Піраміда – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Геометрія
Розділ: Стереометрія
Тема: Піраміда
Кількість завдань: 49

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 49

Діагональний переріз правильної чотирикутної піраміди – рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює $72\sqrt{3}.$ Визначте площу основи цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи $(d).$ За умовою трикутник рівносторонній.

\begin{gather*} S_\Delta=72\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною $d$ обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} \frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}=72\sqrt{3};\\[6pt] d^2\cdot\sqrt{3}=72\sqrt{3}\cdot 4;\\[7pt] d^2\cdot \sqrt{3}=288\sqrt{3};\\[7pt] d^2=288. \end{gather*}

Основа піраміди – квадрат. Діагональ $d$ ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} a^2+a^2=d^2;\\[7pt] 2a^2=d^2;\\[6pt] a^2=\frac{d^2}{2};\\[6pt] a^2=\frac{288}{2}=144. \end{gather*}

Площа основи (квадрата):

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 739. Завдання: 37398

Завдання 2 з 49

За якою формулою можна обчислити об'єм $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a$?

А$V=\frac{a^3}{4}$

Б$V=a^3$

В$V=\frac{a^3}{3}$

Г$V=\sqrt{5}a^2$

Д$V=\sqrt{3}a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac 13\cdot a^3=\frac{a^3}{3}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37367

Завдання 3 з 49

Бічна грань правильної трикутної піраміди є прямокутним трикутником з гіпотенузою $6$ см. Визначте площу (у см$^2$) бічної поверхні цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). $AB=BC=CA=6$ см.

Апофема $(FK)$ — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} FK=\frac{AB}{2}=\frac 62=3\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи, $m$ – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot AB=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Апофема $m=FK=3$ см.

\begin{gather*} S_{біч}=\frac 12\cdot 18\cdot 3=9\cdot 3=27\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37181

Завдання 4 з 49

За якою формулою визначають площу $S$ повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої та апофема дорівнюють $a$?

А$S=a^3$

Б$S=6a^2$

В$S=3a^2$

Г$S=5a^2$

Д$S=2a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

\begin{gather*} S=S_\text{біч}+S_\text{осн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot a+S_\text{осн}. \end{gather*}

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2;\\[7pt] P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює $a$ за умовою.

Отже,

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot 4a\cdot a+a^2=\frac 42a^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36916

Завдання 5 з 49

Основа трикутної піраміди – рівнобедрений прямокутний трикутник із катетом $a.$ Визначте формулу для обчислення об'єму $V$ цієї піраміди, якщо її висота дорівнює катету основи.

А$V=\frac{a^3}{3}$

Б$V=\frac{a^3}{2}$

В$V=\frac{a^3}{4}$

Г$V=\frac{a^3}{6}$

Д$V=a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \frac 12a^2\cdot a=\frac 16\cdot \frac{a^3}{1}=\frac{a^3}{6}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36905

Завдання 6 з 49

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $AD$ є

Аапофемою

Бребром основи

Ввисотою основи

Гбічним ребром

Двисотою

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $AD$ – ребра основи.

Отже, $HD$ є ребром основи.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36407

Завдання 7 з 49

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD.$ Скільки прямих, перпендикулярних до висоти $SO$, лежать у площині основи $ABCD$?

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди $SO$ перпендикулярна до основи $ABCD.$ За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо $SO\ \perp\ (ABC)$, то $SO$ перпендикулярна до будь-якої прямої в площині $(ABC)$, а площина $(ABC)$ містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35774

Завдання 8 з 49

Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює $648\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

972

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$ – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\mathbf{\pi}R^2=648\mathbf{\pi},\\[7pt] 4R^2=648,\\[7pt] R^2=162,\\[7pt] R=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABCD}=\frac 12d^2=\frac 12\cdot (2\cdot 9\sqrt{2})^2=\frac 12\cdot 4\cdot 81\ \text{см}^2\cdot 2=324\ \text{см}^2\\[6pt] H=KO. \end{gather*}

$KP\ \perp\ DC$ – апофема піраміди (висота бічної грані). $KO\ \perp\ (ABC)$, $KP$ – похила на площину основи, $OP$ – проєкція похилої $KP.$ Звідси, $\angle KPO=45^\circ$ – це кут між прямою $KP$ і площиною основи.

