Алгебра і початки аналізу – Показникові, логарифмічні рівняння та системи рівнянь

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування показникових рівнянь.

Використаємо властивості степенів:

Відповідь: \(-1{,}25.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення рівняння з однією змінною, кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною, вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведемо до спільної основи

Корінь рівняння \(x=-0{,}75\) належить проміжку \((-1; 0].\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

Корінь рівняння належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати раціональні числа.

Корінь рівняння належить проміжку \((8; 11].\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та знання властивостей степенів.

Корінь рівняння належить проміжку \([-5; -1).\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння і нерівності, що містять показникові вирази, рівняння з параметрами, застосовувати властивості функцій у процесі розв'язування рівнянь.

Розглянемо ліву частину рівняння.

Оцінимо область значень функції

Розглянемо праву частину рівняння:

Отже, рівність досягається при

Корінь рівняння буде додатним при \begin{gather*} \frac{n}{2}-\frac{5}{8},\\[6pt] n\gt \frac{5}{4},\\[6pt] n\gt 1\frac{1}{4},\ n\in Z. \end{gather*}

Отже, при \(n=2\), \(3\), \(4\text{...}\)

Найменше значення параметра \(a{:}\ n=2.\)

Відповідь: \(-2{,}625.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з параметрами.

Знайдемо ОДЗ: \(x \gt 0\).

Зробимо заміну \(\log_2 x = t\). Отримаємо:

\begin{gather*} t^2 - (2a^2 - a)t + 1 - 2a = 0. \end{gather*}

Якщо \(x_1\), \(x_2\) – корені рівняння та \(x_1 \cdot x_2 = 8\), то прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою \(2.\)

Але корені \(t_1\) та \(t_2\) повинні існувати, а це виконується за умови

\begin{gather*} D = (2a^2 - a)^2 - 4(1 - 2a) \ge 0.\\[7pt] D = (2a - 1)(2a^3 - a^2 + 4) \ge 0. \end{gather*}

За теоремою Вієта сума коренів \(t_1 + t_2 = 2a^2 - a = 3.\)

\begin{gather*} 2a^2 - a - 3 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25;\\[6pt] a_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1{,}5;\\[6pt] a_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1. \end{gather*}

Перевіримо, при яких значеннях \(a\) дискримінант буде невід’ємним:

При \(a = -1\)

При \(a = 1{,}5\)

Отже, при \(a = 1{,}5\) рівняння має корені, добуток яких дорівнює \(8\).

Відповідь: \(1{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів, порівнювати числа.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

Корінь належить проміжку \([-2; 0).\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з модулем.

\(|3\lg x + 1| - |\lg x - 3| = 2.\) ОДЗ: \(x\gt 0.\)

Розкриємо модуль:
1)

2)

Розкриємо модуль на кожному проміжку:

1)

Рівняння має два корені, тому у відповідь запишемо суму коренів:

Відповідь: \(10{,}001.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою

(враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу). Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} 5x^2-8=-3x,\\[7pt] 5x^2+3x-8=0, \end{gather*} звідки \begin{gather*} x_1=1,\\[7pt] x_2=-1{,}6. \end{gather*}

Значення \(x_1=1\), що не задовольняє ОДЗ рівняння, не є коренем заданого рівняння; значення \(x_2=-1{,}6\) задовольняє ОДЗ, отже, є єдиним коренем заданого рівняння.

Відповідь: \(-1{,}6.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння.

За означенням логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) (позначають \(\log_a b\)) називають показник степеня, до якого треба піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b.\) Отже, якщо \(\log_a b = t\), то \(b = a^t.\) Зазначимо, що \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0.\)

Звідси випливає, що коренем рівняння \(\log_3 x = -1\) є число \(x = 3^{-1} = \frac{1}{3}.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Запишемо число \(\dfrac{1}{27}\) як степінь з основою \(3{:}\) $$ \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}. $$ Отримаємо рівняння $$ 3^x=3^{-3}, $$ \(x=-3\) є корінем цього рівняння. Оскільки число \(-3\) належить проміжку \((-5; -2]\), то правильною є відповідь Б.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\(\log_6(x - 3) + \log_6(x - 8) = 2.\) ОДЗ: \(x\gt 8.\)

\(x_2 \notin\) ОДЗ.

Відповідь: \(12.\)

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та їх системи.

У відповідь запишемо добуток

Відповідь: \(0{,}375.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Представимо числа \(4\) і \(8\) як степені з основою \(2\): \begin{gather*} 4 = 2^{2},\\[7pt] 8 = 2^{3}. \end{gather*} Тоді \((2^{2})^{x} = 2^{3}\). За властивістю степенів \((2^{2})^{x} = 2^{2x}\), звідки \begin{gather*} 2^{2x} = 2^{3},\\[7pt] 2x = 3,\\[6pt] x = \frac{3}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння за допомогою заміни, після чого рівняння зводиться до квадратного.

