Національний мультитест з математики – Варіант 43

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дробово-раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати дробово-раціональні рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} 2x-10=0,\\ x+1\ne 0. \end{cases} \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 2x-10=0;\\[7pt] 2x=10;\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Перевірмо область допустимих значень (ОДЗ).

За \(x=5\) знаменник \(x+1=5+1=6\ne 0\), отже, число \(5\) є коренем рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення й уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

I спосіб.

Винесімо спільний множник \(3\) за дужки з першого виразу:

\begin{gather*} (3-3x)(x+1)=3(1-x)(1+x). \end{gather*}

Застосуймо формулу різниці квадратів \((a-b)(a+b)=a^2-b^2{:}\)

\begin{gather*} 3(1-x^2)=3-3x^2. \end{gather*}

II спосіб.

Помножмо кожен доданок у перших дужках на кожен доданок у других:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

Якщо від периметра відняти суму довжин трьох сторін, отримаємо довжину четвертої сторони:

\begin{gather*} 18-14=4\ \text{дм}. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, сума двох сусідніх сторін (півпериметр) дорівнює:

\begin{gather*} a+b=\frac P2=\frac{18}{2}=9\ \text{дм}. \end{gather*}

Одна зі сторін \(4\) дм завдовжки, довжина другої (більшої) сторони дорівнює:

\begin{gather*} 9-4=5\ \text{дм}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Через точку \(S\), яка не належить площині основи \((ABC)\), можна провести єдину площину, паралельну площині \((ABC).\) Усі прямі, що лежать у цій паралельній площині та проходять через вершину \(S\), будуть паралельними площині основи \((ABC).\) Через точку в площині можна провести нескінченну кількість (безліч) прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів з однаковими основами.

За властивістю степеня з однаковою основою \((a^m\cdot a^n=a^{m+n})\), під час множення показники додамо, а основу залишимо без змін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

І спосіб

Для лінійної функції \(y=kx+b\)

Вільний член \(b=-1\) показує ординату точки перетину графіком осі \(y\), тобто графік проходить через точку \((0; -1).\) Кутовий коефіцієнт \(k=\dfrac 32=1{,}5.\)

Оскільки \(k\gt 0\), функція є висхідною (пряма прямує знизу-ліворуч угору-праворуч).

ІІ спосіб

Визначмо точку перетину з віссю \(Oy\) (за \(x=0\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 0-1=-1. \end{gather*}

Графік функції має перетинати вісь \(Oy\) у точці \((0; -1).\) Цій умові відповідають рисунки Б і Г.

Перевірмо додаткову точку (наприклад, \(x=2\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 2-1=3-1=2. \end{gather*}

Графік проходить через точку \((2; 2)\), що повністю узгоджується з рисунком Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії та умов існування вписаного кола.

I. Існує трапеція, точка перетину діагоналей якої рівновіддалена від її вершин.

Точка перетину діагоналей трапеції \(O\) ділить її діагоналі у відношенні основ \(a:b.\) Оскільки основи трапеції не рівні \((a\ne b)\), відрізки діагоналей від точки перетину до вершин не є рівними \((AO\ne OC).\) Отже, точка перетину діагоналей не може бути рівновіддаленою від усіх вершин. Твердження неправильне.

II. Існує трапеція, сума довжин бічних сторін якої дорівнює сумі довжин її основ.

Якщо сума основ дорівнює сумі бічних сторін \((a+b=c+d)\), у таку трапецію можна вписати коло. Така трапеція існує (наприклад, рівнобічна трапеція з основами \(2\) см і \(8\) см і бічними сторонами \(5\) см, висота якої \(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\) см). Твердження правильне.

III. Існує трапеція, середня лінія якої проходить через точку перетину її діагоналей.

Середня лінія трапеції проходить через середини її діагоналей (ділить їх у відношенні \(1:1\)). Проте точка перетину діагоналей ділить їх у відношенні основ \(a:b\) (де \(a\ne b\)). Оскільки ці точки не збігаються, середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Визначмо корені квадратного рівняння \(x^2+2x-24=0.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac{:}\)

Обчислімо значення \(x{:}\)

Оскільки знак нерівності нестрогий \((\le)\), точки \(-6\) та \(4\) входять до розв'язку (включені в інтервал квадратними дужками).

Коефіцієнт за \(x^2\) додатний \((a=1\gt 0)\), тому вітки параболи напрямлені вгору.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -6]\cup [4; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Застосуймо властивості кореня:

(оскільки \(3^4=81\), а \(2^4=16\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом і записувати числа в стандартному вигляді.

