Рівняння - тести для підготовки до ЗНО

Предмет: Математика
Розділ: Алгебра і початки аналізу
Тема: Рівняння
Кількість завдань: 173

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{1-x}=4.$

А$(-20; -10)$

Б$(-10; -5)$

В$(-5; 5)$

Г$(5; 10)$

Д$(10; 20)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, порівнювати раціональні числа.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

\begin{gather*} (\sqrt{1 - x})^2 = 4^2,\\[7pt] 1 - x = 16,\\[7pt] -x = 16 - 1,\\[7pt] -x = 15,\\[7pt] x = -15. \end{gather*}

Корінь належить проміжку $(-20; -10).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4313

Завдання 2 з 173

В автобусному парку налічується $n$ автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на $4$ автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з $n$ автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить $0{,}25.$ Визначте $n.$ Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівняння.

В автобусному парку $n$ автобусів. Обладнано інформаційним табло: $\dfrac{1}{6}n$ та $4$ автобуси.

Усього автобусів з інформаційним табло $\left(\dfrac{1}{6}n + 4\right)$.

Імовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло становить $0{,}25.$

Отже,

\begin{gather*} P=\frac{\dfrac{1}{6}n+4}{n}=\frac{1}{4},\\[6pt] \frac{4}{6}n+16=n,\\[6pt] n-\frac{4}{6}n=16,\\[6pt] \frac{2}{6}n=16,\\[6pt] n=\frac{16\cdot 6}{2},\\[6pt] n=48. \end{gather*}

Відповідь: $48.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4330

Завдання 3 з 173

Розв'яжіть рівняння $2x(x+2)=5(x+2).$

А$-2{,}5; 2$

Б$-2$

В$2{,}5$

Г$-2; 0{,}4$

Д$-2; 2{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння з однією змінною, означення кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною. Методи розв'язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, розкладати многочлен на множники.

\begin{gather*} 2x(x + 2) = 5(x + 2),\\[7pt] 2x(x + 2) - 5(x + 2) = 0,\\[7pt] (x + 2)(2x - 5) = 0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x + 2 = 0,\\ 2x - 5 = 0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ 2x = 5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ x = 2{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5321

Завдання 4 з 173

Розв'яжіть рівняння $3^x\cdot 4^x=(12^{x+1})^5$.

Впишіть відповідь:

-1.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування показникових рівнянь.

Використаємо властивості степенів:

\begin{gather*} (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\ \text{та}\ (a^n)^m = a^{nm},\\[7pt] 3^x \cdot 4^x = (12^{x+1})^{5},\\[7pt] (3 \cdot 4)^x = 12^{5x+5},\\[7pt] 12^x = 12^{5x+5},\\[7pt] x = 5x + 5,\\[7pt] 4x = -5,\\[7pt] x = -5 : 4,\\[7pt] x = -1{,}25. \end{gather*}

Відповідь: $-1{,}25.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5340

Завдання 5 з 173

Розв'яжіть рівняння $\dfrac2x=5$.

А$x=0{,}1$

Б$x=10$

В$x=2{,}5$

Г$x=0{,}4$

Д$x=-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac 2x=5;\\[6pt] x=\frac 25;\\[6pt] x=0{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6122

Завдання 6 з 173

Якому з наведених нижче проміжків належить корінь рівняння $5^{x+3}=\left(\dfrac{1}{125}\right)^x$?

А$(-3;-2]$

Б$(-2;-1]$

В$(-1;0]$

Г$(0;1]$

Д$(1;3]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення рівняння з однією змінною, кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною, вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведемо до спільної основи

\begin{gather*} 5^{x+3}=(5^{-3})^x;\\[7pt] 5^{x+3}=5^{-3x};\\[7pt] x+3=-3x;\\[7pt] 4x=-3;\\[6pt] x=-\frac 34. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=-0{,}75$ належить проміжку $(-1; 0].$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6137

Завдання 7 з 173

Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за $2$ години $6$ хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, працюючи самостійно, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на $4$ години більше, ніж першому робітникові?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння, нерівності та їхні системи до розв’язування текстових задач.

Нехай першому робітнику потрібно $x$ годин на скошування трави, тоді другому потрібно – $(x + 4)$ години.

Якщо разом вони виконають цю роботу, то складемо рівняння:

\begin{gather*} 2\ \text{години}\ 6\ \text{хвилин}=2\frac{6}{60}\ \text{год}=2 \frac{1}{10}\ \text{год}=\frac{21}{10};\\[6pt] \frac 1x+\frac{1}{x + 4} = \frac{1}{21/10};\\[6pt] \frac 1x + \frac{1}{x + 4} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{x + 4 + x}{x(x + 4)} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{2x + 4}{x(x + 4)} = \frac{10}{21}. \end{gather*}

ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne -4.$

\begin{gather*} 21(2x + 4) = 10x(x + 4);\\[7pt] 42x + 84 = 10x^2 + 40x;\\[7pt] 10x^2 - 2x - 84 = 0;\\[7pt] 5x^2 - x - 42 = 0;\\[7pt] D = (-1)^2 - 4 \cdot 5(-42) = 1 + 840 = 841;\\[6pt] x_1 = \frac{1 + 29}{10} = 3;\\[6pt] x_2 = \frac{1 - 29}{10} = -2{,}8\ \text{не задовольняє умови задачі}. \end{gather*}

Другий робітник виконає цю роботу за

\begin{gather*} 3 + 4 = 7\ \text{год}. \end{gather*}

Відповідь: $7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6153

Завдання 8 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $2^x=\dfrac 18$?

А$(-6; -4]$

Б$(-4; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} 2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $(-4; -2].$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6163

Завдання 9 з 173

Розв’яжіть рівняння $\Bigl||2x-1|-3\Bigr|=5$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Впишіть відповідь:

-15.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |2x-1|-3=5,\\ |2x-1|-3=-5, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} |2x-1|=8,\\ |2x-1|=-2. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння $|2x - 1| = -2$ не має коренів, тому розв’язуємо тільки перше рівняння сукупності:

\begin{gather*} |2x - 1| = 8,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x-1=8,\\ 2x-1=-8, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 2x=9,\\ 2x=-7, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=4{,}5,\\ x_2=-3{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння має два корені. У відповідь запишемо добуток коренів:

\begin{gather*} x_1 \cdot x_2 = 4{,}5 \cdot (-3{,}5) = -15{,}75. \end{gather*}

Відповідь: $-15{,}75.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6190

Завдання 10 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $\log_3x=2$?

А$(-4;-1]$

Б$(-1;2]$

В$(2;5]$

Г$(5;8]$

Д$(8;11]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} \log_{3} x = 2;\\[7pt] x = 3^2;\\[7pt] x = 9. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $(8; 11].$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6226

Завдання 11 з 173

Тарас може доїхати на велосипеді від села до станції за $3$ год, а пішки дійти за $7$ год. Його швидкість пішки на $8$ км/год менша, ніж на велосипеді. Знайдіть відстань від села до станції (у км).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь.

Нехай швидкість пішки $x$ км/год, тоді на велосипеді – $(x + 8)$ км/год.

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
Пішки:	$x$	$7$	$7x$
На велосипеді:	$x + 8$	$3$	$3(x + 8)$

Шлях пішки та на велосипеді однаковий, тому складемо рівняння:

\begin{gather*} 7x = 3(x + 8);\\[7pt] 7x = 3x + 24;\\[7pt] 4x = 24;\\[7pt] x = 6. \end{gather*}

$6$ км/год – швидкість пішки.

Отже, відстань від села до станції

\begin{gather*} 6 \cdot 7 = 42\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: $42.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6242

Завдання 12 з 173

Розв’яжіть рівняння $\sqrt{2x^2+7x-9}+|\sin(\pi x)+1|=0$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше, ніж один корінь, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.

Впишіть відповідь:

-4.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння та їхні системи, застосовувати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

Оцінимо значення виразів:

\begin{gather*} \sqrt{2x^{2} + 7x - 9} \ge 0,\\[7pt] |\sin(\pi x) + 1| \ge 0. \end{gather*}

Отже, якщо рівняння має розв'язки, то кожний з виразів повинен дорівнювати нулю (щоб їх сума дорівнювала нулю).

\begin{gather*} \begin{cases} 2x^2 + 7x - 9 = 0,\ (1) \\ \sin(\pi x) + 1 = 0.\ (2) \end{cases} \end{gather*}

Розв'язуємо (1) рівняння:

\begin{gather*} D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121;\\[6pt] x_1=\frac{-7 + 11}{4} = 1;\\[6pt] x_2=\frac{-7 - 11}{4} = -\frac 92. \end{gather*}

Перевіримо, чи є коренями $x_1 = 1$ та $x_2=-\dfrac 92$ коренями (2) рівняння:

\begin{gather*} x_1=1;\\[7pt] \sin \pi + 1 = 0;\\[7pt] \end{gather*}

$1 \ne 0$ не є розв'язком.

\begin{gather*} x_2=-\frac 92;\\[6pt] \sin\left(-\frac{9\pi}{2}\right) + 1 = 0;\\[6pt] \sin\left(-4\pi - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;\\[6pt] -1 + 1 = 0. \end{gather*}

Отже, $x = -4{,}5$ – корінь рівняння.

Відповідь: $-4{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6246

Завдання 13 з 173

Розв'яжіть рівняня $$ \frac x2+\frac x3=2. $$

А$1{,}2$

Б$5$

В$12$

Г$2{,}4$

Д$0{,}4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє уміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $6{:}$ \begin{gather*} \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=2\ \big|\cdot 6,\\[6pt] 3x+2x=12,\\[6pt] 5x=12,\\[7pt] x=12:5,\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6249

Завдання 14 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $$ 3^x\cdot 4^x=\frac{1}{144}. $$

А$[-25; -5)$

Б$[-5; -1)$

В$[-1; 1)$

Г$[1; 5)$

Д$[5; 25)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та знання властивостей степенів.

\begin{gather*} 3^x\cdot 4^x=\frac{1}{144},\\[6pt] 12^x=\frac{1}{12^2},\\[6pt] 12^x=12^{-2},\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $[-5; -1).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6254

Завдання 15 з 173

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+1}{6}.$

А$-\dfrac 53$

Б$\dfrac 43$

В$\dfrac 75$

Г$\dfrac 53$

Д$\dfrac 73$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{2x - 3}{3} = \frac{x + 1}{6}. \end{gather*}

Помножимо обидві частини рівняння на $6{:}$ \begin{gather*} 2(2x - 3) = x + 1,\\[7pt] 4x - 6 = x + 1,\\[7pt] 3x = 7,\\[6pt] x = \frac{7}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6286

Завдання 16 з 173

Укажіть найменший додатний корінь рівняння $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0.$

А$\dfrac{\pi}{6}$

Б$\dfrac{\pi}{2}$

В$\dfrac{2\pi}{3}$

Г$\pi$

Д$\dfrac{5\pi}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0,\\[6pt] x + \frac{\pi}{3} = \pi n,\ n \in Z,\\[6pt] x = -\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

При $n = 1$ \begin{gather*} x = -\frac{\pi}{3} + \pi= \frac{2\pi}{3} \end{gather*} найменший додатний корінь.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6299

Завдання 17 з 173

Розв’яжіть рівняння $0{,}5(3x-4)=\dfrac{x+1}{4}$.

А$\dfrac57$

Б$-\dfrac75$

В$\dfrac65$

Г$\dfrac95$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $4.$

\begin{gather*} 4 \cdot 0{,}5(3x - 4) = \frac{(x + 1) \cdot 4}{4};\\[6pt] 2(3x - 4) = x + 1;\\[7pt] 6x - 8 = x + 1;\\[7pt] 5x = 9;\\[6pt] x = \frac{9}{5}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6319

Завдання 18 з 173

Розв’яжіть рівняння $\sqrt{x-2}\,\sqrt{2x+1}=\sqrt3$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповіді зазначте добуток усіх коренів. Якщо рівняння не має коренів, то у відповіді запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Знайдемо ОДЗ:

\begin{gather*} \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x + 1 \ge 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge -0{,}5. \end{cases}\\[7pt] x \in [2; +\infty). \end{gather*}

Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння:

\begin{gather*} (x - 2)(2x + 1) = 3;\\[7pt] 2x^2 + x - 4x - 2 - 3 = 0;\\[7pt] 2x^2 - 3x - 5 = 0;\\[7pt] D = 9 - 4 \cdot 2(-5) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{3 + 7}{4} = 2{,}5;\\[6pt] x_2 = \frac{3 - 7}{4} = -1 \notin\ \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6339

Завдання 19 з 173

Укажіть суму коренів рівняння $|x-1|=6$.

А$-2$

Б$0$

В$2$

Г$7$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За означенням модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x-1=6,\\ x-1=-6, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x_1=7,\\ x_2=-5. \end{array}\right. \end{gather*}

Cума коренів рівняння:

\begin{gather*} x_1 + x_2 = 7 + (-5) = 2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6359

Завдання 20 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $3^x=30$?

А$(1;2)$

Б$(2;3)$

В$(3;4)$

Г$(4;5)$

Д$(5;11)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів, порівнювати числа.

\begin{gather*} 3^3 \lt 30 \lt 3^4;\\[7pt] 27 \lt 30 \lt 81.\\[7pt] x \in (3; 4). \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6362

Завдання 21 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $3^{\textstyle {x+4}}=27$?

А$[-4;-2)$

Б$[-2;0)$

В$[0;2)$

Г$[2;4)$

Д$[4;6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} 3^{x + 4} = 27;\\[7pt] 3^{x + 4} = 3^{3};\\[7pt] x + 4 = 3;\\[7pt] x = 3 - 4;\\[7pt] x = -1. \end{gather*}

Корінь належить проміжку $[-2; 0).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6386

Завдання 22 з 173

Розв’яжіть рівняння $\dfrac{2\cos x+1}{\sqrt{27+6x-x^2}}=0$.

У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні та квадратні рівняння, нерівності та їхні системи.

Знайдемо область допустимих значень $x{:}$

\begin{gather*} 27 + 6x - x^2\gt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27\lt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27 = 0;\\[7pt] D = 36 + 4 \cdot 27 = 144;\\[6pt] x_1=\frac{6 + 12}{2} = 9;\\[6pt] x_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-3; 9). \end{gather*}

\begin{gather*} 2\cos x + 1 = 0;\\[6pt] \cos x = -\frac 12;\\[6pt] x = \pm \arccos\left(-\frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \left(\pi - \arccos \frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Знайдемо корені, які належать ОДЗ.

\begin{gather*} n = 0\ x = \frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 1\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 2\ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] n = -1\ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \notin \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Отже, кількість коренів – $4.$

Відповідь: $4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6414

Завдання 23 з 173

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння $2\sin x=-1$.