Зробимо заміну \(\log_{5} x = t\). Тоді рівняння у нових змінних набуває вигляду $$ t^{2} + t - 2 = 0, $$ за теоремою Вієта корені цього рівняння мають задовольняти рівності \begin{gather*} t_{1} \cdot t_{2} = -2,\\[7pt] t_{1} + t_{2} = -1. \end{gather*} Отже, \begin{gather*} t_{1} = -2,\\[7pt] t_{2} = 1. \end{gather*}

Повертаємось до заміни: $$ \left[\begin{array}{l} \log_{5} x = -2,\\ \log_{5} x = 1. \end{array}\right. $$

Звідки $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 5^{-2} = 0{,}04\\ x_{2} = 5^{1} = 5. \end{array}\right. $$ Отже, задане рівняння має два корені, їх сума дорівнює $$ 0{,}04 + 5 = 5{,}04. $$

Відповідь: \(5{,}04.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Помітимо, що ця система є лінійною відносно \(2^{x}\) і \(y.\) Застосуємо метод додавання. Від першого рівняння системи віднімемо почленне друге рівняння:

Звівши подібні доданки, отримаємо: \(4y = -28,\) звідси \(y = -7.\)

Підставимо отримане значення \(y = -7\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, у перше: $$ 3 \cdot (-7) + 2^{x} = -13, $$ звідси \begin{gather*} 2^{x} = -13 + 21,\\[7pt] 2^{x} = 8,\\[7pt] x = 3. \end{gather*}

Отже, \((3; -7)\) – розв’язок системи. Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 3 + (-7) = -4. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічне рівняння.

Виконавши перетворення: $$ \log_{4}\frac{1}{16} = \log_{4} 4^{-2} = -2, $$ запишемо задане рівняння у вигляді $$ \log_{4} x(\log_{4} x - 2) = 3,\ \text{або } $$ $$ (\log_{4} x)^{2} - 2\log_{4} x - 3 = 0. $$ Отримане рівняння є квадратним відносно змінної \(\ \log_{4} x = t{:}\) $$ t^{2} - 2t - 3 = 0, $$ коренями якого є значення \(t_{1} = -1\) та \(t_{2} = 3\).

Отже, задане рівняння рівносильне сукупності $$ \left[\begin{array}{l} \log_{4} x = -1,\\ \log_{4} x = 3. \end{array}\right. $$ Її розв’язки: $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 4^{-1} = 0{,}25,\\ x_{2} = 4^{3} = 64 \end{array}\right. $$ є коренями заданого рівняння, їх сума дорівнює $$ 0{,}25 + 64 = 64{,}25. $$

Відповідь: \(64{,}25.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Запишемо число \(125\) як степінь з основою \(5\mathord{:}\ 125=5^3.\) Тоді рівння набуде вигляду \(5^{x+1}=5^3.\) Оскільки степеневі вирази з однаковою основою рівні лише тоді, коли рівні показники степенів, то отримане рівняння рівносильне рівнянню \(x+1=3,\) звідки \(x=2.\) Число \(2\) належить проміжку \([0; 3).\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою $$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x-7\gt 0. \end{array}\right. $$ Враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу, звідки отримуємо \(x\gt 7.\)

Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} \log_{2}(x(x-7))=3\log_{2}2,\\[7pt] \log_{2}(x^2-7x)=\log_{2}2^{3},\\[7pt] x^2-7x-8=0, \end{gather*} звідки \(x_1=-1\lt 7\) (не задовольняє ОДЗ, отже, не є коренем заданого рівняння), \(x_2=8\gt 7\) – корінь заданого рівняння. Отже, задане рівняння має єдиний корінь \(x=8\).

Зауваження. Оскільки на проміжку \((7; +\infty)\) функція \(y=\log_{2}x+\log_{2}(x-7)\) зростає як сума двох зростаючих функцій \(y=\log_{2}x\) та \(y=\log_{2}(x-7)\), то графік функції \(y=\log_{2}x+\log_{2}(x-7)\) може перетинати пряму \(y=3\), що паралельна осі абсцис, не більше одного разу. Це означає, що задане рівняння може мати не більше одного кореня. При \(x=8\)

Отже, \(x=8\) – єдиний корінь рівняння.

Відповідь: \(8.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Друге рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є показниковим. Розв'яжемо це рівняння. Для цього запишемо число \(16\) у вигляді степеня з основою \(4\): $$ 16=4^2, $$ тоді $$ 16^{-1}=(4^2)^{-1}=4^{-2}. $$ Отже, рівняння набуває вигляду $$ 4^x=4^{-2}. $$ Оскільки степені з однаковими основами рівні, коли рівні показники їх степенів, то отримуємо \(x=-2.\) Підставимо отримане значення \(x=-2\) в перше рівняння системи:

Отже, пара чисел \((-2; 7)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Тоді

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з раціональним показником, уміння розв’язувати показникові та лінійні рівняння.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

Використаємо властивість логарифма: $$ \log_a b^n=n\cdot \log_a b, $$

Звідси, \(x=9\) корінь рівняння. Проміжок, якому належить корінь рівняння \((8; 10].\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Отже, корінь рівняння \(x=4.\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи обидві частини рівняння:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та логарифмічні рівняння.

ОДЗ: \(y-x\gt 0\), \(y\gt x.\)

Підставимо значення \(y=1\) у друге рівняння:

\((-3; 1)\) – розв'язок системи рівнянь.

Відповідь: \(-3.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

Рівняння має корені, якщо корінь \(x=2+a\) належить ОДЗ \(x\gt -2.\)

Отже,

Найменше ціле значення параметра \(a\) дорівнює \(-3.\)

Відповідь: \(-3.\)

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння. Функціональна залежність. Логарифмічна функція.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

\(\log_4(x-1)=3.\) За означенням логарифма можна записати \(x-1=4^3.\)

Звідси \(x-1=64\), \(x=65.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, застосовувати загальні методи та прийоми (застосування властивостей функцій) у процесі розв'язування нерівності.

Винесемо спільний множник \(2^x\) за дужки:

Функція \(y=2^x\) зростаюча, тому \(x\ge 4\), \(x\in [4; +\infty).\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять логарифмічні вирази, знання властивостей логарифма.

Застосуємо означення логарифма

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\(3^{7x}=9,\) \(3^{7x}=3^2\), \(7x=2.\)

\(x=2:7\), \(x=0\mathord{,}28\text{...}\), \(x\approx 0\mathord{,}3\) якщо округлити до десятих.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Корінь рівняння належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічн рівняння.

\begin{gather*} 4+\log_{\frac 12}x=0,\\[6pt] \log_{\frac 12}x=-4. \end{gather*} За означенням логарифма $$ x=\left(\frac 12\right)^{-4}=2^4=16. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати дійсні числа.

За означенням логарифма $$ x=64^{\frac 12}=\sqrt{64}=8 $$ \(6\lt 8\lt 32\) – проміжок, якому належить корінь.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння, знання числових проміжків.

За означенням логарифма \begin{gather*} \log_ab=c,\ \ b=a^c,\\[6pt] \log_{\frac 13}(x+1)=-2,\ \ x+1=\left(\frac 13\right)^{-2},\\[6pt] x+1=3^2,\ \ x+1=9,\ \ x=8.\\[7pt] 7\lt 8\le 9. \end{gather*} Отже, \(x\in (7; 9].\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Розв'яжемо показникове рівняння: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}\\[6pt] 2x-1=-2,\ \ 2x=-2+1,\\[6pt] 2x=-1,\ \ x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=-0,5\) належить проміжку \((-1;\ 0].\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\(\log_2^2x-(a-1)\log_2x-a=0.\)

ОДЗ: \(x\gt 0.\)

Зробимо заміну: \(\log_2x=t.\)

Корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} t_1=\frac{(a-1)+(a+1)}{2}=a\\[6pt] t_2=\frac{a-1-(a+1)}{2}=-1. \end{gather*}

Повертаємось до заміни:

\begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} \log_2x=-1,\\ \log_2x=a; \end{array} \right. \ \ \ \left[ \begin{array}{l} x_1=\frac 12,\\ x_2=2^a. \end{array} \right. \end{gather*}

\(x_1\notin (30;\ 100),\) тому даному проміжку повинен належати \(x_2.\)

\begin{gather*} 30\lt x_2\lt 100,\ \ 30\lt 2^a\lt 100.\\[7pt] \text{при}\ a=5\ (a\in \mathbb{Z}). \end{gather*}

Наймеше значення \(a=5.\)

Відповідь: 5.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи рівнянь першого степеня та показникових.

Розв'яжемо систему рівнянь: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x+y=5,\\ 4^x=16^{-1}; \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=5,\\ 4^x=4^{-2}; \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} -2+y=5,\\ x=-2; \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} y=7,\\ x=-2. \end{array} \right. \end{gather*} \(x_0=-2;\ y_0=7.\) Отже $$ x_0\cdot y_0=-2\cdot 7=-14. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\(\log_{\frac 13}(x+1)=-2.\) За означенням логарифма \begin{gather*} x+1=\left(\frac 13\right)^{-2},\ \ x+1=3^2,\\[6pt] x+1=9,\ \ x=8 \in (7; 9]. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 3^{x^2}=3^4,\ \ x^2=4,\\[7pt] x=2\ \ \text{або}\ \ x=-2. \end{gather*}

Рівняння має два корені. Найменший з них \(x=-2.\) Він належить проміжку \([-2; 0).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

$$ \lg(2ax+5-a)=\lg(4x) $$ ОДЗ:

Лінійне рівняння не має коренів при \(a=2.\)

При \(a\ne 2\ \ x=\frac{a-5}{2a-4}.\)

Логарифмічне рівняння не буде мати розв'язок, якщо \(x\le 0.\) Знайдемо такі значення:

$$ \frac{a-5}{2a-4}\le 0, $$

$$a\in (2; 5].$$ Отже, рівняння не буде мати розв'язків, якщо \(a\in [2; 5],\) включаючи значення \(2.\) Сума всіх цілих значень \(a\) $$ 2+3+4+5=14. $$

Відповідь: 14.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Використали означення логарифма: \(\log_ab=c\), \(a^c=b\) та застосували формулу: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Зведемо до однакової основи ліву та праву частину показникового рівняння:

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Застосуймо властивості алгоритмів:

Зведімо обидві сторони рівняння до логарифмів з однаковою основою:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння, рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

Дріб дорівнює нулю за умови, що чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні.

