Похідна функції – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Функції
Тема: Похідна функції
Кількість завдань: 61

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 61

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[0; 11]$ та диференційовної на проміжку $(0; 11).$ Установіть відповідність між числом (1–4) та проміжком (А–Д), якому належить це число.

Число

1$f(8)$

2$f'(7)$

3найменше значення функції $y=f(x)$ на її області визначення

4$\mathop{\int}\limits_1^3 f(x)\ dx$

Проміжок

А$(-\infty; -2]$

Б$(-2; -0\mathord{,}5]$

В$(-0\mathord{,}5; 2]$

Г$(2; 4]$

Д$(4; +\infty]$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіком, знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

1. При $x=8$ значення функції $f(8)=3{,}5.$ Число $3{,}5$ належить проміжку $(2; 4]$.
Отже, 1 – Г.

2. Дотична до графіка функції $f(x)$ в точці $x=7$ паралельна осі $Ox.$ Тоді $f'(7)=k=\mathrm{tg}\ 90^\circ=0.$ Число $0$ належить проміжку $(-0{,}5; 2].$
Отже, 2 – В.

3. Найменше значення функції $f(x)$ на її області визначення дорівнює $f(0)=-3{,}5.$ Число $-3{,}5$ належить проміжку $(-\infty; -2].$
Отже, 3 – А.

4. Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа криволінійної трапеції. З рисунка бачимо, що $$ -2\lt \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx \lt 0. $$

Тобто

$$ \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx\ \in (-2; -0{,}5]. $$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4325

Завдання 2 з 61

На рисунку зображено графік функції $F(x)=x^2+bx+c$, яка є первісною для функції $f(x).$ Визначте параметри $b$ i $c$, знайдіть функцію $f(x).$ У відповіді запишіть значення $f(-8).$

Впишіть відповідь:

-22

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком, знаходити похідну функції та значення похідної функції в точці.

$$ F(x)=x^2+bx+c, $$

$a=1$, $c=13.$ Bершина параболи

\begin{gather*} x_\text{в}=\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2\cdot 1}=3,\\[6pt] -b=6,\\[7pt] b=-6,\\[7pt] F(x)=x^2-6x+13,\\[7pt] f(x)=F'(x)=2x-6,\\[7pt] f(-8)=2\cdot(-8)-6=-16-6=-22. \end{gather*}

Відповідь: $-22.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4332

Завдання 3 з 61

Знайдіть похідну функції $y=e^{-2x}.$

А$y'=e^{-2x}$

Б$y'=-2e^{-2x}$

В$y'=-2xe^{-2x-1}$

Г$y'=2e^{-2x}$

Д$y'=-\frac 12e^{-2x}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну складеної функції, знання правил диференціювання.

За правилом знаходження похідної складеної функції, знаходимо похідну функції:

\begin{gather*} y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2 \cdot e^{-2x}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5332

Завдання 4 з 61

Знайдіть найбільше значення функції $y=\dfrac{(1-2\cos x)^4}{2}.$

Впишіть відповідь:

40.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Це завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, вміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної функції (складеної):

\begin{gather*} y = \frac{(1 - 2\cos x)^4}{2},\\[6pt] y = \frac{1}{2}(1 - 2\cos x)^4,\\[6pt] y' = \frac{1}{2}((1 - 2\cos x)^4)' = \frac{1}{2} \cdot 4(1 - 2\cos x)^3 \cdot (1 - 2\cos x)' =\\[6pt] = 2(1 - 2\cos x)^3 \cdot (2\sin x) = 4\sin x \cdot (1 - 2\cos x)^3. \end{gather*}

Знаходимо критичні точки: $y' = 0.$

\begin{gather*} 4\sin x \cdot (1 - 2\cos x)^3 = 0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} \sin x = 0, \\ 1 - 2\cos x = 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = \pi n,\ \ n \in Z \\ \cos x = \dfrac{1}{2}, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = \pi n,\ \ n \in Z \\ x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \ k \in Z. \end{array}\right. \end{gather*}

На проміжку довжиною $2\pi$ знайдемо знаки похідної:

$x = 0;\ \ \pi$ – точка максимуму.

\begin{gather*} y(0) = \frac{(1 - 2\cos 0)^4}{2} = \frac{(1 - 2 \cdot 1)^4}{2} = \frac{1}{2},\\[6pt] y(\pi) = \frac{(1 - 2\cos \pi)^4}{2} = \frac{(1 - 2 \cdot (-1))^4}{2} = \frac{(1 + 2)^4}{2} = \frac{81}{2} = 40{,}5. \end{gather*}

Найбільше значення функції $y = 40{,}5.$

Відповідь: $40{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5342

Завдання 5 з 61

Функція $f(x)$ в точці $x_0=5$ має похідну $f'(5)=-1$. Обчисліть значення похідної функції $g(x)=f(x)\cdot x$ в точці $x_0$, якщо $f(5)=3$.

А$g'(5)=-2$

Б$g'(5)=-1$

В$g'(5)=-5$

Г$g'(5)=14$

Д$g'(5)=15$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій.

За умовою $f'(5) = -1$, $f(5) = 3.$

Знаходимо похідну функції $g(x) = f(x)\cdot x$ за правилом похідної добутку.

\begin{gather*} g'(x) = f'(x)\cdot x + f(x)\cdot x' = f'(x)\cdot x + f(x).\\[7pt] g'(x_0) = g'(5) = f'(5)\cdot 5 + f(5) = (-1)\cdot 5 + 3 = -5 + 3 = -2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6109

Завдання 6 з 61

Функція $F(x)=6\sin(2x)-1$ є первісною функції $f(x)$. Знайдіть функцію $f(x)$.

А$f(x)=-12\cos(2x)$

Б$f(x)=6\cos(2x)$

В$f(x)=12\cos(2x)$

Г$f(x)=-3\cos(2x)-x+C$

Д$f(x)=-6\cos(2x)-x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну функції, знання правила знаходження первісних.

Первісна $F(x) = 6\sin(2x) - 1.$

За означенням первісної функції

\begin{gather*} F'(x) = f(x) = 6 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' - 1' = 12\cos2x. \end{gather*}

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6145

Завдання 7 з 61

Матеріальна точка рухається за законом $s(t)=2t^2+3t$, де $s$ вимірюється в метрах, а $t$ у секундах. Знайдіть значення $t$ (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює $76$ м/с.

