Нерівності та системи нерівностей – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Нерівності та системи нерівностей
Кількість завдань: 109

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 109

Розв’яжіть нерівність $(2x+1)^2\lt 9.$

А$(-1; 2)$

Б$(-\infty; -2)\cup (1; +\infty)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-\infty; -1)\cup (2; +\infty)$

Д$(-2; 1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійнi, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Нерівність виду $f(x)^2\lt a^2$ рівносильна подвійній нерівності

\begin{gather*} -a\lt f(x)\lt a. \end{gather*}

Оскільки $9=3^2$, то

\begin{gather*} (2x+1)^2\lt 3^2, \end{gather*}

маємо подвійну нерівність:

\begin{gather*} -3\lt 2x+1\lt 3. \end{gather*}

Віднімімо $1$ від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -3-1\lt 2x\lt 3-1;\\[7pt] -4\lt 2x\lt 2. \end{gather*}

Поділімо всі частини на $2{:}$

\begin{gather*} -2\lt x\lt 1. \end{gather*}

Отже, $x\in (-2; 1)$ – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 807. Завдання: 38652

Завдання 2 з 109

Розв’язком нерівності $-4\lt 6-2x\lt 2$ є число

А$1$

Б$2$

В$0$

Г$3$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні подвійні нерівності й порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} -4\lt 6-2x\lt 2. \end{gather*}

Віднімімо $6$ від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -4-6\lt -2x\lt 2-6;\\[7pt] -10\lt -2x\lt -4. \end{gather*}

Поділімо на $-2{:}$
Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні!

\begin{gather*} \frac{-10}{-2}\gt x\gt \frac{-4}{-2};\\[6pt] 5\gt x\gt 2;\\[7pt] 2\lt x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок $x\in (2; 5).$ З наведених чисел лише $3$ належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 806. Завдання: 38592

Завдання 3 з 109

Розв’яжіть нерівність $\log_4 (2x-2)\lt 2.$

А$(-\infty; 7)$

Б$(1; 9)$

В$(1; 7)$

Г$(-\infty; 9)$

Д$(1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_4 (2x-2)\lt 2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt 2\log_4 4;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 4^2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 16. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма $4\gt 1$, функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-2\lt 16;\\[7pt] 2x\lt 16+2;\\[7pt] 2x\lt 18;\\[7pt] x\lt 9. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-2\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 2;\\[7pt] x\gt 1. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (1; 9). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38399

Завдання 4 з 109

Яке число задовольняє систему нерівностей $\begin{cases}x\gt -3,\\ x\le 7\end{cases}$?

А$-3$

Б$-10$

В$10$

Г$5$

Д$-6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -3;\\ x\le 7. \end{cases} \end{gather*}

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in (-3; 7].$ З наведених чисел лише $5$ належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38396

Завдання 5 з 109

Розв’яжіть нерівність $3^x\cdot 5^x\le \dfrac{1}{15}.$

А$(-\infty; -1]$

Б$[1; +\infty)$

В$(-\infty; \dfrac{1}{15}]$

Г$(-\infty; 1]$

Д$[-1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (ab)^x=a^x\cdot b^x.\\[6pt] 3^x\cdot 5^x\le \frac{1}{15};\\[6pt] (3\cdot 5)^x\le 15^{-1};\\[6pt] 15^x\le 15^{-1}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня $(15)$ більша за одиницю $(15\gt 1)$, функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності $x\le -1.$

\begin{gather*} x\in (-\infty; -1]. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38376

Завдання 6 з 109

Розв'яжіть нерівність $\dfrac 13x\ge -6.$

А$[-18; +\infty)$

Б$[-2; +\infty)$

В$\left[-\dfrac{1}{18}; +\infty\right)$

Г$(-\infty; -18]$

Д$(-\infty; -2]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на $3{:}$

\begin{gather*} 3\cdot \frac 13 x\ge 3\cdot (-6);\\[6pt] x\ge -18. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in [-18; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38254

Завдання 7 з 109

Яке число є розв'язком нерівності $\left(\dfrac 13-\dfrac 12\right)(x+1)\gt 0$?

А$1$

Б$-1$

В$2$

Г$-4$

Д$0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} \frac 13-\frac 12=\frac{2-3}{6}=-\frac 16\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність:

\begin{gather*} -\frac 16(x+1)\gt 0. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число $-6.$

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x+1\lt 0;\\[7pt] x\lt -1. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок $x\in (-\infty; -1).$ З наведених чисел лише $-4$ належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 748. Завдання: 38205

Завдання 8 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_{\scriptstyle 0{,}2}(x+4)\gt \log_{\scriptstyle 0{,}2} 5.$

А$(1; +\infty)$

Б$(-\infty; 1)$

В$(-4; 1)$

Г$(9; +\infty)$

Д$(0; 1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжімо логарифмічну нерівність $\log_{0{,}2} (x+4)\gt \log_{0{,}2} 5.$

Функція є спадною, бо основа логарифма $0{,}2\lt 1.$ Отже, $x+4\lt 5$ та за ОДЗ $x+4\gt 0.$

Розв'язком нерівності є розв'язок системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+4\lt 5,\\ x+4\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 5-4,\\ x\gt -4, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -4. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-4; 1). \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38148

Завдання 9 з 109

Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} x+1\lt 9,\\ -2x\lt 6. \end{cases}$

А$(4; 8)$

Б$(-3; 8)$

В$(-\infty; -3)$

Г$(-\infty; 8)$

Д$(-3; 10)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+1\lt 9,\\ -2x\lt 6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 9-1,\\ x\gt 6:(-2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 8,\\ x\gt -3. \end{array}\right. \end{gather*}

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок $x\in (-3; 8).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38049

Завдання 10 з 109

Розв'яжіть нерівність $3-3x\lt -1.$

А$(-\infty; \dfrac 43)$

Б$(\dfrac 34; +\infty)$

В$(\dfrac 43; +\infty)$

Г$(\dfrac 23; +\infty)$

Д$(-\infty; \dfrac 34)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3-3x\lt -1;\\[7pt] -3x\lt -1-3;\\[7pt] -3x\lt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на $-1{:}$

\begin{gather*} 3x\gt 4. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} x\gt \frac 43. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(\frac 43; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38045

Завдання 11 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_3 (2x-1)\lt 2.$

А$(0{,}5; 5)$

Б$(-\infty; 3{,}5)$

В$(0{,}5; 3{,}5)$

Г$(-\infty; 5)$

Д$(0{,}5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_3 (2x-1)\lt 2;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt 2\log_3 3;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt \log_3 3^2;\\[7pt] \log_3(2x-1)\lt \log_3 9. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма $3\gt 1$, функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-1\lt 9;\\[7pt] 2x\lt 9+1;\\[7pt] 2x\lt 10;\\[7pt] x\lt 5. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-1\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 1;\\[7pt] x\gt 0{,}5. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (0{,}5; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37838

Завдання 12 з 109

Розв'язком нерівності $5^{-x}\gt 25$ є число

А$-3$

Б$1$

В$-1$

Г$0$

Д$3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} 5^{-x}\gt 25;\\[7pt] 5^{-x}\gt 5^2. \end{gather*}

Оскільки основа степеня $(5)$ більша за одиницю $(5\gt 1)$, функція зростаюча, тому задана нерівність рівносильна нерівності

\begin{gather*} -x\gt 2. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на $-1.$

\begin{gather*} x\lt -2. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок $x\in (-\infty; -2).$ З наведених чисел лише $-3$ належить заданому проміжку.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37682

Завдання 13 з 109

Розв'яжіть нерівність $2x-1\ge 0.$

А$[2; +\infty)$

Б$[-0{,}5; +\infty)$

В$(0{,}5; +\infty)$

Г$[-2; +\infty)$

Д$[0{,}5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x-1\ge 0;\\[7pt] 2x\ge 1;\\[6pt] x\ge \frac 12;\\[6pt] x\ge 0{,}5. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in [0{,}5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37565

Завдання 14 з 109

Визначте найменший цілий розв'язок нерівності $\dfrac x3-\dfrac x2\lt 1.$

А$1$

Б$-1$

В$-6$

Г$-5$

Д$0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на $6{:}$

\begin{gather*} 6\cdot \frac x3-6\cdot \frac x2\lt 6\cdot 1;\\[6pt] 2x-3x\lt 6;\\[7pt] -x\lt 6. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на $–1{:}$

\begin{gather*} x\gt -6. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Найменше ціле число $x$ з інтервалу $x\in (-6; +\infty)$ $-5.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37517

Завдання 15 з 109

Розв'язком нерівності $x^2-9\lt 0$ є число

А$-4$

Б$3$

В$4$

Г$2$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Квадратні нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Для розв’язання квадратної нерівності використаймо ескіз графіка квадратичної функції $y=ax^2+bx+c.$ Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи – вгору $(a\gt 0)$ чи вниз $(a\lt 0)$, та абсциси точок перетину з віссю $Ox:$

\begin{gather*} x^2-9\lt 0;\\[7pt] y=x^2-9;\\[7pt] a=1\gt 0.\end{gather*}

Отже, вітки параболи напрямлені вгору.

