Геометрія – Прямокутні трикутники

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, кола та його частин; уміння знаходити площу трикутника.

Дуга \(AB\) є четвертою частиною кола. \(ACBK\) – квадрат. \(AK = KB = BC = AC = 1{,}8\) км.

\(CA\), \(CB\) – дотичні до кола. \(KA\!\perp\!CA\), \(KB\!\perp\!CB\) (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній).

Відповідь: \(1{,}62.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі трикутника, теореми Фалеса, ознаки паралельності прямих на площині.

За теоремою Фалеса: якщо \(MC = MB,\) то \(CM_1 = M_1B_1.\)

\(MM_1\) – середня лінія \(\Delta BB_1C.\) За властивістю середньої лінії трикутника

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Властивості трикутників, чотирикутників і правильних многокутників.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора.

Правильне твердження: «Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи».

Дане твердження – теорема Піфагора.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів та наслідку з неї, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

1. У \(\Delta AKB\ (\angle K = 90^\circ)\) \begin{gather*} \mathrm{tg}\ B = \frac{AK}{KB} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \end{gather*} Отже, \(\angle B = 60^\circ\).

2. \(\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ\) (суміжні), \(\angle ABC = 120^\circ\).

3. За наслідком з теореми синусів:

Відповідь: \(45.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника.

\(BM\) – висота, отже \(\angle AMB=90^\circ.\)

У \(\triangle ABM\) (\(\angle M=90^\circ\)) \begin{gather*} \angle A+\angle B=90^\circ,\\[7pt] \angle B=90^\circ-\angle A=90^\circ-40^\circ=50^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

\(\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ\) як суміжні.

\(\angle DAC = 146^\circ\), \(\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \((\angle B = 90^\circ).\) \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), \(\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.\) \(\angle ACB = \alpha = 56^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, властивостей прямокутника.

\(MB = 100\) км, \(KM = 120\) км, \(AK = 60\) км. Додаткова побудова: \(BC\!\perp\!AK.\)

Отримали \(\Delta ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(KC = MB = 100\) км,

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(200.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Проєкція похилої на площину.

Це завдання перевіряє вміння знаходити проекцію відрізка на площину, використовуючи подібність трикутників для знаходження їх невідомих елементів.

Нехай \(C\) і \(D\) – проекції точок \(A\) і \(B\) на площину \(\alpha\) відповідно (див. рисунок), тоді відрізки \(CO\) і \(OD\) – проекції відрізків \(AO\) і \(BO\) на площину \(\alpha.\) За умовою \(CO=5\) см, \(BO=20\) см.

Розглянемо прямокутні трикутники \(ACO\) та \(ODB\), які лежать в одній площині. Ці трикутники подібні за двома кутами: \(\angle ACO=\angle BDO=90^\circ\), \(\angle AOC=\angle BOD\) як вертикальні.

З подібності цих трикутників випливає, що \begin{gather*} \frac{BO}{AO}=\frac{DO}{CO},\\[6pt] \frac{BO}{8}=\frac{20}{5}, \end{gather*} звідки $$ BO=8\cdot 4=32\ \text{см}. $$

Тоді

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої.

Знайдемо довжини елементів (1 – 4).

1. У прямокутному трикутнику \(CDF\) (\(\angle D=90^\circ\)) відомі катет та гіпотенуза: \(CD=1\) см, \(CF=\sqrt{5}\) см. Довжину катета \(FD\) обчислимо за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – Г.

2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює половині довжини діагоналі цього квадрата. Оскільки діагональ квадрата зі стороною \(1\) дорівнює \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), то радіус описаного кола дорівнює $$ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$ Отже, 2 – Б.

3. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BC\) дорівнює довжині перпендикуляра \(h\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BC\) (див. рисунок). Оскільки прямі \(AF\) і \(BC\) паралельні, то відстань від точки \(F\) та від будь-якої іншої точки прямої \(AF\) до прямої \(BC\) рівні. Оскільки \(CD\ \perp\ BC\), то \(h=CD=1.\) Отже, 3 – А.

4. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BD\) дорівнює довжині перпендикуляра \(FL\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BD\) (див. рисунок). \(\angle ABD=\angle ADB=45^\circ\) як кути між діагоналлю квадрата і його стороною. \(\angle FDL=\angle ADB=45^\circ\) як вертикальні. Оскільки \(\angle DLF=90^\circ\), то \(\angle DFL=45^\circ.\) Таким чином прямокутний трикутник \(DLF\) рівнобедрений з гіпотенузою \(FD=2.\) Катет такого трикутника дорівнює $$ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A, 4 – В.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює \(60^\circ\), то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють \(5\ \text{см}\). Гіпотенуза цього трикутника дорівнює \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Внутрішні кути дорівнюють \(45^\circ\), \(45^\circ\) та \(90^\circ\), а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює \(30^\circ.\) Оскільки катет трикутника дорівнює \(5\) см, а гіпотенуза \(10\) см, то гострий кут дорівнює \(30^\circ.\) Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де \(R\) – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами \(a\), \(b\), \(c\) та відповідними кутами \(\alpha\), \(\beta\) та \(\gamma.\)

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює \(10\sqrt{2}\). Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює \(10\ \text{см}^2.\) Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами \(2\ \text{см}\) і \(3\ \text{см}\) та \(2\ \text{см}\) і \(7\ \text{см}.\) Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити градусні міри кутів.