Впишіть відповідь:

18.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє знання механічного змісту похідної, вміння знаходити похідну елементарної функції.

Закон, за яким матеріальна точка рухається

\begin{gather*} S(t) = 2t^2 + 3t. \end{gather*}

Використовуємо фізичний зміст похідної

\begin{gather*} V(t) = S'(t).\\[7pt] S'(t) = 4t + 3. \end{gather*}

За умовою $V = 76$ м/с.

\begin{gather*} 4t + 3 = 76;\\[7pt] 4t = 73;\\[7pt] t = 18{,}25\ \text{с}. \end{gather*}

Відповідь: $18{,}25.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6151

Завдання 8 з 61

Знайдіть значення похідної функції $f(x)=4\cos x+5$ у точці $x_0=\dfrac{\pi}{2}.$

А$-4$

Б$-1$

В$1$

Г$4$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

$f(x)=4\cos x+5.$

Знайдемо похідну: $f'(x)=-4\sin x.$

Похідна функції в точці $x_0=\frac{\pi}{2}{:}$

\begin{gather*} f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\sin \frac{\pi}{2}=-4\cdot 1=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6173

Завдання 9 з 61

Функція $f(x)$ має в точці $x_0$ похідну $f'(x_0)=-4.$ Визначте значення похідної функції $g(x)=2\cdot f(x)+7x-3$ в точці $x_0.$

А$15$

Б$12$

В$-1$

Г$-4$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Знаходимо похідну функції $g(x)$: \begin{gather*} g'(x) = 2f'(x) + 7. \end{gather*}

При $x = x_0$

\begin{gather*} g'(x_0) = 2f'(x_0) + 7 = 2\cdot (-4) + 7 = -8 + 7 = -1. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6196

Завдання 10 з 61

Знайдіть значення похідної функції $f(x)=2x^3-5$ у точці $x_0=-1$.

А$-11$

Б$-7$

В$1$

Г$3$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

$f(x)=2x^3-5.$

Знайдемо похідну функції: $f'(x)=6x^2.$

Похідна функції в точці $x_0=-1{:}$

\begin{gather*} f'(-1)=6\cdot (-1)^2=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6229

Завдання 11 з 61

Знайдіть похідну функції $y=x^7\ln x.$

А$y'=7x^5$

Б$y'=7x^6\ln x+x^6$

В$y'=x^6\ln x+x^6$

Г$y'=7x^6\ln x$

Д$y'=7x\ln x+x^6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, знання правила знаходження похідної добутку.

За правилом $$ (uv)' = u'v + uv' $$ знаходимо похідну:

\begin{gather*} y = x^7 \ln x,\\[6pt] y' = (x^7 \cdot \ln x)' = (x^7)' \ln x + (x^7)(\ln x)' = 7x^6 \ln x + x^7 \cdot \frac{1}{x} = 7x^6 \ln x + x^6. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6264

Завдання 12 з 61

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ в точці з абсцисою $x_0$, нахилена до додатного напряму осі $Ox$ під кутом $45^\circ$ (див. рисунок). Знайдіть $f'(x_0).$

А$-1$

Б$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

В$\sqrt{3}$

Г$1$

Д$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Використовуючи геометричний зміст похідної $f'(x_0) = k = \mathrm{tg}\ \alpha$, $\alpha$ – кут нахилу дотичної до графіка функції в точці до осі $Ox.$

Отже, $f'(x_0) = \mathrm{tg}\ 45^\circ = 1.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6298

Завдання 13 з 61

Знайдіть найбільше значення функції $y=12x-x^3$ на відрізку $[0;3]$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше значення функції за допомогою похідної:

\begin{gather*} y = 12x - x^3,\ x \in [0; 3]. \end{gather*}

Найбільше значення функції знаходимо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y' = 12 - 3x^2. \end{gather*}

Знаходимо критичні точки: $y' = 0{:}$

\begin{gather*} 12 - 3x^2 = 0;\\[7pt] 3(4 - x^2) = 0;\\[7pt] 3(2 - x)(2 + x) = 0. \end{gather*}

$x = 2$, $x = -2$ – критичні точки.

Відрізку $[0; 3]$ належить лише $x = 2.$ Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці:

\begin{gather*} y(0) = 12 \cdot 0 - 0^3 = 0;\\[7pt] y(3) = 12 \cdot 3 - 3^3 = 36 - 27 = 9;\\[7pt] y(2) = 12 \cdot 2 - 2^3 = 24 - 8 = 16;\\[7pt] {\mathrm{max}_{[0;3]} f(x)}=f(2) = 16. \end{gather*}

Відповідь: $16.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6340

Завдання 14 з 61

Знайдіть похідну функції $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.

А$f'(x)=\dfrac{1+3x^2}{(x^2+1)^2}$

Б$f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

В$f'(x)=\dfrac{1}{2x}$

Г$f'(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2+1}$

Д$f'(x)=\dfrac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функцій за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну частки, похідну елементарних функцій.

Знайдемо похідну за правилом «похідна частки»:

\begin{gather*} f'(x) = \frac{x'(x^2 + 1) - x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6366

Завдання 15 з 61

Знайдіть значення похідної функції $f(x)=\sqrt{10-3x}$ у точці $x_0=-2$.

Впишіть відповідь:

-0.375

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

Знаходимо похідну функції як складної:

\begin{gather*} f'(x) = (\sqrt{10 - 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{10 - 3x}} \cdot (10 - 3x)' = \frac{-3}{2\sqrt{10 - 3x}};\\[6pt] f'(x_{0}) = f'(-2) = \frac{-3}{2\sqrt{10 + 6}} = -\frac 38 = -0{,}375. \end{gather*}

Відповідь: $-0{,}375.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6410

Завдання 16 з 61

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, яка визначена на проміжку $(-6;5)$. У кожній точці цього проміжку існує похідна $y=f'(x)$. Скільки всього коренів має рівняння $f'(x)=0$ на проміжку $(-6;5)$?

Аодин

Бдва

Втри

Гчотири

Дп'ять

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати похідну для дослідження властивостей функції.