Розв’яжімо рівняння $x^2-9=0.$

Розкладімо на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (x-3)(x+3)=0;\\[7pt] x_1=3\ \text{та}\ x_2=-3.\end{gather*}

Це – нулі функції $y=x^2-9.$

Побудуймо ескіз графіка функції.

\begin{gather*} x\in\ (-3; 3). \end{gather*}

З наведених чисел лише число $2\in (-3; 3).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37458

Завдання 16 з 109

Розв'яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ 2x\lt 5. \end{array}\right. \end{gather*}

А$[-4; +\infty)$

Б$(2{,}5; +\infty)$

В$[-4; 2{,}5)$

Г$(-\infty; -4]$

Д$(-\infty; 2{,}5)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ 2x\lt 5, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ x\lt 2{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in [-4; 2{,}5).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 739. Завдання: 37386

Завдання 17 з 109

Розв'яжіть нерівність $3x+9\le 0.$

А$(-\infty; 6]$

Б$(-\infty; -3]$

В$[3; +\infty)$

Г$(-\infty; 3]$

Д$[-3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3x+9\le 0;\\[7pt] 3x\le -9;\\[7pt] x\le -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 739. Завдання: 37380

Завдання 18 з 109

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac 15\right)^{\textstyle x}\gt \dfrac{1}{25}.$

А$(2; +\infty)$

Б$(0; 2)$

В$(-\infty; 5)$

Г$(5; +\infty)$

Д$(-\infty; 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} \left(\frac 15\right)^x\gt \frac{1}{25};\\[6pt] \left(\frac 15\right)^x\gt \left(\frac 15\right)^2. \end{gather*}

Функція $y=\left(\dfrac 15\right)^x$ – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

\begin{gather*} a^{f(x)}\gt a^{g(x)};\\[7pt] 0\lt a\lt 1\Leftrightarrow f(x)\lt g(x). \end{gather*}

Отже, $x\lt 2.$

\begin{gather*} x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37362

Завдання 19 з 109

Визначте число, яке задовольняє систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\gt -2,\\ x\le 9. \end{array}\right. \end{gather*}

А$-3$

Б$-10$

В$10$

Г$6$

Д$-6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\gt -2,\\[7pt] x\le 9. \end{array}\right. \end{gather*}

Зобразимо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in (-2; 9].$ З наведених чисел, лише число $6$ належить даному проміжку.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37169

Завдання 20 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_{0{,}7} x\gt 1.$

А$(0{,}7; +\infty)$

Б$(-\infty; 0{,}7)$

В$(1; +\infty)$

Г$(0{,}7; 1)$

Д$(0; 0{,}7)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_{0{,}7}\gt 1. \end{gather*}

Використаймо властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} \log_{0{,}7}x\gt \log_{0{,}7} 0{,}7. \end{gather*}

Функція $y=\log_{0{,}7}x$ спадна, тому $x\lt 0{,}7.$

Логарифмічна функція має область визначення $x\gt 0.$

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\lt 0{,}7\\ x\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $x\in (0; 0{,}7).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36910

Завдання 21 з 109

Розв'яжіть нерівність $2-8x\gt 4.$

А$\left(-\infty; -\frac 14\right)$

Б$\left(-4; +\infty\right)$

В$\left(-\frac 34; +\infty\right)$

Г$\left(-\frac 14; +\infty\right)$

Д$\left(-\infty; -4\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} 2-8x\gt 4;\\[7pt] -8x\gt 4-2;\\[7pt] -8x\gt 2;\\[6pt] x\lt -\frac 28;\\[6pt] x\lt-\frac 14. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(-\infty; -\frac 14\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36385

Завдання 22 з 109

Розв'яжіть нерівність $(x+3)(x-2)\lt 0.$

А$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Б$(-3; 2)$

В$(2; +\infty)$

Г$(2; 3)$

Д$(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності другого степеня, наведені у вигляді добутку лінійних множників.

Визначмо корені рівняння, прирівнявши ліву частину до нуля: $(x+3)(x-2)=0.$

Звідси:
1) $x+3=0\Rightarrow x=-3;$
2) $x-2=0\Rightarrow x=2.$

Визначмо знаки виразу $(x+3)(x-2)$ на кожному з отриманих проміжків за допомогою методу інтервалів (див. рисунок).

Отже, $x\in(-3; 2)$ – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36351

Завдання 23 з 109

Розв’яжіть нерівність $x+3\le 0.$

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; +\infty)$

В$(-\infty; 3]$

Г$[-3; +\infty)$

Д$(-\infty; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання спрямоване на перевірку навичок розв’язання лінійних нерівностей і застосування властивостей числових нерівностей.

\begin{gather*} x+3\le 0;\\[7pt] x\le -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36328

Завдання 24 з 109

Розв'яжіть нерівність $5^{3x-4}\ge \left(\frac 15\right)^{x-20}.$

А$[4; +\infty)$

Б$(-\infty; 6]$

В$[6; +\infty)$

Г$(-\infty; 8]$

Д$[12; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \left(\frac 15\right)^1=5^{-1},\\[6pt] 5^{3x-4}\ge 5^{-x+20}. \end{gather*}

Функція $y=a^x$ за $a\gt 1$ є зростаючою, тому

\begin{gather*} 3x-4\ge -x+20,\\[7pt] 3x+x\ge 20+4,\\[7pt] 4x\ge 24,\\[7pt] x\ge 6. \end{gather*}

$$ x\in [6; +\infty). $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35800

Завдання 25 з 109

Розв’яжіть нерівність $2x-3\lt 15+4x.$

А$(-3; +\infty)$

Б$(-\infty; -9)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-\infty; -3)$

Д$(-9; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} 2x-3\lt 15+4x,\\[7pt] 2x-4x\lt 15+3,\\[7pt] -2x\lt 18,\\[7pt] x\gt -9. \end{gather*}

$$ x\in (-9; +\infty). $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35776

Завдання 26 з 109

Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 3x-2\ge 5x-6,\\ 7x+1\le 4x-5. \end{array}\right. $$

А$(-\infty; 2]$

Б$[2; +\infty)$

В$[-2; 2]$

Г$(-\infty; -2]$

Д$[-2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв'яжімо систему лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3x-2\ge 5x-6,\\ 7x+1\le 4x-5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3x-5x\ge -6+2,\\ 7x-4x\le -5-1, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} -2x\ge -4,\\ 3x\le -6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\le -4:(-2),\\ x\le -6:3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\le 2,\\ x\le -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок $x\in (-\infty; -2].$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35355

Завдання 27 з 109

Розв’яжіть нерівність $$ \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16}. $$

А$(-\infty; 2)$

Б$(4; +\infty)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-2; +\infty)$

Д$(-\infty; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16},\\[6pt] \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\left(\frac{1}{4}\right)^2. \end{gather*}

Функція $y=\left(\frac 14\right)^x$ – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

\begin{gather*} a^{f(x)}\gt a^{g(x)},\\[7pt] 0\lt a\lt 1\Leftrightarrow f(x)\lt g(x),\\[7pt] 2x-6\lt 2,\\[7pt] 2x\lt 2+6,\\[7pt] 2x\lt 8,\\[7pt] x\lt 4. \end{gather*}

$$ x\in (-\infty; 4). $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35329

Завдання 28 з 109

Розв’яжіть нерівність $1\le 2x.$

А$(-\infty; 2]$

Б$[0\mathord{,}5; +\infty)$

В$(-\infty; -1]$

Г$[2; +\infty)$

Д$(-\infty; 0\mathord{,}5]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші лінійні нерівності.

\begin{gather*} 1\le 2x\\[7pt] x\ge \frac 12\\[7pt] x\ge 0\mathord{,}5. \end{gather*}

$$ x\in [0\mathord{,}5; +\infty). $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35301

Завдання 29 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_3(1-2x)\lt 2.$

А$\left(0; \frac 12\right)$

Б$\left(-4; \frac 12\right)$

В$\left(\frac 12; +\infty\right)$

Г$(-4; 0)$

Д$(-\infty; -4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу Логарифмічні нерівності.

\begin{gather*} \log_3(1-2x)\lt 2,\\[7pt] \log_3(1-2x)\lt \log_39. \end{gather*}

Функція $y=\log_3x$ є зростаючою, тому $1-2x\lt 9.$ Логарифмічна функція має область визначення $1-2x\gt 9.$

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1-2x\lt 9,\\ 1-2x\gt 0, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x\gt -8,\\ 2x\lt 1, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ x\lt \frac 12. \end{array} \right. \end{gather*}

$$ x\in \left(-4; \frac 12\right). $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34408

Завдання 30 з 109

Позначте число, що є розв'язком системи нерівностей $$ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -3, \\ x\le 7. \end{array} \right. $$

А$-10$

Б$-7$

В$-3$

Г$5$

Д$10$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

$$ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -3,\\ x\le 7. \end{array} \right. $$

Зобразимо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in (-3; 7].$ З наведених чисел, лише число $5$ належить даному проміжку.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34374

Завдання 31 з 109

Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності $|-2x-3|\gt 5?$

А$-2$

Б$-1$

В$0$

Г$1$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння порівнювати дійсні числа, знання властивостей модуля.

Розв'язком нерівності $|-2x-3|\gt 5$ з наведених чисел є $2.$ \begin{gather*} |-2\cdot 2-3|\gt 5,\ \ |-4-3|\gt 5,\\[7pt] |-7|\gt 5,\ \ 7\gt 5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28378

Завдання 32 з 109

Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 25, \\ 2-x\lt 8. \end{array} \right. $$

А$(2;\ 6)$

Б$(2;\ +\infty)$

В$(-6;\ 5)$

Г$(-\infty;\ -6)$

Д$(-6;\ 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних та показникових нерівностей.

Розв'яжемо систему нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 25,\\ 2-x\lt 8, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 5^2,\\ x\gt -6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 2,\\ x\gt -6. \end{array} \right. \end{gather*}

$x\in (-6; 2).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28364

Завдання 33 з 109

Розв’яжіть нерівність $0,2x-54\lt 0.$

А$(-\infty; 270)$

Б$(270; +\infty)$

В$(-\infty; 2,7)$

Г$(-\infty; 27)$

Д$(10,8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Розв'яжемо нерівність $0,2x-54\lt 0$: \begin{gather*} 0,2x\lt 54\\[6pt] x\lt \frac{54}{0,2}\\[6pt] x\lt 270\\[7pt] x\in(-\infty; 270). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27690

Завдання 34 з 109

Розв’яжіть нерівність $\log_{0,3}(x+3)\gt \log_{0,3}4.$

А$(1; +\infty)$

Б$(7; +\infty)$

В$(-\infty; 1)$

Г$(0; 1)$

Д$(-3; 1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжемо логарифмічну нерівність $\log_{0,3}(x+3)\gt \log_{0,3}4.$

Функція є спадною, бо основа логарифма $0,3\lt 1.$ Отже, $x+3\lt 4$ та за ОДЗ $x+3\gt 0.$

Розв'язком нерівності буде розв'язок системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x+3\lt 4,\\ x+3\gt 0, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 4-3,\\ x\gt -3, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -3. \end{array} \right. \end{gather*}

$x\in (-3;\ 1).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26838

Завдання 35 з 109

Розв’яжіть нерівність $x+3\le 0.$

А$[0; 3]$

Б$(-\infty; 3]$

В$(-\infty; -3]$

Г$(3; +\infty]$

Д$(-3; +\infty]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Розв'яжемо лінійну нерівність: \begin{gather*} x+3\le0,\\[7pt] x\le -3. \end{gather*} Зобразимо розв'язок на координатній прямій:

$$ x\in (-\infty;\ -3]. $$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26802