Для розв’язання завдання потрібно знати такі теореми.

Теорема 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)

Теорема 2. Сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ.\)

Наведемо декілька способів розв’язання цього завдання.

Перший спосіб. Розглянемо трикутник \(ABC\) (див. рисунок), у якого \(\angle B=85^\circ\), \(\angle MAB\) – зовнішній кут трикутника, суміжний з кутом \(A\), тоді $$ \angle A=180^\circ-\angle MAB=40^\circ. $$ Знаючи два внутрішніх кути трикутника \(ABC\), можемо визначити градусну міру його третього кута: $$ \angle C=180^\circ-(40^\circ+85^\circ)=55^\circ. $$ Оскільки за умовою \(\angle ACN=90^\circ\), то $$ 55^\circ+\alpha=90^\circ, $$ звідки \(\alpha=35^\circ.\)

Другий спосіб. Опустимо з вершини \(B\) трикутника \(ABC\) на сторону \(AC\) перпендикуляр \(AD\) (див. рисунок). З паралельності прямих \(BD\) і \(CN\) випливає, що \(\angle DBC=\angle BCN\) як внутрішні різносторонні. Тому шуканий кут \(\alpha\) дорівнює куту \(DBC.\) Маємо:

Третій спосіб. Скористаємось теоремою. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним. Отже, \(\angle BCP=\angle A+\angle B\) (див. рисунок). Оскільки

то

Звідки одержуємо:

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння використовувати теорему Піфагора для розв’язування задач із практичним змістом.

Спочатку знайдемо довжину відрізка \(LO\), при якій стулка \(LM\) під час відкривання воріт доторкнеться до автомобіля (зробить невеликий подряпину на бампері). Це станеться тоді, коли довжина відрізка \(LQ\) дорівнюватиме довжині стулки \(LM\), тобто \(2\) м. Розглянемо прямокутний трикутник \(LOQ\) (див. рисунок). За теоремою Піфагора:

Запишемо дані альтернативи у вигляді

А \(1{,}6=\sqrt{2{,}56}\) м.

Б \(1{,}7=\sqrt{2{,}89}\) м.

В \(1{,}8=\sqrt{3{,}24}\) м.

Г \(1{,}9=\sqrt{3{,}61}\) м.

Д \(2=\sqrt{4}\) м.

Далі міркуємо так. Щоб стулка \(LM\) під час відкривання воріт НЕ торкнулася автомобіля, потрібно, щоб довжина відрізка \(LQ\) (гіпотенузи прямокутного трикутника \(LOQ\)) була більша за розмах стулки, що дорівнює \(2\) м. Це виконуватиметься тоді, коли довжина катета \(LO\) буде більша за \(\sqrt{3}\) м. Найменшою із наведених у відповідях відстаней, що задовольняють цю умову, є \(1{,}8\) м.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників.

Створимо математичну модель задачі: дано два подібні трикутники, знайти сторону одного з них.

\(BC = 16\) м, \(A_1B_1 = 1{,}5\) м, \(B_1C_1 = 2\) м.

\(\Delta ABC\) подібний \(\Delta A_1B_1C_1\) (подібні за гострим кутом). \(\angle C = \angle C_1\) (кут, під яким світить сонце).

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання означення косинуса гострого кута прямокутного трикутника.

Косинус гострого кута \(\alpha\) прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого до цього кута катета до гіпотенузи. Отже, $$ \cos \alpha = \frac{b}{c}. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вертикальні кути. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей вертикальних кутів та вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Катет \(CB\) і гіпотенуза \(AB\) лежать на прямих, що перетинаються під кутом \(55^\circ\) (див. рисунок). Зазначений на рисунку кут, градусна міра якого дорівнює \(55^\circ\), та \(\angle ABC\) є вертикальними. Оскільки вертикальні кути рівні, то \(\angle ABC = 55^\circ\).

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тобто $$ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ. $$ За умовою трикутник \(ABC\) є прямокутним: \(\angle ACB = 90^\circ\). Отже, $$ \angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 55^\circ) = 35^\circ. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

\(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ).\) За властивістю катета, що лежить проти кута \(30^\circ\) $$ CB=\frac 12 AB. $$

Довжина ескалатора

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту; уміння застосовувати теорему Піфагора до розв'язування прямокутного трикутника, властивості прямокутника.

Розглянемо випадок, коли вантажівка дотикається аркового проїзду. При цьому \(ON=OC=2\) м (радіус аркового проїзду).

Оскільки \(MN=2\mathord{,}4\) м, а \(MF=FN=1\mathord{,}2\) м. \(FN=OE=1\mathord{,}2\) м. Значення \(NE\) знайдемо за теоремою Піфагора з \(\Delta NEO\ (\angle E=90^\circ).\)

Висота \(h\) вантажівки складається з суми

При значенні \(3\mathord{,}6\) м вантажівка дотикається арки, тому максимально можливе значення – \(3\mathord{,}5\) м.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів многокутника.

