Розділ: Планіметрія
Тема: Прямокутник. Квадрат
Кількість завдань: 53
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутного трикутника, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.
У \(\Delta ABK (\angle A=90^\circ)\ AK=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha},\ AB=d\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) \(AB=CD=d\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)
У \(\Delta CDK (\angle D=90^\circ)\ KD=CD\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=d\mathrm{sin}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
\begin{gather*} AD=AK+KD=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+d\mathrm{sin}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\\[7pt] =d(\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\mathrm{sin}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}). \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.
\(AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.\)
\(\Delta AOB\) – рівносторонній. \(AB=BO=OA=4\ \text{см}.\) За властивістю прямокутника \(AC=BD=2BO=8\ \text{см}.\)
Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$
Або іншим способом:
\begin{gather*} \Delta ABC\ (\angle B=90^\circ),\ \angle A=60^\circ,\ AB=4\ \text{см}\\[7pt] BC=AB\cdot \mathrm{tg}60^\circ=4\sqrt{3}\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників, прямокутника до розв’язування планіметричних задач.
За умовою завдання більша сторона прямокутника дорівнює \(5\sqrt{3}.\)
У прямокутному трикутнику \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) гострі кути \(60^\circ\) (із умови завдання) і \(30^\circ\ (180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ).\) Напроти більшої сторони \(BC\) лежить більший кут, тому \(\angle A = 60^\circ,\) тоді \(\angle C = 30^\circ.\)
У \(\Delta ABC\) \begin{gather*} \frac{BC}{AC}=\sin A,\\[6pt] AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10. \end{gather*}
Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину діагоналей – середина діагоналі \(AC.\ \ R=\frac 12 AC=5.\)
Довжина кола \(L=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=10\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.
1.
За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16*6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.
2.
\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16*3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$ AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4. $$ Отже, \(\Delta ABO\) – рівносторонній \(\angle AOB=60^\circ.\)
Отже, 2 – Б.
3.
\begin{gather*} S=6*8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.
Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.
Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.
\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)
1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.
Площа круга \(S=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=400\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\ \ R^2=400,\\[7pt] R=20\ \text{см},\ AD=R=20\ \text{см}. \end{gather*}
2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).
У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}
Відповідь: 1. 20. 2. 240.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.
\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)
1.
2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора
Відповідь: 1. 4. 2. 152.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.
\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).
1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.
2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.
3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A
Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, трапеції, вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.
\(BK=KC=8\ \text{см},\ AK - \) бісектриса \(\angle A\).
1. \(\angle A=90^\circ,\ \angle BAK=\angle KAD=45^\circ\).
2. \(\triangle ABK\ (\angle B=90^\circ)\ \angle K= 45^\circ\), отже \(AB=BK=8\ \text{см}\).
3. \(ABCD\) – прямокутник. За властивістю прямокутника
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.
\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.
$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$
Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)
За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.
I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.
III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.
1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.
2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:
Отже, 2 – A.
3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.
I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).
II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).
III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.
Відповідь: B.
