Піраміда – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Геометрія
Розділ: Стереометрія
Тема: Піраміда
Кількість завдань: 62

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 62

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD$ $(AD\ ||\ BC)$, довжина середньої лінії якої дорівнює $5$ см. Бічне ребро $SB$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $ABCD.$ Знайдіть відстань від середини ребра $SD$ до площини $SBC$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $210$ см$^3.$

Впишіть відповідь:

6.3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди, ознак паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, властивостей подібних фігур; уміння знаходити відстані у просторі.

Нехай $SABCD$ – піраміда. $ABCD$ – трапеція $(AD\ ||\ BC)$, $MN$ – середня лінія.

$SB\!\perp\!(ABC)\rightarrow SB$ – висота піраміди.

$MN=5$ см, $SB=2MN=2\cdot5=10$ см.

Точка $D_1$ – середина $SD$.

$$ \left.\begin{array}{l} (SCD)\ D_1C_1\ ||\ DC\\ (SAD)\ A_1D_1\ ||\ AD \end{array}\right| \rightarrow(A_1D_1C_1)\ ||\ (ADC) $$

за ознакою паралельності площин.

$(SBC)\!\perp\!(ABC)\rightarrow(A_1D_1C_1)\!\perp\!(SBC)$
$(ABC)\ ||\ (A_1D_1C_1).$

Відстань від точки $D_1$ до площини $(SBC)$ – висота трапеції $A_1D_1C_1D_1$, $(D_1E_1\!\perp\!B_1C_1).$

\begin{gather*} V=\frac{1}{3}S_{\text{основи}}\cdot H=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SB,\\[6pt] \frac{1}{3}S_{\text{основи}}\cdot 10=210,\\[6pt] S_{\text{основи}}=63\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{\text{основи}}=\frac{AD+BC}{2}\cdot DE=MN\cdot DE=5\cdot DE=63,\\[6pt] DE=12{,}6\ \text{см}. \end{gather*}

$D_1$ – середина $SD.$ $ABCD$ подібна $A_1B_1C_1D_1$ (за пропорційними сторонами)

$k=\dfrac{1}{2}$ – коефіцієнт подібності.

$$ D_1E_1=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\cdot 12{,}6=6{,}3\ \text{см}. $$

Відповідь: $6{,}3.$

Тест 1. Завдання: 4333

Завдання 2 з 62

Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює $120^\circ.$ Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом $30^\circ.$ Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см$^2$), якщо її висота дорівнює $4$ см.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

Нехай $SABCD$ – піраміда, $ABCD$ – ромб, $\angle B = 120^\circ.$

\begin{gather*} \left.\begin{array}{l} (SBA)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC) \cap (SBA) = SB, \end{array}\right| \Rightarrow\ SB\ –\ \text{висота піраміди}=4\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуємо $BK\!\perp\!AD$, $BM\!\perp\!CD$ (висоти ромба). За теоремою про три перпендикуляри $SK\!\perp\!AD$, $SM\!\perp\!CD.$

$(SKB)\!\perp\!AD \Rightarrow \angle SKB = 30^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного між площинами $(SAD)$ і $(ABC).$

$(SMB)\!\perp\!CD\ \Rightarrow \angle SMB = 30^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного між площинами $(SDC)$ і $(ABC).$

У $\Delta SBK$ $(\angle B = 90^\circ)$, $\angle K = 30^\circ$,

\begin{gather*} SB = 4\ \text{см},\\[7pt] KB = SB\mathrm{ctg}\ \angle K = 4\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 4\sqrt{3}\ \text{см},\\[6pt] SK = \frac{SB}{\sin K} = \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0{,}5} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta ABK$ $(\angle K = 90^\circ)$, $\angle A = 60^\circ$ (за властивістю кутів ромба $\angle A + \angle B = 180^\circ$)

\begin{gather*} AB = \frac{BK}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta ASD = \Delta CSD$ (за трьома сторонами: $AD = DC$ – сторони ромба, $SD$ – спільна, $SA = SC$ як рівні похилі).

\begin{gather*} S_{ASD} = S_{CSD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\ \text{см}^2. \end{gather*}

$\Delta SBA = \Delta SBC$ (за трьома сторонами),

\begin{gather*} S_{SBA} = S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{бічна} = 2(S_{ABS} + S_{ASD}) = 2 \cdot (32 + 16) = 2 \cdot 48 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $96.$

Тест 2. Завдання: 5346

Завдання 3 з 62

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $4$ см, а її апофема – $5$ см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

А$\dfrac 15$

Б$\dfrac 35$

В$\dfrac 34$

Г$\dfrac 45$

Д$\dfrac 43$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

$SABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат.
$SO = 4$ см – висота піраміди, $SK\!\perp\!AD$, $SK = 5$ см – апофема.

$SK\!\perp\!AD$, $SO\!\perp\!(ABC)$, $OK\!\perp\!AD$ (за теоремою про три перпендикуляри), звідси $(SKO)\!\perp\!AD$, $\angle SKO$ – лінійний кут відповідного двогранного.

У $\Delta SOK\ (\angle O = 90^\circ)\ \cos K = \dfrac{OK}{SK}$.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK^2 = SK^2 - SO^2 = 25 - 16 = 9,\\[7pt] OK = 3\ \text{см},\\[6pt] \cos K = \frac{3}{5}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 3. Завдання: 6088

Завдання 4 з 62

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $3$ см, а бічне ребро – $5$ см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.

А$\dfrac{4}{5}$

Б$\dfrac{1}{5}$

В$\dfrac{3}{5}$

Г$\dfrac{4}{3}$

Д$\dfrac{3}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

$SABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат, $SO$ – висота. $SO = 3$ см, $SB = 5$ см.

$SO\!\perp\!(ABC)$, $SB$ – похила, $BO$ – проекція похилої, звідси $\angle(SB,\ (ABC)) = \angle SBO.$

$\Delta SOB\ (\angle O = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SB^2 = SO^2 + OB^2;\\[7pt] BO^2 = SB^2 - SO^2 = 25 - 9 = 16;\\[7pt] BO = 4\ \text{см}.\\[6pt] \cos\angle SBO = \frac{BO}{SB} = \frac{4}{5}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 121. Завдання: 6105

Завдання 5 з 62

У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною $13$ см і основами $18$ см і $8$ см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса $S_\text{бічне}$ (у см$^2$), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$. У відповіді запишіть значення $\dfrac{S_\text{бічне}}{\pi}$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників та тіл обертання, формул площ поверхонь тіл обертання.

$EABCD$ – піраміда. У піраміду вписано конус, тому висота піраміди збігається з висотою конуса $EO.$ Основа конуса – коло, вписане в трапецію. $OK\!\perp\!BC$ – радіус даного кола.

Усі бічні грані нахилені до основи під кутом $60^\circ.$ $OK$ – проекція похилої $EK$ на площину $(ABC).$ Отже, за теоремою про три перпендикуляри, $EK\!\perp\!BC$.

$(EKO)\!\perp\!BC$ (за ознакою перпендикулярності прямої та площини), тому $\angle EKO = 60^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного.

$AD = CB = 13$ см, $DC = 8$ см, $AB = 18$ см.

Проведемо висоти $DM$, $CP.$

$DC = MP = 8$ см, $AM = PB = (18 - 8) : 2 = 5$ см.

У $\Delta AMD\ (\angle M = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2 = DM^2 + AM^2;\\[7pt] DM = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції – діаметр вписаного кола. Отже,

\begin{gather*} r = \frac{DM}{2} = \frac{12}{2} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)$

\begin{gather*} EK = \frac{OK}{\cos K} = \frac{6}{\cos 60^\circ} = 12\ \text{см}.\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi rl, \end{gather*}

де $r$ – радіус основи, $l$ – твірна.

\begin{gather*} r = OK = 6\ \text{см};\\[7pt] l = EK = 12\ \text{см};\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S_{\text{біч}}}{\pi} = \frac{72\pi}{\pi} = 72. \end{gather*}

Відповідь: $72.$

Тест 122. Завдання: 6154

Завдання 6 з 62

Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює $30^\circ$. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом $60^\circ$. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см$^2$), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює $3$ см.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі поверхні многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$ABCD$ – ромб, $\angle B = 30^\circ.$

Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під одним кутом, тому основа висоти $EO$ – центр вписаного в ромб кола. Точка $O$ – точка перетину діагоналей ромба.