У $\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)$, $\angle P=45^\circ$, тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

$\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).$ $AD=DC$, $AC=18\sqrt{2}$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+DC^2=AC^2,\\[7pt] 2AD^2=(18\sqrt{2}\ \text{см})^2,\\[7pt] AD=18\ \text{см},\\[6pt] OK=OP=\frac 12AD=9\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 324\ \text{см}^2\cdot 9\ \text{см}=972\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $972.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35363

Завдання 9 з 49

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $SA$ є

Аребром основи

Бапофемою

Ввисотою

Гбічним ребром

Двисотою основи

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD\mathord{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $DA$ – ребра основи. Отже, $SA$ є бічним ребром.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35345

Завдання 10 з 49

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по $25$ см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см$^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса $AB$ й бічне ребро $CF$ дорівнюють по $25$ см. Апофема $FK=OB.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

\begin{gather*} \mathbf{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\mathbf{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

У піраміді $CF=FD=FE=25.$ $\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де $P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}$, $m=FK=20\ \textit{см}.$ $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: $900.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34415

Завдання 11 з 49

Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють $20\ \text{см}$ і $12\ \text{см}.$ Обчисліть об’єм (см³) піраміди, якщо її висота дорівнює $15\ \text{см}.$

А$1800$

Б$1200$

В$2400$

Г$800$

Д$600$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де $S_\text{осн}$ – площа основи, $H$ – висота.

За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого $20\ \text{см}$ і $12\ \text{см}.$ Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$

\begin{gather*} H=15\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 120\cdot 15=600 \ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28383

Завдання 12 з 49

Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює $8\ \text{см},$ а апофема на $2\ \text{см}$ більша за сторону основи піраміди.

А$72\ \text{см}^2$

Б$384\ \text{см}^2$

В$192\ \text{см}^2$

Г$120\ \text{см}^2$

Д$240\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Сторона основи піраміди $8\ \text{см},$ а апофема на $2\ \text{см}$ більше, тому її довжина $10\ \text{см}.$

За формулою $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де $P_\text{осн}$ – периметр основи $m$ – апофема, знаходимо площу бічної поверхні:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot 8=24\ \text{см},\ \ m=10\ \text{см}.\\[6pt] S_\text{б}=\frac 12\cdot 24\cdot 10=120\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28362

Завдання 13 з 49

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72\ \text{см}.$ Обчисліть довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15\ \text{см}.$

А$6\ \text{см}$

Б$9\ \text{см}$

В$10\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$14\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

1. Піраміда правильна – в основі лежить квадрат $ABCD.$

\begin{gather*} P_{ABCD}=72\ \text{см},\\[7pt] AB=BC=CD=DA=72:4=18\ (\text{см}). \end{gather*}

2. $KM$ – висота бічної грані $$ (KM\perp DC),\ KM=15\ \text{см}. $$

За теоремою про три перпендикуляри \begin{gather*} KO\perp\ (ABC),\\[7pt] KM\perp DC\ (\text{похила}),\\[7pt] OM - \text{проекція похилої},\\[6pt] OM=\frac 12 AD=\frac 12\cdot 18=9\ (\text{см}).\\[6pt] \text{Звідси},\ OM\perp CD. \end{gather*}

4. $\Delta KOM\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} KM^2=KO^2+OM^2,\ \ KO=\sqrt{15^2-9^2}=\\[7pt] =\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\ (\text{см}). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27696

Завдання 14 з 49

Укажіть формулу для обчислення об’єму $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a.$

А$V=a^3$

Б$V=\frac{4a^2}{3}$

В$V=4a^2$

Г$V=\frac{a^3}{3}$

Д$V=\frac{a^3}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – $a.$ $S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.$ Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою $H=a.$

Отже, $V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26829

Завдання 15 з 49

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72\ \text{см.}$ Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15\ \text{см.}$

А$6\ \text{см}$

Б$9\ \text{см}$

В$10\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$14\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі на обчислення невідомих елементів піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

$PABCD$ – правильна чотирикутна піраміда, тому $ABCD$ – квадрат, $O$ – точка перетину діагоналей, $PO$ – висота.

$P_{ABCD}=4AB=72\ \text{см},\ \ AB=18\ \text{см}.$

$PK$ – апофема (висота бічної грані). $OK\perp AB$ (за теоремою про три перпендикуляри).

\begin{gather*} OK=\frac 12 AB=9\ \text{см}.\\[7pt] \Delta POK\ (\angle O=90^\circ) \end{gather*} за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} PK^2=PO^2+OK^2,\\[7pt] PO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\ (\text{см}). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26197

Завдання 16 з 49

Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.

