Призма – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Геометрія
Розділ: Стереометрія
Тема: Призма
Кількість завдань: 70

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 70

Основа прямої призми – ромб із діагоналями $20$ і $8\sqrt{3}.$ Більша діагональ призми нахилена під кутом $30^\circ$ до її основи. Обчисліть об'єм цієї призми.

Впишіть відповідь:

1600

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо площу ромба за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12 d_1\cdot d_2;\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 20\cdot 8\sqrt{3}=10\cdot 8\sqrt{3}=80\sqrt{3}. \end{gather*}

Порівняймо $20$ та $8\sqrt{3}.$

\begin{gather*} 8\sqrt{3}=\sqrt{64\cdot 3}=\sqrt{192};\\[7pt] 20=\sqrt{400}. \end{gather*}

Отже, більша діагональ основи дорівнює $20.$

Більша діагональ $A_1C$ призми утворює прямокутний трикутник $CAA_1\ (\angle A=90^\circ)$ із більшою діагоналлю основи $(AC=20)$ і висотою призми $(H=AA_1).$

Оскільки кут нахилу $30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)$, то

\begin{gather*} H=AC\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=20\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}. \end{gather*}

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=80\sqrt{3}\cdot \frac{20\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{80\sqrt{3}\cdot 20\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{80\cdot 20\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{1600\cdot 3}{3}=1600. \end{gather*}

Відповідь: $1600.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37526

Завдання 2 з 70

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює $140\sqrt{3}.$ Визначте об'єм призми, якщо її висота дорівнює $7\sqrt{3}.$

Впишіть відповідь:

4200

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо меншу діагональ $(BD)$ основи.

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми $(H=DD_1=7\sqrt{3}).$ Оскільки переріз менший, він проходить через меншу діагональ ромба $(BD).$

Формула для обчислення площі перерізу:

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо меншу діагональ:

\begin{gather*} BD=\frac{ S_{BB_1D_1D}}{DD_1}=\frac{140\sqrt{3}}{7\sqrt{3}}=20. \end{gather*}

У ромбі з гострим кутом $60^\circ$ менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. Отже, сторона ромба дорівнює меншій діагоналі $AD=BD=20$ см (оскільки $\Delta ABD$ рівносторонній).

Обчислімо площу основи $(S_\text{осн}){:}$

Площу ромба обчислімо за формулою через сторону $(a)$ та синус кута між ними:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2\cdot \sin 60^\circ;\\[6pt] S_\text{осн}=20^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}. \end{gather*}

Об'єм призми обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=200\sqrt{3}\cdot 7\sqrt{3}=200\cdot 7\cdot (\sqrt{3})^2=1400\cdot 3=4200. \end{gather*}

Відповідь: $4200.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37475

Завдання 3 з 70

Позначте формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює $a$, а висота – $2a.$

А$S=6a^2$

Б$S=8a^3$

В$S=12a^2$

Г$S=8a^2$

Д$S=2a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою: \begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною $a$, тож його периметр: \begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою задачі висота $H=2a.$

Отже,

\begin{gather*} S_\text{біч}=4a\cdot 2a=8a^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 739. Завдання: 37383

Завдання 4 з 70

Основою прямої призми є ромб зі стороною $20.$ Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює $58.$ Обчисліть об'єм цієї призми, якщо її висота дорівнює $5.$

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагональний переріз прямої призми — це прямокутник. Його сторони — це діагональ ромба $(d)$ та висота призми $(H).$ Периметр цього прямокутника розраховується за формулою:

\begin{gather*} P_\text{пер}=2(d+H). \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 58=2(d+5);\\[7pt] 29=d+5;\\[7pt] d_1=24. \end{gather*}

Діагоналі ромба перетинаються під кутом $90^\circ$ і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$, де: $CD=20$ (сторона ромба), $OD=24:2 = 12$ (половина відомої діагоналі $(d_1)$ ромба).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=OD^2+OC^2;\\[7pt] 20^2=12^2+OC^2;\\[7pt] 400=144+OC^2;\\[7pt] OC^2=400-144=256;\\[7pt] OC=\sqrt{256}=16. \end{gather*}

Отже друга діагональ ромба

\begin{gather*} d_2=AC=2\cdot OC=2\cdot 16=32. \end{gather*}

Формула об’єму призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площа основи (ромба):

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12\cdot d_1\cdot d_2=\frac 12\cdot 24\cdot 32=384;\\[6pt] V=S_\text{осн}\cdot H=384\cdot 5=1920. \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37374

Завдання 5 з 70

Позначте формулу для обчислення об'єму $V$ правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює $a$, а висота – $3a.$

А$V=a^3$

Б$V=3a^3$

В$V=4a^3$

Г$V=\frac{a^3}{3}$

Д$V=9a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей призми.

Об'єм призми визначаємо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною $a$, тож його площа:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

За умовою задачі висота $H=3a.$

Отже,

\begin{gather*} V=a^2\cdot 3a=3a^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37104

Завдання 6 з 70

Основою прямої призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $6$ і $6\sqrt{3}.$ Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Обчисліть площу бічної поверхні призми.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу бічної поверхні призми.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$, катетами якого є половини діагоналей:

\begin{gather*} CO=3\sqrt{3};\\[7pt] DO=3. \end{gather*}

За теоремою Піфагора обчислімо гіпотенузу (сторону ромба):

\begin{gather*} CD=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6. \end{gather*}

Більша діагональ $A_1C$ призми утворює прямокутний трикутник $CAA_1$ $(\angle A=90^\circ)$ з більшою діагоналлю основи $(AC=6\sqrt{3})$ і висотою призми.

Оскільки кут нахилу $30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)$, то

\begin{gather*} H=AC\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6. \end{gather*}

Формула бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4\cdot CD=4\cdot 6=24;\\[7pt] S_\text{біч}=24\cdot 6=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36922

Завдання 7 з 70

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює $260.$ Обчисліть об'єм $V$ призми. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\sqrt{3}}.$

Впишіть відповідь:

1200

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos 60^\circ;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot 0{,}5;\\[7pt] BD^2=64+225-12=169;\\[7pt] BD=13\ (\text{см}). \end{gather*}

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами $BB_1D_1D.$ Сторона $BD=13$ см, а висота $DD_1=H.$ Його площа за умовою дорівнює $260$ см$^2{:}$

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу основи призми (паралелограма $ABCD$) за формулою $S=ab\sin \gamma{:}$

\begin{gather*} S_\text{осн}=8\cdot 15\cdot \sin 60^\circ=120\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити $\frac{V}{\sqrt{3}}{:}$

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1200.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36610

Завдання 8 з 70

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Висота призми дорівнює $20.$ Обчисліть площу меншого діагонального перерізу призми.

