Геометрія – Прямокутник. Квадрат

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOB\) – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині \(\angle AOB=60^\circ\), то кути при основі також по \(60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).\) Отже, трикутник \(ABO\) – рівносторонній.

Оскільки \(AO\) — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Гіпотенуза \(AC=8\) см і катет \(AB=4\) см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони \(BC{:}\)

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на \(4\) рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного з цих трикутників, ділить його ще на \(2\) рівновеликі частини.

Отже, зафарбована частина \(\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18\) всієї площі.

Якщо \(\dfrac 18\cdot S=12\) см\(^2\), то \(S=8\cdot 12=96\) см\(^2.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутних трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), бо \(ABCD\) — прямокутна трапеція. Відрізок \(OB\) з'єднує вершину прямого кута з серединою гіпотенузи \(AC.\) Отже, \(OB\) — медіана, проведена до гіпотенузи.

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

Отже, 1 – Г.

2. У трикутнику \(\Delta ABC\ (AC=15\) см і \(BC=12\) см) за теоремою Піфагора:

Отже, 2 – В.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює: \(L=\dfrac{BC+AD}{2}.\) Проведемо висоту \(CH\) з вершини \(C\) на основу \(AD.\) Оскільки трапеція прямокутна, \(ABCH\) — прямокутник. \(CH=AB=9\) см, \(AH=BC=12\) см. Розглянемо прямокутний трикутник \(\Delta CHD.\) \(CD=15\) см (за умовою) і \(CH=9\) см за теоремою Піфагора:

Знайдемо основу \(AD{:}\)

Обчислімо середню лінію:

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона \(BC=18\) см, точка \(M\) поділила її у відношенні \(4:5.\) Тому загальна кількість частин дорівнює \(9{:}\)

Отже,

Оскільки \(AM\) – бісектриса прямого кута \(A\), то

У прямокутнику сторони \(BC\) та \(AD\) паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник \(ABM{:}\) у ньому два кути по \(45^\circ{:}\) \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони \(AB\) та \(BM\) рівні:

Обчислімо площу прямокутника:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOD\) – рівнобедрений. Проведімо висоту \(OH\) до основи \(AD.\) Вона буде також бісектрисою і медіаною.

У прямокутному трикутнику \(\Delta AOH{:}\)

Обчислімо периметр прямокутник \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати його периметр.

Діаметр кола дорівнює стороні квадрата, у яке воно вписане.

Оскільки діаметр дорівнює двом радіусам \((d=2r)\), то сторона квадрата

Периметр квадрата дорівнює сумі всіх його чотирьох сторін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні \(AB=8\) см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола \((R){:}\) \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола \((r){:}\) \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

1.

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Отже, правильна відповідь – Б.

2.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Розгляньмо чотирикутник \(AOO_1D\) – прямокутну трапецію \((AD\ ||\ OO_1\), \(O_1D\ \perp\ AD).\) Відстань від середини \(AB\) до сторони \(O_1D\) є середньою лінією трапеції \(AOO_1D{:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. За умовою точка \(M\) – середина сторони \(BC.\) Оскільки \(MC=8\) см, то \(BC=2MC=2\cdot 8=16\) см.

Правильна відповідь B.

2. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника дорівнює його діагоналі \(AC\) або \(BD.\)

Обчислімо довжину діагоналі \(AC\) за теоремою Піфагора з трикутника \(ABC\ (\angle B=90^\circ){:}\)

Правильна відповідь Д.

3. Визначмо відстань від точки \(D\) до середини \(KM.\)

Розгляньмо трикутник \(ABC.\) Відрізок \(KM\) – це його середня лінія. За властивістю середньої лінії, трикутник BKM подібний до трикутника \(BAC\) з коефіцієнтом подібності \(k=\frac 12.\)

Це означає, що будь-який лінійний елемент трикутника \(BKM\) (медіана, висота, бісектриса) увдвічі менший за відповідний елемент трикутника \(BAC\) і лежить на тій самій лінії.

У прямокутнику діагоналі \(AC=BD\) і перетинаються в точці \(O.\) Відрізок \(BO\) – це медіана трикутника \(BAC.\) Оскільки \(P\) – середина \(KM\), то відрізок \(BP\) – це медіана трикутника \(BKM{:}\)

Отже, відстань від точки \(D\) до середини \(KM{:}\)

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати площі трикутників.

\(ABCD\) – квадрат, \(AC=12\) см.

