Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Розв’язування задач за допомогою рівнянь і систем рівнянь
Кількість завдань: 19
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на рух.
Нехай швидкість велосипедиста \(x\) км/год, тоді мотоцикліста \((x+48)\) км/год.
На дорогу з міста \(A\) до міста \(B\) велосипедист витратив \(2\) години. Отже, відстань з \(A\) до \(B\) становить \(2x\) км.
Мотоцикліст виїхав на \(1\mathord{,}5\) год пізніше, але прибув одночасно з велосипедистом. Отже, \(0\mathord{,}5(x+48)\) км становить відстань від \(A\) до \(B.\)
\(2x=0\mathord{,}5(x+48)\), \(2x=0\mathord{,}5x+24\), \(1\mathord{,}5x=24\), \(x=16.\)
Відстань між містами \(A\) та \(B\) \(2\cdot 16=32\) км.
Відповідь: \(32.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.
Нехай власна швидкість човна \(x\) км/год.
| \(V\), км/год | \(t\), год | \(S\), км | |
| За течією | $$x+2\mathord{,}5$$ | $$\frac{48}{x+2\mathord{,}5}$$ | $$48$$ |
| Проти течії | $$x-2\mathord{,}5$$ | $$\frac{18}{x-2\mathord{,}5}$$ | $$18$$ |
Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на \(12.\) \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}
Відповідь: \(17\mathord{,}5.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь на пропорційні величини та пропорційний поділ.
Нехай \(x\ \text{с}\) – тривалість жовтого сигналу, систематизуємо дані:
Зелений - \(12x\ \text{с}\)
Червоний - \((12x-15)\ \text{с}\)
Жовтий - \(x\ \text{с}\).
Тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного та жовтого сигналів як 3 до 2.
Отже, \begin{gather*} \frac{12x}{12x-15+x}=\frac 32,\ \ \frac{12x}{13x-15}=\frac 32,\\[6pt] 3(13x-15)=2\cdot 12x,\ \ 39x-45=24x,\\[7pt] 15x=45,\ \ x=3. \end{gather*} Тривалість червоного сигналу: $$ 12x-15=12\cdot 3-15=36-15=21\ \text{с}. $$
Відповідь: 21.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь.
Нехай доповідь триває \(x\) хвилин, тоді презентація – \((x+10)\) хвилин.
\(3\) доповіді тривали \(3x\) хвилин,
\(2\) презентації – \(2(x+10)\) хвилин.
Доповіді й презентації тривали \(40\) хвилин. Отже, складемо рівняння:
\begin{gather*} 3x+2(x+10)=40,\\[7pt] 3x+2x+20=40,\\[7pt] 5x=20,\\[7pt] x=4. \end{gather*} Доповідь тривала \(4\) хвилини.
Відповідь: 4.