Оскільки \(1\) карат \(=\ 0{,}2\) г, то маса алмаза становить:

\begin{gather*} 3106\cdot 0{,}2=621{,}2\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=\ 10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 621{,}2\ \text{г}=\frac{621{,}2}{1000}\ \text{кг}=0{,}6212\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(1\) знак праворуч:

\begin{gather*} 0{,}6212\ \text{кг}=6{,}212\cdot 10^{-1}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), а \(m\) – ціле число.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ): \(x\gt 0.\)

Застосуймо властивість різниці логарифмів \((\log_a b-\log_a c=\log_a \dfrac bc){:}\)

\begin{gather*} \log_6 x-\log_6 2=1;\\[6pt] \log_6 \frac x2=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \frac x2=6^1;\\[6pt] \frac x2=6;\\[6pt] x=12. \end{gather*}

Число \(12\) задовольняє ОДЗ \((12\gt 0)\) і належить проміжку \((10; +\infty).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точки, симетричної відносно початку координат, й обчислювати довжину (модуль) вектора.

Оскільки точка \(B\) симетрична точці \(A(-6; -3; 6)\) відносно початку координат, її координати є протилежними за знаком: \(B(6; 3; -6).\)

Обчислімо довжину (модуль) вектора \(|\overrightarrow{AB}|\) за формулою:

Підставмо координати точок \(A(-6; -3; 6)\) та \(B(6; 3; -6){:}\)

Властивість симетрії: точки \(A(x; y; z)\) та \(B(-x; -y; -z)\) є симетричними відносно початку координат \(O(0; 0; 0).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічна функція.

Завдання перевіряє вміння з'ясовувати область визначення логарифмічної функції.

Для логарифмічної функції \(y=\log_a f(x)\) (де \(a\gt 0\), \(a\ne 1\)) область визначення задано умовою \(f(x)\gt 0.\)

Розв'яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} x+9\gt 0;\\[7pt] x\gt -9. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-9; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб і прямокутник.

Завдання перевіряє вміння знаходити елементи прямокутного трикутника, використовувати властивості подібності трикутників й обчислювати площу ромба.

У прямокутному трикутнику \(KNM\ (\angle N=90^\circ){:}\)

Отже, \(KL=NM=6\sqrt{3}\) см й \(LM=KN=6\) см.

Сторони прямокутника паралельні діагоналям ромба \((KL || AC\), \(KN || BD).\) Оскільки \(AK:KB=1:3\), сторона \(AB\) ділиться у відношенні \(1:3\), тобто

\(KB=\dfrac 34 AB\), а \(AK=\dfrac 14 AB.\)

З подібності трикутників \(\Delta BKL\sim \Delta BAC{:}\)

\begin{gather*} \frac{KL}{AC}=\frac{KB}{AB}=\frac 34;\\[6pt] AC=\frac 43 KL=\frac 43\cdot 6\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З подібності трикутників \(\Delta AKN\sim \Delta ABD{:}\)

\begin{gather*} \frac{KN}{BD}=\frac{AK}{AB}=\frac 14;\\[6pt] BD=4\cdot KN=4\cdot 6=24\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу ромба \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Обчислення значень виразів.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення логарифмічних, степеневих і тригонометричних виразів.

Застосували властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^n}(b^m)=\frac mn\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Застосували властивість степеня \(\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

\(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)

За формулою різниці квадратів \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1-B, 2-Г, 3-Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їх властивості.

Завдання перевіряє вміння аналізувати властивості основних елементарних функцій.

1. \(f(x)=x^2+2.\)

Спосіб 1

Область визначення \(D(f)=(-\infty; +\infty).\) Перевірмо функцію на парність:

Оскільки \(f(-x)=f(x)\), за означенням функція парна.

Функція \(y=f(x)\) парна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Спосіб 2

Графіком є парабола, вісь симетрії якої збігається з віссю ординат \(Oy.\) Симетрія графіка відносно осі \(Oy\) за означенням означає, що функція є парною, тобто виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. \(f(x)=\sin x.\)

Спосіб 1

Визначмо нулі функції, розв'язавши рівняння

\begin{gather*} \sin x=0;\\[7pt] x=\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Функція має безліч нулів \((0\); \(\pm\pi\); \(\pm 2\pi\); \(\text{...})\), тобто більше ніж два нулі.

Нуль функції – це значення аргумента \(x\), за якого значення функції дорівнює нулю \((f(x)=0).\)

Спосіб 2

Графіком є синусоїда. Точки перетину графіка з віссю абсцис \(Ox\) є нулями функції. На зображенні позначено точки перетину \(x=\text{...}\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\), \(2\pi\), \(\text{...}\), що доводить наявність безлічі нулів, тобто більше ніж двох.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(f(x)=x^3.\)

Спосіб 1

Степенева функція з непарним показником \(n=3\) є строго висхідною на всій своїй області визначення \((-\infty; +\infty).\)

Висхідна функція – це функція, для якої більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції \((x_1\lt x_2\Leftrightarrow f(x_1)\lt f(x_2)).\)

Спосіб 2

Графіком є кубічна парабола. Унаслідок руху вздовж осі \(Ox\) зліва направо значення функції постійно зростають на всій області визначення \((-\infty; +\infty)\), що є властивістю висхідної функції.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1-B, 2-Г, 3-A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Паралелограм і трапеція.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма, трапеції, прямокутного трикутника й теорему Піфагора.

