Розв’язування задач за допомогою рівнянь і систем рівнянь – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Розв’язування задач за допомогою рівнянь і систем рівнянь
Кількість завдань: 22

12345678910111213141516171819202122

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 22

В автобусному парку налічується $n$ автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на $4$ автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з $n$ автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить $0{,}25.$ Визначте $n.$ Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівняння.

В автобусному парку $n$ автобусів. Обладнано інформаційним табло: $\dfrac{1}{6}n$ та $4$ автобуси.

Усього автобусів з інформаційним табло $\left(\dfrac{1}{6}n + 4\right)$.

Імовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло становить $0{,}25.$

Отже,

\begin{gather*} P=\frac{\dfrac{1}{6}n+4}{n}=\frac{1}{4},\\[6pt] \frac{4}{6}n+16=n,\\[6pt] n-\frac{4}{6}n=16,\\[6pt] \frac{2}{6}n=16,\\[6pt] n=\frac{16\cdot 6}{2},\\[6pt] n=48. \end{gather*}

Відповідь: $48.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4330

Завдання 2 з 22

З пунктів $A$ i $B$ одночасно по шосе назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Вони їхали без зупинок зі сталими швидкостями: перший – зі швидкістю $x$ км/год, другий – зі швидкістю $y$ км/год $(x\gt y).$ Через $t$ годин $(t\gt 1)$ вони зустрілися в точці $C$ і, не зупиняючись, продовжили рух без зміни напрямків. До кожного запитання (1–4) доберіть правильну відповідь (А – Д).

Запитання

1На скільки кілометрів зменшилася відстань по шосе між велосипедистами через $1$ годину після початку руху?

2Чому дорівнює відстань по шосе між пунктами $A$ i $B$ (у км)?

3На скільки кілометрів більше проїхав перший велосипедист, ніж другий, за час від початку руху до моменту зустрічі?

4За скільки годин перший велосипедист подолає відстань по шосе від точки $C$ до пункту $B$?

Відповідь

А$(x+y)t$

Б$(x-y)t$

В$\dfrac{yt}{x}$

Г$\dfrac{(x-y)t}{y}$

Д$x+y$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

1. За $1$ годину велосипедисти пройдуть $(x + y) \cdot 1 = x + y$ км. На $(x + y)$ зменшилась відстань по шосе між велосипедистами. Отже, 1 – Д.

2. Через $t$ годин велосипедисти зустрілись. Отже, відстань між пунктами $A$ і $B$ $(x + y)t.$ Отже, 2 – А.

3. За умовою $x \gt y.$ За $1$ годину перший велосипедист проїхав більше ніж другий на $(x - y)$ км. За $t$ години різниця відстаней, які проїхали велосипедисти, становить: $(x - y)t$. Отже, 3 – Б.

4. Відстань $CB = yt$ км. Час, за який перший подолає відстань $CB$: $(yt/x)$ год. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5335

Завдання 3 з 22

Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за $2$ години $6$ хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, працюючи самостійно, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на $4$ години більше, ніж першому робітникові?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння, нерівності та їхні системи до розв’язування текстових задач.

Нехай першому робітнику потрібно $x$ годин на скошування трави, тоді другому потрібно – $(x + 4)$ години.

Якщо разом вони виконають цю роботу, то складемо рівняння:

\begin{gather*} 2\ \text{години}\ 6\ \text{хвилин}=2\frac{6}{60}\ \text{год}=2 \frac{1}{10}\ \text{год}=\frac{21}{10};\\[6pt] \frac 1x+\frac{1}{x + 4} = \frac{1}{21/10};\\[6pt] \frac 1x + \frac{1}{x + 4} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{x + 4 + x}{x(x + 4)} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{2x + 4}{x(x + 4)} = \frac{10}{21}. \end{gather*}

ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne -4.$

\begin{gather*} 21(2x + 4) = 10x(x + 4);\\[7pt] 42x + 84 = 10x^2 + 40x;\\[7pt] 10x^2 - 2x - 84 = 0;\\[7pt] 5x^2 - x - 42 = 0;\\[7pt] D = (-1)^2 - 4 \cdot 5(-42) = 1 + 840 = 841;\\[6pt] x_1 = \frac{1 + 29}{10} = 3;\\[6pt] x_2 = \frac{1 - 29}{10} = -2{,}8\ \text{не задовольняє умови задачі}. \end{gather*}

Другий робітник виконає цю роботу за

\begin{gather*} 3 + 4 = 7\ \text{год}. \end{gather*}

Відповідь: $7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6153

Завдання 4 з 22

Тарас може доїхати на велосипеді від села до станції за $3$ год, а пішки дійти за $7$ год. Його швидкість пішки на $8$ км/год менша, ніж на велосипеді. Знайдіть відстань від села до станції (у км).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь.

