Геометрія – Прямокутні трикутники

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. Коло дотикається до сторін \(BC\) i \(AD\), тому діаметр кола дорівнює стороні \(AB.\) Отже, довжина радіуса \(OK=\frac 12AB=6\) см.

Правильна відповідь – А.

2. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AK.\) За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – B.

3. У \(\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB\) і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

У \(\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)\), \(OM=6\) см, \(AM=OH=12\) см. За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності.

\(BC=2x\), \(AD=5x=b\), \(x=\frac b5.\)

Побудуймо висоти \(BH\) i \(CK.\) \(HBCK\) – прямокутник, тому

Точка \(O\) – середина \(AD\), а тому \(HO=OK=x.\)

У \(\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)\), \(O=45^\circ.\) Отже, \(\Delta BHO\) – рівнобедрений. \(HO=BH=x.\)

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, а також теореми Піфагора.

У квадраті \(ABCD\) \(AB=BC=CD=DA=24\) см.

\(AM:MD=1:2\), \(KC=6\) см.

Нехай \(AM=x\) см, \(MD=2x\) см. \(AD=AM+MD\), \(x+2x=24\) см, \(x=8\) см.

Отже, \(AM=8\) см, \(MD=16\) см.

Побудуймо \(KH\ \perp\ AD.\) \(KCDH\) – прямокутник, тому \(KC=HD=6\) см, \(CD=KH=24\) см. \(MH=MD-HD=16\ \textit{см}-6\ \textit{см}=10\) см.

Розгляньмо \(\Delta KHM\ (\angle H=90^\circ).\) Катети \(KH=24\) см і \(MH=10\) см. За теоремою Піфагора: \(a^2+b^2=c^2.\)

Визначмо довжину гіпотенузи:

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

\(\angle ABC=90^\circ\), \(\angle ABK=30^\circ.\) Отже, \(\angle KBC=60^\circ.\)

У \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.\)

У прямокутнику \(ABCD\ BC\ ||\ AD\), січна \(CK.\) \(\angle BCK=\angle CKD=30^\circ\) як внутрішні різносторонні.

\(\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)\) $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

\(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\) $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)

2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)

$$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ.$$

3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO -\) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB -\) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.

Сума кутів трикутника – \(180^\circ .\) Сума гострих кутів – \(90^\circ .\)

Отже, \(115^\circ\) – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут \(115^\circ -90^\circ =25^\circ .\) Другий гострий кут трикутника.

Гострі кути \(65^\circ\) та \(25^\circ .\)

Найменший кут цього трикутника \(25^\circ .\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AC^2+BC^2\\[7pt] BC^2=20^2-12^2=400-144=256.\\[7pt] BC=16\ \text{см}. \end{gather*} Отже, правильна відповідь – Д.

2. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, \(R=\frac 12 AB=10\ \text{см}.\) Отже, правильна відповідь – B.

3. \(CH\perp AB\)

Висоту \(CH\) можна знайти, прирівнявши площу трикутника

\begin{gather*} S=\frac 12 a\cdot b\ \text{та}\ S=\frac 12 ch_c, \end{gather*} де \(a,\ b\) – катети, \(c\) – гіпотенуза.

Або знайти висоту за допомогою метричних співвідношень у прямокутному трикутнику:

\(\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д, 2В, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)

1.

2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

Катет \(KM\) протилеглий куту \(30^\circ\) дорівнює половині гіпотенузи \(KN\). $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.

У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.

У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),

\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.

\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

Відповідь: \(648.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(BK=8\) см, \(KM=10\) см – діаметр.

1. \(BK=MD=8\) см, \(KM=10\) см.

За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(P_{ABCD}=2(AB+BC)\), \(AB=KM=10\) см.

\(\Delta ABD (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. \(26.\)
                   2. \(68.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.

1. \(O_2C=20\) см, \(O_2K\perp CD\), \(O_2K=12\) см.

За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K\),

Відповідь: 1. \(16.\)
                   2. \(768.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1.