У ромбі $ABCD$ проведемо $OK\!\perp\!AB.$ $OK$ – радіус вписаного кола, $OK = 3$ см.

$OK\!\perp\!AB$, $EK\!\perp\!AB$ (за теоремою про три перпендикуляри).

$(EKO)\!\perp\!AB$ (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

$\angle EKO = 60^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного між площинами $(ABC)$ та $(ABE).$

У ромбі $ABCD\ OK = \dfrac 12CH.$

($CH\!\perp\!AB$ – висота ромба).

\begin{gather*} CH = 2 \cdot OK = 6\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta BCH\ (\angle H = 90^\circ)$, $\angle B = 30^\circ$ за властивістю катета, протилежного до кута $30^\circ$,

\begin{gather*} BC = 2 \cdot CH = 12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABCD} = AB^2 \sin B = 12^2 \cdot \sin 30^\circ = 144 \cdot \frac 12 = 72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Ортогональна проекція бічної поверхні – основа піраміди (ромб).

\begin{gather*} S_\text{біч} = \frac{S_\text{осн}}{\cos K} = \frac{72}{\cos 60^\circ} = 72 : \frac 12 = 144\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Тест 123. Завдання: 6191

Завдання 7 з 62

Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює $4\sqrt3$ см, гострий кут – $30^\circ$. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом $45^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$DABC$ – піраміда, $\Delta ABC$ – прямокутний, $\angle C = 90^\circ$, $AB = 4\sqrt{3}$ см, $\angle A = 30^\circ$.

Усі бічні ребра $DA$, $DB$, $DC$ нахилені до площини під кутом $45^\circ$ – основа висоти піраміди є центром описаного навколо $\Delta ABC$ кола.

Центр кола точка $O$ – середина гіпотенузи.

$DA$, $DC$, $DB$ – похилі до площини $(ABC).$

$OA$, $OC$, $OB$ – проекції похилих.

Отже, кути між бічними ребрами та площиною основи

\begin{gather*} \angle DAO = \angle DCO = \angle DBO = 45^\circ. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)$, $\angle A = 30^\circ$, $AB = 4\sqrt{3}$ см.

\begin{gather*} AC = AB\cos A = 4\sqrt{3}\cos 30^\circ = \frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2} = 6\ \text{см};\\[6pt] S_{ABC} = \frac 12\cdot AB \cdot AC\sin A = \frac 12\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6 \cdot \sin 30^\circ = 6\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

У $\Delta AOD\ (\angle O = 90^\circ)$, $\angle A = 45^\circ$, $AO = \dfrac 12AB = 2\sqrt{3}$ см. Отже, $\angle D = 45^\circ$ та $\Delta AOD$ – рівнобедрений $AO = OD = 2\sqrt{3}$ см.

\begin{gather*} V = \frac 13S_\text{осн} \cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{осн} = S_{ABC} = 6\sqrt{3}\ \text{см}^2;\\[6pt] H = DO = 2\sqrt{3}\ \text{см}.\\[6pt] V = \frac 13\cdot 6\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3} = 12\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Тест 124. Завдання: 6245

Завдання 8 з 62

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD\ (BC\ ||\ AD).$ Бічна грань $SBC$, площа якої дорівнює $24{,}4$ см$^2$, перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка $M$ – середина ребра $SB.$ Площина $(MAD)$ перетинає ребро $SC$ в точці $N.$ Визначте довжину відрізка $MN$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $152$ см$^3$, а площа її основи – $57$ см$^2$.

Впишіть відповідь:

3.05

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

$(SBC)\ \perp\ (ABC)$, тому висота піраміди $SO$ належить цій грані.

$AD\ ||\ BC$ (основи трапеції) $(SBC)$ проходить через пряму $BC\ ||\ DA.$

За ознакою паралельності прямої і площини $AD\ ||\ (SBC).$

Площина $(AMD)$ проходить через $AD\ ||\ (SBC)$, тому $(AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.$

$AD\ ||\ BC$, $AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC$,
$(SAB)\cap (MAD)=AM$, $(SCD)\cap (MAD)=ND.$

$AMND$ – переріз піраміди (трапеція).

\begin{gather*} V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO,\\[6pt] S_{ABCD}=57\ \text{см}^2,\\[6pt] V=152\ \text{см}^3,\\[6pt] 152=\frac{1}{3}\cdot 57\cdot SO,\\[6pt] 152=19\cdot SO,\\[6pt] SO=8\ \text{см},\\[6pt] S_{SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot CO,\\[6pt] 24{,}4=\frac{1}{2}BC\cdot 8,\\[6pt] BC=24{,}4:4=6{,}1\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta SBC$ $MN$ – середня лінія (за умовою $SM=MB$), $MN\ ||\ BC.$ За властивістю середньої лінії трикутника:

$$ MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot6{,}1=3{,}05\ \text{см}. $$

Відповідь: $3{,}05.$

Тест 125. Завдання: 6279

Завдання 9 з 62

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $10$ см, її висота – $8$ см. Знайдіть довжину сторони основи піраміди.

А$12$ см

Б$6\sqrt{3}$ см

В$4$ см

Г$6$ см

Д$6\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування задач, знання теореми Піфагора.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат. $SK\!\perp\!AB$, $SK = 10$ см – апофема. $SO\!\perp\!(ABC)$, $SO = 8$ см висота піраміди.

У $\Delta SOK$ $(\angle O = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

$KO = \dfrac{1}{2}AD$, $AD = 12$ см ($KO$ – радіус вписаного кола у квадрат $ABCD$).

Відповідь: A.

Тест 126. Завдання: 6296

Завдання 10 з 62

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $4$ см, а об’єм – $64$ см$^3$. Знайдіть висоту піраміди.

А$\dfrac43$ см

Б$4$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди, знання формули об’єму піраміди.

$EABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат, $AB = BC = CD = DA = 4$ см.

\begin{gather*} V = \frac 13 S_{\text{осн.}} \cdot H, \end{gather*}

де $S_{\text{осн.}} = S_{ABCD}$, $H = EO$ – висота піраміди.

\begin{gather*} S_{\text{осн.}} = AB^2 = 4^2 = 16\ \text{см}^2;\\[6pt] 64 = \frac 13 \cdot 16 \cdot H;\\[6pt] H = \frac{64 \cdot 3}{16} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 127. Завдання: 6327

Завдання 11 з 62

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із кутом $15^\circ$. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$. Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює $6$ см. Обчисліть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

40.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди та кулі, формули об’єму піраміди, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв’язування стереометричних задач.

Дано: піраміда $DABC$, в основі якої лежить $\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)$, $\angle A = 15^\circ.$

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$, отже, основа висоти (точка $O$) – центр описаного навколо $\Delta ABC$ кола. У прямокутному трикутнику – це середина гіпотенузи $AB$.

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка $O_1$ належить висоті $DO.$

\begin{gather*} DO_1 = O_1A = O_1B = O_1C = 6\ \text{см}. \end{gather*}

$DB$, $DC$, $DA$ – похилі; $OB$, $OC$, $OA$ – їхні проекції. Отже,

\begin{gather*} \angle(DB, (ABC)) = \angle(DC, (ABC)) = \angle(DA, (ABC)) = 60^\circ.\\[7pt] \angle DBO = \angle DCO = \angle DAO = 60^\circ. \end{gather*}

У $\Delta ADB\ (\angle A = \angle B = 60^\circ).$ Отже, $\angle D = 60^\circ.$ $\Delta ADB$ – рівносторонній, точка $O_1$ – центр описаного кола ($O_1D = O_1B = O_1A = 6$ см). $AB = O_1D\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

У $\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)$, $AC = AB\cos 15^\circ = 6\sqrt{3}\cos 15^\circ.$

\begin{gather*} S_{ABC} = \frac 12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 15^\circ = \frac 12 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}\cos 15^\circ\sin 15^\circ =\\[6pt] =3 \cdot 9 \cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ= 27\sin 30^\circ = \frac{27}{2}\ \text{см}^2;\\[6pt] DO = \frac 32 \cdot DO_1 = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\ \text{см};\\[6pt] \frac{DO_1}{O_1O} = \frac 21;\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 S_{ABC} \cdot DO = \frac 13 \cdot \frac{27}{2} \cdot 9 = \frac{81}{2} = 40{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $40{,}5.$

Тест 128. Завдання: 6379

Завдання 12 з 62

У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює $36\pi$ см$^2$. Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом $60^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

324

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для об’єму піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$EABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат, $EO$ – висота піраміди, центр квадрата.