Нехай швидкість пішки $x$ км/год, тоді на велосипеді – $(x + 8)$ км/год.

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
Пішки:	$x$	$7$	$7x$
На велосипеді:	$x + 8$	$3$	$3(x + 8)$

Шлях пішки та на велосипеді однаковий, тому складемо рівняння:

\begin{gather*} 7x = 3(x + 8);\\[7pt] 7x = 3x + 24;\\[7pt] 4x = 24;\\[7pt] x = 6. \end{gather*}

$6$ км/год – швидкість пішки.

Отже, відстань від села до станції

\begin{gather*} 6 \cdot 7 = 42\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: $42.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6242

Завдання 5 з 22

$4$ кг огірків і $5$ кг помідорів коштували $44$ гривні. Після того як огірки подорожчали на $50\ \%$, а помідори подешевшали на $40\ \%$, за $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $39$ гривень. Знайдіть початкову вартість $x$ одного кілограма огірків і початкову вартість $y$ одного кілограма помідорів. У відповідь запишіть суму $x+y$ (у грн).

Впишіть відповідь:

9.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їхніх систем.

Нехай $x$ грн коштували $1$ кг огірків, $y$ грн – $1$ кг помідорів.

За $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $44$ гривні, отже, $4x + 5y = 44.$

Після подорожчання огірків їхня ціна за $1$ кг стала $1{,}5x$ грн, а помідорів після подешевшання – $0{,}6y$ грн за $1$ кг.

За $4$ кг огірків та $5$ кг помідорів заплатили $39$ грн.

\begin{gather*} 4 \cdot 1{,}5x + 5 \cdot 0{,}6y = 39. \end{gather*}

Складемо систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4x + 5y = 44, \\ 6x + 3y = 39\ \ |:3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 4x + 5y = 44, \\ 2x + y = 13, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 4x+5(13-2x)=44,\\ y=13-2x, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} -6x=-21,\\ y=13-2x, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=3{,}5,\\ y=13-2\cdot 3{,}5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=3{,}5,\\ y=6. \end{array}\right.\\[7pt] x + y = 3{,}5 + 6 = 9{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $9{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6411

Завдання 6 з 22

У готелі для проживання туристів є одномісні, двомісні та тримісні номери. Їх всього $124.$ Якщо всі номери в готелі заповенені, то одночасно в ньому проживає $255$ туристів. Скільки всього в цьому готелі тримісних номерів, якщо кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних номерів?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Застосування рівнянь та їхніх систем до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їх систем.

І спосіб. Позначимо кількість тримісних номерів через $n.$ Оскільки за умовою кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних, то їх кількість становить $$ \frac{124-n}{2} $$ номерів.

В одномісних номерах при повному заповненні проживає $$ \frac{124-n}{2} $$ туристів, в двомісних – $$ 2\cdot \frac{124-n}{2}=124-n $$ туристів, в тримісних – $3n$ туристів.

Складаємо рівняння

\begin{gather*} 1\cdot \frac{124-n}{2}+2\frac{124-n}{2}+3n=255, \end{gather*}

звідки отримуємо

\begin{gather*} 124-n+2(124-n)+6n=510,\\[7pt] 124-n+248-2n+6n=510,\\[7pt] 3n=138,\\[7pt] n=46. \end{gather*}

Отже, у готелі було всього $46$ тримісних номерів.

ІІ спосіб. Якщо ввести позначення: $n$ – кількість тримісних номерів, $k$ – кількість одномісних номерів, $k$ – кількість двомісних номерів, то отримаємо систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+2k+3n=255, \end{array}\right. $$ тобто $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+n=85. \end{array}\right. $$ Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо $k=39$, тоді $$ n=85-39=46. $$

Відповідь: $46.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9454

Завдання 7 з 22

Фабрика виготовляє комплекти пластикових меблів, кожен з яких складається зі стола, дивана та двох крісел. На виготовлення дивана витрачається на $1$ кг пластику більше, ніж на виготовлення стола, та на $3$ кг більше, ніж на виготовлення одного крісла. Відомо, що на виготовлення $10$ крісел витрачається пластику стільки ж, як і на виготовлення $2$ столів та $4$ диванів разом. Скільки кілограмів пластику витрачається на виготовлення одного комплекту пластикових меблів?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Застосування рівнянь до розв'язування задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування задач.