Сторону квадрата визначмо з \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: $$ AC^2=AB^2+BC^2. $$ За умови, що \(AB=BC\mathord{:}\)

У \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Площа круга із центром у точці \(O_1\) дорівнює \(625\mathbf{\pi}\) см\(^2.\)

1. Відстань від \(O_2\) до сторони \(BC{:}\) $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

\(O_2K\ \perp\ BC\), а \(KP\) – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола \(O_1\), описаного навколо прямокутника \(ABCD\), лежить на середині діагоналі \(BD.\)

У \(\Delta ABD\) \((\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де \(FO_2\) – радіус кола із центром у точці \(O_2.\)

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. \(\Delta ABD\) – прямокутний із катетами \(AB=6\) см і \(AD=8\) см.

Правильна відповідь – B.

2. \(OM\ \perp\ AD.\) За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\) \(OM\) – середня лінія, тому

Правильна відповідь – A.

3.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. Коло дотикається до сторін \(BC\) i \(AD\), тому діаметр кола дорівнює стороні \(AB.\) Отже, довжина радіуса \(OK=\frac 12AB=6\) см.

Правильна відповідь – А.

2. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AK.\) За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – B.

3. У \(\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB\) і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

У \(\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)\), \(OM=6\) см, \(AM=OH=12\) см. За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, а також теореми Піфагора.

У квадраті \(ABCD\) \(AB=BC=CD=DA=24\) см.

\(AM:MD=1:2\), \(KC=6\) см.

Нехай \(AM=x\) см, \(MD=2x\) см. \(AD=AM+MD\), \(x+2x=24\) см, \(x=8\) см.

Отже, \(AM=8\) см, \(MD=16\) см.

Побудуймо \(KH\ \perp\ AD.\) \(KCDH\) – прямокутник, тому \(KC=HD=6\) см, \(CD=KH=24\) см. \(MH=MD-HD=16\ \textit{см}-6\ \textit{см}=10\) см.

Розгляньмо \(\Delta KHM\ (\angle H=90^\circ).\) Катети \(KH=24\) см і \(MH=10\) см. За теоремою Піфагора: \(a^2+b^2=c^2.\)

Визначмо довжину гіпотенузи:

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

\(NP\ ||\ BC\)

1 – В. Точка \(M\) – середина \(AK.\) За теоремою Фалеса: \(NM\ ||\ BC\) і \(AN=NB.\)

У \(\Delta ABK\ NM\) – середня лінія. \(BK=2NM=12\) см.

\(BC=BK+KC=12+4=16\) см. \(AB=BC=16\) см.

2 – A.

У трапеції \(AKCD\ MP\) – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=16\), \(BK=12.\)

За теоремою Піфагора:

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

\(\angle ABC=90^\circ\), \(\angle ABK=30^\circ.\) Отже, \(\angle KBC=60^\circ.\)

У \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.\)

У прямокутнику \(ABCD\ BC\ ||\ AD\), січна \(CK.\) \(\angle BCK=\angle CKD=30^\circ\) як внутрішні різносторонні.

\(\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)\) $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

\(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\) $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та квадрата, розв’язування трикутників.

Отже, правильна відповідь – В.

2.

\(AB=CD=KM=10\) см. \(\Delta CKM\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Відстань між точкою \(O\) – центр квадрата, \(O_1\) – точка перетину діагоналей прямокутника \(ABKM\) – відрізок \(OO_1.\) \(BO_1=O_1M.\)

У \(\Delta DBM\ OO_1\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії $$ OO_1=\frac 12DM=\frac 12\cdot 24=12\ \text{см}. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутного трикутника, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.

\(AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.\)

\(\Delta AOB\) – рівносторонній. \(AB=BO=OA=4\ \text{см}.\) За властивістю прямокутника \(AC=BD=2BO=8\ \text{см}.\)

Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$

Або іншим способом:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників, прямокутника до розв’язування планіметричних задач.

За умовою завдання більша сторона прямокутника дорівнює \(5\sqrt{3}.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) гострі кути \(60^\circ\) (із умови завдання) і \(30^\circ\ (180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ).\) Напроти більшої сторони \(BC\) лежить більший кут, тому \(\angle A = 60^\circ,\) тоді \(\angle C = 30^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \begin{gather*} \frac{BC}{AC}=\sin A,\\[6pt] AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину діагоналей – середина діагоналі \(AC.\ \ R=\frac 12 AC=5.\)

Довжина кола \(L=2\mathbf{\pi}R=10\mathbf{\pi}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.

1.

За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16\cdot 6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

2.

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16\cdot 3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4.$$ Отже, \(\Delta ABO\) – рівносторонній \(\angle AOB=60^\circ.\)
Отже, 2 – Б.

3.

\begin{gather*} S=6\cdot 8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)

1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.