Побудуємо апофеми $EK\!\perp\!DC$, $EL\!\perp\!AD$, $EM\!\perp\!AB$, $EN\!\perp\!BC.$ $DK = KC = AL = LD = AM = MB = BN = NC.$

За теоремою про три перпендикуляри $OK\!\perp\!DC$, $OL\!\perp\!AD$, $OM\!\perp\!AB$, $ON\!\perp\!BC.$

$(EOK)\!\perp\!DC$, $\angle EKO$ – лінійний кут відповідного двогранного, $\angle EKO = 60^\circ.$ Аналогічно $\angle ELO = \angle EMO = \angle ENO = 60^\circ.$

Центр сфери, вписаної у піраміду, належить висоті $EO$ (точка $O_1$). У $\Delta EOK$ на катеті $EO$ виберемо точку $O_1$ так, щоб $OO_1=O_1H$, $O_1H\!\perp\! EK.$ $(EOK)\!\perp\!(EDC)$ за ознакою перпендикулярності площин. Отже, відстань від точки $O_1$ до $(EDC)$ – відрізок $O_1H.$

Аналогічно доводиться, що $(EON)\!\perp\!(BEC)$, $(EOM)\!\perp\!(AEB)$, $(EOL)\!\perp\!(AED).$ $\Delta EOK = \Delta EON = \Delta EOM = \Delta EOL$, відстані від точки $O_1$ до апофем $EL$, $EM$, $EN$, $EK$ – рівні. Отже, точка $O_1$ – рівновіддалена від бічних граней та основи. Точка $O_1$ – центр вписаної сфери. $O_1H=O_1O$ – радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\pi R^2 = 36\pi;\\[7pt] R^2 = 9;\\[7pt] R = 3\ \text{см радіус сфери.} \end{gather*}

Точка $O_1$ – рівновіддалена від сторін кута $HKO$, $KO_1$ – бісектриса кута. $\angle O_1KO = 30^\circ.$

$\Delta OO_1K\ (\angle O = 90^\circ)$, $OK = OO_1\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}$ см.

$AD = 2OK = 6\sqrt{3}\ \text{см}.$

$\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)$, $EO = OK\mathrm{tg}\ 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

\begin{gather*} V_\text{піраміди} = \frac 13S_\text{осн} \cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн} = S_{ABCD} = AD^{2} = (6\sqrt{3})^2 = 108\ \text{см}^2.\\[6pt] H = EO = 9\ \text{см}.\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 \cdot 108 \cdot 9 = 324\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $324.$

Тест 129. Завдання: 6418

Завдання 13 з 62

Скільки всього граней у піраміди, яка має $12$ ребер?

А$4$

Б$6$

В$7$

Г$12$

Д$13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів.

У піраміді $2n$ ребер (де $n$ – кількість вершин основи).

Отже, $2n = 12$, $n = 6$ – кількість вершин основи.

$n + 1 = 6 + 1 = 7$ – кількість граней ($6$ – бічних, $1$ – основа).

Відповідь: B.

Тест 131. Завдання: 6442

Завдання 14 з 62

Об'єм прямої трикутної призми $ABCA_1B_1C_1$ дорівнює $48$ см$^3$. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$ (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди $MABC$.

А$6$ см$^3$

Б$8$ см$^3$

В$12$ см$^3$

Г$16$ см$^3$

Д$24$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів, знання формул об’ємів многогранника.

Об'єм призми

\begin{gather*} V_1 = S_\text{осн} \cdot H = S_{ABC} \cdot CC_1 = 48\ \text{см}^3. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V_2 = \frac 13 S_\text{осн} \cdot h = \frac 13S_{ABC} \cdot MC = \frac 13S_{ABC} \cdot \frac 12 CC_1 = \frac 16 \cdot S_{ABC} \cdot CC_1 = \frac 16 \cdot 48 = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 131. Завдання: 6465

Завдання 15 з 62

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $6$. Бічне ребро піраміди нахилене до площини її основи під кутом $60^\circ$. Обчисліть площу $S$ сфери, описаної навколо піраміди. У відповідь запишіть значення $\dfrac S\pi$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для площі бічної поверхні піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$KABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат, $AB = 6$ см.

Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$, отже, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей) точка $O.$

$KA = KB = KC = KD$ – похилі, $OA = OB = OC = OD$ – проекції.
$\angle KDO = \angle KCO = \angle KBO = \angle KAO = 60^\circ.$

Сфера описана навколо піраміди. Центр сфери належить висоті $KO.$ Нехай точка $M$ – центр сфери.
$MA = MB = MC = MD = MK$ – радіуси,
$BO = AO = OC = OD.$ Це доводить, що центр сфери належить висоті $KO.$

Розглянемо $\Delta BKD.$ $KB = KD$, $\angle B = \angle D = 60^\circ.$ Отже, $\angle K = 60^\circ.$ $\Delta BKD$ – рівносторонній. Точка $M$ рівновіддалена від вершин трикутника. Отже, точка $M$ – центр кола, описаного навколо трикутника.

\begin{gather*} R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \end{gather*}

де $a$ – сторона трикутника, $R$ – радіус описаного кола. $AB = 6$ см.

У $\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 2 \cdot 6^2;\\[7pt] AC = 6\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус кола

\begin{gather*} R = \frac{AC\sqrt{3}}{3} = \frac{6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{6}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа сфери

\begin{gather*} S_\text{сфери} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot (2\sqrt{6})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 = 96\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

У відповідь запишемо

\begin{gather*} \frac{S_\text{сфери}}{\pi} = \frac{96\pi}{\pi} = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $96.$

Тест 131. Завдання: 6476

Завдання 16 з 62

На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює $10$ см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см$^2$).

А$100\sqrt{3}$

Б$100$

В$400\sqrt{3}$

Г$100\cdot (1+\sqrt{3})$

Д$200$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Розгортки многогранників.

Це завдання перевіряє вміння за наданою розгорткою многогранника визначати вид цього многогранника та обчислювати площу його бічної поверхні.

Оскільки розгортка піраміди складається з квадрата та чотирьох правильних трикутників, то це піраміда є правильною. Бічна поверхня заданої чотирикутної піраміди складається з чотирьох рівних правильних трикутників. Отже, площа бічної поверхні $S_\text{б}$ у чотири рази більше за площу рівностороннього трикутника, що є бічною гранню цієї піраміди.

Площа правильного трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою: $$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2. $$

Сторона трикутника $a=10$ см, тоді

$$ S_\text{б}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}\cdot a^2=100\sqrt{3}\ \text{см}^2. $$

Відповідь: A.

Тест 138. Завдання: 6887

Завдання 17 з 62

У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут $60^\circ.$ Знайдіть об'єм піраміди (у см$^3$), якщо твірна конуса дорівнює $9$ см і нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати об’єм піраміди, вписаної в конус. Для розв’язання завдання потрібно знати формули об’єму піраміди, площі прямокутного трикутника, означення кута між прямою та площиною та двогранного кута, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Важливим кроком розв’язання практично будь-якої стереометричної задачі є побудова правильного рисунка. За означенням піраміди, вписаної в конус, вершина піраміди співпадає з вершиною конуса, а вершини основи піраміди лежать на колі основи конуса, висота конуса є висотою піраміди.

На рисунку зображено конус, у який вписано трикутну піраміду $SABC$, в основі якої лежить трикутник $ABC$ $(\angle B=90^\circ).$ Усі бічні ребра цієї піраміди є твірними конуса і нахилені до площини основи під одним кутом. Основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника $ABC$ $(\angle B=90^\circ).$ У прямокутному трикутнику центр описаного навколо нього кола є серединою гіпотенузи, тобто точка $O$ – середина гіпотенузи $AC$, $SO$ – висота піраміди.