\(\angle A=90^\circ\), \(AC\) бісектриса, \(\angle BAC=45^\circ.\)

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((\angle B=90^\circ)\), \(AB=BC=6\) см.
Отже, 1 – A.

2. \(CH\perp AD\), \(HD\) – проекція \(CD\) на \(AD.\)

У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)\), \(CH=6\) см, \(HD=8\) см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. \(ABCH\) – квадрат.

\(BC=AH=6\) см, \(AD=AH+HD=14\) см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.

Площа основи конуса – \(S_\text{основи}=\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=100\), \(R=10\) см. \(OB=10\) см.

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

\(V=\frac 13S_\text{основи}H,\) де \(S_\text{основи}=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(H=AO.\)

\(\frac 13\cdot 100\mathbf{\pi}\cdot H=800\mathbf{\pi}\), \(H=24\) см.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=26\) см – твірна конуса.

Відповідь: \(26.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

2. За формулою \(S=ah\), де \(a\) – сторона паралелограма, \(h\) – висота, проведена до сторони \(a\), знаходимо площу

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(480.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)

1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)

За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.

У \(\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC\) як радіуси.
\(BC=6\) м. За теоремою Піфагора

Ширина смуги

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.

Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.

\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язання задач практичного змісту.

З-поміж наведених відстаней найменша \(4\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів, властивості прямокутника.

\(AK\) – бісектриса \(\angle A\), отже, \(\angle BAK=\angle KAD=45^\circ.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

\(CP\ ||\ OB\), \(NF\ ||\ OK\) (додаткові побудови).

\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, \(HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

\(\Delta HED\) – прямокутний, рівнобедрений, з катетами \(HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

За теоремою Піфагора

Число \(\sqrt{0\mathord{,}32}\) можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто \(0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.\)

Серед відповідей цю нерівність задовольняє число \(0\mathord{,}55\) м.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}.\)

\(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.\)

\(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ).\)

\(AK=AC\cdot \sin \angle C=8\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\ \textit{см}.\)

Отже, 1 – Г.

2.

\(P_{ABCD}=80\ \textit{см}\), \(AB=BC=CD=AD=20\ \textit{см}.\)

\(S_{ABCD}=AB^2\cdot \sin 30^\circ=BC\cdot AK=20^2\cdot \frac 12=20\cdot AK.\)

\(200=20AK\), \(AK=10\ \textit{см}.\)

Отже, 2 – В.

3.

\(BC=7\) см, \(AD=13\) см, \(AB\ \perp\ AD\), \(CD=10\) см.

Додаткова побудова \(CK\ \perp\ AD.\)

\(ABCK\) – прямокутник, \(BC=AK=7\) см, \(AD=13\) см, \(KD=13-7=6\) см.

\(\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ)\) – єгипетський, \(CK=8\) см.

Отже, 3 – Б.

4.

\(ABCD\) – трапеція, \(BK\) – висота.

\(S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BK.\)

\(MN\) – середня лінія, \(MN=\frac{BC+AD}{2}.\)

\(S=MN\cdot BK\), \(BK=\frac{S}{MN}=\frac{84}{16}=14\) см.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=4\) см, \(SO=h\) – висота, \(SA=l\) – твірна.

У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

\(\angle D=\angle K=60^\circ\), звідси \(\angle C=\angle M=120^\circ.\) Більша діагональ – \(KD.\)

У \(\Delta DCK\) за теоремою косинусів

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки \(M\) до сторони \(CD\) – це довжина перпендикуляра

\(ME\ \perp\ DC\) – висота ромба.

У \(\Delta MED\ \angle E=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ.\)

Отже, 3 – Б.

4. \(KP\ \perp\ AD.\) Відстань від точки \(K\) до прямої \(AD\) – це відрізок \(KP.\)

\(CD\ \perp\ AD\), \(KM\ ||\ CD\), тому \(KM\ \perp\ AD\), \(KP\ \perp\ AD.\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\mathbf{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

\(BM\) – медіана, точка \(K\) – середина медіани.

