Первісна та визначений інтеграл – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Функції
Тема: Первісна та визначений інтеграл
Кількість завдань: 65

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 65

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[0; 11]$ та диференційовної на проміжку $(0; 11).$ Установіть відповідність між числом (1–4) та проміжком (А–Д), якому належить це число.

Число

1$f(8)$

2$f'(7)$

3найменше значення функції $y=f(x)$ на її області визначення

4$\mathop{\int}\limits_1^3 f(x)\ dx$

Проміжок

А$(-\infty; -2]$

Б$(-2; -0\mathord{,}5]$

В$(-0\mathord{,}5; 2]$

Г$(2; 4]$

Д$(4; +\infty]$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіком, знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

1. При $x=8$ значення функції $f(8)=3{,}5.$ Число $3{,}5$ належить проміжку $(2; 4]$.
Отже, 1 – Г.

2. Дотична до графіка функції $f(x)$ в точці $x=7$ паралельна осі $Ox.$ Тоді $f'(7)=k=\mathrm{tg}\ 90^\circ=0.$ Число $0$ належить проміжку $(-0{,}5; 2].$
Отже, 2 – В.

3. Найменше значення функції $f(x)$ на її області визначення дорівнює $f(0)=-3{,}5.$ Число $-3{,}5$ належить проміжку $(-\infty; -2].$
Отже, 3 – А.

4. Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа криволінійної трапеції. З рисунка бачимо, що $$ -2\lt \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx \lt 0. $$

Тобто

$$ \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx\ \in (-2; -0{,}5]. $$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A, 4 – Б.

Тест 1. Завдання: 4325

Завдання 2 з 65

Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції $y=\dfrac{22}{3}-(x+1)^2$ і прямими $y=\dfrac x3$, $x=-1$ та $x=1.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Ляйбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площа фігури, обмеженої лініями

\begin{gather*} y = -(x + 1)^2 + \frac{22}{3},\\[6pt] y = \frac{1}{3}x,\\[6pt] x = -1,\\[7pt] x = 1. \end{gather*}

Побудуємо графіки параболу та пряму:

$y = x^2$ перетворимо $y{:}$ $y = -(x + 1)^2 + \dfrac{22}{3}$ за допомогою елементарних перетворень: перенесемо вліво на $1$ одиницю вздовж осі $Ox$, симетрично відобразимо відносно осі $Ox$ та піднімемо вгору на $\dfrac{22}{3}$ одиниці.

За формулою Ньютона – Ляйбніца

\begin{gather*} S_\text{ф} = \mathop{\int}\limits_{-1}^{1}\left(\frac{22}{3} - (x + 1)^2 - \frac{x}{3}\right)\ dx = \mathop{\int}\limits_{-1}^{1}\left(\frac{22}{3} - x^2 - 2x - 1 - \frac{x}{3}\right)\ dx =\\[6pt] = \mathop{\int}\limits_{-1}^{1}\left(\frac{19}{3} - x^2 - \frac{7}{3}x\right)\ dx = \left(\frac{19}{3}x - \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{6}\right)\Big|_{-1}^{1} =\\[6pt] = \left(\frac{19}{3} - \frac{1}{3} - \frac{7}{6}\right) - \left(-\frac{19}{3} + \frac{1}{3} - \frac{7}{6}\right) = 12\ \text{кв.од.} \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Тест 2. Завдання: 5344

Завдання 3 з 65

Обчисліть $\displaystyle\int\limits_0^7f(x)dx$, використовуючи зображений нa рисунку графік лінійної функції $y=f(x)$.

Впишіть відповідь:

38.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Застосуємо геометричний зміст визначеного інтеграла – площа фігури, обмеженої графіком функції та віссю $Ox.$

Дана фігура – прямокутна трапеція $OABC$ з основами $OA = 3$, $BC = 8$ та висотою $OC = 7.$ Отже,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^{7} = S_{OABC} = \frac{OA + BC}{2}\cdot OC = \frac{3 + 8}{2}\cdot 7 = \frac{11}{2}\cdot 7 = 5{,}5\cdot 7 = 38{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $38{,}5.$

Тест 121. Завдання: 6119

Завдання 4 з 65

Функція $F(x)=6\sin(2x)-1$ є первісною функції $f(x)$. Знайдіть функцію $f(x)$.

А$f(x)=-12\cos(2x)$

Б$f(x)=6\cos(2x)$

В$f(x)=12\cos(2x)$

Г$f(x)=-3\cos(2x)-x+C$

Д$f(x)=-6\cos(2x)-x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну функції, знання правила знаходження первісних.

Первісна $F(x) = 6\sin(2x) - 1.$

За означенням первісної функції

\begin{gather*} F'(x) = f(x) = 6 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' - 1' = 12\cos2x. \end{gather*}

Відповідь: В.

Тест 122. Завдання: 6145

Завдання 5 з 65

Обчисліть $\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\ dx$, використовуючи рівняння кола $x^2+y^2=25$, зображеного на рисунку.

Впишіть відповідь:

6.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

$\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx$ – площа фігури, обмеженої графіком функції $y=\sqrt{25-x^2}$,
$y \ge 0$, $x \in [-5; 0].$

\begin{gather*} S_{\text{фігури}}=\frac{1}{4}S_{\text{кола}}=\frac{1}{4}\mathrm{\pi}R^2=\frac{1}{4}\mathrm{\pi}\cdot 25=\frac{25}{4}\mathrm{\pi},\\[6pt] \frac{1}{\mathrm{\pi}}\mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx=\frac{1}{\mathrm{\pi}}\cdot \frac{25\mathrm{\pi}}{4}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}=6{,}25. \end{gather*}

Відповідь: $6{,}25.$

Тест 3. Завдання: 6207

Завдання 6 з 65

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: $y=2\sin x$, $y=\cos x$, $x=\dfrac{\pi}{2}$, $x=\pi$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати визначений інтеграл до знаходження площі криволінійної трапеції.

Побудуємо схематично графіки функцій:

$x = \dfrac{\pi}{2}$, $x = \pi$ – границі інтегрування.

Площу фігури знайдемо за допомогою визначеного інтеграла (від «верхньої лінії» віднімемо «нижню лінію»):

\begin{gather*} S_\text{фігури}=\mathop{\int}\limits_{\dfrac{\pi}{2}}^{\textstyle \pi} (2\sin x-\cos x)\ dx=(-2\cos x-\sin x)\bigg|_{\dfrac{\pi}{2}}^{\textstyle \pi}=\\[6pt] =(-2\cos \pi-\sin \pi)-\left(-2\cos \frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{2}\right)=-2(-1)-0-(-2\cdot 0-1)=\\[7pt] =2+1=3\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Відповідь: $3.$

Тест 124. Завдання: 6244

Завдання 7 з 65

Обчисліть $$ \mathop{\int}\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 5\mathrm{ctg}\ x\sin x\ dx. $$

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 5\mathrm{ctg}\ x\cdot \sin x\ dx= \mathop{\int}\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 5\cdot \frac{\cos x}{\sin x}\cdot \sin x\ dx=\\[6pt] =5\mathop{\int}\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\ dx=\left. 5\sin x\right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}=5\left(\sin \frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{6}\right)=\\[6pt] =5\left(1-\frac 12\right)=5\cdot \frac 12=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Тест 125. Завдання: 6273

Завдання 8 з 65

У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції $y=\dfrac{x^3}{2}+x$ і пряму, задану рівнянням $x=a$ (див. рисунок). При якому додатному значенні $a$ площа заштрихованої фігури дорівнюватиме $40$ кв. од.?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу криволінійної трапеції знаходимо за допомогою визначеного інтеграла. За умовою площа дорівнює $40$ кв.од. Отже,

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^a\left(\frac{x^3}{2} + x\right)dx = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^a =\\[6pt] =\left(\frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{2}x^2\right)\Bigg|_0^a = \frac{1}{8}a^4 + \frac{1}{2}a^2 = 40. \end{gather*}

Розв'яжемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{1}{8}a^4 + \frac{1}{2}a^2 = 40,\\[7pt] a^4 + 4a^2 - 320 = 0. \end{gather*}

Нехай

\begin{gather*} a^2 = t \gt 0,\\[7pt] t^2 + 4t - 320 = 0,\\[7pt] D = 16 + 4 \cdot 320 = 16 + 1280 = 1296,\\[6pt] t_1 = \frac{-4 + 36}{2} = 16,\\[6pt] t_2 = \frac{-4 - 36}{2} = -20 \notin t \gt 0,\\[6pt] a^2 = 16,\\[7pt] a = \pm 4. \end{gather*}

За умовою $a \gt 0,$ тому $a = 4.$

Відповідь: $4.$

Тест 126. Завдання: 6311

Завдання 9 з 65

Яка з наведених функцій є первісною для функції $f(x)=2+\sin2x$?