Функція $y = f(x)$ має похідну в кожній точці проміжку $(-6; 5).$

$f'(x) = 0$ в тих точках функції, в яких вона має екстремум (точки мінімуму та максимуму). Таких точок – $5.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6462

Завдання 17 з 61

Знайдіть найменше значення функції $y=x^3-12x$ на відрізку $[0;3]$.

Впишіть відповідь:

-16

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, найменшого значення функції на відрізку.

Найменше значення функції на відрізку знаходимо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y' = 3x^2 - 12;\\[7pt] y' = 0;\\[7pt] 3x^2 - 12 = 0;\\[7pt] 3x^2 = 12;\\[7pt] x^2 = 4;\\[7pt] x_1 = 2;\\[7pt] x_2 = -2. \end{gather*}

Відрізку $[0; 3]$ належить значення $x = 2.$

Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці $x = 2.$

\begin{gather*} y(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 = 0;\\[7pt] y(3) = 3^3 - 12 \cdot 3 = 27 - 36 = -9;\\[7pt] y(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 = 8 - 24 = -16;\\[7pt] \min y(x) = y(2) = -16.\\[7pt] [0; 3]. \end{gather*}

Відповідь: $-16.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6472

Завдання 18 з 61

Укажіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=1$, якщо $f(x_0)=5$, $f'(x_0)=2.$

А$y=1+2(x-5)$

Б$y=5+2(x+1)$

В$y=2+5(x-1)$

Г$y=2+5(x+1)$

Д$y=5+2(x-1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання формули дотичної, проведеної до графіка функції, та вміння використовувати геометричний зміст похідної до розв’язування задач.

Похідна функції $y=f(x)$ в точці $x_0$ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної $y=kx+b$, проведеної до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0{:}$ $f'(x_0)=k.$

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0$, має вигляд $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). $$ Підставляємо дані з умови та отримуємо $$ y=2(x-1)+5. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6891

Завдання 19 з 61

Усі вершини трапеції $ABCD$ належать графіку функції $y=36-x^2$, побудованому в прямокутній декартовій системі координат. Більша основа $AD$ лежить на осі $x.$ Яку найбільшу площу може мати трапеція $ABCD$?

Впишіть відповідь:

256

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Застосування похідної до розв’язку задач.

Це завдання перевіряє вміння використовувати похідну функції для знаходження її найбільшого значення.

Нехай $ABCD$ – задана трапеція, вершини якої належать графіку квадратичної функції $y=36-x^2$ (див. рисунок).

Оскільки в умові задачі зазначено, що всі вершини трапеції належать графіку функції, а основа $AD$ лежить на осі $x$, то точки $A$ і $D$ є точками перетину графіка з віссю $x.$ Для знаходження абсцис цих точок розв’яжемо рівняння $$ 36-x^2=0, $$ оскільки на вісі $x$ ордината $y$ дорівнює $0.$ Тоді $x_1=6$, $x_2=-6$ і $A(-6; 0)$, $D(6; 0).$

Нехай абсциса точки $C$ дорівнює $a$, тоді абсциса точки $B$ дорівнює $-a$, а ординати цих точок дорівнюють $36-a^2.$ При цьому $a\in (0; 6)$.

Визначимо залежність площі трапеції $ABCD$ від значення змінної $a.$ Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту: $$ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h. $$

Довжина нижньої основи трапеції $$ AD=6+6=12, $$ довжина верхньої основи трапеції $$ BC=a+a=2a, $$ висота трапеції дорівнює ординаті точки $C$, тобто $$ h=36-a^2, $$ тоді площа трапеції $ABCD$ виражається формулою $$ S=\frac{12+2a}{2}\cdot(36-a^2), $$ або

$$ S(a)=216+36a-6a^2-a^3,\ a\in (0; 6). $$

Для знаходження найбільшого значення площі, знайдемо похідну

$$ S'(a)=36-12a-3a^2=3(12-4a-a^2)=3(2-a)(a+6). $$

Щоб визначити стаціонарні точки функції $S(a)$, прирівняємо її похідну до нуля: $$ 3(2-a)(a+6)=0. $$ Розв’язавши рівняння, знайдемо дві стаціонарні точки $a_1=-6$ і $a_2=2$, але досліджуватимемо лише точку $a=2$, оскільки $-6\notin (0; 6).$ З наведеної діаграми видно, що в точці $a=2$ функція

$$ S(a)=216+36a-6a^2-a^3 $$

досягає максимуму.

Отже, найбільшого значення площа трапеції досягає у випадку, коли $a=2.$ Обчислимо значення

$$ S(2)=216+36\cdot 2-6\cdot 4\cdot 8=256. $$

Відповідь: $256.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7196

Завдання 20 з 61

Знайдіть похідну функції $y=x^4+3\cos x$.

А$y'=4x^3+3\sin x$

Б$y'=4x-3\sin x$

В$y'=4x^3-3\sin x$

Г$y'=\frac{x^5}{5}+3\sin x$

Д$y'=x^3-3\sin x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знання правил знаходження похідних.

\begin{gather*} y = x^4 + 3\cos x;\\[7pt] y' = 4x^3 - 3\sin x. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7499

Завдання 21 з 61

Знайдіть найбільше значення функції $y=\dfrac{1}{3\sin x+5}$.

Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

0.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функції, вміння знаходити область значень функції, вміння знаходити найбільше та найменше значення функції за допомогою похідної.

Оцінимо значення виразу $\dfrac{1}{3\sin x + 5}.$

\begin{gather*} -1 \le \sin x \le 1;\\[7pt] -3 \le 3\sin x \le 3;\\[7pt] 2 \le 3\sin x + 5 \le 8;\\[6pt] \frac 18 \le \frac{1}{3\sin x + 5} \le \frac 12. \end{gather*}

Отже, даний вираз набуває значення $\left[\dfrac 18; \dfrac 12\right].$

Найбільше значення функції $0{,}5.$

Відповідь: $0{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7535

Завдання 22 з 61

Укажіть рівняння прямої, яка може бути дотичною до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=2$, якщо $f'(2)=-3.$

А$y=-\frac 32x+1$

Б$y=3x-2$

В$y=2x+3$

Г$y=\frac 32x-1$

Д$y=-3x+2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Якщо пряма $y = kx + b$ є дотичною, проведеною до графіка функції $y = f(x)$ у точці з абсцисою $x_{0} = 2$, то, згідно з геометричним змістом похідної, $f'(x_{0}) = k.$ Оскільки $f'(2) = -3$, то кутовий коефіцієнт $k$ дотичної дорівнює $-3.$ Визначимо кутові коефіцієнти всіх наданих дотичних. \begin{gather*} \text{А:}\ k = -\frac{3}{2},\\[6pt] \text{Б:}\ k = 3,\\[7pt] \text{В:}\ k = 2,\\[6pt] \text{Г:}\ k = \frac{3}{2},\\[6pt] \text{Д:}\ k = -3. \end{gather*} Серед наведених прямих лише варіант Д задовольняє цю умову.