1. Відстань від точки \(K\) до \(AC\) – це \(KF=5\) см, \(KF\ \perp\ AC.\)

Відповідно, \(KE\ \perp\ BC,\) \(KE=6\) см.

\(KE\ \perp \ BC\), \(AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.\)

За теоремою Фалеса, точка \(E\) – середина \(BC\), тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta MBC.\)

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки \(BM\) – медіана, то \(AC=2MC=24\) см.

Отже, довжина катета \(AC=24\) см.

2. Аналогічно, \(KF\) – середня лінія \(\Delta CMB\), тому \(BC=2KF=10\) см.

За теоремою Піфагора, у \(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)\)

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. \(24\) см.
                   2. \(13\) см.

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка \(O\) – центр кола, дуга якого \(BFC.\)

Радіус кола – \(OB=OF=OC=1\) м.

\(BC\ ||\ AD\), \(AB\ ||\ CD.\) \((AB\ \perp\ BC\), \(CD\ \perp\ AD\) за властивістю паралельних прямих \(AB\ ||\ CD)\). Отже, \(ABCD\) – прямокутник, \(BC=AD=1\mathord{,}6\) м.

\(BC\cup OF=O_1\), \(BC\ \perp\ OF.\)

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений, \(OO_1\) – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

\(\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника, вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів многокутника.

\(\angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ.\)

(сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)).

\(MOPC\) – чотирикутник. Сума кутів чотирикутника – \(360^\circ.\) \(\angle P + \angle M = 180^\circ\), отже, \(\angle O + \angle C = 180^\circ.\)

\(\angle AOB = \angle POM = 121^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей ромба, уміння розв'язувати планіметричні задачі.

Дано: ромб \(ABCD\), \(AB=12\) см, \(\angle A=120^\circ.\)

Більша діагональ лежить напроти більшого кута ромба \(\angle A=\angle C=120^\circ.\) Тому \(BD\) – більша діагональ.

У трикутнику \(DAB\ \angle A=120^\circ\), \(AB=AD=12\) см. За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A=\\[6pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =2\cdot 12^2+12^2=3\cdot 12^2. \end{gather*}

Отже, $$BD=\sqrt{3\cdot 12^2}=12\sqrt{3}\ \textit{см}.$$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата \(KBCM\ 18\) см\(^2\), то

\(KM\) з'єднує середини діагоналей \(AC\) та \(BD\), належить середній лінії \(LN.\)

\(\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD\), \(KM\) – середня лінія \(KM=\frac 12AE\), \(AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Фалеса \(MK\ ||\ AD\), оскільки середина \(AC\), тому точка \(M\) – середина \(CE.\) \(CE=2CM=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Піфагора

2. Оскільки \(LK\) – середня лінія \(\Delta BAC\), \(MN\) – середня лінія \(\Delta BCD\), то

Відповідь: 1. \(12.\)
                   2. \(72.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту; уміння застосовувати теорему Піфагора до розв'язування прямокутного трикутника, властивості прямокутника.

Розглянемо випадок, коли вантажівка дотикається аркового проїзду. При цьому \(ON=OC=2\) м (радіус аркового проїзду).

Оскільки \(MN=2\mathord{,}4\) м, а \(MF=FN=1\mathord{,}2\) м. \(FN=OE=1\mathord{,}2\) м. Значення \(NE\) знайдемо за теоремою Піфагора з \(\Delta NEO\ (\angle E=90^\circ).\)

Висота \(h\) вантажівки складається з суми

При значенні \(3\mathord{,}6\) м вантажівка дотикається арки, тому максимально можливе значення – \(3\mathord{,}5\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про прямокутник та його властивості, середню лінію трикутника та її властивості.

1. У \(\Delta ABC\ KM\) – середня лінія, тому точка \(E\) – середина \(KM.\) \(EE_1\ \perp\ BC\), \(EE_1\ ||\ BK\), тому \(EE_1\) – середня лінія \(\Delta BKM.\)

(за властивістю середньої лінії).