А$F(x)=2x-\dfrac{\cos2x}{2}$

Б$F(x)=2x+\dfrac{\cos2x}{2}$

В$F(x)=2x+2\cos2x$

Г$F(x)=2\cos2x$

Д$F(x)=2x-\cos2x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, застосовуючи її основні властивості.

Первісна для даної функції $(C = 0).$

\begin{gather*} F(x) = 2x + (-\cos2x) \cdot \frac 12 = 2x - \frac{\cos 2x}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 127. Завдання: 6332

Завдання 10 з 65

Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А$\frac32$

Б$\frac{2-\sqrt3}2$

В$1$

Г$\frac{\sqrt3}2$

Д$\frac12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для знаходження площі криволінійної трапеції.

Площу зафарбованої фігури знаходимо за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S = \mathop{\int}\limits_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{3}} \sin x\ dx = -\cos x\bigg|_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{3}} = -\cos \frac{\pi}{3} - (-\cos 0^\circ) = -\frac 12 + 1 = \frac 12\ \text{кв. од}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 129. Завдання: 6400

Завдання 11 з 65

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: $y=x^3$, $y=8$, $x=0$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Зобразимо схематично фігуру.

$x^3 = 8$, $x = 2$ – точка перетину графіків. Площу фігури знаходимо за допомогою визначеного інтегралу.

\begin{gather*} S = \mathop{\int}\limits_{0}^{2}(8 - x^3)\ dx = \left(8x - \frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\\[6pt] = \left(8 \cdot 2 - \frac{2^4}{4}\right) - \left(8 \cdot 0 - \frac{0^4}{4}\right) = 16 - 4 = 12\ \text{(кв. од.)}. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Тест 131. Завдання: 6473

Завдання 12 з 65

На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції $$ f(x)=ax^2+\frac{2b}{3}x+5. $$ Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$, дорівнює $21$ кв. од. Обчисліть суму $a+b.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл. Площа криволінійної трапеції.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції $y=f(x)$, прямими $x=0$, $x=1$ і віссю $x$ (пряма $y=0$) (див. рисунок) дорівнює визначеному інтегралу:

$$ \mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx=\mathop{\int}\limits_0^1\left(ax^2+\frac{2b}{3}x+5\right)dx= \left(\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{3}+5x\right)\bigg|_0^1=\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+5=\frac{a+b}{3}+5. $$

За умовою значення цього інтеграла дорівнює $21$ кв. од. Тоді $$ \frac{a+b}{3}+5=21, $$ звідки $a+b=48$.

Відповідь: $48.$

Тест 138. Завдання: 6903

Завдання 13 з 65

Визначте для функції $f(x)=2x+2$ первісну, графік якої проходить через точку $(1; 4).$

А$F(x)=2x^2+2x$

Б$F(x)=x^2+2x+1$

В$F(x)=x^2+2x+2$

Г$F(x)=x^2+2x-4$

Д$F(x)=2x^2+x+1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції, графік якої проходить через задану точку.

Нагадаємо, що функція $F(x)$ називається первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(a; b)$, якщо для будь-якого $x \in (a; b)$ виконується рівність $F'(x) = f(x).$

Якщо $F(x)$ – первісна для функції $f(x)$, то для цієї функції існує безліч первісних і всі ці первісні мають вигляд $F(x) + C$, де $C \in R$ – довільна стала.

Правило знаходження первісних. Якщо $F_{1}(x)$ – первісна для функції $f_{1}(x)$, а $F_{2}(x)$ – первісна для функції $f_{2}(x)$, то $F_{1}(x) + F_{2}(x)$ є первісною для $f_{1}(x) + f_{2}(x).$

У нашому випадку $f_{1}(x) = 2x$, $f_{2}(x) = 2$, тоді $F_{1}(x) = x^{2}$, оскільки $(x^{2})' = 2x$, $F_{2}(x) = 2x$, оскільки $(2x)' = 2.$

Отже,

$$ F(x) = F_{1}(x) + F_{2}(x) + C = x^{2} + 2x + C $$

загальний вигляд первісної для функції $$ f(x) = 2x + 2, $$ де $C$ – довільна стала.

Якщо графік первісної $y = F(x)$ проходить через точку $(1; 4)$, то виконується умова $4 = F(1).$ Підставивши у рівняння первісної $$ F(x) = x^{2} + 2x + C $$ значення $x = 1$ і $F(1) = 4$, отримаємо: $$ 4 = 1 + 2 + C, $$ звідки $C = 1$. Отже, первісна функції $y = 2x + 2$, що проходить через точку $(1; 4)$, має вигляд $$ F(x) = x^{2} + 2x + 1. $$

Відповідь: Б.

Тест 142. Завдання: 7089

Завдання 14 з 65

На рисунку зображено графік неперервної функції $y=f(x).$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$\mathop{\int}\limits_{-1}^1 f(x)dx$

Б$2\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

В$\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$

Г$2\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$

Д$\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Це завдання перевіряє вміння використовувати геометричний зміст визначеного інтеграла у задачах на обчислення площ плоских фігур.

Нагадаємо, що плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної функції $y=f(x)$, віссю $x$ і прямими $x=a$ та $x=b$, де $a\lt b$, називають криволінійною трапецією. Площу цієї трапеції можна обчислити за формулою $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx. $$

Якщо для всіх $x\in [a; b]$ виконується нерівність $f(x)\le 0$, то площа $S$ фігури, обмеженої графіком функції $y=f(x)$, відрізком $[a; b]$ осі $x$ і прямими $x=a$ та $x=b$, обчислюється за формулою

$$ S=\mathop{\int}\limits_a^b (-f(x))dx=-\mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx. $$

Якщо відрізок $[a; b]$ розбити точкою $c$ на два відрізки, то

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=\mathop{\int}\limits_a^c f(x)dx+\mathop{\int}\limits_c^b f(x)dx. $$

З рисунка видно, що графік функції $y=f(x)$ на проміжку $[-1; 0]$ розміщений над віссю абсцис, а на проміжку $[0; 1]$ – під віссю абсцис.

Зображена фігура на проміжку $[-1; 0]$ обмежена зверху графіком функції $y=f(x)$, а знизу – графіком функції $y=0$, тому площу цієї криволінійної трапеції обчислюємо за формулою $$ S_1=\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx. $$ На проміжку $[0; 1]$ зверху фігура обмежена графіком функції $y=0$, а знизу – графіком функції $y=f(x)$, тому площу цієї фігури (зазначимо, що згідно означення ця фігура не є криволінійною трапецією) обчислюємо за формулою $$ S_2=-\mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx. $$ Отже, площу зафарбованої фігури обчислюємо як суму двох площ (інтегралів):

$$ S=S_1+S_2=\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx-\mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx. $$

Відповідь: Д.