Впишіть відповідь:

260

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами $AB = 8$ і $AD = 15$, $\angle A = 60^\circ.$

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі $BD.$

Розгляньмо трикутник $ABD.$ За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos 60^\circ;\\[6pt] BD^2=64+225-2\cdot 120\cdot \frac 12;\\[6pt] BD^2=289-120=169;\\[7pt] BD=\sqrt{169}=13\ \text{(см)}. \end{gather*}

Меншим діагональним перерізом є прямокутник $DBB_1D_1$ зі сторонами $BD = 13$ см і висотою $BB_1 = 20$ см.

Обчислімо його площу $S{:}$

\begin{gather*} S=BD\cdot BB_1=13\ \text{см}\cdot 20\ \text{см}=260\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $260.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36367

Завдання 9 з 70

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Висота призми дорівнює $8\sqrt{3}$, площа її більшого діагонального перерізу – $240\sqrt{3}.$ Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми.

Впишіть відповідь:

960

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ $(AC)$ основи .

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми $(H=AA_1=8\sqrt{3}).$ Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба $(AC).$

Формула площі перерізу:

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ $(BD)$ ромба .

У ромбі з гострим кутом $60^\circ$ діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі $CD=BD$ (бо трикутник $\Delta BCD$ рівносторонній). Визначмо сторону $CD$ ромба:

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15;\\[6pt] \Delta COD:\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD};\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Площа повної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4a=4\cdot 10\sqrt{3}=40\sqrt{3};\\[7pt] S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=40\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=40\cdot 8\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=320\cdot 3=960. \end{gather*}

Відповідь: $960.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36345

Завдання 10 з 70

Пряма чотирикутна призма й циліндр мають рівні висоти. В основі призми лежить ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см$^2.$ Знайдіть об’єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. $AC=16$ см, $BD=12$ см.

Радіус основи ціліндра $OK=AD$, $S_\text{бічн.}=400\pi$ см$^2.$

У ромбі діагоналі $AC\ \perp\ BP$ й діляться точкою перетину $P$ навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AP^2+PD^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] AD=10\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABCD}=\frac 12AC\cdot BD=\frac 12\cdot 16\cdot 12=96\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Площа бічної поверхні циліндра $S_\text{бічн.}=2\pi RH$, де $R=OK=AD=10$ см, $H=OO_1=AA_1$ (за умовою задачі).

\begin{gather*} 2\pi\cdot 10\cdot H=400\pi,\\[7pt] H=20\ (\text{см}). \end{gather*}

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35811

Завдання 11 з 70

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює $240\sqrt{3}.$ Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює $8\sqrt{3}.$

Впишіть відповідь:

3600

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи $(AC).$

Формула площі перерізу: $S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.$

Звідси визначмо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ ромба $(BD).$

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15,\\[6pt] \Delta COD{:}\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD},\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos\ 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Обчислімо площу основи $(S_\text{осн}).$

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} $d_1$, $d_2$ – діагоналі ромба.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AC\cdot BD=30\cdot 10\sqrt{3}=150\sqrt{3}. \end{gather*}

4. Обчислімо об'єм $(V)$ призми за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H,\\[7pt] V=150\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=150\cdot 8\cdot 3=3600. \end{gather*}

Відповідь: $3600.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35445

Завдання 12 з 70

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Скільки всього площин, паралельних прямій $AB$, містять грані куба?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше як три

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.

За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма $AB$, що не лежить у площині $(CDD_1)$, паралельна прямій $CD$, яка лежить в цій площині, то $AB\ || (CDD_1).$

Аналогічно, $AB$ не лежить у площині $(A_1B_1C_1)$, але паралельна прямій $A_1B_1$, яка лежить в цій площині, то $AB\ ||\ (A_1B_1C_1).$

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34399

Завдання 13 з 70

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $12$ см i $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Обчисліть об'єм (см$^3$) заданої призми, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см.

$AO=OC=8$ см, $BO=OD=6$ см. $AC\ \perp\ BD.$ $\Delta AOD$ – прямокутний. За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2=8^2+6^2=100\ \textit{см}^2\\[7pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Радіус основи циліндра $R=AD=10$ см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot H=400\mathbf{\pi},\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра $H=20$ см.

5. Об'єм призми

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12d_1d_2,\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ \textit{см}^2,\\[6pt] V=96\cdot 20=1920\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1920.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34393

Завдання 14 з 70

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані $AA_1B_1B.$

А$BC$

Б$C_1D$

В$BD$

Г$CB_1$

Д$A_1B$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їхні елементи, ознаки паралельності прямої та площини.

Протилежні грані куба – паралельні площини. $C_1D\subset (DD_1C_1)$ $(AA_1B)\ ||\ (DD_1C_1).$ Отже, $C_1D\ ||\ (AA_1B_1).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28380

Завдання 15 з 70

У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Діагоналі основи $ABCD$ перетинаються в точці $M.$ Висота призми втричі більша за сторону $AB.$ Обчисліть об’єм цієї призми, якщо $A(4;\ \sqrt{10};\ 3),$ $M(–2;\ 0;\ 1).$

Впишіть відповідь:

3000

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення

$A(4; \sqrt{10}; 3),\ M(-2; 0; 1).$ Призма правильна, тому $ABCD$ – квадрат.

\begin{gather*} AM=\sqrt{(-2-4)^2+(0-\sqrt{10})^2+(1-3)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+10+4}=\sqrt{50}. \end{gather*}

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У $\Delta AMD (\angle M=90^\circ)$ $AM=MD=\sqrt{50}.$ За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2=AM^2+MD^2=50+50=100,\ \ AD=10. \end{gather*}

Висота $AA_1=3AB=30.$ $$V=S_\text{осн}H,$$ де $S_\text{осн}$ – площа квадрата, $H$ – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=100.\\[7pt] V=100\cdot 30=3000. \end{gather*}

Відповідь: 3000.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28374

Завдання 16 з 70

На рисунку зображено пряму трикутну призму. Її бічною гранню є

Атрикутник

Бпрямокутник

Ввідрізок

Гпаралелограм, що не є прямокутником

Дромб, що не є квадратом

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань про многогранники та їхні елементи.

Бічною гранню прямої призми є прямокутник.