А$\dfrac\pi6$

Б$\dfrac\pi3$

В$\dfrac{5\pi}{6}$

Г$\dfrac{5\pi}{3}$

Д$\dfrac{7\pi}{6}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sin x = -1;\\[6pt] \sin x = -\frac 12;\\[6pt] x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac 12\right) + \pi k,\ k \in Z;\\[6pt] x = (-1)^k \cdot \sin^{-1}\left(-\frac 12\right) + \pi k,\ k \in Z;\\[6pt] x = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k,\ k \in Z.\\[6pt] k = 0,\ x = -\frac{\pi}{6};\\[6pt] k = 1,\ x = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}\ \text{– найменший додатний корінь.} \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6459

Завдання 24 з 173

Розв'яжіть рівняння $\lvert3\lg x+1\rvert-\lvert\lg x-3\rvert=2$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.

Впишіть відповідь:

10.001

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з модулем.

$|3\lg x + 1| - |\lg x - 3| = 2.$ ОДЗ: $x\gt 0.$

Розкриємо модуль:
1)

\begin{gather*} 3\lg x + 1 = 0;\\[7pt] 3\lg x = -1;\\[6pt] \lg x = -\frac 13;\\[6pt] x = 10^{\textstyle -\frac 13};\\[6pt] x = \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}. \end{gather*}

\begin{gather*} \lg x - 3 = 0;\\[7pt] \lg x = 3;\\[7pt] x = 1000. \end{gather*}

Розкриємо модуль на кожному проміжку:

\begin{gather*} x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}\right);\\[6pt] -3\lg x - 1 + \lg x - 3 = 2;\\[7pt] -2\lg x - 4 = 2;\\[7pt] -2\lg x = 6;\\[7pt] \lg x = -3;\\[6pt] x = 0{,}001 \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}\right)\ \text{корінь рівняння.} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in \left[\frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}; 1000\right];\\[6pt] 3\lg x + 1 + \lg x - 3 = 2;\\[7pt] 4\lg x = 4;\\[7pt] \lg x = 1;\\[6pt] x = 10 \in \left[\frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{10}}; 1000\right]\ \text{корінь рівняння.}\\[6pt] x \in (1000; +\infty);\\[7pt] 3\lg x + 1 - \lg x + 3 = 2;\\[7pt] 2\lg x = -2;\\[7pt] \lg x = -1;\\[7pt] x = 0{,}1 \in (1000; +\infty). \end{gather*}

Рівняння має два корені, тому у відповідь запишемо суму коренів:

\begin{gather*} 10 + 0{,}001 = 10{,}001. \end{gather*}

Відповідь: $10{,}001.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6475

Завдання 25 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $\sqrt[3]{2x}=-3$?

А$(-30; -20)$

Б$(-20; -10)$

В$(-10; 0)$

Г$(0; 10)$

Д$(10; 20)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесемо обидві частини рівняння до кубу, отримаємо рівносильне рівняння: \begin{gather*} 2x=(-3)^3,\ \text{або}\\[7pt] 2x=-27,\\[6pt] x=-\frac{27}{2}=-13{,}5. \end{gather*} Отже, корінь рівняння належить проміжку $(-20; -10)$.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6882

Завдання 26 з 173

Розв'яжіть рівняння $\mathrm{tg}\ (3x)=\sqrt{3}.$

А$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in Z$

Б$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in Z$

В$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$

Г$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in Z$

Д$x=\frac{\pi}{9}+\pi n,\ n\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 3x=\mathrm{arctg}(\sqrt{3})+\pi n,\ n\in Z,\\[6pt] \mathrm{arctg}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},\\[6pt] 3x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in Z,\\[6pt] x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6883

Завдання 27 з 173

Розв'яжіть рівняння $$ \log_{0{,}4}(5x^2-8)=\log_{0{,}4}(-3x). $$ Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповіді їхню суму.

Впишіть відповідь:

-1.6

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою

$$ \left\{\begin{array}{l} 5x^2-8\gt 0,\\ -3x\gt 0. \end{array}\right. $$

(враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу). Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} 5x^2-8=-3x,\\[7pt] 5x^2+3x-8=0, \end{gather*} звідки \begin{gather*} x_1=1,\\[7pt] x_2=-1{,}6. \end{gather*}

Значення $x_1=1$, що не задовольняє ОДЗ рівняння, не є коренем заданого рівняння; значення $x_2=-1{,}6$ задовольняє ОДЗ, отже, є єдиним коренем заданого рівняння.

Відповідь: $-1{,}6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6900

Завдання 28 з 173

Обчисліть добуток коренів рівняня $x^2+6x-55=0.$

А$-55$

Б$55$

В$-6$

Г$6$

Д$-49$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Це завдання перевіряє вміння знаходити добуток коренів квадратного рівняння.

Перший спосіб. За теоремою Вієта, якщо зведене квадратне рівняння $$ x^{2} + px + q = 0 $$ має корені $x_{1}, x_{2}$, то \begin{gather*} x_{1} + x_{2} = -p,\\[7pt] x_{1} \cdot x_{2} = q. \end{gather*} Задане рівняння $$ x^{2} + 6x - 55 = 0 $$ має два корені, оскільки його дискримінант

$$ D = p^{2} - 4q = 6^{2} - 4\cdot(-55) = 36 + 220 = 256 \gt 0. $$

Тоді за теоремою Вієта їх добуток дорівнює $-55.$

Другий спосіб. Можна розв’язувати це завдання, не використовуючи теорему Вієта. Знайдемо корені заданого квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_{1} = \frac{-p - \sqrt{D}}{2} = \frac{-6 - 16}{2} = -11,\\[6pt] x_{2} = \frac{-p + \sqrt{D}}{2} = \frac{-6 + 16}{2} = 5. \end{gather*}

Тоді $x_{1}\cdot x_{2} = (-11)\cdot 5 = -55.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7073

Завдання 29 з 173

Розв'яжіть рівняння $\log_3 x=-1.$

А$\frac 13$

Б$3$

В$-1$

Г$-3$

Д$-\frac 13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння.

За означенням логарифмом числа $b$ за основою $a$ (позначають $\log_a b$) називають показник степеня, до якого треба піднести основу $a$, щоб одержати число $b.$ Отже, якщо $\log_a b = t$, то $b = a^t.$ Зазначимо, що $a \gt 0$, $a \ne 1$, $b \gt 0.$

Звідси випливає, що коренем рівняння $\log_3 x = -1$ є число $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7077

Завдання 30 з 173

Яке з наведених рівнянь не має коренів?

А$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Б$\mathrm{tg}\ x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

В$\mathrm{ctg}\ x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$

Г$\mathrm{tg}\ x=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Д$\cos x=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння досліджувати найпростіші тригонометричні рівняння $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\mathrm{tg}\ x = a$ і $\mathrm{ctg}\ x = a.$

Потрібно знати, що рівняння $\sin x = a$ і $\cos x = a$ мають безліч коренів, якщо $a \in [-1; 1]$, і не мають коренів, якщо $|a| \gt 1$, тобто $a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty).$ Тригонометричні рівняння $\mathrm{tg}\ x = a$ і $\mathrm{ctg}\ x = a$ мають безліч коренів при будь-яких значеннях $a.$

Отже, рівняння, наведені у варіантах Б, В і Г, мають корені.
Розглянемо А: $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Оскільки $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1; 1] $$ (нагадаємо, що $\sqrt{3} \approx 1{,}73$), то рівняння $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ має корені.

Д: $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$ Оскільки $$ \frac{2}{\sqrt{3}} \gt 1, $$ то рівняння $$ \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} $$ не має коренів.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7083

Завдання 31 з 173

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2-3x}.$

А$-2$

Б$-0{,}4$

В$2{,}5$

Г$0{,}4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння зі змінною у знаменнику дробу.

При розв’язанні таких рівнянь треба враховувати ОДЗ (область допустимих значень) рівняння: \begin{gather*} 2x\ne 0,\\[7pt] 2-3x\ne 0. \end{gather*} Два дроби з однаковими чисельниками є рівними, якщо рівні їхні знаменники. Отже, початкове рівняння на його ОДЗ еквівалентне рівнянню $$ 2-3x=2x, $$ звідки \begin{gather*} 5x=2,\\[6pt] x=\frac{2}{5}=0{,}4. \end{gather*} Цей корінь задовольняє ОДЗ, отже є коренем початкового рівняння.

Зауважимо, що задане рівняння можна розглядати як пропорцію. Враховуючи, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, отримаємо: $$ 1\cdot (2-3x)=2x\cdot 1, $$ тобто $$ 2-3x=2x. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7171

Завдання 32 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $3^x=\dfrac{1}{27}$?

А$(-\infty; -5]$

Б$(-5; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Запишемо число $\dfrac{1}{27}$ як степінь з основою $3{:}$ $$ \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}. $$ Отримаємо рівняння $$ 3^x=3^{-3}, $$ $x=-3$ є корінем цього рівняння. Оскільки число $-3$ належить проміжку $(-5; -2]$, то правильною є відповідь Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7178

Завдання 33 з 173

Графік функції $y=\sqrt{2x^2+x+1}$ проходить через точку $(x_0; 4)$, де $x_0\gt 0.$
Обчисліть $x_0.$

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати точки, що належить графіку функції.

Точка $(x_0; y_0)$ належить графіку функції $y=f(x)$, якщо її координати задовольняють умову $y_0=f(x_0).$

Якщо точка $(x_0; 4)$ належить графіку функції $$ y=\sqrt{2x^2+x+1}, $$ то має виконуватися рівність: $$ 4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}. $$

Звідси після піднесення лівої і правої частин до квадрата дістанемо: \begin{gather*} 2x_0^2+x_0+1=16,\\[7pt] 2x_0^2+x_0-15=0,\\[7pt] x_0=2{,}5\ \text{або}\ x_0=-3. \end{gather*}

Оскільки за умовою $x_0\gt 0$, то $x_0=2{,}5.$

Відповідь: $2{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7192

Завдання 34 з 173

Розв’яжіть рівняння $2\sin x=1$.

А$\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$

Б$(-1)^{\textstyle n}\dfrac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z$

В$(-1)^{\textstyle n}\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$

Г$\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$

Д$(-1)^{\textstyle n}\dfrac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sin x = 1;\\[6pt] \sin x = \frac 12;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \arcsin \frac 12 + \pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7502

Завдання 35 з 173

Розв’яжіть рівняння $\log_6(x-3)+\log_6(x-8)=2$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, то у відповідь запишіть їх суму.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

$\log_6(x - 3) + \log_6(x - 8) = 2.$ ОДЗ: $x\gt 8.$

\begin{gather*} \log_6((x - 3)(x - 8)) = 2;\\[7pt] x^2 - 11x + 24 = 36;\\[7pt] x^2 - 11x - 12 = 0\\[7pt] D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169;\\[6pt] x_1 = \frac{11 + 13}{2} = 12;\\[6pt] x_2 = \frac{11 - 13}{2} = -1. \end{gather*}

$x_2 \notin$ ОДЗ.

Відповідь: $12.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7530

Завдання 36 з 173

Розв'яжіть рівняння $4^x=8.$

А$\frac 12$

Б$\frac 23$

В$\frac 32$

Г$2$

Д$32$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Представимо числа $4$ і $8$ як степені з основою $2$: \begin{gather*} 4 = 2^{2},\\[7pt] 8 = 2^{3}. \end{gather*} Тоді $(2^{2})^{x} = 2^{3}$. За властивістю степенів $(2^{2})^{x} = 2^{2x}$, звідки \begin{gather*} 2^{2x} = 2^{3},\\[7pt] 2x = 3,\\[6pt] x = \frac{3}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7628

Завдання 37 з 173

Розв'яжіть рівняння $$ \frac{|x|}{10}=2. $$

А$-5; 5$

Б$-20; 20$

В$20$

Г$5$

Д$-0{,}2; 0{,}2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Домножимо обидві частини рівняння $\frac{|x|}{10} = 2$ на 10, отримаємо $|x| = 20.$ Модуль числа – це відстань на координатній осі $x$ від цього числа до початку координат, звідси $x = \pm 20.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7637

Завдання 38 з 173

Розв'яжіть рівняння $\log_5^2 x+\log_5x=2.$ Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число $100.$

Впишіть відповідь:

5.04

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння за допомогою заміни, після чого рівняння зводиться до квадратного.

Зробимо заміну $\log_{5} x = t$. Тоді рівняння у нових змінних набуває вигляду $$ t^{2} + t - 2 = 0, $$ за теоремою Вієта корені цього рівняння мають задовольняти рівності \begin{gather*} t_{1} \cdot t_{2} = -2,\\[7pt] t_{1} + t_{2} = -1. \end{gather*} Отже, \begin{gather*} t_{1} = -2,\\[7pt] t_{2} = 1. \end{gather*}

Повертаємось до заміни: $$ \left[\begin{array}{l} \log_{5} x = -2,\\ \log_{5} x = 1. \end{array}\right. $$

Звідки $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 5^{-2} = 0{,}04\\ x_{2} = 5^{1} = 5. \end{array}\right. $$ Отже, задане рівняння має два корені, їх сума дорівнює $$ 0{,}04 + 5 = 5{,}04. $$

Відповідь: $5{,}04.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7650

Завдання 39 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $0{,}5(x-4)=1{,}5.$

А$(-\infty; -4]$

Б$(-4; 0]$

В$(0; 4]$

Г$(4; 8]$

Д$(8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння: щоб вказати проміжок, якому належить корінь заданого лінійного рівняння, потрібно спочатку його знайти.

Розділимо обидві частини рівняння на $0{,}5\mathord{:}$ \begin{gather*} 0{,}5(x - 4) = 1{,}5,\\[6pt] x - 4 = \frac{1{,}5}{0{,}5},\\[6pt] x - 4 = 3. \end{gather*}

Перенесемо $-4$ в праву частину рівняння, змінивши знак на протилежний: $$ x = 3 + 4, $$ $x = 7$ – корінь рівняння, він належить проміжку $(4; 8]$.