Тест 144. Завдання: 7183

Завдання 15 з 65

Укажіть первісну $F(x)$ для функції $f(x)=\frac{1}{2x}.$

А$F(x)=\frac{1}{x^2}$

Б$F(x)=\frac{1}{2}\ln |x|$

В$F(x)=-\frac{1}{2x^2}$

Г$F(x)=2\ln |x|$

Д$F(x)=\ln |2x|$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції.

Нагадаємо, що функція $F(x)$ називається первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(a; b)$, якщо для будь-якого $x\in (a; b)$ виконується рівність $F'(x)=f(x).$

Правило знаходження первісних. Якщо $F_1(x)$ – первісна для функції $f_1(x)$, а $C$ – довільна стала, то $F(x)=CF_1(x)$ є первісною для $Cf_1(x).$

У нашому випадку $$ f(x)=\frac{1}{2x}=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Оскільки функція $F_1(x)=\ln|x|$ є первісною для \begin{gather*} f_1(x)=\frac 1x,\ \text{то}\\[6pt] F(x)=\frac 12\ln|x| \end{gather*} є первісною для заданої функції $$ f(x)=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Відповідь: Б.

Тест 187. Завдання: 9250

Завдання 16 з 65

Використовуючи формулу Ньютона - Лейбніца, обчисліть $\mathop{\int}\limits_1^2 6x^2dx.$

А$12$

Б$14$

В$18$

Г$22$

Д$42$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца.

Це завдання перевіряє знання таблиці первісних основних елементарних функцій та вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для знаходження визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона - Лейбніца:

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a), $$

де $F(x)$ – будь-яка первісна функції $f(x)$ на відрізку $[a; b].$

Нагадаємо, що функція $F(x)$ називається первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(a; b)$, якщо для будь-якого $x\in (a; b)$ виконується рівність $F'(x)=f(x).$

Визначимо одну з первісних функції $y=6x^2.$

Правило знаходження первісних. Якщо $F_1(x)$ – первісна функції $f_1(x)$, а $\mathrm{C}$ – довільна стала, то $$ F(x)=\mathrm{C}F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=\mathrm{C}f_1(x). $$

Отже, $$ F(x)=6F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=6x^2, $$ де $F_1(x)$ – первісна функції $f_1(x)=x^2.$

Однією з первісних степеневої функції $x^n$, причому $n\ne -1$, є $$ \frac{x^{n+1}}{n+1}. $$ Тому $$ F_1(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}. $$ Отже, $$ F(x)=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3. $$ Тоді

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^2 6x^2dx=\left.2x^3\right|_1^2=2\cdot (2^3-1^3)=14. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 191. Завдання: 9442

Завдання 17 з 65

На рисунку зображено графіки функцій $y=f(x)$ i $y=g(x).$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$S=\mathop{\int}\limits_1^4 (f(x)-g(x))dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_1^4 (g(x)-f(x))dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_2^7 (f(x)+g(x))dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_2^7 (f(x)-g(x))dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_2^7 (g(x)-f(x))dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Зафарбована фігура обмежена графіками функцій $y=g(x)$ та $y=f(x).$

Площу фігури знаходимо за допомогою визначеного інтегралу. Абсциси точок перетину графіків $x=2$ та $x=7$ – межі інтегрування.

Функція $y=f(x)$ приймає більші значення на заданому проміжку (обмежує фігуру згори), а $y=g(x)$ – менші значення (обмежує знизу).

Тому,

$$ S=\mathop{\int}\limits_2^7 (f(x)-g(x))dx. $$

Відповідь: Г.

Тест 221. Завдання: 10851

Завдання 18 з 65

Обчисліть інтеграл $ \mathop{\int}\limits_0^2(f(x)+6)dx, $ якщо $ \mathop{\int}\limits_0^2f(x)dx=8. $

А$20$

Б$14$

В$2$

Г$28$

Д$48$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніцa для обчислення визначеного інтеграла.

$$ \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=8. $$

За формулою Ньютона-Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=\left.F(x)\right|_0^2=F(2)-F(0)=8. \end{gather*}

Звідси,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^2 (f(x)+6)dx=\left.F(x)+6x\right|_0^2=\\[6pt] =F(2)+6\cdot 2-F(0)-6\cdot 0=F(2)-F(0)+12=\\[6pt] =8+12=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 256. Завдання: 12519

Завдання 19 з 65

Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А$\frac 12$

Б$\frac{\sqrt{3}}{2}$

В$1$

Г$\sqrt{2}$

Д$\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

$$ S_\text{ф}=\mathop{\int}\limits_0^{\frac{\mathbf{\pi}}{6}} 2\cos xdx=\left.2\sin x\right|_0^{\frac{\mathbf{\pi}}{6}}=2\sin\frac{\mathbf{\pi}}{6}-2\sin 0=2\cdot \frac 12-2\cdot 0=1. $$

Використали формулу Ньютона-Лейбніца:

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=F(x)\left.\right|_a^b=F(b)-F(a). $$

Відповідь: B.

Тест 290. Завдання: 14254

Завдання 20 з 65

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$\int\limits^{1}_{-1}f(x)dx$

Б$\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx-\int\limits^{1}_{0}f(x)dx$

В$\int\limits^{1}_{0}f(x)dx-\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx$

Г$2\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx$

Д$2\int\limits^{1}_{0}f(x)dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} S = S_1 + S_2.\\[6pt] S = \mathop{\int}\limits_{-1}^{0} f(x)\ dx + \mathop{\int}\limits_{0}^{1} -f(x)\ dx= \mathop{\int}\limits_{-1}^{0} f(x)\ dx - \mathop{\int}\limits_{0}^{1} f(x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 292. Завдання: 14324

Завдання 21 з 65

Знайдіть первісну функції $f(x)=2x+2$, графік якої проходить через точку з координатами $(1;4)$.

А$F(x)=x^2+2x$

Б$F(x)=x^2+2x+1$

В$F(x)=x^2+2x+2$

Г$F(x)=x^2+2x-4$

Д$F(x)=x^2+2x-23$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну функції, яка проходить через дану точку.

Загальний вигляд первісної функції

\begin{gather*} F(x)=\frac{2x^2}{2}+2x+C=x^2+2x+C. \end{gather*}

Первісна, графік якої проходить через точку $(1; 4)$

\begin{gather*} 4=1^2+2\cdot 1+C;\\[7pt] 4=3+C;\\[7pt] C=1. \end{gather*}

Отже, $F(x)=x^2+2x+1.$

Відповідь: Б.

Тест 296. Завдання: 14537

Завдання 22 з 65

На рисунку зображено графік непарної функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[–5; 5].$ Яке з наведених співвідношень є справедливим для $f(x)$?

А$\mathop{\int}\limits_{-3}^0f(x)dx\lt 0$

Б$\mathop{\int}\limits_{0}^3f(x)dx\gt 0$

В$\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx\lt 0$

Г$\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx\gt 0$

Д$\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx=0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання означення первісної функції, вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

На рисунку зображено графік непарної функції $y=f(x).$

Функція інтегрована на симетричному проміжку $[-5; 5].$

Так як площі фігур розташованих вище та нижче осі $Ox$, рівні, то $$ \mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x) dx=0. $$

Відповідь: Д.

Тест 337. Завдання: 16617

Завдання 23 з 65

А$S=\mathop{\int}\limits_1^4(f(x)-g(x))dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_1^4(g(x)-f(x))dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_2^7(f(x)+g(x))dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_2^7(f(x)-g(x))dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_2^7(g(x)-f(x))dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Якщо фігура обмежена графіками двох функцій, то границі інтегрування – точки їх перетину.