Слід зауважити, що для розв’язання цього завдання не потрібно знаходити рівняння дотичної, проведеної до графіка функції.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7640

Завдання 23 з 61

Якщо $y=(4x-1)^3$, то $y'=$

А$3(4x-1)^2$

Б$3(4x-1)$

В$\frac{(4x-1)^4}{16}$

Г$12(4x-1)^2$

Д$\frac 34(4x-1)^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні. Похідна від складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну від складеної функції.

За означенням, якщо $f(g(x))$ – складена функція і існують похідні функції $g(x)$ у точці $x$, а функції $f(u)$ – у відповідній точці $u = g(x)$, то існує похідна складеної функції $f(g(x))$, причому $$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). $$

Тоді

$$ \left((4x - 1)^3\right)' = 3 \cdot (4x - 1)^2 \cdot (4x - 1)' = 3 \cdot (4x - 1)^2 \cdot 4 = 12(4x - 1)^2. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8186

Завдання 24 з 61

Обчислість значення похідної функції $y=\sqrt{13-3x}$ у точці $x_0=3.$

Впишіть відповідь:

-0.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Правило знаходження похідної складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати значення похідної складеної функції у заданій точці.

Нехай $y=f(u(x))$ – складена функція, тобто $y=f(u)$, де $u=u(x).$

Якщо функція $u(x)$ має в точці $x$ похідну $u'(x)$, а функція $y=f(u)$ – похідну у відповідній точці $u=u(x)$, то складена функція $y=f(u(x))$ також має похідну в точці $x$, причому $$ y'=f_u'(u)\cdot u_x'(x). $$

Функцію $y=\sqrt{13-3x}$ запишемо у вигляді $y=\sqrt{u}$, де $u=13-3x.$ Тоді

$$ y'=(\sqrt{u})_u'\cdot u_x'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (13-3x)_x'=\frac{1}{2\sqrt{13-3x}}\cdot (-3)=-\frac{3}{2\sqrt{13-3x}}. $$

Обчислюємо значення похідної в точці $x_0=3\mathord{:}$

$$ y'(3)=-\frac{3}{2\sqrt{13-3\cdot 3}}=-\frac 34=-0\mathord{,}75. $$

Відповідь: $-0\mathord{,}75.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9453

Завдання 25 з 61

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $s(t)=4t^2+9t+8$ (шлях $s$ вимірюється в метрах, час $t$ – у секундах). Визначте швидкість
(у м/с) цієї точки в момент часу $t=4$ с.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Це завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила знаходження похідної суми, вміння розв'язувати задачі з використанням фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом: $$ S(t)=4t^2+9t+8. $$

Швидкість руху $$ V(t)=S'(t)=8t+9. $$

При $t=4\ \text{с}$

$$ V(t)=V(4)=8\cdot 4+9=32+9=41\ \text{м/с}. $$

Відповідь: $41.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10858

Завдання 26 з 61

Укажіть похідну функції $y=\sin x-\cos x+1.$

А$y'=\cos x+\sin x+1$

Б$y'=\cos x-\sin x$

В$y'=-\cos x-\sin x+x$

Г$y'=-\cos x-\sin x$

Д$y'=\cos x+\sin x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, похідну суми.

За правилами диференціювання $(u\pm v)'=u'\pm v'$ та таблицею похідних знаходимо:

\begin{gather*} y'=(\sin x-\cos x+1)'=(\sin x)'-(\cos x)'+1'=\cos x+\sin x. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12084

Завдання 27 з 61

Тіло рухається прямолінійно за законом $s(t)=\frac{2}{3}t^3-2t^2+4t$ (час $t$ вимірюється в секундах, шлях $s$ – в метрах). Визначте прискорення його руху в момент $t = 10$ c.

А$164$ м/с$^2$

Б$60$ м/с$^2$

В$36$ м/с$^2$

Г$20$ м/с$^2$

Д$10$ м/с$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати механічний зміст похідної функції.

\begin{gather*} S(t) = \frac 23t^3 - 2t^2 + 4t.\\[6pt] V(t) = S'(t) = \frac 23 \cdot 3t^2 - 2 \cdot 2t + 4 = 2t^2 - 4t + 4.\\[6pt] a(t) = v'(t) = 4t - 4. \end{gather*}

Прискорення руху тіла – це друга похідна від рівняння шляху.

\begin{gather*} a(10) = 4 \cdot 10 - 4 = 40 - 4 = 36\ \text{м/с}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14326

Завдання 28 з 61

На рисунку зображений графік функції $y=f(x)$ та дотичні до нього в точках $x_1$ та $x_2$. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть $f'x_1+f'x_2$.

А$1$

Б$\dfrac{\sqrt3}{3}$

В$\sqrt3$

Г$\dfrac{1}{2}$

Д$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Геометричний зміст похідної:

\begin{gather*} f'(x_0)=k=\mathrm{tg}\ \alpha, \end{gather*}

де $\alpha$ – кут нахилу дотичної до графіка функції в точці $x_0$ до додатного напряму осі абсцис.

\begin{gather*} f'(x_1)=\mathrm{tg}\ 45^\circ=1;\\[7pt] f'(x_2)=\mathrm{tg}\ 0^\circ=0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} f'(x_1)+f'(x_2)=1+0=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14538

Завдання 29 з 61

Знайдіть найбільше значення функції $y=x^3-3x^2+2$ на проміжку $[-1;1]$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку за допомогою похідної.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y'=3x^2-6x. \end{gather*}

