Розділ: Числа і вирази
Тема: Показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення
Кількість завдань: 90
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
Застосували властивості логарифмів: \begin{gather*} \log_a b^n=n\log_a b,\\[7pt] \log_{a}(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з цілим показником та її властивості, означення синуса.
1. \(a^{-1}=\frac 1a=\frac 13\) є раціональним числом, що не є цілим. Отже, правильна відповіль – А.
2. \(a^0=1\) є натуральним числом. Отже, правильна відповіль – Б.
3. \(\sin(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a)=\sin(3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi})=\sin(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi})=\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}=0.\)
\(y=\sin x\) – періодична функція з найменшим додатним періодом \(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\) Отже, правильна відповіль – Д.
Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
\begin{gather*} \log_{0,2}125=\log_{\frac 15}5^3=\log_{5^{-1}}5^3=\\[6pt] =-1\cdot 3\log_5 5=-3\in [-3; 0). \end{gather*}Застосували властивості логарифмів: $$ \log_a b^n=n\log_a b,\ \ log_{a^k}b=\frac 1k\log_ab. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
За формулою скороченого множення \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) розкладемо на множники:
Отже, правильна відповідь – A.
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником, тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.
1. \(a^4:a^3=a^{4-3}=a^1=a.\) Отже, правильна відповіль – Д.
2. $$ \frac{a^2-a}{1-a}=\frac{a(a-1)}{-(a-1)}=\frac{a}{-1}=-a. $$ Отже, правильна відповідь – Г.
3. $$ 7^{-\log_7 a}=7^{\log_7 a^{-1}}=a^{-1}=\frac 1a. $$ Застосували правила \begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] a^{\log_a b}=b. \end{gather*} Отже, правильна відповідь – B.
Відповідь: 1Д, 2Г, 3B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.
Спростимо вирази:
1. – В. \(\frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3.\)
2. – A. \(|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3.\) Вираз \(3-\sqrt{10}\lt 0,\) тому \(|3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=-3+\sqrt{10}.\)
3. – Г. \(\log_5125=\log_55^3=3\log_55=3.\)
Відповідь: 1В, 2А, 3Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
\begin{gather*} (\cos x-\sin x)^2=\cos^2x-2\cos x\cdot \sin x+\sin^2 x=\\[7pt] =1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x. \end{gather*}Застосували формули скороченого множення $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$ та тригонометрії
\begin{gather*} \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=1\\[7pt] \sin 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=2\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних та степеневих виразів.
1. Якщо \(\frac na=3,\) то \(a=\frac n3\) – Д.
2. Якщо \(1+\log_3n=\log_3a,\) то \(\log_33+\log_3n=\log_3a,\) \(\log_3(3n)=\log_3a,\ 3n=a\) – A.
3. Якщо \(3^n\cdot 3=3^a,\) то \(3^{n+1}=3^a,\ n+1=a.\) – Б.
Застосували властивості логарифмів та степенів:
\begin{gather*} \log_aa=1,\ \ \log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c),\\[7pt] a^n\cdot a^m=a^{n+m}. \end{gather*}Відповідь: 1Д, 2А, 3Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
$$ \log_2(8a)=\log_28+\log_2a=3+4=7. $$
Застосували властивість логарифма $$ \log_a(b\cdot c)=\log_ab+\log_ac. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
$$ 4\cos^2 \alpha=1,\ \ \cos^2\alpha=\frac 14. $$
За основною тригонометричною тотожністю: \begin{gather*} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\\[7pt] \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac 14=\frac 34. \end{gather*} Отже, $$ 4\sin^2\alpha = 4*\frac 34 = 3. $$
Відповідь: Г
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
\begin{gather*} \log_5 49+2\log_5\frac 57=\\[6pt] =\log_5 49+\log_5\left(\frac 57\right)^2=\\[6pt] =\log_5 49+\log_5\frac{25}{49}=\\[6pt] =\log_5\left(49*\frac{25}{49}\right)=\log_5 25=2. \end{gather*}При розв'язанні застосували властивості логарифмів:
\begin{gather*} \log_a b^n=n\log_a b\ (b\gt 0)\\[7pt] \log_a b+\log_a c=\log_a(b*c). \end{gather*}Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, властивості степенів.
$$ \frac{10ab^3}{5a^2b}=\frac{2b^2}{a} $$
Скоротили дріб використовуючи властивість степенів: \begin{gather*} a^n:a^m=a^{n-m}. \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
За властивістю логарифма числа
\begin{gather*} \log_a{b^n}=n\cdot \log_a{b},\\[7pt] \log_{a^k}{b}=\frac 1k\log_a{b},\\[7pt] \log_2{64}=\log_2{2^6}=6\cdot \log_2{2}=6,\\[7pt] \log_{64}{2}=\log_{2^6}{2}=\frac 16\log_2{2}=\frac 16. \end{gather*}
Отже, у порядку зростання числа $$ \log_{64}{2},\ \ \log_{2}{64},\ \ 11 $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку знання вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
Використаємо властивості степені та логарифмів
Відповідь: 25.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником, логарифмічних виразів.