Функції $f(x)$ та $g(x)$ перетинаються в точках $x=2$ та $x=7$, отже межі інтегрування від $2$ до $7.$ У межах від $2$ до $7$ функція $f(x)$ лежить вище функції $g(x)$, отже, запишемо формулу для обчислення площі зафарбованої фігури: $$ S=\mathop{\int}\limits_2^7(f(x)-g(x))dx. $$

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: Г.

Тест 346. Завдання: 17078

Завдання 24 з 65

На рисунку зображено графіки функцій $y=\sqrt{x}$ та $y=\frac{x}{2}.$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$S=\mathop{\int}\limits_0^2\left(\sqrt{x}-\frac x2\right)dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^2\left(\frac x2-\sqrt{x}\right)dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\sqrt{x}-\frac x2\right)dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\frac x2-\sqrt{x}\right)dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\frac x2+\sqrt{x}\right)dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури знаходимо за допомогою визначеного інтеграла. Границі інтегрування – абсциси точок перетину графіків: $x=0$, $x=4.$ $$ S=\mathop{\int}\limits_0^4\left(\sqrt{x}-\frac x2\right)dx. $$

За правилом: від "верхньої" лінії віднімаємо "нижню", знаходимо площу зафарбованої фігури.

Відповідь: B.

Тест 357. Завдання: 17659

Завдання 25 з 65

Функція $F(x)=2x^3-1$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $f(x).$

А$f(x)=6x^2-1$

Б$f(x)=6x-1$

В$f(x)=4x^2$

Г$f(x)=\frac{x^4}{2}-x$

Д$f(x)=6x^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

$F(x)=2x^3-1.$

За означенням первісної $F'(x)=f(x).$

Отже, $f(x)=F'(x)=(2x^3-1)'=(2x^3)'-1'=6x^2-0=6x^2.$

Відповідь: Д.

Тест 390. Завдання: 19504

Завдання 26 з 65

Функція $F(x)=5x^4-1$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $G(x)$, яка також є первісною функції $f(x).$

А$G(x)=x^5-x$

Б$G(x)=5x^4-x$

В$G(x)=20x^3$

Г$G(x)=5x^4+1$

Д$G(x)=x^4-5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

Функція $F(x)=5x^4-1$ є первісною функції $f(x).$

Формула, яка задає всі первісні функції $f(x)$ $$ F(x)=5x^4+C, $$ де $C$ – будь-яке число.

Відповідь: Г.

Тест 400. Завдання: 19964

Завдання 27 з 65

Функція $F(x)=10x^5-4$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $G(x)$, яка також є первісною функції $f(x).$

А$G(x)=10x^5+7$

Б$G(x)=2x^6-4x$

В$G(x)=50x^6$

Г$G(x)=50x^4$

Д$G(x)=x^5-4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної.

Загальний вигляд первісної функції $f(x)$

$F(x)=10x^5+C$, де $C$ – довільне число.

Тоді, $G(x)=10x^5+7.$

Відповідь: A.

Тест 425. Завдання: 21224

Завдання 28 з 65

Яка з наведених функцій є первісною для функції $f(x)=x^{-4}$?

А$F(x)=-\frac{1}{5x^5}$

Б$F(x)=-\frac{3}{x^5}$

В$F(x)=-\frac{4}{x^5}$

Г$F(x)=-\frac{5}{x^5}$

Д$F(x)=-\frac{1}{3x^3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження первісної степеневої функції.

Знаходимо первісну степеневої функції:

\begin{gather*} F(x)=\frac{x^{-4+1}}{-4+1}+C=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3x^3}+C \\[6pt] \text{при}\ C=0\ \ F(x)=-\frac{1}{3x^3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 469. Завдання: 23670

Завдання 29 з 65

У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій $y=f(x)$ і $y=3$ (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі $S$ цієї фігури.

А$S=\int_{-1}^{3}(f(x)-3)dx$

Б$S=\int_{-1}^{3}(3-f(x))dx$

В$S=\int_{0}^{4}(f(x)+3)dx$

Г$S=\int_{0}^{4}(f(x)-3)dx$

Д$S=\int_{0}^{4}(3-f(x))dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання скеровано на перевірку знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

Використаємо геометричний зміст визначеного інтеграла та формулу Ньютона-Лейбніца, знаходимо площу фігури: \begin{gather*} S=\int_{0}^{4}(3-f(x))dx \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 489. Завдання: 24694

Завдання 30 з 65

Обчисліть $\int_{0}^{7} f(x)dx,$ використавши зображений на рисунку графік лінійної функції $y=f(x).$

Впишіть відповідь:

38.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення геометричного змісту визначеного інтеграла, вміння обчислювати площу плоских фігур.

$\int_0^{7}f(x)dx.$ Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа фігури, обмеженої лініями: графіком $f(x),$ $x=0,$ $x=7$ та віссю $x.$

\begin{gather*} \int_0^{7}f(x)dx=S_{OBCD}=\frac{OB+CD}{2}\cdot OD=\\[6pt] =\frac{3+8}{2}\cdot 7=5,5\cdot 7=38,5. \end{gather*}

Відповідь: 38,5.

Тест 523. Завдання: 26202

Завдання 31 з 65

Якщо функція $F(x) = x^3 + 4$ є однією з первісних функції $f(x),$ тоді $f(x) =$

А$3x^2+4$

Б$3x^2$

В$3x$

Г$2x^2$

Д$\frac{x^4}{4}+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

За означенням первісної функції $F'(x)=f(x).$

Отже,

$$ f(x)=(x^3+4)'=(x^3)'+4'=3x^2. $$

Відповідь: Б.

Тест 547. Завдання: 26834

Завдання 32 з 65

Обчисліть інтеграл $\int_{3}^{5}\frac{x^2+2x+1}{x+1}dx.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \int_{3}^{5}\frac{x^2+2x+1}{x+1}dx=\int_{3}^{5}\frac{(x+1)^2}{x+1}dx=\\[6pt] =\int_{3}^{5}(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\left.\right|_{3}^{5}=\\[6pt] =\left(\frac{5^2}{2}+5\right)-\left(\frac{3^2}{2}+3\right)=\frac{25}{2}+5-\frac 92-3=\\[6pt] =\frac{16}{2}+2=8+2=10. \end{gather*}

Відповідь: 10.

Тест 585. Завдання: 28372

Завдання 33 з 65

На рисунку зображено графік функції $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1,\ x\in (-\infty;\ 0], \\ 2,\ x\in (0;\ +\infty). \end{array} \right. $$ Обчисліть значення виразу $\int_{-4}^{-1}f(x)dx+2\int_1^8f(x)dx.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння находити первісну, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислити значення виразу $$ \int_{-4}^{-1}f(x)dx+2\int_1^8f(x)dx $$ можна двома способами:
1) застосувати геометричний зміст визначеного інтеграла;
2) алгебраїчним.

1 спосіб:

\begin{gather*} \int_{-4}^{-1}f(x)dx=S_{ABCD}=3\cdot 1=3\\[6pt] \int_1^8f(x)dx=S_{EFKM}=7\cdot 2=14\\[6pt] \int_{-4}^{-1}f(x)dx+2\int_1^8f(x)dx=3+2\cdot 14=31. \end{gather*}

2 спосіб:

\begin{gather*} \int_{-4}^{-1}1dx+2\int_1^8 2dx=x|_{-4}^{-1}+2\cdot 2x|_1^8=\\[6pt] =-1-(-4)+4\cdot 8-4\cdot 1=3+32-4=31. \end{gather*}

Відповідь: 31.