Знайдемо критичні точки:

\begin{gather*} y'(x)=0;\\[7pt] 3x^2-6x=0;\\[7pt] 3x(x-2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2\ \notin [-1; 1]. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо значення функції в критичній точці $x=0$ та у кінцях відрізка $[-1; 1]{:}$

\begin{gather*} f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2;\\[7pt] f(1)=1^3-3\cdot 1+2=0;\\[7pt] f(0)=0^3-3\cdot 0+2=2.\\[7pt] \underset{[-1; 1]}{\mathrm{max}} f(x) =f(0)=2. \end{gather*}

Відповідь: $2.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14553

Завдання 30 з 61

Укажіть похідну функції $f(x)=x(x^3+1).$

А$f'(x)=4x^3+1$

Б$f'(x)=4x^3$

В$f'(x)=3x^2$

Г$f'(x)=3x^2+1$

Д$f'(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^2}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знаходити суми двох функцій.

\begin{gather*} f(x)=x(x^3+1),\\[7pt] f(x)=x^4+x. \end{gather*}

Знайдемо похідну за правилом знаходження похідної суми двох функцій та похідної степеневої функції: $$ f'(x)=4x^3+1. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14614

Завдання 31 з 61

Укажіть похідну функції $y=-\frac 76x^6+5x^4-14.$

А$y'=-\frac{x^7}{6}+x^5-14x$

Б$y'=-7x^5+20x^3-14$

В$y'=-7x^5+20x^3$

Г$y'=-7x^7+25x^5$

Д$y'=-\frac{7}{36}x^5+\frac 54x^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Фунції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій; похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

\begin{gather*} y=-\frac 76x^6+5x^4-14,\\[6pt] y'=-\frac 76\cdot 6x^5+5\cdot 4x^3,\\[6pt] y'=-7x^5+20x^3. \end{gather*}

Використали формулу $y=x^n$, $y=nx^{n-1}$ та правило знаходження похідної суми.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15252

Завдання 32 з 61

Укажіть похідну функції $f(x)=4x^3+\operatorname{tg}\ x.$

А$f'(x)=12x^2+\frac{1}{\operatorname{tg}\ x}$

Б$f'(x)=12x-\frac{1}{\operatorname{tg}\ x}$

В$f'(x)=x^4+\frac{1}{\cos^2 x}$

Г$f'(x)=12x^2+\frac{1}{\cos^2 x}$

Д$f'(x)=x^4-\frac{1}{\operatorname{tg}\ x}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, правил знаходження похідних.

За таблицею похідних: \begin{gather*} (x^n)'=n\cdot x^{n-1},\\[6pt] (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x}. \end{gather*}

Отже,

$$ f'(x)=4\cdot 3\cdot x^2+\frac{1}{\cos^2x}=12x^2+\frac{1}{\cos^2x}. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18986

Завдання 33 з 61

Функція $F(x)=2x^3-1$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $f(x).$

А$f(x)=6x^2-1$

Б$f(x)=6x-1$

В$f(x)=4x^2$

Г$f(x)=\frac{x^4}{2}-x$

Д$f(x)=6x^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

$F(x)=2x^3-1.$

За означенням первісної $F'(x)=f(x).$

Отже, $f(x)=F'(x)=(2x^3-1)'=(2x^3)'-1'=6x^2-0=6x^2.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19504

Завдання 34 з 61

Укажіть похідну функції $$ f(x)=\frac{2x-3}{x}. $$

А$$f'(x)=\frac{3}{x^2}$$

Б$$f'(x)=\frac 3x$$

В$$f'(x)=\frac{4x-3}{x^2}$$

Г$$f'(x)=-\frac{3}{x^2}$$

Д$$f'(x)=2$$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

\begin{gather*} \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\\[6pt] f'(x)=\frac{(2x-3)'\cdot x- (2x-3)\cdot x'}{x^2}=\frac{2x-2x+3}{x^2}=\frac{3}{x^2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22911

Завдання 35 з 61

Знайдіть похідну функції $y=2x+\cos x.$

А$y'=2-\sin x$

Б$y'=2+\cos x$

В$y'=x^2-\sin x$

Г$y'=2+\sin x$

Д$y'=x^2+\sin x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, похідну суми.

Знаходимо похідну функції $$ y=2x+\cos x. $$

За правилом $(u+v)'=u'+v'$ \begin{gather*} y'=2-\sin x \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26005

Завдання 36 з 61

Обчисліть значення похідної функції $f(x)=2x^3 – 5$ у точці $x_0=–1.$

А$-11$

Б$-7$

В$1$

Г$3$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Перевіряє вміння знаходити похідні функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

$$ f(x)=2x^3 – 5 $$

Похідна функції: \begin{gather*} f'(x)=3\cdot 2x^2=6x^2.\\[7pt] f'(-1)=6\cdot (-1)^2=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26125

Завдання 37 з 61

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x(t) = 6t^2,$ де $х(t)$ – координата точки, $t$ – час. За якою формулою визначають швидкість $v(t)$ цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t?$

А$v(t)=6t$

Б$v(t)=12t$

В$v(t)=2t^3$

Г$v(t)=6t^3$

Д$v(t)=3t$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом $x(t)=6t^2.$ За фізичним змістом похідної $$ v(t)=x'(t)=(6t^2)'=12t. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26810

Завдання 38 з 61

Якщо функція $F(x) = x^3 + 4$ є однією з первісних функції $f(x),$ тоді $f(x) =$

А$3x^2+4$

Б$3x^2$

В$3x$

Г$2x^2$

Д$\frac{x^4}{4}+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

За означенням первісної функції $F'(x)=f(x).$

Отже,

$$ f(x)=(x^3+4)'=(x^3)'+4'=3x^2. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26834

Завдання 39 з 61

Укажіть похідну функції $f(x)=x(x^3+1).$

А$f'(x)=4x^3+1$

Б$f'(x)=4x^3$

В$f'(x)=3x^2$

Г$f'(x)=3x^2+1$

Д$f'(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^2}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції.

$$ f(x)=x(x^3+1),\ \ f(x)=x^4+x. $$

За формулою $(x^n)'=nx^{n-1}$ знайдемо похідну функції $$ f'(x)=4x^3+1. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27699

Завдання 40 з 61

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$, паралельна прямій $y=1\mathord{,}5x+5.$ Обчисліть значення похідної функції $g(x)=\frac{18}{x}-f(x)$ в точці $x_0=3.$

Впишіть відповідь:

-3.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу, кутового коефіцієнта дотичної.

\begin{gather*} g(x)=\frac{18}{x}-f(x),\\[6pt] g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x). \end{gather*}

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$ паралельна прямій $y=1\mathord{,}5x+5.$

\begin{gather*} f'(x_0)=k=1\mathord{,}5,\\[6pt] g'(x_0)=g'(3)=-\frac{18}{3^2}-1\mathord{,}5=-2-1\mathord{,}5=-3\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-3\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34391

Завдання 41 з 61

Обчисліть значення похідної функції $f(x)=6x-2\cos x$ у точці $x_0=\frac{\mathbf{\pi}}{2}.$

А$3\mathbf{\pi}+2$

Б$8$

В$3\mathbf{\pi}-2$

Г$6$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

\begin{gather*} f(x)=6x-2\cos x,\\[7pt] f'(x)=6-2\cdot (-\sin x)=6+2\sin x. \end{gather*}

Похідна функції

$$ f'(x_0)=f'\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2}\right)=6+2\cdot \sin\frac{\mathbf{\pi}}{2}=6+2\cdot 1=8. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34406

Завдання 42 з 61

Знайдіть похідну функції $y=x^3-5.$

А$y'=3x$

Б$y'=3x^2-5$

В$y'=\frac{x^4}{4}$

Г$y'=\frac{x^4}{4}-5x$

Д$y'=3x^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій і похідну суми двох функцій.

За правилом визначення похідної суми:

$$ (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) $$

і похідної степеневої функції:

$$ (x^n)'=n\cdot x^{n-1} $$

визначаємо похідну функції $y=x^3-5.$

$$ y'=(x^3-5)'=(x^3)'-5'=3x^2-0=3x^2. $$

Похідна сталої функції $\mathrm{c}'=0.$ Отже, $5'=0.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35302

Завдання 43 з 61

Знайдіть похідну функції $f(x)=2+\frac 3x.$

А$f'(x)=-\frac{3}{x^2}$

Б$f'(x)=3$

В$f'(x)=3\ln|x|$

Г$f'(x)=2x+3\ln|x|$

Д$f'(x)=\frac{3}{x^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворення виразу $\frac 3x$ за властивістю степенів $a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathord{:}$ $$ \frac 3x=3\cdot \frac 1x=3x^{-1}. $$

За правилом визначення похідних $(u+v)'=u'+v'$ визначимо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=2+\frac 3x,\\[6pt] f(x)=2+3x^{-1},\\[6pt] f'(x)=0+3\cdot (-1\cdot x^{-2})=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^2}. \end{gather*}

За таблицею похідних

$$ (x^{\mathbf{\alpha}})'=\mathbf{\alpha}x^{\mathbf{\alpha}-1}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35334

Завдання 44 з 61

Задано функцію $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$ Обчисліть $f(-4)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-9

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$

Якщо $x\lt -2\ f(x)=10.$ Отже, $f(-4)=10.$

Якщо $x\ge -2$, $f(x)=4x^2+3x.$

\begin{gather*} f'(x)=4\cdot 2x+3\cdot 1=8x+3,\\[7pt] f'(2)=8\cdot 2+3=16+3=19. \end{gather*}

Обчислімо

$$ f(-4)-f'(2)=10-19=-9. $$

Відповідь: $-9.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35339

Завдання 45 з 61

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$, є паралельною до прямої $y=1\mathord{,}5x + 5.$

Знайдіть значення похідної функції $g(x)=\frac{18}{x}–f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3.$

Впишіть відповідь:

-3.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної, обчислювати похідні функцій.

За геометричним змістом похідної, $f'(x_0)=k.$

Похідна функції в точці – це кутовий коєфіцієнт дотичної до графіка в точці $x_0.$

За умовою, дотична до графіка функції в точці $x_0=3$ паралельна прямій $y=1\mathord{,}5x+5.$ Паралельні прямі мають рівні кутові коєфіцієнти. Отже, $$ f'(x_0)=f'(3)=1\mathord{,}5. $$

\begin{gather*} g(x)=\frac{18}{x}-f(x),\\[6pt] g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x). \end{gather*}

Похідна

\begin{gather*} \left(\frac{18}{x}\right)'=(18\cdot x^{-1})'=-18\cdot x^{-2}=-\frac{18}{x^2},\\[6pt] g'(x_0)=g'(3)=-\frac{18}{3^2}-1\mathord{,}5=-2-1\mathord{,}5=-3\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-3\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35361

Завдання 46 з 61

Задано функцію \begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30, x\lt -2,\\ 2x^4+x,\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*} Обчисліть значення виразу $f(-3)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-35

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

\begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30,\ \text{якщо}\ x\lt -2, \\ 2x^4+x,\ \text{якщо}\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Якщо $x\lt -2,\ f(x)=30.$ Отже, $f(-3)=30.$

Якщо $x\ge -2,\ f(x)=2x^4+x.$

\begin{gather*} f'(x)=2\cdot 4x^3+1=8x^3+1,\\[7pt] f'(2)=8\cdot 2^3+1=64+1=65. \end{gather*}

Обчислимо

\begin{gather*} f(-3)-f'(2)=30-65=-35. \end{gather*}

Відповідь: $-35.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35443

Завдання 47 з 61

Задано функцію

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$

Обчисліть $f(-4)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-9

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

$f(-4)=10$, тому що $x=-4\lt-2.$

$$ f'(x)=(4x^2+3x)'=4\cdot 2x+3\cdot 1=8x+3. $$

При $x=2\mathord{:}$

\begin{gather*} f'(2)=8\cdot 2+3=16+3=19.\\[7pt] f(-4)-f'(2)=10-19=-9. \end{gather*}

Відповідь: $-9.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35787

Завдання 48 з 61

Функція $F(x)=4x^3-3x^2+9$ є первісною для функції $y=f(x).$ Визначте $f(2).$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

За означенням, якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$, то похідна від первісної дорівнює самій функції: \begin{gather*} F'(x)=f(x). \end{gather*}

Для цього обчислімо похідну від заданої функції $F(x)=4x^3-3x^2+9{:}$

\begin{gather*} f(x)=12x^2-6x. \end{gather*}

Тепер підставмо число $2$ замість $x$ у цю формулу функції:

\begin{gather*} f(2)=12\cdot 2^2-6\cdot 2=12\cdot 4-12=48-12=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36403

Завдання 49 з 61

Визначте вираз для похідної функції $f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4.$

А$f'(x)=x^3-\frac 1x$

Б$f'(x)=6x+\frac 1x+4$

В$f'(x)=6x+\frac{2}{x^3}$

Г$f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}$

Д$f'(x)=x^3-\frac 1x+4x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворімо вираз $\frac{2}{x^2}$ за властивістю степенів $a^{-n}=\frac{1}{a^n}{:}$

\begin{gather*} \frac{2}{x^2}=2\cdot \frac{1}{x^2}=2x^{-2}. \end{gather*}

Скористаймося правилом диференціювання суми $(u + v)'=u'+v'$ і визначмо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4;\\[6pt] f(x)=3x^2+2x^{-2}+4;\\[7pt] f'(x)=6x+2\cdot (-2)x^{-2-1}+0;\\[7pt] f'(x)=6x-4x^{-3};\\[6pt] f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}. \end{gather*}

Застосували формулу для обчислення похідної:

\begin{gather*} (x^n)'=nx^{n-1}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36913

Завдання 50 з 61

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-5; 5].$

Множину точок локального максимуму цієї функції наведено у варіанті відповіді

А$-2; 1$

Б$7$

В$5$

Г$6$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента $x$, за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначимо найвищу точку на локальному згині графіка (у місці, де зростання функції змінюється на спадання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі .

Отже, $x_0=-2$ – точка локального максимуму заданої функції.

Важливо: точка $x=1$ – це точка локального мінімуму, а не максимуму. Точки на кінцях проміжку $( x=-5$ та $x=5)$ не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання).

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37105

Завдання 51 з 61

Задано функцію $f(x)=6\sqrt{x}-\frac{16}{x}+\ln 2.$ Обчисліть $f'(4).$

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію $f(x)$ у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\ a\gt 0, m\in Z, n\in N, n\ge 2;\\[6pt] \sqrt{x}=x^{\frac 12};\\[6pt] \frac 1x=x^{-1}. \end{gather*}

Зауважмо, що $\ln 2$ – це стале число (константа), оскільки вираз не містить змінної $x.$

Отже, функцію $f(x)$ можна записати у вигляді:

\begin{gather*} f(x)=6x^{\frac 12}-16x^{-1}+\ln 2. \end{gather*}

Визначмо похідну $f'(x)$, застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^{\alpha})'=\alpha x^{a-1};\\[6pt] f'(x)=6\cdot \frac 12x^{\frac 12-1}-16\cdot (-1)x^{-1-1}+0;\\[6pt] f'(x)=3x^{-\frac 12}+16x^{-2};\\[6pt] f'(x)=3\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+16\cdot \frac{1}{x^2};\\[6pt] f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної, підставивши $x=4$ в отриманий вираз:

\begin{gather*} f'(4)=\frac{3}{\sqrt{4}}+\frac{16}{4^2}=\frac 32+\frac{16}{16}=1{,}5+1=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37116

Завдання 52 з 61

Визначте похідну функції $f(x)=\dfrac{x^2-5}{3x}.$

А$f'(x)=\frac{x^2}{6}-\frac 53\ln |x|$

Б$f'(x)=\frac{x^2-5}{3x^2}$

В$f'(x)=\frac{x^2+5}{9x^2}$

Г$f'(x)=\frac{x^2+5}{3x^2}$

Д$f'(x)=\frac{2x}{9}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

\begin{gather*} \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.\\[6pt] f'(x)=\frac{(x^2-5)'\cdot 3x-(3x)'\cdot (x^2-5)}{(3x)^2}=\frac{2x\cdot 3x-3\cdot (x^2-5)}{9x^2}=\\[6pt] =\frac{6x^2-3x^2+15}{9x^2}=\frac{3x^2+15}{9x^2}=\frac{3(x^2+5)}{9x^2}=\frac{x^2+5}{3x^2}. \end{gather*}

Застосували формули для знаходження похідних ($C$, $\alpha$ - сталі):

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] x'=1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37174

Завдання 53 з 61

Обчисліть значення похідної функції $y=-2x^3+\dfrac{10}{x}-14$ у точці $x_0=2.$

Впишіть відповідь:

-26.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0, n\in N;\\[6pt] \frac 1x=x^{-1}. \end{gather*}

Отже, функцію $y$ можна записати у вигляді:

\begin{gather*} y=-2x^3+10x^{-1}-14. \end{gather*}

Визначмо похідну $f'(x)$, застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha\ \text{– сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1};\\[7pt] y'=-2\cdot 3x^{3-1}+10\cdot (-1)x^{-1-1}-0;\\[6pt] y'=-6x^2-10x^{-2}=-6x^2-\frac{10}{x^2}. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної, підставивши $x_0=2$ в отриманий вираз:

\begin{gather*} y'(2)=-6\cdot 2^2-\frac{10}{2^2}=-6\cdot 4-\frac{10}{4}=-24-2{,}5=-26{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-26{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37524

Завдання 54 з 61

Обчисліть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції $f(x)=20-3x-x^2$, у точці з абсцисою $x_0=-6.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної $f'(x_0)=k.$

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці $x_0.$

\begin{gather*} f(x)=20-3x-x^2. \end{gather*}

Визначмо похідну $f'(x)$, застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha - \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(20)'-(3x)'-(x^2)';\\[7pt] f'(x)=0-3-2x=-3-2x;\\[7pt] k=f'(-6)=-3-2\cdot (-6);\\[7pt] k=-3+12=9. \end{gather*}

Відповідь: $9.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37845

Завдання 55 з 61

Обчисліть значення похідної функції $f(x)=x(4-x)$ у точці $x_0=5.$

Впишіть відповідь:

-6

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Перш ніж диференціювати, розкриймо дужки, щоб звести функцію до стандартного вигляду многочлена:

\begin{gather*} f(x)=4x-x^2. \end{gather*}

Застосуймо основні правила диференціювання $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$ та $(Cx)'=C.$

\begin{gather*} f(x)'=(4x)'-(x^2)'=4-2x. \end{gather*}

Підставмо значення $x_0=5$ у рівняння похідної:

\begin{gather*} f(5)'=4-2\cdot 5=4-10=-6. \end{gather*}

Відповідь: $-6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38156

Завдання 56 з 61

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x(t)=6t^2$, де $x(t)$ – координата точки (у метрах), $t$ – час (у секундах). За якою формулою можна обчислити швидкість $v(t)$ руху цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t$?