Отже, 1 – A.

2. \(AC\cap BD=O.\) \(KO\) – середня лінія \(\Delta ABD\), тому

Отже, 2 – B.

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC\) $$ KM=\frac 12AC=\frac 12\cdot 10=5. $$

Отже, 3 – Б.

4. Нехай \(\angle BKM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), тоді

\(\Delta KBM\) подібний \(\Delta NAK\) (за двома кутами).

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

\(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ).\) За властивістю катета, що лежить проти кута \(30^\circ\) $$ CB=\frac 12 AB. $$

Довжина ескалатора

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості. Середня лінія трапеції та її властивості. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Bміння визначати висоту трапеції як відповідний катет прямокутного трикутника.

1. Згідно з умовою \(MN\) – середня лінія, \(AD\) і \(BC\) – основи трапеції \(ABCD.\) Отже, $$ MN = \frac{AD + BC}{2}, $$ звідки одержимо

2. Опустимо з точки \(C\) на основу \(AD\) перпендикуляр \(CK\) і розглянемо прямокутний трикутник \(CKD\) (див. рисунок).

У цьому трикутнику \(\angle K = 90^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\). Тоді $$ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. $$ Отже, трикутник \(CKD\) є прямокутним і рівнобедреним, у якому \(KC = KD.\) Оскільки

Зазначимо, що якщо провести відрізок \(BP\) паралельно стороні \(CD\) (точка \(P\) належить основі \(AD\)), то утвориться прямокутний рівнобедрений трикутник \(BAP\), у якому $$ AB = AP = AD-BC = 8 \text{ см}. $$

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(8.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вертикальні кути. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей вертикальних кутів та вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Катет \(CB\) і гіпотенуза \(AB\) лежать на прямих, що перетинаються під кутом \(55^\circ\) (див. рисунок). Зазначений на рисунку кут, градусна міра якого дорівнює \(55^\circ\), та \(\angle ABC\) є вертикальними. Оскільки вертикальні кути рівні, то \(\angle ABC = 55^\circ\).

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тобто $$ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ. $$ За умовою трикутник \(ABC\) є прямокутним: \(\angle ACB = 90^\circ\). Отже, $$ \angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 55^\circ) = 35^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання означення косинуса гострого кута прямокутного трикутника.

Косинус гострого кута \(\alpha\) прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого до цього кута катета до гіпотенузи. Отже, $$ \cos \alpha = \frac{b}{c}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, теорем Піфагора, властивості трапеції.

У \(\Delta ABD\ KM\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії \(KM = \dfrac 12AD\), \(AD = 11\) см.

У \(\Delta BCD\ ML\) – середня лінія. \(ML = \dfrac 12BC\), \(BC = 6\) см.

Проведемо \(CE\!\perp\!AD.\)

\(ABCE\) – прямокутник, \(BC = AE = 6\) см.

У \(\Delta CED\ (\angle E = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників.

Створимо математичну модель задачі: дано два подібні трикутники, знайти сторону одного з них.

\(BC = 16\) м, \(A_1B_1 = 1{,}5\) м, \(B_1C_1 = 2\) м.

\(\Delta ABC\) подібний \(\Delta A_1B_1C_1\) (подібні за гострим кутом). \(\angle C = \angle C_1\) (кут, під яким світить сонце).

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння використовувати теорему Піфагора для розв’язування задач із практичним змістом.

Спочатку знайдемо довжину відрізка \(LO\), при якій стулка \(LM\) під час відкривання воріт доторкнеться до автомобіля (зробить невеликий подряпину на бампері). Це станеться тоді, коли довжина відрізка \(LQ\) дорівнюватиме довжині стулки \(LM\), тобто \(2\) м. Розглянемо прямокутний трикутник \(LOQ\) (див. рисунок). За теоремою Піфагора:

Запишемо дані альтернативи у вигляді

А \(1{,}6=\sqrt{2{,}56}\) м.