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27687

Завдання 17 з 70

Основою прямої призми є ромб зі стороною $20.$ Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює $58.$ Визначте об’єм призми, якщо її висота дорівнює $5.$

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми, побудови перерізів.

$ABCD$ – ромб, $AB=20,$ $P_{AA_1C_1C}=58,$ $AA_1=5.$ $AA_1=CC_1=5,$ то $A_1C_1=AC=(58-2\cdot 5):2=24.$

За властивістю ромба $AC\perp BD,\ AO=OC,\ BO=OD.$ Отже, у $\Delta COD\ (\angle O=90^\circ)$ $CD=20,\ OC=12$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} OD^2+OC^2=CD^2,\\[7pt] OD=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16.\\[7pt] BD=2\cdot OD=32. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \ S=\frac 12\cdot 32\cdot 24=16\cdot 24,\\[7pt] V=S_\text{осн}\cdot H,\ \text{де}\ S_\text{осн}=16\cdot 24,\ H=AA_1=5.\\[7pt] \end{gather*}

Отже,

$$ V=16\cdot 24\cdot 5=16\cdot 120=1920. $$

Відповідь: 1920.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26819

Завдання 18 з 70

Визначте кількість граней трикутної призми.

А3

Б4

В5

Г6

Д9

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

У трикутної призми $3$ бічні грані та $2$ грані основ.

Отже, кількість граней призми – $5.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26186

Завдання 19 з 70

Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.

На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26116

Завдання 20 з 70

Основою прямої призми є ромб з діагоналями $6$ і $8$. Менша діагональ призми дорівнює $10$. Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми.

Впишіть відповідь:

160

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення площі поверхні призми.

$BD=6\ \ AC=8$.

1. Діагональ призми – це похила на площину основи. Отже, меншій похилій відповідає менша проекція. $BD$ – менша проекція, отже, $B_1D$ – менша похила. $B_1D=10.$

2. $\Delta BB_1D\ \ (\angle B=90^\circ)\ BB_1^2+BD^2=B_1D^2$ за теоремою Піфагора $$ BB_1=\sqrt{100-36}=8 $$

3. Діагоналі ромба перетинаються під кутом $90^\circ.$ \begin{gather*} AC\cap BD=0\\[7pt] \Delta COD\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OC=\frac 12 AC=4,\ \ OD=\frac 12 BD=3 \end{gather*} за теоремою Піфагора \begin{gather*} CD=\sqrt{CO^2+OD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5. . \end{gather*}

4. За формулою $S_\text{бічної}=P_\text{основи}\cdot H$ \begin{gather*} P_\text{основи}=4\cdot CD=20,\ \ H=BB_1=8\\[7pt] S_\text{бічної}=20\cdot 8=160. \end{gather*}

Відповідь: 160.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26013

Завдання 21 з 70

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро якого дорівнює 2. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина діагоналі куба дорівнює

2Відстань від точки $A$ до прямої $A_1C_1$ дорівнює

3Відстань від точки $A$ до площини $(BB_1D_1)$ дорівнює

Закінчення речення

А$2$.

Б$2\sqrt{2}$.

В$2\sqrt{3}$.

Г$\sqrt{3}$.

Д$\sqrt{2}$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

1. Довжина діагоналі куба дорівнює \begin{gather*} B_1D^2=AD^2+DC^2+DD_1^2=\\[7pt] =2^2+2^2+2^2=12\\[7pt] B_1D=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \end{gather*} Отже, 1 - В.

2. Бічне ребро $AA_1\perp (A_1B_1C_1)$, а отже, й прямій $A_1C_1$, яка міститься в цій площині $$ AA_1=\mathbf{\rho}(A, A_1C_1)=2 $$ отже, 2 - A.

3. Осьовий переріз куба $BB_1D_1D$ перпендикулярний площині основи. $AO\perp BD$ за властивістю квадрата. Отже, \begin{gather*} \mathbf{\rho}(A,\ (BB_1D_1))=AO\\[7pt] AC=2\sqrt{2},\\[7pt] AO=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}. \end{gather*} отже, 3 - Д

Відповідь: 1В, 2А, 3Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24700

Завдання 22 з 70

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у якому $AB=3,\ AD=4,\ AA_1=2$. Увідповідніть початок речення (1-3) із його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Відстань від точки $C$ до площини $(AA_1B_1)$ дорівнює

2Відстань від точки $A$ до прямої $CC_1$ дорівнює

3Відстань між площинами $(ABC)$ i $(A_1B_1C_1)$ дорівнює

Закінчення речення

А$2.$

Б$3.$

В$4.$

Г$5.$

Д$7.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

Усі грані цього прямокутного паралепіпеда – прямокутники.

1. $CB\perp (AA_1B_1)$ – відстань від т.$C$ до $(AA_1B_1),\ CB=4$, отже, 1 - B.

2. $CC_1\perp (ABC),\ AC\subset\ (ABC)\rightarrow$ відстань від т.$A$ до $CC_1$ – це відрізок $AC.$
$AC^2=AD^2+DC^2,\ AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Oтже, 2 - Г.

3. $(ABC)||(A_1B_1C_1)$. Отже, відстань між ними – це довжина бічного ребра. $AA_1=2$. Отже, 3 – A.

Відповідь: 1B, 2Г, 3A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23679

Завдання 23 з 70

Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота $h$ цієї шухлядки?

А3 см

Б6 см

В10 см

Г13 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23660

Завдання 24 з 70

Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.

А$55\ \text{см}^2$

Б$75\ \text{см}^2$

В$105\ \text{см}^2$

Г$115\ \text{см}^2$

Д$135\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}$.

Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.

Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.

Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, $OK=r=1\ \text{см}$.

Сторону трикутника знайдемо за формулою:

\begin{gather*} a=2\sqrt{3}r=2\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічної}}=P_{\text{основи}}\cdot H=3\cdot 2\sqrt{3}\cdot 10=60\sqrt{3}\ (\text{см}^2)\approx 60\cdot 1,73\approx 103,8 (\text{см}^2),\\[7pt] P_{\text{основи}}=P_{ACD},\ H=AB. \end{gather*}

Відповідь, найближча до точної, – $105\ \text{см}^2$.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22915

Завдання 25 з 70

Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнює 60 см. Визначте суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.