1. Довжина відрізка \(KC\) дорівнює…

Сторона паралелограма \(AD=AP+PD=20+10=30\) см. Протилежні сторони паралелограма рівні: \(BC=AD=30\) см. Оскільки \(K\) – середина \(BC\), отримуємо:

\begin{gather*} KC=\frac 12 BC=\frac{30}{2}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Довжина середньої лінії трапеції \(PKCD\) дорівнює…

Чотирикутник \(PKCD\) є прямокутною трапецією з основами \(KC=15\) см та \(PD=10\) см. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина сторони \(AB\) дорівнює…

Проведімо висоту \(BH\!\perp\!AD.\) Утворений чотирикутник \(BHPK\) є прямокутником, тому \(BH=KP=12\) см, \(HP=BK=15\) см.

Звідси відрізок \(AH=AP-HP=20-15=5\) см. За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ){:}\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1-Д, 2-B, 3-Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їхні значення.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення заданої функції, визначати формулу прямої пропорційності й обчислювати значення алгебричного виразу.

За умовою \(f(x)=3\), якщо \(x\gt 0\), і \(f(x)=1\), якщо \(x\lt 0.\)

Для \(x=2\ (2\gt 0){:}\)

\(f(2)=3.\)

Для \(x=-1\ (-1\lt 0){:}\)

\(f(-1)=1.\)

Визначмо функцію \(g(x)\) та обчислімо її значення в точці \(x=-1{:}\)

Пряму пропорційність задано формулою \(g(x)=kx.\) Підставмо координати точки \((1; 0{,}5)\), через яку проходить графік:

\begin{gather*} 0{,}5=k\cdot 1;\\[7pt] k=0{,}5. \end{gather*}

Отже, \(g(x)=0{,}5x.\) Обчислімо значення \(g(-1){:}\)

\begin{gather*} g(-1)=0{,}5\cdot (-1)=-0{,}5. \end{gather*}

Підставмо всі знайдені значення у початковий вираз:

Відповідь: \(6{,}5.\)

ТЕМА: Математика. Задачі на відсотки й аналізування кругових діаграм.

Завдання перевіряє вміння аналізувати кругові діаграми, обчислювати відсоткову частку й число за його відсотком.

Повний круг відповідає \(100\ \%\) всіх опитаних.

Різниця у відсотках між футболом і баскетболом:

\begin{gather*} 35\ \%-15\ \%=20\ \%. \end{gather*}

За умовою задачі ця різниця у \(20\ \%\) відповідає \(60\) учням.

Щоб визначити ціле число за його відсотком, поділімо значення на відповідний десятковий дріб \(\left(20\ \%=\dfrac{20}{100}=0{,}2\right){:}\)

\begin{gather*} N=\frac{60}{0{,}2}=300\ \text{учнів}. \end{gather*}

Відповідь: \(300.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Призма та циліндр.

Завдання перевіряє вміння знаходити елементи й об'єми комбінованих геометричних тіл (призми й циліндра), а також використовувати властивості ромба.

Площу основи циліндра обчислюють за формулою \(S=\pi R^2.\)

\begin{gather*} \pi R^2=9\pi;\\[7pt] R^2=9;\\[7pt] R=3\ \text{см}. \end{gather*}

Основою призми є ромб зі стороною \(a=10\) см.

Радіус вписаного в ромб кола дорівнює радіусу основи циліндра \((r=R=3\) см\().\)

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола (удвічі більша за радіус):

\begin{gather*} h=2r=2\cdot 3=6\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу ромба через сторону й висоту:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot h=10\cdot 6=60\ \text{см}^2. \end{gather*}

Твірна прямого циліндра є його висотою, тому \(H=25\) см. За умовою висота призми дорівнює висоті циліндра \((H_\text{призми}=H_\text{циліндра}=25\) см\().\) Обчислімо об'єм прямої призми за формулою \(V=S_\text{осн}\cdot H{:}\)

\begin{gather*} V=60\cdot 25=1500\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1500.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння з параметром та раціональні нерівності

Завдання перевіряє вміння знаходити корені лінійного рівняння з параметром і розв'язувати дробово-раціональні нерівності методом інтервалів.

Перенесімо доданки зі змінною \(x\) у ліву частину, а сталі – у праву:

\begin{gather*} ax-2x=a+5;\\[7pt] (a-2)x=a+5. \end{gather*}

За умови \(a\ne 2\), виразімо \(x{:}\)

\begin{gather*} x=\frac{a+5}{a-2}. \end{gather*}

Для \(a=2\) отримуємо \(0\cdot x=7\), тобто рівняння коренів не має.

Корінь рівняння від’ємний \((x\lt 0)\), якщо:

\begin{gather*} \frac{a+5}{a-2}\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо дробово-раціональну нерівність методом інтервалів. Нулі чисельника й знаменника: \(a=-5\) та \(a=2.\)

Отже, \(a\in (-5; 2).\)

Випишімо всі цілі числа із цього проміжку: \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1.\) Кількість таких чисел дорівнює \(6.\)

Відповідь: \(6.\)