Завдання 36 з 109

Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x \lt 81, \\ |x|\le 5. \end{array} \right. $$

А$(-\infty;\ 4)$

Б$[5;\ \infty)$

В$[-5;\ -4)$

Г$(-4;\ 5]$

Д$[-5;\ 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, нерівності з модулем.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt 81,\\ |x|\le 5; \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt \left(\frac 13\right)^{-4},\\ -5\le x\le 5; \end{array} \right. \end{gather*} функція $y=\left(\frac 13\right)^x$ складна, оскільки основа степені $\frac 13\lt 1.$

Отже, \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ -5\le x\le 5. \end{array} \right. \end{gather*}

Розв'язок системи – спільний розв'язок двох нерівностей. Отже, $x\in (-4;\ 5].$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26194

Завдання 37 з 109

Розв’яжіть нерівність $10^{x+1}\gt 0,01.$

А$(-\infty; -3)$

Б$(-\infty; -2)$

В$(-3; +\infty)$

Г$(-2; +\infty)$

Д$(1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 10^{x+1}\gt 10^{-2}. \end{gather*} Функція $y=10^x$ – зростаюча, тому \begin{gather*} x+1\gt -2,\\[7pt] x\gt -3. \end{gather*} Отже, $x\in (-3;\ +\infty).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26126

Завдання 38 з 109

Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x-5\lt 2x,\\ 12-9x\le 3x. \end{array} \right. $$

А$(-\infty;-5)$

Б$(-5;-2]$

В$[1;5)$

Г$(-\infty;1]$

Д$(5;+\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжемо систему лінійний нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-5\lt 2x, & \\ 12-9x\le 3x, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-2x\lt 5, & \\ -9x-3x\le -12, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ -12x\le -12 & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ x\ge 1. & \end{array}\right. \end{gather*}

$$ x\in\ [1;\ 5). $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26006

Завдання 39 з 109

Розв'яжіть нерівність $|x-9|\leq 3$. У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв'язків на проміжку $[–15;\ 15]$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності з модулем.

\begin{gather*} \left \{ \begin{array}{l l} x-9\leq 3, & \\ x-9\geq -3;& \end{array}\right. \ \ \left \{ \begin{array}{l l} x\leq 12, & \\ x\geq 6.& \end{array}\right. \end{gather*}

Сума всіх цілих розв'язків: $$ 6+7+8+9+10+11+12=63 $$ Всі розв'язки містяться на проміжку $[-15;\ 15]$.

Відповідь: 63.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24709

Завдання 40 з 109

Розв'яжіть нерівність $3^x\lt 27\cdot 3^{-x}$.

А$\left(-\infty;\ \frac 23\right)$

Б$\left(\frac 32;\ +\infty\right)$

В$\left(-\infty;\ 3\right)$

Г$\left(\frac 23;\ +\infty\right)$

Д$\left(-\infty;\ \frac 32\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

\begin{gather*} 3^x\lt 27\cdot 3^{-x};\ \ 3^x\lt 3^3\cdot 3^{-x};\\[7pt] 3^x\lt 3^{3-x}. \end{gather*}

Функція $y=3^x$ зростає, отже, \begin{gather*} x\lt 3-x;\ \ 2x\lt 3;\ \ x\lt \frac 32.\\[7pt] x\in (-\infty;\ \frac 32). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24696

Завдання 41 з 109

Розв’яжіть нерівність $\log_{0,9}(3x)\gt 2$.

А$(-\infty; 0,27)$

Б$(-\infty; 0,6)$

В$(0,27;\ +\infty)$

Г$(0,6;\ +\infty)$

Д$(0; 0,27)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція $y=\log_{0,9}(3x)$ – спадна, отже, знак нерівності змінюємо на протилежний. Враховуючи ОДЗ, отримаємо: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 3x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,9^2& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,81& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ x\lt 0,27& \end{array}\right. \end{gather*}

$x\in\ (0;\ 0,27)$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23672

Завдання 42 з 109

Розв’яжіть нерівність $4\cdot 3^x\lt 3^x +6$.

А$(-\infty; \log_9 6)$

Б$(-\infty; \log_2 3)$

В$(-\infty; 2)$

Г$(-\infty; 1)$

Д$(-\infty; \log_3 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо нерівність: \begin{gather*} 4\cdot 3^x\lt 3^x + 6,\\[7pt] 4\cdot 3^x-3^x\lt 6,\\[7pt] 3\cdot 3^3 \lt 6,\\[7pt] 3^x \lt 2,\\[7pt] x\lt \log_3 2,\\[7pt] x\in (-\infty;\ \log_3 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22912

Завдання 43 з 109

Розв'яжіть систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 4x-7\ge 2x+1,\\ x\ge -3. \end{array}\right. $$

А$[-1; +\infty)$

Б$[-3; 4]$

В$\varnothing$

Г$[-3; +\infty)$

Д$[4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.

Розв'яжемо системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4x-7\ge 2x+1,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 4x-2x\ge 1+7,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2x\ge 8,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 4,\\ x\ge -3. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, розв'язок нерівності $x\in [4; +\infty).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21225

Завдання 44 з 109

Розв'яжіть систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 6\gt 2x,\\ 7x-28\le 0. \end{array}\right. $$

А$(-\infty; 3)$

Б$(3; 4]$

В$(-\infty; -3)$

Г$(-3; 4]$

Д$(-\infty; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжемо систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 6\gt 2x,\\ 7x-28\le 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ 7x\le 28, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ x\le 4. \end{array}\right.\\[7pt] x\in (-\infty; 3). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19959

Завдання 45 з 109

Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} -x\gt -3,\\ 2x+5\gt 0. \end{array}\right. $$

А$(-2\mathord{,}5; +\infty)$

Б$(-3; +\infty)$

В$(3; +\infty)$

Г$(2\mathord{,}5; 3)$

Д$(-2\mathord{,}5; 3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} -x\gt -3,\\ 2x+5\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ 2x\gt -5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ x\gt -2\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

$$ x\in(-2\mathord{,}5; 3). $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19501

Завдання 46 з 109

Розв'яжіть нерівність $10^{x+1}\gt 0\mathord{,}01.$

А$(-\infty; -3)$

Б$(-\infty; -2)$

В$(-3; +\infty)$

Г$(-2; +\infty)$

Д$(1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

$10^{x+1}\gt 0\mathrm{,}01$;$\ \ 10^{x+1}\gt 10^{-2}.$

Функція $y=10^x$ – зростаюча, тому $x+1\gt 2$, $x\gt -2-1$, $x\gt -3.$

$$ x\in (-3; +\infty). $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18987

Завдання 47 з 109

Розв'яжіть нерівність $2^{4x-5}\ge 2.$

А$[1\mathord{,}5; +\infty)$

Б$[1\mathord{,}25; +\infty)$

В$[-1; +\infty)$

Г$(-\infty; -1]$

Д$\left[\frac 23; +\infty\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

$2^{4x-5}\ge 2.$ Функція $y=2^x$ – зростає, отже,

\begin{gather*} 2^{4x-5}\ge 2^1,\\[7pt] 4x-5\ge 1,\\[7pt] 4x\ge 6,\\[7pt] x\ge 1\mathord{,}5. \end{gather*}

$x\in [1\mathord{,}5; +\infty).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17648

Завдання 48 з 109

Укажіть число, що є розв'язком нерівності $x^2\lt 9.$

А$-8$

Б$-4\mathord{,}5$

В$-2$

Г$3$

Д$8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

\begin{gather*} x^2\lt 9,\\[7pt] x^2-9\lt 0,\\[7pt] (x-3)(x+3)\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

$x=3$, $x=-3$ – нулі функції

$x\in (-3; 3).$

З наведених чисел лише число $-2\in (-3; 3).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17644

Завдання 49 з 109

Яке з наведених чисел є розв'язком нерівності $|x|\gt 3$?

А$3$

Б$1$

В$0$

Г$-3$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять змінну під знаком модуля.

Використовуючи геометричну інтерпритацію модуля отримаємо розв'зок нерівності $|x|\gt 3:$

$x\in (-\infty; -3)\cup (3; +\infty).$

Отже, з наведених чисел $x=-8$ є розв'язком нерівності.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17068

Завдання 50 з 109

Розв’яжіть нерівність $x^3-2x\lt (x+2)(x^2-2x+4).$

А$(-4; +\infty)$

Б$(-\infty; -4)$

В$(-0\mathord{,}25; +\infty)$

Г$(-\infty; -0\mathord{,}25)$

Д$(4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні нерівності, використовувати формули скороченого множення для тотожного перетворення виразів.

Використаємо формулу $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ для спрощення правої частини нерівності:

\begin{gather*} x^3-2x\lt x^3+8,\\[7pt] x^3-2x-x^3,\\[7pt] -2x\lt 8,\\[7pt] x\gt -4. \end{gather*}

Отже, $x\in (-4; +\infty).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16615

Завдання 51 з 109

Poзв’яжіть нерівність $|x+4|\cdot (x-1)\lt 0.$

А$(-\infty; -4)\cup (1; +\infty)$

Б$(-4; 1)$

В$(-\infty; 1)$

Г$(-1; 4)$

Д$(-\infty; -4)\cup (-4; 1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра, початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності першого степеня, нерівності, що містять змінну під знаком модуля.

$|x+4|(x-1)\lt 0.$

Цю нерівність можна розв'язати двома способами:

І спосіб.

Вираз $|x+4|\ge 0$ при будь-яких значеннях змінної, тому розв'язком нерівності є розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ne -4,\\ x-1\lt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ne -4,\\ x\lt 1. \end{array}\right.\\[7pt] x\in (-\infty; -4)\cup (-4; 1). \end{gather*}

ІІ спосіб.

Розв'язуємо методом інтервалів:

$|x+4|(x-1)\lt 0$

$$ x\in (-\infty; -4)\cup (-4; 1). $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15254

Завдання 52 з 109

Укажіть найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності

$\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9} \lt 0$.

