Геометрія – Прямокутник. Квадрат

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників, уміння знаходити периметр фігур.

\(KL\ ||\ AC \Rightarrow \Delta ABC\) подібний \(\Delta KBL.\)

$$ \frac{KL}{AC}=\frac{BE}{BH}. $$

Нехай сторона квадрата \(KL=KN=NM=ML=x\) см.

Тоді,

\begin{gather*} BE=BH-EH=6-x\ \text{см},\\[7pt] KL=x\ \text{см},\\[7pt] AC=10\ \text{см},\\[6pt] \frac{x}{10}=\frac{6-x}{6},\\[6pt] 10(6-x)=6x,\\[7pt] 60-10x=6x,\\[7pt] 16x=60,\\[7pt] x=60:16,\\[7pt] x=3{,}75\ \text{см},\\[7pt] P_{KLMN}=4x=4\cdot 3{,}75=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, властивостей прямокутника.

\(BC = 24\) см, \(AM = 10\sqrt{2}\) см. \(AM\) – бісектриса \(\angle A.\)

\(\angle A = 90^\circ\), \(AM\) – бісектриса, тому \(\angle BAM = 45^\circ.\) Отже, \(\Delta ABM\) – прямокутний рівнобедрений. \(AB = BM.\)

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AM^2 = AB^2 + BM^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2;\\[7pt] (10\sqrt{2})^2 = 2AB^2;\\[7pt] 10^2\cdot 2 = 2\cdot AB^2;\\[7pt] AB = 10\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100 + 24^2 = 100 + 576 = 676;\\[7pt] AC = \sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить в точці перетину діагоналей. Діагональ \(AC\) ділиться цією точкою навпіл.

Отже, радіус кола

\begin{gather*} R = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\cdot 26 = 13\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: \(13.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника та трикутника.

\(\Delta ABK\) – рівносторонній. \(P_{ABK} = 3 \cdot AB = 12\) см, \(AB = 4\) см.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника та трикутника.

\(ABCD\) – квадрат, \(P_{ABCD} = 24\) см, \(AB = BC = CD = AD = 24 : 4 = 6\) см. \(\Delta BKC\), \(P_{BKC} = 20\) см.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування задач, знання теореми Піфагора.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат. \(SK\!\perp\!AB\), \(SK = 10\) см – апофема. \(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SO = 8\) см висота піраміди.

У \(\Delta SOK\) \((\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SK^2 = SO^2 + OK^2,\\[7pt] OK = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

\(KO = \dfrac{1}{2}AD\), \(AD = 12\) см (\(KO\) – радіус вписаного кола у квадрат \(ABCD\)).

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику, теореми Піфагора, властивостей трапеції.

\(AC\!\perp\!CD.\) Проведемо \(CK\!\perp\!AD.\)

\(ABCK\) – прямокутник,

\begin{gather*} BC = AK = 8\ \text{см},\\[7pt] KD = AD - AK = 18 - 8 = 10\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ACD\) \((\angle C = 90^\circ)\) за властивістю висоти, проведеної до гіпотенузи:

\(\Delta ACK\) \((\angle K = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(12.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, властивостей прямокутника.

\(MB = 100\) км, \(KM = 120\) км, \(AK = 60\) км. Додаткова побудова: \(BC\!\perp\!AK.\)

Отримали \(\Delta ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(KC = MB = 100\) км,

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(200.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої.

Знайдемо довжини елементів (1 – 4).

1. У прямокутному трикутнику \(CDF\) (\(\angle D=90^\circ\)) відомі катет та гіпотенуза: \(CD=1\) см, \(CF=\sqrt{5}\) см. Довжину катета \(FD\) обчислимо за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – Г.

2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює половині довжини діагоналі цього квадрата. Оскільки діагональ квадрата зі стороною \(1\) дорівнює \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), то радіус описаного кола дорівнює $$ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$ Отже, 2 – Б.

3. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BC\) дорівнює довжині перпендикуляра \(h\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BC\) (див. рисунок). Оскільки прямі \(AF\) і \(BC\) паралельні, то відстань від точки \(F\) та від будь-якої іншої точки прямої \(AF\) до прямої \(BC\) рівні. Оскільки \(CD\ \perp\ BC\), то \(h=CD=1.\) Отже, 3 – А.

4. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BD\) дорівнює довжині перпендикуляра \(FL\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BD\) (див. рисунок). \(\angle ABD=\angle ADB=45^\circ\) як кути між діагоналлю квадрата і його стороною. \(\angle FDL=\angle ADB=45^\circ\) як вертикальні. Оскільки \(\angle DLF=90^\circ\), то \(\angle DFL=45^\circ.\) Таким чином прямокутний трикутник \(DLF\) рівнобедрений з гіпотенузою \(FD=2.\) Катет такого трикутника дорівнює $$ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A, 4 – В.

Пояснення

22

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Прямокутник та його властивості. Середня лінія трапеції. Коло, описане навколо чотирикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків геометричних фігур. Щоб розв’язати завдання, потрібно знати означення й властивості квадрата, прямокутника, прямокутного рівнобедреного трикутника, теорему про середню лінію трапеції, означення бісектриси кута, теорему Піфагора.

Оскільки точка \(O\) належить відрізку \(LN\), то $$ LN=LO+ON=8+2=10. $$ За умовою \(LN\ ||\ CD\), тому \(\angle BLN=\angle LCD=90^\circ\), отже, чотирикутник \(DCLN\) – прямокутник. Тоді $$ CD=LN=10. $$ Оскільки \(ABCD\) – квадрат, то $$ BC=CD=10. $$

1. За умовою \(KM\ ||\ AD\), тому \(\angle KMD=\angle MDA=90^\circ\), отже, чотирикутник \(KMDA\) – прямокутник. Тоді $$ KM=AD=10. $$ Оскільки точка \(O\) належить відрізку \(KM\), то $$ OK=KM-OM=10-6=4. $$ Отже, 1 – А.

2. За теоремою Піфагора, діагональ прямокутника \(OLCM\) дорівнює

$$ \sqrt{OL^2+OM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10. $$

Оскільки радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині його діагоналі, то радіус кола, описаного навколо прямокутника \(OLCM\), дорівнює $$ 10:2=5. $$ Отже, 2 – Б.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює півсумі її основ. У трапеції \(OBCM\) основи \(BC\) і \(OM\) дорівнюють відповідно \(10\) і \(6\), отже, довжина середньої лінії трапеції дорівнює $$ \frac{BC+OM}{2}=\frac{10+6}{2}=8. $$ Отже, 3 – Г.

4. Оскільки \(OP\) – бісектриса кута \(NOM\), то вона ділить цей кут навпіл, тому $$ \angle NOP=\angle POM=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ. $$ Оскільки \(\angle ONP=90^\circ\), то

$$ \angle NPO=180^\circ-(90^\circ+45^\circ)=45^\circ\ \text{(див. рисунок)}. $$

Тоді трикутник \(NOP\) є рівнобедреним і $$ NP=ON=2. $$ Довжина відрізка \(AP\) дорівнює $$ AN+NP=OK+NP=4+2=6. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, теорем Піфагора, властивості трапеції.

У \(\Delta ABD\ KM\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії \(KM = \dfrac 12AD\), \(AD = 11\) см.

У \(\Delta BCD\ ML\) – середня лінія. \(ML = \dfrac 12BC\), \(BC = 6\) см.

Проведемо \(CE\!\perp\!AD.\)

\(ABCE\) – прямокутник, \(BC = AE = 6\) см.

\begin{gather*} AD = AE + ED.\\[7pt] ED = AD - AE = 11 - 6 = 5\ \text{см}.\\[7pt] AB = CE = 12\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta CED\ (\angle E = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(42.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, формули периметра квадрата.