Тест 606. Завдання: 28394

Завдання 34 з 65

Для функції $f(x)=4x-3$ знайдіть первісну $F(x)$, графік якої проходить через точку $A(0; 1).$

А$F(x)=4$

Б$F(x)=2x^2-3x+1$

В$F(x)=4x^2-3x$

Г$F(x)=2x^2+1$

Д$F(x)=4x^2-3x+1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку знання таблиці первісних, уміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

$$ F(x)=4\cdot\frac{x^2}{2}-3\cdot x+C=2x^2-3x+C. $$

Первісну, яка проходить через точку $A(0; 1)$, дізнаймося підставивши координати точки $x=0$, $F(0)=1$ у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої $C\mathord{:}$

$$ 2\cdot 0^2-3\cdot 0 + C=1, $$

$$ C=1. $$ Отже, \begin{gather*} F(x)=2x^2-3x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 698. Завдання: 35311

Завдання 35 з 65

Обчисліть площу $S$ заштрихованої фігури, обмеженої графіком функції $y=e^x$, віссю абсцис і прямою $x=1.$

А$S=e+1$

Б$S=e$

В$S=1$

Г$S=1-e$

Д$S=e-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбнiцa для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями $x=a$, $x=b$, графіком функції $y=f(x)$ і віссю $Ox$ визначаємо за формулою:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a),\\[6pt] S=\mathop{\int}\limits_0^1 e^x dx=\left.e^x\right|_0^1=e^1-e^0=e-1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 700. Завдання: 35356

Завдання 36 з 65

Визначте загальний вигляд первісних для функції $f(x)=2e^x+1.$

А$F(x)=2e^x+C$

Б$F(x)=2e^x+x+C$

В$F(x)=e^{x^2}+C$

Г$F(x)=e^{x^2}+x+C$

Д $F(x)=\frac{2e^{x+1}}{x+1}+x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати первісну, використовуючи її основні властивості.

За таблицею первісних: функція $f(x)=e^x$ має первсну $F(x)=e^x + C$, функція $f(x)=1$ має первісну $F(x)=x+C$, де $C$ – стала.

Визначмо загальний вигляд первісних для функції $f(x)=2e^x+1\mathord{:}$ $$ F(x)=2e^x+x+\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.

Тест 701. Завдання: 35379

Завдання 37 з 65

Графіки функцій $y=f(x)$ й $y=x^2-2x+3$ перетинаються в точках з абсцисами $x_1=0$ й $x_2=3.$ Обчисліть площу зафарбованої фігури, якщо $$ \mathop{\int}\limits_0^3 f(x)dx=14\mathord{,}1. $$

Впишіть відповідь:

5.1

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбница для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b \left(f(x)-g(x)\right) dx, $$ де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^3 \left(f(x)-y\right) dx=\mathop{\int}\limits_0^3 f(x) dx-\mathop{\int}\limits_0^3(x^2-2x+3)dx=\\[6pt] =14\mathord{,}1-\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}+3x\right)\right|_0^3=14\mathord{,}1-\left(\frac{27}{3}-\frac{2\cdot 9}{2}+3\cdot 3-0\right)=\\[6pt] =14\mathord{,}1-9+9-9=5\mathord{,}1. \end{gather*}

Відповідь: $5\mathord{,}1.$

Тест 701. Завдання: 35383

Завдання 38 з 65

Позначте формулу для визначення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ та прямою $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^2 2^x\ dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x\ dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2)\ dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_0^2 (2-2^x)\ dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігури згори, а $g(x)$ – функція графік якої обмежує фігуру знизу.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 712. Завдання: 35435

Завдання 39 з 65

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_1^5 3f(x)dx,$ якщо $ \mathop{\int}\limits_1^5 f(x)dx=14.$

А$11$

Б$42$

В$17$

Г$\frac{14}{3}$

Д$52$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилом інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b=kf(x)dx=k\mathop{\int}\limits_a^bf(x)dx.\\[6pt] \mathop{\int}\limits_1^5 3f(x)dx=3\mathop{\int}\limits_1^5 f(x)dx=3\cdot 14=42. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 703. Завдання: 35805

Завдання 40 з 65

Позначте формулу для обчислення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ і $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2) dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2-2^x) dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x) dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2^x-2) dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу. \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 731. Завдання: 36336

Завдання 41 з 65

На рисунку зображено графіки функцій $y=3\sqrt{x}$ i $y=\frac 32x.$ Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками цих функцій.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: $(0; 0)$ – точка початку координат; точка $(4; 6).$

Отже, межі інтегрування – від $0$ до $4.$

Графік функції $y=3\sqrt{x}$ проходить вище за пряму $y=\frac 32x.$

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

\begin{gather*} \mathop{\int} 3\sqrt{x}\ dx=3\mathop{\int} x^{\frac 12}\ dx=3\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}=3\cdot \frac 23\cdot x\sqrt{x}=2x\sqrt{x};\\[6pt] \mathop{\int} \frac 32x\ dx=\frac 32\cdot \frac{x^2}{2}=\frac 34x^2. \end{gather*}

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \left|_a^b\right.=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її перевісна.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx=\left(2x\sqrt{x}-\frac 34x^2\right)\left|_0^4\right.=\\[6pt] =\left(2\cdot 4\cdot \sqrt{4}-\frac 34\cdot 16\right)-2\cdot 0\cdot \sqrt{0}-\frac 34\cdot 0=(16-12)-0=4. \end{gather*}

Відповідь: $4.$

Тест 732. Завдання: 36365

Завдання 42 з 65

Функція $F(x)=4x^3-3x^2+9$ є первісною для функції $y=f(x).$ Визначте $f(2).$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

За означенням, якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$, то похідна від первісної дорівнює самій функції: \begin{gather*} F'(x)=f(x). \end{gather*}

Для цього обчислімо похідну від заданої функції $F(x)=4x^3-3x^2+9{:}$

\begin{gather*} f(x)=12x^2-6x. \end{gather*}

Тепер підставмо число $2$ замість $x$ у цю формулу функції:

\begin{gather*} f(2)=12\cdot 2^2-6\cdot 2=12\cdot 4-12=48-12=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Тест 733. Завдання: 36403

Завдання 43 з 65

Визначте загальний вигляд первісних для функції \begin{gather*} f(x)=\frac{2}{\cos^2 x}+\frac 3x+\cos x+2. \end{gather*}

А$\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C$

Б$\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C$

В$2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C$

Г$2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C$

Д$\mathrm{tg}\ x+\ln|x|+\sin x+2x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний вигляд первісних функції.

Перепишімо перші два доданки, винісши множники з їхніх чисельників: \begin{gather*} \frac{2}{\cos^2 x}=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x};\\[6pt] \frac 3x=3\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Тепер функція має такий вигляд:

\begin{gather*} f(x)=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}+3\cdot \frac 1x+\cos x+2. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції, проаналізувавши доданки:

1. Доданок $2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ – множник $2$ залишмо без змін, первісна для $\frac{1}{\cos^2 x}$ за таблицею первісних дорівнює $\mathrm{tg}\ x$, тож маємо $2\mathrm{tg}\ x.$

2. Доданок $3\cdot \frac 1x$ – множник $3$ залишмо без змін, первісна для $\frac 1x$ за таблицею первісних дорівнює $\ln |x|$, тож $3\ln |x|.$

3. Доданок $\cos x$ – первісна для $\cos x$ за таблицею первісних дорівнює $\sin x$ , тож маємо $\sin x.$

4. Доданок $2$ – первісна від сталої $2$ дорівнює $2x.$

Запишімо суму всіх доданків, які визначили в пунктах 1–4, у кінці додамо константу $C$, бо за умовою треба визначити загальний вигляд первісних функції:

\begin{gather*} F(x)=2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 761. Завдання: 36557

Завдання 44 з 65

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_1^{e^3} \frac{dx}{6x}.$

Впишіть відповідь:

0.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^{e^3}\ \frac{dx}{6x}=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac{1}{6x}\ dx=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 16\cdot \frac 1x\ dx=\frac 16\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 1x\ dx=\frac 16(\ln|x|)|_1^{e^3}=\\[6pt] =\frac 16(\ln(e^3)-\ln 1)=\frac 16(3-0)=\frac 16\cdot 3=\frac 36=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a 1=0;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: $0{,}5.$

Тест 734. Завдання: 36608

Завдання 45 з 65

Графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $(-\infty; +\infty)$, паралельний осі $x$ (див. рисунок). Площа зафарбованої фігури дорівнює $8$ кв. од. Обчисліть $\mathop{\int}\limits_{-3}^{3} f(x)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-16

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Зафарбована фігура – прямокутник. Його основа лежить на осі $Ox$ від $-3$ до $0.$

Довжина основи $a=3$

Площа прямокутника \begin{gather*} S=a\cdot b, \end{gather*} де $a$ - ширина, $b$ - висота.

За умовою $S = 8.$

Звідси висота (відстань від осі $Ox$ до графіка) дорівнює $\frac 83.$

Оскільки графік розташований нижче від осі $Ox$, значення функції від'ємне: \begin{gather*} f(x)=-\frac 83. \end{gather*}

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він дорівнює різниці площі фігури над віссю $Ox$ і площі фігури під віссю $Ox.$ Весь проміжок інтегрування — від $-3$ до $3.$

Оскільки функція $f(x)=-\frac 83$ є сталою на всьому проміжку, шукаймо інтеграл від сталої:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-3}^3 \left(-\frac 83\right)\ dx=-\frac 83\cdot x\left|_{-3}^3\right.=-\frac 83\cdot 3-\left(-\frac 83\right)\cdot (-3)=\\[6pt] =-\frac{8\cdot 3}{3}-\frac{8\cdot 3}{3}=-8-8=-16. \end{gather*}

Відповідь: $-16.$

Тест 735. Завдання: 36920

Завдання 46 з 65

Відомо, що $\mathop{\int}\limits_1^5 f(x)\ dx=14.$ Обчисліть $\mathop{\int}\limits_1^5 \left(5-3\cdot f(x)\right)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-22

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

За правилами інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int} \left(f(x)+g(x)\right)\ dx=\mathop{\int} f(x)\ dx+\mathop{\int} g(x)\ dx;\\[6pt] \mathop{\int} c\cdot f(x)\ dx=c\cdot \mathop{\int} f(x)dx \end{gather*}

та формулою Ньютона - Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\left|_a^b\right.=F(b)-F(a).\\[6pt] \mathop{\int}\limits_1^5 (5-3\cdot f(x))\ dx=\mathop{\int}\limits_1^5 5\ dx-\mathop{\int}\limits_1^5 3\cdot f(x)\ dx=\mathop{\int}\limits_1^5 5\ dx-3\cdot \mathop{\int}\limits_1^5 f(x)\ dx=\\[6pt] =5x\left|_1^5\right.-3\cdot 14=5\cdot 5-5\cdot 1-3\cdot 14=25-5-42=-22. \end{gather*}

Відповідь: $-22.$

Тест 737. Завдання: 37179

Завдання 47 з 65

Обчисліть інтеграл $\displaystyle \int\limits_{\textstyle 1}^{\textstyle e^5} \dfrac{dx}{2x}$.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac{dx}{2x}=\mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac{1}{2x}\ dx=\mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac 12\cdot \frac 1x\ dx=\frac 12\mathop{\int}\limits_1^{e^5}\frac 1x\ dx=\frac 12\left(\ln|x|\right)|_1^{e^5}=\\[6pt] =\frac 12\left(\ln (e^5)-\ln 1\right)=\frac 12(5-0)=\frac 12\cdot 5=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Використали властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_a 1=0;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Тест 738. Завдання: 37372

Завдання 48 з 65

Визначте загальний вигляд первісних функції $f(x)=4x-\dfrac{3}{\cos^2 x}.$

А$F(x)=2x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Б$F(x)=4x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

В$F(x)=2x^2+3\mathrm{tg}\ x+C$

Г$F(x)=x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Д$F(x)=2x^2-\dfrac{3}{\mathrm{tg}\ x}+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} \frac{3}{\cos^2 x}=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

\begin{gather*} F(x)=4\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}-3\cdot \mathrm{tg}\ x+C=\frac 41\cdot \frac{x^2}{2}-3\mathrm{tg}\ x+C=2x^2-3\mathrm{tg}\ x+C. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}0\end{gather}	\begin{gather}C\end{gather}
\begin{gather}x^{\alpha},\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}
\begin{gather}\frac{1}{\cos^2 x}\end{gather}	\begin{gather}\mathrm{tg}\ x+C\end{gather}

Відповідь: A.

Тест 739. Завдання: 37390

Завдання 49 з 65

На рисунку зображено графік неперервної на відрізку $[0; 5]$ функції $y=f(x).$ Площа геометричних фігур $A$, $B$ i $C$, обмежених віссю $x$ та графіком цієї функції, дорівнюють $6{,}3$ кв. од., $5{,}4$ кв. од. та $4$ кв. од. відповідно. Обчисліть $\mathop{\int}\limits_0^5 (f(x)+4)\ dx.$

Впишіть відповідь:

24.9

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Завдання перевіряє навички інтерпретування геометричного змісту визначеного інтеграла та вміння обчислювати площі фігур, обмежених графіками функцій.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 (f(x)+4)\ dx=\mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_0^5 4\ dx. \end{gather*}

За формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx =F(x)\ |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її первісна.

Обчислімо $\displaystyle \mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx.$

Згідно з геометричним змістом, визначений інтеграл дорівнює алгебричній сумі площ фігур, обмежених графіком функції та віссю $Ox:$

якщо фігура лежить над віссю (як $A$ та $C$), її площу додають;
якщо фігура лежить під віссю (як $B$), її площу віднімають.

Отже,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx= S_A-S_B+S_C=6{,}3-5{,}4+4=4{,}9\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Обчислімо:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 4\ dx=4x\ |_0^5=4\cdot 5-4\cdot 0=20\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Додамо отримані значення:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 (f(x)+4)\ dx=\mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_0^5 4\ dx=4{,}9+20=24{,}9\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Відповідь: $24{,}9.$

Тест 740. Завдання: 37473

Завдання 50 з 65

Обчисліть інтеграл $\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+7x)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-7.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \Big|_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, a $F(x)$ – її первісна.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+7x)\ dx=\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}+7\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}\right)\Big|_{-2}^1=\left(\frac{x^3}{3}+7\cdot \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-2}^1=\\[6pt] =\left(\frac{1^3}{3}+7\cdot \frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{(-2)^3}{3}+7\cdot \frac{(-2)^2}{2}\right)=\left(\frac 13+7\cdot \frac 12\right)-\left(\frac{-8}{3}+7\cdot \frac 42\right)=\\[6pt] =\frac 13+\frac 72+\frac 83-7\cdot 2=\left(\frac 13+\frac 83\right)+\left(\frac 72-7\cdot 2\right)=\frac 93+3{,}5-14=\\[6pt] =3+3{,}5-14=6{,}5-14=-(14-6{,}5)=-7{,}5. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Відповідь: $-7{,}5.$

Тест 742. Завдання: 37582

Завдання 51 з 65

Обчисліть інтеграл $\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+4x)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \Big|_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її первісна.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+4x)\ dx=\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}+4\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}\right)\Big|_{-2}^1=\left(\frac{x^3}{3}+4\cdot \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-2}^1=\\[6pt] =\left(\frac{1^3}{3}+4\cdot \frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{(-2)^3}{3}+4\cdot \frac{(-2)^2}{2}\right)=\left(\frac 13+4\cdot \frac 12\right)-\left(\frac{-8}{3}+4\cdot \frac 42\right)=\\[6pt] =\frac 13+\frac 42+\frac 83-4\cdot 2=\left(\frac 13+\frac 83\right)+(2-8)=\frac 93-6=3-6=-3. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Відповідь: $-3.$