Б \(1{,}7=\sqrt{2{,}89}\) м.

В \(1{,}8=\sqrt{3{,}24}\) м.

Г \(1{,}9=\sqrt{3{,}61}\) м.

Д \(2=\sqrt{4}\) м.

Далі міркуємо так. Щоб стулка \(LM\) під час відкривання воріт НЕ торкнулася автомобіля, потрібно, щоб довжина відрізка \(LQ\) (гіпотенузи прямокутного трикутника \(LOQ\)) була більша за розмах стулки, що дорівнює \(2\) м. Це виконуватиметься тоді, коли довжина катета \(LO\) буде більша за \(\sqrt{3}\) м. Найменшою із наведених у відповідях відстаней, що задовольняють цю умову, є \(1{,}8\) м.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити градусні міри кутів.

Для розв’язання завдання потрібно знати такі теореми.

Теорема 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)

Теорема 2. Сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ.\)

Наведемо декілька способів розв’язання цього завдання.

Перший спосіб. Розглянемо трикутник \(ABC\) (див. рисунок), у якого \(\angle B=85^\circ\), \(\angle MAB\) – зовнішній кут трикутника, суміжний з кутом \(A\), тоді $$ \angle A=180^\circ-\angle MAB=40^\circ. $$ Знаючи два внутрішніх кути трикутника \(ABC\), можемо визначити градусну міру його третього кута: $$ \angle C=180^\circ-(40^\circ+85^\circ)=55^\circ. $$ Оскільки за умовою \(\angle ACN=90^\circ\), то $$ 55^\circ+\alpha=90^\circ, $$ звідки \(\alpha=35^\circ.\)

Другий спосіб. Опустимо з вершини \(B\) трикутника \(ABC\) на сторону \(AC\) перпендикуляр \(AD\) (див. рисунок). З паралельності прямих \(BD\) і \(CN\) випливає, що \(\angle DBC=\angle BCN\) як внутрішні різносторонні. Тому шуканий кут \(\alpha\) дорівнює куту \(DBC.\) Маємо:

Третій спосіб. Скористаємось теоремою. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним. Отже, \(\angle BCP=\angle A+\angle B\) (див. рисунок). Оскільки

то

Звідки одержуємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює \(60^\circ\), то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють \(5\ \text{см}\). Гіпотенуза цього трикутника дорівнює \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Внутрішні кути дорівнюють \(45^\circ\), \(45^\circ\) та \(90^\circ\), а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює \(30^\circ.\) Оскільки катет трикутника дорівнює \(5\) см, а гіпотенуза \(10\) см, то гострий кут дорівнює \(30^\circ.\) Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де \(R\) – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами \(a\), \(b\), \(c\) та відповідними кутами \(\alpha\), \(\beta\) та \(\gamma.\)

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює \(10\sqrt{2}\). Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює \(10\ \text{см}^2.\) Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами \(2\ \text{см}\) і \(3\ \text{см}\) та \(2\ \text{см}\) і \(7\ \text{см}.\) Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу трапеції.

Щоб розв’язати це завдання потрібно знати саме означення рівнобічної трапеції, її властивості, означення та властивості середньої лінії трапеції та трикутника, бісектриси кута трапеції, а також формули площі трапеції.

Нехай \(ABCD\) – задана рівнобічна трапеція, \(LN\) – її середня лінія, \(LO=13\) см, \(NO=23\) см, \(\angle BAC=\angle CAD\) (див. рисунок). Оскільки \(LO\) і \(NO\) – середні лінії в трикутниках \(BAC\) і \(CAD\) відповідно, то $$ BC=13\cdot 2=26\ \text{см} $$ і $$ AD=23\cdot 2=46\ \text{см}. $$ Оскільки \(\angle BCA=\angle CAD\) як внутрішні різносторонні, то трикутник \(BAC\) рівнобедрений і $$ AB=BC=26\ \text{см}. $$

Опустимо з вершин \(B\) і \(C\) на сторону \(AD\) перпендикуляри \(BK\) і \(CM\) відповідно (див. рисунок). З прямокутного трикутника \(CMD\) за теоремою Піфагора знаходимо висоту:

Площа трапеції дорівнює добутку півсумі її основ на висоту, врахуємо, що за властивістю середньої лінії трапеції

Відповідь: \(864.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої.