Зазначимо, що розділити вираз на $0{,}5$ – це рівносильно множенню його на $2$, тому обидві частини заданого рівняння можна спочатку не розділити на $0{,}5$, а помножити на $2\mathord{:}$ $$ 2 \cdot 0{,}5(x - 4) = 2 \cdot 1{,}5, $$ звідки \begin{gather*} x - 4 = 3, \\[7pt] x = 7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8169

Завдання 40 з 173

Розв'яжіть рівняння $\frac{4}{|x|}=3.$

А$\frac 34$

Б$-\frac 34; \frac 34$

В$\frac 43$

Г$-12; 12$

Д$-\frac 43; \frac 43$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні рівняння зі змінною під знаком модуля.

Задане рівняння рівносильне рівнянню $|x|= \frac{4}{3}.$

Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку. На відстані $\frac{4}{3}$ від початку відліку знаходяться два числа: $x_{1} = \frac{4}{3}$ і $x_{2} = -\frac{4}{3}.$ Обидва ці числа і є коренями заданого рівняння.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8184

Завдання 41 з 173

Розв'яжіть рівняння $$ \log_4x\cdot \left(\log_4 x+\log_4 \frac{1}{16}\right)=3. $$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то запишіть у відповіді їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число $100.$

Впишіть відповідь:

64.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічне рівняння.

Виконавши перетворення: $$ \log_{4}\frac{1}{16} = \log_{4} 4^{-2} = -2, $$ запишемо задане рівняння у вигляді $$ \log_{4} x(\log_{4} x - 2) = 3,\ \text{або } $$ $$ (\log_{4} x)^{2} - 2\log_{4} x - 3 = 0. $$ Отримане рівняння є квадратним відносно змінної $\ \log_{4} x = t{:}$ $$ t^{2} - 2t - 3 = 0, $$ коренями якого є значення $t_{1} = -1$ та $t_{2} = 3$.

Отже, задане рівняння рівносильне сукупності $$ \left[\begin{array}{l} \log_{4} x = -1,\\ \log_{4} x = 3. \end{array}\right. $$ Її розв’язки: $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 4^{-1} = 0{,}25,\\ x_{2} = 4^{3} = 64 \end{array}\right. $$ є коренями заданого рівняння, їх сума дорівнює $$ 0{,}25 + 64 = 64{,}25. $$

Відповідь: $64{,}25.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8195

Завдання 42 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $5^{x+1}=125$?

А$[0; 3)$

Б$[3; 4)$

В$[4; 10)$

Г$[10; 25)$

Д$[25; 625]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Запишемо число $125$ як степінь з основою $5\mathord{:}\ 125=5^3.$ Тоді рівння набуде вигляду $5^{x+1}=5^3.$ Оскільки степеневі вирази з однаковою основою рівні лише тоді, коли рівні показники степенів, то отримане рівняння рівносильне рівнянню $x+1=3,$ звідки $x=2.$ Число $2$ належить проміжку $[0; 3).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9235

Завдання 43 з 173

Розв'яжіть рівняння $|2x-1|=6.$

А$-3\mathord{,}5;\ 3\mathord{,}5$

Б$-2\mathord{,}5;\ 2\mathord{,}5$

В$-3\mathord{,}5;\ 2\mathord{,}5$

Г$-2\mathord{,}5;\ 3\mathord{,}5$

Д$3\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Рівняння з модулем.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містить невідоме під знаком модуля (абсолютної величини).

Геометрично модуль числа – це відстань по координатній прямій від нього до початку координат. Тому якщо модуль числа дорівнює $6$, то це число дорівнює $6$ або $-6$. Отже, задане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: $$ \left[\begin{array}{l} 2x-1=6,\\ 2x-1=-6. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо кожне з рівнянь окремо:

\begin{gather*} 2x=6+1,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x_1=3\mathord{,}5;\\[7pt] 2x=-6+1,\\[7pt] 2x=-5,\\[7pt] x_2=-2\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, рівняння має два корені $x_1=3\mathord{,}5$, $x_2=-2\mathord{,}5.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9246

Завдання 44 з 173

Розв'яжіть рівняння $\log_2x+\log_2(x-7)=3.$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то запишіть у відповіді їхню суму.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою $$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x-7\gt 0. \end{array}\right. $$ Враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу, звідки отримуємо $x\gt 7.$

Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} \log_{2}(x(x-7))=3\log_{2}2,\\[7pt] \log_{2}(x^2-7x)=\log_{2}2^{3},\\[7pt] x^2-7x-8=0, \end{gather*} звідки $x_1=-1\lt 7$ (не задовольняє ОДЗ, отже, не є коренем заданого рівняння), $x_2=8\gt 7$ – корінь заданого рівняння. Отже, задане рівняння має єдиний корінь $x=8$.

Зауваження. Оскільки на проміжку $(7; +\infty)$ функція $y=\log_{2}x+\log_{2}(x-7)$ зростає як сума двох зростаючих функцій $y=\log_{2}x$ та $y=\log_{2}(x-7)$, то графік функції $y=\log_{2}x+\log_{2}(x-7)$ може перетинати пряму $y=3$, що паралельна осі абсцис, не більше одного разу. Це означає, що задане рівняння може мати не більше одного кореня. При $x=8$

\begin{gather*} \log_{2}x=\log_{2}8=3\ \text{і}\\[7pt] \log_{2}(x-7)=\log_{2}(8-7)=\log_{2}1=0. \end{gather*}

Отже, $x=8$ – єдиний корінь рівняння.

Відповідь: $8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9259

Завдання 45 з 173

Розв'яжіть рівняння $$ 3\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}. $$

А$\frac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in Z$

Б$\frac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in Z$

В$\frac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in Z$

Г$\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in Z$

Д$\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$, $n\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між тригонометричними функціями одного аргумента та вміння розв'язувати тригонометричні рівняння.

Оскільки $$ \frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\ x, $$ то вихідне рівняння запишемо у вигляді: $$ 3\mathrm{tg}\ x=\sqrt{3}, $$ звідки $$ \mathrm{tg}\ x=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Розв'язком такого рівняння є

$$ x=\mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n,\ n\in Z. $$

Оскільки $$ \mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}, $$ то остаточно отримаємо

$$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in Z. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9445

Завдання 46 з 173

У готелі для проживання туристів є одномісні, двомісні та тримісні номери. Їх всього $124.$ Якщо всі номери в готелі заповенені, то одночасно в ньому проживає $255$ туристів. Скільки всього в цьому готелі тримісних номерів, якщо кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних номерів?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Застосування рівнянь та їхніх систем до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їх систем.

І спосіб. Позначимо кількість тримісних номерів через $n.$ Оскільки за умовою кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних, то їх кількість становить $$ \frac{124-n}{2} $$ номерів.

В одномісних номерах при повному заповненні проживає $$ \frac{124-n}{2} $$ туристів, в двомісних – $$ 2\cdot \frac{124-n}{2}=124-n $$ туристів, в тримісних – $3n$ туристів.

Складаємо рівняння

\begin{gather*} 1\cdot \frac{124-n}{2}+2\frac{124-n}{2}+3n=255, \end{gather*}

звідки отримуємо

\begin{gather*} 124-n+2(124-n)+6n=510,\\[7pt] 124-n+248-2n+6n=510,\\[7pt] 3n=138,\\[7pt] n=46. \end{gather*}

Отже, у готелі було всього $46$ тримісних номерів.

ІІ спосіб. Якщо ввести позначення: $n$ – кількість тримісних номерів, $k$ – кількість одномісних номерів, $k$ – кількість двомісних номерів, то отримаємо систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+2k+3n=255, \end{array}\right. $$ тобто $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+n=85. \end{array}\right. $$ Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо $k=39$, тоді $$ n=85-39=46. $$

Відповідь: $46.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9454

Завдання 47 з 173

Розв'яжіть рівняння $4x^2=1.$

А$-2; 2$

Б$2$

В$0\mathord{,}25$

Г$0\mathord{,}5$

Д$-0\mathord{,}5; 0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати неповні квадратні рівняння.

\begin{gather*} 4x^2=1\\[6pt] x^2=\frac 14\\[6pt] x=\pm\sqrt{\frac 14}\\[6pt] x_1=0\mathord{,}5\\[7pt] x_2=-0\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10834

Завдання 48 з 173

Фабрика виготовляє комплекти пластикових меблів, кожен з яких складається зі стола, дивана та двох крісел. На виготовлення дивана витрачається на $1$ кг пластику більше, ніж на виготовлення стола, та на $3$ кг більше, ніж на виготовлення одного крісла. Відомо, що на виготовлення $10$ крісел витрачається пластику стільки ж, як і на виготовлення $2$ столів та $4$ диванів разом. Скільки кілограмів пластику витрачається на виготовлення одного комплекту пластикових меблів?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Застосування рівнянь до розв'язування задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування задач.

Розв'яжемо задачу складанням рівняння.

Нехай на виготовлення $1$ стола необхідно $x$ пластику, тоді на $1$ диван витрачають $(x+1)$ кг, а на крісло – $(x+1-3)$ кг.

На $10$ крісел витрачають стільки пластику, скільки на $2$ стола та $4$ дивана, тому

\begin{gather*} 10(x-2)=2x+4(x+1),\\[7pt] 10x-20=2x+4x+4,\\[7pt] 10x-6x=4+20,\\[7pt] 4x=24,\\[7pt] x=6. \end{gather*}

На $1$ стiл витрачається пластику $6$ кг, $1$ диван – $7$ кг, $2$ крісла – $2\cdot 4=8$ кг.

Отже, на виготовлення одного комплекту меблів витрачають $$ 6+7+8=21\ \text{кг} $$ пластику.

Відповідь: $21.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10859

Завдання 49 з 173

Розв'яжіть рівняння $2^{2x}=\frac{1}{2^3}.$

А$-3$

Б$-2$

В$-1\mathord{,}5$

Г$1\mathord{,}5$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з раціональним показником, уміння розв’язувати показникові та лінійні рівняння.

\begin{gather*} 2^{2x}=\frac{1}{2^3},\\[6pt] 2^{2x}=2^{-3},\\[6pt] 2x=-3,\\[6pt] x=\frac{-3}{2}=-1\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12067

Завдання 50 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{6-4x}=4.$

А$[-3; -1)$

Б$[-1; 0)$

В$[0; 1)$

Г$[1; 3)$

Д$[3; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні рівняння. Функції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, знаходити область визначення функції, знання методів розв’язування ірраціональних рівнянь.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата. Отримали рівняння, яке є наслідком даного:

\begin{gather*} 6-4x=16,\\[7pt] -4x=10,\\[7pt] x=-2\mathord{,}5. \end{gather*}

Перевірка показує, що $x=-2\mathord{,}5$ є коренем даного рівняння:

\begin{gather*} \sqrt{6-4\cdot (-2\mathord{,}5)}=4,\\[7pt] \sqrt{16}=4. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $[-3; -1).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12073

Завдання 51 з 173

Автобус вирушив з міста $A$ до міста $B$, відстань між якими становить $150$ км. Через $30$ хв із міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в $1\frac 15$ раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста $A$ до міста $B$ автомобіль, якщо він прибув до міста $B$ одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Нехай швидкість автобуса $x$ км/год, тоді швидкість автомобіля

$$ 1\frac 15x=1\mathord{,}2x\ \text{км}/\text{год}. $$

$150$ км автобус проїжджає за $\frac{150}{x}$ год, а автомобіль за $\frac{150}{1\mathord{,}2x}$ год. Це на $30$ хв $\left(\frac 12\ \textit{год}\right)$ менше. Розв'яжемо рівняння

\begin{gather*} \frac{150}{x}-\frac{150}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] \frac{150\cdot(1\mathord{,}2-1)}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] \frac{150\cdot 0\mathord{,}2}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] x=\frac{150\cdot 0\mathord{,}2\cdot 2}{1\mathord{,}2}=50\ \text{км}/\text{год}. \end{gather*}

Час, за який автомобіль долає відстань між $A$ та $B$ $$ \frac{150}{1\mathord{,}2\cdot 50}=2\mathord{,}5\ \textit{год}. $$

Відповідь: $2\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12092

Завдання 52 з 173

Розв'яжіть рівняння $x^2-10=5x+14.$

А$-8; 3$

Б$-4; -1$

В$-3; 8$

Г$1; 4$

Д$0; 5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння другого степеня.

\begin{gather*} x^2-10=5x+14,\\[7pt] x^2-5x-24=0,\\[7pt] D=(-5)^2-4\cdot (-24)=25+96=121,\\[6pt] x_1=\frac{5+11}{2}=8,\\[6pt] x_2=\frac{5-11}{2}=-3. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12503

Завдання 53 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\log_2x=2\log_23$?

А$(0; 2]$

Б$(2; 4]$

В$(4; 6]$

Г$(6; 8]$

Д$(8; 10]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

Використаємо властивість логарифма: $$ \log_a b^n=n\cdot \log_a b, $$

\begin{gather*} \log_2x=\log_23^2,\\[7pt] \log_2x=\log_29. \end{gather*}

Звідси, $x=9$ корінь рівняння. Проміжок, якому належить корінь рівняння $(8; 10].$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12521

Завдання 54 з 173

Укажіть число, що є коренем рівняння $5^{x-2}=25.$

А$7$

Б$4$

В$3$

Г$2$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 5^{x-2}=25,\\[7pt] 5^{x-2}=5^2,\\[7pt] x-2=2,\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Отже, корінь рівняння $x=4.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14237

Завдання 55 з 173

Укажіть суму коренів рівняння $|x-1|=6.$

А$-2$

Б$0$

В$2$

Г$7$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивості; вміння розв'язувати рівняння першого ступеня.

За властивістю модуля дійсного числа, рівняння $|x-1|=6$ рівносильне сукупності таких рівнянь:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x-1=6,\\ x-1=-6, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=7,\\ x=-5. \end{array}\right. \end{gather*}

Сума коренів рівняння дорівнює $7+(-5)=2.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14241

Завдання 56 з 173

З першої труби порожній басейн наповнюють водою на $40$ хвилин швидше, ніж з другої. Скільки часу (у хвилинах) потрібно для наповнення порожнього басейну з першої труби, якщо з обох труб порожній басейн наповнюють за $21$ хвилину? Уважайте, що швидкості наповнення басейну водою з кожної труби є сталими.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що зводиться до квадратного, розв'язувати текстові задачі.

Нехай порожній басейн заповнюється з другої труби за $x$ хвилин, тоді з першої труби – за $(x-40)$ хвилин.