Розв'яжемо задачу складанням рівняння.

Нехай на виготовлення $1$ стола необхідно $x$ пластику, тоді на $1$ диван витрачають $(x+1)$ кг, а на крісло – $(x+1-3)$ кг.

На $10$ крісел витрачають стільки пластику, скільки на $2$ стола та $4$ дивана, тому

\begin{gather*} 10(x-2)=2x+4(x+1),\\[7pt] 10x-20=2x+4x+4,\\[7pt] 10x-6x=4+20,\\[7pt] 4x=24,\\[7pt] x=6. \end{gather*}

На $1$ стiл витрачається пластику $6$ кг, $1$ диван – $7$ кг, $2$ крісла – $2\cdot 4=8$ кг.

Отже, на виготовлення одного комплекту меблів витрачають $$ 6+7+8=21\ \text{кг} $$ пластику.

Відповідь: $21.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10859

Завдання 8 з 22

Автобус вирушив з міста $A$ до міста $B$, відстань між якими становить $150$ км. Через $30$ хв із міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в $1\frac 15$ раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста $A$ до міста $B$ автомобіль, якщо він прибув до міста $B$ одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Нехай швидкість автобуса $x$ км/год, тоді швидкість автомобіля

$$ 1\frac 15x=1\mathord{,}2x\ \text{км}/\text{год}. $$

$150$ км автобус проїжджає за $\frac{150}{x}$ год, а автомобіль за $\frac{150}{1\mathord{,}2x}$ год. Це на $30$ хв $\left(\frac 12\ \textit{год}\right)$ менше. Розв'яжемо рівняння

\begin{gather*} \frac{150}{x}-\frac{150}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] \frac{150\cdot(1\mathord{,}2-1)}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] \frac{150\cdot 0\mathord{,}2}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] x=\frac{150\cdot 0\mathord{,}2\cdot 2}{1\mathord{,}2}=50\ \text{км}/\text{год}. \end{gather*}

Час, за який автомобіль долає відстань між $A$ та $B$ $$ \frac{150}{1\mathord{,}2\cdot 50}=2\mathord{,}5\ \textit{год}. $$

Відповідь: $2\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12092

Завдання 9 з 22

З першої труби порожній басейн наповнюють водою на $40$ хвилин швидше, ніж з другої. Скільки часу (у хвилинах) потрібно для наповнення порожнього басейну з першої труби, якщо з обох труб порожній басейн наповнюють за $21$ хвилину? Уважайте, що швидкості наповнення басейну водою з кожної труби є сталими.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що зводиться до квадратного, розв'язувати текстові задачі.

Нехай порожній басейн заповнюється з другої труби за $x$ хвилин, тоді з першої труби – за $(x-40)$ хвилин.

За $1$ хвилину працюючи разом вони заповнять $1/21$ частину басейну. Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{1}{x-40}+\frac 1x=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{x+x-40}{x(x-40)}=\frac{1}{21},\\[6pt] \frac{2x-40}{x^2-40x}=\frac{1}{21},\\[6pt] \text{ОДЗ}:\ \ \left[\begin{array}{l} x\ne 0,\\ x\ne 40, \end{array}\right.\\[7pt] x^2-40x=21(2x-40),\\[7pt] x^2-40x=42x-840,\\[7pt] x^2-82x+840=0. \end{gather*}

Корені рівняння

$$ \left[\begin{array}{l} x_1=12\ \ \text{не задовільняє умові задачі},\\ x=70. \end{array}\right. $$

Отже, друга труба наповнює басейн за $70$ хвилин, а перша – за $$ 70-40=30\ \text{хв.} $$

Відповідь: $30.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14262

Завдання 10 з 22

Знайдіть значення виразу $\dfrac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}$, якщо $a=2{,}5$.

А$-1$

Б$-0{,}5$

В$0$

Г$0{,}5$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} \frac{\sqrt{9 + a^2 - 6a}}{a - 3} = \frac{\sqrt{(a - 3)^2}}{a - 3}= \frac{|a - 3|}{a - 3}. \end{gather*}

При $a = 2{,}5$

\begin{gather*} |a - 3| = 3 - a. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \frac{|a - 3|}{a - 3} = \frac{-(a - 3)}{a - 3} = -1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14325

Завдання 11 з 22

На перегоні, довжина якого дорівнює $240$ км, поїзд рухався зі швидкістю на $10$ км/год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на $48$ хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? (Відповідь в км/год).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на рух.