На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26116

Завдання 17 з 49

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ (див. рисунок) $SO$ – висота, $\angle SCO=30^\circ,\ AO=\sqrt{6}.$
Увідповідніть початок речення (1–3) та його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина діагоналі $AC$ дорівнює

2Довжина висоти $SO$ дорівнює

3Довжина ребра $AS$ дорівнює

Закінчення речення

А$\sqrt{2}.$

Б$2\sqrt{2}.$

В$2\sqrt{3}.$

Г$2\sqrt{6}.$

Д$4\sqrt{2}.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат, $\text{точка}\ O$ – центр квадрата.

1. $AC=2AO=2\sqrt{6}$ діагоналі квадрата в точці перетину діляться навпіл. Отже, 1 – Г.

2. $\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ C=\frac{SO}{OC},\ \ SO=OC\cdot \mathrm{tg}\ C=\sqrt{6}\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=\\[6pt] =\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac 63}=\sqrt{2}. \end{gather*}

Oтже, 2 – A.

3. У правильній піраміді бічні ребра рівні $AS=CS.$ $\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SC^2=SO^2+OC^2=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2=6+2=8,\\[7pt] SC=AS=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. \end{gather*}

Oтже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26011

Завдання 18 з 49

Визначте довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо площа її повної поверхні дорівнює 208 см², а довжина сторони основи - 8 см.

А13 см

Б12 см

В9 см

Г8 см

Д6 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$EF$ – апофема (висота бічної грані).

$ABCD$ – квадрат зі стороною $8\ \text{см}$. $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$

За формулою

$$ S_{\text{бічної}}=\frac 12 P_{\text{основи}}\cdot m=\frac 12\cdot 8\cdot 4\cdot m=16m\ (\text{см}^2) $$

запишемо площу бічної поверхні (де $m=EF$) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$

Отже,

$$ S_{\text{повної}}=16m+64=208,\ \ 16m=144,\ \ m=9\ \text{см}. $$

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24695

Завдання 19 з 49

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, апофема – 7 см. Визначте площу повної поверхні цієї піраміди.

А$84\ \text{см}^2$

Б$204\ \text{см}^2$

В$156\ \text{см}^2$

Г$162\ \text{см}^2$

Д$120\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$EABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат зі стороною 6 см.

\begin{gather*} S_{\text{основи}}=S_{ABCD}=AB^2=6^2=36\ \text{см}^2\\[6pt] S_{\text{бічної}}=\frac 12 P_{\text{основи}}\cdot m=\frac 12 P_{ABCD}\cdot EK=\frac 12\cdot 6\cdot 4\cdot 7=84\ (\text{см}^2)\\[6pt] S_{\text{повної}}=S_{\text{основи}} + S_{\text{бічної}}=36+84=120\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23674

Завдання 20 з 49

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює $15$ см, а сторона основи – $9\sqrt{2}$ см. Визначте об'єм цієї піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

648

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

$KABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат, $AB=9\sqrt{2}$ см, $BK=15$ см.

У квадраті $BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18$ см.

$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$

У $\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $BK^2=BO^2+KO^2$,

$KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12$ см – висота піраміди.

$S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162$ см$^2.$

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $648.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21236

Завдання 21 з 49

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $12$ см, апофема – $13$ см. Обчисліть об'єм (у см$^3$) цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

400

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

$EABCD$ – піраміда, $ABCD$ – квадрат, $O=AB\cap BD$,

$EO$ – висота, $EO=12$ см. $EK\perp AB$ – апофема.

У $\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} EK^2=OK^2+OE^2,\\[7pt] OK=\sqrt{EK^2-EO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \textit{см},\\[7pt] AD=2OK=10\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H=\frac 13S_{ABCD}\cdot EO=\frac 13\cdot 10^2\cdot 12=400\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $400.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19974

Завдання 22 з 49

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $24$, апофема утворює з площиною основи піраміди кут $45^\circ.$ Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.

А$24$

Б$16\sqrt{3}$

В$24\sqrt{2}$

Г$48$

Д$48\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди $AO=24.$ За означенням кута між прямою та площиною,
$AO\perp (DOC)$
$AB$ – похила
$OB$ – проекція похилої на площину.