За умовою корінь \(x\) має бути додатним і задовольняти ОДЗ. Тобто \(x\gt 0\) та \(x\lt 2.\) Отже, \(0\lt x\lt 2.\)

Підставмо \(x\) у нерівність:

Оскільки \(a\) – ціле число, то \(a=5\mathord{,}\ 6\mathord{,}\ 7\mathord{,}\ 8.\)

Сума значень \(a:\) $$ 5+6+7+8=26. $$

Відповідь: \(26.\)

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_3x=2. \end{gather*} За означенням логарифма: \begin{gather*} x=3^2,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та квадратні рівняння, рівняння з параметром.

Замінімо змінну. Нехай \(3^x=t.\) Оскільки показникова функція завжди набуває лише додатних значень: \(t\gt 0.\) Рівняння набуває вигляду:

Помножмо все на \(t\ (t\ne 0){:}\)

Оскільки \(D\gt 0\), маємо два корені:

Щоб рівняння не мало коренів, необхідно, щоб \(t_1\le 0\) i \(t_2\le 0{:}\)

Спільна умова: \(a\le -2{,}5.\)

Найбільше значення \(a\) з проміжку \((-\infty; -2{,}5]\) це \(-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Корінь рівняння належить проміжку \((-2; 0).\)

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Отже,

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

Підставмо значення \(x\) у друге рівняння системи й визначмо \(y\mathord{:}\)

\((4\mathord{,}5; -3)\) – розв'язок системи.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи показникових рівнянь та їх систем, рівнянь із параметром.

Помножмо перше рівняння системи на \((-3)\) і додаймо почленно обидва рівняння:

Щоб система мала хоча б один розв'язок, рівняння \(y^2=3-4a\) повинно мати розв'язок, а це буде за умови

Помножмо перше рівняння системи на \((-2)\) і додаймо почленно рівняння:

рівняння буде мати корені за умови \begin{gather*} 5a\gt 0,\\[7pt] a\gt 0. \end{gather*}

Отже, система матиме розв'язок, якщо \(a\in (0; 0\mathord{,}75].\) Найбільше значення \(a=0\mathord{,}75.\)

Відповідь: \(0\mathord{,}75.\)

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Оскільки \(4^{\frac 12}=\sqrt{4}=2\), маємо:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо \(\left(\frac 12\right)^{x+3}\) на \((2^{-1})^{x+3}\), скориставшись формулою \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\)

За властивістю степеня:

У лівій частині за властивістю степенів \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(2\)), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо \(-3\) праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на \(-1{:}\) \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

Перенесімо \(-11x\) праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на \(4{:}\) \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2{:}\)

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(t_1=9\), \(t_2=-1.\)

Повернімося до заміни \(3^x=t\) й замість \(t\) підставмо обчислені значення.

Підставимо \(9{:}\)

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

\(3^x\) не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції \(y=a^x\) завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені \(2\) не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь \(x=2\) в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, \(a=6.\)

Відповідь: \(6.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями, а саме:

Розв'яжімо показникове рівняння:

Зведімо до однакової основи:

Корінь рівняння \(x=-3\) належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Оскільки в першому рівнянні основи однакові, то можемо прирівняти показники степенів:

Маємо систему рівнянь:

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

Підставмо значення \(x=2\) у друге рівняння системи й визначмо \(y{:}\)

Тобто \((2; -1)\) – розв'язок системи, а

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Перетворімо дріб:

Маємо рівняння:

Оскільки основи степенів однакові \((2)\), прирівнюємо показники:

Корінь рівняння \(-3\) належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведемо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

Використаймо властивість степенів:

Тоді

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти iз показники степеня:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} x=0{,}5^{-2};\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2};\\[6pt] x=2^2;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Корінь рівняння \(4\in (1;4].\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи:

\begin{gather*} 9=3^2=\left(\frac 13\right)^{-2};\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(\dfrac 13\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} 2x-1=-2;\\[7pt] 2x=-2+1;\\[7pt] 2x=-1;\\[6pt] x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння \(-\dfrac 12\in (-2; 0].\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових і раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} 4x-\sqrt{4x+a}+a=0;\\[7pt] (4x+a)-\sqrt{4x+a}=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt{4x+a}=t\), де \(t\ne 0\), тоді \(4x+a=t^2.\)

Підставмо в рівняння:

\begin{gather*} t^2-t=0;\\[7pt] t(t-1)=0. \end{gather*}

Отримуємо два корені, якщо обидва задовольняють умову \(t=0.\) Отже, \(t_1=0\) i \(t_2=1.\)

1. Якщо \(t=0{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=0;\\[7pt] 4x_1=-a;\\[6pt] x_1=-\frac a4. \end{gather*}

2. Якщо \(t=1{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=1^2;\\[7pt] 4x_2=1-a;\\[6pt] x_2=\frac{1-a}{4}. \end{gather*}

Оскільки для будь-якого дійсного значення \(a\) отримуємо два різні корені, рівняння завжди має рівно два корені.

За умовою сума коренів дорівнює \(10{:}\)

\begin{gather*} x_1+x_2=10;\\[6pt] -\frac a4+\frac{1-a}{4}=10. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

\begin{gather*} -a+1-a=40;\\[7pt] -2a+1=40;\\[7pt] -2a=39;\\[7pt] a=39:(-2);\\[7pt] a=-19{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(-19{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^{x+1}=81;\\[7pt] 3^{x+1}=3^4. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} x+1=4;\\[7pt] x=4-1;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні й показникові рівняння, аналізувати й досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

Область допустимих значень (ОДЗ):

Вираз під знаком логарифма має бути додатним:

\begin{gather*} 3a-17x\gt 0;\\[7pt] 17x\lt 3a;\\[7pt] x\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Добуток двох виразів дорівнює нулю, коли хоча б один із них дорівнює нулю.

