Геометрія – Піраміда

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

Дігональним перерізом піраміди є трикутник \(SAC\), де \(AC\) – діагональ основи.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні: \(SA=SC=6\sqrt{2}\) см. За умовою, \(\Delta SAC\) є прямокутним. Оскільки \(SA=SC\), то цей трикутник – рівнобедрений прямокутний із прямим кутом при вершині \((\angle ASC=90^\circ).\)

За теоремою Піфагора для \(\Delta SAC{:}\)

Висота піраміди \(SO\) є медіаною та висотою, проведеною до гіпотенузи \(AC\) у прямокутному трикутнику \(\Delta SAC.\) Вона дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} H=SO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є квадрат \(ABCD.\) Площу квадрата через його діагональ \(AC\) обчислімо за формулою:

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й уміння розв’язувати стереометричні задачі.

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*}

де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, а \(m\) – апофема (висота бічної грані).

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a\). Тоді периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(m=a.\)

Отже,

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12\cdot 4a\cdot a=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

За умовою, бічна грань (наприклад, \(\Delta DBC\)) – рівносторонній трикутник зі стороною \(a=4\sqrt{6}\) см. Це означає, що всі ребра піраміди рівні. Сторона основи \(AB=BC=AC=a=4\sqrt{6}\) см. Бічне ребро \(DA=DB=DC=4\sqrt{6}\) см.

Оскільки піраміда правильна, її висота \(DO\) падає в центр основи – точку перетину медіан, бісектрис і висот трикутника \(ABC.\) Відрізок \(OB\) – радіус описаного кола \((R)\) навколо основи.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta DOB\ (\angle DOB=90^\circ)\), \(DO\) – висота \((H)\) піраміди. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

Основа висоти \(H\) піраміди збігається із центром вписаного кола основи. Розгляньмо прямокутний трикутник \(DOK\), катети якого – висота піраміди \(H=DO\) та радіус вписаного кола \(r=OK\), а гіпотенуза – апофема \(L=DK=8\) см.

Радіус вписаного кола для правильного трикутника:

\begin{gather*} r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(192.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи \((d).\) За умовою трикутник рівносторонній.

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(d\) обчислімо за формулою:

Підставмо значення:

Основа піраміди – квадрат. Діагональ \(d\) ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

Площа основи (квадрата):

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a.\)

Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(H=a.\)

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). \(AB=BC=CA=6\) см.

Апофема \((FK)\) — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, \(m\) – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

Апофема \(m=FK=3\) см.

Відповідь: \(27.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\)

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою.

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – \(a.\)

Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(H=a.\)

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) – ребра основи.

Отже, \(HD\) є ребром основи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди \(SO\) перпендикулярна до основи \(ABCD.\) За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо \(SO\ \perp\ (ABC)\), то \(SO\) перпендикулярна до будь-якої прямої в площині \((ABC)\), а площина \((ABC)\) містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\) – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\(KP\ \perp\ DC\) – апофема піраміди (висота бічної грані). \(KO\ \perp\ (ABC)\), \(KP\) – похила на площину основи, \(OP\) – проєкція похилої \(KP.\) Звідси, \(\angle KPO=45^\circ\) – це кут між прямою \(KP\) і площиною основи.

У \(\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)\), \(\angle P=45^\circ\), тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

\(\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).\) \(AD=DC\), \(AC=18\sqrt{2}\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD\mathord{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) – ребра основи. Отже, \(SA\) є бічним ребром.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого \(20\ \text{см}\) і \(12\ \text{см}.\) Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Сторона основи піраміди \(8\ \text{см},\) а апофема на \(2\ \text{см}\) більше, тому її довжина \(10\ \text{см}.\)

За формулою $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}\) – периметр основи \(m\) – апофема, знаходимо площу бічної поверхні:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

1. Піраміда правильна – в основі лежить квадрат \(ABCD.\)

2. \(KM\) – висота бічної грані $$ (KM\perp DC),\ KM=15\ \text{см}. $$

За теоремою про три перпендикуляри \begin{gather*} KO\perp\ (ABC),\\[7pt] KM\perp DC\ (\text{похила}),\\[7pt] OM - \text{проекція похилої},\\[6pt] OM=\frac 12 AD=\frac 12\cdot 18=9\ (\text{см}).\\[6pt] \text{Звідси},\ OM\perp CD. \end{gather*}

3. \(\Delta KOM\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\) \(S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.\) Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою \(H=a.\)

Отже, \(V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі на обчислення невідомих елементів піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(PABCD\) – правильна чотирикутна піраміда, тому \(ABCD\) – квадрат, \(O\) – точка перетину діагоналей, \(PO\) – висота.