А360 см

Б240 см

В180 см

Г120 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи.

\begin{gather*} AA_1=BB_1=CC_1=DD_1\\[7pt] AB=CD=C_1D_1=A_1B_1\\[7pt] AD=BC=B_1C_1=A_1D_1. \end{gather*} Сума усіх ребер дорівнює $$ 4(AA_1+AB+AD)=4\cdot 60=240\ (\text{см}) $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22902

Завдання 26 з 70

На рисунку зображено прямокутник i рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють $10$ см i $13$ см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює $260$ см$^2.$

А$520$ см$^2$

Б$720$ см$^2$

В$780$ см$^2$

Г$840$ см$^2$

Д$960$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

$\Delta ABC$ – рівнобедрений. $AB=AC=13$ см, $BC=10$ см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань $AA_1C_1C$ або $A_1B_1BA.$

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ AK\perp BC$ – висота та медіана. $KC=5$ см.

У $\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21222

Завдання 27 з 70

На рисунку зображено прямокутник i трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює $38$ см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює $11$ см.

А$16\sqrt{3}$ см$^2$

Б$32\sqrt{3}$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$24\sqrt{3}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

$ACDE$ – прямокутник, $P=38$ см, $AE=CD=11$ см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа $\Delta ABC (AB=BC=AC).$

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19962

Завдання 28 з 70

Сума довжин усіх ребер куба дорівнює $72$ см. Визначте довжину одного ребра цього куба.

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Довжина всіх ребер куба $72$ см.

Усього в куба $12$ ребер, тому довжина ребра дорівнює
$72 : 12 = 6$ см.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19949

Завдання 29 з 70

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Установіть відповідність між початком речення (1–3) та його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Точка $C_1$ симетрична точці $A_1$ відносно площини

2Пряма $AD$ паралельна площині

3Пряма $CC_1$ є прямою перетину площин $(BB_1C_1)$ та

Закінчення речення

А$(AA_1B_1).$

Б$(DD_1C_1).$

В$(A_1B_1C_1).$

Г$(AA_1D_1).$

Д$(BB_1D_1).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.

1. Точка $C_1$ симетрична точці $A_1$ відносно площини $(BB_1D_1).$ Отже, 1 – Д.

2. $A_1D_1\in (A_1B_1C_1)$, $A_1D_1\ ||\ AD$, звідси $AD\ ||\ (A_1B_1C_1).$ Отже, 2 – B.

3. $(BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.$ Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19509

Завдання 30 з 70

Сума довжин усіх бічних ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює $120$ см. Визначте довжину його висоти.

А$15$ см

Б$30$ см

В$40$ см

Г$60$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми.

У прямокутному паралелепіпеді бічні ребра є висотами. Отже, \begin{gather*} 4h=120,\\[7pt] h=120:4,\\[7pt] h=30\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19489

Завдання 31 з 70

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $BD$

2Пряма $A_1C_1$

3Площина $ABC_1$

Закінчення речення

Апаралельна площині $ABC$.

Бналежить площині $ABC$.

Вперпендикулярна до площини $ABC$.

Гпаралельна прямій $CD$.

Дперпендикулярна до прямої $CD$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.

1. Точки $B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).$ Отже, 1 – Б.

2. $A_1C_1\ ||\ AC$,$\ \ AC\in (ABC)\rightarrow A_1C_1\ ||\ (ABC).$ Отже, 2 – A.

3. $AB\ ||\ CD$,$\ \ AB\in (ABC_1)\rightarrow CD\ ||\ (ABC_1).$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18994

Завдання 32 з 70

На рисунку зображено пряму трикутну призму.
Її бічною гранню є

Атрикутник

Бпаралелограм, що не є прямокутником

Ввідрізок

Гпрямокутник

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників.

Прямою трикутною призмою є призма, основою якої є трикутник, а бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Це означає, що всі бічні грані - прямокутники.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18977

Завдання 33 з 70

Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює $1$2 см, а периметр її бічної грані – $20$ см. Визначте площу бічної поверхні призми.

А$24$ см$^2$

Б$60$ см$^2$

В$72$ см$^2$

Г$84$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості призми, знання формули площі бічної поверхні призми.

$ABCA_1B_1C_1$ – правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній.

\begin{gather*} AB=BC=AC=12:3=4\ \textit{см}.\\[7pt] P_{CC_1B_1B}=2(BC+CC_1)=20.\\[7pt] BC+CC_1=10.\\[7pt] CC_1=10-4=6\ \textit{см}.\\[7pt] S_\text{бічної}=P_\text{основи}\cdot H=P_{ABC}\cdot CC_1=12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17657

Завдання 34 з 70

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Установіть відповідність між парою прямих (1–4) та їх взаємним розташуванням (А – Д).

Пара прямих

1$AC$ й $CC_1$

2$AB_1$ i $CD_1$

3$AC$ й $CD_1$

4$AB_1$ i $C_1D$

Взаємне розташування

Апрямі паралельні

Бпрямі мимобіжні

Впрямі перетинаються й утворюють прямий кут

Гпрямі перетинаються й утворюють кут $45^\circ$

Дпрямі перетинаються й утворюють кут $60^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. $AC\cup CC_1$, $AC\ \perp\ CC_1$,

$\left.\begin{array}{l} CC_1\ \perp\ (ABC),\\ AC \in (ABC), \end{array}\right| \rightarrow CC_1\ \perp\ AC.$
Отже, 1 – B.

2. Прямі $AB_1$ та $CD_1$ мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.

3. $\Delta ACD_1$ – рівносторонній, так як $AC=CD_1=AD_1$ (діагоналі рівних квадратів).
$\angle(AC$, $CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.$
Отже, 3 – Д.

4. $AB_1\ ||\ C_1D$ не перетинаються та лежать в одній площині $(AB_1C_1).$
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17084

Завдання 35 з 70

У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у $2$ ряди $10$ шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою $10$ см і діаметром основи $15$ мм (див. рисунок 2).

Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладань обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.

А$225$ cм$^2$

Б$255$ cм$^2$

В$450$ cм$^2$

Г$600$ cм$^2$

Д$75$ cм$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного паралелепіпеда до розв'язування стереометричних задач і задач практичного змісту.

Площа плівки, якою обгорнута коробка – це площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.

Основа паралелепіпеда – прямокутник зі сторонами $30$ мм та $75$ мм. Висота паралелепіпеда – $10$ см.

$S_\text{пп}=S_\text{бп}+2S_\text{осн}.$

$S_\text{бп}=P_\text{осн}\cdot H=(3\cdot 7\mathord{,}5)\cdot 2\cdot 10=210$ см$^2.$

$30\ \textit{мм}=3\ \textit{см}$, $75\ \textit{мм}=7\mathord{,}5\ \textit{см}.$ $S_\text{осн}=3\cdot 7\mathord{,}5=22\mathord{,}5\ \textit{см}^2.$

$S_\text{пп}=210+2\cdot 22\mathord{,}5=210+45=255\ \textit{см}^2.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16616

Завдання 36 з 70

Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює $9\sqrt{3}$ см$^2.$

А$54\sqrt{3}$ см$^3$

Б$27\sqrt{3}$ см$^3$

В$27$ см$^3$

Г$\frac{27}{2}\sqrt{3}$ см$^3$

Д$162\sqrt{3}$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма $ABCA_1B_1C_1$.