Нехай швидкість поїзда за розкладом $x$ км/год, тоді швидкість на перегоні була $(x-10)$ км/год.

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
За розкладом	$x$	$\dfrac{240}{x}$	$240$
Фактично	$x-10$	$\dfrac{240}{x-10}$	$240$

Поїзд запізнився на $48\ \text{хв}=\dfrac{48}{60}\ \text{год}=\dfrac 45\ \text{год}.$ Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{240}{x-10}-\frac{240}{x}=\frac 45;\\[6pt] \frac{240(x-x+10)}{x(x-10)}=\frac 45;\\[6pt] \frac{2400}{x(x-10)}=\frac 45\ \big| :4;\\[6pt] \frac{600}{x(x-10)}=\frac 15;\\[6pt] \begin{cases} x(x-10)=5\cdot 600,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-10x-3000=0,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x=-50;\ x=60,\\ x\ne 0;\ x\ne 10. \end{cases} \end{gather*}

$x=-50$ не задовольняє умові задачі.

Отже, швидкість поїзда за розкладом – $60$ км/год.

Відповідь: $60.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14546

Завдання 12 з 22

У майстерні мали виготовити $240$ стільців за $n$ днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на $2$ дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на $4$ стільці. Визначте $n.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

Нехай щодня планували виробляти $\frac{240}{n}$ стільців. Оскільки завдання виконали на $2$ дні раніше запланованого терміну, то щодня виробляли $\frac{240}{n-2}$ стільців. Денна норма збільшилась на $4$ стільця, тому складемо рівняння

\begin{gather*} \frac{240}{n-2}-\frac{240}{n}=4,\ \ \ \left\{\begin{array}{l} n\ne 2,\\ n\ne 0, \end{array}\right.\\[6pt] \frac{240(n-n+2)}{n(n-2)}=4,\ \ \ \frac{240\cdot 2}{n(n-2)}=4,\\[6pt] \frac{120}{n^2-2n}=1,\\[6pt] n^2-2n=120,\\[7pt] n^2-2n-120=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $n=-10$ або $n=12.$

Оскільки $n$ – кількість днів, то визначається натуральним числом, то правильна відповідь: $12$ днів.

Відповідь: $12.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14623

Завдання 13 з 22

Ha клумбі висадили рядами $125$ кущів троянд з однаковою кількістю кущів у кожному ряду. Виявилось, що кількість рядів на $20$ менша за кількість кущів у кожному ряду.

1. Скільки висадили кущів троянд у кожному ряду?

2. Узимку в першому ряду зазнали ушкоджень $16\ \text{%}$ кущів троянд. Скільки кущів троянд у першому ряду перезимували неушкодженими?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	25			21

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсоки. Текстові задачі. Квадратні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

1. Нехай у кожному ряду висадили $x$ кущів, тоді кількість рядів буде $(x-20).$ Усього висадили $125$ кущів троянд. Складемо рівняння:

\begin{gather*} x(x-20)=125,\\[7pt] x^2-20x-125=0,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1=25,\\ x_2=-5\ \ \text{не задовільняє умові задачі.} \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, в кожному ряду $25$ кущів.

2. Усього кущів у першому рядку $25.$ Ушкоджених кущів виявилось $16\text{%}$, отже, неушкоджених кущів $84\text{%}$ від кількості кущів у першому рядку.

$$ 25\cdot \frac{84}{100}=21. $$

Відповідь: 1. $25.$
2. $21.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15259

Завдання 14 з 22

Шлях від пристані $A$ до пристані $B$ теплохід, що рухається за течією річки, долає за
$2$ години. На зворотний шлях він витрачає на $15$ хвилин більше. Швидкість течії річки дорівнює $2$ км/год, власна швидкість теплохода є сталою.

Визначте власну швидкість теплохода (у км/год).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

$2$ год $15$ хв $=2\frac 14$ год.

Нехай власна швидкість телохода $x$ км/год, тоді швидкість за течією $(x+2)$ км/год, проти течії – $(x-2)$ км/год. Оскільки відстань, яку пройшов теплохід за течією та проти течії, однакова, то складемо рівняння

\begin{gather*} 2(x+2)=2\frac 14(x-2);\ \ 2x+4=2\frac 14x-4\mathord{,}5;\\[6pt] 2\frac 14x-2x=4+4\mathord{,}5;\ \ \frac 14x=8\mathord{,}5;\\[6pt] x=8\mathord{,}5\cdot 4;\ \ x=34. \end{gather*}

Отже, власна швидкість теплохода $34$ км/год.