Отже, $\angle ABO=45^\circ.$ $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$ – рівнобедрений.

$OB=OA=24.$
$OB=\frac 12CE$, $CE=48.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19502

Завдання 23 з 49

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $6$ см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом $60^\circ.$ Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

А$72$ см$^2$

Б$24\sqrt{3}$ см$^2$

В$48\sqrt{3}$ см$^2$

Г$72\sqrt{3}$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат зі стороною $6$ см. $SK$ – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ $\angle SKO=60^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(SCD)$ та $(ABC).$

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи.

\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 24\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17077

Завдання 24 з 49

Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $36$ см$^2.$ Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.

А$108$ см$^3$

Б$144$ см$^3$

В$216$ см$^3$

Г $288$ см$^3$

Д$432$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.

$S_{ABCD}=36$ см$^2$, $SO=2AB.$

Піраміда $SABCD$ – правильна, тому $ABCD$ – квадрат.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB^2=36\ \textit{см}^2,\ \ AB=6\ \textit{см},\\[7pt] SO=2\cdot AB=2\cdot 6=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 36\cdot 12=12\cdot 12=144\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16608

Завдання 25 з 49

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $2\sqrt3$ см і нахилена під кутом $60^\circ$ до площини основи. Знайдіть об'єм піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14557

Завдання 26 з 49

$SABC$ i $S_1A_1B_1C_1$ – правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди $SABC$ вдвічі більше за відповідне ребро піраміди $S_1A_1B_1C_1.$ Визначте площу бічної поверхні піраміди $SABC$, якщо площа бічної грані $S_1A_1B_1$ дорівнює $8$ см$^2.$

А$16$ см$^2$

Б$24$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано $SABC$ i $S_1A_1B_1C_1$ – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

$\Delta SAB$ подібний $\Delta S_1A_1B_1$ (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

$$ \frac{S_{SAB}}{S_{S_1B_1C_1}}=\left(\frac{AB}{A_1B_1}\right)^2=k^2. $$

$AB=2A_1B_1$, $k=2$ коефіцієнт подібності $k^2=4.$

$S_{S_1A_1B_1}=8$ см$^2$, тому $S_{SAB}=8\cdot 4=32$ см$^2.$

Площа бічної поверхні піраміди $SABC$ дорівнює $3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96$ см$^2.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14253

Завдання 27 з 49

Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює $10\ \textit{см}$, а довжина бічного ребра – $13\ \textit{см}.$

А$180$ cм$^2$

Б$15\sqrt{69}$ cм$^2$

В$30\sqrt{69}$ cм$^2$

Г$360$ cм$^2$

Д$390$ cм$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, знання формули для обчислення площі поверхні.

Дано: правильна трикутна піраміда, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

$AB=BC=AC=10$ см, $DA=DB=DC=13$ см. $DK\ \perp\ BC$ – апофема, $CK=KB=5$ см.

У $\Delta DKB\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DB^2=DK^2+KB^2,\\[7pt] DK=\sqrt{169-25}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

$$ S_\text{біч}=p_\text{осн}\cdot l, $$ де $p_\text{осн}$ – півпериметр основи, $DK=l$ – апофема.

$$ S_\text{біч}=\frac 12\cdot 30\cdot 12=180\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12520

Завдання 28 з 49

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72$ см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15$ см.

А$6$ см

Б$9$ см

В$10$ см

Г$12$ см

Д$14$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди до розв’язування стереометричних задач, знаходити відстані в просторі, використовувати пряму та обернену теореми про три перпендикуляри.

Піраміда – правильна, тому основа – квадрат, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

$P_{ABCD}=4AB=72$ см, $AB=18$ см.

$SK\ \perp\ CD$ – апофема, $SK=15$ см. $\Delta SDC$ – рівнобедрений, тому $SK$ – висота та медіана.

$DK=KC$, $AD=DC$, $AO=OC$ звідси випливає $OK=\frac 12AD=9$ см.

$\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2,\\[7pt] SO=\sqrt{SK^2-OK^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\\[7pt] =\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12080

Завдання 29 з 49

Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом $60^\circ.$ Визначте об'єм (у см$^3$) цієї піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює $3$ см.