Знайдемо довжини елементів (1 – 4).

1. У прямокутному трикутнику \(CDF\) (\(\angle D=90^\circ\)) відомі катет та гіпотенуза: \(CD=1\) см, \(CF=\sqrt{5}\) см. Довжину катета \(FD\) обчислимо за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – Г.

2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює половині довжини діагоналі цього квадрата. Оскільки діагональ квадрата зі стороною \(1\) дорівнює \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), то радіус описаного кола дорівнює $$ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$ Отже, 2 – Б.

3. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BC\) дорівнює довжині перпендикуляра \(h\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BC\) (див. рисунок). Оскільки прямі \(AF\) і \(BC\) паралельні, то відстань від точки \(F\) та від будь-якої іншої точки прямої \(AF\) до прямої \(BC\) рівні. Оскільки \(CD\ \perp\ BC\), то \(h=CD=1.\) Отже, 3 – А.

4. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BD\) дорівнює довжині перпендикуляра \(FL\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BD\) (див. рисунок). \(\angle ABD=\angle ADB=45^\circ\) як кути між діагоналлю квадрата і його стороною. \(\angle FDL=\angle ADB=45^\circ\) як вертикальні. Оскільки \(\angle DLF=90^\circ\), то \(\angle DFL=45^\circ.\) Таким чином прямокутний трикутник \(DLF\) рівнобедрений з гіпотенузою \(FD=2.\) Катет такого трикутника дорівнює $$ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Проєкція похилої на площину.

Це завдання перевіряє вміння знаходити проекцію відрізка на площину, використовуючи подібність трикутників для знаходження їх невідомих елементів.

Нехай \(C\) і \(D\) – проекції точок \(A\) і \(B\) на площину \(\alpha\) відповідно (див. рисунок), тоді відрізки \(CO\) і \(OD\) – проекції відрізків \(AO\) і \(BO\) на площину \(\alpha.\) За умовою \(CO=5\) см, \(BO=20\) см.

Розглянемо прямокутні трикутники \(ACO\) та \(ODB\), які лежать в одній площині. Ці трикутники подібні за двома кутами: \(\angle ACO=\angle BDO=90^\circ\), \(\angle AOC=\angle BOD\) як вертикальні.

З подібності цих трикутників випливає, що \begin{gather*} \frac{BO}{AO}=\frac{DO}{CO},\\[6pt] \frac{BO}{8}=\frac{20}{5}, \end{gather*} звідки $$ BO=8\cdot 4=32\ \text{см}. $$

Тоді

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, властивостей прямокутника.

\(MB = 100\) км, \(KM = 120\) км, \(AK = 60\) км. Додаткова побудова: \(BC\!\perp\!AK.\)

Отримали \(\Delta ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(KC = MB = 100\) км,

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(200.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику, теореми Піфагора, властивостей трапеції.

\(AC\!\perp\!CD.\) Проведемо \(CK\!\perp\!AD.\)

\(ABCK\) – прямокутник,

\(\Delta ACD\) \((\angle C = 90^\circ)\) за властивістю висоти, проведеної до гіпотенузи:

\(\Delta ACK\) \((\angle K = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

\(\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ\) як суміжні.

\(\angle DAC = 146^\circ\), \(\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \((\angle B = 90^\circ).\) \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), \(\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.\) \(\angle ACB = \alpha = 56^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, кола, круга та їхніх елементів; вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

\(\Delta ABO\) – рівнобедрений, \(OA = OB\) як радіуси. Медіана \(ON\) є висотою (за властивістю рівнобедреного трикутника). \(AB = 12\) м, \(AN = NB = 6\) м.