За $1$ хвилину працюючи разом вони заповнять $1/21$ частину басейну. Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{1}{x-40}+\frac 1x=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{x+x-40}{x(x-40)}=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{2x-40}{x^2-40x}=\frac{1}{21},\\[6pt] \text{ОДЗ}:\ \ \left[\begin{array}{l} x\ne 0,\\ x\ne 40, \end{array}\right.\\[7pt] x^2-40x=21(2x-40),\\[7pt] x^2-40x=42x-840,\\[7pt] x^2-82x+840=0. \end{gather*}

Корені рівняння

$$ \left[\begin{array}{l} x_1=12\ \ \text{не задовільняє умові задачі},\\ x=70. \end{array}\right. $$

Отже, друга труба наповнює басейн за $70$ хвилин, а перша – за $$ 70-40=30\ \text{хв.} $$

Відповідь: $30.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14262

Завдання 57 з 173

Розв’яжіть рівняння $\sin x-\sqrt 3\cos x=0$.

А$-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in Z$

Б$-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in Z$

В$\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in Z$

Г$\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in Z$

Д$\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні нерівності.

Рівняння однорідне I степені. Поділимо обидві частини рівняння на $\cos x \ne 0.$

\begin{gather*} \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0\ | : \cos x \ne 0;\\[7pt] \mathrm{tg}\ x - \sqrt{3} = 0;\\[7pt] \mathrm{tg}\ x = \sqrt{3};\\[7pt] x = \mathrm{arctg}\ \sqrt{3} + \pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14316

Завдання 58 з 173

Укажіть корінь рівняння $|x^2-6x|=9$, який належить проміжку $(-2;1]$.

А$3-3\sqrt 2$

Б$3-\sqrt 2$

В$1$

Г$2$

Д$4-2\sqrt 2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні нерівності з модулем.

\begin{gather*} \begin{cases} x^2 - 6x = 9, \\ x^2 - 6x = -9, \end{cases} \ \ \begin{cases} x^2 - 6x - 9 = 0, \\ x^2 - 6x + 9 = 0. \end{cases} \end{gather*}

1) $x^2 - 6x - 9 = 0$

\begin{gather*} D = 36 - 4 \cdot (-9) = 72;\\[6pt] x_1 = \frac{6 + \sqrt{72}}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2};\\[6pt] x_2 = 3 - 3\sqrt{2}. \end{gather*}

2) $x^2 - 6x + 9 = 0$

\begin{gather*} (x - 3)^2 = 0;\\[7pt] x_3 = 3. \end{gather*}

Корінь, який належить проміжку $(-2; 1]\ x = 3 - 3\sqrt{2}.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14320

Завдання 59 з 173

Розв’яжіть рівняння: $3^{\textstyle x}=\dfrac{2\sqrt3}{6}$.

Арівняння не має коренів

Б$x=-1$

В$x=-0{,}5$

Г$x=0{,}5$

Д$x=1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x = \frac{2\sqrt{3}}{6};\\[7pt] 3^x = \frac{\sqrt{3}}{3};\\[7pt] 3^x = 3^{{\textstyle \frac 12}-1};\\[7pt] 3^x = 3^{\textstyle -\frac 12};\\[7pt] x = -0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14321

Завдання 60 з 173

Розв’яжіть рівняння $x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0$. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

Впишіть відповідь:

-2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} x - 5 = \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 0;\\[7pt] \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x;\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = (5 - x)^2, \\ 5 - x \ge 0, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2, \\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 6, \\ x = -2, \end{array}\right.\\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] x = -2. \end{gather*}

Відповідь: $-2.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14333

Завдання 61 з 173

Розв'яжіть рівняння $\operatorname{tg} \dfrac{x}{2} = \sqrt{3}$.

А$\dfrac{\pi}{6}$

Б$\dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$

В$\dfrac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z$

Г$\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=\sqrt{3};\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ \sqrt{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] \frac x2=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\ne Z;\\[6pt] x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\ne Z. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14530

Завдання 62 з 173

Розв'яжіть рівняння $\sqrt[\scriptstyle{3}]{8^x}=\sqrt2\cdot\sqrt[\scriptstyle{3}]2$.

А$\dfrac{2}{3}$

Б$\dfrac{1}{6}$

В$\dfrac{3}{2}$

Г$\dfrac{5}{6}$

Д$\dfrac{2}{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи обидві частини рівняння:

\begin{gather*} 2^{\textstyle \frac{3x}{3}}=2^{\textstyle \frac 12}\cdot 2^{\textstyle \frac 13};\\[6pt] 2^{x}=2^{\textstyle \frac 12\!+\!\frac 13};\\[6pt] 2^{x}=2^{\textstyle \frac 56};\\[6pt] x=\frac 56. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14535

Завдання 63 з 173

На перегоні, довжина якого дорівнює $240$ км, поїзд рухався зі швидкістю на $10$ км/год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на $48$ хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? (Відповідь в км/год).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на рух.

Нехай швидкість поїзда за розкладом $x$ км/год, тоді швидкість на перегоні була $(x-10)$ км/год.

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
За розкладом	$x$	$\dfrac{240}{x}$	$240$
Фактично	$x-10$	$\dfrac{240}{x-10}$	$240$

Поїзд запізнився на $48\ \text{хв}=\dfrac{48}{60}\ \text{год}=\dfrac 45\ \text{год}.$ Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{240}{x-10}-\frac{240}{x}=\frac 45;\\[6pt] \frac{240(x-x+10)}{x(x-10)}=\frac 45;\\[6pt] \frac{2400}{x(x-10)}=\frac 45\ \big| :4;\\[6pt] \frac{600}{x(x-10)}=\frac 15;\\[6pt] \begin{cases} x(x-10)=5\cdot 600,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-10x-3000=0,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x=-50;\ x=60,\\ x\ne 0;\ x\ne 10. \end{cases} \end{gather*}

$x=-50$ не задовольняє умові задачі.

Отже, швидкість поїзда за розкладом – $60$ км/год.

Відповідь: $60.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14546

Завдання 64 з 173

Розв'яжіть рівняння $(x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0$. У відповідь запишіть суму коренів.

Впишіть відповідь:

11 або 8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні та ірраціональні нерівності.

\begin{gather*} (x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0.\\[7pt] \begin{cases} -15+8x-x^2\ge 0,\\ \left[\begin{array}{l} x^2-9=0,\\ -15+8x-x^2=0, \end{array}\right. \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-8x+15\le 0,\\ \left[\begin{array}{l} x=\pm 3,\\ x^2-8x+15=0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] x^2-8x+15=0;\\[7pt] D=64-4\cdot 1\cdot 15=4;\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2}=5;\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2}=3. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} x\in [3; 5],\\ \left[\begin{array}{l} x_1=3,\\ x_2=5,\\ x_3=-3. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Корені рівняння $x_1=3$ та $x_2=5.$

Сума коренів

\begin{gather*} x_1+x_2=3+5=8. \end{gather*}

Відповідь: $8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14548

Завдання 65 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\log_4(x-1)=3$?

А$4$

Б$13$

В$63$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння. Функціональна залежність. Логарифмічна функція.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

$\log_4(x-1)=3.$ За означенням логарифма можна записати $x-1=4^3.$

Звідси $x-1=64$, $x=65.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14600

Завдання 66 з 173

Розв’яжіть рівняння $4\sqrt{x}=1.$

А$\frac 12$

Б$\frac 18$

В$16$

Г$-\frac 12; \frac 12$

Д$\frac{1}{16}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних рівнянь, уміння розв'язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{x}=1,\\[6pt] \sqrt{x}=\frac 14. \end{gather*}

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата й знаходимо $x.$

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=\left(\frac 14\right)^2,\\[6pt] x=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14602

Завдання 67 з 173

Розв’яжіть нерівність $2^x+2^{x+3}\ge 144.$

А$[34\mathord{,}5; +\infty)$

Б$[4; +\infty)$

В$(-\infty; 4]$

Г$(-\infty; 4\mathord{,}5]$

Д$[4\mathord{,}5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, застосовувати загальні методи та прийоми (застосування властивостей функцій) у процесі розв'язування нерівності.

Винесемо спільний множник $2^x$ за дужки:

\begin{gather*} 2^x(1+2^3)\ge 144,\\[7pt] 2^x(1+8)\ge 144,\\[7pt] 2^x\cdot 9\ge 144,\\[7pt] 2^x\ge 144:9,\\[7pt] 2^x\ge 16,\\[7pt] 2^x\ge 2^4. \end{gather*}

Функція $y=2^x$ зростаюча, тому $x\ge 4$, $x\in [4; +\infty).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14613

Завдання 68 з 173

У майстерні мали виготовити $240$ стільців за $n$ днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на $2$ дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на $4$ стільці. Визначте $n.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

Нехай щодня планували виробляти $\frac{240}{n}$ стільців. Оскільки завдання виконали на $2$ дні раніше запланованого терміну, то щодня виробляли $\frac{240}{n-2}$ стільців. Денна норма збільшилась на $4$ стільця, тому складемо рівняння

\begin{gather*} \frac{240}{n-2}-\frac{240}{n}=4,\ \ \ \left\{\begin{array}{l} n\ne 2,\\ n\ne 0, \end{array}\right.\\[6pt] \frac{240(n-n+2)}{n(n-2)}=4,\ \ \ \frac{240\cdot 2}{n(n-2)}=4,\\[6pt] \frac{120}{n^2-2n}=1,\\[6pt] n^2-2n=120,\\[7pt] n^2-2n-120=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $n=-10$ або $n=12.$

Оскільки $n$ – кількість днів, то визначається натуральним числом, то правильна відповідь: $12$ днів.

Відповідь: $12.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14623

Завдання 69 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $2x-3=4?$

А$(-\infty; -2)$

Б$[-2; 0)$

В$[0; 2)$

Г$[2; 4)$

Д$[4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} 2x-3=4,\\[7pt] 2x=4+3,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x=7:2,\\[7pt] x=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Значення $x$ належить проміжку $[2; 4).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15239

Завдання 70 з 173

Укажіть число, що є коренем рівняння $-\log_2x=3.$

А$-9$

Б$-8$

В$-6$

Г$\frac 18$

Д$\frac 19$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять логарифмічні вирази, знання властивостей логарифма.

\begin{gather*} -\log_2x=3,\\[7pt] \log_2x=-3. \end{gather*}

Застосуємо означення логарифма

\begin{gather*} x=2^{-3},\\[6pt] x=\frac{1}{2^3},\\[6pt] x=\frac 18. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15241

Завдання 71 з 173

Ha клумбі висадили рядами $125$ кущів троянд з однаковою кількістю кущів у кожному ряду. Виявилось, що кількість рядів на $20$ менша за кількість кущів у кожному ряду.

1. Скільки висадили кущів троянд у кожному ряду?

2. Узимку в першому ряду зазнали ушкоджень $16\ \text{%}$ кущів троянд. Скільки кущів троянд у першому ряду перезимували неушкодженими?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	25			21

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсоки. Текстові задачі. Квадратні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

1. Нехай у кожному ряду висадили $x$ кущів, тоді кількість рядів буде $(x-20).$ Усього висадили $125$ кущів троянд. Складемо рівняння:

\begin{gather*} x(x-20)=125,\\[7pt] x^2-20x-125=0,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1=25,\\ x_2=-5\ \ \text{не задовільняє умові задачі.} \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, в кожному ряду $25$ кущів.

2. Усього кущів у першому рядку $25.$ Ушкоджених кущів виявилось $16\text{%}$, отже, неушкоджених кущів $84\text{%}$ від кількості кущів у першому рядку.

$$ 25\cdot \frac{84}{100}=21. $$

Відповідь: 1. $25.$
2. $21.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15259

Завдання 72 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2|x|=2$?

А$x=4$

Б$x=2$

В$x=0$

Г$x=-1$

Д$x=-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

\begin{gather*} 2|x|=2,\\[7pt] |x|=1,\\[7pt] x=\pm 1. \end{gather*}

Отже, за наведених чисел коренем рівняння є $x=-1.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16602

Завдання 73 з 173

Розв’яжіть рівняння $3^{7x}=9.$ Отриманий корінь рівняння округліть до десятих.

А$0\mathord{,}2$

Б$0\mathord{,}29$

В$0\mathord{,}3$

Г$0\mathord{,}4$

Д$3\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

$3^{7x}=9,$ $3^{7x}=3^2$, $7x=2.$

$x=2:7$, $x=0\mathord{,}28\text{...}$, $x\approx 0\mathord{,}3$ якщо округлити до десятих.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16605

Завдання 74 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\frac{3x-2}{x+1}=7.$

А$(-\infty; -2)$

Б$(-2; 0]$

В$(0; 2]$

Г$(2; 4]$

Д$(4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння.

\begin{gather*} \frac{3x-2}{x+1}=7,\\[6pt] \frac{3x-2}{x+1}-7=0 \end{gather*}

зводимо до спільного знаменника:

\begin{gather*} \frac{3x-2-7(x+1)}{x+1}=0,\\[6pt] \frac{3x-2-7x-7}{x+1}=0,\\[6pt] \frac{-4x-9}{x+1}=0,\\[6pt] \left\{\begin{array}{l} -4x-9=0,\\ x+1\ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=-2\mathord{,}25,\\ x\ne -1. \end{array}\right. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=-2\mathord{,}25$ належить проміжку $(-\infty; -2).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16613

Завдання 75 з 173

Розв'яжіть рівняння $(x+1)(2x-3)=0.$

А$-3; 1$

Б$-1\mathord{,}5; 1$

В$-1; \frac 23$

Г$-1; 3$

Д$-1; 1\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з однією змінною, використовувати методи розв'язування раціональних рівнянь.

Якщо рівняння має вигляд добутку множників, що дорівнює нулю, то принаймні один з множників повинен дорівнювати нулю.

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x+1=0,\\ 2x-3=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ 2x=3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ x=1\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17063

Завдання 76 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $2^{x+3}-3\cdot 2^x=10\sqrt{2}$?

А$(-\infty; 0)$

Б$[0; 0\mathord{,}5)$

В$[0\mathord{,}5; 1)$

Г$[1; 2)$

Д$[2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 2^{x+3}-3\cdot 2^x=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x(2^3-3)=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x\cdot 5=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=2\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=\sqrt{8}\\[7pt] 2^x=2^{\frac 32}\\[7pt] 2^x=2^{1\mathord{,}5}\\[7pt] x=1\mathord{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $[1; 2).$ Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17080

Завдання 77 з 173

Маршрутний автобус, рухаючись зі сталою швидкістю, подолав відстань від міста $A$ до міста $B$ за $5$ год, а на зворотний шлях витратив на $30$ хв менше. Визначте швидкість (у км/год) автобуса на маршруті від $A$ до $B$, якщо вона на $8$ км/год менша за швидкість на маршруті від $B$ до $A.$ Уважайте, що довжини маршрутів від $A$ до $B$ та від $B$ до $A$, якими рухався маршрутний автобус, рівні.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, розв'язувати рівняння першого степеня.