Впишіть відповідь:

324

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної чотирикутної піраміди за відомими радіусом вписаної кулі та кутом нахилу бічної грані до площини основи піраміди.

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$, основою якої є квадрат $ABCD.$ Центр $O$ вписаної у піраміду кулі належить висоті піраміди – відрізку $SO_1$ (точка $O_{1}$ є центром квадрата $ABCD$, тобто точкою перетину його діагоналей). Позначимо точку, в якій вписана куля дотикається бічної грані $DSC$, буквою $K.$ Ця точка лежить на апофемі $SM.$ Згідно з умовою $\angle SMO_{1} = 60^\circ$, а $O_{1}O = OK=3\text{ см}$.

Щоб обчислити об’єм піраміди $SABCD$, потрібно знати площу $S_{осн}$ її основи та висоту $SO_{1}{:}$ $$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1}. $$

З рівності прямокутних трикутників $OO_{1}M$ та $OKM$ (за гіпотенузою та катетом: $OO_{1} = OK$, $OM$ – спільна гіпотенуза) випливає, що

$$ \angle OMO_{1} = \angle OMK = \frac12 \angle SMO_{1} = 30^\circ. $$

У прямокутному трикутнику $OO_{1}M$ відомо: катет $OO_{1} = 3\text{ см}$, $\angle OMO_{1} = 30^\circ.$ Визначаємо другий катет цього трикутника: $$ O_1M = OO_{1}\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\ \text{см}. $$

Висоту $SO_{1}$ визначаємо з прямокутного трикутника $SO_1M{:}$

$$ SO_{1} = O_1M\mathrm{tg}\ \angle O_1MS = O_1M\mathrm{tg}\ 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\ \text{см}. $$

Ураховуючи співвідношення $AD = 2O_{1}M$, визначаємо площу основи піраміди (квадрата $ABCD$):

$$ S_{осн} = (2O_{1}M)^{2} = (2 \cdot 3\sqrt{3})^{2} = 108\ \text{см}^2. $$

Отже, шуканий об’єм піраміди $SABCD{:}$

$$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1} = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 9 = 324\ \text{см}^3. $$

Відповідь: $324.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8197

Завдання 30 з 49

Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює $50\sqrt{3}$, а периметр основи – $50.$ Визначте об'єм $V$ цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює $4.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду $SABC.$ Точка $O$ – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник $ABC$ (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна $SK = 4$, $S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}$, периметр трикутника $ABC$ дорівнює $50.$

Для обчислення об’єму $V$ конуса потрібно знати його радіус $OK$ та висоту $SO$: $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де $p$ – півпериметр трикутника $ABC$, $r = OK.$ Радіус $OK$ визначаємо за цією формулою:

$$ OK = \frac{S_{\Delta ABC}}{p} = \frac{50\sqrt{3}}{25} = 2\sqrt{3}. $$

У прямокутному трикутнику $SOK$ відома гіпотенуза $SK$ та катет $OK.$ За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

$$ SO = \sqrt{SK^{2} - OK^{2}} = \sqrt{16 - 12} = 2. $$

Тоді

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^{2} \cdot 2 = 8\pi,\\[6pt] \frac{V}{\pi} = 8. \end{gather*}

Відповідь: $8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7652

Завдання 31 з 49

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $3$ см, а сторона її основи – 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.

А$6$ см

Б$3\sqrt{5}$ см

В$5\sqrt{3}$ см

Г$9$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та їх елементи. Піраміда.

Це завдання перевіряє знання означення правильної чотирикутної піраміди, вміння знаходити діагональ квадрата та використовувати теорему Піфагора.

Нехай $PABCD$ – правильна чотирикутна піраміда. Висота $PO = 3$ см, сторона основи $AD = 12$ см (див. рисунок). Аналізуючи умову стереометричних завдань такого типу, важливо правильно визначити положення основи висоти піраміди. Оскільки піраміда $PABCD$ є правильною, то основа висоти піраміди – точка $O$ – збігається з точкою перетину діагоналей квадрата $ABCD.$

Визначаємо діагональ квадрата за формулою $d = a\sqrt{2}$, де $a$ – сторона квадрата. Отже, $BD = 12\sqrt{2}$ см, звідки $OB = 6\sqrt{2}$ см. З прямокутного трикутника $POB$ за теоремою Піфагора маємо

$$ PB = \sqrt{PO^{2} + OB^{2}} = \sqrt{9 + (6\sqrt{2})^{2}} = 9\ \text{см}. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7635