Оскільки \(\lg^2(3a - 17x)\ge 0\), оцінімо другий множник:

\begin{gather*} 3+\lg^2(3a-17x)\ge 3\gt 0. \end{gather*}

Отже, другий множник завжди більший за нуль, тому відповідне рівняння не має коренів.

Прирівнюємо перший множник до нуля:

\begin{gather*} 4^{x+1}+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot 4^x+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot (2^x)^2+15\cdot 2^x-4=0. \end{gather*}

Зробімо заміну \(t=2^x\ (t\gt 0){:}\)

Рівняння матиме корінь \(x=-2\), якщо він задовольняє ОДЗ:

\begin{gather*} -2\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(17{:}\)

\begin{gather*} -34\lt 3a;\\[7pt] 3a\gt -34. \end{gather*}

Поділімо на \(3{:}\)

\begin{gather*} a\gt -\frac{34}{3};\\[6pt] a\gt -11\frac 13. \end{gather*}

Найменше ціле значення \(a\), що задовольняє цю нерівність, дорівнює \(-11.\)

Відповідь: \(-11.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

За властивістю логарифма

\begin{gather*} \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 2^2;\\[7pt] \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 4. \end{gather*}

Оскільки основи однакові, прирівняймо підлогарифмічні вирази: \(x=4.\)

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь із параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження щодо області значень змінних.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=4^x\) та \(v=y^2.\)

Оскільки \(4^x\gt 0\) та \(y^2\ge 0\), маємо обмеження: \(u\gt 0\) та \(v\ge 0.\)

Перепишімо систему у вигляді:

\begin{gather*} \begin{cases} u+v=22;\\ u-v=13-3a. \end{cases} \end{gather*}

Віднімімо від першого рівняння друге:

\begin{gather*} (u+2v)-(u-v)=22-(13-3a);\\[7pt] u+2v-u+v=22-13+3a;\\[7pt] 3v=9+3a;\\[7pt] v=3+a. \end{gather*}

Підставмо \(v=3+a\) у друге рівняння:

\begin{gather*} u-(3+a)=13-3a;\\[7pt] u-3-a=13-3a;\\[7pt] u=13-3a+3+a;\\[7pt] u=16-2a. \end{gather*}

Система матиме принаймні один розв’язок \((x, y)\), якщо виконуються умови для \(u\) та \(v{:}\)

З умови \(v\ge 0\) маємо: \(3+a\ge 0\Rightarrow a\ge -3.\)

З умови \(u\gt 0\) маємо: \(16-2a\gt 0\Rightarrow 2a\lt 16\Rightarrow a\lt 8.\)

Отже, \(a\in [-3; 8).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

Усього таких значень \(11.\)

Відповідь: \(11.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведімо обидві частини показникового рівняння до спільної основи \(3{:}\)

Застосуймо властивість степеня:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \sqrt{3}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Отримали рівняння:

\begin{gather*} 3^{-x+7}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} -x+7=0{,}5;\\[7pt] -x=0{,}5-7;\\[7pt] -x=-6{,}5;\\[7pt] x=6{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння \(6{,}5\in (6; 7).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь, використовуючи навички розв’язання показникових і лінійних рівнянь.

Визначмо з першого рівняння \(x.\) Для цього спростимо ліву частину рівняння, використовуючи властивість степенів:

\begin{gather*} a^n\cdot b^n=(ab)^n.\\[7pt] 2^x\cdot 7^x=(2\cdot 7)^x=14^x. \end{gather*}

Спростимо праву частину першого рівняння системи. Для цього використаємо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\\[6pt] \frac{1}{14}=14^{-1}. \end{gather*}

Вигляд першого рівняння системи:

\begin{gather*} 14^x=14^{-1}. \end{gather*}

У рівнянні в лівій і правій частині основи однакові \((14).\) Отже, можемо відкинути основи й прирівняти показники степенів:

\begin{gather*} x=-1. \end{gather*}

Підставмо отримане значення \(x\) у друге рівняння системи, щоб визначитити \(y{:}\)

\begin{gather*} 3\cdot (-1)-2y=7;\\[7pt] -3-2y=7. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння. Для цього перенесімо \(−3\) праворуч і поділімо обидві частини рівняння на \(−2{:}\)

\begin{gather*} -2y=7+3;\\[7pt] -2y=10;\\[7pt] y=10:(-2)=-5. \end{gather*}

Отже, розв’язок системи: \(x_0=−1\), \(y_0=−5.\) Обчислімо суму:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня та знаменнику дробу, визначати умову існування розв’язку.

