Розділ: Функції
Тема: Похідна функції
Кількість завдань: 41
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.
\begin{gather*} f(x)=6x-2\cos x,\\[7pt] f'(x)=6-2\cdot (-\sin x)=6+2\sin x. \end{gather*}Похідна функції
$$ f'(x_0)=f'\left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\right)=6+2\cdot \sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}=6+2\cdot 1=8. $$Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу, кутового коефіцієнта дотичної.
\begin{gather*} g(x)=\frac{18}{x}-f(x),\\[6pt] g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x). \end{gather*}Дотична, проведена до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0=3\) паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\)
Відповідь: \(-3\mathord{,}5.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції.
$$ f(x)=x(x^3+1),\ \ f(x)=x^4+x. $$За формулою \((x^n)'=nx^{n-1}\) знайдемо похідну функції $$ f'(x)=4x^3+1. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.
Завдання перевіряє знання означення первісної функції.
За означенням первісної функції \(F'(x)=f(x).\)
Отже,
$$ f(x)=(x^3+4)'=(x^3)'+4'=3x^2. $$Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.
Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.
Матеріальна точка рухається за законом \(x(t)=6t^2.\) За фізичним змістом похідної $$ v(t)=x'(t)=(6t^2)'=12t. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.
Перевіряє вміння знаходити похідні функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.
$$ f(x)=2x^3 – 5 $$
Похідна функції: \begin{gather*} f'(x)=3*2x^2=6x^2.\\[7pt] f'(-1)=6*(-1)^2=6. \end{gather*}
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.
Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, похідну суми.
Знаходимо похідну функції $$ y=2x+\cos x. $$
За правилом \((u+v)'=u'+v'\) \begin{gather*} y'=2-\sin x \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.
Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.
Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.
\(F(x)=2x^3-1.\)
За означенням первісної \(F'(x)=f(x).\)
Отже, \(f(x)=F'(x)=(2x^3-1)'=(2x^3)'-1'=6x^2-0=6x^2.\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.
Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, правил знаходження похідних.
За таблицею похідних: \begin{gather*} (x^n)'=n\cdot x^{n-1},\\[6pt] (\mathrm{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x}. \end{gather*}
Отже,
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Фунції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.
Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій; похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.
\begin{gather*} y=-\frac 76x^6+5x^4-14,\\[6pt] y'=-\frac 76\cdot 6x^5+5\cdot 4x^3,\\[6pt] y'=-7x^5+20x^3. \end{gather*}Використали формулу \(y=x^n\), \(y=nx^{n-1}\) та правило знаходження похідної суми.
Відповідь: B.
ТЕМА: Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.
Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну елементарних функцій, знаходити суми двох функцій.
\begin{gather*} f(x)=x(x^3+1),\\[7pt] f(x)=x^4+x. \end{gather*}Знайдемо похідну за правилом знаходження похідної суми двох функцій та похідної степеневої функції: $$ f'(x)=4x^3+1. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння визначати властивості функції за її графіком, а також розуміння геометричного змісту визначеного інтеграла.
1. При \(x=8\) значення функції \(f(8)=3\mathord{,}5.\)
Число \(3\mathord{,}5\) належить проміжку \((2; 4].\)
Отже, 1 — Г.
2. Дотична до графіка функції \(f(x)\) в точці \(x=7\) паралельна осі \(Ox.\)
Тоді \(f'(7)=k=\mathrm{tg}\ 90^\circ=0.\)
Число \(0\) належить проміжку \((-0\mathord{,}5; 2].\)
Отже, 2 – B.
3. Найменше значення функції \(f(x)\) на її області визначення дорівнює \(f(0)=-3\mathord{,}5.\)
Число \(-3\mathord{,}5\) належить проміжку \((-\infty; -2].\)
Отже, 3 – A.
4. Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа криволінійної трапеції.
З рисунку бачимо, що \(-2\lt \int_1^3f(x)dx\lt 0.\) Тобто \(\int_1^3f(x)dx \in (-2; -0\mathord{,}5].\)
Отже, 4 – Б.
Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А, 4 – Б.