Завдання 32 з 49

Об'єм куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ дорівнює $216$ см$^3$ (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди $D_1ACD$ (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

\begin{gather*} V_\text{куба}=a^3=216;\\[6pt] a=6\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V_\text{піраміди}=\frac 13S_{ADC}\cdot DD_1=\frac 13\cdot \frac 12 AD\cdot DC\cdot DD_1=\frac 16 a^3=\frac 16\cdot 216=36\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7529

Завдання 33 з 49

У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут $60^\circ.$ Знайдіть об'єм піраміди (у см$^3$), якщо твірна конуса дорівнює $9$ см і нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати об’єм піраміди, вписаної в конус. Для розв’язання завдання потрібно знати формули об’єму піраміди, площі прямокутного трикутника, означення кута між прямою та площиною та двогранного кута, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Важливим кроком розв’язання практично будь-якої стереометричної задачі є побудова правильного рисунка. За означенням піраміди, вписаної в конус, вершина піраміди співпадає з вершиною конуса, а вершини основи піраміди лежать на колі основи конуса, висота конуса є висотою піраміди.

На рисунку зображено конус, у який вписано трикутну піраміду $SABC$, в основі якої лежить трикутник $ABC$ $(\angle B=90^\circ).$ Усі бічні ребра цієї піраміди є твірними конуса і нахилені до площини основи під одним кутом. Основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника $ABC$ $(\angle B=90^\circ).$ У прямокутному трикутнику центр описаного навколо нього кола є серединою гіпотенузи, тобто точка $O$ – середина гіпотенузи $AC$, $SO$ – висота піраміди.

Згідно з умовою $$ \angle SAO=\angle SBO=\angle SCO=45^\circ. $$ Нехай грань $SBC$, що містить катет $BC$, утворює з площиною основи піраміди кут $60^\circ.$ Проведемо перпендикуляр $OK$ до $BC$, тоді за теоремою про три перпендикуляри $SK\ \perp\ BC$, отже $\angle SKO$ є лінійним кутом двогранного кута між площинами $(SBC)$ і $(ABC)$, тобто кутом між бічною гранню і площиною основи. Тоді за умовою $\angle SKO=60^\circ.$ $AB\ \perp\ BC$ за умовою, $OK\ \perp\ BC$ за побудовою, то $OK\ ||\ AB.$ Оскільки точка $O$ – середина $AC$, то за теоремою Фалеса (паралельні прямі відтинають на сторонах кута $ACB$ рівні відрізки) точка $K$ є серединою катета $BC$, а відрізок $OK$ – середньою лінією трикутника $ABC.$

З прямокутного трикутника $SOC{:}$ \begin{gather*} \sin\angle SCO=\frac{SO}{SC},\\[6pt] \cos\angle SCO=\frac{CO}{SC}, \end{gather*} звідки отримаємо: \begin{gather*} SO=SC\cdot\sin\angle SCO,\\[7pt] CO=SC\cdot\cos\angle SCO. \end{gather*} За умовою $SC=9$ см, тоді \begin{gather*} SO=9\sin 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] OC=9\cos 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] AC=2OC=9\sqrt{2}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника $SOK$ $$ \mathrm{ctg}\angle SKO=\frac{OK}{SO}, $$ звідки визначаємо катет $OK{:}$

$$ OK=SO\cdot \mathrm{ctg}\angle SKO=SO\cdot \mathrm{ctg} 60^\circ=\frac{9\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{6}}{2}. $$

Оскільки $OK$ – середня лінія трикутника $ABC$, яка паралельна стороні $AB$, то $$ AB=2OK=3\sqrt{6}. $$

З прямокутного трикутника $ABC$ за теоремою Піфагора визначаємо катет $BC{:}$

$$ BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{162-54}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}. $$

Об’єм піраміди $SABC$ визначаємо за формулою

$$ V=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot SO=\frac 13\cdot \frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot SO=\frac{1}{6}AB\cdot BC\cdot SO. $$

Таким чином,

$$ V=\frac{1}{6}\cdot 3\sqrt{6}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \frac{9\sqrt{2}}{2}=81\ \text{см}^3. $$

Відповідь: $81.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7197

Завдання 34 з 49

На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює $10$ см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см$^2$).