Згідно з умовою $$ \angle SAO=\angle SBO=\angle SCO=45^\circ. $$ Нехай грань $SBC$, що містить катет $BC$, утворює з площиною основи піраміди кут $60^\circ.$ Проведемо перпендикуляр $OK$ до $BC$, тоді за теоремою про три перпендикуляри $SK\ \perp\ BC$, отже $\angle SKO$ є лінійним кутом двогранного кута між площинами $(SBC)$ і $(ABC)$, тобто кутом між бічною гранню і площиною основи. Тоді за умовою $\angle SKO=60^\circ.$ $AB\ \perp\ BC$ за умовою, $OK\ \perp\ BC$ за побудовою, то $OK\ ||\ AB.$ Оскільки точка $O$ – середина $AC$, то за теоремою Фалеса (паралельні прямі відтинають на сторонах кута $ACB$ рівні відрізки) точка $K$ є серединою катета $BC$, а відрізок $OK$ – середньою лінією трикутника $ABC.$

З прямокутного трикутника $SOC{:}$ \begin{gather*} \sin\angle SCO=\frac{SO}{SC},\\[6pt] \cos\angle SCO=\frac{CO}{SC}, \end{gather*} звідки отримаємо: \begin{gather*} SO=SC\cdot\sin\angle SCO,\\[7pt] CO=SC\cdot\cos\angle SCO. \end{gather*} За умовою $SC=9$ см, тоді \begin{gather*} SO=9\sin 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] OC=9\cos 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] AC=2OC=9\sqrt{2}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника $SOK$ $$ \mathrm{ctg}\angle SKO=\frac{OK}{SO}, $$ звідки визначаємо катет $OK{:}$

$$ OK=SO\cdot \mathrm{ctg}\angle SKO=SO\cdot \mathrm{ctg} 60^\circ=\frac{9\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{6}}{2}. $$

Оскільки $OK$ – середня лінія трикутника $ABC$, яка паралельна стороні $AB$, то $$ AB=2OK=3\sqrt{6}. $$

З прямокутного трикутника $ABC$ за теоремою Піфагора визначаємо катет $BC{:}$

$$ BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{162-54}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}. $$

Об’єм піраміди $SABC$ визначаємо за формулою

$$ V=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot SO=\frac 13\cdot \frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot SO=\frac{1}{6}AB\cdot BC\cdot SO. $$

Таким чином,

$$ V=\frac{1}{6}\cdot 3\sqrt{6}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \frac{9\sqrt{2}}{2}=81\ \text{см}^3. $$

Відповідь: $81.$

Тест 144. Завдання: 7197

Завдання 18 з 62

Об'єм куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ дорівнює $216$ см$^3$ (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди $D_1ACD$ (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

\begin{gather*} V_\text{куба}=a^3=216;\\[6pt] a=6\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V_\text{піраміди}=\frac 13S_{ADC}\cdot DD_1=\frac 13\cdot \frac 12 AD\cdot DC\cdot DD_1=\frac 16 a^3=\frac 16\cdot 216=36\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Тест 151. Завдання: 7529

Завдання 19 з 62

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $3$ см, а сторона її основи – 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.

А$6$ см

Б$3\sqrt{5}$ см

В$5\sqrt{3}$ см

Г$9$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та їх елементи. Піраміда.

Це завдання перевіряє знання означення правильної чотирикутної піраміди, вміння знаходити діагональ квадрата та використовувати теорему Піфагора.

Нехай $PABCD$ – правильна чотирикутна піраміда. Висота $PO = 3$ см, сторона основи $AD = 12$ см (див. рисунок). Аналізуючи умову стереометричних завдань такого типу, важливо правильно визначити положення основи висоти піраміди. Оскільки піраміда $PABCD$ є правильною, то основа висоти піраміди – точка $O$ – збігається з точкою перетину діагоналей квадрата $ABCD.$

Визначаємо діагональ квадрата за формулою $d = a\sqrt{2}$, де $a$ – сторона квадрата. Отже, $BD = 12\sqrt{2}$ см, звідки $OB = 6\sqrt{2}$ см. З прямокутного трикутника $POB$ за теоремою Піфагора маємо

$$ PB = \sqrt{PO^{2} + OB^{2}} = \sqrt{9 + (6\sqrt{2})^{2}} = 9\ \text{см}. $$

Відповідь: Г.

Тест 154. Завдання: 7635

Завдання 20 з 62

Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює $50\sqrt{3}$, а периметр основи – $50.$ Визначте об'єм $V$ цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює $4.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду $SABC.$ Точка $O$ – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник $ABC$ (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна $SK = 4$, $S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}$, периметр трикутника $ABC$ дорівнює $50.$

Для обчислення об’єму $V$ конуса потрібно знати його радіус $OK$ та висоту $SO$: $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де $p$ – півпериметр трикутника $ABC$, $r = OK.$ Радіус $OK$ визначаємо за цією формулою:

$$ OK = \frac{S_{\Delta ABC}}{p} = \frac{50\sqrt{3}}{25} = 2\sqrt{3}. $$

У прямокутному трикутнику $SOK$ відома гіпотенуза $SK$ та катет $OK.$ За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

$$ SO = \sqrt{SK^{2} - OK^{2}} = \sqrt{16 - 12} = 2. $$

Тоді

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^{2} \cdot 2 = 8\pi,\\[6pt] \frac{V}{\pi} = 8. \end{gather*}

Відповідь: $8.$

Тест 154. Завдання: 7652

Завдання 21 з 62

Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом $60^\circ.$ Визначте об'єм (у см$^3$) цієї піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює $3$ см.

Впишіть відповідь:

324

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної чотирикутної піраміди за відомими радіусом вписаної кулі та кутом нахилу бічної грані до площини основи піраміди.

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$, основою якої є квадрат $ABCD.$ Центр $O$ вписаної у піраміду кулі належить висоті піраміди – відрізку $SO_1$ (точка $O_{1}$ є центром квадрата $ABCD$, тобто точкою перетину його діагоналей). Позначимо точку, в якій вписана куля дотикається бічної грані $DSC$, буквою $K.$ Ця точка лежить на апофемі $SM.$ Згідно з умовою $\angle SMO_{1} = 60^\circ$, а $O_{1}O = OK=3\text{ см}$.

Щоб обчислити об’єм піраміди $SABCD$, потрібно знати площу $S_{осн}$ її основи та висоту $SO_{1}{:}$ $$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1}. $$

З рівності прямокутних трикутників $OO_{1}M$ та $OKM$ (за гіпотенузою та катетом: $OO_{1} = OK$, $OM$ – спільна гіпотенуза) випливає, що

$$ \angle OMO_{1} = \angle OMK = \frac12 \angle SMO_{1} = 30^\circ. $$

У прямокутному трикутнику $OO_{1}M$ відомо: катет $OO_{1} = 3\text{ см}$, $\angle OMO_{1} = 30^\circ.$ Визначаємо другий катет цього трикутника: $$ O_1M = OO_{1}\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\ \text{см}. $$

Висоту $SO_{1}$ визначаємо з прямокутного трикутника $SO_1M{:}$

$$ SO_{1} = O_1M\mathrm{tg}\ \angle O_1MS = O_1M\mathrm{tg}\ 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\ \text{см}. $$

Ураховуючи співвідношення $AD = 2O_{1}M$, визначаємо площу основи піраміди (квадрата $ABCD$):

$$ S_{осн} = (2O_{1}M)^{2} = (2 \cdot 3\sqrt{3})^{2} = 108\ \text{см}^2. $$

Отже, шуканий об’єм піраміди $SABCD{:}$

$$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1} = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 9 = 324\ \text{см}^3. $$

Відповідь: $324.$

Тест 166. Завдання: 8197

Завдання 22 з 62

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72$ см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15$ см.

А$6$ см

Б$9$ см

В$10$ см

Г$12$ см

Д$14$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди до розв’язування стереометричних задач, знаходити відстані в просторі, використовувати пряму та обернену теореми про три перпендикуляри.

Піраміда – правильна, тому основа – квадрат, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

$P_{ABCD}=4AB=72$ см, $AB=18$ см.

$SK\ \perp\ CD$ – апофема, $SK=15$ см. $\Delta SDC$ – рівнобедрений, тому $SK$ – висота та медіана.

$DK=KC$, $AD=DC$, $AO=OC$ звідси випливає $OK=\frac 12AD=9$ см.