\(P_{ABCD}=4AB=72\ \text{см},\ \ AB=18\ \text{см}.\)

\(PK\) – апофема (висота бічної грані). \(OK\perp AB\) (за теоремою про три перпендикуляри).

\begin{gather*} OK=\frac 12 AB=9\ \text{см}.\\[7pt] \Delta POK\ (\angle O=90^\circ) \end{gather*} за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.

На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(\text{точка}\ O\) – центр квадрата.

1. \(AC=2AO=2\sqrt{6}\) діагоналі квадрата в точці перетину діляться навпіл. Отже, 1 – Г.

2. \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\)

Oтже, 2 – A.

3. У правильній піраміді бічні ребра рівні \(AS=CS.\) \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Oтже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(EF\) – апофема (висота бічної грані).

\(ABCD\) – квадрат зі стороною \(8\ \text{см}\). $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$

За формулою

запишемо площу бічної поверхні (де \(m=EF\)) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$

Отже,

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат зі стороною 6 см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.

У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.

У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),

\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.

\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

Відповідь: \(648.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(EABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(O=AB\cap BD\),

\(EO\) – висота, \(EO=12\) см. \(EK\perp AB\) – апофема.

У \(\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(400.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.

Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.

\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.

\(S_{ABCD}=36\) см\(^2\), \(SO=2AB.\)

Піраміда \(SABCD\) – правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано \(SABC\) i \(S_1A_1B_1C_1\) – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

\(\Delta SAB\) подібний \(\Delta S_1A_1B_1\) (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

\(AB=2A_1B_1\), \(k=2\) коефіцієнт подібності \(k^2=4.\)

\(S_{S_1A_1B_1}=8\) см\(^2\), тому \(S_{SAB}=8\cdot 4=32\) см\(^2.\)

Площа бічної поверхні піраміди \(SABC\) дорівнює \(3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96\) см\(^2.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, знання формули для обчислення площі поверхні.

Дано: правильна трикутна піраміда, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

\(AB=BC=AC=10\) см, \(DA=DB=DC=13\) см. \(DK\ \perp\ BC\) – апофема, \(CK=KB=5\) см.

У \(\Delta DKB\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

$$ S_\text{біч}=p_\text{осн}\cdot l, $$ де \(p_\text{осн}\) – півпериметр основи, \(DK=l\) – апофема.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди до розв’язування стереометричних задач, знаходити відстані в просторі, використовувати пряму та обернену теореми про три перпендикуляри.

Піраміда – правильна, тому основа – квадрат, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

\(P_{ABCD}=4AB=72\) см, \(AB=18\) см.

\(SK\ \perp\ CD\) – апофема, \(SK=15\) см. \(\Delta SDC\) – рівнобедрений, тому \(SK\) – висота та медіана.

\(DK=KC\), \(AD=DC\), \(AO=OC\) звідси випливає \(OK=\frac 12AD=9\) см.

\(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної чотирикутної піраміди за відомими радіусом вписаної кулі та кутом нахилу бічної грані до площини основи піраміди.

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду \(SABCD\), основою якої є квадрат \(ABCD.\) Центр \(O\) вписаної у піраміду кулі належить висоті піраміди – відрізку \(SO_1\) (точка \(O_{1}\) є центром квадрата \(ABCD\), тобто точкою перетину його діагоналей). Позначимо точку, в якій вписана куля дотикається бічної грані \(DSC\), буквою \(K.\) Ця точка лежить на апофемі \(SM.\) Згідно з умовою \(\angle SMO_{1} = 60^\circ\), а \(O_{1}O = OK=3\text{ см}\).

Щоб обчислити об’єм піраміди \(SABCD\), потрібно знати площу \(S_{осн}\) її основи та висоту \(SO_{1}{:}\) $$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1}. $$

З рівності прямокутних трикутників \(OO_{1}M\) та \(OKM\) (за гіпотенузою та катетом: \(OO_{1} = OK\), \(OM\) – спільна гіпотенуза) випливає, що

У прямокутному трикутнику \(OO_{1}M\) відомо: катет \(OO_{1} = 3\text{ см}\), \(\angle OMO_{1} = 30^\circ.\) Визначаємо другий катет цього трикутника: $$ O_1M = OO_{1}\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\ \text{см}. $$