Площа круга \(S=\mathbf{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}.\)

2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).

У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 20. 2. 240.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)

1.

2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).

1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, трапеції, вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(BK=KC=8\ \text{см},\ AK -\) бісектриса \(\angle A\).

1. \(\angle A=90^\circ,\ \angle BAK=\angle KAD=45^\circ\).

2. \(\triangle ABK\ (\angle B=90^\circ)\ \angle K= 45^\circ\), отже \(AB=BK=8\ \text{см}\).

3. \(ABCD\) – прямокутник. За властивістю прямокутника

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.

У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.

У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),

\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.

\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

Відповідь: \(648.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(BK=8\) см, \(KM=10\) см – діаметр.

1. \(BK=MD=8\) см, \(KM=10\) см.

За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(P_{ABCD}=2(AB+BC)\), \(AB=KM=10\) см.

\(\Delta ABD (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. \(26.\)
                   2. \(68.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)

У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.

У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.

Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.

\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.

$$AB : BC = 2 : 5.$$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}.$$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.

1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.

2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – A.

3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

\(BK=8\) см, \(\Delta KCL=\Delta LDM\), \(KC=LD=15\) см.

1. \(ABCD\) квадрат.

У \(\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

2. Нехай \(\angle CKL=\angle MLD=\mathbf{\alpha}\), \(\angle CLK=\angle LMD=\mathbf{\beta}.\) \(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=90^\circ\) (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

\(\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ\), \(\angle KLM=180^\circ-(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})=90^\circ.\)

Отже, \(\Delta KLM\) – прямокутний, тому

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(144\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів, властивості прямокутника.

\(AK\) – бісектриса \(\angle A\), отже, \(\angle BAK=\angle KAD=45^\circ.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

\(OK=4\), \(CD=10.\)

1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

\(CP\ ||\ OB\), \(NF\ ||\ OK\) (додаткові побудови).

\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, \(HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

\(\Delta HED\) – прямокутний, рівнобедрений, з катетами \(HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

За теоремою Піфагора

Число \(\sqrt{0\mathord{,}32}\) можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто \(0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.\)

Серед відповідей цю нерівність задовольняє число \(0\mathord{,}55\) м.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути, прямокутник, формули для обчислення площі трикутників.

1. \(\angle AMD\) – вписаний, який спирається на діаметр. \(\angle AMD=90^\circ.\) \(ME\ \perp\ AD.\)

За властивістю висоти до гіпотенузи:

\(ME^2=AE\cdot ED.\)

Нехай \(BK=MC=x\ \textit{см}\), \(KM=3x\ \textit{см}\), \(ME=AB=4\ \textit{см}\), \(AE=BM=4x\ \textit{см}\), \(DE=MC=x\ \textit{см}.\)

\(16=4x\cdot x\), \(x=2\ \textit{см}.\)

\(AD=5x=5\cdot 2=10\ \textit{см}\) – діаметр.

\(R=5\ \textit{см}.\)

2. \(OF\ \perp\ KM\), \(\Delta OFM\ (\angle F=90^\circ)\), \(OM=R=5\ \textit{см}\), \(OF=AB=4\ \textit{см}\), \(FM=3\ \textit{см}\) (єгипетський).

\(S_{OKM}=\frac 12KM\cdot OF=FM\cdot OF=3\cdot 4=12\ \textit{см}^2.\)

Відповідь: 1. \(5.\)
                   2. \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного паралелепіпеда до розв'язування стереометричних задач і задач практичного змісту.

Площа плівки, якою обгорнута коробка – це площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.

Основа паралелепіпеда – прямокутник зі сторонами \(30\) мм та \(75\) мм. Висота паралелепіпеда – \(10\) см.

\(S_\text{пп}=S_\text{бп}+2S_\text{осн}.\)

\(S_\text{бп}=P_\text{осн}\cdot H=(3\cdot 7\mathord{,}5)\cdot 2\cdot 10=210\) см\(^2.\)

\(30\ \textit{мм}=3\ \textit{см}\), \(75\ \textit{мм}=7\mathord{,}5\ \textit{см}.\) \(S_\text{осн}=3\cdot 7\mathord{,}5=22\mathord{,}5\ \textit{см}^2.\)

\(S_\text{пп}=210+2\cdot 22\mathord{,}5=210+45=255\ \textit{см}^2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.