Перенесімо \(\dfrac{81}{a−2x}\) ліворуч:

\begin{gather*} \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}-\frac{\log_3 81}{a-2x}=0. \end{gather*}

Зведімо доданки лівої частини до одного знаменника \(2x−a.\) Для цього помножмо чисельник і знаменник другого доданку на \(−1{:}\)

\begin{gather*} \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}-\frac{-\log_3 81}{-(a-2x)}=0;\\[6pt] \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}+\frac{\log_3 81}{2x-a}=0;\\[6pt] \frac{9^x-12\cdot 3^x+23+\log_3 81}{2x-a}=0. \end{gather*}

Запишімо ОДЗ утвореного рівняння: знаменник дробу не дорівнює нулю.

\begin{gather*} 2x-a\ne 0. \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 9^x-12\cdot 3^x+23+\log_3 81=0. \end{gather*}

Спростімо доданки: \(9^x\) запишімо як \((3^2)^x=3^{2x}.\)

Запишімо \(81\) як \(3^4.\) Використаймо логарифмічні тотожності:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \log_3 3^4=4\cdot \log_3 3=4\cdot 1=4. \end{gather*}

Рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} 3^{2x}-12\cdot 3^x+23+4=0;\\[7pt] 3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2.\) Оскільки показникова функція \(y=3^x\) набуває лише додатних значень, на заміну накладімо обмеження: \(t\gt 0.\)

Утворилося квадратне рівняння:

\begin{gather*} t^2-12\cdot t+27=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти квадратного рівняння:

• \(a=1\) (множник біля \(t^2\));
• \(b=−12\) (множник біля \(t\));
• \(c=27\) (вільний член).

Оскільки \(a=1\), рівняння зведене. Використаймо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} \begin{cases} t_1+t_2=-b=-(-12)=12,\\ t_1\cdot t_2=c=27. \end{cases} \end{gather*}

Із системи визначмо корені \(t_1\), \(t_2\) рівняння:

\begin{gather*} t_1=3;\\[7pt] t_2=9. \end{gather*}

Повернімося до заміни:

\begin{gather*} 3^x=t;\\[7pt] 3^x=3,\ \ 3^x=3^1,\ \ x=1;\\[7pt] 3^x=9,\ \ 3^x=3^2,\ \ x=2. \end{gather*}

Маємо два корені початкового рівняння. Щоб це рівняння мало один розв’язок, як зазначено в умові завдання, один з коренів має бути стороннім, тобто не задовольняти записаної ОДЗ (перетворювати знаменник дробу на нуль).

Варіант 1: нехай розв’язок \(x=1\) буде стороннім коренем. Визначмо, за якого значення параметра \(a\) це справджується. Для цього в знаменник \(2x−a\) замість \(x\) підставмо \(1\) і прирівняймо його до нуля:

\begin{gather*} 2\cdot 1-a=0;\\[7pt] 2-a=0;\\[7pt] a=2. \end{gather*}

Отже, якщо \(x=1\) і \(a=2\), знаменник дробу в рівнянні перетвориться на нуль. Тобто корінь \(x=1\) за \(a=2\) є стороннім. Перевірмо, чи буде в такому разі існувати корінь \(x=2.\) Для цього перевірмо значення знаменника, підставивши в нього \(2\) замість параметра \(a\) й \(2\) замість кореня \(x{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot 2-2=4-2=2. \end{gather*}

Як бачимо, якщо \(a=2\), корінь \(x=2\) існує (оскільки знаменник не перетворюється в нуль) і буде єдиним розв’язком рівняння.

Варіант 2: нехай розв’язок \(x=2\) буде стороннім коренем. Визначмо, за якого значення параметра \(a\) це справджується. Для цього в знаменник \(2x−a\) замість \(x\) підставмо \(2\) та прирівняймо його до нуля:

\begin{gather*} 2\cdot 2-a=0;\\[7pt] 4-a=0;\\[7pt] a=4. \end{gather*}

Отже, якщо \(x=2\) і \(a=4\), знаменник дробу в рівнянні перетвориться на нуль. Тобто корінь \(x=2\) при \(a=4\) є стороннім. Перевірмо, чи буде в такому разі існувати корінь \(x=1.\) Для цього перевірмо значення знаменника, підставивши в нього \(4\) замість параметра \(a\) ій\(1\) замість кореня \(x{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot 1-4=2-4=-2. \end{gather*}

Якщо \(a=4\), корінь \(x=1\) існує (оскільки знаменник не перетворюється в нуль) і буде єдиним розв’язком рівняння.

Тобто маємо два значення параметра \(a\), за яких рівняння матиме лише один корінь (якщо \(a=2\), тоді існуватиме лише \(x=2\); якщо \(a=4\), тоді існуватиме лише \(x=1\)).

Обчислімо суму значень параметра \(a{:}\ 2+4=6.\)

Відповідь: \(6.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{xy}. \end{gather*}

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти їхні показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні й ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати ірраціональні рівняння з параметрами, знання властивостей логарифмічної функції.

ОДЗ:

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо принаймні один із них дорівнює нулю, за умови, що інший множник має зміст

Спочатку обчислімо потенційні корені.

З другого множника маємо \(\log_3(x-4)-2=0\), звідки

\begin{gather*} \log_3(x-4)=2;\\[7pt] x-4=3^2;\\[7pt] x-4=9;\\[7pt] x_2=13. \end{gather*}

З першого множника отримуємо

\begin{gather*} \sqrt{2x-a}=0;\\[7pt] 2x-a=0;\\[7pt] 2x=a;\\[7pt] x_1=\dfrac a2. \end{gather*}

Рівняння матиме два різні розв’язки лише тоді, коли обидва корені належатимуть області допустимих значень та не збігатимуться один із одним.