Висоту \(SO_{1}\) визначаємо з прямокутного трикутника \(SO_1M{:}\)

Ураховуючи співвідношення \(AD = 2O_{1}M\), визначаємо площу основи піраміди (квадрата \(ABCD\)):

Отже, шуканий об’єм піраміди \(SABCD{:}\)

Відповідь: \(324.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду \(SABC.\) Точка \(O\) – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник \(ABC\) (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна \(SK = 4\), \(S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}\), периметр трикутника \(ABC\) дорівнює \(50.\)

Для обчислення об’єму \(V\) конуса потрібно знати його радіус \(OK\) та висоту \(SO\): $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де \(p\) – півпериметр трикутника \(ABC\), \(r = OK.\) Радіус \(OK\) визначаємо за цією формулою:

У прямокутному трикутнику \(SOK\) відома гіпотенуза \(SK\) та катет \(OK.\) За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

Тоді

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та їх елементи. Піраміда.

Це завдання перевіряє знання означення правильної чотирикутної піраміди, вміння знаходити діагональ квадрата та використовувати теорему Піфагора.

Нехай \(PABCD\) – правильна чотирикутна піраміда. Висота \(PO = 3\) см, сторона основи \(AD = 12\) см (див. рисунок). Аналізуючи умову стереометричних завдань такого типу, важливо правильно визначити положення основи висоти піраміди. Оскільки піраміда \(PABCD\) є правильною, то основа висоти піраміди – точка \(O\) – збігається з точкою перетину діагоналей квадрата \(ABCD.\)

Визначаємо діагональ квадрата за формулою \(d = a\sqrt{2}\), де \(a\) – сторона квадрата. Отже, \(BD = 12\sqrt{2}\) см, звідки \(OB = 6\sqrt{2}\) см. З прямокутного трикутника \(POB\) за теоремою Піфагора маємо

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

Об'єм піраміди

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати об’єм піраміди, вписаної в конус. Для розв’язання завдання потрібно знати формули об’єму піраміди, площі прямокутного трикутника, означення кута між прямою та площиною та двогранного кута, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Важливим кроком розв’язання практично будь-якої стереометричної задачі є побудова правильного рисунка. За означенням піраміди, вписаної в конус, вершина піраміди співпадає з вершиною конуса, а вершини основи піраміди лежать на колі основи конуса, висота конуса є висотою піраміди.

На рисунку зображено конус, у який вписано трикутну піраміду \(SABC\), в основі якої лежить трикутник \(ABC\) \((\angle B=90^\circ).\) Усі бічні ребра цієї піраміди є твірними конуса і нахилені до площини основи під одним кутом. Основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника \(ABC\) \((\angle B=90^\circ).\) У прямокутному трикутнику центр описаного навколо нього кола є серединою гіпотенузи, тобто точка \(O\) – середина гіпотенузи \(AC\), \(SO\) – висота піраміди.

Згідно з умовою $$ \angle SAO=\angle SBO=\angle SCO=45^\circ. $$ Нехай грань \(SBC\), що містить катет \(BC\), утворює з площиною основи піраміди кут \(60^\circ.\) Проведемо перпендикуляр \(OK\) до \(BC\), тоді за теоремою про три перпендикуляри \(SK\ \perp\ BC\), отже \(\angle SKO\) є лінійним кутом двогранного кута між площинами \((SBC)\) і \((ABC)\), тобто кутом між бічною гранню і площиною основи. Тоді за умовою \(\angle SKO=60^\circ.\) \(AB\ \perp\ BC\) за умовою, \(OK\ \perp\ BC\) за побудовою, то \(OK\ ||\ AB.\) Оскільки точка \(O\) – середина \(AC\), то за теоремою Фалеса (паралельні прямі відтинають на сторонах кута \(ACB\) рівні відрізки) точка \(K\) є серединою катета \(BC\), а відрізок \(OK\) – середньою лінією трикутника \(ABC.\)

З прямокутного трикутника \(SOC{:}\) \begin{gather*} \sin\angle SCO=\frac{SO}{SC},\\[6pt] \cos\angle SCO=\frac{CO}{SC}, \end{gather*} звідки отримаємо: \begin{gather*} SO=SC\cdot\sin\angle SCO,\\[7pt] CO=SC\cdot\cos\angle SCO. \end{gather*} За умовою \(SC=9\) см, тоді \begin{gather*} SO=9\sin 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] OC=9\cos 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] AC=2OC=9\sqrt{2}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(SOK\) $$ \mathrm{ctg}\angle SKO=\frac{OK}{SO}, $$ звідки визначаємо катет \(OK{:}\)

Оскільки \(OK\) – середня лінія трикутника \(ABC\), яка паралельна стороні \(AB\), то $$ AB=2OK=3\sqrt{6}. $$

З прямокутного трикутника \(ABC\) за теоремою Піфагора визначаємо катет \(BC{:}\)

Об’єм піраміди \(SABC\) визначаємо за формулою

Таким чином,

Відповідь: \(81.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Розгортки многогранників.