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, $a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}$, $a^2=36$, $a=6$ см.

$AA_1C_1C$ – квадрат, тому $AA_1=6$ см.

Об'єм призми

$V=S_\text{осн}\cdot H=S_{ABC}\cdot AA_1=9\sqrt{3}\cdot 6=54\cdot\sqrt{3}\ \ \textit{см}^3.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15250

Завдання 37 з 70

Ha рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює $52$ см, a периметр основи призми становить $12$ см.

А$36$ см$^2$

Б$48$ см$^2$

В$60$ см$^2$

Г$72$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

На рисунку зображена розгортка правильної призми, тому основа – правильний трикутник. $P_\text{осн}=12$ см, тому сторона основи $4$ см.

Бічне ребро позначимо через $H.$ Периметр розгортки складається з

\begin{gather*} 6\cdot H+4\cdot 4=52,\\[7pt] 6H=36,\\[7pt] H=6\ \textit{см}. \end{gather*}

За формулою $$ S_\text{біч.пов.}=P_\text{осн}\cdot H $$ знаходимо $$ S_\text{біч.пов.}=12\cdot 6 =72\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14610

Завдання 38 з 70

На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – $3$ см і $6$ см. Визначте об’єм цього тіла.

А$108$ см$^3$

Б$54$ см$^3$

В$144$ см$^3$

Г$36$ см$^3$

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14329

Завдання 39 з 70

Площа однієї грані куба дорівнює $12$ см$^2.$ Визначте довжину діагоналі куба.

А$6$ см

Б$3\sqrt{3}$ см

В$2\sqrt{6}$ см

Г$3\sqrt{2}$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь.

Данo куб, тому грань – квадрат, площею $12$ см$^2.$ Ребро куба $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ см.

Діагональ куба знаходимо за формулою $d=a\sqrt{3}$, де $a$ – ребро куба.

Отже, $d=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6$ см.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14240

Завдання 40 з 70

На рисунку зображено фрагмент розгортки правильної чотирикутної призми, утворений з двох її сусідніх граней. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть площу повної поверхні цієї призми.

А$54$ см$^2$

Б$72$ см$^2$

В$81$ см$^2$

Г$90$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі поверхні призми, уміння встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

Фрагмент розгортки правильної чотирикутної призми утворений з двох її сусідніх граней.

$$ S_\text{б}=2S_{ABCD}=2\cdot 6^2=72\ \text{см}^2. $$

Основа призми – квадрат зі стороною $AF=3$ см.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AF^2=3^2=9\ \text{см}^2,\\[6pt] S_\text{пов}=S_\text{б}+2S_\text{осн}=72+2\cdot 9=72+18=90\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10848

Завдання 41 з 70

Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) та площею його повної поверхні (А – Д).

Геометричне тіло

1циліндр з радіусом основи $3$ та висотою $4$

2конус з радіусом основи $3$ та твірною $5$

3куб з ребром $\sqrt{3\pi}$

4куля радіуса $2\sqrt{3}$

Площа повної поверхні

А$18\pi$

Б$24\pi$

В$36\pi$

Г$42\pi$

Д$48\pi$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює $R$, а висота – $H$, обчислюється за формулою

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+2S_\text{осн.}=2\pi RH+2\pi R^2=2\pi R(H+R). $$

За умовою $R=3$, $H=4$, тоді

$$ S_\text{повн.}=2\pi\cdot 3(3+4)=42\pi. $$

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи $R$ та твірну $L\mathord{:}$

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+S_\text{осн.}=\pi RL+\pi R^2=\pi R(L+R). $$

Оскільки $R=3$, $L=5$, то

$$ S_\text{повн.}=3\pi(5+3)=24\pi. $$

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром $a=\sqrt{3\pi}$ обчислюємо за формулою

$$ S_\text{повн.}=6a^2=6(\sqrt{3\pi})^2=6\cdot 3\pi=18\pi. $$

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса $R$ визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою $R=2\sqrt{3}$, тому

\begin{gather*} S_\text{повн.}=4\pi(2\sqrt{3})^2=4\pi\cdot 12=48\pi. \end{gather*}

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9450

Завдання 42 з 70

Визначте об'єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює $12.$

А$16\sqrt{3}$

Б$64$

В$48$

Г$64\sqrt{3}$

Д$576$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Об'єм призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати об'єм призми. Для виконання завдання потрібно знати формули об'єму призми, площі рівностороннього трикутника, означення квадрата та периметра рівностороннього трикутника.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник $ABC$, $AB=BC=AC=a.$

Оскільки периметр правильного трикутника зі стороною $a$ дрівнює $3a$, то $3a=12$ (за умовою), звідки $a=4.$

Оскільки бічні грані призми за умовою є квадратами, то $AA_1=AB=4.$

Об'єм призми визначається за формулою $$ V=S_\text{осн}\cdot h, $$ де $S_\text{осн}$ – площа основи призми, $h$ – висота призми.

Площа правильного трикутника зі стороною $a$ визначається за формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$ Тоді

$$ S_\text{осн}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}. $$

Оскільки $ABCA_1B_1C_1$ – пряма призма, то її висота дорівнює бічному ребру: $$ h=AA_1=4. $$ Тоді $$ V=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9443

Завдання 43 з 70

Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює $a$, діагональ бічної грані – $d.$ Укажіть формулу для обчислення площі $S_\text{б}$ бічної поверхні цієї призми.

А$S_\text{б}=3a\sqrt{d^2-a^2}$

Б$S_\text{б}=3a\sqrt{d^2+a^2}$

В$S_\text{б}=3ad$

Г$S_\text{б}=a\sqrt{a^2-d^2}$

Д$S_\text{б}=a(d^2+a^2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Площа бічної поверхні призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу бічної поверхні призми. Для виконання завдання потрібо знати формули площі бічної поверхні призми та площі прямокутника.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник $ABC$, $AB=BC=AC=a$ (див. рисунок).