Запишемо числа \(a,\ b\) i \(c\) в іншому вигляді:
Правильна подвійна нерівність \begin{gather*} -1\lt 0,2\lt 2,\ \text{отже},\\[7pt] c\lt b\lt a \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
Використаємо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=1\) та спростимо вираз:
\begin{gather*} \frac{7-(\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}+\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta})}{3\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}+3\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}=\\[6pt] =\frac{7-1}{3(\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}+\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta})} =\frac{6}{3\cdot 1}=2. \end{gather*}Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, логарифмічні вирази та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.
1. $$ a^2=\left(-2\frac 13\right)^2=\left(-\frac 73\right)^2=\frac{49}{9}=5\frac 49 $$ число більше від 5, отже, 1 - А.
2. \begin{gather*} a+|a|=a+(-a)=0,\ \text{оскільки}\ a\lt 0.\\[6pt] |a|= \left\{ \begin{array}{l l} a,\ \text{якщо}\ a\geq 0, & \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0,& \end{array}\right. \end{gather*} Отже, 2 - Д.
3. \begin{gather*} \log_5 5^a=a\log_5 5=a\cdot 1=a=-2\frac 13, \end{gather*} є від'ємним числом, отже, 3 - В.
Відповідь: 1A, 2Д, 3В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
Формула синуса подвійного кута \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) є в довідкових матеріалах.
Відповідь: В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.
1. \((a-2,7)=4,5-2,7=1,8\in\ (1;\ 2)\), отже 1 - В.
2. \(\sqrt[3]{3,5-4,5}=\sqrt[3]{-1}=-1\in\ (-2;\ 0)\), отже 2 - A.
3. \begin{gather*} \log_5 a=\log_5 4,5;\\[7pt] \log_5 1\lt\log_5 4,5\lt \log_5 5.\\[7pt] y=\log_5 x\ \text{зростаюча функція}\\[7pt] 0\lt\log_5 4,5\lt 1, \end{gather*} отже, 3 - Б
Відповідь: 1В, 2А, 3Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Функції. Тригонометричні вирази та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей періодичних функцій.
Спростимо вираз: \(2\cos (450^\circ+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\).
Функція \(y=\cos x\) періодична з періодом \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), отже \(\cos(x+T)=\cos x\).
оскільки $$ \cos(90^\circ+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})=-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, степеневих виразів.
1. \(a^4:a^3=a^{4-3}=a^1=a.\) Отже, 1 – Г.
2. \(\frac{a^2-a}{1-a}=\frac{a(a-1)}{-(a-1)}=-a.\) Отже, 2 – Д.
3. \(7^{-\log_7a}=7^{\log_7a^{-1}}=a^{-1}=\frac 1a.\) Отже, 3 – B.
Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
За формулою $$ \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}} $$ спростимо: $$ \frac{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cdot\mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{\frac{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}}{\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{1}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}. $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв’язування задач, виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних виразів.
1. \(a^0=1.\)
Отже, 1 – Г.
2. \(|a|+a=-a+a=0.\)
За означенням модуля $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \ \text{якщо}\ \ a\gt 0\\ 0,\ \ \text{якщо}\ \ a=0\\ -a,\ \ \text{якщо}\ \ a\lt 0 \end{array}\right. $$ Отже, 2 – A.
3. \(a\log_22^a=a^2\log_22=a^2.\)
Отже, 3 – B.
Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання основних співвідношень між тригонометричними функціями одного аргументу.
Спростимо вираз
$$ (1+\mathrm{tg}^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})\cdot \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{1}{\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\mathrm{tg}2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
За властивістю пропорції $$ \frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac 25,\ \ \mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}. $$ Отже, \(\mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac 25.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа, знання властивостей модуля числа.
1. \(a^2=(-0\mathord{,}6)^2=0\mathord{,}36\) належить проміжку \([0; 0\mathord{,}5].\) Отже, 1 – B.
2. \(|a|=|-0\mathord{,}6|=0\mathord{,}6=\frac 35.\) Отже, 2 – A.
3. \(\log_2(4+a)=\log_2(4-0\mathord{,}6)=\log_2 3\mathord{,}4\),
Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
Спростимо вираз:
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Функції. Дійсні числа. Логарифмічні вирази. Логарифмічна функція.
Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
Функція \(y=\log_2\frac 13\) зростаюча, оскільки основа логарифмічної функції – число \(2\gt 1.\) Отже, більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.
\begin{gather*} \log_2\frac 14\lt \log_2\frac 13\lt \log_2\frac 12\\[6pt] \log_22^{-2}\lt \log_2\frac 13\lt \log_22^{-1}\\[6pt] -2\lt\log_2\frac 13\lt -1. \end{gather*}З наведених проміжків число належить \((-3; -1).\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних, знання формул зведення.
$$ \sin\frac{7\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}-1=\sin\left(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}\right)-1=-\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}-1=-\frac 12-1=-1\frac 12. $$Отже, значення виразу належить проміжку \([-2; -1).\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.
Це завдання перевіряє знання формул зведення, означення котангенса числового аргументу.
За формулою зведення $$ \cos(90^\circ+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})=-\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$
Отримаємо,
\begin{gather*} \frac{\cos(90^\circ+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})}{\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{-\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=-1. \end{gather*}Відповідь: A.
ТЕМА: Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їхні перетворення.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.
Використаємо властивості логарифму
Відповідь: Б.
ТЕМА: Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
\begin{gather*} 1-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\mathrm{ctg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\\[6pt] =1-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cdot \frac{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot \cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\\[6pt] =1-\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}Відповідь: Д.