Перевірмо виконання умов ОДЗ і відмінності коренів \((x_1\ne x_2).\)

Умова \(x\gt 4\) для кореня \(x_2=13\) виконується завжди, а для кореня \(x_1=\dfrac a2\) має виконуватися нерівність \(\dfrac a2\gt 4\), звідки \(a\gt 8.\)

Умова \(x\ge \dfrac a2\) для \(x_1=\dfrac a2\) виконується автоматично, а для \(x_2=13\) потребує \(13\ge \dfrac a2\), звідки \(a\le 26.\)

Щоб корені не збігалися \((x_1\ne x_2)\), значення \(\dfrac a2\ne 13\), тобто \(a\ne 26.\)

Об’єднаймо ці умови

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \((8; 26).\)

Цілими значеннями із цього проміжку є числа від \(9\) до \(25.\)

Обчислімо їхню кількість:

\begin{gather*} 25-9+1=17. \end{gather*}

Відповідь: \(17.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння й знання властивостей степенів.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[6pt] 2^{x+1}-2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x\cdot 2^1-2^x=\frac{1}{2^3}. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \(2^x\) за дужки:

\begin{gather*} 2^x\cdot (2-1)=2^{-3};\\[7pt] 2^x\cdot 1=2^{-3};\\[7pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Число \(-3\) належить проміжку \([-3; 0).\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Перше рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є логарифмічним. Розв'яжімо це рівняння. За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=a^b\Leftrightarrow \log_a x=b. \end{gather*}

Оскільки \(\log_2 x=2\), то \(x=2^2=4.\)

(Оскільки \(x=4\gt 0\) і знаменник другого рівняння \(x+1=5\ne 0\), це число належить до області допустимих значень).

Обчислімо \(y\), підставивши \(x=4\) у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+10}{4+1}=\frac{4+2}{2};\\[6pt] \frac{y+10}{5}=3;\\[6pt] y+10=15;\\[7pt] y=5. \end{gather*}

Обчислімо суму \(x_0+y_0{:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=4+5=9. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ): \(x\gt 0.\)

Застосуймо властивість різниці логарифмів \((\log_a b-\log_a c=\log_a \dfrac bc){:}\)

\begin{gather*} \log_6 x-\log_6 2=1;\\[6pt] \log_6 \frac x2=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \frac x2=6^1;\\[6pt] \frac x2=6;\\[6pt] x=12. \end{gather*}

Число \(12\) задовольняє ОДЗ \((12\gt 0)\) і належить проміжку \((10; +\infty).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ):

\begin{gather*} x-2\gt 0;\\[7pt] x\gt 2. \end{gather*}

За означенням логарифма \((a^{\textstyle \log_a b}=b){:}\)

\begin{gather*} x-2=(0{,}5)^{-2}. \end{gather*}

Перетворімо основу й показник степеня, використовуючи формули степеня:

Обчислімо значення \(x{:}\)

\begin{gather*} x-2=4;\\[7pt] x=6. \end{gather*}

Число \(6\) задовольняє ОДЗ \((6\gt 2)\) і належить проміжку \([5; 7).\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння й системи рівнянь. Рівняння з параметрами.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні, ірраціональні й логарифмічні рівняння з параметром, а також аналізувати область допустимих значень (ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник має зміст і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \sqrt{3x+4}-x+12=0;\\[7pt] \sqrt{3x+4}=x-12. \end{gather*}

Арифметичний квадратний корінь не може бути від'ємним, тому маємо обов'язкову умову:

\begin{gather*} x-12\ge 0;\\[7pt] x\ge 12. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини до квадрата:

\begin{gather*} 3x+4=(x-12)^2;\\[7pt] 3x+4=x^2-24x+144;\\[7pt] x^2-27x+140=0. \end{gather*}

Застосуймо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=27;\\ x_1\cdot x_2=140. \end{array}\right. \end{gather*}

Розклавши \(140\) на множники \((7\cdot 20=140\) та \(7+20=27)\), отримуємо корені: \(x_1=7\); \(x_2=20.\)

Зважаючи на умову \(x\ge 12\), значення \(x=7\) є стороннім коренем.

Отже, чисельник перетворюється на нуль лише при \(x=20.\)

Початкове рівняння не матиме коренів, якщо потенційний корінь \(x=20\) не входить до області допустимих значень знаменника \(log_5(x−2a).\)

Це відбувається у двох випадках.

1. Знаменник не існує (вираз під логарифмом недодатний):

\begin{gather*} x-2a\le 0;\\[7pt] 20-2a\le 0;\\[7pt] 2a\ge 20;\\[7pt] a\ge 10. \end{gather*}

2. Знаменник дорівнює нулю (ділення на нуль неможливе):

\begin{gather*} \log_5(x-2a)=0;\\[7pt] x-2a=1;\\[7pt] 20-2a=1;\\[7pt] 2a=19;\\[7pt] a=9{,}5. \end{gather*}

Рівняння не має коренів за \(a\in \{9{,}5\}\cup [10; +\infty).\)

Найменшим значенням \(a\) із цієї множини є \(9{,}5.\)

Відповідь: \(9{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності і їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє знання методів розв'язування показникових рівнянь.