Периметр квадрата \(P = 4a\), де \(a\) – довжина сторони квадрата. Нехай \(F\) – задана точка на діагоналі \(AC\), \(FE = 2\) см, \(FL = 6\) см (див. рисунок). Чотирикутник \(BLFE\) – прямокутник, тому \(BE = LF = 6\) см. У прямокутному трикутнику \(AEF\) \(\angle EAF = \angle EFA = 45^\circ\), тому \(AE = EF = 2\) см. Тоді \(AB = AE + BE = 2 + 6 = 8\) см. Периметр квадрата \(ABCD\) дорівнює \(8 \cdot 4 = 32\) см.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Прямокутник та його властивості. Площа прямокутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити площу та периметр прямокутника, застосовувати теорему Піфагора, знання співвідношень у прямокутному трикутнику.

Розглянемо кожне твердження:

1. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін. Цей добуток дорівнює \(48\) для прямокутника зі сторонами \(6\) та \(8\), зображеного на рисунку B. Отже, твердженню 1 відповідає прямокутник B.

2. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін. Ця сума дорівнює \(14\) для прямокутника зі сторонами \(2\) та \(5\), зображеного на рисунку A: $$ 2 \cdot (2 + 5) = 14. $$ Отже, 2 – A.

3. Серед варіантів Б, Г та Д, що залишилися, варіант Д не може відповідати твердженню 3, адже кут між діагоналями квадрата не може дорівнювати \(60^\circ\) (він становить \(90^\circ\)). Залишилося проаналізувати варіанти Б та Г.

Розглянемо прямокутник \(ABCD\), діагоналі якого перетинаються в точці \(O\) (див. рисунок).

\(\angle AOB\) – гострий кут між діагоналями прямокутника. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл, то \(AO = OB\), отже, трикутник \(AOB\) є рівнобедреним. Кут \(AOB\) між діагоналями прямокутника є в трикутнику \(AOB\) кутом при вершині рівнобедреного трикутника. Якщо \(\angle AOB = 60^\circ\), то кути при основі цього трикутника дорівнюють $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ, $$ отже, цей трикутник є рівностороннім.

У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, тому серед прямокутників, зображених на рисунках Б та Г, визначаємо той, у якого половина діагоналі дорівнює стороні \(AB.\) Це твердження виконується для прямокутника, зображеного на рисунку Б. Справді, з прямокутного трикутника \(ABC\) за теоремою Піфагора

Прямокутник \(ABCD\), у якого діагоналі перетинаються під кутом \(60^\circ\), можна встановити також за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику \(ABC.\)

Оскільки \(\angle BAC = 60^\circ\), то $$ \frac{BC}{AB} = \mathrm{tg}\ \angle BAC = \sqrt{3}. $$ Ця умова виконується лише для прямокутника зі сторонами \(4\) та \(4\sqrt{3}\) на рисунку Б: $$ \frac{BC}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} = \mathrm{tg}\ 60^\circ. $$ Отже, 3 – Б.

4. Діагональ квадрата зі стороною \(7\) дорівнює \(7\sqrt{2} \ne 14.\) Переконаємося, що твердженню 4 відповідає прямокутник на рисунку Г:

звідси отримуємо \(AC = 14\). Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні \(2 : 1\), рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює \(\frac{1}{3}\) його висоти. За умовою висота дорівнює \(\sqrt{2}\), тому радіус вписаного кола дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{3}\). Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус \(r\) кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти \(h\) цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус \(r\) кола, вписаного в квадрат зі стороною \(a\), дорівнює половині його сторони: \(r = \frac{a}{2}\). Якщо діагональ квадрата дорівнює \(\sqrt{2}\), то \(a = 1\). Тоді \(r = \frac{1}{2}\). Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює \(a\), то радіус вписаного кола \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\). Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність \(2a = 2\sqrt{2}\). Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Квадрат та його властивості. Прямокутний рівнобедрений трикутник та його властивості. Площа прямокутного трикутника та квадрата.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площі геометричних фігур, зокрема, квадрата та прямокутного рівнобедреного трикутника.

1. Проведемо у рівнобедреному прямокутному трикутнику \(ABC\) з гіпотенузою \(AC\) висоту \(BO.\) Тоді $$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO. $$ Висота рівнобедреного трикутника, що проведена з його вершини, є також бісектрисою та медіаною. Отже, точка \(O\) є серединою гіпотенузи \(AC\) і

$$ BO = AO = CO = \frac{1}{2} AC = 1\mathord{,}8\ \text{м}. $$

Тоді

2. Упишемо в рівнобедрений прямокутний трикутник \(ABC\) квадрат \(MNKP\), вершини \(M\) і \(N\) якого лежать на гіпотенузі \(AC\) (отже, і сторона \(MN\) лежить на \(AC\)), а інші дві – вершини \(P\) і \(K\) – належать катетам \(AB\) і \(BC\) відповідно (див. рисунок).

Оскільки \(PM\ \perp\ MN\) і \(KN\ \perp\ MN\), а \(MN\) є частиною \(AC\), то \(PM\ \perp\ AC\) і \(KN\ \perp\ AC\). Тоді

аналогічно $$ \angle CKN = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ. $$ Отже, прямокутні трикутники \(AMP\) і \(KNC\) є рівнобедреними.

Оскільки \(AM = PM\), \(CN = KN\) і \(PM = KN = MN\), то \(AM = MN = NC\) і $$ MN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 3\mathord{,}6 = 1,2\ \text{м}. $$ Площа квадрата \(MNKP\) дорівнює \(1\mathord{,}2^{2} = 1\mathord{,}44\ \text{м}^{2}.\)

Відповідь: 1. \(3\mathord{,}24.\)
                   2. \(1\mathord{,}44.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Подібність фігур.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні фігури та використовувати пропорційність їх відповідних лінійних елементів для знаходження відношення площ цих фігур.

Подібними називаються фігури однакової форми. Коефіцієнтом подібності називається відношення відповідних лінійних елементів цих фігур. Оскільки у зображених на рисунку телевізорів екрани мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні, то ці прямокутники подібні.

Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню діагоналей цих прямокутників, тобто діагоналей екранів телевізорів: $$ k=\frac{48}{32}=1\mathord{,}5. $$ Якщо фігури подібні з коефіцієнтом подібності \(k\), то відношення їх площ дорівнює \(k^2.\) Тому площа екрану більшого телевізора перевищує площу екрана меншого телевізора у $$ 1\mathord{,}5^2=2\mathord{,}25\ \text{раза}. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Трапеція та її властивості. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків як елементи відповідних геометричних фігур, використовуючи властивості середньої лінії трапеції та означення квадрата.

1. Оскільки чотирикутник \(ABMK\) є трапецією \((AK\ ||\ BM)\), то відрізок \(NP\) (див. рисунок), що сполучає середини сторін \(AB\) i \(KM\) є її середньою лінією, довжина якої дорівнює півсумі цих сторін. За умовою

\begin{gather*} AK=4,\\[7pt] BM=BC-MC=12-3=9, \end{gather*}

тоді

$$ NP=(4+9):2=6\mathord{,}5. $$

2. Опустимо з точки \(M\) на сторону \(AD\) перпендикуляр \(MO\) і розглянемо прямокутний трикутник \(KOM.\) У цьому трикутнику відомі катети:

За теоремою Піфагора отримуємо:

Відповідь: 1. \(6\mathord{,}5.\)
                   2. \(13.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про прямокутник та його властивості, середню лінію трикутника та її властивості.

1. У \(\Delta ABC\ KM\) – середня лінія, тому точка \(E\) – середина \(KM.\) \(EE_1\ \perp\ BC\), \(EE_1\ ||\ BK\), тому \(EE_1\) – середня лінія \(\Delta BKM.\)

$$ EE_1=\frac 12BK=\frac 12\cdot 3=1\mathord{,}5 $$

(за властивістю середньої лінії).

Отже, 1 – A.

2. \(AC\cap BD=O.\) \(KO\) – середня лінія \(\Delta ABD\), тому

$$ KO=\frac 12AD=\frac 12\cdot 8=4. $$

Отже, 2 – B.

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC\) $$ KM=\frac 12AC=\frac 12\cdot 10=5. $$

Отже, 3 – Б.

4. Нехай \(\angle BKM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), тоді

\begin{gather*} \angle BMK=90^\circ-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ (\text{у}\ \Delta BKM)\\[7pt] \angle AKN=90^\circ-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha},\\[7pt] \angle ANK=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}

\(\Delta KBM\) подібний \(\Delta NAK\) (за двома кутами).

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди до розв’язування стереометричних задач, знаходити відстані в просторі, використовувати пряму та обернену теореми про три перпендикуляри.

Піраміда – правильна, тому основа – квадрат, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

\(P_{ABCD}=4AB=72\) см, \(AB=18\) см.

\(SK\ \perp\ CD\) – апофема, \(SK=15\) см. \(\Delta SDC\) – рівнобедрений, тому \(SK\) – висота та медіана.

\(DK=KC\), \(AD=DC\), \(AO=OC\) звідси випливає \(OK=\frac 12AD=9\) см.

\(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата \(KBCM\ 18\) см\(^2\), то

\(KM\) з'єднує середини діагоналей \(AC\) та \(BD\), належить середній лінії \(LN.\)

\(\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD\), \(KM\) – середня лінія \(KM=\frac 12AE\), \(AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Фалеса \(MK\ ||\ AD\), оскільки середина \(AC\), тому точка \(M\) – середина \(CE.\) \(CE=2CM=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Піфагора

2. Оскільки \(LK\) – середня лінія \(\Delta BAC\), \(MN\) – середня лінія \(\Delta BCD\), то

Відповідь: 1. \(12.\)
                   2. \(72.\)

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, уміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Нехай сторона квадрата (підлоги)

\(a=P:4=18:4=4\mathord{,}5\) м.

Сторона квадрата (килима)

\(b=a-0\mathord{,}4=4\mathord{,}5-0\mathord{,}4=4\mathord{,}1\) м.

\(P=4b=4\cdot 4\mathord{,}1=16\mathord{,}4\) м – периметр килима.

Відповідь: Г.

Пояснення

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) – центральний кут.

\begin{gather*} S_{BCP}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{4}=9\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[6pt] R^2=36\ \textit{см}^2,\\[6pt] R=6\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Нехай \(a\) – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола \(AO\ \perp\ a\), \(CO\ \perp\ a\), тому точка \(O\) лежить на прямій \(AC.\)

\begin{gather*} AC=AO+OC=4+6=10\ \textit{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, тому \(AB=8\) см.

$$ S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 6=48\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(48.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання поняття площі, формул площі трикутника та квадрата.

\(S_{ABM}=7\) см\(^2.\)

Нехай \(AB=a\), тоді \(BM=\dfrac 12 BC=\dfrac a2.\)

\begin{gather*} S_{ABM}=\frac 12\cdot AB\cdot BM;\\[6pt] \frac 12\cdot a\cdot \frac a2=7;\\[6pt] a^2=28\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{ABCD}=a^2=28\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка \(O\) – центр кола, дуга якого \(BFC.\)

Радіус кола – \(OB=OF=OC=1\) м.

\(BC\ ||\ AD\), \(AB\ ||\ CD.\) \((AB\ \perp\ BC\), \(CD\ \perp\ AD\) за властивістю паралельних прямих \(AB\ ||\ CD)\). Отже, \(ABCD\) – прямокутник, \(BC=AD=1\mathord{,}6\) м.

\(BC\cup OF=O_1\), \(BC\ \perp\ OF.\)

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений, \(OO_1\) – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

\(\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\mathbf{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання дотичної до кола та її властивості, формули довжини кола; уміння застосовувати ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.Довжина кола знаходиться за формулою \(C=2\mathbf{\pi}R.\)

\(O_1O_2=2R=8.\)

2. У прямокутник \(ABCD\) вписано два кола, тому \(BC=4R=16.\)

\(OO_1=2R=8.\)

\(O_1K\ \perp\ BC\) (за властивістю дотичної)

\(O_1K=4.\)

\(O_2L\ \perp\ BC\) \(O_1K=O_2L=R\), тому \(O_1O_2\ ||\ BC\), отже \(BO_1O_2C\) – трапеція.

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(48.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.

\(S_{ABCD}=36\) см\(^2\), \(SO=2AB.\)

Піраміда \(SABCD\) – правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB^2=36\ \textit{см}^2,\ \ AB=6\ \textit{см},\\[7pt] SO=2\cdot AB=2\cdot 6=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 36\cdot 12=12\cdot 12=144\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного паралелепіпеда до розв'язування стереометричних задач і задач практичного змісту.

Площа плівки, якою обгорнута коробка – це площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.

Основа паралелепіпеда – прямокутник зі сторонами \(30\) мм та \(75\) мм. Висота паралелепіпеда – \(10\) см.

\(S_\text{пп}=S_\text{бп}+2S_\text{осн}.\)

\(S_\text{бп}=P_\text{осн}\cdot H=(3\cdot 7\mathord{,}5)\cdot 2\cdot 10=210\) см\(^2.\)

\(30\ \textit{мм}=3\ \textit{см}\), \(75\ \textit{мм}=7\mathord{,}5\ \textit{см}.\) \(S_\text{осн}=3\cdot 7\mathord{,}5=22\mathord{,}5\ \textit{см}^2.\)

\(S_\text{пп}=210+2\cdot 22\mathord{,}5=210+45=255\ \textit{см}^2.\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути, прямокутник, формули для обчислення площі трикутників.

1. \(\angle AMD\) – вписаний, який спирається на діаметр. \(\angle AMD=90^\circ.\) \(ME\ \perp\ AD.\)

За властивістю висоти до гіпотенузи:

\(ME^2=AE\cdot ED.\)

Нехай \(BK=MC=x\ \textit{см}\), \(KM=3x\ \textit{см}\), \(ME=AB=4\ \textit{см}\), \(AE=BM=4x\ \textit{см}\), \(DE=MC=x\ \textit{см}.\)

\(16=4x\cdot x\), \(x=2\ \textit{см}.\)

\(AD=5x=5\cdot 2=10\ \textit{см}\) – діаметр.

\(R=5\ \textit{см}.\)

 

2. \(OF\ \perp\ KM\), \(\Delta OFM\ (\angle F=90^\circ)\), \(OM=R=5\ \textit{см}\), \(OF=AB=4\ \textit{см}\), \(FM=3\ \textit{см}\) (єгипетський).

 

\(S_{OKM}=\frac 12KM\cdot OF=FM\cdot OF=3\cdot 4=12\ \textit{см}^2.\)

Відповідь: 1. \(5.\)
                   2. \(12.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.

\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 24\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

 

Відповідь: A.

 

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

\(CP\ ||\ OB\), \(NF\ ||\ OK\) (додаткові побудови).

\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, \(HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

\(\Delta HED\) – прямокутний, рівнобедрений, з катетами \(HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)

За теоремою Піфагора

$$ DE=\sqrt{HE^2+HD^2}=\sqrt{0\mathord{,}32}\ \textit{м}. $$

Число \(\sqrt{0\mathord{,}32}\) можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто \(0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.\)

Серед відповідей цю нерівність задовольняє число \(0\mathord{,}55\) м.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

\(OK=4\), \(CD=10.\)

1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів, властивості прямокутника.

\(AK\) – бісектриса \(\angle A\), отже, \(\angle BAK=\angle KAD=45^\circ.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

\(BK=8\) см, \(\Delta KCL=\Delta LDM\), \(KC=LD=15\) см.

1. \(ABCD\) квадрат.

У \(\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

2. Нехай \(\angle CKL=\angle MLD=\mathbf{\alpha}\), \(\angle CLK=\angle LMD=\mathbf{\beta}.\) \(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=90^\circ\) (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

\(\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ\), \(\angle KLM=180^\circ-(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})=90^\circ.\)

Отже, \(\Delta KLM\) – прямокутний, тому

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(144\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.

1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.

2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – A.

3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.

$$AB : BC = 2 : 5.$$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}.$$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.

Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.

\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.

У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(BK=8\) см, \(KM=10\) см – діаметр.

1. \(BK=MD=8\) см, \(KM=10\) см.

За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(P_{ABCD}=2(AB+BC)\), \(AB=KM=10\) см.

\(\Delta ABD (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=26^2-10^2,\\[7pt] AD=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \textit{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(10+24)=68\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(26.\)
                   2. \(68.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.

У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.

$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$

У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),

\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.

\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(648.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, трапеції, вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(BK=KC=8\ \text{см},\ AK -\) бісектриса \(\angle A\).

1. \(\angle A=90^\circ,\ \angle BAK=\angle KAD=45^\circ\).

2. \(\triangle ABK\ (\angle B=90^\circ)\ \angle K= 45^\circ\), отже \(AB=BK=8\ \text{см}\).

3. \(ABCD\) – прямокутник. За властивістю прямокутника

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).

1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)

1.

2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)

1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.

Площа круга \(S=\mathbf{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}.\)

\begin{gather*} \mathbf{\pi}R^2=400\mathbf{\pi},\ \ R^2=400,\\[7pt] R=20\ \text{см},\ AD=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).

У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 20. 2. 240.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.

1.

 

За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16\cdot 6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

 

2.

 

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16\cdot 3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4.$$ Отже, \(\Delta ABO\) – рівносторонній \(\angle AOB=60^\circ.\)
Отже, 2 – Б.

 

3.

 

\begin{gather*} S=6\cdot 8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.

 

Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників, прямокутника до розв’язування планіметричних задач.

За умовою завдання більша сторона прямокутника дорівнює \(5\sqrt{3}.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) гострі кути \(60^\circ\) (із умови завдання) і \(30^\circ\ (180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ).\) Напроти більшої сторони \(BC\) лежить більший кут, тому \(\angle A = 60^\circ,\) тоді \(\angle C = 30^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \begin{gather*} \frac{BC}{AC}=\sin A,\\[6pt] AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину діагоналей – середина діагоналі \(AC.\ \ R=\frac 12 AC=5.\)

Довжина кола \(L=2\mathbf{\pi}R=10\mathbf{\pi}.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.

\(AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.\)

\(\Delta AOB\) – рівносторонній. \(AB=BO=OA=4\ \text{см}.\) За властивістю прямокутника \(AC=BD=2BO=8\ \text{см}.\)

Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$

Або іншим способом:

\begin{gather*} \Delta ABC\ (\angle B=90^\circ),\ \angle A=60^\circ,\ AB=4\ \text{см}\\[7pt] BC=AB\cdot \operatorname{tg}60^\circ=4\sqrt{3}\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутного трикутника, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та квадрата, розв’язування трикутників.

Отже, правильна відповідь – В.

2.

 

\(AB=CD=KM=10\) см. \(\Delta CKM\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

 

Отже, правильна відповідь – Г.

 

3. Відстань між точкою \(O\) – центр квадрата, \(O_1\) – точка перетину діагоналей прямокутника \(ABKM\) – відрізок \(OO_1.\) \(BO_1=O_1M.\)

 

 

У \(\Delta DBM\ OO_1\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії $$ OO_1=\frac 12DM=\frac 12\cdot 24=12\ \text{см}. $$

 

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

\(\angle ABC=90^\circ\), \(\angle ABK=30^\circ.\) Отже, \(\angle KBC=60^\circ.\)

У \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.\)

У прямокутнику \(ABCD\ BC\ ||\ AD\), січна \(CK.\) \(\angle BCK=\angle CKD=30^\circ\) як внутрішні різносторонні.

\(\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)\) $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

\(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\) $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

$$ P_{ABCD}=2(BC+CD)=2(12+3\sqrt{3})=24+6\sqrt{3}. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

\(NP\ ||\ BC\)

1 – В. Точка \(M\) – середина \(AK.\) За теоремою Фалеса: \(NM\ ||\ BC\) і \(AN=NB.\)

У \(\Delta ABK\ NM\) – середня лінія. \(BK=2NM=12\) см.

\(BC=BK+KC=12+4=16\) см. \(AB=BC=16\) см.

2 – A.

У трапеції \(AKCD\ MP\) – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=16\), \(BK=12.\)

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2=16^2+12^2=256+144=400,\\[7pt] AK=20. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, а також теореми Піфагора.

У квадраті \(ABCD\) \(AB=BC=CD=DA=24\) см.

\(AM:MD=1:2\), \(KC=6\) см.

Нехай \(AM=x\) см, \(MD=2x\) см. \(AD=AM+MD\), \(x+2x=24\) см, \(x=8\) см.

Отже, \(AM=8\) см, \(MD=16\) см.

Побудуймо \(KH\ \perp\ AD.\) \(KCDH\) – прямокутник, тому \(KC=HD=6\) см, \(CD=KH=24\) см. \(MH=MD-HD=16\ \textit{см}-6\ \textit{см}=10\) см.

Розгляньмо \(\Delta KHM\ (\angle H=90^\circ).\) Катети \(KH=24\) см і \(MH=10\) см. За теоремою Піфагора: \(a^2+b^2=c^2.\)

Визначмо довжину гіпотенузи:

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. Коло дотикається до сторін \(BC\) i \(AD\), тому діаметр кола дорівнює стороні \(AB.\) Отже, довжина радіуса \(OK=\frac 12AB=6\) см.

Правильна відповідь – А.

2. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AK.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BK^2+KA^2=2BK^2,\\[7pt] 2BK^2=12^2\ \textit{см},\\[7pt] BK^2=144\ \textit{см}:2=72\ \textit{см},\\[7pt] BK=\sqrt{72}\ \textit{см}=\sqrt{2\cdot 36}\ \textit{см}=6\sqrt{2}\ \textit{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

3. У \(\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB\) і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

\begin{gather*} KH=\frac 12AB=6\ \textit{см},\\[7pt] OH=OK+KH=6\ \textit{см}+6\ \textit{см}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

У \(\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)\), \(OM=6\) см, \(AM=OH=12\) см. За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. \(\Delta ABD\) – прямокутний із катетами \(AB=6\) см і \(AD=8\) см.

Правильна відповідь – B.

2. \(OM\ \perp\ AD.\) За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\) \(OM\) – середня лінія, тому

Правильна відповідь – A.

3.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Площа круга із центром у точці \(O_1\) дорівнює \(625\mathbf{\pi}\) см\(^2.\)

1. Відстань від \(O_2\) до сторони \(BC{:}\) $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

\(O_2K\ \perp\ BC\), а \(KP\) – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола \(O_1\), описаного навколо прямокутника \(ABCD\), лежить на середині діагоналі \(BD.\)

\begin{gather*} O_1B=O_1D=25\ \text{см},\\[7pt] BD=50\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\) \((\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де \(FO_2\) – радіус кола із центром у точці \(O_2.\)

\begin{gather*} FO_2=15\ \text{см}.\\[7pt] OO_1=20\ \text{см}-15\ \text{см}=5\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.