Нехай $CB_1=d$ – діагональ бічної грані. Визначимо з прямокутного трикутника $CBB_1\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора висоту призми $BB_1\mathord{:}$

$$ BB_1=\sqrt{B_1C^2-BC^2}=\sqrt{d^2-a^2}. $$

Оскільки сторони основи рівні, то бічні грані призми – рівні прямокутники, тоді площа $S_\text{б}$ бічної поверхні призми $ABCA_1B_1C_1$ дорівнює площі бічної грані $BB_1C_1C$, помноженої на $3\mathord{:}$

\begin{gather*} S_\text{б}=3S_{BB_1CC_1}=3BB_1\cdot C_1C=3a\sqrt{d^2-a^2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9245

Завдання 44 з 70

Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – $4$ м, довжина – $5$ м, висота – $2{,}5$ м). Площа стін кімнати дорівнює $0{,}8$ площі бічної поверхні цього паралелепіпеда. Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни і стелю цієї кімнати, якщо на $1$ м$^2$ витрачається $0{,}25$ кг фарби?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул площі поверхні паралелепіпеда, вміння розв'язувати текстові задачі.

Площа бічної поверхні

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=P_{ABCD}\cdot CC_1=(5+4)\cdot 2\cdot 2{,}5=45\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа стін становить $0{,}8$ від площі бічної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{стін}=45\cdot 0{,}8=36\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площі стелі:

\begin{gather*} S_\text{стелі}=4\cdot 5=20\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа, яку треба пофарбувати:

\begin{gather*} S=36+20=56\ \text{м}^2. \end{gather*}

На $1$ м$^2$ витрачається $0{,}25$ кг фарби, отже,

\begin{gather*} 56\cdot 0{,}25=14\ \text{кг} \end{gather*}

потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни та стелю.

Відповідь: $14.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7533

Завдання 45 з 70

Об'єм куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ дорівнює $216$ см$^3$ (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди $D_1ACD$ (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

\begin{gather*} V_\text{куба}=a^3=216;\\[6pt] a=6\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V_\text{піраміди}=\frac 13S_{ADC}\cdot DD_1=\frac 13\cdot \frac 12 AD\cdot DC\cdot DD_1=\frac 16 a^3=\frac 16\cdot 216=36\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7529

Завдання 46 з 70

Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як $2:3:4.$ Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює $12$ см$^2.$

А$42$ см$^2$

Б$54$ см$^2$

В$60$ см$^2$

Г$84$ см$^2$

Д$108$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Площа бічної поверхні призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу бічної поверхні призми. Для виконання завдання потрібно знати формули площі бічної поверхні призми та площі прямокутника.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ задана пряма трикутна призма, основою якої є трикутник $ABC.$ Введемо коефіцієнт пропорційності $x.$ Тоді $AC=2x$ см, $BC=3x$ см, $AB=4x$ см. Нехай $BB_1=h$ см – висота призми (див. рисунок).

Бічну поверхню призми утворюють грані (прямокутники) $AA_1B_1B$, $AA_1C_1C$ та $BB_1C_1C$, у яких $$ AA_1=BB_1=CC_1=h. $$ Найменшою бічною гранню є грань $AA_1C_1C$, оскільки найменшою стороною основи є $AC.$ Її площа обчислюється за формулою $$ S=2xh=12, $$ звідки $xh=6$.

Площа $S_\text{б}$ бічної поверхні призми $ABCA_1B_1C_1$ дорівнює сумі площ бічних граней:

$$ S_\text{б}=P_{\Delta ABC}\cdot h=(2x+3x+4x)h=9xh=9\cdot 6=54\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7181

Завдання 47 з 70

На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть об'єм цього паралелепіпеда.

А$96$ см$^3$

Б$108$ см$^3$

В$128$ см$^3$

Г$136$ см$^3$

Д$144$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямокутний паралелепіпед. Розгортка прямокутного паралелепіпеда. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання перевіряє вміння за розгорткою многогранника визначати його об’єм.

Основою прямокутного паралелепіпеда, розгортка якого зображена на рисунку, є прямокутник із сторонами $3\ \text{см}$ і $4\ \text{см}.$ Сума довжин бічного ребра паралелепіпеда і більшої сторони його основи дорівнює $12\ \text{см}$, тому довжина бічного ребра дорівнює $$ 12 - 4 = 8\ \text{см}. $$ Отже, висота паралелепіпеда дорівнює $8\ \text{см}.$

Об’єм паралелепіпеда визначається за формулою: $$ V = abc, $$ де $a, b, c$ – виміри прямокутного паралелепіпеда, тобто довжина і ширина його основи та висота. Тоді

$$ V = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\ \text{см}^{3}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7147

Завдання 48 з 70

На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють $40$ см, $40$ см і $50$ см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить $5$ см, а товщина днища – $10$ см. Який об'єм бетону (у м$^3$) було використано для виготовлення $10$ таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.

А$0{,}32$ м$^3$

Б$0{,}33$ м$^3$

В$0{,}36$ м$^3$

Г$0{,}44$ м$^3$

Д$0{,}8$ м$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання практичного змісту перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі з використанням формули об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Зображена на рисунку ємність для квітів є прямокутним паралелепіпедом, з якого вирізаний менший паралелепіпед. Отже, об’єм цієї ємності шукатимемо як різницю об’ємів двох паралелепіпедів. Об’єм паралелепіпеда знаходиться за формулою $$ V=abc, $$ де $a$, $b$ і $c$ виміри паралелепіпеда. Виміри першого паралелепіпеда задані: $40$ см, $40$ см, $50$ см, а виміри другого паралелепіпеда (порожня частина) знаходимо:

\begin{gather*} 40-10=30\ \text{см},\\[7pt] 40-5-5=30\ \text{см},\\[7pt] 50-5-5=40\ \text{см}. \end{gather*}

Об’єм однієї ємності:

$$ V_1-V_2=40\cdot 40\cdot 50-30\cdot 30\cdot 40=4000(20-9)=44000\ \text{см}^3. $$

Тоді об’єм $10$ таких ємностей дорівнює $440000$ см$^3$ або $0{,}44$ м$^3.$

Тут враховано, що $1$ м$=100$ см, $1$ м$^3=1000000$ см$^3.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6890

Завдання 49 з 70

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6465

Завдання 50 з 70

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6447

Завдання 51 з 70

На рисунках (1–4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1–4) та назвою фігури (А – Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три задані точки.

Атрикутник

Бпрямокутник

Втрапеція

Гп’ятикутник

Дромб

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4
5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6409

Завдання 52 з 70

Периметр бічної грані правильної трикутної призми дорівнює $20$ см. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо сторона її основи дорівнює $4$ см.