\(S_{ABCD}=36\) см\(^2\), \(SO=2AB.\)

Піраміда \(SABCD\) – правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання дотичної до кола та її властивості, формули довжини кола; уміння застосовувати ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.Довжина кола знаходиться за формулою \(C=2\mathbf{\pi}R.\)

\(O_1O_2=2R=8.\)

2. У прямокутник \(ABCD\) вписано два кола, тому \(BC=4R=16.\)

\(OO_1=2R=8.\)

\(O_1K\ \perp\ BC\) (за властивістю дотичної)

\(O_1K=4.\)

\(O_2L\ \perp\ BC\) \(O_1K=O_2L=R\), тому \(O_1O_2\ ||\ BC\), отже \(BO_1O_2C\) – трапеція.

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\mathbf{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка \(O\) – центр кола, дуга якого \(BFC.\)

Радіус кола – \(OB=OF=OC=1\) м.

\(BC\ ||\ AD\), \(AB\ ||\ CD.\) \((AB\ \perp\ BC\), \(CD\ \perp\ AD\) за властивістю паралельних прямих \(AB\ ||\ CD)\). Отже, \(ABCD\) – прямокутник, \(BC=AD=1\mathord{,}6\) м.

\(BC\cup OF=O_1\), \(BC\ \perp\ OF.\)

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений, \(OO_1\) – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

\(\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) – центральний кут.

2. Нехай \(a\) – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола \(AO\ \perp\ a\), \(CO\ \perp\ a\), тому точка \(O\) лежить на прямій \(AC.\)

У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, тому \(AB=8\) см.

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, уміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Нехай сторона квадрата (підлоги)

\(a=P:4=18:4=4\mathord{,}5\) м.

Сторона квадрата (килима)

\(b=a-0\mathord{,}4=4\mathord{,}5-0\mathord{,}4=4\mathord{,}1\) м.

\(P=4b=4\cdot 4\mathord{,}1=16\mathord{,}4\) м – периметр килима.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата \(KBCM\ 18\) см\(^2\), то

\(KM\) з'єднує середини діагоналей \(AC\) та \(BD\), належить середній лінії \(LN.\)

\(\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD\), \(KM\) – середня лінія \(KM=\frac 12AE\), \(AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Фалеса \(MK\ ||\ AD\), оскільки середина \(AC\), тому точка \(M\) – середина \(CE.\) \(CE=2CM=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Піфагора

2. Оскільки \(LK\) – середня лінія \(\Delta BAC\), \(MN\) – середня лінія \(\Delta BCD\), то

Відповідь: 1. \(12.\)
                   2. \(72.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди до розв’язування стереометричних задач, знаходити відстані в просторі, використовувати пряму та обернену теореми про три перпендикуляри.

Піраміда – правильна, тому основа – квадрат, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

\(P_{ABCD}=4AB=72\) см, \(AB=18\) см.

\(SK\ \perp\ CD\) – апофема, \(SK=15\) см. \(\Delta SDC\) – рівнобедрений, тому \(SK\) – висота та медіана.

\(DK=KC\), \(AD=DC\), \(AO=OC\) звідси випливає \(OK=\frac 12AD=9\) см.

\(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про прямокутник та його властивості, середню лінію трикутника та її властивості.

1. У \(\Delta ABC\ KM\) – середня лінія, тому точка \(E\) – середина \(KM.\) \(EE_1\ \perp\ BC\), \(EE_1\ ||\ BK\), тому \(EE_1\) – середня лінія \(\Delta BKM.\)

(за властивістю середньої лінії).

Отже, 1 – A.

2. \(AC\cap BD=O.\) \(KO\) – середня лінія \(\Delta ABD\), тому

Отже, 2 – B.

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC\) $$ KM=\frac 12AC=\frac 12\cdot 10=5. $$

Отже, 3 – Б.

4. Нехай \(\angle BKM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), тоді

\(\Delta KBM\) подібний \(\Delta NAK\) (за двома кутами).

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Трапеція та її властивості. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків як елементи відповідних геометричних фігур, використовуючи властивості середньої лінії трапеції та означення квадрата.

1. Оскільки чотирикутник \(ABMK\) є трапецією \((AK\ ||\ BM)\), то відрізок \(NP\) (див. рисунок), що сполучає середини сторін \(AB\) i \(KM\) є її середньою лінією, довжина якої дорівнює півсумі цих сторін. За умовою

тоді

2. Опустимо з точки \(M\) на сторону \(AD\) перпендикуляр \(MO\) і розглянемо прямокутний трикутник \(KOM.\) У цьому трикутнику відомі катети:

За теоремою Піфагора отримуємо:

Відповідь: 1. \(6\mathord{,}5.\)
                   2. \(13.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Подібність фігур.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні фігури та використовувати пропорційність їх відповідних лінійних елементів для знаходження відношення площ цих фігур.