Тест 743. Завдання: 37700

Завдання 52 з 65

Функції $F(x)=4x^3-3x^2+9$ i $G(x)$ є первісними для функції $f(x).$ Графік функції $G(x)$ проходить через точку $(-1; 0).$ Обчисліть $G(1).$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних, уміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Будь-які дві первісні $F(x)$ і $G(x)$ для тієї самої функції $f(x)$ різняться лише деякою сталою величиною $C$:

\begin{gather*} G(x)=F(x)+C. \end{gather*}

За умовою маємо первісну

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} G(x)=4x^3-3x^2+9+C. \end{gather*}

Відомо, що графік функції $G(x)$ проходить через точку з координатами $(-1; 0).$ Це означає, що за $x=-1$ значення функції $G(-1)=0.$ Підставмо ці значення в рівняння:

\begin{gather*} 0=4\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2+9+C;\\[7pt] 0=4\cdot (-1)-3\cdot (1)+9+C;\\[7pt] 0=-4-3+9+C;\\[7pt] 0=2+C;\\[7pt] C=-2. \end{gather*}

Отже, функція $G(x)$ має вигляд:

\begin{gather*} G(x)=4x^3-3x^2+9-2=4x^3-3x^2+7. \end{gather*}

Обчислімо значення функції в точці $x=1.$

\begin{gather*} G(1)=4\cdot (1)^3-3\cdot (1)^2+7;\\[7pt] G(1)=4-3+7;\\[7pt] G(1)=8. \end{gather*}

Відповідь: $8.$

Тест 744. Завдання: 37758

Завдання 53 з 65

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_0^2 (f(x)+6)\ dx$, якщо $\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx=8.$

А$20$

Б$14$

В$2$

Г$28$

Д$48$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int} (f(x)+g(x))\ dx=\mathop{\int}f(x)\ dx+\mathop{\int} g(x)\ dx;\\[7pt] \mathop{\int} c\cdot f(x)\ dx=c\cdot \mathop{\int} f(x)\ dx \end{gather*}

та формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x) \Big|_a^b=F(b)-F(a).\\[7pt] \mathop{\int}\limits_0^2 (f(x)+6)\ dx=\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_0^2 6\ dx=8+6x \Big|_0^2=\\[6pt] =8+6\cdot 2-6\cdot 0=8+12=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 746. Завдання: 38057

Завдання 54 з 65

Визначте для функції $f(x)=3x+1$ первісну, графік якої проходить через точку $M(0; 1).$

А$F(x)=3x^2+1$

Б$F(x)=\dfrac 32x^2+x+1$

В$F(x)=\dfrac 32x^2$

Г$F(x)=3$

Д$F(x)=3x^2+x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних та вміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

\begin{gather*} F(x)=3\cdot \frac{x^2}{2}+1\cdot x+C=\frac 32 x^2+x+C. \end{gather*}

Первісну, яка проходить через точку $M(0; 1)$, дізнаймося підставивши координати точки $x=0$, $F(0)=1$ у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої $C{:}$

\begin{gather*} \frac 32\cdot 0^2+0+C=1;\\[6pt] C=1. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} F(x)=\frac 32 x^2+x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 749. Завдання: 38260

Завдання 55 з 65

Функція $F(x)=4x^3–3x^2+9$ є первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(–\infty; +\infty).$ Обчисліть $\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

За означенням (формула Ньютона – Лейбніца), визначений інтеграл від функції $f(x)$ дорівнює приросту її первісної $F(x)$ на заданому проміжку:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a). \end{gather*}

За умовою первісна для функції $f(x)$ дорівнює:

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Обчислімо

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx=F(2)-F(0)=4\cdot 2^3-3\cdot 2^2+9-(4\cdot 0^3-3\cdot 0^2+9);\\[7pt] \mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx=4\cdot 8-3\cdot 4+9-(4\cdot 0-3\cdot 0+9)=32-12+9-(0-0+9);\\[7pt] \mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx=32-12+9-9=20. \end{gather*}

Відповідь: $20.$

Тест 805. Завдання: 38406

Завдання 56 з 65

Визначте первісну функції $f(x)=3\cos x-x.$

А$F(x)=3\sin x-\dfrac{x^2}{2}$

Б$F(x)=3\sin x-1$

В$F(x)=-3\sin x-\dfrac{x^2}{2}$

Г$F(x)=3\sin x$

Д$F(x)=-3\sin x-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати первісну тригонометричної функції.

Застосуймо правила визначення первісних для кожного доданка окремо:

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C,\ C$ – довільна стала
$x^\alpha,\ \alpha\ne -1$	$\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha+1}+C$
$\cos x$	$\sin x+C$

Отримаємо

\begin{gather*} F(x)=3\sin x-\frac{x^{1+1}}{1+1};\\[6pt] F(x)=3\sin x-\frac{x^2}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 807. Завдання: 38653

Завдання 57 з 65

На рисунку зображено графіки функцій $y=x^3+1$ та $y=9.$ Обчисліть площу зафарбованої фігури, обмеженої графіками функцій $y=x^3+1$ і $y=9$ і прямою $x=0.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна і визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислімо площу зафарбованої фігури за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Визначмо точку перетину графіків $y=9$ та $y=x^3+1.$ Для цього прирівняймо їхні вирази:

\begin{gather*} x^3+1=9;\\[7pt] x^3=9-1;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Площу $S$ фігури, що обмежена зверху графіком $y=9$ (верхня), знизу – $y=x^3+1$, а зліва – прямою $x=0$, обчислімо за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^2 (9-(x^3+1))\ dx=\mathop{\int}\limits_0^2 (8-x^3)\ dx=\left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Big |_0^2;\\[6pt] S=\mathop{\int}\limits_0^2 \left(8\cdot 2-\frac{2^4}{4}\right)-\left(8\cdot 0\cdot \frac{0^4}{4}\right)=\left(16-\frac{16}{4}\right)-(0-0)=16-4=12. \end{gather*}

Застосували формулу Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її первісна.

Відповідь: $12.$

Тест 807. Завдання: 38662

Завдання 58 з 65

Відомо, що $\mathop{\int}\limits_{-1}^2 f(x)\ dx=9$, $\mathop{\int}\limits_{-1}^2 g(x)\ dx=-7.$ Обчисліть $\mathop{\int}\limits_{-1}^2 (3f(x)-2g(x)+6x)\ dx.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

За правилами інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int} (f(x)+g(x))\ dx = \mathop{\int} f(x)\ dx+\mathop{\int} g(x)\ dx;\\[6pt] \mathop{\int} c\cdot f(x)\ dx=c\cdot \mathop{\int} f(x)\ dx \end{gather*}

і формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx = F(x)\Big |_a^b=F(b)-F(a).\\[6pt] \mathop{\int}\limits_{-1}^2 (3f(x)-2g(x)+6x)\ dx=\mathop{\int}\limits_{-1}^2 3f(x)\ dx-\mathop{\int}\limits_{-1}^2 2g(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_{-1}^2 6x\ dx=\\[6pt] =3\mathop{\int}\limits_{-1}^2 f(x)\ dx-2\mathop{\int}\limits_{-1}^2 g(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_{-1}^2 6x\ dx. \end{gather*}

Обчислімо третій інтеграл за формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-1}^2 6x\ dx=6\cdot \frac{x^2}{2}\Big |_{-1}^2=3x^2\Big |_{-1}^2=3\cdot 2^2-3\cdot (-1)^2=3\cdot 4-3\cdot 1=12-3=9. \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-1}^2 (3f(x)-2g(x)+6x)\ dx=3\cdot 9-2\cdot (-7)+9=27+14+9=50. \end{gather*}

Відповідь: $50.$

Тест 808. Завдання: 38753

Завдання 59 з 65

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_2^5 \dfrac{x^2+4x+4}{x+2}\ dx.$

Впишіть відповідь:

16.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_2^5 \frac{x^2+4x+4}{x+2}\ dx=\mathop{\int}\limits_2^5 \frac{(x+2)^2}{x+2}\ dx=\\[6pt] =\mathop{\int}\limits_2^5 (x+2)\ dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Big|_2^5=\\[6pt] =\left(\frac{5^2}{2}+2\cdot 5\right)-\left(\frac{2^2}{2}+2\cdot 2\right)=\frac{25}{2}+10-\frac 42-4=\\[6pt] =12{,}5+10-2-4=12{,}5+4=16{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $16{,}5.$

Тест 811. Завдання: 38947

Завдання 60 з 65

Визначте абсцису мінімального значення функції $y=f(x)$, якщо функція $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-3x^2+5x+4$ є первісною для функції $f(x).$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння розрізняти первісну й похідну функції, визначати похідну й мінімальне значення квадратичної функції, обчислювати абсцису її вершини.