Це завдання перевіряє вміння за наданою розгорткою многогранника визначати вид цього многогранника та обчислювати площу його бічної поверхні.

Оскільки розгортка піраміди складається з квадрата та чотирьох правильних трикутників, то це піраміда є правильною. Бічна поверхня заданої чотирикутної піраміди складається з чотирьох рівних правильних трикутників. Отже, площа бічної поверхні \(S_\text{б}\) у чотири рази більше за площу рівностороннього трикутника, що є бічною гранню цієї піраміди.

Площа правильного трикутника зі стороною \(a\) обчислюється за формулою: $$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2. $$

Сторона трикутника \(a=10\) см, тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди та кулі, формули об’єму піраміди, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв’язування стереометричних задач.

Дано: піраміда \(DABC\), в основі якої лежить \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(\angle A = 15^\circ.\)

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), отже, основа висоти (точка \(O\)) – центр описаного навколо \(\Delta ABC\) кола. У прямокутному трикутнику – це середина гіпотенузи \(AB\).

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка \(O_1\) належить висоті \(DO.\)

\(DB\), \(DC\), \(DA\) – похилі; \(OB\), \(OC\), \(OA\) – їхні проекції. Отже,

У \(\Delta ADB\ (\angle A = \angle B = 60^\circ).\) Отже, \(\angle D = 60^\circ.\) \(\Delta ADB\) – рівносторонній, точка \(O_1\) – центр описаного кола (\(O_1D = O_1B = O_1A = 6\) см). \(AB = O_1D\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.

У \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(AC = AB\cos 15^\circ = 6\sqrt{3}\cos 15^\circ.\)

Відповідь: \(40{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди, знання формули об’єму піраміди.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(AB = BC = CD = DA = 4\) см.

\begin{gather*} V = \frac 13 S_{\text{осн.}} \cdot H, \end{gather*}

де \(S_{\text{осн.}} = S_{ABCD}\), \(H = EO\) – висота піраміди.

\begin{gather*} S_{\text{осн.}} = AB^2 = 4^2 = 16\ \text{см}^2;\\[6pt] 64 = \frac 13 \cdot 16 \cdot H;\\[6pt] H = \frac{64 \cdot 3}{16} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування задач, знання теореми Піфагора.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат. \(SK\!\perp\!AB\), \(SK = 10\) см – апофема. \(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SO = 8\) см висота піраміди.

У \(\Delta SOK\) \((\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\(KO = \dfrac{1}{2}AD\), \(AD = 12\) см (\(KO\) – радіус вписаного кола у квадрат \(ABCD\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

\((SBC)\ \perp\ (ABC)\), тому висота піраміди \(SO\) належить цій грані.

\(AD\ ||\ BC\) (основи трапеції) \((SBC)\) проходить через пряму \(BC\ ||\ DA.\)

За ознакою паралельності прямої і площини \(AD\ ||\ (SBC).\)

Площина \((AMD)\) проходить через \(AD\ ||\ (SBC)\), тому \((AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.\)

\(AD\ ||\ BC\), \(AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC\),
\((SAB)\cap (MAD)=AM\), \((SCD)\cap (MAD)=ND.\)

\(AMND\) – переріз піраміди (трапеція).

У \(\Delta SBC\) \(MN\) – середня лінія (за умовою \(SM=MB\)), \(MN\ ||\ BC.\) За властивістю середньої лінії трикутника:

Відповідь: \(3{,}05.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі поверхні многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B = 30^\circ.\)

Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під одним кутом, тому основа висоти \(EO\) – центр вписаного в ромб кола. Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба.

У ромбі \(ABCD\) проведемо \(OK\!\perp\!AB.\) \(OK\) – радіус вписаного кола, \(OK = 3\) см.

\(OK\!\perp\!AB\), \(EK\!\perp\!AB\) (за теоремою про три перпендикуляри).

\((EKO)\!\perp\!AB\) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

\(\angle EKO = 60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((ABC)\) та \((ABE).\)

У ромбі \(ABCD\ OK = \dfrac 12CH.\)

(\(CH\!\perp\!AB\) – висота ромба).