Впишіть відповідь:

-8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладемо $(x^2+8x-9)$ на множники: \begin{gather*} x^2+8x-9=(x-1)(x+9);\\[7pt] \begin{cases} (x-3)(x+10)\lt 0,\\ x\ne 1,\\ x\ne -9. \end{cases} \end{gather*}

Найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності $x=-8.$

Відповідь: $-8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14545

Завдання 53 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_{0,1}10 \lt \log_{0,1}x$.

А$(10;+\infty)$

Б$(0;10)$

В$(0{,}1;10)$

Г$(-10;0)$

Д$(-\infty;10)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція $y=\log_{0{,}1} x$ – спадна (основа логарифма менше $1$).

Отже, $\begin{cases} 10\gt x,\\ x\gt 0.\end{cases}$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14534

Завдання 54 з 109

Розв'яжіть нерівність $x + \dfrac{1}{x - 3}\gt\dfrac{1}{x - 3} - 2$.

А$(-2; 3)$

Б$(-2; +\infty)$

В$(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$

Г$(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

Д$(-2; 3) \cup (3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -2,\\ x\ne 3, \end{cases}\\[7pt] x\in (-2; 3)\cup (3; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14526

Завдання 55 з 109

Розв’яжіть нерівність $\log_{0{,}5}5 \lt \log_{0{,}5}x$.

А$(-5;0)$

Б$(0;5)$

В$(5;+\infty)$

Г$(0{,}5;5)$

Д$(-\infty;5)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція $y = \log_{0{,}5} x$ спадна. Область визначення функції – $x \in (0; +\infty).$

\begin{gather*} \begin{cases} 5\gt x, \\ x\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x\lt 5, \\ x\gt 0. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (0; 5). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14319

Завдання 56 з 109

Розв’яжіть нерівність $\dfrac{x^2+64}{x-5} \gt 0$.

А$(-\infty;5)\cup(8;+\infty)$

Б$(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$

В$(5;8)$

Г$(5;+\infty)$

Д$(-\infty;5)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \frac{x^2 + 64}{x - 5}\gt 0;\\[6pt] x^2 + 64\gt 0 \end{gather*}

при будь-яких значеннях $x.$

Отже, дріб $\dfrac{x^2 + 64}{x - 5}\gt 0$ за умови

\begin{gather*} x - 5\gt 0;\\[7pt] x\gt 5;\\[7pt] x \in (5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14309

Завдання 57 з 109

Розв’яжіть нерівність $$ \frac{x+1}{x}\le \frac 43. $$

А$(-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$

Б$(0; 3]$

В$[3; +\infty)$

Г$(-\infty; 0)$

Д$(-\infty; 3]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.

\begin{gather*} \frac{x+1}{x}\le \frac 43,\\[6pt] \frac{x+1}{x}-\frac 43\le 0. \end{gather*}

Зведемо до спільного знаменника

\begin{gather*} \frac{3(x+1)-4x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{3x+3-4x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{3-x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{-(x-3)}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{x-3}{3x}\ge 0,\\[6pt] x\ne 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

Отже, $x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14251

Завдання 58 з 109

Знайдіть область визначення функції $y=\sqrt[4]{50-3x}.$ У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Нерівності. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати лінійні нерівності.

Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності: \begin{gather*} 50-3x\ge 0,\\[7pt] -3x\ge -50,\\[7pt] 3x\le 50,\\[7pt] x\le 50:3,\\[7pt] x\le 16\frac 23. \end{gather*}

Найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення – це число $16.$

Відповідь: $16.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12528

Завдання 59 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ \frac{2x-4}{x+1}\lt 0. $$

А$(-\infty; 2)$

Б$(-\infty; -1)\cup (-1; 2)$

В$(-1; 2)$

Г$(-\infty; -1)\cup (2; +\infty)$

Д$(-\infty; -1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, уміння застосовувати методи та прийоми в процесі розв'язування нерівностей.

\begin{gather*} \frac{2x-4}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{2(x-2)}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{x-2}{x+1}\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів: $$(x-2)(x+1)\lt 0.$$

$$x\in (-1; 2).$$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12514

Завдання 60 з 109

Яке з наведених чисел є розв'язком подвійної нерівності $5\le 3^x\le 15$?

А$5$

Б$4$

В$3$

Г$2$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Подвійна нерівність $5\le 3^x\le 15$ буде вірною при $x=2:$

\begin{gather*} 5\le 3^2\le 15,\\[7pt] 5\le 9\le 15. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12509

Завдання 61 з 109

Розв'яжіть нерівність $(x^2+64)(x-5)\gt 0.$

А$(5; +\infty)$

Б$(-\infty; 5)\cup (5; +\infty)$

В$(5; 8)$

Г$(-\infty; 5)\cup (8; +\infty)$

Д$(-\infty; 5)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв'язування рівнянь, нерівностей та систем.

$x^2+64\gt 0$ при будь-яких значеннях $x$, тому, щоб добуток $(x^2+64)(x-5)$ був більше нуля, необхідно, щоб другий множник $(x-5)$ був більшим за нуль.

\begin{gather*} x-5\gt 0,\\[7pt] x\gt 5,\\[7pt] x\in (5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12081

Завдання 62 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_2x\lt b$, використавши рисунок.

А$(0; 2^b)$

Б$(0; b)$

В$(-\infty; 2^b)$

Г$(\log_2b; +\infty)$

Д$(-\infty; b)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Функції. Логарифмічна функція. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, уміння користуватися графічним методом розв’язування і дослідження нерівностей.

Точка перетину графіків функцій $y=\log_2x$ та $y=b$ буде точка з координатами $(2^b; b).$

Розв’язуючи графічно нерівність $\log_2x\lt b$, знаходимо частину графіка $y=\log_2x$, яка знаходиться нижче прямої $y=b$ та значення $x$, яке відповідає даній частині графіка. Це $x\in (0; 2^b).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12079

Завдання 63 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ \frac{x+3}{x-2}\gt 0. $$

А$(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$

Б$(2; +\infty)$

В$(-3; 2)$

Г$(-2; 3)$

Д$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.

$$ \frac{x+3}{x-2}\gt 0 $$ розв'яжемо методом інтервалів:

Отже, $x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10850

Завдання 64 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ \left(\frac 37\right)^{x-5}\gt \frac 37. $$

А$(-\infty; 5)$

Б$(-\infty; 6)$

В$(0; 5)$

Г$(5; +\infty)$

Д$(6; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac 37\right)^{x-5}\gt \frac 37,\\[6pt] \left(\frac 37\right)^{x-5}\gt \left(\frac 37\right)^1. \end{gather*}

Функція $$ y=\left(\frac 37\right)^x $$ спадна, тому

\begin{gather*} x-5\lt 1,\\[7pt] x\lt 6. \end{gather*}

Отже, $x\in (-\infty; 6).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10846

Завдання 65 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_3 x\lt -1.$

А$\left(\frac 13; +\infty\right)$

Б$\left(-\infty; \frac 13\right)$

В$\left(-\frac 13; 0\right)$

Г$\left(0; \frac 13\right)$

Д$\left(-\infty; -3\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності.

Запишемо ОДЗ цєї нерівності: $x\gt 0$, оскільки логарифмічна функція визначена лише для додатного аргумента.

Запишемо $-1$ у вигляді логарифма з основою $3\mathord{:}$ $$ -1=\log_3 3^{-1}=\log_3 \frac 13. $$ Тоді вихідна нерівність матиме вигляд: $$ \log_3 x\lt \log_3 \frac 13. $$ Оскільки функція $$ y=\log_3 x $$ є зростаючою ще раз підкреслимо, що вона існує лише для $x\gt 0,$ то отримана нерівність рівносильна нерівності $$ 0\lt x\lt \frac 13. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9446

Завдання 66 з 109

Укажіть число, що є розв'язком нерівності $$ \frac{5}{x-3}\ge 1. $$

А$-2$

Б$0$

В$2$

Г$9$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення розв'язку нерівності з однією змінною.

ОДЗ: $x-3\ne 0.$

Розв'яжемо нерівність:

\begin{gather*} \frac{5}{x-3}\ge 1,\\[6pt] \frac{5}{x-3}-1\ge 0,\\[6pt] \frac{5-(x-3)}{x-3}\ge 0,\\[6pt] \frac{-x+8}{x-3}\ge 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

З наведених чисел, лише $4$ належить даному проміжку.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9428

Завдання 67 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ \frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}\ge 0. $$

А$(-\infty; -3)\cup (2; 5]$

Б$(-3; -2)\cup [5; +\infty)$

В$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Г$(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$

Д$(-3; 2)\cup \{5\}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності.

Розв'яжемо нерівність "методом інтервалів". Запишемо нерівність у вигляді $f(x)\ge 0$, де $$ f(x)=\frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}. $$

Знайдемо область визначення функції $f(x).$ Раціональний дріб існує, якщо його знаменник відмінний від нуля, тому $x^2+x-6\ne 0.$ Квадратне рівння $x^2+x-6=0$ має два корені $x=-3$ та $x=2.$ Отже, область визначення функції $f(x)$ містить всі точки числової прямої, крім двох точок $x=-3$ та $x=2$, тобто

$$ D(f)=(-\infty; -3)\cup (-3; 2)\cup (2; +\infty). $$

Знайдемо нулі функції $f(x)$, тобто корені рівняння $$ \frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}=0. $$

Нагадаємо, що дріб дорівнює нулю, якщо його чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні. Рівняння $(5-x)^2=0$ має корінь $x=5$, який належить $D(f).$ Оскільки $$ (5-x)^2=(5-x)(5-x), $$ то кажуть, що $x=5$ є коренем кратності $2.$

Відмітимо на числовій прямій нуль $x=5$ та точки, в яких $f(x)$ не існує, тобто точки $x=-3$, $x=2$ та визначимо знак функції $f(x)$ на кожному інтервалі:

Зазначимо, що при переході через точку $x=5$ знак функції $f(x)$ не змінюється.