$\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2,\\[7pt] SO=\sqrt{SK^2-OK^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\\[7pt] =\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 247. Завдання: 12080

Завдання 23 з 62

Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює $10\ \textit{см}$, а довжина бічного ребра – $13\ \textit{см}.$

А$180$ cм$^2$

Б$15\sqrt{69}$ cм$^2$

В$30\sqrt{69}$ cм$^2$

Г$360$ cм$^2$

Д$390$ cм$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, знання формули для обчислення площі поверхні.

Дано: правильна трикутна піраміда, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

$AB=BC=AC=10$ см, $DA=DB=DC=13$ см. $DK\ \perp\ BC$ – апофема, $CK=KB=5$ см.

У $\Delta DKB\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DB^2=DK^2+KB^2,\\[7pt] DK=\sqrt{169-25}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

$$ S_\text{біч}=p_\text{осн}\cdot l, $$ де $p_\text{осн}$ – півпериметр основи, $DK=l$ – апофема.

$$ S_\text{біч}=\frac 12\cdot 30\cdot 12=180\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Тест 256. Завдання: 12520

Завдання 24 з 62

$SABC$ i $S_1A_1B_1C_1$ – правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди $SABC$ вдвічі більше за відповідне ребро піраміди $S_1A_1B_1C_1.$ Визначте площу бічної поверхні піраміди $SABC$, якщо площа бічної грані $S_1A_1B_1$ дорівнює $8$ см$^2.$

А$16$ см$^2$

Б$24$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано $SABC$ i $S_1A_1B_1C_1$ – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

$\Delta SAB$ подібний $\Delta S_1A_1B_1$ (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

$$ \frac{S_{SAB}}{S_{S_1B_1C_1}}=\left(\frac{AB}{A_1B_1}\right)^2=k^2. $$

$AB=2A_1B_1$, $k=2$ коефіцієнт подібності $k^2=4.$

$S_{S_1A_1B_1}=8$ см$^2$, тому $S_{SAB}=8\cdot 4=32$ см$^2.$

Площа бічної поверхні піраміди $SABC$ дорівнює $3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96$ см$^2.$

Відповідь: Д.

Тест 290. Завдання: 14253

Завдання 25 з 62

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $2\sqrt3$ см і нахилена під кутом $60^\circ$ до площини основи. Знайдіть об'єм піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кути в просторі, знання властивостей правильної піраміди.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат. $SK=2\sqrt{3}$ см – апофема.

$SO\!\perp\!(ABC)$, $SK$ – похила, $OK$ – проекція похилої.

Отже, $\angle(SK, (ABC))=\angle SKO=60^\circ.$ $SK=2\sqrt{3}$ см. $\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ).$

\begin{gather*} SO=SK\sin K=2\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\ \text{см};\\[6pt] OK=SK\cdot \cos 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac 12=\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] OK=\frac 12 AD;\\[6pt] AD=2\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де $S_\text{осн}=S_{ABCD}=AD^2=(2\sqrt{3})^2=12$ см$^2$, $H=SO=3$ см.

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot 12\cdot 3=12\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Тест 296. Завдання: 14557

Завдання 26 з 62

Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $36$ см$^2.$ Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.

А$108$ см$^3$

Б$144$ см$^3$

В$216$ см$^3$

Г $288$ см$^3$

Д$432$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.

$S_{ABCD}=36$ см$^2$, $SO=2AB.$

Піраміда $SABCD$ – правильна, тому $ABCD$ – квадрат.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB^2=36\ \textit{см}^2,\ \ AB=6\ \textit{см},\\[7pt] SO=2\cdot AB=2\cdot 6=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 36\cdot 12=12\cdot 12=144\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 337. Завдання: 16608

Завдання 27 з 62

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $6$ см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом $60^\circ.$ Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

А$72$ см$^2$

Б$24\sqrt{3}$ см$^2$

В$48\sqrt{3}$ см$^2$

Г$72\sqrt{3}$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат зі стороною $6$ см. $SK$ – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ $\angle SKO=60^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(SCD)$ та $(ABC).$

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи.

\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 24\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 346. Завдання: 17077

Завдання 28 з 62

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $24$, апофема утворює з площиною основи піраміди кут $45^\circ.$ Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.

А$24$

Б$16\sqrt{3}$

В$24\sqrt{2}$

Г$48$

Д$48\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди $AO=24.$ За означенням кута між прямою та площиною,
$AO\perp (DOC)$
$AB$ – похила
$OB$ – проекція похилої на площину.

Отже, $\angle ABO=45^\circ.$ $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$ – рівнобедрений.

$OB=OA=24.$
$OB=\frac 12CE$, $CE=48.$

Відповідь: Г.

Тест 390. Завдання: 19502

Завдання 29 з 62

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $12$ см, апофема – $13$ см. Обчисліть об'єм (у см$^3$) цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

400

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

$EABCD$ – піраміда, $ABCD$ – квадрат, $O=AB\cap BD$,

$EO$ – висота, $EO=12$ см. $EK\perp AB$ – апофема.

У $\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} EK^2=OK^2+OE^2,\\[7pt] OK=\sqrt{EK^2-EO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \textit{см},\\[7pt] AD=2OK=10\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H=\frac 13S_{ABCD}\cdot EO=\frac 13\cdot 10^2\cdot 12=400\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $400.$

Тест 400. Завдання: 19974

Завдання 30 з 62

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює $15$ см, а сторона основи – $9\sqrt{2}$ см. Визначте об'єм цієї піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

648

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

$KABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат, $AB=9\sqrt{2}$ см, $BK=15$ см.

У квадраті $BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18$ см.

$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$

У $\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $BK^2=BO^2+KO^2$,

$KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12$ см – висота піраміди.

$S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162$ см$^2.$

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $648.$

Тест 425. Завдання: 21236

Завдання 31 з 62

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, апофема – 7 см. Визначте площу повної поверхні цієї піраміди.

А$84\ \text{см}^2$

Б$204\ \text{см}^2$

В$156\ \text{см}^2$

Г$162\ \text{см}^2$

Д$120\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$EABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат зі стороною 6 см.

\begin{gather*} S_{\text{основи}}=S_{ABCD}=AB^2=6^2=36\ \text{см}^2\\[6pt] S_{\text{бічної}}=\frac 12 P_{\text{основи}}\cdot m=\frac 12 P_{ABCD}\cdot EK=\frac 12\cdot 6\cdot 4\cdot 7=84\ (\text{см}^2)\\[6pt] S_{\text{повної}}=S_{\text{основи}} + S_{\text{бічної}}=36+84=120\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 469. Завдання: 23674

Завдання 32 з 62

Визначте довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо площа її повної поверхні дорівнює 208 см², а довжина сторони основи - 8 см.

А13 см

Б12 см

В9 см

Г8 см

Д6 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$EF$ – апофема (висота бічної грані).

$ABCD$ – квадрат зі стороною $8\ \text{см}$. $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$

За формулою

$$ S_{\text{бічної}}=\frac 12 P_{\text{основи}}\cdot m=\frac 12\cdot 8\cdot 4\cdot m=16m\ (\text{см}^2) $$

запишемо площу бічної поверхні (де $m=EF$) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$

Отже,

$$ S_{\text{повної}}=16m+64=208,\ \ 16m=144,\ \ m=9\ \text{см}. $$

Відповідь: В.

Тест 489. Завдання: 24695

Завдання 33 з 62

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ (див. рисунок) $SO$ – висота, $\angle SCO=30^\circ,\ AO=\sqrt{6}.$
Увідповідніть початок речення (1–3) та його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина діагоналі $AC$ дорівнює

2Довжина висоти $SO$ дорівнює

3Довжина ребра $AS$ дорівнює

Закінчення речення

А$\sqrt{2}.$

Б$2\sqrt{2}.$

В$2\sqrt{3}.$

Г$2\sqrt{6}.$

Д$4\sqrt{2}.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат, $\text{точка}\ O$ – центр квадрата.

1. $AC=2AO=2\sqrt{6}$ діагоналі квадрата в точці перетину діляться навпіл. Отже, 1 – Г.

2. $\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ C=\frac{SO}{OC},\ \ SO=OC\cdot \mathrm{tg}\ C=\sqrt{6}\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=\\[6pt] =\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac 63}=\sqrt{2}. \end{gather*}

Oтже, 2 – A.