А$96$ см$^2$

Б$80$ см$^2$

В$72$ см$^2$

Г$32$ см$^2$

Д$24$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6395

Завдання 53 з 70

Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють $2$ см, $3$ см, $4$ см.

А$\sqrt{29}$ см

Б$9$ см

В$\sqrt{13}$ см

Г$5$ см

Д$2\sqrt5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6385

Завдання 54 з 70

На рисунку зображено три фігури з номерами $1$, $2$, $3$. Серед цих фігур укажіть розгортки куба.

Алише фігура $3$

Блише фігури $1$ і $2$

Влише фігури $1$ і $3$

Глише фігури $2$ і $3$

Дфігури $1$, $2$ і $3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6353

Завдання 55 з 70

Навколо правильної трикутної призми описано сферу радіуса $6$ см. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут $30^\circ.$ Визначте об'єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

121.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники $ABC$, $A_1B_1C_1$ вписані у кола.

Точка $O$ – центр сфери. Проведемо $OO_1\!\perp\!(ABC)$, $ON\!\perp\!BB_1.$

Точка $O_1$ – центр кола, описаного навколо $\Delta ABC.$

$ONBO_1$ – прямокутник.

За умовою $\angle OBN=30^\circ.$ Отже, $\angle OBO_1=60^\circ.$ Точка $N$ – середина ребра $BB_1.$ $OB=6$ см.

У $\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)$,

\begin{gather*} O_1B=OB\cos 60^\circ=6\cdot \frac 12=3\ \text{см};\\[6pt] OO_1=OB\sin 60^\circ =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ O_1B=3$ см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} AB=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де $a=AB$ – сторона правильного трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] BB_1=2OO_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{осн}\cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн}=S_{ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] H=BB_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac{27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $121{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6344

Завдання 56 з 70

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – прямокутний паралелепіпед. Кожній площині (1–4), що виділена кольором, поставте у відповідність паралельну їй пряму (А – Д).

Площина

Пряма

А$BC$

Б$A_1D$

В$A_1B$

Г$BD$

Д$DD_1$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6335

Завдання 57 з 70

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є ромб $ABCD$, у якому більша діагональ $AC=17$ см. Об'єм призми дорівнює $1020$ см$^3$. Через діагональ $AC$ та вершину $B_1$ тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи призми кут $\alpha.$ Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у см$^2$), якщо $\mathrm{tg}\ \alpha=2{,}4.$

Впишіть відповідь:

110.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – призма, $BB_1$ – висота призми. $AC = 17$ см.

1. $(AB_1C) \cap (AA_1B_1) = AB_1$, $(AB_1C) \cap (BCC_1) = B_1C$. Отже, $\Delta AB_1C$ – даний переріз.

2. $BO\!\perp\!AC$ (властивість діагоналей ромба). $B_1O\!\perp\!AC$ (за теоремою про три перпендикуляри). $(BOB_1)\!\perp\!AC.$ Отже, $\angle B_1OB = \alpha$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(AB_1C)$ і $(ABC).$

3. $\Delta B_1BO$ $(\angle B = 90^\circ)$,

\begin{gather*} BB_1 = BO \cdot \mathrm{tg}\ \alpha= \frac{1}{2}BD\mathrm{tg}\ \alpha= \frac{1}{2} \cdot 2{,}4 \cdot BD = 1{,}2BD. \end{gather*}

\begin{gather*} V = S_{основи} \cdot H = S_{ABCD} \cdot BB_1,\\[6pt] S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{17}{2}BD,\\[6pt] BB_1 = 1{,}2BD. \end{gather*}

За умовою, $V = 1020\ \text{см}^3.$ Отже,

\begin{gather*} \frac{17}{2}BD \cdot 1{,}2BD = 1020,\\[6pt] BD^2 = 100,\\[7pt] BD = 10\ \text{см},\\[6pt] BO = \frac{1}{2}BD = 5\ \text{см}. \end{gather*}

5. $BB_1 = 1{,}2BD = 1{,}2 \cdot 10 = 12$ см.

6. $\Delta B_1BO$ $(\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} B_1O^2 = BB_1^2 + BO^2 = 12^2 + 5^2 = 169,\\[7pt] B_1O = 13\ \text{см}. \end{gather*}

7. $S_{перерізу} = S_{AB_1C} = \dfrac{1}{2}AC \cdot B_1O = \dfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot 13 = 110{,}5\ \text{см}^2.$

Відповідь: $110{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6312

Завдання 58 з 70

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро якого дорівнює $1$ см. Обчисліть відстань від точки $A$ до прямої $B_1C_1.$

А$1$ см

Б$2$ см

В$\sqrt{2}$ см

Г$3$ см

Д$1{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб, ребро якого $1$ см.

Відстань від точки $A$ до прямої $B_1C_1$ – довжина перпендикуляра з точки $A$ до прямої $B_1C_1.$

$AB\ \perp\ (BB_1C_1)$, $AB_1$ – похила на $(BB_1C_1)$, $BB_1$ – проекція $AB_1$ на $(BB_1C_1).$

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція $BB_1\ \perp\ B_1C_1$, то й похила $AB_1\ \perp\ B_1C_1$, а отже, $AB_1$ – відстань від $A$ до $B_1C_1.$

У $\triangle ABB_1$ ($\angle B=90^\circ$) $AB=BB_1=1$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB_1^2=AB^2+BB_1^2=1^2+1^2=2,\\[7pt] AB_1=\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6258

Завдання 59 з 70

Установіть відповідність між перерізами геометричних тіл (1–4) та їхніми назвами (А – Д).

Переріз

1діагональний переріз правильної шестикутної призми

2переріз циліндра площиною, що перетинає його твірну і перпендикулярна до неї

3переріз конуса площиною, що проходить через його вершину та хорду основи

4переріз сфери площиною, що проходить через дві різні точки сфери

Назва перерізу

Акруг

Бколо

Вшестикутник

Гпрямокутник

Дтрикутник

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6238

Завдання 60 з 70

Дерев’яний брусок має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами $10$ см, $20$ см, $80$ см. Скільки лаку потрібно для того, щоб один раз покрити ним усю поверхню цього бруска, якщо на $1$ м$^2$ витрачається $100$ г лаку?

А$0{,}52$ г

Б$26$ г

В$52$ г

Г$160$ г

Д$520$ г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6234

Завдання 61 з 70

На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його ребер.