Об'єднуючи проміжки $(-\infty; -3)$, $(2; 5)$, $(5; +\infty)$, на яких виконується нерівність $f(x)\gt 0$, та точку $x=5$, в якій $f(x)=0$, записуємо множину розв'язків заданої нерівності: $$ x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty). $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9251

Завдання 68 з 109

Розв'яжіть нерівність $(x+4)(x-8)\gt 3(x-8).$

А$(-\infty; -1)\cup (8; +\infty)$

Б$(-1; 8)$

В$(-1; 8)\cup (8; +\infty)$

Г$(-1; +\infty)$

Д$(8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі вирази у ліву частину нерівності: $$ (x + 4)(x - 8) - 3(x - 8) \gt 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник $(x - 8).$ Отримаємо: \begin{gather*} (x - 8)((x + 4) - 3) \gt 0,\\[7pt] (x - 8)(x + 1) \gt 0. \end{gather*}

Визначимо нулі функції $$ y = (x - 8)(x + 1), $$ тобто корені рівняння $$ (x - 8)(x + 1) = 0. $$ Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: \begin{gather*} x - 8 = 0,\\[7pt] x_1 = 8, \\[7pt] x + 1 = 0,\\[7pt] x_2 = -1. \end{gather*}

Позначимо на числовій осі $x$ нулі $x_{1} = 8$ та $x_{2} = -1$ та визначимо знаки виразу $(x - 8)(x + 1)$ на кожному з отриманих проміжків.

Отже, $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$ – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8185

Завдання 69 з 109

Розв'яжіть нерівність $6^x\lt \frac{1}{36}.$

А$\left(-2; +\infty\right)$

Б$\left(-\infty; \frac 16\right)$

В$\left(-\infty; -2\right)$

Г$\left(\frac 16; +\infty\right)$

Д$\left(-\infty; \frac 12\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Запишемо число $\frac{1}{36}$ як степінь з основою $6\mathord{:}$ $$ \frac{1}{36} = \frac{1}{6^{2}} = 6^{-2}. $$ Отримуємо нерівність: $6^{x} \lt 6^{-2}$.

Оскільки основа $6 \gt 1$, то задана нерівність рівносильна нерівності $x \lt -2$. Запишемо множину розв’язків нерівності у вигляді інтервалу: $x \in (-\infty; -2).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8172

Завдання 70 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ \frac{(x-6)(x+2)^2}{x-3}\le 0. $$

А$\{-2\}\cup (3; 6]$

Б$(-\infty; -2]\cup (3; 6]$

В$[-2; 6]$

Г$(-\infty; 6]$

Д$(-\infty; 3)\cup (3; 6]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності методом інтервалів.

Розв’яжемо нерівність «методом інтервалів». Для цього визначимо нулі функції $$ y = \frac{(x - 6)(x + 2)^{2}}{x - 3} $$ та точки, де функція не існує. Прирівняємо $y$ до нуля:

$$ \frac{(x - 6)(x + 2)^{2}}{x - 3} = 0. $$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Тоді \begin{gather*} (x - 6)(x + 2)^{2} = 0,\\[7pt] x - 3 \ne 0. \end{gather*} Тоді \begin{gather*} x = 6,\\[7pt] x = -2,\\[7pt] x \ne 3. \end{gather*} Нанесемо точки на числову вісь $x.$

Визначимо знаки виразу $$ \frac{(x - 6)(x + 2)^{2}}{x - 3} $$ на кожному з отриманих проміжків (див. рисунок).

Отже, $\{-2\} \cup (3; 6]$ – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7641

Завдання 71 з 109

Розв'яжіть нерівність $0\mathord{,}2x-54\lt 0.$

А$(-\infty; 27)$

Б$(270; +\infty)$

В$(-\infty; 2{,}7)$

Г$(-\infty; 270)$

Д$(10\mathord{,}8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Розділимо обидві частини нерівності на $0{,}2$: \begin{gather*} 0{,}2x \lt 54,\\[6pt] x\lt \frac{54}{0{,}2},\\[6pt] x\lt 270. \end{gather*}

Або: \begin{gather*} 5 \cdot 0{,}2x \lt 5 \cdot 54,\\[7pt] x \lt 5 \cdot 54,\\[6pt] x\lt 270. \end{gather*} Запишемо у вигляді інтервалу: $x \in (-\infty; 270).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7624

Завдання 72 з 109

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності $\dfrac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\le0$.

Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладаємо чисельник дробу на множники:

\begin{gather*} x^2 - x - 12 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4;\\[6pt] x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3;\\[6pt] x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3).\\[6pt] \frac{(x - 4)(x + 3)}{(x + 1)^2} \le 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

\begin{gather*} x = 4;\\[7pt] x = -3;\\[7pt] x \ne -1. \end{gather*}

$x = -1$ – кратний корінь, отже, при переході функції через дану точку, функція не міняє знак.

\begin{gather*} x \in [-3; -1) \cup (-1; 4]. \end{gather*}

Цілі розв'язки: $-3$; $-2$; $0$; $1$; $2$; $3$; $4$ – сім розв'язків.

Відповідь: $7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7532

Завдання 73 з 109

Розв’яжіть нерівність $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\textstyle x} \le \dfrac{1}{25}$.

А$(-\infty;5]$

Б$(-\infty;2]$

В$(0;2]$

Г$[2;+\infty)$

Д$[5;+\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac 15\right)^{\textstyle x} \le \frac{1}{25};\\[6pt] \left(\frac 15\right)^{\textstyle x} \le \left(\frac 15\right)^{\textstyle 2}. \end{gather*}

Функція $y = \left(\dfrac 15\right)^{\textstyle x}$ – спадна, тому $x \ge 2,\; x \in [2; +\infty).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7491

Завдання 74 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ x^2+2^{\log_2(-2x)}-15\lt 0. $$ У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків цієї нерівності.

Впишіть відповідь:

-3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів. Основна логарифмічна тотожність.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів, що містять логарифмічну функцію, та розв’язувати нерівності, що зводяться до раціональних.

Враховуючи, що аргументом логарифмічної функції може бути лише додатне число, запишемо ОДЗ цієї нерівності: $-2x\gt 0$, звідки $x\lt 0.$ Скористаємося основною тригонометричною тотожністю: $$ 2^{\log_2(-2x)}=-2x, $$ тоді нерівність набуває вигляду $$ x^2-2x-15\lt 0. $$ Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів.

Знайдемо нулі функції \begin{gather*} y=x^2-2x-15{:}\\[7pt] x_1=-3,\\[7pt] x_2=5. \end{gather*} Тоді нерівність можна записати у вигляді $$ (x+3)(x-5)\lt 0. $$ Визначимо знаки функції $$ y=x^2-2x-15 $$ на проміжках $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$ та $(5; +\infty)$ (див. діаграму), звідки $x\in(-3; 5).$

Зауважимо, що на діаграмі точки $x=-3$ та $x=5$ не зафарбовані з тих міркувань, що ці точки не є розв’язками строгої нерівності $$ x^2-2x-15\lt 0. $$ Ураховуючи ОДЗ початкової нерівності, тобто нерівність $x\lt 0$, отримаємо множину її розв’язків $(-3; 0).$ Ця множина містить два цілі розв’язки $x=-2$ та $x=-1.$ Тому сума всіх цілих розв’язків заданої нерівності дорівнює $$ -2-1=-3. $$

Відповідь: $-3.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7194

Завдання 75 з 109

Розв'яжіть нерівність $x^3\ge x^2.$

А$(-\infty; 0]\cup [1; +\infty)$

Б$[0; 1]$

В$[1; +\infty)$

Г$\{0\}\cup [1; +\infty)$

Д$[-1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Перший спосіб. Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі доданки у ліву частину нерівності: $$ x^3-x^2\ge 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник: $$ x^2(x-1)\ge 0. $$

Визначимо нулі функції $$ y=x^2(x-1), $$ тобто корені рівняння $$ x^2(x-1)=0, $$ $x_1=0$ і $x_2=1$. Зазначимо, що корінь $x_1=0$ має кратність $2.$

Позначимо на числовій осі $x$ нулі $x_1=0$ і $x_2=1$ та визначимо знаки виразу $$ x^2(x-1) $$ на кожному з отриманих проміжків (див. діаграму).

Отже, $x\in\{0\}\cup [1; +\infty)$ – множина розв’язків заданої нерівності.

Другий спосіб. При $x=0$ нерівність $x^3\ge x^2$ є правильною: $0\ge 0.$ Отже, $x=0$ – один з розв’язків нерівності. Нехай $x\ne 0$. Тоді $x^2\gt 0$, тому, поділивши обидві частини нерівності $x^3\ge x^2$ на $x^2$, отримаємо нерівність $x\ge 1$, рівносильну заданій. Об’єднавши множини $x\in\{0\}$ та $x\in [1; +\infty)$, отримаємо відповідь: $x\in\{0\}\cup [1; +\infty).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7182

Завдання 76 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ \lg\frac{4}{2x-3}\ge 0. $$ У відповіді запишіть найбільший розв'язок цієї нерівності. Якщо найбільший розв'язок нерівності не існує, то у відповіді запишіть число $100.$

Впишіть відповідь:

3.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Перший спосіб. Оскільки $$ \lg \frac{4}{2x - 3} = \lg 4 - \lg (2x - 3), $$ то перепишемо нерівність у вигляді \begin{gather*} \lg 4 - \lg (2x - 3) \ge 0,\ \text{або}\\[7pt] \lg (2x - 3) \le \lg 4. \end{gather*} Ураховуючи, що логарифмічна функція $y = \lg x$ (тут основа дорівнює $10 \gt 1$) є зростаючою, то задана нерівність рівносильна системі нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 2x - 3 \le 4,\\ 2x-3\gt 0, \end{array}\right. $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x \le 7,\\ 2x \gt 3, \end{array}\right.\\[7pt] x \in (1{,}5; 3{,}5]. \end{gather*} Отже, найбільший розв’язок цієї нерівності – це число $x = 3{,}5.$

Другий спосіб. Ураховуючи, що $0 = \lg 1$, перепишемо нерівність у вигляді $$ \lg \frac{4}{2x - 3} \ge \lg 1, $$ після чого переходимо до рівносильної нерівності

\begin{gather*} \frac{4}{2x - 3} \ge 1,\\[6pt] \frac{4 - 2x + 3}{2x - 3} \ge 0,\\[6pt] \frac{7 - 2x}{2x - 3} \ge 0,\\[6pt] \frac{2x-7}{2x - 3} \le 0,\\[6pt] \frac{x - 3{,}5}{x - 1{,}5} \le 0, \end{gather*}

звідки $x \in (1{,}5; 3{,}5].$

Відповідь: $3{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7155

Завдання 77 з 109

Розв'яжіть нерівність $2\cdot (0{,}3)^x\lt 0{,}18.$

А$(-\infty; 2)$

Б$(2; +\infty)$

В$(-\infty; 0{,}3)$

Г$(0{,}3; +\infty)$

Д$(0; 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Поділимо обидві частини нерівності на $2\mathord{:}$ $$ (0{,}3)^{x} \lt 0{,}09 $$ (оскільки $2 \gt 0$, то знак нерівності не змінюється). Запишемо число $0{,}09$ як степінь з основою $0{,}3\mathord{:}$ $$ 0{,}09 = 0{,}3^{2}. $$ Отримаємо нерівність: $$ (0{,}3)^{x} \lt (0{,}3)^{2}. $$

Оскільки $0{,}3 \lt 1$, то функція $y = (0{,}3)^{x}$ є спадною на всій області визначення, і нерівність $$ (0{,}3)^{x} \lt (0{,}3)^{2} $$ рівносильна нерівності $x \gt 2$, тобто $x \in (2; +\infty).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7088

Завдання 78 з 109

Якщо $a\in (-2; 3)$, то $|a^2-a-6|=$

А$a^2-a-6$

Б$a^2+a-6$

В$a^2+a+6$

Г$-a^2+a+6$

Д$-a^2-a+6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Модуль числа. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення модуля числа та вміння розкривати модуль буквенного виразу.

