Первісна та визначений інтеграл – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Завдання 1 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна і визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислімо площу зафарбованої фігури за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Визначмо точку перетину графіків $y=9$ та $y=x^3+1.$ Для цього прирівняймо їхні вирази:

\begin{gather*} x^3+1=9;\\[7pt] x^3=9-1;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Площу $S$ фігури, що обмежена зверху графіком $y=9$ (верхня), знизу – $y=x^3+1$, а зліва – прямою $x=0$, обчислімо за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^2 (9-(x^3+1))\ dx=\mathop{\int}\limits_0^2 (8-x^3)\ dx=\left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Big |_0^2;\\[6pt] S=\mathop{\int}\limits_0^2 \left(8\cdot 2-\frac{2^4}{4}\right)-\left(8\cdot 0\cdot \frac{0^4}{4}\right)=\left(16-\frac{16}{4}\right)-(0-0)=16-4=12. \end{gather*}

Застосували формулу Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її первісна.

Відповідь: $12.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 2 з 53

Визначте первісну функції $f(x)=3\cos x-x.$

А$F(x)=3\sin x-\dfrac{x^2}{2}$

Б$F(x)=3\sin x-1$

В$F(x)=-3\sin x-\dfrac{x^2}{2}$

Г$F(x)=3\sin x$

Д$F(x)=-3\sin x-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C,\ C\) – довільна стала
\(x^\alpha,\ \alpha\ne -1\)	\(\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha+1}+C\)
\(\cos x\)	\(\sin x+C\)

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 3 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 4 з 53

Визначте для функції $f(x)=3x+1$ первісну, графік якої проходить через точку $M(0; 1).$

А$F(x)=3x^2+1$

Б$F(x)=\dfrac 32x^2+x+1$

В$F(x)=\dfrac 32x^2$

Г$F(x)=3$

Д$F(x)=3x^2+x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 5 з 53

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_0^2 (f(x)+6)\ dx$, якщо $\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx=8.$

А$20$

Б$14$

В$2$

Г$28$

Д$48$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 6 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 7 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 8 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 9 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 10 з 53

Визначте загальний вигляд первісних функції $f(x)=4x-\dfrac{3}{\cos^2 x}.$

А$F(x)=2x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Б$F(x)=4x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

В$F(x)=2x^2+3\mathrm{tg}\ x+C$

Г$F(x)=x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Д$F(x)=2x^2-\dfrac{3}{\mathrm{tg}\ x}+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 11 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 12 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 13 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Зафарбована фігура – прямокутник. Його основа лежить на осі $Ox$ від $-3$ до $0.$

Довжина основи $a=3$

Площа прямокутника \begin{gather*} S=a\cdot b, \end{gather*} де $a$ - ширина, $b$ - висота.

За умовою $S = 8.$

Звідси висота (відстань від осі $Ox$ до графіка) дорівнює $\frac 83.$

Оскільки графік розташований нижче від осі $Ox$, значення функції від'ємне: \begin{gather*} f(x)=-\frac 83. \end{gather*}

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він дорівнює різниці площі фігури над віссю $Ox$ і площі фігури під віссю $Ox.$ Весь проміжок інтегрування — від $-3$ до $3.$

Оскільки функція $f(x)=-\frac 83$ є сталою на всьому проміжку, шукаймо інтеграл від сталої:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-3}^3 \left(-\frac 83\right)\ dx=-\frac 83\cdot x\left|_{-3}^3\right.=-\frac 83\cdot 3-\left(-\frac 83\right)\cdot (-3)=\\[6pt] =-\frac{8\cdot 3}{3}-\frac{8\cdot 3}{3}=-8-8=-16. \end{gather*}

Відповідь: $-16.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 14 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 15 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: $(0; 0)$ – точка початку координат; точка $(4; 6).$

Отже, межі інтегрування – від $0$ до $4.$

Графік функції $y=3\sqrt{x}$ проходить вище за пряму $y=\frac 32x.$

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

\begin{gather*} \mathop{\int} 3\sqrt{x}\ dx=3\mathop{\int} x^{\frac 12}\ dx=3\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}=3\cdot \frac 23\cdot x\sqrt{x}=2x\sqrt{x};\\[6pt] \mathop{\int} \frac 32x\ dx=\frac 32\cdot \frac{x^2}{2}=\frac 34x^2. \end{gather*}

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \left|_a^b\right.=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її перевісна.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx=\left(2x\sqrt{x}-\frac 34x^2\right)\left|_0^4\right.=\\[6pt] =\left(2\cdot 4\cdot \sqrt{4}-\frac 34\cdot 16\right)-2\cdot 0\cdot \sqrt{0}-\frac 34\cdot 0=(16-12)-0=4. \end{gather*}