Використаймо властивості степенів:

\begin{gather*} (a\cdot b)^x=a^x\cdot b^x\ \text{та}\ (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[7pt] (5\cdot 20)^x=1000;\\[7pt] (100)^x=1000. \end{gather*}

Зведімо обидві частини до основи \(10{:}\)

\begin{gather*} (10^2)^x=10^3;\\[7pt] 10^{2x}=10^3;\\[7pt] 2x=3;\\[7pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Число \(1{,}5\) належить півінтервалу \([1{,}5; 2)\), оскільки квадратна дужка означає, що ліву межу \(1{,}5\) включено до цього проміжку.

Отже, \(x\in [1{,}5; 2).\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння з параметрами.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові й ірраціональні рівняння, що містять параметр, аналізувати область допустимих значень (ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} 7^{\textstyle 3x-2x^2}-\dfrac{1}{49}=0,\\ \sqrt{2x+5a}-4\ne 0,\\ 2x+5a\ge 0. \end{cases} \end{gather*}

Визначмо корені рівняння (із чисельника):

\begin{gather*} 7^{\textstyle 3x-2x^2}=7^{\textstyle -2};\\[7pt] 3x-2x^2=-2;\\[7pt] -2x^2+3x+2=0. \end{gather*}

Помножмо рівняння на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 2x^2-3x-2=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У рівнянні \(2x^2-3x-2=0\) випишімо коефіцієнти: \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2.\)

Обчислімо дискримінант:

\begin{gather*} x_1=\frac{3-5}{4}=-0{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{3+5}{4}=2. \end{gather*}

Рівняння матиме два корені, якщо обидва значення \(x_1=-0{,}5\) та \(x_2=2\) одночасно задовольняють умови існування знаменника.

Виразімо умови для знаменника через параметр \(a{:}\)

\begin{gather*} \begin{cases} 5a\ge -2x,\\ 5a\ne 16-2x, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} a\ge -0{,}4x,\\ a\ne 3{,}2-0{,}4x. \end{cases} \end{gather*}

Перевірмо виконання умов для кожного кореня:

Для \(x_1=-0{,}5{:}\)

\begin{gather*} \begin{cases} a\ge -0{,}4\cdot (-0{,}5),\\ a\ne 3{,}2-0{,}4\cdot (-0{,}5), \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} a\ge 0{,}2,\\ a\ne 3{,}4. \end{cases} \end{gather*}

Для \(x_2=2{:}\)

\begin{gather*} \begin{cases} a\ge -0{,}4\cdot 2,\\ a\ne 3{,}2-0{,}4\cdot 2, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} a\ge -0{,}8,\\ a\ne 2{,}4. \end{cases} \end{gather*}

Об'єднаймо умови існування двох коренів:

Перетином усіх знайдених обмежень є:

Отже, найменше значення параметра \(a\), за якого рівняння має два корені, дорівнює \(0{,}2.\)

Відповідь: \(0{,}2.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Поділімо обидві частини рівняння на \(3{:}\)

\begin{gather*} 3^x=27:3;\\[7pt] 3^x=9. \end{gather*}

Запишімо число \(9\) у вигляді степеня з основою \(3{:}\)

\begin{gather*} 3^x=3^2. \end{gather*}

Прирівняймо показники степенів:

\begin{gather*} x=2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння й системи рівнянь. Рівняння з параметрами.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні, ірраціональні й логарифмічні рівняння з параметром, а також аналізувати область допустимих значень (ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} \log_3(x^2+3x-1)-2=0;\\[7pt] \log_3(x^2+3x-1)=2;\\[7pt] x^2+3x-1=3^2;\\[7pt] x^2+3x-10=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У рівнянні \(x^2+3x-10=0\) випишімо коефіцієнти: \(a=1\), \(b=3\), \(c=-10.\)

Обчислімо дискримінант:

\begin{gather*} x_1=\frac{-3-7}{2}=-5;\\[6pt] x_2=\frac{-3+7}{2}=2. \end{gather*}

Вираз у знаменнику \(\sqrt{x+a}+\sqrt{10-a}\) має бути визначеним і відмінним від нуля. Підкореневий вираз

\begin{gather*} 10-a\ge 0;\\[7pt] a\le 10. \end{gather*}

Щоб рівняння мало два різні корені \((x_1=-5\) та \(x_2=2)\), обидва значення повинні задовольняти умову \(x+a\ge 0.\)

Оскільки \(x_1=-5\lt x_2=2\), достатньо забезпечити додатність (або рівність нулю) для меншого кореня:

\begin{gather*} -5+a\ge 0;\\[7pt] a\ge 5. \end{gather*}

Сума двох квадратних коренів \(\sqrt{x+a}+\sqrt{10-a}\) може дорівнювати нулю лише за умови одночасного виконання \(x+a=0\) та \(10-a=0\) (що неможливо для \(x=-5\) чи \(x=2\) за одного значення \(a\)).

Отже, знаменник буде завжди додатним за \(a\in [5; 10].\)

Цьому проміжку \(a\in [5; 10]\) належать такі цілі значення параметра:

\begin{gather*} a=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}. \end{gather*}

Їхня сума дорівнює:

\begin{gather*} 5+6+7+8+9+10=45. \end{gather*}

Відповідь: \(45.\)