За означенням модулем числа $x$ називають саме це число, якщо воно є невід’ємним, і протилежне до $x$ число, якщо воно є від’ємним, тобто

$$ |x|=\left\{\begin{array}{l} x,\ \text{якщо}\ x\ge 0, \\ -x,\ \text{якщо}\ x\lt 0. \end{array}\right. $$

Отже,

$$ |a^{2}-a-6|= \left\{\begin{array}{l} a^{2}-a-6,\ \text{якщо}\ a^{2}-a-6 \ge 0,\\ -(a^{2}-a-6),\ \text{якщо}\ a^{2}-a-6 \lt 0. \end{array}\right. $$

Визначимо проміжки знакосталості виразу $a^{2}-a-6.$ Для цього визначимо нулі цього тричлена, прирівнявши його до нуля: $a^{2}-a-6=0$, звідки $a_{1}=-2$, $a_{2}=3.$ Визначимо знак виразу $a^{2}-a-6$ на проміжках $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ і $(3; +\infty) $ (див. рисунок).

Оскільки на проміжку $(-2; 3)$ вираз $a^{2}-a-6$ набуває лише від’ємних значень, то на цьому проміжку

$$ |a^{2}-a-6| = -(a^{2}-a-6)= -a^{2}+a+6. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7087

Завдання 79 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ \frac{10^x-16\cdot 5^x}{x+2}\ge 0. $$ У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків нерівності на проміжку $[-3; 7].$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівності мішаного типу. Методи інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності мішаного типу.

Виконаємо рівносильні перетворення: \begin{gather*} \frac{10^x-16\cdot 5^x}{x+2}\ge 0,\\[6pt] \frac{5^x(2^x-16)}{x+2}\ge 0,\\[6pt] \frac{5^x(2^x-2^4)}{x+2}\ge 0. \end{gather*}

Оскільки для всіх $x\in(-\infty; +\infty)$ $5^x\gt 0$, то $$ \frac{2^x-2^4}{x+2}\ge 0. $$

Останню нерівність, яка рівносильна початковій, розв’яжемо методом інтервалів на заданому проміжку $[-3; 7].$ Знайдемо нулі функції $$ y=\frac{2^x-2^4}{x+2} $$ та точки, в яких вона не визначена. Функція дорівнює нулю, якщо $$ 2^x-2^4=0, $$ звідки $x=4$. Функція не визначена в точці $x=-2.$ Нанесемо ці точки на числову вісь, враховуючи, що задана нерівність є нестрогою (знак «$\ge$»), отже, точка $x=4$ – зафарбована. Визначимо знаки виразу $$ \frac{2^x-2^4}{x+2} $$ на цьому проміжку (див. рисунок).

Отже, $[-3; -2)\cup [4; 7]$ – множина розв’язків заданої нерівності на проміжку $[-3; 7].$

З рисунка видно, що цілими розв’язками нерівності $$ \frac{2^x-2^4}{x+2}\ge 0 $$ на проміжку $[-3; 7]$ є числа $-3$, $4$, $5$, $6$ та $7.$ Їх сума дорівнює $19.$

Відповідь: $19.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6901

Завдання 80 з 109

Розв'яжіть нерівність $(x+4)^2\le 16.$

А$(-\infty; 8]$

Б$(-\infty; 0]$

В$(-\infty; 4]$

Г$[-8; 8]$

Д$[-8; 0]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Застосуємо метод інтервалів. Для цього піднесемо ліву частину до квадрата, а праву – перенесемо у ліву частину, змінивши знак: $$ x^2+8x+16-16\le 0, $$ звідси $$ x^2+8x\le 0. $$

Винесемо за дужки спільний множник $x{:}$ $$ x(x+8)\le 0. $$ Таку ж нерівність отримаємо, якщо скористаємося формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} (x+4)^2-16\le 0,\\[7pt] (x+4)^2-4^2\le 0,\\[7pt] (x+4-4)(x+4+4)\le 0,\\[7pt] x(x+8)\le 0. \end{gather*}

Визначимо нулі функції $$ y=x(x+8). $$ Прирівняємо $y$ до нуля: $$ x(x+8)=0. $$ Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю, отже $x=-8$, $x=0.$ Нанесемо їх на числову вісь $x.$ Визначимо знаки виразу $x(x+8)$ на кожному з отриманих проміжків (див. рисунок).

Отже, $x\in[-8; 0]$ – множина розв’язків заданої нерівності.

Зауваження. Можна спочатку зробити заміну $x+4=t$ і розв’язати нерівність $$ t^2\le 16, $$ звідки $$ -4\le t\le 4, $$ тоді \begin{gather*} -4\le x+4\le 4,\\[7pt] -8\le x\le 0. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6888

Завдання 81 з 109

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}\lt0$.

У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа немає, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

-4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, квадратні нерівності.

Розкладаємо на множники
1)

\begin{gather*} x^2 + 11x + 30 = 0;\\[7pt] D = 11^2 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1;\\[6pt] x_1 = \frac{-11 + 1}{2} = -5;\\[6pt] x_2 = \frac{-11 - 1}{2} = -6;\\[6pt] x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6). \end{gather*}

\begin{gather*} x^2 + 3x - 10 = 0;\\[7pt] D = 9 - 4 \cdot (-10) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5;\\[6pt] x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5). \end{gather*}

Отримали

\begin{gather*} \frac{(x + 5)(x + 6)}{(x - 2)(x + 5)}\lt 0;\\[6pt] x \ne 2,\ -5,\\[6pt] \frac{x + 6}{x - 2}\lt 0. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-6; -5) \cup (-5; 2). \end{gather*}

Найменше ціле число, що задовольняє нерівність $(-4).$

Відповідь: $-4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6470

Завдання 82 з 109

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac13\right)^{\textstyle x}\gt1$.

А$(-\infty;0)$

Б$(-\infty;1)$

В$(0;+\infty)$

Г$(1;+\infty)$

Д$(3;+\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{\textstyle x}\gt 1;\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{\textstyle x}\gt \left(\frac 13\right)^{\textstyle 0};\\[6pt] y = \left(\frac 13\right)^{\textstyle x}\ \text{– спадає}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6453

Завдання 83 з 109

Відомо, що $a\lt b$. Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.

А$-2a\lt-2b$

Б$\sqrt2a\gt\sqrt2b$

В$\dfrac a3\gt\dfrac b3$

Г$a-4\gt b-4$

Д$0{,}5-a\gt0{,}5-b$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Числові нерівності.

Це завдання перевіряє знання властивостей числових нерівностей.

Відомо, що $a \lt b.$

Використаємо властивість числових нерівностей:
якщо до обох частин нерівності додати те саме число або помножити їх на те саме додатне число, отримаємо правильну нерівність;
якщо обидві частини нерівності помножити на те саме від’ємне число, то знак нерівності треба поміняти на протилежний.

\begin{gather*} a\lt b;\\[7pt] -a\gt -b;\\[7pt] -a + 0{,}5\gt -b + 0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6432

Завдання 84 з 109

Розв’яжіть нерівність $\log_{\textstyle \frac15}x\gt2$.

А$(-\infty;\frac1{25})$

Б$(\frac1{25};+\infty)$

В$(0;\frac1{25})$

Г$(10;+\infty)$

Д$(-\infty;\frac1{10})$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac 15} x\gt 2;\\[7pt] \log_{\textstyle \frac 15} x\gt \log_{\textstyle \frac 15} \frac{1}{25}. \end{gather*}

Функція $\log_{\textstyle \frac{1}{5}} x$ – спадна, отже ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\lt \dfrac{1}{25}, \\ x\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in \left(0; \frac{1}{25}\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6402

Завдання 85 з 109

Розв'яжіть нерівність $\dfrac1x\le\dfrac13$.

А$(-\infty; 0)$

Б$(0; 3]$

В$[3; +\infty)$

Г$(-\infty; 0)\cup [3; +\infty)$

Д$(-\infty; 3]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \frac 1x\le \frac 13;\\[6pt] \frac 1x-\frac 13\le 0;\\[6pt] \frac{3-x}{3x}\le 0;\\[6pt] \frac{x-3}{3x}\ge 0.\\[6pt] \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів.

ОДЗ: $x\ne 0.$

$x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6396

Завдання 86 з 109

Розв’яжіть нерівність $3\cdot9^x-2\cdot15^x-5^{2x+1}\gt0$.