Відповідь: $4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 16 з 53

Позначте формулу для обчислення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ і $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2) dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2-2^x) dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x) dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2^x-2) dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 17 з 53

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_1^5 3f(x)dx,$ якщо $ \mathop{\int}\limits_1^5 f(x)dx=14.$

А$11$

Б$42$

В$17$

Г$\frac{14}{3}$

Д$52$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 18 з 53

Позначте формулу для визначення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ та прямою $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^2 2^x\ dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x\ dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2)\ dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_0^2 (2-2^x)\ dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 19 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 20 з 53

Визначте загальний вигляд первісних для функції $f(x)=2e^x+1.$

А$F(x)=2e^x+C$

Б$F(x)=2e^x+x+C$

В$F(x)=e^{x^2}+C$

Г$F(x)=e^{x^2}+x+C$

Д $F(x)=\frac{2e^{x+1}}{x+1}+x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 21 з 53

Обчисліть площу $S$ заштрихованої фігури, обмеженої графіком функції $y=e^x$, віссю абсцис і прямою $x=1.$

А$S=e+1$

Б$S=e$

В$S=1$

Г$S=1-e$

Д$S=e-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 22 з 53

Для функції $f(x)=4x-3$ знайдіть первісну $F(x)$, графік якої проходить через точку $A(0; 1).$

А$F(x)=4$

Б$F(x)=2x^2-3x+1$

В$F(x)=4x^2-3x$

Г$F(x)=2x^2+1$

Д$F(x)=4x^2-3x+1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 23 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 24 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 25 з 53

У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій $y=f(x)$ і $y=3$ (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі $S$ цієї фігури.

А$S=\int_{-1}^{3}(f(x)-3)dx$

Б$S=\int_{-1}^{3}(3-f(x))dx$

В$S=\int_{0}^{4}(f(x)+3)dx$

Г$S=\int_{0}^{4}(f(x)-3)dx$

Д$S=\int_{0}^{4}(3-f(x))dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 26 з 53

Яка з наведених функцій є первісною для функції $f(x)=x^{-4}$?

А$F(x)=-\frac{1}{5x^5}$

Б$F(x)=-\frac{3}{x^5}$

В$F(x)=-\frac{4}{x^5}$

Г$F(x)=-\frac{5}{x^5}$

Д$F(x)=-\frac{1}{3x^3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 27 з 53

Функція $F(x)=10x^5-4$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $G(x)$, яка також є первісною функції $f(x).$

А$G(x)=10x^5+7$

Б$G(x)=2x^6-4x$

В$G(x)=50x^6$

Г$G(x)=50x^4$

Д$G(x)=x^5-4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 28 з 53

Функція $F(x)=5x^4-1$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $G(x)$, яка також є первісною функції $f(x).$

А$G(x)=x^5-x$

Б$G(x)=5x^4-x$

В$G(x)=20x^3$

Г$G(x)=5x^4+1$

Д$G(x)=x^4-5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 29 з 53

Функція $F(x)=2x^3-1$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $f(x).$

А$f(x)=6x^2-1$

Б$f(x)=6x-1$

В$f(x)=4x^2$

Г$f(x)=\frac{x^4}{2}-x$

Д$f(x)=6x^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 30 з 53

На рисунку зображено графіки функцій $y=\sqrt{x}$ та $y=\frac{x}{2}.$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$S=\mathop{\int}\limits_0^2\left(\sqrt{x}-\frac x2\right)dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^2\left(\frac x2-\sqrt{x}\right)dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\sqrt{x}-\frac x2\right)dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\frac x2-\sqrt{x}\right)dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\frac x2+\sqrt{x}\right)dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 31 з 53

На рисунку зображено графіки функцій $y=f(x)$ i $y=g(x).$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$S=\mathop{\int}\limits_1^4(f(x)-g(x))dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_1^4(g(x)-f(x))dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_2^7(f(x)+g(x))dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_2^7(f(x)-g(x))dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_2^7(g(x)-f(x))dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 32 з 53

На рисунку зображено графік непарної функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[–5; 5].$ Яке з наведених співвідношень є справедливим для $f(x)$?

А$\mathop{\int}\limits_{-3}^0f(x)dx\lt 0$

Б$\mathop{\int}\limits_{0}^3f(x)dx\gt 0$

В$\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx\lt 0$

Г$\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx\gt 0$

Д$\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx=0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 33 з 53

Знайдіть первісну функції $f(x)=2x+2$, графік якої проходить через точку з координатами $(1;4)$.

А$F(x)=x^2+2x$

Б$F(x)=x^2+2x+1$

В$F(x)=x^2+2x+2$

Г$F(x)=x^2+2x-4$

Д$F(x)=x^2+2x-23$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 34 з 53

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$\int\limits^{1}_{-1}f(x)dx$

Б$\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx-\int\limits^{1}_{0}f(x)dx$

В$\int\limits^{1}_{0}f(x)dx-\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx$

Г$2\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx$

Д$2\int\limits^{1}_{0}f(x)dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 35 з 53

Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А$\frac 12$

Б$\frac{\sqrt{3}}{2}$

В$1$

Г$\sqrt{2}$

Д$\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 36 з 53

Обчисліть інтеграл $ \mathop{\int}\limits_0^2(f(x)+6)dx, $ якщо $ \mathop{\int}\limits_0^2f(x)dx=8. $

А$20$

Б$14$

В$2$

Г$28$

Д$48$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 37 з 53

На рисунку зображено графіки функцій $y=f(x)$ i $y=g(x).$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$S=\mathop{\int}\limits_1^4 (f(x)-g(x))dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_1^4 (g(x)-f(x))dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_2^7 (f(x)+g(x))dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_2^7 (f(x)-g(x))dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_2^7 (g(x)-f(x))dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 38 з 53

Використовуючи формулу Ньютона - Лейбніца, обчисліть $\mathop{\int}\limits_1^2 6x^2dx.$

А$12$

Б$14$

В$18$

Г$22$

Д$42$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца.

Це завдання перевіряє знання таблиці первісних основних елементарних функцій та вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для знаходження визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона - Лейбніца:

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a), $$

де $F(x)$ – будь-яка первісна функції $f(x)$ на відрізку $[a; b].$

Нагадаємо, що функція $F(x)$ називається первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(a; b)$, якщо для будь-якого $x\in (a; b)$ виконується рівність $F'(x)=f(x).$

Визначимо одну з первісних функції $y=6x^2.$

Правило знаходження первісних. Якщо $F_1(x)$ – первісна функції $f_1(x)$, а $\mathrm{C}$ – довільна стала, то $$ F(x)=\mathrm{C}F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=\mathrm{C}f_1(x). $$

Отже, $$ F(x)=6F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=6x^2, $$ де $F_1(x)$ – первісна функції $f_1(x)=x^2.$

Однією з первісних степеневої функції $x^n$, причому $n\ne -1$, є $$ \frac{x^{n+1}}{n+1}. $$ Тому $$ F_1(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}. $$ Отже, $$ F(x)=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3. $$ Тоді

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^2 6x^2dx=\left.2x^3\right|_1^2=2\cdot (2^3-1^3)=14. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 39 з 53

Укажіть первісну $F(x)$ для функції $f(x)=\frac{1}{2x}.$

А$F(x)=\frac{1}{x^2}$

Б$F(x)=\frac{1}{2}\ln |x|$

В$F(x)=-\frac{1}{2x^2}$

Г$F(x)=2\ln |x|$

Д$F(x)=\ln |2x|$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 40 з 53

На рисунку зображено графік неперервної функції $y=f(x).$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$\mathop{\int}\limits_{-1}^1 f(x)dx$

Б$2\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

В$\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$

Г$2\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$

Д$\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Це завдання перевіряє вміння використовувати геометричний зміст визначеного інтеграла у задачах на обчислення площ плоских фігур.

Нагадаємо, що плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної функції $y=f(x)$, віссю $x$ і прямими $x=a$ та $x=b$, де $a\lt b$, називають криволінійною трапецією. Площу цієї трапеції можна обчислити за формулою $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx. $$

Якщо для всіх $x\in [a; b]$ виконується нерівність $f(x)\le 0$, то площа $S$ фігури, обмеженої графіком функції $y=f(x)$, відрізком $[a; b]$ осі $x$ і прямими $x=a$ та $x=b$, обчислюється за формулою

$$ S=\mathop{\int}\limits_a^b (-f(x))dx=-\mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx. $$

Якщо відрізок $[a; b]$ розбити точкою $c$ на два відрізки, то

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=\mathop{\int}\limits_a^c f(x)dx+\mathop{\int}\limits_c^b f(x)dx. $$

З рисунка видно, що графік функції $y=f(x)$ на проміжку $[-1; 0]$ розміщений над віссю абсцис, а на проміжку $[0; 1]$ – під віссю абсцис.