А$6$

Б$8$

В$12$

Г$16$

Д$19$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6216

Завдання 62 з 70

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є рівнобічна трапеція $ABCD$. Основа $AD$ трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу $BC.$ Через бічне ребро $CC_1$ призми проведено площину паралельно ребру $AB.$ Знайдіть площу утвореного перерізу (у см$^2$), якщо об'єм призми дорівнює $672$ см$^3$, а її висота – $8$ см.

Впишіть відповідь:

104

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – пряма призма, тому $CC_1 \perp (ABC)$, $ABCD$ – трапеція, $AB=CD.$

Додаткова побудова: $CK\ ||\ AB.$

$CC_1\ ||\ BB_1$, $CK\ ||\ AB$, $CK\cap CC_1$, $AB\cap BB_1$, звідси, за ознакою паралельності площин $(CKC_1)\ ||\ (ABB_1).$

Січна площина $(CC_1K)$ перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, $KK_1\ ||\ AA_1$, $C_1K_1\ ||\ CK.$

$AB\ ||\ CK$, $CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).$

Прямокутник $KCC_1K_1$ – шуканий переріз.

\begin{gather*} V=S_\text{основи}\cdot H=S_{ABCD}\cdot CC_1;\\[7pt] CC_1=8\ \text{см};\\[7pt] V=672\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай $BC=x$ см, тоді $AD=CE=6x$ см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де $CE \perp AD$ – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} DE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-2}{2}=5\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2;\\[7pt] CD^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] CD=13\ \text{см}. \end{gather*}

$AB=CD$ (за умовою), $AB=CK$ (протилежні сторони паралелограма).

Отже, $CK=13$ см.

\begin{gather*} S_{CC_1K_1K}=CC_1\cdot CK=8\cdot 13=104\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $104.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6208

Завдання 63 з 70

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6201

Завдання 64 з 70

Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами $25$ см, $12$ см, $6{,}5$ см. Знайдіть масу $m$ цеглини. (Для знаходження маси цеглини скористайтеся формулою $m=\rho\,V$, де $V$ – об’єм, $\rho=1{,}8$ г / см$^3$ – густина цегли.)

А$5{,}31$ кг

Б$3{,}51$ кг

В$3{,}5$ кг

Г$3{,}41$ кг

Д$3$ кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6180

Завдання 65 з 70

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Перерізом куба площиною, що проходить через точки $A$, $C$, $C_1$, є

Апрямокутний трикутник

Брівносторонній трикутник

Впрямокутник

Громб

Дтрапеція

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6168

Завдання 66 з 70

На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.

А$10$

Б$9$

В$8$

Г$6$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6162

Завдання 67 з 70

Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює $40$ см$^2$. Периметр основи призми дорівнює $20\sqrt2$ см. Визначте висоту призми.

А$\sqrt2$ см

Б$2\sqrt2$ см

В$4$ см

Г$1$ см

Д$2$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6146

Завдання 68 з 70

Основою прямої трикутної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівнобедрений трикутник $ABC$, де $AB=BC=25$ см, $AC=30$ см. Через бічне ребро$AA_1$ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра $BC.$ Визначте об'єм призми (у см$^2$), якщо поща утвореного перерізу дорівнює $72$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак перпендикулярності прямої та площини у просторі.

$ABCA_1B_1C_1$ – пряма призма $\Delta ABC$ – рівнобедрений, $AB=BC=25$ см, $AC=30$ см.

Додаткова побудова:
$AK\ \perp\ BC$ (у $\Delta ABC$),
$KK_1\ \perp BC\ (BCC_1).$

За ознакою перпендикулярності прямої та площини $BC\ \perp\ (AKK_1).$

Отже, $AKK_1A_1$ – переріз призми, який проходить через ребро $AA_1$ та перпендикуляра $BC.$ $AKK_1A_1$ – прямокутник.

Розглянемо $\Delta ABC.$ $BE\ \perp\ AC$, $AK\ \perp\ BC.$ $\Delta ABE$ $(\angle E=90^\circ)$, $AB=25$ см.

$AE=\frac 12 AC=15$ см ($BE$ – висота та медіана). За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB^2=AE^2+BE^2;\\[7pt] BE=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{(25-15)(25+15)}=\sqrt{10\cdot 40}=20\ \text{см};\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BE=\frac 12\cdot 30\cdot 20=300\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK;\\[6pt] 300=\frac 12\cdot 25\cdot AK;\\[6pt] AK=24\ \text{см};\\[6pt] S_\text{перерізу}=S_{AKK_1A_1}=AK\cdot KK_1=72\ \text{см}^2;\\[6pt] KK_1=\frac{72}{24}=3\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{основи}\cdot H;\\[7pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABC};\\[7pt] H=KK_1;\\[7pt] V=300\cdot 3=900\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $900.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6120

Завдання 69 з 70

Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює $3$ см, а периметр її бічної грані – $22$ см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

А$66$ см$^2$

Б$72$ см$^2$

В$96$ см$^2$

Г$114$ см$^2$

Д$264$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання формули бічної поверхні призми.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – правильна призма. $ABCD$ – квадрат. $AB = 3$ см.

\begin{gather*} P(AA_1D_1D) = 22\ \text{см}=2(AD + AA_1)=2(3 + AA_1),\\[7pt] 6 + 2AA_1 = 22,\\[7pt] 2AA_1 = 16,\\[7pt] AA_1 = 8\ \text{см},\\[7pt] S_{бічна} = P_{основи} \cdot H = P_{ABCD} \cdot AA_1 = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5326

Завдання 70 з 70

Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює $2\sqrt{3}$ см.

А$8$ см$^2$

Б$16$ см$^2$

В$20$ см$^2$

Г$24$ см$^2$

Д$36\sqrt{2}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання теореми Піфагора.

$B_1D = 2\sqrt{3}$ см.

Нехай ребро куба дорівнює $a.$

$AB = AD = a$ см, $BD = a\sqrt{2}$ см.

У $\Delta BB_1D$ $(\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} B_1D^2 = BB_1^2 + BD^2,\\[7pt] a^2 + (a\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2,\\[7pt] a^2 + 2a^2 = 12,\\[7pt] 3a^2 = 12,\\[7pt] a^2 = 4. \end{gather*}

Площа повної поверхні куба

$$ S_{\text{поверхні}} = 6a^2 = 6 \cdot 4 = 24\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4312

Новини

Вступ на бакалавра: реєстрація для участі в творчих конкурсах та співбесідах
Документи, що необхідні для вступу до вишу в 2026 році
Вступна кампанія до військових вишів: ключові дати для абітурієнтів

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter

Геометрія – Призма