Якщо нерівність має цілі розв’язки, то вкажіть найбільший з них. Якщо нерівність має розв’язки, але вказати найбільший цілий розв’язок неможливо, то у відповідь запишіть число $50$. Якщо нерівність не має розв’язків, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

-2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} 3 \cdot 9^x - 2 \cdot 15^x - 5^{2x+1} \gt 0;\\[7pt] 3 \cdot 9^x - 2 \cdot 15^x - 5^{2x} \cdot 5 \gt 0;\\[7pt] 3 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 15^x - 5 \cdot 5^{2x} \gt 0. \end{gather*}

$15^x \gt 0$ при будь-якому значенні $x.$ Поділимо на $15^x$ нерівність:

\begin{gather*} 3 \cdot \frac{3^{2x}}{3^x \cdot 5^x} - 2 - 5 \cdot \frac{5^{2x}}{3^x \cdot 5^x} \gt 0;\\[6pt] 3 \cdot \left(\frac 35\right)^x - 2 - 5 \cdot \left(\frac 53\right)^x \gt 0. \end{gather*}

Нехай $\left(\dfrac 35\right)^x = t \gt 0.$

\begin{gather*} 3t - 2 - \frac 5t \gt 0\ \Big | \cdot t;\\[6pt] 3t^2 - 2t - 5 \gt 0;\\[7pt] 3t^2 - 2t - 5 = 0\\[7pt] D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 64;\\[6pt] t_1 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac 53;\\[6pt] t_2 = \frac{2 - 8}{6} = -1\ (\text{не задовольняє умові}\ t\gt 0) \end{gather*}

Отже, $t\gt \dfrac 53.$

Повертаємось до заміни

\begin{gather*} \left(\frac 35\right)^x\gt \frac 53;\\[6pt] \left(\frac 35\right)^x\gt \left(\frac 35\right)^{-1}. \end{gather*}

Функція $y=\left(\dfrac 35\right)^x$ – спадна, тому $x\lt -1.$

Найбільший цілий розв'язок $x = -2.$

Відповідь: $-2.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6378

Завдання 87 з 109

На рисунку зображено графіки функцій $f(x)=x+3$ і $g(x)=\sqrt{9-x^2}$. Розв’яжіть нерівність $f(x)\ge g(x)$.

А$\{-3\}\cup[0;3]$

Б$(-\infty;-3]\cup[0;+\infty)$

В$[-3;0]$

Г$\{-3\}\cup[0;+\infty)$

Д$[0;3]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіками.

На рисунку зображено пряму $f(x) = x + 3$ та півколо $g(x) = \sqrt{9 - x^2}.$

Розв'язком нерівності $f(x) \ge g(x)$ буде значення $x$, при якому пряма вище півкола та точки їх перетину.

Отже, $x \in [0; 3] \cup \{-3\}.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6370

Завдання 88 з 109

Розв’яжіть нерівність $-\dfrac{x}{5}\gt5$.

А$(-\infty;-25)$

Б$(-\infty;-1)$

В$(-\infty;25)$

Г$(-1;+\infty)$

Д$(-25;+\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} -\frac{x}{5} \gt 5\ \Big |\cdot 5;\\[6pt] -x \gt 25;\\[7pt] x \lt -25;\\[7pt] x \in (-\infty; -25). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6350

Завдання 89 з 109

Розв’яжіть нерівності (1–4). Кожній нерівності поставте у відповідність множину всіх її розв’язків (А – Д).

Нерівність

1$5^{x-2}\gt1$

2$-\dfrac{2}{x+2}\gt0$

3$\log_2x\lt1$

4$x^2\lt4$

Множина всіх розв’язків нерівності

А$(-\infty;2)$

Б$(-2;2)$

В$(0;2)$

Г$(-\infty;-2)$

Д$(2;+\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, показникові, логарифмічні, квадратні нерівності.

1. $5^{x-2} \gt 1$, $5^{x-2} \gt 5^0$, $x - 2 \gt 0$, $x \gt 2$ ($y = 5^x$ зростаюча функція). $x \in (2; +\infty)$.
Отже, 1 – Д.

2. $-\dfrac{2}{x + 2} \gt 0$, $x + 2 \lt 0$, $x\lt -2$, $x \in (-\infty; -2).$

$-\dfrac{2}{x + 2}$, дріб додатний, коли чисельник та знаменник одного знаку. Значить, $x + 2 \lt 0.$ Отже, 2 – Г.

3. $\log_2 x \lt 1$, $\log_2 x \lt \log_2 2$ ($y = \log_2 x$ зростаюча функція), область допустимих значень $x \lt 2$, $x\gt 0.$

\begin{gather*} x \in (0; 2). \end{gather*}

Отже, 3 – B.

4. $x^2\lt 4$, $x^2 - 4\lt 0$, $(x - 2)(x + 2)\lt 0.$ Використовуємо метод інтервалів:

\begin{gather*} x \in (-2; 2). \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6336

Завдання 90 з 109

Розв'яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (0{,}5)^{1-2x}\gt (0{,}5)^{8+x},\\ \dfrac{4}{x-5}\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*} У відповіді запишіть кількість усіх цілих розв'язків цієї системи.

Якщо система має безліч цілих розв'язків, то у відповіді запишіть число $100.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та раціональні нерівності та їхні системи.

Функція $y = 0{,}5^x$ спадна, тому

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 1 - 2x \lt 8 + x, \\ x - 5 \lt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} -3x \lt 7, \\ x \lt 5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x \gt -\dfrac{7}{3}, \\ x \lt 5. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in \left(-2\frac{1}{3};\ 5\right). \end{gather*}

Цілі розв'язки: $-2$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $3$; $4.$

Отже, кількість цілих розв'язків – $7.$

Відповідь: $7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6307

Завдання 91 з 109

На рисунку зображено графік квадратичної функції $y=f(x)$, який перетинає вісь $Ox$ в точках $(1; 0)$ та $(4; 0).$ Знайдіть множину всіх розв'язків нерівності $x\cdot f(x)\lt 0.$

А$(0; 1)\cup (4; +\infty)$

Б$(4; +\infty)$

В$(-\infty; 1)\cup (4; +\infty)$

Г$(-\infty; 0)\cup (1; 4)$

Д$(-\infty; 0)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Квадратична функція $y = f(x)$ має від'ємний коефіцієнт $a$ у формулі \begin{gather*} y = ax^2 + bx + c. \end{gather*}

Розкладемо на множники \begin{gather*} x \cdot f(x) \lt 0,\\[7pt] -x(x - 1)(x - 4) \lt 0,\\[7pt] x(x - 1)(x - 4) \gt 0. \end{gather*} Розв'яжемо методом інтервалів

\begin{gather*} x \in (0; 1) \cup (4; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6300

Завдання 92 з 109

Розв'яжіть нерівність $2x\ge x^2.$

А$(-\infty; 0]\cup [2; +\infty)$

Б$[0; 2]$

В$(-\infty; -2]\cup [0; +\infty)$

Г$[-2; 0]$

Д$(-\infty; 2]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування квадратних нерівностей.

\begin{gather*} 2x \ge x^2,\\[7pt] x^2 - 2x \le 0,\\[7pt] x(x - 2) \le 0. \end{gather*}

$x = 0$, $x = 2$ – нулі функції. Розв'яжемо методом інтервалів.

\begin{gather*} x \in [0; 2]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6288

Завдання 93 з 109

Розв'яжіть нерівність $$ (18+2x)^2\cdot (x^2+8x+15)\le 0. $$ У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв'язків.

Впишіть відповідь:

-21

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності методом інтервалів, застосовувати методи та прийоми у процесі розв'язування нерівностей.

Розкладемо на множники квадратний тричлен за формулою:

$$ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), $$

де $x_1$, $x_2$ – корені тричлена.

\begin{gather*} x^2+8x+15=0,\\[7pt] D=8^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4,\\[6pt] x_1=\frac{-8+2}{2}=-3,\\[6pt] x_2=\frac{-8-2}{2}=-5. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} x^2+8x+15=(x+3)(x+5),\\[7pt] (18+2x)^2=(2(9+x))^2=4(x+9)^2,\\[7pt] 4(x+9)^2(x+3)(x+5)\le 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів. Нулі функції: $x=-9$, $x=-3$, $x=-5.$

$$ x\in [-5; -3]\cup\{-9\}. $$

Сума цілих розв'язків: $$ -5+(-4)+(-3)+(-9)=-21. $$

Відповідь: $-21.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6274

Завдання 94 з 109

Розв'яжіть нерівність $3+\log_2x\ge 0.$

А$\left[\frac 18; +\infty\right)$

Б$\left(0; \frac 18\right]$

В$\left(-\infty; \frac 18\right]$

Г$\left[8; +\infty\right)$

Д$\left[-6; +\infty\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3 + \log_2 x \ge 0,\\ x \gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \log_2 x \ge -3, \\ x \gt 0, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \log_2 x \ge \log_2 \frac{1}{8}, \\ x \gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge \frac{1}{8}, \\ x \gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

$$ x \in \left[\frac{1}{8}; \infty \right). $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6266

Завдання 95 з 109

Знайдіть усі значення $x,$ при яких значення виразу $2-5x$ належить проміжку $(-3; 6).$

А$-1\lt x\lt 0\mathord{,}8$

Б$-0\mathord{,}8\lt x\lt 1$

В$0\lt x\lt 9$

Г$-1\mathord{,}6\lt x\lt 0\mathord{,}2$

Д$-0\mathord{,}2\lt x\lt 1\mathord{,}6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних нерівностей.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей першого степеня.

$$ -3\lt 2-5x\lt 6 $$

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2-5x\gt -3,\\ 2-5x\lt 6, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} -5x\gt -5,\\ -5x\lt 4, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -\frac 45. \end{array} \right. $$

$-0\mathord{,}8\lt x\lt 1.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6259

Завдання 96 з 109

Розв’яжіть нерівність $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\textstyle x^2-x}\gt8^{\textstyle x-5}$.

У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків цієї нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

-7

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові та квадратні нерівності та їхні системи.

Зведемо обидві частини нерівності до однакової основи.

\begin{gather*} 2^{\textstyle -x^2 + x}\gt (2^{\textstyle 3})^{\textstyle x - 5};\\[7pt] 2^{\textstyle -x^2 + x}\gt 2^{\textstyle 3x - 15}. \end{gather*}

Функція $y = 2^{\textstyle x}$ зростає, тому

\begin{gather*} -x^2+x\gt 3x - 15;\\[7pt] -x^2-2x+15\gt 0;\\[7pt] x^2+2x-15\lt 0.\\[7pt] x^{2} + 2x - 15 = 0;\\[7pt] D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64;\\[6pt] x_1=\frac{-2 + 8}{2} = 3;\\[6pt] x_2=\frac{-2 - 8}{2} = -5. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-5; 3). \end{gather*}

Сума цілих розв’язків:

\begin{gather*} -4 + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -7. \end{gather*}

Відповідь: $-7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6241

Завдання 97 з 109

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, яка визначена на відрізку $[-4;6]$. Укажіть усі значення $x$, для яких виконується нерівність $f(x)\ge2$?