\(\angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ.\)

(сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)).

\(MOPC\) – чотирикутник. Сума кутів чотирикутника – \(360^\circ.\) \(\angle P + \angle M = 180^\circ\), отже, \(\angle O + \angle C = 180^\circ.\)

\(\angle AOB = \angle POM = 121^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка \(O\) – центр кола, дуга якого \(BFC.\)

Радіус кола – \(OB=OF=OC=1\) м.

\(BC\ ||\ AD\), \(AB\ ||\ CD.\) \((AB\ \perp\ BC\), \(CD\ \perp\ AD\) за властивістю паралельних прямих \(AB\ ||\ CD)\). Отже, \(ABCD\) – прямокутник, \(BC=AD=1\mathord{,}6\) м.

\(BC\cup OF=O_1\), \(BC\ \perp\ OF.\)

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений, \(OO_1\) – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

\(\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

\(BM\) – медіана, точка \(K\) – середина медіани.

1. Відстань від точки \(K\) до \(AC\) – це \(KF=5\) см, \(KF\ \perp\ AC.\)

Відповідно, \(KE\ \perp\ BC,\) \(KE=6\) см.

\(KE\ \perp \ BC\), \(AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.\)

За теоремою Фалеса, точка \(E\) – середина \(BC\), тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta MBC.\)

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки \(BM\) – медіана, то \(AC=2MC=24\) см.

Отже, довжина катета \(AC=24\) см.

2. Аналогічно, \(KF\) – середня лінія \(\Delta CMB\), тому \(BC=2KF=10\) см.

За теоремою Піфагора, у \(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)\)

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. \(24\) см.
                   2. \(13\) см.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\mathbf{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

\(\angle D=\angle K=60^\circ\), звідси \(\angle C=\angle M=120^\circ.\) Більша діагональ – \(KD.\)

У \(\Delta DCK\) за теоремою косинусів

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки \(M\) до сторони \(CD\) – це довжина перпендикуляра

\(ME\ \perp\ DC\) – висота ромба.

У \(\Delta MED\ \angle E=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ.\)

Отже, 3 – Б.

4. \(KP\ \perp\ AD.\) Відстань від точки \(K\) до прямої \(AD\) – це відрізок \(KP.\)

\(CD\ \perp\ AD\), \(KM\ ||\ CD\), тому \(KM\ \perp\ AD\), \(KP\ \perp\ AD.\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язання задач практичного змісту.

З-поміж наведених відстаней найменша \(4\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.

У \(\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC\) як радіуси.
\(BC=6\) м. За теоремою Піфагора

Ширина смуги

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

2. За формулою \(S=ah\), де \(a\) – сторона паралелограма, \(h\) – висота, проведена до сторони \(a\), знаходимо площу

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(480.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

Катет \(KM\) протилеглий куту \(30^\circ\) дорівнює половині гіпотенузи \(KN\). $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AC^2+BC^2\\[7pt] BC^2=20^2-12^2=400-144=256.\\[7pt] BC=16\ \text{см}. \end{gather*} Отже, правильна відповідь – Д.

2. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, \(R=\frac 12 AB=10\ \text{см}.\) Отже, правильна відповідь – B.

3. \(CH\perp AB\)

Висоту \(CH\) можна знайти, прирівнявши площу трикутника

\begin{gather*} S=\frac 12 a\cdot b\ \text{та}\ S=\frac 12 ch_c, \end{gather*} де \(a,\ b\) – катети, \(c\) – гіпотенуза.

Або знайти висоту за допомогою метричних співвідношень у прямокутному трикутнику:

\(\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д, 2В, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.

Сума кутів трикутника – \(180^\circ .\) Сума гострих кутів – \(90^\circ .\)

Отже, \(115^\circ\) – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут \(115^\circ -90^\circ =25^\circ .\) Другий гострий кут трикутника.

Гострі кути \(65^\circ\) та \(25^\circ .\)

Найменший кут цього трикутника \(25^\circ .\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)

2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)

$$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ.$$

3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO -\) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB -\) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника і прямокутного трикутника.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності \((x\gt 0).\) Тоді \(AB=3x\), а \(BC=5x.\) За формулою периметра прямокутника:

\begin{gather*} P=2(AB+BC);\\[7pt] 2(3x+5x)=96;\\[7pt] 16x=96;\\[7pt] x=96:16;\\[7pt] x=6. \end{gather*}

Отже, сторона \(AB=3\cdot 6=18\) см.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}\) \(\angle KAB=30^\circ\), \(AB=18\) см – прилеглий катет, \(AK\) – шукана гіпотенуза. За означенням косинуса гострого кута:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему Піфагора та властивості прямокутника для обчислення периметра.

Гіпотенуза прямокутного трикутника – спільна сторона з прямокутником.

За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи:

Отже, протилежна (нижня) сторона прямокутника також дорівнює \(10\) м.

Периметр – це сума довжин усіх зовнішніх меж фігури (внутрішня пунктирна лінія до периметра не входить):

\begin{gather*} P=8+6+7+10+7=38\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: B.