Визначмо функцію $y=f(x).$ Оскільки $F(x)=\dfrac{x^3}{3}−3x^2+5x+4$ – первісна для функції $y=f(x)$, визначмо її похідну. Для цього застосуймо правила диференціювання:

\begin{gather*} (u+v)'=u'+v';\\[7pt] (cu)'=cu';\\[7pt] (c)'=0, \end{gather*}

(де $c$ – стала).

А також використаймо табличні похідні:

\begin{gather*} x'=1;\\[7pt] (x^a)'=ax^{a-1}. \end{gather*}

У доданку $\dfrac{x^3}{3}$ винесімо $x^3$ із чисельника як множник: $\dfrac 13 x^3.$

\begin{gather*} F'(x)=\left(\frac 13 x^3-3x^2+5x+4\right)'=\left(\frac 13 x^3\right)'-(3x^2)'+(5x)'+4'=\\[6pt] =\frac 13\cdot 3\cdot 3^{3-1}-3\cdot 2\cdot x^{2-1}+5+0=x^2-6x+5. \end{gather*}

Отримали квадратичну функцію: $f(x)=x^2−6x+5.$ Її графік – парабола з вітками вгору, оскільки коефіцієнт $a$ (множник біля $x^2$) більший за нуль $(a=1$, $1\gt 0).$ Отже, мінімальне значення ця функція буде набувати у вершині. Визначимо абсцису вершини параболи за формулою:

\begin{gather*} x_\text{В}=-\frac{b}{2a}. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: $a=1$, $b=−6$ (множник біля $x$).

\begin{gather*} x_\text{В}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac 62=3. \end{gather*}

Отже, абсциса вершини функції $y=f(x)$ і її мінімального значення дорівнює $3.$

Відповідь: $3.$

Тест 843. Завдання: 38991

Завдання 61 з 65

Визначте ординату точки перетину графіка функції $y=f(x)$ із віссю $y$, якщо функція $F(x)=x^3+x^2-7x+1$ є первісною для функції $f(x).$

Впишіть відповідь:

-7

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної, уміння обчислювати похідну функції.

За означенням первісної $f(x)=F'(x).$ Обчислімо похідну:

\begin{gather*} f(x)=(x^3+x^2-7x+1)'=(x^3)'+(x^2)'-(7x)'+(1)'=3x^2+2x-7. \end{gather*}

Точка перетину з віссю ординат $(y)$ завжди має абсцису $x=0.$ Підставмо $x=0$ у функцію $f(x){:}$

\begin{gather*} f(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-7=-7. \end{gather*}

Відповідь: $-7.$

Тест 836. Завдання: 39121

Завдання 62 з 65

Обчисліть площу $S$ зафарбованої фігури, обмеженої графіком функції $y=e^x$, осями координат і прямою $x=1$ (див. рисунок).

А$S=e+1$

Б$S=e$

В$S=e-1$

Г$S=1$

Д$S=1-e$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями $x=a$, $x=b$, графіком функції $y=f(x)$ і віссю $Ox$ визначмо за формулою:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a),\\[6pt] S=\mathop{\int}\limits_0^1 e^x dx=\left.e^x\right|_0^1=e^1-e^0=e-1. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 846. Завдання: 39243

Завдання 63 з 65

Визначте загальний вигляд первісних для функції $f(x)=3x^2.$

А$6x+C$

Б$x^2+C$

В$6x^3+C$

Г$3x^3+C$

Д$x^3+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

За таблицею первісних для степеневої функції

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, $C$ – довільна стала
$x^{\alpha}$, $\alpha\ne -1$	$\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha+1}+C$

\begin{gather*} F(x)=3\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+C=3\cdot \frac{x^3}{3}+C=x^3+C. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 847. Завдання: 39344

Завдання 64 з 65

Визначте первісну для функції $f(x)=\dfrac{1}{3x}.$

А$F(x)=\ln |3x|$

Б$F(x)=\dfrac 13\ln |x|$

В$F(x)=3\ln |x|$

Г$F(x)=-\dfrac{1}{3x^2}$

Д$F(x)=\dfrac{2}{3x^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Запишімо функцію $f(x)$ у вигляді добутку сталого множника й елементарної функції:

\begin{gather*} f(x)=\frac{1}{3x}=\frac 13\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Використаймо властивість первісної (сталий множник можна виносити за знак інтегрування) і таблицю первісних:

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, $C$ – довільна стала
$\dfrac 1x$	$\ln \|x\|+C$

Визначмо загальний вигляд первісної $F(x){:}$

\begin{gather*} F(x)=\frac 13\ln|x|+C. \end{gather*}

За $C=0$ отримуємо:

\begin{gather*} F(x)=\frac 13\ln|x|. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 839. Завдання: 40101

Завдання 65 з 65

Обчисліть $\mathop{\int}\limits_0^3 \dfrac{x^2+3x}{x+3} dx.$

Впишіть відповідь:

4.5

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Інтеграл і його застосування.

Завдання перевіряє вміння перетворювати раціональні вирази, визначати первісну функції і визначений інтеграл за формулою Ньютона – Лейбніца.

Спростімо підінтегральний вираз:

\begin{gather*} \frac{x^2+3x}{x+3}=\frac{x(x+3)}{x+3}. \end{gather*}

На проміжку інтегрування $x\in [0; 3]$ вираз $x+3\ne 0$, тому скоротімо дріб на $(x+3){:}$

\begin{gather*} \frac{x(x+3)}{x+3}=x. \end{gather*}

Застосуймо формулу Ньютона – Лейбніца

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a) \end{gather*}

і правило визначення первісної:

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, $C$ – довільна стала
$x^\alpha$, $\alpha\ne -1$	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^3 \frac{x^2+3x}{x+3}\ dx=\mathop{\int}\limits_0^3 x\ dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}\Big|_0^3=\frac{x^2}{2}\Big|_0^3. \end{gather*}

Підставмо межі інтегрування:

\begin{gather*} \frac{x^2}{2}\Big|_0^3=\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac 92=4{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $4{,}5.$

Тест 874. Завдання: 40130

Новини

У МОН заявили про рекорд вступної кампанії 2026 року
МОН відтермінувало отримання студентами грантових сертифікатів
В Україні остаточно завершується вступна кампанія 2026 року

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}0\end{gather}	\begin{gather}C\end{gather}
\begin{gather}x^{\alpha},\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}
\begin{gather}\frac{1}{\cos^2 x}\end{gather}	\begin{gather}\mathrm{tg}\ x+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C,\ C\) – довільна стала
\(x^\alpha,\ \alpha\ne -1\)	\(\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha+1}+C\)
\(\cos x\)	\(\sin x+C\)

Алгебра і початки аналізу – Первісна та визначений інтеграл