей, а самі діагоналі – діаметри цього кола \((D=d).\) Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \pi x=1;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=\frac 12 +2n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=\dfrac 12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За умовою сканер працює \(5\) хвилин, а швидкість сканування наведено в сторінках за секунду. Тому спершу виразімо хвилини в секундах:

\begin{gather*} 1\ \text{хв}=60\ \text{с};\\[7pt] 5\ \text{хв}=5\cdot 60=300\ \text{с}. \end{gather*}

Сканер сканує \(1\) сторінку за \(6\) секунд.

Обчислімо кількість сторінок, які він зісканує за \(300\) секунд:

\begin{gather*} 300:6=50. \end{gather*}

Отже, за \(5\) хвилин сканер зісканує \(50\) сторінок.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила диференціювання суми й уміння розв'язувати задачі на використання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом:

\begin{gather*} x(t)=6t^2. \end{gather*}

Фізичний зміст похідної: швидкість \(v(t)\) прямолінійного руху матеріальної точки в момент часу \(t\) дорівнює похідній від функції координати \(x(t)\) за часом:

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

За таблицею похідних:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] v(t)=(6t^2)'=6\cdot 2t=12t. \end{gather*}

Отже, швидкість руху матеріальної точки в будь-який момент часу \(t\) визначають за формулою:

\begin{gather*} v(t)=12t. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки \(K\) і \(N\) лежать на осі \(y.\) Це означає, що їхні координати за осями \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю:

\begin{gather*} K(0; y_K; 0);\\[7pt] N(0; y_N; 0). \end{gather*}

Координати вектора \(\overrightarrow{KN}\), який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця \((N)\) і початку \((K){:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{KN}(0-0; y_N-y_K; 0-0);\\[7pt] \overrightarrow{KN}(0; y_N-y_K; 0). \end{gather*}

У вектора, що лежить на осі \(y\), перша та третя координати мають дорівнювати нулю.

Вектор напрямлений від \(K\) до \(N\), тобто в додатному напрямку осі \(y.\) Це означає, що ордината y вектора має бути додатною \((y_N-y_K\gt 0).\)

Серед запропонованих варіантів лише вектор \((0; 9; 0)\) лежить на осі \(Oy\) і має додатний напрямок.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

\begin{gather*} x+y\ne 0;\\[7pt] x\ne -y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] x+y=3\cdot (-2);\\[7pt] x+y=-6. \end{gather*}

Розв’яжімо методом додавання систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+y=-6,\\ 2x-y=-3. \end{array}\right.\\[7pt] x+y+2x-y=-6-3;\\[7pt] 3x=-9;\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Отже, \(x_0=-3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту \(CH\) з вершини \(C\) на основу \(AD\ (CH\!\perp\!AD).\)

Оскільки трапеція прямокутна \((\angle A=90^\circ)\), чотирикутник \(ABCH\) є прямокутником. Звідси маємо: \(CH=AB=12\) см (висота трапеції) і \(AH=BC.\)

Розгляньмо \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CH^2+HD^2;\\[7pt] 20^2=12^2+HD^2;\\[7pt] 400=144+HD^2;\\[7pt] HD^2=400-144=256;\\[7pt] HD=16\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою \(BC:AD=3:5.\) Нехай \(BC=3x\), тоді \(AD=5x.\)

Оскільки \(AD=AH+HD\), а \(AH=BC=3x\), підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 5x=3x+16;\\[7pt] 2x=16;\\[7pt] x=8\ \text{см}. \end{gather*}

Тепер визначмо довжини основ:

менша основа \(BC=3\cdot 8=24\) см;

більша основа \(AD=5\cdot 8=40\) см.

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних і степеневих виразів.

1. \(\ln \dfrac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1.\)

Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Число \(-1\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(e\approx 2{,}7.\)

\begin{gather*} e-5\lt 0;\\[7pt] |e-5|=-(e-5)=-e+5=\\[7pt] =5-e\approx 5-2{,}7\approx 2{,}3. \end{gather*}

Число \(2{,}3\) належить проміжку \((2; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(e^0=1.\)

Число \(1\) належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Функція \(y=cos x.\) Косинус – періодична функція.

Підставмо \(y=1{:}\) \(\cos x=1\) виконується в усіх точках виду \(x=2\pi k\), \(k\in Z\) (наприклад: \(0\), \(\pm 2\pi\), \(\pm 4\pi\) тощо). Спільних точок безліч.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y=x^2-2x+2.\)

Підставмо \(y=1{:}\)

\begin{gather*} x^2-2x+2=1;\\[7pt] x^2-2x+1=0;\\[7pt] (x-1)^2=0;\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Квадратне рівняння має лише один корінь. Графіки мають одну спільну точку (пряма є дотичною до вершини параболи).

Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=1+\frac 2x.\)

Підставмо \(y=1\) (зважмо на ОДЗ: \(x\ne 0\)):

\begin{gather*} 1+\frac 2x=1;\\[6pt] \frac 2x=0. \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю. Але чисельник тут сталий \((2\ne 0).\)

Горизонтальна пряма \(y=1\) є горизонтальною асимптотою для цієї гіперболи, тому графіки ніколи не перетинаються. Тобто не мають жодної спільної точки.

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Висота ромба.

Висота ромба \(h\) дорівнює діаметру вписаного кола \((h=2r){:}\)

\begin{gather*} h=2\cdot 12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

2. Проєкція меншої діагоналі на сторону ромба.

Проєкцією меншої діагоналі \(BD\) на сторону ромба \(AD\) є відрізок \(KD\) (оскільки \(B\) проєктується в точку \(K\), а вершина \(D\) лежить на цій прямій). Розгляньмо прямокутний трикутник \(BKD\ (\angle BKD=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – А.

3. Сторона ромба.

Розгляньмо прямокутні трикутники \(\Delta AOD\ (\angle AOD=90^\circ)\) та \(\Delta BKD\ (\angle BKD=90^\circ){:}\) \(\angle AOD=\angle BKD=90^\circ.\)

Гострий кут \(\angle ODA\) (або \(\angle BDK\)) – спільний.

Звідси: \(\Delta AOD\sim \Delta BKD\) за двома гострими кутами (ознака подібності прямокутних трикутників).

Оскільки трикутники подібні, відношення їхніх відповідних сторін (навпроти рівних кутів) є рівними. Запишімо пропорцію відношення гіпотенуз до прилеглих катетів для цих трикутників:

\begin{gather*} \frac{AD}{BD}=\frac{OD}{KD}. \end{gather*}

Підставмо всі відомі значення, які отримали на попередніх кроках \((BD=30\) см, \(OD=15\) см, \(KD=18\) см\(){:}\)

\begin{gather*} \frac{AD}{30}=\frac{15}{18};\\[6pt] AD=\frac{15\cdot 30}{18}=5\cdot 5=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \((a_n)\) відрізняється від відомого \((a_k)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_n=a_k+d\cdot m, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число.

Підставивши відомі значення \(a_k=27\) та \(d=5\)

\begin{gather*} a_n=27+5m. \end{gather*}

Шукані члени прогресії належать інтервалу \((60; 75).\) Складімо подвійну нерівність:

\begin{gather*} 60\lt 27+5m\lt 75;\\[7pt] 60-27\lt 5m\lt 75-27;\\[7pt] 33\lt 5m\lt 48;\\[6pt] \frac{33}{5}\lt m\lt \frac{48}{5};\\[6pt] 6{,}6\lt m\lt 9{,}6;\\[7pt] m=\{7,\ 8,\ 9\} \end{gather*}

Обчислімо відповідні члени арифметичної прогресії:

Обчислімо суму \(S\) визначених членів прогресії:

\begin{gather*} S=62+67+72=201. \end{gather*}

Відповідь: \(201.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) елементів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

1. Оберімо співака.

Треба обрати \(1\) співака з \(5\) фіналістів. Кількість способів це зробити дорівнює:

\begin{gather*} C_5^1=5. \end{gather*}

2. Оберімо музичні групи.

Треба обрати \(2\) групи з \(12\) фіналістів. Оскільки порядок вибору груп не має значення, використаймо формулу комбінацій \((C_{12}^2){:}\)

3. Визначмо загальну кількість варіантів.

Оскільки маємо обрати і співака, і музичні групи (сполучник і вказує на одночасний вибір), за правилом добутку перемножмо отримані результати:

\begin{gather*} N=C_5^1\cdot C_{12}^2=5\cdot 66=330. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(330.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ \((AC)\) основи.

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу:

Звідси обчислімо більшу діагональ:

2. Визначмо меншу діагональ \((BD)\) ромба.

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}){:}\)

Підставимо знайдені значення площі основи та висоти у формулу об'єму:

Відповідь: \(3600.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(x^2+(2a-15)x+26-4a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=1;\\[7pt] b_\text{коеф.}=2a-15;\\[7pt] c_\text{коеф.}=26-4a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

Тобто

За умовою задачі, обидва корені мають бути більшими за \(1{:}\ x_1\gt 1\) i \(x_2\gt 1.\)

Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2\gt 1,\\ -2a+13\gt 1. \end{array}\right.\\[7pt] -2a+13\gt 1;\\[7pt] -2a\gt 1-13;\\[7pt] -2a\gt -12. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 2a\lt 12. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} a\lt 6. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-\infty; 6).\)

У завданні запитують про найбільше ціле значення \(a.\) Оскільки число \(6\) не входить у проміжок (знак строгий), то найбільше ціле число, що задовольняє умову, – це \(5.\)

Відповідь: \(5.\)