Геометрія – Прямокутник. Квадрат

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.

\(AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.\)

\(\Delta AOB\) – рівносторонній. \(AB=BO=OA=4\ \text{см}.\) За властивістю прямокутника \(AC=BD=2BO=8\ \text{см}.\)

Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$

Або іншим способом:

\begin{gather*} \Delta ABC\ (\angle B=90^\circ),\ \angle A=60^\circ,\ AB=4\ \text{см}\\[7pt] BC=AB\cdot \mathrm{tg}60^\circ=4\sqrt{3}\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників, прямокутника до розв’язування планіметричних задач.

За умовою завдання більша сторона прямокутника дорівнює \(5\sqrt{3}.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) гострі кути \(60^\circ\) (із умови завдання) і \(30^\circ\ (180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ).\) Напроти більшої сторони \(BC\) лежить більший кут, тому \(\angle A = 60^\circ,\) тоді \(\angle C = 30^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \begin{gather*} \frac{BC}{AC}=\sin A,\\[6pt] AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину діагоналей – середина діагоналі \(AC.\ \ R=\frac 12 AC=5.\)

Довжина кола \(L=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=10\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.

1.

 

За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16*6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

 

2.

 

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16*3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$ AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4. $$ Отже, \(\Delta ABO\) – рівносторонній \(\angle AOB=60^\circ.\)
Отже, 2 – Б.

 

3.

 

\begin{gather*} S=6*8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.

 

Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)

1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.

Площа круга \(S=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=400\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\ \ R^2=400,\\[7pt] R=20\ \text{см},\ AD=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).

У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 20. 2. 240.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)

1.

2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).

1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, трапеції, вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(BK=KC=8\ \text{см},\ AK - \) бісектриса \(\angle A\).

1. \(\angle A=90^\circ,\ \angle BAK=\angle KAD=45^\circ\).

2. \(\triangle ABK\ (\angle B=90^\circ)\ \angle K= 45^\circ\), отже \(AB=BK=8\ \text{см}\).

3. \(ABCD\) – прямокутник. За властивістю прямокутника

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.

У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.

$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$

У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),

\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.

\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(648.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(BK=8\) см, \(KM=10\) см – діаметр.

1. \(BK=MD=8\) см, \(KM=10\) см.

За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(P_{ABCD}=2(AB+BC)\), \(AB=KM=10\) см.

\(\Delta ABD (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=26^2-10^2,\\[7pt] AD=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \textit{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(10+24)=68\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(26.\)
                   2. \(68.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.

У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.

Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.

\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.

$$ AB : BC = 2 : 5. $$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$ BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.

1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.

2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – A.

3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення