Розділ: Планіметрія
Тема: Прямокутник. Квадрат
Кількість завдань: 53
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутного трикутника, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.
У \(\Delta ABK (\angle A=90^\circ)\ AK=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha},\ AB=d\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) \(AB=CD=d\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)
У \(\Delta CDK (\angle D=90^\circ)\ KD=CD\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=d\mathrm{sin}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
\begin{gather*} AD=AK+KD=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+d\mathrm{sin}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\\[7pt] =d(\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\mathrm{sin}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}). \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.
\(AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.\)
\(\Delta AOB\) – рівносторонній. \(AB=BO=OA=4\ \text{см}.\) За властивістю прямокутника \(AC=BD=2BO=8\ \text{см}.\)
Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$
Або іншим способом:
\begin{gather*} \Delta ABC\ (\angle B=90^\circ),\ \angle A=60^\circ,\ AB=4\ \text{см}\\[7pt] BC=AB\cdot \mathrm{tg}60^\circ=4\sqrt{3}\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників, прямокутника до розв’язування планіметричних задач.
За умовою завдання більша сторона прямокутника дорівнює \(5\sqrt{3}.\)
У прямокутному трикутнику \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) гострі кути \(60^\circ\) (із умови завдання) і \(30^\circ\ (180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ).\) Напроти більшої сторони \(BC\) лежить більший кут, тому \(\angle A = 60^\circ,\) тоді \(\angle C = 30^\circ.\)
У \(\Delta ABC\) \begin{gather*} \frac{BC}{AC}=\sin A,\\[6pt] AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10. \end{gather*}
Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину діагоналей – середина діагоналі \(AC.\ \ R=\frac 12 AC=5.\)
Довжина кола \(L=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=10\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.
1.
За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16*6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.
2.
\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16*3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$ AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4. $$ Отже, \(\Delta ABO\) – рівносторонній \(\angle AOB=60^\circ.\)
Отже, 2 – Б.
3.
\begin{gather*} S=6*8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.
Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.
Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.
\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)
1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.
Площа круга \(S=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=400\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\ \ R^2=400,\\[7pt] R=20\ \text{см},\ AD=R=20\ \text{см}. \end{gather*}
2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).
У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}
Відповідь: 1. 20. 2. 240.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.
\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)
1.
2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора
Відповідь: 1. 4. 2. 152.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.
\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).
1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.
2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.
3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A
Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, трапеції, вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.
\(BK=KC=8\ \text{см},\ AK - \) бісектриса \(\angle A\).
1. \(\angle A=90^\circ,\ \angle BAK=\angle KAD=45^\circ\).
2. \(\triangle ABK\ (\angle B=90^\circ)\ \angle K= 45^\circ\), отже \(AB=BK=8\ \text{см}\).
3. \(ABCD\) – прямокутник. За властивістю прямокутника
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.
\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.
У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.
$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),
\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.
\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)
Об'єм піраміди знаходимо за формулою:
\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}Відповідь: \(648.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.
\(BK=8\) см, \(KM=10\) см – діаметр.
1. \(BK=MD=8\) см, \(KM=10\) см.
За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}
2. \(P_{ABCD}=2(AB+BC)\), \(AB=KM=10\) см.
\(\Delta ABD (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=26^2-10^2,\\[7pt] AD=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \textit{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(10+24)=68\ \textit{см}. \end{gather*}Відповідь: 1. \(26.\)
2. \(68.\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.
\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.
Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)
\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.
У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.
Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.
\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.
$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$
Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)
За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.
I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.
III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.
Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.
Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.
\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити периметр.
$$ AB : BC = 2 : 5. $$ Нехай \begin{gather*} AB=CD=2x\ \text{см},\\[7pt] BC=AD=5x\ \text{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC). \end{gather*} Отже, \begin{gather*} 2(2x+5x)=28\\[7pt] 14x=28\\[7pt] x=2. \end{gather*} Більша сторона прямокутника $$ BC=5x=5\cdot 2=10\ \text{см}. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.
1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.
2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:
Отже, 2 – A.
3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.
I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).
II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).
III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.
\(OK=4\), \(CD=10.\)
1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.
2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)
\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.
3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.
4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.
\(CP\ ||\ OB\), \(NF\ ||\ OK\) (додаткові побудови).
\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, \(HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)
\(\Delta HED\) – прямокутний, рівнобедрений, з катетами \(HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.\)
За теоремою Піфагора
$$ DE=\sqrt{HE^2+HD^2}=\sqrt{0\mathord{,}32}\ \textit{м}. $$Число \(\sqrt{0\mathord{,}32}\) можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто \(0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.\)
Серед відповідей цю нерівність задовольняє число \(0\mathord{,}55\) м.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.
\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.
$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)
\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.
\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}Відповідь: A.