\(\Delta BCH\ (\angle H = 90^\circ)\), \(\angle B = 30^\circ\) за властивістю катета, протилежного до кута \(30^\circ\),

Ортогональна проекція бічної поверхні – основа піраміди (ромб).

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників та тіл обертання, формул площ поверхонь тіл обертання.

\(EABCD\) – піраміда. У піраміду вписано конус, тому висота піраміди збігається з висотою конуса \(EO.\) Основа конуса – коло, вписане в трапецію. \(OK\!\perp\!BC\) – радіус даного кола.

Усі бічні грані нахилені до основи під кутом \(60^\circ.\) \(OK\) – проекція похилої \(EK\) на площину \((ABC).\) Отже, за теоремою про три перпендикуляри, \(EK\!\perp\!BC\).

\((EKO)\!\perp\!BC\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини), тому \(\angle EKO = 60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного.

\(AD = CB = 13\) см, \(DC = 8\) см, \(AB = 18\) см.

Проведемо висоти \(DM\), \(CP.\)

\(DC = MP = 8\) см, \(AM = PB = (18 - 8) : 2 = 5\) см.

У \(\Delta AMD\ (\angle M = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Висота трапеції – діаметр вписаного кола. Отже,

У \(\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)\)

де \(r\) – радіус основи, \(l\) – твірна.

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(SABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(SO\) – висота. \(SO = 3\) см, \(SB = 5\) см.

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SB\) – похила, \(BO\) – проекція похилої, звідси \(\angle(SB,\ (ABC)) = \angle SBO.\)

\(\Delta SOB\ (\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(SABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат.
\(SO = 4\) см – висота піраміди, \(SK\!\perp\!AD\), \(SK = 5\) см – апофема.

\(SK\!\perp\!AD\), \(SO\!\perp\!(ABC)\), \(OK\!\perp\!AD\) (за теоремою про три перпендикуляри), звідси \((SKO)\!\perp\!AD\), \(\angle SKO\) – лінійний кут відповідного двогранного.

У \(\Delta SOK\ (\angle O = 90^\circ)\ \cos K = \dfrac{OK}{SK}\).

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK^2 = SK^2 - SO^2 = 25 - 16 = 9,\\[7pt] OK = 3\ \text{см},\\[6pt] \cos K = \frac{3}{5}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – ромб, \(\angle B = 120^\circ.\)

Побудуємо \(BK\!\perp\!AD\), \(BM\!\perp\!CD\) (висоти ромба). За теоремою про три перпендикуляри \(SK\!\perp\!AD\), \(SM\!\perp\!CD.\)

\((SKB)\!\perp\!AD \Rightarrow \angle SKB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SAD)\) і \((ABC).\)

\((SMB)\!\perp\!CD\ \Rightarrow \angle SMB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SDC)\) і \((ABC).\)

У \(\Delta SBK\) \((\angle B = 90^\circ)\), \(\angle K = 30^\circ\),

\(\Delta ABK\) \((\angle K = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\) (за властивістю кутів ромба \(\angle A + \angle B = 180^\circ\))

\begin{gather*} AB = \frac{BK}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ASD = \Delta CSD\) (за трьома сторонами: \(AD = DC\) – сторони ромба, \(SD\) – спільна, \(SA = SC\) як рівні похилі).

\(\Delta SBA = \Delta SBC\) (за трьома сторонами),

Відповідь: \(96.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди, ознак паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, властивостей подібних фігур; уміння знаходити відстані у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда. \(ABCD\) – трапеція \((AD\ ||\ BC)\), \(MN\) – середня лінія.

\(SB\!\perp\!(ABC)\rightarrow SB\) – висота піраміди.

\(MN=5\) см, \(SB=2MN=2\cdot5=10\) см.

Точка \(D_1\) – середина \(SD\).

У

за ознакою паралельності площин.

Відстань від точки \(D_1\) до площини \((SBC)\) – висота трапеції \(A_1D_1C_1D_1\), \((D_1E_1\!\perp\!B_1C_1).\)

\(D_1\) – середина \(SD.\) \(ABCD\) подібна \(A_1B_1C_1D_1\) (за пропорційними сторонами)

\(k=\dfrac{1}{2}\) – коефіцієнт подібності.

$$ D_1E_1=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\cdot 12{,}6=6{,}3\ \text{см}. $$

Відповідь: \(6{,}3.\)