Нехай $x$ км/год – швидкість автобуса від $A$ до $B.$ Тоді:

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
Від $A$ до $B$	$x$	$5$	$5x$
Від $B$ до $A$	$x+8$	$4\mathord{,}5$	$4\mathord{,}5(x+8)$

Оскільки відстань від $A$ до $B$ така сама як і від $B$ до $A$, то складемо рівняння: \begin{gather*} 5x=4\mathord{,}5(x+8),\\[7pt] 5x=4\mathord{,}5x+36,\\[7pt] 0\mathord{,}5x=36,\\[7pt] x=72. \end{gather*}

Відповідь: $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17088

Завдання 78 з 173

Розв'яжіть рівняння $\cos(3x)=\frac 12.$

А$\pm\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac 23\mathbf{\pi}k,\ k \in Z$

Б$(-1)^k\mathbf{\pi}+3\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

В$\pm\mathbf{\pi}+6\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

Г$(-1)^k\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac 13\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

Д$\pm\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac 13\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування тригонометричних рівнянь.

Рівняння $\cos x=a$ при $|a|\lt 1$ має розв'язок $x\pm \mathrm{arccos}\ a+2\mathbf{\pi}n$, $n\in Z.$

\begin{gather*} \cos(3x)=\frac 12,\ \ 3x=\pm \mathrm{arccos}\ \frac 12+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.\\[6pt] 3x=\pm\frac{\mathbf{\pi}}{3}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac{2\mathbf{\pi}n}{3},\ \ n\in Z. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17661

Завдання 79 з 173

Шлях від пристані $A$ до пристані $B$ теплохід, що рухається за течією річки, долає за
$2$ години. На зворотний шлях він витрачає на $15$ хвилин більше. Швидкість течії річки дорівнює $2$ км/год, власна швидкість теплохода є сталою.

Визначте власну швидкість теплохода (у км/год).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

$2$ год $15$ хв $=2\frac 14$ год.

Нехай власна швидкість телохода $x$ км/год, тоді швидкість за течією $(x+2)$ км/год, проти течії – $(x-2)$ км/год. Оскільки відстань, яку пройшов теплохід за течією та проти течії, однакова, то складемо рівняння

\begin{gather*} 2(x+2)=2\frac 14(x-2);\ \ 2x+4=2\frac 14x-4\mathord{,}5;\\[6pt] 2\frac 14x-2x=4+4\mathord{,}5;\ \ \frac 14x=8\mathord{,}5;\\[6pt] x=8\mathord{,}5\cdot 4;\ \ x=34. \end{gather*}

Отже, власна швидкість теплохода $34$ км/год.

Відповідь: $34.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17669

Завдання 80 з 173

Розв'яжіть рівняння $x^2-8x+15=0.$

А$3; 5$

Б$-3; -5$

В$-3; 5$

Г$3; -5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} x^2-8x+15=0,\\[6pt] D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4,\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2\cdot 1}=5,\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2\cdot 1}=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18978

Завдання 81 з 173

Велосипедист витратив $2$ години на дорогу з міста $A$ до міста $B.$ Мотоцикліст виїхав з міста $A$ на півтори години пізніше за велосипедиста, але прибув у місто $B$ одночасно з велосипедистом. Визначте відстань (у км) між містами $A$ та $B$, якщо швидкість мотоцикліста на $48$ км/год більша за швидкість велосипедиста. Уважайте, що велосипедист та мотоцикліст рухалися з міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою зі сталими швидкостями та без зупинок.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на рух.

Нехай швидкість велосипедиста $x$ км/год, тоді мотоцикліста $(x+48)$ км/год.

На дорогу з міста $A$ до міста $B$ велосипедист витратив $2$ години. Отже, відстань з $A$ до $B$ становить $2x$ км.

Мотоцикліст виїхав на $1\mathord{,}5$ год пізніше, але прибув одночасно з велосипедистом. Отже, $0\mathord{,}5(x+48)$ км становить відстань від $A$ до $B.$

$2x=0\mathord{,}5(x+48)$, $2x=0\mathord{,}5x+24$, $1\mathord{,}5x=24$, $x=16.$

Відстань між містами $A$ та $B$ $2\cdot 16=32$ км.

Відповідь: $32.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 19000

Завдання 82 з 173

Розв'яжіть рівняння $|5-4x|=3.$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля

$$ \left[\begin{array}{l} 5-4x=3,\\ 5-4x=-3, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} -4x=3-5,\\ -4x=-3-5, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} -4x=-2,\\ -4x=-8, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} x=0\mathord{,}5,\\ x=2. \end{array}\right. $$

У відповідь запишемо суму розв'язків: $0\mathord{,}5+2=2\mathord{,}5.$

Відповідь: $2\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 19002

Завдання 83 з 173

Розв’яжіть рівняння $4+\log_{\frac 12}x=0.$

А$\frac{1}{16}$

Б$-\frac{1}{16}$

В$2$

Г$\frac 18$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічн рівняння.

\begin{gather*} 4+\log_{\frac 12}x=0,\\[6pt] \log_{\frac 12}x=-4. \end{gather*} За означенням логарифма $$ x=\left(\frac 12\right)^{-4}=2^4=16. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19499

Завдання 84 з 173

Якщо $2\cos\mathbf{\alpha}-5\sin\mathbf{\alpha}=0$, то $\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=$

А$\frac 25$

Б$-\frac 25$

В$-3$

Г$-\frac 52$

Д$\frac 52$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} 2\cos\mathbf{\alpha}-5\sin\mathbf{\alpha}=0,\ \ 2\cos\mathbf{\alpha}=5\sin\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

За властивістю пропорції $$ \frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac 25,\ \ \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}. $$ Отже, $\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac 25.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19500

Завдання 85 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac{5x+8}{3}=1$?

А$1$

Б$0$

В$3$

Г$-2$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $3.$

$5x+8=3$, $5x=-5$, $x=-1.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19948

Завдання 86 з 173

Розв'яжіть рівняння $x^2-4x+3=0.$

А$-4; 3$

Б$1; 3$

В$-3; -1$

Г$-2; 3$

Д$-1; 4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\begin{gather*} x^2-4x+3=0,\\[7pt] D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\\[7pt] x_1=\frac{4+2}{2}=3;\ \ x_2=\frac{4-2}{2}=1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19951

Завдання 87 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_{64}x=\frac 12.$

А$(-\infty; 0]$

Б$(0; 1]$

В$(1; 6]$

Г$(6; 32)$

Д$[32; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати дійсні числа.

За означенням логарифма $$ x=64^{\frac 12}=\sqrt{64}=8 $$ $6\lt 8\lt 32$ – проміжок, якому належить корінь.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19960

Завдання 88 з 173

Човен проплив $18$ км проти течії річки, витративши вдвічі менше часу, ніж на подолання $48$ км за течією. Власна швидкість човна є сталою. Визначте власну швидкість човна (у км/год), якщо швидкість течії дорівнює $2\mathord{,}5$ км/год.

Впишіть відповідь:

17.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

Нехай власна швидкість човна $x$ км/год.

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
За течією	$$x+2\mathord{,}5$$	$$\frac{48}{x+2\mathord{,}5}$$	$$48$$
Проти течії	$$x-2\mathord{,}5$$	$$\frac{18}{x-2\mathord{,}5}$$	$$18$$

Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на $12.$ \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $17\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19972

Завдання 89 з 173

Укажіть число, що є коренем рівняння $\frac{8}{x}=\frac 25.$

А$20$

Б$\frac{16}{5}$

В$10$

Г$80$

Д$\frac{1}{20}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє відношення та пропорції. Перевіряє знання основної властивості пропорції.

Розв'яжемо рівняння, використавши основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac 8x=\frac 25,\\[6pt] 2\cdot x=8\cdot 5,\\[6pt] x=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21210

Завдання 90 з 173

Розв'яжіть рівняння $x^2=25x.$

А$-5; 5$

Б$0; 25$

В$25$

Г$-5; 0; 5$

Д$-25; 0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо рівняння:

\begin{gather*} x^2=25x,\\[7pt] x^2-25x=0,\\[7pt] x(x-25)=0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=0,\\ x_2=25. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21213

Завдання 91 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_{\frac 13}(x+1)=-2.$

А$(-11; -2]$

Б$(-2; 1]$

В$(1; 4]$

Г$(4; 7]$

Д$(7; 9]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння, знання числових проміжків.

За означенням логарифма \begin{gather*} \log_ab=c,\ \ b=a^c,\\[6pt] \log_{\frac 13}(x+1)=-2,\ \ x+1=\left(\frac 13\right)^{-2},\\[6pt] x+1=3^2,\ \ x+1=9,\ \ x=8.\\[7pt] 7\lt 8\le 9. \end{gather*} Отже, $x\in (7; 9].$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21223

Завдання 92 з 173

У кінотеатрі квиток на вечірній сеанс на $15$ грн дорожчий за квиток на ранковий сеанс. Вартість чотирьох квитків на ранковий сеанс на $220$ грн менша за вартість шістьох квитків на вечірній сеанс. Скільки гривень коштує один квиток на ранковий сеанс? Уважайте, що на кожному із сеансів квитки на всі місця коштують однаково.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, застосовувати системи рівнянь до розв’язування текстових задач.

Нехай $x$ грн – вартість квитка на ранковий сеанс, тоді $(x+15)$ грн – на вечірній.

$4$ квитки на ранковий сеанс коштують $4x$ грн, а $6$ квитків на вечірній – $6(x+15)$ грн.

За умовою, \begin{gather*} 6(x+15)-4x=220,\\[7pt] 6x+90-4x=220,\\[7pt] 2x=220-90,\\[7pt] 2x=130,\\[7pt] x=65. \end{gather*} $65$ грн коштує квиток на ранковий сеанс.

Відповідь: $65.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21234

Завдання 93 з 173

Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{10}=2,5.$

А0,25

Б4

В12,5

Г25

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

\begin{gather*} \frac{x}{10}=2,5;\\[6pt] x=2,5\cdot 10=25. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22903

Завдання 94 з 173

Тривалість зеленого сигналу світлофора на 15 с довша за тривалість червоного сигналу й у дванадцять разів довша за тривалість жовтого сигналу. Яка тривалість (у с) червоного сигналу, якщо тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного й жовтого сигналів як 3 до 2?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x\ \text{с}$ – тривалість жовтого сигналу, систематизуємо дані:
Зелений - $12x\ \text{с}$
Червоний - $(12x-15)\ \text{с}$
Жовтий - $x\ \text{с}$.

Тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного та жовтого сигналів як 3 до 2.

Отже, \begin{gather*} \frac{12x}{12x-15+x}=\frac 32,\ \ \frac{12x}{13x-15}=\frac 32,\\[6pt] 3(13x-15)=2\cdot 12x,\ \ 39x-45=24x,\\[7pt] 15x=45,\ \ x=3. \end{gather*} Тривалість червоного сигналу: $$ 12x-15=12\cdot 3-15=36-15=21\ \text{с}. $$

Відповідь: 21.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22925

Завдання 95 з 173

Розв’яжіть рівняння $x+4|x|=3$. Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

-0.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, використовуючи означення та властивості модуля.

Якщо $x\geq 0$, то $|x|=x$. Отже, $x+4x=3,\ 5x=3,\ x=0,6$.

Якщо $x\lt 0$, то $|x|=-x$. Отже, $x-4x=3,\ -3x=3,\ x=-1$.

У відповідь запишемо їхню суму $0,6+(-1)=-0,4$.

Відповідь: –0,4.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22927

Завдання 96 з 173

Укажіть корінь рівняння $1-5x=0$.

А$5$

Б$-\frac 15$

В$\frac 15$

Г$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеню.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 1-5x=0\\[7pt] -5x=-1\\[6pt] x=\frac{-1}{-5}\\[6pt] x=\frac 15 \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23661

Завдання 97 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{x+12}=3$.

А$[-12; -6)$

Б$[-6; 0)$

В$[0; 6)$

Г$[6; 12)$

Д$[12; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Розв'яжемо ірраціональне рівняння: $$ \sqrt{x+12}=3 $$ піднесемо обидві частини рівняння до квадрату.

\begin{gather*} x+12=9\\[7pt] x=9-12\\[7pt] x=-3\\[7pt] x=-3\ \in [-6;\ 0) \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23669

Завдання 98 з 173

Розв'яжіть рівняння $x^4-x^2-20=0$. У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

Впишіть відповідь:

-5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння $x^4-x^2-20=0$ – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

\begin{gather*} x^2=t\geq 0\\[7pt] t^2-t-20=0\\[7pt] D=1-4\cdot (-20)=81\\[7pt] t_1=\frac{1+9}{2}=5\\[7pt] t_2=\frac{1-9}{2}=-4\ \text{не задовольняє умові}\ t\geq 0. \end{gather*}

Повернемось до заміни:

\begin{gather*} x^2=5\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x_1=\sqrt{5} & \\ x_2=-\sqrt{5}& \end{array}\right. \end{gather*}

Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$

Відповідь: –5.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23687

Завдання 99 з 173

Обчисліть суму коренів рівняння $x^2+3x-4=0$.

А-4

Б-3

В3

Г4

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння другого степеня, знання теореми Вієта.

І спосіб: заходимо корні рівняння

\begin{gather*} D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot(-4) = 9+16=25\\[6pt] x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1\\[6pt] x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\[6pt] x_1+x_2=1+(-4)=-3. \end{gather*}

ІІ спосіб: за теоремою Вієта: $$ x_1+x_2=-b=-3 $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24685

Завдання 100 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $\frac{x}{9-x}=\frac 12$?

А$(-\infty; -5]$

Б$(-5; -2]$

В$(-2; 2]$

Г$(2; 5]$

Д$(5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння $$ \frac{x}{9-x}=\frac 12;\ \ x\ne 9 $$

Використаємо властивість пропорції

\begin{gather*} 2x=1\cdot(9-x)\\[7pt] 2x=9-x\\[7pt] 2x+x=9\\[7pt] 3x=9\\[7pt] x=3 \end{gather*}

належить проміжку $(2;\ 5]$.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24692

Завдання 101 з 173

Протягом 40 хвилин уроку учні виступили з трьома доповідями однакової тривалості й показали дві презентації. Показ кожної презентації тривав на 10 хвилин більше, ніж доповідь. Визначте тривалість однієї доповіді (у хв). Тривалістю пауз між доповідями й презентаціями знехтуйте.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь.