Нехай \(OA = OB = OM = x\) м (радіуси кола). \begin{gather*} MN + NO = MO,\\[7pt] NO = MO - MN = (x - 3)\ \text{м}. \end{gather*}

У \(\Delta ONB\) (\(\angle N = 90^\circ\)) за теоремою Піфагора: $$ OB^2 = ON^2 + NB^2. $$

Складемо рівняння: \begin{gather*} 6^2 + (x - 3)^2 = x^2,\\[7pt] 36 + x^2 - 6x + 9 = x^2,\\[7pt] 6x = 45,\\[7pt] x = 45 : 6,\\[7pt] x = 7{,}5. \end{gather*}

\(OB = 7{,}5\) м.

Відповідь: \(7{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника.

\(BM\) – висота, отже \(\angle AMB=90^\circ.\)

У \(\triangle ABM\) (\(\angle M=90^\circ\)) \begin{gather*} \angle A+\angle B=90^\circ,\\[7pt] \angle B=90^\circ-\angle A=90^\circ-40^\circ=50^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів та наслідку з неї, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

1. У \(\Delta AKB\ (\angle K = 90^\circ)\) \begin{gather*} \mathrm{tg}\ B = \frac{AK}{KB} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \end{gather*} Отже, \(\angle B = 60^\circ\).

2. \(\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ\) (суміжні), \(\angle ABC = 120^\circ\).

3. За наслідком з теореми синусів:

Відповідь: \(45.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей подібних трикутників.

Розглянемо \(\Delta ABC\), \(\angle B = 90^\circ\), \(MK\ ||\ AC\).

За властивістю трикутника (пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього подібний), \(\Delta MBK\) подібний \(\Delta ABC.\)

\(\Delta BKM\) – прямокутний, тому більша сторона – гіпотенуза \(MK.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Властивості трикутників, чотирикутників і правильних многокутників.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора.

Правильне твердження: «Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи».

Дане твердження – теорема Піфагора.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(SABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат.
\(SO = 4\) см – висота піраміди, \(SK\!\perp\!AD\), \(SK = 5\) см – апофема.

\(SK\!\perp\!AD\), \(SO\!\perp\!(ABC)\), \(OK\!\perp\!AD\) (за теоремою про три перпендикуляри), звідси \((SKO)\!\perp\!AD\), \(\angle SKO\) – лінійний кут відповідного двогранного.

У \(\Delta SOK\ (\angle O = 90^\circ)\ \cos K = \dfrac{OK}{SK}\).

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK^2 = SK^2 - SO^2 = 25 - 16 = 9,\\[7pt] OK = 3\ \text{см},\\[6pt] \cos K = \frac{3}{5}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі трикутника, теореми Фалеса, ознаки паралельності прямих на площині.

За теоремою Фалеса: якщо \(MC = MB,\) то \(CM_1 = M_1B_1.\)

\(MM_1\) – середня лінія \(\Delta BB_1C.\) За властивістю середньої лінії трикутника

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, кола та його частин; уміння знаходити площу трикутника.

Дуга \(AB\) є четвертою частиною кола. \(ACBK\) – квадрат. \(AK = KB = BC = AC = 1{,}8\) км.

\(CA\), \(CB\) – дотичні до кола. \(KA\!\perp\!CA\), \(KB\!\perp\!CB\) (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній).

Відповідь: \(1{,}62.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\(OO_1\) – відстань від центра кулі точки \(O\) до перерізу, тому \(OO_1\ \perp\ O_1A.\)

За теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, ромба, середньої лінії трикутника; вміння знаходити площу ромба, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\), \(AB = 16\ \text{м}.\)

За властивістю прямокутника \(AC = BD.\)

\(\Delta ABC\ EF\) – середня лінія. Отже, \(EF = \dfrac{1}{2}AC.\)

Аналогічно,

$$ FK = EM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC. $$

\(EFKM\) – ромб.

Відповідь: Б.