3. У правильній піраміді бічні ребра рівні $AS=CS.$ $\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SC^2=SO^2+OC^2=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2=6+2=8,\\[7pt] SC=AS=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. \end{gather*}

Oтже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

Тест 516. Завдання: 26011

Завдання 34 з 62

Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.

На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Тест 521. Завдання: 26116

Завдання 35 з 62

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72\ \text{см.}$ Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15\ \text{см.}$

А$6\ \text{см}$

Б$9\ \text{см}$

В$10\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$14\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі на обчислення невідомих елементів піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

$PABCD$ – правильна чотирикутна піраміда, тому $ABCD$ – квадрат, $O$ – точка перетину діагоналей, $PO$ – висота.

$P_{ABCD}=4AB=72\ \text{см},\ \ AB=18\ \text{см}.$

$PK$ – апофема (висота бічної грані). $OK\perp AB$ (за теоремою про три перпендикуляри).

\begin{gather*} OK=\frac 12 AB=9\ \text{см}.\\[7pt] \Delta POK\ (\angle O=90^\circ) \end{gather*} за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} PK^2=PO^2+OK^2,\\[7pt] PO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\ (\text{см}). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 523. Завдання: 26197

Завдання 36 з 62

Укажіть формулу для обчислення об’єму $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a.$

А$V=a^3$

Б$V=\frac{4a^2}{3}$

В$V=4a^2$

Г$V=\frac{a^3}{3}$

Д$V=\frac{a^3}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – $a.$ $S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.$ Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою $H=a.$

Отже, $V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.$

Відповідь: Г.

Тест 547. Завдання: 26829

Завдання 37 з 62

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72\ \text{см}.$ Обчисліть довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15\ \text{см}.$

А$6\ \text{см}$

Б$9\ \text{см}$

В$10\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$14\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

1. Піраміда правильна – в основі лежить квадрат $ABCD.$

\begin{gather*} P_{ABCD}=72\ \text{см},\\[7pt] AB=BC=CD=DA=72:4=18\ (\text{см}). \end{gather*}

2. $KM$ – висота бічної грані $$ (KM\perp DC),\ KM=15\ \text{см}. $$

За теоремою про три перпендикуляри \begin{gather*} KO\perp\ (ABC),\\[7pt] KM\perp DC\ (\text{похила}),\\[7pt] OM - \text{проекція похилої},\\[6pt] OM=\frac 12 AD=\frac 12\cdot 18=9\ (\text{см}).\\[6pt] \text{Звідси},\ OM\perp CD. \end{gather*}

3. $\Delta KOM\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} KM^2=KO^2+OM^2,\ \ KO=\sqrt{15^2-9^2}=\\[7pt] =\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\ (\text{см}). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 570. Завдання: 27696

Завдання 38 з 62

Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює $8\ \text{см},$ а апофема на $2\ \text{см}$ більша за сторону основи піраміди.

А$72\ \text{см}^2$

Б$384\ \text{см}^2$

В$192\ \text{см}^2$

Г$120\ \text{см}^2$

Д$240\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Сторона основи піраміди $8\ \text{см},$ а апофема на $2\ \text{см}$ більше, тому її довжина $10\ \text{см}.$

За формулою $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де $P_\text{осн}$ – периметр основи $m$ – апофема, знаходимо площу бічної поверхні:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot 8=24\ \text{см},\ \ m=10\ \text{см}.\\[6pt] S_\text{б}=\frac 12\cdot 24\cdot 10=120\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 585. Завдання: 28362

Завдання 39 з 62

Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють $20\ \text{см}$ і $12\ \text{см}.$ Обчисліть об’єм (см³) піраміди, якщо її висота дорівнює $15\ \text{см}.$

А$1800$

Б$1200$

В$2400$

Г$800$

Д$600$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де $S_\text{осн}$ – площа основи, $H$ – висота.

За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого $20\ \text{см}$ і $12\ \text{см}.$ Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$

\begin{gather*} H=15\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 120\cdot 15=600 \ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 606. Завдання: 28383

Завдання 40 з 62

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по $25$ см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см$^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса $AB$ й бічне ребро $CF$ дорівнюють по $25$ см. Апофема $FK=OB.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

\begin{gather*} \mathbf{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\mathbf{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

У піраміді $CF=FD=FE=25.$ $\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де $P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}$, $m=FK=20\ \textit{см}.$ $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: $900.$

Тест 672. Завдання: 34415

Завдання 41 з 62

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $SA$ є

Аребром основи

Бапофемою

Ввисотою

Гбічним ребром

Двисотою основи

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD\mathord{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $DA$ – ребра основи. Отже, $SA$ є бічним ребром.

Відповідь: Г.

Тест 700. Завдання: 35345

Завдання 42 з 62

Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює $648\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

972

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$ – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\mathbf{\pi}R^2=648\mathbf{\pi},\\[7pt] 4R^2=648,\\[7pt] R^2=162,\\[7pt] R=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABCD}=\frac 12d^2=\frac 12\cdot (2\cdot 9\sqrt{2})^2=\frac 12\cdot 4\cdot 81\ \text{см}^2\cdot 2=324\ \text{см}^2\\[6pt] H=KO. \end{gather*}

$KP\ \perp\ DC$ – апофема піраміди (висота бічної грані). $KO\ \perp\ (ABC)$, $KP$ – похила на площину основи, $OP$ – проєкція похилої $KP.$ Звідси, $\angle KPO=45^\circ$ – це кут між прямою $KP$ і площиною основи.

У $\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)$, $\angle P=45^\circ$, тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

$\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).$ $AD=DC$, $AC=18\sqrt{2}$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+DC^2=AC^2,\\[7pt] 2AD^2=(18\sqrt{2}\ \text{см})^2,\\[7pt] AD=18\ \text{см},\\[6pt] OK=OP=\frac 12AD=9\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 324\ \text{см}^2\cdot 9\ \text{см}=972\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $972.$

Тест 700. Завдання: 35363

Завдання 43 з 62

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD.$ Скільки прямих, перпендикулярних до висоти $SO$, лежать у площині основи $ABCD$?

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди $SO$ перпендикулярна до основи $ABCD.$ За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо $SO\ \perp\ (ABC)$, то $SO$ перпендикулярна до будь-якої прямої в площині $(ABC)$, а площина $(ABC)$ містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

Тест 702. Завдання: 35774

Завдання 44 з 62

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $AD$ є

Аапофемою

Бребром основи

Ввисотою основи

Гбічним ребром

Двисотою

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $AD$ – ребра основи.

Отже, $HD$ є ребром основи.

Відповідь: Б.

Тест 731. Завдання: 36407

Завдання 45 з 62

Основа трикутної піраміди – рівнобедрений прямокутний трикутник із катетом $a.$ Визначте формулу для обчислення об'єму $V$ цієї піраміди, якщо її висота дорівнює катету основи.

А$V=\frac{a^3}{3}$

Б$V=\frac{a^3}{2}$

В$V=\frac{a^3}{4}$

Г$V=\frac{a^3}{6}$

Д$V=a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \frac 12a^2\cdot a=\frac 16\cdot \frac{a^3}{1}=\frac{a^3}{6}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 735. Завдання: 36905

Завдання 46 з 62

За якою формулою визначають площу $S$ повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої та апофема дорівнюють $a$?

А$S=a^3$

Б$S=6a^2$

В$S=3a^2$

Г$S=5a^2$

Д$S=2a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

\begin{gather*} S=S_\text{біч}+S_\text{осн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot a+S_\text{осн}. \end{gather*}

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2;\\[7pt] P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює $a$ за умовою.

Отже,

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot 4a\cdot a+a^2=\frac 42a^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 735. Завдання: 36916

Завдання 47 з 62

Бічна грань правильної трикутної піраміди є прямокутним трикутником з гіпотенузою $6$ см. Визначте площу (у см$^2$) бічної поверхні цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). $AB=BC=CA=6$ см.

Апофема $(FK)$ — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} FK=\frac{AB}{2}=\frac 62=3\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи, $m$ – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot AB=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Апофема $m=FK=3$ см.

\begin{gather*} S_{біч}=\frac 12\cdot 18\cdot 3=9\cdot 3=27\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Тест 737. Завдання: 37181

Завдання 48 з 62

За якою формулою можна обчислити об'єм $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a$?