А$\{2\}\cup[3;5]$

Б$[-4;3]\cup[5;6]$

В$[3;5]$

Г$[2;4]$

Д$\{-1\}\cup[3;5]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння графічним методом.

$f(x) \ge 2$ розв’язком є проміжок, на якому графік функції $f(x)$ вище графіка $y = 2$, або точки їх перетину.

Отже, $x \in \{-1\} \cup [3; 5].$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6233

Завдання 98 з 109

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac\pi4\right)^{\textstyle x}\lt\left(\dfrac4\pi\right)^3$.

А$(-3; +\infty)$

Б$(3; +\infty)$

В$(-\infty; 3)$

Г$(-\infty; -3)$

Д$\left(-\infty; \dfrac 13\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\frac{4}{\mathbf{\pi}}\right)^3,\\[6pt] \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{-3}. \end{gather*}

Використаємо властивість показникової функції. \begin{gather*} \frac{\mathbf{\pi}}{4}\lt 1. \end{gather*}

Функція $y=a^x$ при $0\lt a\lt 1$ спадає.

Тому нерівність $ \left(\dfrac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\dfrac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{-3}$ рівносильна нерівності $x\gt -3.$

Отже, $x\in (-3; +\infty).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6193

Завдання 99 з 109

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності $\log_{\textstyle \frac14}(x^2+6x)\ge-2$.

Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні та квадратичні нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac 14}(x^2 + 6x) \ge -2;\\[6pt] \log_{\textstyle \frac 14}(x^2 + 6x) \ge \log_{\textstyle \frac 14} 16. \end{gather*}

Функція $y = \log_{\textstyle \frac 14} x$ спадна. Отже,

\begin{gather*} \begin{cases} x^2 + 6x \le 16, \\ x^2 + 6x\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2 + 6x - 16 \le 0, \\ x(x + 6)\gt 0, \end{cases}\\[7pt] x^2 + 6x - 16 = 0;\\[7pt] D = 36 - 4 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100;\\[6pt] x_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8.\\[7pt] \begin{cases} (x - 2)(x + 8)\le 0, \\ x(x + 6)\gt 0. \end{cases} \end{gather*}

Розв'язуємо методом інтервалів:

\begin{gather*} x\in [-8; -6)\cup (0; 2]. \end{gather*}

Цілі розв'язки: $x = -8$; $-7$; $1$; $2.$

Кількість цілих розв'язків – $4.$

Відповідь: $4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6187

Завдання 100 з 109

Розв’яжіть нерівність $10-3x\gt4$.

А$(-2;+\infty)$

Б$(2;+\infty)$

В$(-3;+\infty)$

Г$(-\infty;-2)$

Д$(-\infty;2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 10 - 3x \gt 4;\\[7pt] -3x \gt 4 - 10;\\[7pt] -3x \gt -6;\\[7pt] x \lt 2. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6157

Завдання 101 з 109

Ha рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, що визначена на проміжку $(-\infty;+\infty)$ i має лише три нулі.

Розв'яжіть систему $\begin{cases}f(x)\ge0, \\ x^2+x-6\gt0.\end{cases}$

У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування раціональних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь, нерівностей та їхніх систем.

Розв’яжемо нерівність $x^2 + x - 6 \gt 0$

\begin{gather*} x^2 + x - 6 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25;\\[6pt] x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3. \end{gather*}

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x \in [-1; 6] \cup \{9\},\\ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty). \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’язок системи $x \in (2; 6] \cup \{9\}.$

Сума цілих розв’язків:

\begin{gather*} 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6155

Завдання 102 з 109

Розв'яжіть нерівність $\log_{0{,}5}(x-1)\gt2$.

А$(1;1{,}25)$

Б$(2;+\infty)$

В$(1{,}25;+\infty)$

Г$(0;0{,}25)$

Д$(-\infty;1{,}25)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція $y = \log_{\textstyle 0{,}5}(x - 1)$ спадна. Отже,

\begin{gather*} x - 1 \lt 0{,}5^2;\\[7pt] x - 1 \lt 0{,}25;\\[7pt] x \lt 1{,}25. \end{gather*}

ОДЗ: $x - 1 \gt 0$, $x \gt 1.$

Розв’язок нерівності:

\begin{gather*} x \in (1;\ 1{,}25). \end{gather*}

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6144

Завдання 103 з 109

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{3x}{x+1}\lt\dfrac{7}{x+1}$.

А$\left(-1;\dfrac73\right)$

Б$(-\infty;-1)$

В$(-\infty;-1)\cup\left(\dfrac73;+\infty\right)$

Г$(-\infty;-1)\cup\left(-1;\dfrac73\right)$

Д$\left(-\infty;\dfrac73\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Означення нерівності з однією змінною, розв’язки нерівності з однією змінною.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \frac{3x}{x + 1} \lt \frac{7}{x + 1};\\[6pt] \frac{3x}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} \lt 0;\\[6pt] \frac{3x - 7}{x + 1} \lt 0. \end{gather*}

Розв’язуємо методом інтервалів:

\begin{gather*} 3x - 7 = 0;\\[7pt] 3x = 7;\\[6pt] x = \frac 73. \end{gather*}

\begin{gather*} x + 1 \ne 0;\\[7pt] x \ne -1;\\[7pt] x \in \left(-1;\ \frac 73\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6135

Завдання 104 з 109

Розв'яжіть нерівність $(x+4)(x-7)\gt3(x-7)$.

А$(7;+\infty)$

Б$(-1;7)$

В$(-1;7)\cup(7;+\infty)$

Г$(-1;+\infty)$

Д$(-\infty;-1)\cup(7;+\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} (x + 4)(x - 7)\gt 3(x - 7);\\[7pt] (x + 4)(x - 7) - 3(x - 7) \gt 0;\\[7pt] (x - 7)(x + 4 - 3) \gt 0;\\[7pt] (x - 7)(x + 1) \gt 0. \end{gather*}

Розклавши на множники, розв’яжемо методом інтервалів:
$x = 7$; $x = -1$ – нулі функції.

\begin{gather*} x \in (-\infty; -1) \cup (7; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6106

Завдання 105 з 109

Використовуючи зображені на рисунку графіки функцій, розв'яжіть нерівність $2^x\gt-x+3$.

А$(-\infty;2)$

Б$(1;+\infty)$

В$(0;1)$

Г$(-\infty;1)$

Д$(2;+\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Графічний розв'язок нерівності $2^x \gt -x + 3$ – це значення $x$, при яких графік функції $y = 2^x$ розташований вище від графіка функції $y = -x + 3.$

Отже, $x \in (1; +\infty).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6094

Завдання 106 з 109

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{1}{x-5}\lt 0.$

А$(-\infty; 5)$

Б$(-\infty; -5)$

В$(-\infty; 5)\cup (5; +\infty)$

Г$(-5; +\infty)$

Д$(5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, властивостей нерівностей.

Дріб менше за нуль, якщо $x - 5 \lt 0$, $x\lt 5.$

\begin{gather*} x \in (-\infty; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5322

Завдання 107 з 109

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{3}{x-2}+\dfrac 4x\ge 1.$ У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв'язків.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

\begin{gather*} \frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}\ge 1,\\[6pt] \frac{3x+4(x-2)}{x(x-2)}\ge 1,\\[6pt] \frac{3x+4x-8}{x(x-2)}-1\ge 0,\\[6pt] \frac{7x-8-x^{2}+2x}{x(x-2)}\ge 0,\\[6pt] \frac{9x-8-x^{2}}{x(x-2)}\ge 0. \end{gather*}

Pозкладемо на множники чисельник

\begin{gather*} \frac{-(x-8)(x-1)}{x(x-2)}\ge 0,\\[6pt] \frac{(x-8)(x-1)}{x(x-2)}\le 0. \end{gather*}

Розв'язуємо нерівність методом інтервалів:

$x=8$, $x=1$, $x\ne 0$, $x\ne 2$, $x\in (0; 1]\cup (2; 8].$

Сума цілих розв'язків: $1+3+4+5+6+7+8=34.$

Відповідь: $34.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4328

Завдання 108 з 109

Укажіть нерівність, що виконується для $\alpha\in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right).$

А$1-\sin^2 \alpha\lt 0$

Б$\cos \alpha\cdot \mathrm{tg}\ \alpha\lt 0$

В$\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha\lt 0$

Г$1-\cos^2 \alpha\lt 0$

Д$\sin \alpha\cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними. Функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей тригонометричних функцій.

Спростимо вираз зліва:

А $1 - \sin^2 \alpha \lt 0$, $\cos^2 \alpha \lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Б \begin{gather*} \cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \alpha \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} не виконується.

В $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \lt 0$, $1\lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Г $1 - \cos^2 \alpha \lt 0$, $\sin^2 \alpha \lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Д \begin{gather*} \sin \alpha \cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} виконується.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4320

Завдання 109 з 109

Розв'яжіть нерівність $2^{\textstyle x}\le 3.$

А$\left(-\infty; \log_23\right]$

Б$\left(0; \log_23\right]$

В$\left(-\infty; \frac 32\right]$

Г$\left(-\infty; \log_32\right]$

Д$\left[\log_23; +\infty\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, знання основної логарифмічної тотожності.

\begin{gather*} 2^x \le 3,\\[7pt] 2^x \le 2^{\log_2 3},\\[7pt] \end{gather*}

($3 = 2^{\log_2 3}$ за основною логарифмічною тотожністю).

Функція $y = 2^x$ – зростаюча, тому $$ x \le \log_2 3. $$ Отже, $x \in (-\infty; \log_2 3].$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4317

Новини

Коли відбудеться реєстрація на НМТ-2027?
Найбільше бюджетників буде серед майбутніх учителів, медиків та інженерів
Дев’ять із десяти вступників отримали рекомендації за 1–3 пріоритетом

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Алгебра і початки аналізу – Нерівності та системи нерівностей