Нехай доповідь триває $x$ хвилин, тоді презентація – $(x+10)$ хвилин.
$3$ доповіді тривали $3x$ хвилин,
$2$ презентації – $2(x+10)$ хвилин.
Доповіді й презентації тривали $40$ хвилин. Отже, складемо рівняння:

\begin{gather*} 3x+2(x+10)=40,\\[7pt] 3x+2x+20=40,\\[7pt] 5x=20,\\[7pt] x=4. \end{gather*} Доповідь тривала $4$ хвилини.

Відповідь: 4.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24707

Завдання 102 з 173

Розв’яжіть рівняння $2x-3=4.$

А$0{,}5$

Б$3{,}5$

В$\frac 27$

Г$5$

Д$-0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 2x-3=4\\[7pt] 2x=4+3\\[7pt] 2x=7\\[7pt] x=3,5 \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 25997

Завдання 103 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $$\left(\frac 13\right)^{2x-1}=9.$$

А$(-\infty;-1]$

Б$(-1;0]$

В$(0;1]$

Г$(1;2]$

Д$(2;+\infty]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Розв'яжемо показникове рівняння: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}\\[6pt] 2x-1=-2,\ \ 2x=-2+1,\\[6pt] 2x=-1,\ \ x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=-0,5$ належить проміжку $(-1;\ 0].$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26004

Завдання 104 з 173

Обчисліть добуток коренів рівняння $x^2+6x-55=0.$

А$-55$

Б$55$

В$-6$

Г$6$

Д$-49$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, знання теореми Вієта.

Добуток коренів рівняння за теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} x^2+px+q=0\\[7pt] x_1\cdot x_2=q\\[7pt] x_1\cdot x_2=-55. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26117

Завдання 105 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac x2 + \frac x3=2?$

А0,4

Б1,2

В2,4

Г5

Д12

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

$$ \frac x2 +\frac x3= 2, $$ зведемо до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac{3x+2x}{6}=2,\\[6pt] \frac{5x}{6}=2,\\[6pt] 5x=12,\\[6pt] x=2,4. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26189

Завдання 106 з 173

Укажіть кількість коренів рівняння $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ на відрізку $[0;\ 3\mathbf{\pi}].$

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ найпростіше тригонометричне рівняння. Корені знаходимо за формулою:

\begin{gather*} x=(-1)^k\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathbf{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}.\\[6pt] x=(-1)^k\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}. \end{gather*}

На відрізку $x\in [0;\ 3\mathbf{\pi}]$ знаходимо корені:

\begin{gather*} k=0\ \ x=(-1)^0\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}\cdot 0 =\frac{\mathbf{\pi}}{3},\\[6pt] k=1\ \ x=(-1)^1\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}\cdot 1 =-\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}=\frac{2\mathbf{\pi}}{3},\\[6pt] k=2\ \ x=(-1)^2\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}\cdot 2 =\frac{\mathbf{\pi}}{3}+2\mathbf{\pi}=2\frac 13\mathbf{\pi},\\[6pt] k=3\ \ x=(-1)^3\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}\cdot 3 =-\frac{\mathbf{\pi}}{3}+3\mathbf{\pi}=2\frac 23\mathbf{\pi},\\[6pt] k=4\ \ x=(-1)^4\frac{\mathbf{\pi}}{3}+\mathbf{\pi}\cdot 4 =4\frac 13\mathbf{\pi}\ -\ \text{не належить відрізку}\ [0;\ 3\mathbf{\pi}]. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26198

Завдання 107 з 173

Укажіть корінь рівняння $\sin 4x=-1.$

А$\frac{3\mathbf{\pi}}{8}$

Б$\frac{\mathbf{\pi}}{8}$

В$\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Г$-\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Д$-\frac{\mathbf{\pi}}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

Розв'яжемо тригонометричне рівняння:

\begin{gather*} \sin 4x=-1,\\[6pt] 4x=-\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\ \ |\ :4\\[6pt] x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8}+\frac{\mathbf{\pi}n}{2},\ n\in \mathbb{Z}\\[6pt] \text{при}\ n=0\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8};\\[6pt] \text{при}\ n=1\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8}+\frac{\mathbf{\pi}}{2}=\frac{-\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}}{8}=\frac{3\mathbf{\pi}}{8} - \text{корінь рівняння}. \end{gather*}

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26813

Завдання 108 з 173

Розв’яжіть рівняння $0,01x=-1.$

А-1000

Б-100

В-10

Г-1

Д100

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжемо лінійне рівняння $0,01x=-1,$ \begin{gather*} x=-1:0,01;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26825

Завдання 109 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $$ \frac{x}{18-2x}=\frac 14. $$

А$(-\infty; -3)$

Б$[-3; 0)$

В$[0; 4)$

Г$[4; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння застосувавши основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14,\ \ x\cdot 4=18-2x,\ \ 4x+2x=18,\\[6pt] 6x=18,\ \ x=18:6,\ \ x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $[0;\ 4).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26828

Завдання 110 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_{\frac 13}(x+1)=-2.$

А$(-11; -2]$

Б$(-2; 1]$

В$(1; 4]$

Г$(4; 7]$

Д$(7; 9]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

$\log_{\frac 13}(x+1)=-2.$ За означенням логарифма \begin{gather*} x+1=\left(\frac 13\right)^{-2},\ \ x+1=3^2,\\[6pt] x+1=9,\ \ x=8 \in (7; 9]. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27697

Завдання 111 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $|3x+2|=2?$

А$\frac 43$

Б$-\frac 43$

В$\frac 32$

Г$-\frac 23$

Д$-\frac 13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня, використовуючи означення та властивості модуля.

\begin{gather*} |3x+2|=2\\[7pt] 3x+2=2\\[7pt] 3x=0\\[7pt] x=0\\[7pt] \text{або}\\[7pt] 3x+2=-2\\[7pt] 3x=-4\\[6pt] x=-\frac 43. \end{gather*}

З наведених чисел $-\frac 43$ є коренем рівняння.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28358

Завдання 112 з 173

Укажіть корінь рівняння $\operatorname{tg}(3x)=-1.$

А$-\frac{\mathbf{\pi}}{12}$

Б$-\frac{\mathbf{\pi}}{3}$

В$\frac{\mathbf{\pi}}{12}$

Г$-\frac{\mathbf{4\pi}}{3}$

Д$-\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \operatorname{tg}(3x)=-1,\ \ 3x=\mathrm{arctg}(-1)+\mathbf{\pi}n,\ \ n\in \mathbb{Z},\\[6pt] 3x=-\frac{\mathbf{\pi}}{4}+\mathbf{\pi}n,\ \ n\in\mathbb{Z},\\[6pt] x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}+\frac{\mathbf{\pi}n}{3},\ \ n\in\mathbb{Z}. \end{gather*}

При $n=0\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}.$

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28367

Завдання 113 з 173

Розв’яжіть рівняння $3^{x^2}=81.$ Якщо рівняння має один корінь, то вкажіть проміжок, якому він належить. Якщо рівняння має кілька коренів, то вкажіть проміжок, якому належить найменший з них.

А$(-\infty;\ -10)$

Б$[-10;\ -3)$

В$[-3;\ -2)$

Г$[-2;\ 0)$

Д$[0;\ +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 3^{x^2}=3^4,\ \ x^2=4,\\[7pt] x=2\ \ \text{або}\ \ x=-2. \end{gather*}

Рівняння має два корені. Найменший з них $x=-2.$ Він належить проміжку $[-2; 0).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28389

Завдання 114 з 173

Розв'яжіть рівняння $$ \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. $$

А$-\frac 29$

Б$-1\frac{7}{19}$

В$-2\frac{4}{11}$

Г$-3\frac 23$

Д$-\frac{2}{19}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння, знання основної властивості пропорції.

$$ \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. $$

Застосуємо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd,\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c,\\[7pt] 2(2x-7)=3(5x+4),\\[7pt] 4x-14=15x+12,\\[7pt] 4x-15x=12+14,\\[7pt] -11x=26,\\[6pt] x=-\frac{26}{11},\\[6pt] x=-2\frac{4}{11}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34383

Завдання 115 з 173

Позначте проміжок, якому належить корінь рівняння $1-\log_{0,5}x=3.$

А$(-\infty; -3)$

Б$[-3; 0)$

В$[0; 3)$

Г$[3; 10)$

Д$[10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} 1-\log_{0\mathord{,}5}x=3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}x=-2,\\[7pt] x=0\mathord{,}5^{-2},\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2}=2^2=4,\\[6pt] 4\in [3; 10). \end{gather*}

Використали означення логарифма: $\log_ab=c$, $a^c=b$ та застосували формулу: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34386

Завдання 116 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2-|x|=0\mathord{,}1$?

А$2\mathord{,}1$

Б$-2\mathord{,}1$

В$-1\mathord{,}9$

Г$-0\mathord{,}05$

Д$20$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання означення модуля числа та його властивостей.

\begin{gather*} 2-|x|=0\mathord{,}1\\[7pt] |x|=2-0\mathord{,}1\\[7pt] |x|=1\mathord{,}9\\[7pt] x=1\mathord{,}9\ \ \text{або}\ \ x=-1\mathord{,}9. \end{gather*}

З наведених чисел – це $-1\mathord{,}9.$

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34397

Завдання 117 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\frac 13\right)^{x-7}=\sqrt{3}$?

А$(-7; -6]$

Б$(-6; -4]$

В$(-4; 4]$

Г$(4; 6]$

Д$(6; 7]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Зведемо до однакової основи ліву та праву частину показникового рівняння:

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{x-7}=\sqrt{3},\\[6pt] (3^{-1})^{x-7}=3^{\frac 12},\\[6pt] 3^{-x+7}=3^{0\mathord{,}5},\\[7pt] -x+7=0\mathord{,}5,\\[7pt] x=6\mathord{,}5\ \in (6; 7]. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34405

Завдання 118 з 173

Укажіть корінь рівняння $2\sin 2x=-1.$

А$-\frac{\mathbf{\pi}}{6}$

Б$-\frac{\mathbf{\pi}}{3}$

В$\frac{\mathbf{\pi}}{12}$

Г$\frac{7\mathbf{\pi}}{6}$

Д$-\frac{\mathbf{\pi}}{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Щоб визначити корінь рівняння, треба підставити значення $x$ у рівняння. Після цього з'ясувати, за якого значення $x$ рівняння стає правильною рівністю.

Якщо $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)\right)=-1,\\[6pt] 2\cdot \sin \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)=-1,\\[6pt] 2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1,\\[6pt] \sqrt{3}\ne -1. \end{gather*}

Отже, $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}$ не є коренем рівняння.

Якщо $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)\right)=-1,\\[6pt] -2\cdot \sin \frac{\mathbf{2\pi}}{3}=-1,\\[6pt] \sin{2\mathbf{\pi}}{3}=\frac 12,\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac 12. \end{gather*}

Отже, $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}$ не є коренем рівняння.

Якщо $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\right)\right)=-1,\\[6pt] -2\cdot \sin \frac{\mathbf{\pi}}{6}=-1,\\[6pt] -2\cdot \frac 12=-1. \end{gather*}

Отже, $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}$ – корінь рівняння.

Другий спосіб:

\begin{gather*} \sin 2x=-\frac 12,\\[6pt] 2x=(-1)^k\mathrm{arcsin}\ \left(-\frac 12\right)+\mathbf{\pi}k,\ \ k\in Z,\\[6pt] 2x=(-1)^{k+1}\frac{\mathbf{\pi}}{6}+\mathbf{\pi}k,\ k\in Z,\\[6pt] x=(-1)^{k+1}\frac{\mathbf{\pi}}{12}+\frac{\mathbf{\pi}k}{2},\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0\mathord{:}$

$$ x=(-1)^{0+1}\frac{\mathbf{\pi}}{12}+\frac{\mathbf{\pi}\cdot 0}{2}=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}. $$

Це – корінь рівняння.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35312

Завдання 119 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_5x+1=\log_512.$

А$[0; 2)$

Б$[2; 4)$

В$[4; 6)$

Г$[6; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_5x+1=\log_5 12,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-1,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-\log_5 5,\\[6pt] \log_5x=\log_5\left(\frac{12}{5}\right). \end{gather*}

Застосуймо властивості алгоритмів:

\begin{gather*} \log_a=1,\\[6pt] \log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right). \end{gather*}

Зведімо обидві сторони рівняння до логарифмів з однаковою основою:

\begin{gather*} x=\frac{12}{5},\\[6pt] x=2\frac 25\in [2; 4). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35331

Завдання 120 з 173

Яке з наведених рівнянь має два різні дійсні корені?

А$x^2+2x+1=0$

Б$x^2+2x+3=0$

В$x^2+2x=0$

Г$x^2+4=0$

Д$-x^2-2x-1=0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2+2x+1=0,\\[7pt] (x+1)^2=0,\\[7pt] x=-1 \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

\begin{gather*} x^2+2x+3=0,\\[7pt] x^2+2x+1+2=0,\\[7pt] x^2+2x+1=-2,\\[7pt] (x+1)^2=-2,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} x^2+2x=0,\\[7pt] x(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=-2 \end{gather*}

Рівняння має два різні дійсні корені.

\begin{gather*} x^2+4=0,\\[7pt] x^2=-4,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} -x^2-2x-1=0,\\[7pt] x^2+2x+1=0,\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35368

Завдання 121 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $1-\log_{0\mathord{,}5}x=3.$

А$(-\infty; 0)$

Б$[0; 1)$

В$[1; 3)$

Г$[3; 10)$

Д$[10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} 1-\log_{0\mathord{,}5}x=3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}x=1-3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}=-2. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=0\mathord{,}5^{-2},\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2},\\[6pt] x=2^2,\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Корінь рівняння $4\in [3; 10).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35377

Завдання 122 з 173

Укажіть корінь рівняння $\sin \frac x2=1.$

А$-\mathbf{\pi}$

Б$-\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

В$-3\mathbf{\pi}$

Г$\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Д$3\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac{x}{2}=1,\\[6pt] \frac x2=\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ n\in Z,\\[6pt] x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}n,\ n\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння:

якщо $n=0$, $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо $n=-1$,

$$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot (-1)=\mathbf{\pi}-4\mathbf{\pi}=-3\mathbf{\pi}. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35378

Завдання 123 з 173

Визначте корінь рівняння $\log_3x=2.$

А$\sqrt{3}$

Б$5$

В$6$

Г$8$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_3x=2. \end{gather*} За означенням логарифма: \begin{gather*} x=3^2,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35426

Завдання 124 з 173

Скільки всього коренів рівняння $\cos x=0$ належать проміжку $[0; 2\pi]$?