А$V=\frac{a^3}{4}$

Б$V=a^3$

В$V=\frac{a^3}{3}$

Г$V=\sqrt{5}a^2$

Д$V=\sqrt{3}a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac 13\cdot a^3=\frac{a^3}{3}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 738. Завдання: 37367

Завдання 49 з 62

Діагональний переріз правильної чотирикутної піраміди – рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює $72\sqrt{3}.$ Визначте площу основи цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи $(d).$ За умовою трикутник рівносторонній.

\begin{gather*} S_\Delta=72\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною $d$ обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} \frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}=72\sqrt{3};\\[6pt] d^2\cdot\sqrt{3}=72\sqrt{3}\cdot 4;\\[7pt] d^2\cdot \sqrt{3}=288\sqrt{3};\\[7pt] d^2=288. \end{gather*}

Основа піраміди – квадрат. Діагональ $d$ ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} a^2+a^2=d^2;\\[7pt] 2a^2=d^2;\\[6pt] a^2=\frac{d^2}{2};\\[6pt] a^2=\frac{288}{2}=144. \end{gather*}

Площа основи (квадрата):

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Тест 739. Завдання: 37398

Завдання 50 з 62

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює $8\sqrt{3}$, апофема – $8.$ Обчисліть об'єм цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

192

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де $S_\text{осн}$ – площа основи, $H$ – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(8\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{64\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=16\cdot 3\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Основа висоти $H$ піраміди збігається із центром вписаного кола основи. Розгляньмо прямокутний трикутник $DOK$, катети якого – висота піраміди $H=DO$ та радіус вписаного кола $r=OK$, а гіпотенуза – апофема $L=DK=8$ см.

Радіус вписаного кола для правильного трикутника:

\begin{gather*} r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DK^2=DO^2+OK^2;\\[7pt] DO^2=DK^2-OK^2=8^2-4^2=64-16=48;\\[7pt] DO=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \text{см}.\\[6pt] V=\frac 13\cdot 48\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=\frac 13\cdot 48\cdot 4\cdot 3=48\cdot 4=192\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $192.$

Тест 744. Завдання: 37760

Завдання 51 з 62

Бічна грань правильної трикутної піраміди – рівносторонній трикутник зі стороною $4\sqrt{6}$ см. Обчисліть висоту (см) цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

За умовою, бічна грань (наприклад, $\Delta DBC$) – рівносторонній трикутник зі стороною $a=4\sqrt{6}$ см. Це означає, що всі ребра піраміди рівні. Сторона основи $AB=BC=AC=a=4\sqrt{6}$ см. Бічне ребро $DA=DB=DC=4\sqrt{6}$ см.

Оскільки піраміда правильна, її висота $DO$ падає в центр основи – точку перетину медіан, бісектрис і висот трикутника $ABC.$ Відрізок $OB$ – радіус описаного кола $(R)$ навколо основи.

\begin{gather*} OB=R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta DOB\ (\angle DOB=90^\circ)$, $DO$ – висота $(H)$ піраміди. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DB^2=DO^2+OB^2;\\[7pt] DO^2=DB^2-OB^2;\\[7pt] DO^2=(4\sqrt{6})^2-(4\sqrt{2})^2=16\cdot 6-16\cdot 2=96-32=64;\\[7pt] H=DO=\sqrt{64}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $8.$

Тест 745. Завдання: 37847

Завдання 52 з 62

За якою формулою можна обчислити площу $S$ бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й апофема якої дорівнюють $a$?

А$S=a^4$

Б$S=2a^2$

В$S=4a^2$

Г$S=\dfrac{a^2}{2}$

Д$S=6a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й уміння розв’язувати стереометричні задачі.

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*}

де $P_\text{осн}$ – периметр основи, а $m$ – апофема (висота бічної грані).

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює $a$. Тоді периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює $a$ за умовою: $m=a.$

Отже,

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12\cdot 4a\cdot a=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 746. Завдання: 38054

Завдання 53 з 62

Дігональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є прямокутний трикутник. Визначте об'єм (см$^3$) піраміди, бічне ребро якої дорівнює $6\sqrt{2}$ см.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де $S_\text{осн}$ – площа основи, $H$ – висота.

Дігональним перерізом піраміди є трикутник $SAC$, де $AC$ – діагональ основи.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні: $SA=SC=6\sqrt{2}$ см. За умовою, $\Delta SAC$ є прямокутним. Оскільки $SA=SC$, то цей трикутник – рівнобедрений прямокутний із прямим кутом при вершині $(\angle ASC=90^\circ).$

За теоремою Піфагора для $\Delta SAC{:}$

\begin{gather*} AC=\sqrt{SA^2+SC^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{72+72}=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди $SO$ є медіаною та висотою, проведеною до гіпотенузи $AC$ у прямокутному трикутнику $\Delta SAC.$ Вона дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} H=SO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є квадрат $ABCD.$ Площу квадрата через його діагональ $AC$ обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12\cdot AC^2=\frac 12\cdot 12^2=\frac 12\cdot 144=72\ \text{см}^2;\\[6pt] V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 72\cdot 6=72\cdot 2=144\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Тест 749. Завдання: 38270

Завдання 54 з 62

Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є рівносторонній трикутник, висота піраміди дорівнює $4\sqrt{6}$ см. Визначте площу $S$ (см$^2$) бічної поверхні цієї піраміди. У відповіді запишіть значення $\dfrac{S}{\sqrt{7}}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості піраміди для розв’язування стереометричних задач.

Діагональним перерізом такої піраміди є трикутник $SAC$, де сторона $AC$ – діагональ квадрата основи, а $SA$ і $SC$ – бічні ребра піраміди.

Оскільки $\Delta SAC$ рівносторонній, то:

\begin{gather*} SA=SC=AC. \end{gather*}

Висота піраміди $SO$ є одночасно висотою рівностороннього трикутника $SAC.$

Формула висоти рівностороннього трикутника зі стороною $a{:}$

\begin{gather*} SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Підставмо відоме значення висоти, щоб обчислити довжину сторони $a$ (яка дорівнює діагоналі $AC$ й бічному ребру $SA$):

\begin{gather*} 4\sqrt{6}=\frac{AC\cdot \sqrt{3}}{2};\\[6pt] AC=\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{8\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, діагональ основи $AC=8\sqrt{2}$ см, бічне ребро $SA=8\sqrt{2}$ см.

В основі піраміди лежить квадрат $ABCD$ із діагоналлю $AC=8\sqrt{2}$ см, його сторона $AB$ дорівнює:

\begin{gather*} AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Для обчислення площі бічної поверхні потрібно знати довжину апофеми $SF$ (висоту бічної грані $SDC$). Розгляньмо прямокутний трикутник $SOF$ (де $OF$ – радіус вписаного у квадрат кола, $OF=\dfrac{AB}{2}=4$ см):

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SF^2=SO^2+OF^2;\\[7pt] SF=\sqrt{SO^2+OF^2}=\sqrt{(4\sqrt{6})^2+4^2}=\sqrt{16\cdot 6+16}=\\[7pt] =\sqrt{96+16}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot P_\text{осн}\cdot SF;\\[6pt] P_\text{осн}=4\cdot AB=4\cdot 8=32\ \text{см};\\[6pt] S=\frac 12\cdot 32\cdot 4\sqrt{7}=64\sqrt{7}\ \text{см}^2. \end{gather*}

За умовою задачі у відповіді треба записати значення $\dfrac{S}{\sqrt{7}}{:}$

\begin{gather*} \frac{64\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=64. \end{gather*}

Відповідь: $64.$

Тест 804. Завдання: 38386

Завдання 55 з 62

Бічна грань правильної шестикутної піраміди є

Арівнобедреним трикутником

Бпаралелограмом, що не є прямокутником

Вшестикутником

Гпрямокутним трикутником із гострим кутом $30^\circ$

Дпрямокутником

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання про піраміду та її елементи.

Правильна шестикутна піраміда – це многокутник, основою якого є правильний шестикутник, а всі бічні грані – рівні між собою рівнобедрені трикутники.

Відповідь: A.

Тест 806. Завдання: 38598

Завдання 56 з 62

Задано правильну чотирикутну піраміду й циліндр із площею основи $81\pi$ см$^2.$ Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу основи циліндра. Бічне ребро піраміди утворює з площиною її основи кут $45^\circ.$ Обчисліть об’єм (см$^3$) піраміди.