А$v(t)=6t^3$

Б$v(t)=12t$

В$v(t)=3t$

Г$v(t)=6t$

Д$v(t)=2t^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила диференціювання суми й уміння розв'язувати задачі на використання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом:

\begin{gather*} x(t)=6t^2. \end{gather*}

Фізичний зміст похідної: швидкість $v(t)$ прямолінійного руху матеріальної точки в момент часу $t$ дорівнює похідній від функції координати $x(t)$ за часом:

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

За таблицею похідних:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] v(t)=(6t^2)'=6\cdot 2t=12t. \end{gather*}

Отже, швидкість руху матеріальної точки в будь-який момент часу $t$ визначають за формулою:

\begin{gather*} v(t)=12t. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 748. Завдання: 38214

Завдання 57 з 61

Тіло рухається прямолінійно за законом $x(t)=t^2+t+3$, де $x(t)$ – координата точки (у метрах), $t$ – час (у секундах). Визначте момент часу $t$ (у секундах), у який швидкість точки дорівнюватиме $9$ м/с.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Швидкість руху точки $v(t)$ в заданий момент часу $t$ дорівнює першій похідній від функції координати по часу $x(t){:}$

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

Обчислімо похідну від заданої функції координати $x(t)=t^2+t+3{:}$

\begin{gather*} v(t)=(t^2+t+3)'=2t+1. \end{gather*}

Отже, закон зміни швидкості має вигляд: $v(t)=2t+1.$

За умовою задачі швидкість точки дорівнює $9$ м/с. Складімо та розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} 2t+1=9;\\[7pt] 2t=9-1;\\[7pt] 2t=8;\\[7pt] t=4. \end{gather*}

Відповідь: $4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38268

Завдання 58 з 61

Похідна лінійної функції $y=f(x)$ дорівнює $–5.$ Нуль функції $y=f(x)$ дорівнює $1{,}5.$ Обчисліть значення $f(–2).$

Впишіть відповідь:

17.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну лінійної функції.

Будь-яку лінійну функцію задано формулою:

\begin{gather*} y=kx+b. \end{gather*}

Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту $k{:}$

\begin{gather*} f'(x)=(kx+b)'=k. \end{gather*}

За умовою $f'(x)=-5$, тому $k=-5.$

Тобто функція набуває вигляду:

\begin{gather*} f(x)=-5x+b. \end{gather*}

Нуль функції – це значення аргументу $x$, за якого $f(x)=0.$ За умовою, якщо $x=1{,}5$, то $f(1{,}5)=0.$

Підставмо ці дані в рівняння, щоб обчислити $b{:}$

\begin{gather*} -5\cdot 1{,}5+b=0;\\[7pt] -7{,}5+b=0;\\[7pt] b=7{,}5. \end{gather*}

Отже, остаточний вигляд функції такий:

\begin{gather*} f(x)=-5x+7{,}5. \end{gather*}

Підставмо $x=-2$ у формулу функції:

\begin{gather*} f(-2)=-5\cdot (-2)+7{,}5=10+7{,}5=17{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $17{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38384

Завдання 59 з 61

Дотична, проведена до графіка функції $f(x)=–15+8x–x^2$ в точці з абсцисою $x_0$, паралельна прямій $y=x.$ Визначте $x_0.$

Впишіть відповідь:

3.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

За геометричним змістом похідної $f'(x_0)=k.$

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці $x_0.$

Визначмо похідну $f'(x)$, застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(-15+8x-x^2)'=(-15)'+(8x)'-(x^2)'=0+8-2x;\\[7pt] f'(x)=8-2x. \end{gather*}

Пряма $y=x$ має кутовий коефіцієнт $k=1.$ Оскільки дотична паралельна цій прямій, їхні кутові коефіцієнти рівні: $f'(x_0)=1{:}$

\begin{gather*} 8-2x_0=1;\\[7pt] -2x_0=1-8;\\[7pt] -2x_0=-7;\\[7pt] x_0=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $3{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 806. Завдання: 38610

Завдання 60 з 61

Визначте похідну функції $f(x)=6x^2+4\sqrt{x}+3.$

А$f'(x)=12x+\dfrac{2}{\sqrt{x}}$

Б$f'(x)=6x+\dfrac{4}{\sqrt{x}}$

В$f'(x)=2x^3+\dfrac{8\sqrt{x^3}}{3}+3x$

Г$f'(x)=12x+\dfrac{8}{\sqrt{x}}$

Д$f'(x)=6x+2\sqrt{x}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідні елементарних функцій, похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

\begin{gather*} f(x)=6x^2+4\sqrt{x}+3;\\[6pt] f'(x)=6\cdot 2x+4\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+0=12x+\frac{2}{\sqrt{x}}. \end{gather*}

Використали формули

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі}\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1};\\[6pt] (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}};\\[7pt] (u+v)'=u'+v'. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 808. Завдання: 38746

Завдання 61 з 61

Графіком функції $y=f(x)$ є парабола з вершиною в початку координат. Обчисліть $f(2{,}5)$, якщо $f'(1)=–4.$

Впишіть відповідь:

-12.5

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції, уміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної та обчислювати похідні функцій.

Графіком функції є парабола з вершиною в початку координат $(0, 0)$, тому вона має вигляд: $f(x)=ax^2.$ Визначмо коефіцієнт $a$ за допомогою похідної.

Похідна функції:

\begin{gather*} f(x)=(ax^2)'=2ax. \end{gather*}

За умовою $f'(1)=-4{:}$

\begin{gather*} f'(1)=2a\cdot 1=2a;\\[7pt] 2a=-4;\\[7pt] a=-2. \end{gather*}

Маємо формулу функції: $f(x)=-2x^2.$

Обчислімо $f(2{,}5){:}$

\begin{gather*} f(2{,}5)=-2\cdot 2{,}5^2=-2\cdot 6{,}25=-12{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-12,5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38843

Новини

Базовий розмір грантів для бакалаврів зріс до 18,5 та 27 тисяч грн
Грантове фінансування для студентів: умови та обсяги
Завершується переведення вступників на вільні бюджетні місця бакалаврату

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Алгебра і початки аналізу – Похідна функції