Подібними називаються фігури однакової форми. Коефіцієнтом подібності називається відношення відповідних лінійних елементів цих фігур. Оскільки у зображених на рисунку телевізорів екрани мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні, то ці прямокутники подібні.

Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню діагоналей цих прямокутників, тобто діагоналей екранів телевізорів: $$ k=\frac{48}{32}=1\mathord{,}5. $$ Якщо фігури подібні з коефіцієнтом подібності \(k\), то відношення їх площ дорівнює \(k^2.\) Тому площа екрану більшого телевізора перевищує площу екрана меншого телевізора у $$ 1\mathord{,}5^2=2\mathord{,}25\ \text{раза}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Квадрат та його властивості. Прямокутний рівнобедрений трикутник та його властивості. Площа прямокутного трикутника та квадрата.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площі геометричних фігур, зокрема, квадрата та прямокутного рівнобедреного трикутника.

1. Проведемо у рівнобедреному прямокутному трикутнику \(ABC\) з гіпотенузою \(AC\) висоту \(BO.\) Тоді $$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO. $$ Висота рівнобедреного трикутника, що проведена з його вершини, є також бісектрисою та медіаною. Отже, точка \(O\) є серединою гіпотенузи \(AC\) і

Тоді

2. Упишемо в рівнобедрений прямокутний трикутник \(ABC\) квадрат \(MNKP\), вершини \(M\) і \(N\) якого лежать на гіпотенузі \(AC\) (отже, і сторона \(MN\) лежить на \(AC\)), а інші дві – вершини \(P\) і \(K\) – належать катетам \(AB\) і \(BC\) відповідно (див. рисунок).

Оскільки \(PM\ \perp\ MN\) і \(KN\ \perp\ MN\), а \(MN\) є частиною \(AC\), то \(PM\ \perp\ AC\) і \(KN\ \perp\ AC\). Тоді

аналогічно $$ \angle CKN = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ. $$ Отже, прямокутні трикутники \(AMP\) і \(KNC\) є рівнобедреними.

Оскільки \(AM = PM\), \(CN = KN\) і \(PM = KN = MN\), то \(AM = MN = NC\) і $$ MN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 3\mathord{,}6 = 1,2\ \text{м}. $$ Площа квадрата \(MNKP\) дорівнює \(1\mathord{,}2^{2} = 1\mathord{,}44\ \text{м}^{2}.\)

Відповідь: 1. \(3\mathord{,}24.\)
                   2. \(1\mathord{,}44.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні \(2 : 1\), рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює \(\frac{1}{3}\) його висоти. За умовою висота дорівнює \(\sqrt{2}\), тому радіус вписаного кола дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{3}\). Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус \(r\) кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти \(h\) цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус \(r\) кола, вписаного в квадрат зі стороною \(a\), дорівнює половині його сторони: \(r = \frac{a}{2}\). Якщо діагональ квадрата дорівнює \(\sqrt{2}\), то \(a = 1\). Тоді \(r = \frac{1}{2}\). Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює \(a\), то радіус вписаного кола \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\). Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність \(2a = 2\sqrt{2}\). Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Прямокутник та його властивості. Площа прямокутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити площу та периметр прямокутника, застосовувати теорему Піфагора, знання співвідношень у прямокутному трикутнику.

Розглянемо кожне твердження:

1. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін. Цей добуток дорівнює \(48\) для прямокутника зі сторонами \(6\) та \(8\), зображеного на рисунку B. Отже, твердженню 1 відповідає прямокутник B.

2. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін. Ця сума дорівнює \(14\) для прямокутника зі сторонами \(2\) та \(5\), зображеного на рисунку A: $$ 2 \cdot (2 + 5) = 14. $$ Отже, 2 – A.

3. Серед варіантів Б, Г та Д, що залишилися, варіант Д не може відповідати твердженню 3, адже кут між діагоналями квадрата не може дорівнювати \(60^\circ\) (він становить \(90^\circ\)). Залишилося проаналізувати варіанти Б та Г.

Розглянемо прямокутник \(ABCD\), діагоналі якого перетинаються в точці \(O\) (див. рисунок).

\(\angle AOB\) – гострий кут між діагоналями прямокутника. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл, то \(AO = OB\), отже, трикутник \(AOB\) є рівнобедреним. Кут \(AOB\) між діагоналями прямокутника є в трикутнику \(AOB\) кутом при вершині рівнобедреного трикутника. Якщо \(\angle AOB = 60^\circ\), то кути при основі цього трикутника дорівнюють $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ, $$ отже, цей трикутник є рівностороннім.