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше за три

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння $\cos x=0$ має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $k$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; 2\pi].$

Якщо $k=0$, то $x=\frac{\pi}{2},$ тобто належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=1$, то $x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},$ тобто належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=2$, то $x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=-1$, то $x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; 2\pi].$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35434

Завдання 125 з 173

Розв’яжіть рівняння $\sqrt{x-2}=4.$

А$10$

Б$18$

В$4$

Г$14$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} \sqrt{x-2}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрату:

\begin{gather*} (\sqrt{x-2})^2=4^2,\\[7pt] x-2=16,\\[7pt] x=16+2,\\[7pt] x=18. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35780

Завдання 126 з 173

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\left(\frac 38\right)^x=\frac 83.$

А$(-6; -4)$

Б$(-4; -2)$

В$(-2; 0)$

Г$(0; 2)$

Д$(2; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \frac 83=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] \left(\frac 38\right)^x=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $(-2; 0).$

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35794

Завдання 127 з 173

Укажіть корінь рівняння $\log_6x=2.$

А$3$

Б$\frac 13$

В$12$

Г$64$

Д$36$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c,\\[7pt] b=a^c. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \log_6 x=2,\\[7pt] x=6^2,\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35798

Завдання 128 з 173

Позначте корінь рівняння $\sin \frac x2 = -1.$

А$\pi$

Б$\frac{3\pi}{4}$

В$3\pi$

Г$\frac{\pi}{4}$

Д$2\pi$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac x2=-1;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in Z;\\[6pt] x=-\pi+4\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння: якщо $k=1$, $x=-\pi+4\pi=3\pi.$

Серед запропонованих варіантів відповіді є цей корінь.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36335

Завдання 129 з 173

Розв'яжіть рівняння $\log_4(7-3x)=\frac 12.$

А$-\frac 35$

Б$\frac 53$

В$-3$

Г$-\frac 13$

Д$\frac 35$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \log_4 (7-3x)=\frac 12;\\[6pt] 7-3x=4^{\frac 12}. \end{gather*}

Оскільки $4^{\frac 12}=\sqrt{4}=2$, маємо:

\begin{gather*} 7-3x=2;\\[7pt] -3x=2-7;\\[7pt] -3x=-5;\\[7pt] x=\frac 53. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36358

Завдання 130 з 173

Розв'яжіть рівняння $35-x^2-x(x+9)=0.$ Якому проміжку належить більший корінь цього рівняння?

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; 0]$

В$(0; 3]$

Г$(3; 7]$

Д$(7; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 35-x^2-x(x+9)=0;\\[7pt] 35-x^2-x^2-9x=0;\\[7pt] -2x^2-9x+35=0;\\[7pt] D=(-9)^2-4\cdot (-2)\cdot 35=81+280=361;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{361}=19;\\[6pt] x_1=\frac{9+19}{2\cdot (-2)}=\frac{28}{-4}=-7;\\[6pt] x_2=\frac{9-19}{2\cdot (-2)}=\frac{-10}{-4}=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Більший корінь $2{,}5$ належить проміжку $(0; 3].$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36392

Завдання 131 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\frac 12\right)^{x+3}=\sqrt[3]{4}$?

А$(-15; -10)$

Б$(-10; -5)$

В$(-5; 0)$

Г$(0; 5)$

Д$(5; 10)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо $\left(\frac 12\right)^{x+3}$ на $(2^{-1})^{x+3}$, скориставшись формулою $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

За властивістю степеня:

\begin{gather*} \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn};\\[6pt] \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac 23};\\[6pt] (2^{-1})^{x+3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

У лівій частині за властивістю степенів $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

\begin{gather*} 2^{-x-3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $2$), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо $-3$ праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на $-1{:}$ \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 761. Завдання: 36548

Завдання 132 з 173

Розв’яжіть рівняння $|4x-1|=5.$ Якщо рівняння має кілька коренів, обчисліть їхню суму.

А$-1$

Б$1{,}5$

В$0{,}5$

Г$1$

Д$-1{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Оскільки у лівій частині рівняння \begin{gather*} |4x-1|=5 \end{gather*} є модуль, а в правій – додатне число, розкриймо модуль за схемою: рівняння вигляду $|f(x)|=a$, де $a\gt 0$, рівносильне сукупності двох рівнянь $f(x)=a$ або $f(x)=-a.$

Отже, рівняння $|4x-1|=5$ рівносильне сукупності рівнянь: \begin{gather*} 4x-1=5\ \text{або}\ 4x-1=-5. \end{gather*}

Розв’яжімо перше рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=5. \end{gather*}

Перенесімо $-1$ праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=5+1;\\[7pt] 4x=6. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} x=\frac 64;\\[6pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Розв’яжімо друге рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=-5. \end{gather*}

Перенесімо $-1$ праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=-5+1;\\[7pt] 4x=-4. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} x=\frac{-4}{4};\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

На вимогу завдання у відповіді треба зазначити суму всіх визначених коренів. Оскільки маємо два корені рівняння, додамо їх:

\begin{gather*} 1{,}5+(-1)=1{,}5-1=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 761. Завдання: 36555

Завдання 133 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^x=\frac 18$?

А$(-6; -4]$

Б$(-4; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями, а саме:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Розв'яжімо показникове рівняння:

\begin{gather*} 2^x=\frac 18. \end{gather*}

Зведімо до однакової основи:

\begin{gather*} 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=-3$ належить проміжку $(-4; -2].$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36594

Завдання 134 з 173

Визначте корінь рівняння $\mathrm{tg}\ \pi x=1.$

А$\frac{\pi}{4}$

Б$0$

В$1$

Г$\frac{1}{4}$

Д$\frac{1}{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Загальний розв'язок:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \pi x=1;\\[7pt] \pi x=\mathrm{arctg}\ 1+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $\pi{:}$

\begin{gather*} x=\frac{1}{4}+k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0$, то $x=\frac 14.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36598

Завдання 135 з 173

Розв'яжіть рівняння $3\sqrt{x}=12.$

А$2$

Б$4$

В$-2; 2$

Г$16$

Д$8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 3\sqrt{x}=12;\\[6pt] \sqrt{x}=\frac{12}{3};\\[6pt] \sqrt{x}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата й обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=4^2;\\[7pt] x=16. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36906

Завдання 136 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^x=\dfrac 18$?

А$(-6; -4]$

Б$(-4; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \end{gather*}

Перетворімо дріб:

\begin{gather*} \frac 18=\frac{1}{2^3}=2^{-3}. \end{gather*}

Маємо рівняння:

\begin{gather*} 2^x=2^{-3}. \end{gather*}

Оскільки основи степенів однакові $(2)$, прирівнюємо показники:

\begin{gather*} x=-3 \end{gather*}

Корінь рівняння $-3$ належить проміжку $(-4; -2].$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37101

Завдання 137 з 173

Визначте корінь рівняння $2\sqrt{3}\cos x=3.$

А$-\frac{\pi}{6}$

Б$\frac{5\pi}{6}$

В$\frac{4\pi}{3}$

Г$-\frac{\pi}{3}$

Д$\frac{\pi}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sqrt{3}\cos x=3;\\[6pt] \cos x=\frac{3}{2\sqrt{3}}. \end{gather*}

Усуньмо ірраціональність у знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0$, $x=\pm \frac{\pi}{6}.$

Оскільки функція косинус парна, то

\begin{gather*} \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Отже, $-\frac{\pi}{6}$ – корінь рівняння.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37112

Завдання 138 з 173

Розв'яжіть рівняння $3^x=81\cdot 9^x.$

А$-2$

Б$-4$

В$3$

Г$-3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведемо все до однієї основи: $81=3^4$ та $9=3^2.$

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Тоді $(3^2)^x=3^{2\cdot x}.$

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $3$), можемо прирівняти iз показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37164

Завдання 139 з 173

Визначте корінь рівняння $4\sqrt{3}\sin x=6.$

А$-\frac{\pi}{6}$

Б$\frac{5\pi}{6}$

В$\frac{4\pi}{3}$

Г$-\frac{\pi}{3}$

Д$\frac{\pi}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{3}\sin x=6;\\[6pt] \sin x=\frac{6}{4\sqrt{3}}. \end{gather*}

Позбудимося ірраціональності в знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\\[6pt] \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=(-1)^n\mathrm{arcsin}\ \frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=(-1)^n\frac{\pi}{3}=\pi^2n,\ n\in Z;\\[6pt] n=0\Rightarrow x= (-1)^0\frac{\pi}{3}+\pi\cdot 0=\frac{\pi}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37173

Завдання 140 з 173

Розв'яжіть рівняння $3(4x-2)=0.$

А$2$

Б$-0{,}5$

В$\frac 16$

Г$\frac 14$

Д$0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння

\begin{gather*} 3(4x-2)=0. \end{gather*}

Розділимо обидві частини рівняння на $3{:}$

\begin{gather*} 4x-2=0;\\[7pt] 4x=2;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37356

Завдання 141 з 173

Скільки всього коренів рівняння $\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ належать проміжку $[0; \pi]$?

Ажодного

Бодин

Втри

Гдва

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння $\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\frac{\pi}6+\pi n,\ \text{де}\ n\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $n$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; \pi].$

Якщо $n=0$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо $n=1$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо $n=-1$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 739. Завдання: 37391

Завдання 142 з 173

Визначте корінь рівняння $\mathrm{tg}\ \dfrac x3=0.$

А$3\pi$

Б$-\frac{3\pi}{2}$

В$\frac{\pi}{3}$

Г$\frac{2\pi}{3}$

Д$\frac{3\pi}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\frac x3=0;\\[6pt] \frac x3=\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=3\pi n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо $n=0$, то $x=0.$

Якщо $n=1$, то $x=3\pi.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37469

Завдання 143 з 173

Скільки коренів рівняння $\cos x=0$ належить проміжку $[0; \pi]$?

Ажодного

Бодин

Втри

Гдва

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння $\cos x=0$ має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $k$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; \pi].$

Якщо $k=0$, то $x=\frac{\pi}{2},$ тобто належить проміжку $[0; \pi].$

Якщо $k=1$, то $x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; \pi].$

Якщо $k=-1$, то $x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; \pi].$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37578

Завдання 144 з 173

Скільки коренів рівняння $2\cos x=\sqrt{2}$ належить проміжку $[0; \pi]$?

Аодин

Бжодного

Втри

Гбільш як три

Ддва

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\cos x=\sqrt{2};\\[6pt] \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Рівняння $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\pm\mathrm{arccos}\ \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k, \ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $k$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; \pi].$

Якщо $k=0$, то

$x_1=-\dfrac{\pi}{4}.$ Число $-\dfrac{\pi}{4}$ не належить проміжку $[0; \pi].$

$x_2=\dfrac{\pi}{4}.$ Число $\dfrac{\pi}{4}$ належить проміжку $[0; \pi].$

Якщо $k=1$, то

$x_1=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}.$ Число $\dfrac{7\pi}{4}$ не належить проміжку $[0; \pi].$

$x_2=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}.$ Число $\dfrac{9\pi}{4}$ не належить проміжку $[0; \pi].$

Якщо $k=-1$, то

$x_1=-\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}.$ Число $-\dfrac{9\pi}{4}$ не належить проміжку $[0; \pi].$

$x_2=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}.$ Число $-\dfrac{7\pi}{4}$ не належить проміжку $[0; \pi].$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37690

Завдання 145 з 173

Розв'яжіть рівняння $0{,}02x=-2.$

А$100$

Б$20$

В$1$

Г$-20$

Д$-100$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 0{,}02x=-2.\\[7pt] x=-2:0{,}02;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37741

Завдання 146 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\log_{0{,}5} x=-2$?

А$(-\infty; -1]$

Б$(-1; 1]$

В$(1; 4]$

Г$(4; 8]$

Д$(8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} x=0{,}5^{-2};\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2};\\[6pt] x=2^2;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Корінь рівняння $4\in (1;4].$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37749

Завдання 147 з 173

Позначте корінь рівняння $-8x=-4.$

А$4$

Б$0{,}5$

В$-2$

Г$2$

Д$-0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

$-8x=-4$;

\begin{gather*} x=-4:(-8);\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37829

Завдання 148 з 173

Визначте корінь рівняння $\mathrm{tg}\ \dfrac x2=-1.$

А$-\dfrac{\pi}{8}$

Б$-\dfrac{\pi}{4}$

В$\dfrac{\pi}{2}$

Г$0$

Д$-\dfrac{\pi}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=-1.\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ (-1)+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z. \end{gather*}

Якщо $n=0$, то $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi\cdot 0=-\dfrac{\pi}{2}.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37841

Завдання 149 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\dfrac{x}{18-2x}=\dfrac 14$?

А$(-\infty; -3)$

Б$[-3; 0)$

В$[0; 4)$

Г$[4; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 4\cdot x=1\cdot (18-2x);\\[7pt] 4x=18-2x;\\[7pt] 4x+2x=18;\\[7pt] 6x=18;\\[7pt] x=18:6;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=3$ належить проміжку $[0; 4).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38056

Завдання 150 з 173

Розв'яжіть рівняння $x^2-12=4x-12.$

А$2-2\sqrt{7}; 2+2\sqrt{7}$

Б$-2; 6$

В$-6; 2$

Г$-4; 0$

Д$0; 4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2-12=4x-12;\\[7pt] x^2-12-4x+12=0;\\[7pt] x^2-4x=0;\\[7pt] x(x-4)=0;\\[7pt] x_1=0\ \text{або}\ x-4=0;\\[7pt] x_2=4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38143

Завдання 151 з 173

Який корінь рівняння $\sin \pi x=1$?

А$-\dfrac 12$

Б$-\dfrac{\pi}{2}$

В$1$

Г$\dfrac{\pi}{2}$

Д$\dfrac 12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \pi x=1;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=\frac 12 +2n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо $n=0$, то $x=\dfrac 12.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 748. Завдання: 38212

Завдання 152 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\dfrac 13\right)^{\textstyle 2x-1}=9$?