Зображена фігура на проміжку $[-1; 0]$ обмежена зверху графіком функції $y=f(x)$, а знизу – графіком функції $y=0$, тому площу цієї криволінійної трапеції обчислюємо за формулою $$ S_1=\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx. $$ На проміжку $[0; 1]$ зверху фігура обмежена графіком функції $y=0$, а знизу – графіком функції $y=f(x)$, тому площу цієї фігури (зазначимо, що згідно означення ця фігура не є криволінійною трапецією) обчислюємо за формулою $$ S_2=-\mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx. $$ Отже, площу зафарбованої фігури обчислюємо як суму двох площ (інтегралів):

$$ S=S_1+S_2=\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx-\mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 41 з 53

Визначте для функції $f(x)=2x+2$ первісну, графік якої проходить через точку $(1; 4).$

А$F(x)=2x^2+2x$

Б$F(x)=x^2+2x+1$

В$F(x)=x^2+2x+2$

Г$F(x)=x^2+2x-4$

Д$F(x)=2x^2+x+1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції, графік якої проходить через задану точку.

Нагадаємо, що функція $F(x)$ називається первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(a; b)$, якщо для будь-якого $x \in (a; b)$ виконується рівність $F'(x) = f(x).$

Якщо $F(x)$ – первісна для функції $f(x)$, то для цієї функції існує безліч первісних і всі ці первісні мають вигляд $F(x) + C$, де $C \in R$ – довільна стала.

Правило знаходження первісних. Якщо $F_{1}(x)$ – первісна для функції $f_{1}(x)$, а $F_{2}(x)$ – первісна для функції $f_{2}(x)$, то $F_{1}(x) + F_{2}(x)$ є первісною для $f_{1}(x) + f_{2}(x).$

У нашому випадку $f_{1}(x) = 2x$, $f_{2}(x) = 2$, тоді $F_{1}(x) = x^{2}$, оскільки $(x^{2})' = 2x$, $F_{2}(x) = 2x$, оскільки $(2x)' = 2.$

Отже,

$$ F(x) = F_{1}(x) + F_{2}(x) + C = x^{2} + 2x + C $$

загальний вигляд первісної для функції $$ f(x) = 2x + 2, $$ де $C$ – довільна стала.

Якщо графік первісної $y = F(x)$ проходить через точку $(1; 4)$, то виконується умова $4 = F(1).$ Підставивши у рівняння первісної $$ F(x) = x^{2} + 2x + C $$ значення $x = 1$ і $F(1) = 4$, отримаємо: $$ 4 = 1 + 2 + C, $$ звідки $C = 1$. Отже, первісна функції $y = 2x + 2$, що проходить через точку $(1; 4)$, має вигляд $$ F(x) = x^{2} + 2x + 1. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 42 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 43 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 44 з 53

Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А$\frac32$

Б$\frac{2-\sqrt3}2$

В$1$

Г$\frac{\sqrt3}2$

Д$\frac12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 45 з 53

Яка з наведених функцій є первісною для функції $f(x)=2+\sin2x$?

А$F(x)=2x-\dfrac{\cos2x}{2}$

Б$F(x)=2x+\dfrac{\cos2x}{2}$

В$F(x)=2x+2\cos2x$

Г$F(x)=2\cos2x$

Д$F(x)=2x-\cos2x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 46 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 47 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 48 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 49 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 50 з 53

Функція $F(x)=6\sin(2x)-1$ є первісною функції $f(x)$. Знайдіть функцію $f(x)$.

А$f(x)=-12\cos(2x)$

Б$f(x)=6\cos(2x)$

В$f(x)=12\cos(2x)$

Г$f(x)=-3\cos(2x)-x+C$

Д$f(x)=-6\cos(2x)-x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 51 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 52 з 53

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 53 з 53

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[0; 11]$ та диференційовної на проміжку $(0; 11).$ Установіть відповідність між числом (1–4) та проміжком (А–Д), якому належить це число.

Число

1$f(8)$

2$f'(7)$

3найменше значення функції $y=f(x)$ на її області визначення

4$\mathop{\int}\limits_1^3 f(x)\ dx$

Проміжок

А$(-\infty; -2]$

Б$(-2; -0\mathord{,}5]$

В$(-0\mathord{,}5; 2]$

Г$(2; 4]$

Д$(4; +\infty]$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}0\end{gather}	\begin{gather}C\end{gather}
\begin{gather}x^{\alpha},\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}
\begin{gather}\frac{1}{\cos^2 x}\end{gather}	\begin{gather}\mathrm{tg}\ x+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Алгебра і початки аналізу – Первісна та визначений інтеграл