Впишіть відповідь:

486

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи циліндра та правильної чотирикутної піраміди для обчислення об’єму піраміди.

Формула площі основи циліндра (круга):

\begin{gather*} S_\text{осн}=\pi R^2=81\pi;\\[7pt] R^2=81;\\[7pt] R=9\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою радіус кола, описаного навколо основи піраміди, також дорівнює $R=9$ см.

Основою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Радіус описаного навколо квадрата кола дорівнює половині її діагоналі $\left(R=\dfrac d2\right)$, отже, діагональ

\begin{gather*} d=2R=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа квадрата (основи піраміди) через її діагональ:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12 d^2=\frac 12\cdot 18^2=\frac 12\cdot 324=162\ \text{см}^2. \end{gather*}

Висота піраміди падає в центр описаного кола, утворюючи прямокутний трикутник із бічним ребром і радіусом $R.$ Оскільки кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює $45^\circ$, цей трикутник рівнобедрений, тобто: $H=R=9$ см.

Обчислімо об'єм піраміди:

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 162\cdot 9=162\cdot 3=486\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $486.$

Тест 808. Завдання: 38755

Завдання 57 з 62

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$ з основою $ABC.\ SM$ – апофема піраміди. Бічною гранню цієї піраміди є

А$SA$

Б$SCM$

В$ABC$

Г$ABS$

Д$SB$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів.

Основою цієї піраміди є трикутник $ABC.$ Бічні грані піраміди – це трикутники, що з’єднують вершину $S$ із ребрами основи, тобто $\Delta ABS$, $\Delta BCS$ і $\Delta CAS.$

Варіанти $SA$ та $SB$ є бічними ребрами, $ABC$ – це основа, а трикутник $SCM$ є внутрішнім перерізом. Отже, єдиною бічною гранню серед запропонованих варіантів є $ABS.$

Відповідь: Г.

Тест 810. Завдання: 38874

Завдання 58 з 62

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють $25$ см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см$^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\pi$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей і формул площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

За формулою площі бічної поверхні конуса $S_\text{біч. кон.}=\pi RL.$ За умовою $S_\text{біч. кон.}=500$ см$^2$ та твірна $SP=L=25$ см.

\begin{gather*} 500\pi=\pi\cdot R\cdot 25;\\[6pt] R=\frac{500}{25}=20\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса:

\begin{gather*} DM=m=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

Піраміда $DABC$ правильна, тому її основа $\Delta ABC$ – рівносторонній трикутник, а бічна грань $\Delta DAB$ – рівнобедрений $(DA=DB=25$ см$).$

Апофема $DM\!\perp\!AB$ є висотою і медіаною $(AM=MB).$ З прямокутного $\Delta DMA\ (\angle DMA=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DA^2=AM^2+DM^2;\\[7pt] AM^2=DA^2-DM^2;\\[7pt] AM=\sqrt{DA^2-DM^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси сторона основи:

\begin{gather*} AB=2\cdot AM=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки в основі правильної піраміди лежить рівносторонній трикутник $\Delta ABC$, обчислімо периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot a=3\cdot 30=90\ \text{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди

\begin{gather*} S_\text{біч. пір.}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m;\\[6pt] S_\text{біч. пір.}=\frac 12\cdot 30\cdot 20=900\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $900.$

Тест 811. Завдання: 38949

Завдання 59 з 62

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC.\ AM$ – медіана трикутника $ABC.$ Скільки всього площин можна провести через пряму $AM$ і точку $S$?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше як три

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За аксіомою стереометрії через пряму й точку, яка їй не належить, можна провести єдину площину.

Оскільки вершина піраміди $S$ не належить прямій $AM$, через них можна провести лише одну площину – площину перерізу $(SAM).$

Відповідь: Б.

Тест 836. Завдання: 39108

Завдання 60 з 62

На рисунку зображено пряму чотирикутну призму й чотирикутну піраміду $SABCD$, основою якої є ромб $ABCD.$ Основою призми є прямокутник, більша сторона якого дорівнює $20$ см, а менша сторона дорівнює діагоналі $AC$ ромба. $BD=20$ см, $SA=SC=25$ см, $SB=SD=26$ см. Визначте об’єм (см$^3$) призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює $680$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

2800

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для визначення невідомих параметрів призми й обчислення її об’єму.

Точка $O$ – точка перетину діагоналей ромба $ABCD.$ Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

\begin{gather*} OB=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Трикутники $SAC$ та $SBD$ – рівнобедрені $(SA=SC$, $SB=SD)$, тому $SO$ є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди $(SO\!\perp\!(ABCD)).$

З прямокутного трикутника $SOB$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SB^2=SO^2+OB^2;\\[7pt] SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника $SOA$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2;\\[7pt] OA=\sqrt{SA^2-SO^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, довжина діагоналі ромба $AC{:}$

\begin{gather*} AC=2\cdot OA=2\cdot 7=14\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді сторони прямокутника в основі призми: $a=20$ см та $b=AC=14$ см.

Площа основи призми:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot b=20\cdot 14=280\ \text{см}^2. \end{gather*}

Периметр основи призми:

\begin{gather*} P=2(a+b)=2(20+14)=68\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту призми $h$ визначмо через формулу площі бічної поверхні $(S_\text{біч}=P\cdot h){:}$

\begin{gather*} h=\frac{S_\text{біч}}{P}=\frac{680}{68}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot h=280\cdot 10=2800\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $2800.$

Тест 846. Завдання: 39259

Завдання 61 з 62

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$ з $S$ основою $ABC.$ Скільки всього прямих, паралельних площині основи піраміди, можна провести через її вершину $S$?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Через точку $S$, яка не належить площині основи $(ABC)$, можна провести єдину площину, паралельну площині $(ABC).$ Усі прямі, що лежать у цій паралельній площині та проходять через вершину $S$, будуть паралельними площині основи $(ABC).$ Через точку в площині можна провести нескінченну кількість (безліч) прямих.

Відповідь: Д.

Тест 837. Завдання: 39844

Завдання 62 з 62

На рисунку зображено правильну трикутну піраміду і конус, у якому радіус основи відноситься до висоти як $5:12.$ Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола, вписаного в основу піраміди, а висота піраміди в $\sqrt{3}$ більша за висоту конуса. Обчисліть об’єм (см$^3$) піраміди, якщо об’єм конуса дорівнює $800\pi$ см.

Впишіть відповідь:

7200

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Конус. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи й об'єми комбінованих просторових фігур (конуса та правильної трикутної піраміди).

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x\ (x\gt 0).$ Тоді радіус основи конуса $R=5x$, а його висота $H_\text{К}=12x.$ За формулою об'єму конуса $V_\text{К}=\dfrac 13\pi R^2H_\text{К}$ та умовою $V_\text{К}=800\pi$ см$^3{:}$

\begin{gather*} \frac 13\cdot \pi\cdot (5x)^2\cdot 12x=800\pi;\\[6pt] \frac 13\cdot 25\cdot 12\cdot x^2\cdot x\cdot \pi=800\pi;\\[6pt] 25\cdot 4\cdot x^{2+1}\cdot \pi=800\pi;\\[7pt] 100\pi x^3=800\pi;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса: $R=5\cdot 2=10$ см, а висота конуса:

\begin{gather*} H_\text{К}=12\cdot 2=24\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди: $H_\text{П}=\sqrt{3}\cdot H_\text{К}=24\sqrt{3}$ см. За умовою, радіус кола, вписаного в основу піраміди (правильний трикутник), дорівнює радіусу конуса: $r=R=10$ см.

Площу правильного трикутника через радіус вписаного кола $r$ обчислюємо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=3\sqrt{3}\cdot r^2=3\sqrt{3}\cdot 10^2=300\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Обчислімо об'єм піраміди:

\begin{gather*} V_\text{П}=\frac 13S_\text{осн}\cdot H_\text{П}=\frac 13\cdot 300\sqrt{3}\cdot 24\sqrt{3}=100\cdot 24\cdot 3=7200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $7200.$

Тест 874. Завдання: 40132

Новини

Вибір абітурієнта: куди вступати після 11 класу
МОН пропонує університетам організувати підготовчі курси до НМТ
Вступники зазвичай не чекають останніх днів для подання заяв

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Геометрія – Піраміда