А$(-\infty; -2]$

Б$(-2; 0]$

В$(0; 1]$

Г$[1; 2)$

Д$[2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи:

\begin{gather*} 9=3^2=\left(\frac 13\right)^{-2};\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $\dfrac 13$), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} 2x-1=-2;\\[7pt] 2x=-2+1;\\[7pt] 2x=-1;\\[6pt] x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння $-\dfrac 12\in (-2; 0].$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38259

Завдання 153 з 173

Розв’яжіть рівняння $\dfrac{2x-7}{3}=\dfrac{5x+4}{2}.$

А$-\dfrac{11}{26}$

Б$-2\dfrac{4}{11}$

В$-1$

Г$\dfrac{2}{11}$

Д$2\dfrac{4}{11}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 2(2x-7)=3(5x+4);\\[7pt] 4x-14=15x+12;\\[7pt] 4x-15x=12+14;\\[7pt] -11x=26;\\[6pt] x=-\frac{26}{11}=-2\frac{4}{11}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38369

Завдання 154 з 173

Розв’яжіть рівняння $3^{x+1}=81.$

А$5$

Б$3$

В$2$

Г$-3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^{x+1}=81;\\[7pt] 3^{x+1}=3^4. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $3$), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} x+1=4;\\[7pt] x=4-1;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38392

Завдання 155 з 173

Якому проміжку належить менший корінь рівняння $x(2x+5)=2x+5$?

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; -1]$

В$(-1; 1]$

Г$(1; 3]$

Д$(3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} x(2x+5)=2x+5;\\[7pt] x(2x+5)-(2x+5)=0. \end{gather*}

Винесімо спільний множник $(2x+5)$ за дужки:

\begin{gather*} (2x+5)(x-1)=0. \end{gather*}

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один множник дорівнює нулю:

\begin{gather*} 2x+5=0\ \text{або}\ x-1=0;\\[7pt] 2x=-5;\\[7pt] x_1=-2{,}5;\\[7pt] x_2=1. \end{gather*}

Порівняймо корені: $-2{,}5\lt 1$, отже, менший корінь – це $x=-2{,}5.$

\begin{gather*} -2{,}5\in (-3; -1]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 806. Завдання: 38599

Завдання 156 з 173

Розв’яжіть рівняння $3-x=2\dfrac 13.$

А$-\dfrac 23$

Б$1\dfrac 13$

В$\dfrac 23$

Г$\dfrac 13$

Д$5\dfrac 13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3-x=2\frac 13;\\[6pt] x=3-2\frac 13. \end{gather*}

Запишімо ціле число $3$ у вигляді мішаного числа зі знаменником $3{:}$

\begin{gather*} 3=2\frac 33;\\[6pt] x=2\frac 33-2\frac 13;\\[6pt] x=\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 807. Завдання: 38648

Завдання 157 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\dfrac{4}{13}x=-3\dfrac{12}{13}$?

А$(-70; -55)$

Б$(-55; -10)$

В$(-10; -4)$

Г$(-4; 3)$

Д$(3; 11)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число в правій частині рівняння у неправильний дріб:

\begin{gather*} -3\frac{12}{13}=-\frac{3\cdot 13+12}{13}=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Запишімо рівняння:

\begin{gather*} \frac{4}{13}x=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на $13{:}$

\begin{gather*} 4x=-51;\\[6pt] x=-\frac{51}{4}=-12,75;\\[7pt] -12{,}75\in (-55; -10). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 808. Завдання: 38739

Завдання 158 з 173

Розв’яжіть рівняння $2(x^2-x)=x^2+3.$

А$-1; 3$

Б$\varnothing$

В$-2; 1$

Г$-3; 1$

Д$\frac{1-\sqrt{10}}{2}; \frac{1+\sqrt{10}}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 2(x^2-x)=x^2+3. \end{gather*}

Розкриймо дужки в лівій частині рівняння й перенесімо всі доданки в ліву частину, щоб отримати квадратне рівняння вигляду $ax^2+bx+c=0.$

\begin{gather*} 2x^2-2x-x^2-3=0;\\[7pt] x^2-2x-3=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: $a=1$, $b=-2$, $c=-3.$

Обчислімо дискримінант за формулою $D=b^2-4ac.$

\begin{gather*} D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{16}=4. \end{gather*}

Формула для визначення коренів квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

Дискримінант $D\gt 0$, обчислімо корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1;\\[6pt] x_2=\frac{2+4}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 808. Завдання: 38743

Завдання 159 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2-|x|=0{,}1$?

А$1$

Б$-1{,}9$

В$-0{,}1$

Г$-3$

Д$2{,}1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

\begin{gather*} 2-|x|=0{,}1;\\[7pt] |x|=2-0{,}1;\\[7pt] |x|=1{,}9. \end{gather*}

За означенням модуля, рівняння має два корені:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=1{,}9;\\ x_2=-1{,}9. \end{array}\right. \end{gather*}

З наведених чисел $-1,9$ є коренем рівняння.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38828

Завдання 160 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\sqrt{48-12x}=12$?

А$(-\infty; -16]$

Б$(-16; 0]$

В$(0; 8]$

Г$(8; 16]$

Д$(16; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння й порівнювати раціональні числа.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата:

\begin{gather*} (\sqrt{48-12x})^2=12^2;\\[7pt] 48-12x=144;\\[7pt] -12x=144-48;\\[7pt] -12x=96;\\[7pt] x=96:(-12);\\[7pt] x=-8. \end{gather*}

Корінь належить проміжку $(-16; 0].$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38834

Завдання 161 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\log_{0{,}5}x=2\log_{0{,}5}2$?

А$(-\infty; 0)$

Б$[0; 1)$

В$[1; 3)$

Г$[3; 10)$

Д$[10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

За властивістю логарифма

\begin{gather*} \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 2^2;\\[7pt] \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 4. \end{gather*}

Оскільки основи однакові, прирівняймо підлогарифмічні вирази: $x=4.$

Корінь рівняння $4\in [3; 10).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 810. Завдання: 38885

Завдання 162 з 173

Скільки всього цілих чисел є розв’язками нерівності $-4\lt x \le 2{,}2$?

А$5$

Б$6$

В$7$

Г$8$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння визначати цілі числа, що належать заданому числовому проміжку, з урахуванням строгості знаків нерівності.

Нерівність задає числовий проміжок $(-4; 2{,}2].$

Випишімо всі цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2. \end{gather*}

Усього таких чисел шість.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 811. Завдання: 38931

Завдання 163 з 173

Обчисліть суму коренів рівняння $15(x+3)^2-375=0.$

А$2$

Б$0$

В$6$

Г$-6$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Перенесімо $375$ у праву частину рівняння:

\begin{gather*} 15(x+3)^2=375. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на $15{:}$

\begin{gather*} (x+3)^2=\frac{375}{15};\\[6pt] (x+3)^2=25. \end{gather*}

Звідси $x+3=5$ або $x+3=-5$, отже, отримаємо корені $x_1=5-3=2$ та $x_2=-5-3=-8.$

Сума коренів дорівнює:

\begin{gather*} x_1+x_2=2+(-8)=-6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 811. Завдання: 38937

Завдання 164 з 173

Розв’яжіть рівняння $|2x–5|=8.$ Якщо рівняння має кілька коренів, обчисліть їхню суму.

А$-1{,}5$

Б$8$

В$-6{,}5$

Г$6{,}5$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2x-5=8,\\ 2x-5=-8, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=8+5,\\ 2x=-8+5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=13,\\ 2x=-3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=6{,}5,\\ x_2=-1{,}5. \end{array}\right.\\[7pt] \end{gather*}

Рівняння має два корені. У відповіді запишімо суму коренів:

\begin{gather*} x_1+x_2=6{,}5+(-1{,}5)=5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 811. Завдання: 38941

Завдання 165 з 173

Обчисліть дискримінант квадратного рівняння $3x^2-2x-4=0.$

А$\sqrt{52}$

Б$-44$

В$52$

Г$\sqrt{44}$

Д$29$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє знання формули дискримінанта квадратного рівняння.

Для обчислення дискримінанта квадратного рівняння вигляду $ax^2+bx+c=0$ використаймо формулу $D=b^2-4ac.$

Випишімо коефіцієнти рівняння $3x^2-2x-4=0{:}$

$a=3$, $b=-2$, $c=-4$.

Підставмо коєфіцієнти у формулу:

\begin{gather*} D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-4)=4+48=52. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 835. Завдання: 38953

Завдання 166 з 173

Визначте проміжок, якому належить корінь рівняння $\left(\dfrac 13\right)^{x-7}=\sqrt{3}.$

А$(-7; -6)$

Б$(-6; 0)$

В$(0; 1)$

Г$(1; 6)$

Д$(6; 7)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведімо обидві частини показникового рівняння до спільної основи $3{:}$

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{x-7}=(3^{-1})^{x-7}=3^{-(x-7)}=3^{-x+7}. \end{gather*}

Застосуймо властивість степеня:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \sqrt{3}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Отримали рівняння:

\begin{gather*} 3^{-x+7}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

\begin{gather*} -x+7=0{,}5;\\[7pt] -x=0{,}5-7;\\[7pt] -x=-6{,}5;\\[7pt] x=6{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння $6{,}5\in (6; 7).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 835. Завдання: 38964

Завдання 167 з 173

Обчисліть дискримінант квадратного рівняння $-3x^2-4x+5=0.$

А$19$

Б$\sqrt{19}$

В$\sqrt{76}$

Г$\sqrt{41}$

Д$76$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння обчислювати дискримінант квадратного рівняння.

Визначмо коефіцієнти квадратного рівняння:

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0 \end{gather*}

$a=-3$ (множник біля $x^2$);
$b=−4$ (множник біля $x$);
$c=5$ (вільний член).

Обчислімо дискримінант за формулою:

\begin{gather*} D=b^2-4ac.\\[7pt] D=(-4)^2-4\cdot (-3)\cdot 5=16+60=76. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 843. Завдання: 38976

Завдання 168 з 173

Яке число є коренем рівняння $|x^2-35|=10$?

А$-15$

Б$45$

В$-5$

Г$25$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x^2-35=10,\\ x^2-35=-10, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x^2=10+35,\\ x^2=-10+35, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x^2=45,\\ x^2=25, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x_{1,2}=\pm\sqrt{45},\\ x_{3,4}=\pm 5. \end{array}\right. \end{gather*}

Серед наведених варіантів лише число $-5$ є коренем рівняння.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 836. Завдання: 39107

Завдання 169 з 173

Корінь рівняння $\dfrac{1}{0{,}5x-1}=\dfrac 12$ належить проміжку

А$(0; \frac{\pi}{2})$

Б$(\dfrac{\pi}{2}; \pi)$

В$(\pi; 5)$

Г$(5; 2\pi)$

Д$(2\pi; 10)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[6pt] (0{,}5x-1)\cdot 1=1\cdot 2;\\[7pt] 0{,}5x-1=2;\\[7pt] 0{,}5x=3. \end{gather*}

Домножимо обидві частини рівняння на $2{:}$

\begin{gather*} x=6. \end{gather*}

При розв’язанні таких рівнянь треба враховувати ОДЗ (область допустимих значень) рівняння:

\begin{gather*} 0{,}5x-1\ne 0;\\[7pt] 0{,}5x\ne 1;\\[7pt] x\ne 2. \end{gather*}

Отриманий корінь задовольняє ОДЗ $(6\ne 2).$

Оскільки $\pi\approx 3{,}14$, то $2\pi\approx 6{,}28.$

\begin{gather*} (5; 2\pi)\approx (5; 6{,}28). \end{gather*}

Число $6$ задовольняє нерівність $5\lt 6\lt 6{,}28$, тому корінь належить саме цьому проміжку.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 836. Завдання: 39117

Завдання 170 з 173

Розв’яжіть рівняння $3^x=81\cdot 9^x.$

А$-4$

Б$-2$

В$6$

Г$-\dfrac 43$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи: $81=3^4$ та $9=3^2.$

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{xy}. \end{gather*}

Тоді $(3^2)^x=3^{2\cdot x}.$

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $3$), можемо прирівняти їхні показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 846. Завдання: 39242

Завдання 171 з 173

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $2^{x+1}-2^x=\dfrac 18$?

А$(-\infty; -5)$

Б$[-5; -3)$

В$[-3; 0)$

Г$[0; 5)$

Д$[5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння й знання властивостей степенів.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[6pt] 2^{x+1}-2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x\cdot 2^1-2^x=\frac{1}{2^3}. \end{gather*}

Винесімо спільний множник $2^x$ за дужки:

\begin{gather*} 2^x\cdot (2-1)=2^{-3};\\[7pt] 2^x\cdot 1=2^{-3};\\[7pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Число $-3$ належить проміжку $[-3; 0).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 847. Завдання: 39343

Завдання 172 з 173

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\dfrac{2x-10}{x+1}=0?$

А$-0{,}2$

Б$-1$

В$5$

Г$0{,}2$

Д$-5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дробово-раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати дробово-раціональні рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} 2x-10=0,\\ x+1\ne 0. \end{cases} \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 2x-10=0;\\[7pt] 2x=10;\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Перевірмо область допустимих значень (ОДЗ).

За $x=5$ знаменник $x+1=5+1=6\ne 0$, отже, число $5$ є коренем рівняння.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 837. Завдання: 39841

Завдання 173 з 173

Якому проміжку належить корінь рівняння $\log_6 x-\log_6 2=1$?

А$(-\infty; 0]$

Б$(0; 1]$

В$(1; 4]$

Г$(4; 10]$

Д$(10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ): $x\gt 0.$

Застосуймо властивість різниці логарифмів $(\log_a b-\log_a c=\log_a \dfrac bc){:}$

\begin{gather*} \log_6 x-\log_6 2=1;\\[6pt] \log_6 \frac x2=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \frac x2=6^1;\\[6pt] \frac x2=6;\\[6pt] x=12. \end{gather*}

Число $12$ задовольняє ОДЗ $(12\gt 0)$ і належить проміжку $(10; +\infty).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 837. Завдання: 39851

Новини

Невидима сторона вишів: що варто знати абітурієнтові перед вибором спеціальності та освітньої програми
Другу вищу освіту за контрактом можна здобути без складання НМТ
Триває додатковий набір студентів на контракт

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
Пішки:	\(x\)	\(7\)	\(7x\)
На велосипеді:	\(x + 8\)	\(3\)	\(3(x + 8)\)

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За розкладом	\(x\)	\(\dfrac{240}{x}\)	\(240\)
Фактично	\(x-10\)	\(\dfrac{240}{x-10}\)	\(240\)

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
Від \(A\) до \(B\)	\(x\)	\(5\)	\(5x\)
Від \(B\) до \(A\)	\(x+8\)	\(4\mathord{,}5\)	\(4\mathord{,}5(x+8)\)

Алгебра і початки аналізу – Рівняння