А$100\sqrt{3}$

Б$100$

В$400\sqrt{3}$

Г$100\cdot (1+\sqrt{3})$

Д$200$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Розгортки многогранників.

Це завдання перевіряє вміння за наданою розгорткою многогранника визначати вид цього многогранника та обчислювати площу його бічної поверхні.

Оскільки розгортка піраміди складається з квадрата та чотирьох правильних трикутників, то це піраміда є правильною. Бічна поверхня заданої чотирикутної піраміди складається з чотирьох рівних правильних трикутників. Отже, площа бічної поверхні $S_\text{б}$ у чотири рази більше за площу рівностороннього трикутника, що є бічною гранню цієї піраміди.

Площа правильного трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою: $$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2. $$

Сторона трикутника $a=10$ см, тоді

$$ S_\text{б}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}\cdot a^2=100\sqrt{3}\ \text{см}^2. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6887

Завдання 35 з 49

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6476

Завдання 36 з 49

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6465

Завдання 37 з 49

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6442

Завдання 38 з 49

У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює $36\pi$ см$^2$. Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом $60^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

324

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6418

Завдання 39 з 49

Впишіть відповідь:

40.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6379

Завдання 40 з 49

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6327

Завдання 41 з 49

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $10$ см, її висота – $8$ см. Знайдіть довжину сторони основи піраміди.

А$12$ см

Б$6\sqrt{3}$ см

В$4$ см

Г$6$ см

Д$6\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6296

Завдання 42 з 49

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD\ (BC\ ||\ AD).$ Бічна грань $SBC$, площа якої дорівнює $24{,}4$ см$^2$, перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка $M$ – середина ребра $SB.$ Площина $(MAD)$ перетинає ребро $SC$ в точці $N.$ Визначте довжину відрізка $MN$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $152$ см$^3$, а площа її основи – $57$ см$^2$.

Впишіть відповідь:

3.05

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

$(SBC)\ \perp\ (ABC)$, тому висота піраміди $SO$ належить цій грані.

$AD\ ||\ BC$ (основи трапеції) $(SBC)$ проходить через пряму $BC\ ||\ DA.$

За ознакою паралельності прямої і площини $AD\ ||\ (SBC).$

Площина $(AMD)$ проходить через $AD\ ||\ (SBC)$, тому $(AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.$

$AD\ ||\ BC$, $AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC$,
$(SAB)\cap (MAD)=AM$, $(SCD)\cap (MAD)=ND.$

$AMND$ – переріз піраміди (трапеція).

\begin{gather*} V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO,\\[6pt] S_{ABCD}=57\ \text{см}^2,\\[6pt] V=152\ \text{см}^3,\\[6pt] 152=\frac{1}{3}\cdot 57\cdot SO,\\[6pt] 152=19\cdot SO,\\[6pt] SO=8\ \text{см},\\[6pt] S_{SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot CO,\\[6pt] 24{,}4=\frac{1}{2}BC\cdot 8,\\[6pt] BC=24{,}4:4=6{,}1\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta SBC$ $MN$ – середня лінія (за умовою $SM=MB$), $MN\ ||\ BC.$ За властивістю середньої лінії трикутника:

$$ MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot6{,}1=3{,}05\ \text{см}. $$

Відповідь: $3{,}05.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6279

Завдання 43 з 49

Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює $4\sqrt3$ см, гострий кут – $30^\circ$. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом $45^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6245

Завдання 44 з 49

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6191

Завдання 45 з 49

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6154

Завдання 46 з 49

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6105

Завдання 47 з 49

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6088

Завдання 48 з 49

Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює $120^\circ.$ Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом $30^\circ.$ Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см$^2$), якщо її висота дорівнює $4$ см.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5346

Завдання 49 з 49

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD$ $(AD\ ||\ BC)$, довжина середньої лінії якої дорівнює $5$ см. Бічне ребро $SB$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $ABCD.$ Знайдіть відстань від середини ребра $SD$ до площини $SBC$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $210$ см$^3.$

Впишіть відповідь:

6.3

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4333

Новини

У ВР планують законодавчо закріпити систему освітніх студентських грантів
Пільгові категорії абітурієнтів: спеціальні умови вступу
Фестиваль «КРОК збирає друзів»: більше ніж День відкритих дверей

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter

Геометрія – Піраміда