Відповідь: $34.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17669

Завдання 15 з 22

Велосипедист витратив $2$ години на дорогу з міста $A$ до міста $B.$ Мотоцикліст виїхав з міста $A$ на півтори години пізніше за велосипедиста, але прибув у місто $B$ одночасно з велосипедистом. Визначте відстань (у км) між містами $A$ та $B$, якщо швидкість мотоцикліста на $48$ км/год більша за швидкість велосипедиста. Уважайте, що велосипедист та мотоцикліст рухалися з міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою зі сталими швидкостями та без зупинок.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на рух.

Нехай швидкість велосипедиста $x$ км/год, тоді мотоцикліста $(x+48)$ км/год.

На дорогу з міста $A$ до міста $B$ велосипедист витратив $2$ години. Отже, відстань з $A$ до $B$ становить $2x$ км.

Мотоцикліст виїхав на $1\mathord{,}5$ год пізніше, але прибув одночасно з велосипедистом. Отже, $0\mathord{,}5(x+48)$ км становить відстань від $A$ до $B.$

$2x=0\mathord{,}5(x+48)$, $2x=0\mathord{,}5x+24$, $1\mathord{,}5x=24$, $x=16.$

Відстань між містами $A$ та $B$ $2\cdot 16=32$ км.

Відповідь: $32.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 19000

Завдання 16 з 22

Рекламна пауза на телевізійному каналі триває $15$ хвилин. За цей час показують по одному разу $10$ рекламних роликів однакової тривалості та трейлер фільму. Відомо, що якби цей трейлер показували на початку й наприкінці рекламної паузи, то решти часу вистачило б якраз на показ $8$ таких рекламних роликів. Скільки секунд триває показ трейлера цього фільму? Уважайте, що між показами рекламних роликів та трейлера фільму немає пауз.

Впишіть відповідь:

150

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, застосовувати системи рівнянь до розв’язування текстових задач.

Нехай тривалість одного рекламного ролика $x$ хв., а одного трейлера – $y$ хв. Тоді,

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x+y=15,\\ 8x+2y=15, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=15-10x,\\ 8x+2(15-10x)=15, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=15-10x,\\ 30-12x=15, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=2\mathord{,}5,\\ x=1\mathord{,}25. \end{array}\right. \end{gather*}

Трейлер триває $2\mathord{,}5$ хв $=150$ с.

Відповідь: $150.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19514

Завдання 17 з 22

Човен проплив $18$ км проти течії річки, витративши вдвічі менше часу, ніж на подолання $48$ км за течією. Власна швидкість човна є сталою. Визначте власну швидкість човна (у км/год), якщо швидкість течії дорівнює $2\mathord{,}5$ км/год.

Впишіть відповідь:

17.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

Нехай власна швидкість човна $x$ км/год.

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
За течією	$$x+2\mathord{,}5$$	$$\frac{48}{x+2\mathord{,}5}$$	$$48$$
Проти течії	$$x-2\mathord{,}5$$	$$\frac{18}{x-2\mathord{,}5}$$	$$18$$

Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на $12.$ \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $17\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19972

Завдання 18 з 22

Тривалість зеленого сигналу світлофора на 15 с довша за тривалість червоного сигналу й у дванадцять разів довша за тривалість жовтого сигналу. Яка тривалість (у с) червоного сигналу, якщо тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного й жовтого сигналів як 3 до 2?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x\ \text{с}$ – тривалість жовтого сигналу, систематизуємо дані:
Зелений - $12x\ \text{с}$
Червоний - $(12x-15)\ \text{с}$
Жовтий - $x\ \text{с}$.

Тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного та жовтого сигналів як 3 до 2.

Отже, \begin{gather*} \frac{12x}{12x-15+x}=\frac 32,\ \ \frac{12x}{13x-15}=\frac 32,\\[6pt] 3(13x-15)=2\cdot 12x,\ \ 39x-45=24x,\\[7pt] 15x=45,\ \ x=3. \end{gather*} Тривалість червоного сигналу: $$ 12x-15=12\cdot 3-15=36-15=21\ \text{с}. $$

Відповідь: 21.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22925

Завдання 19 з 22

Протягом 40 хвилин уроку учні виступили з трьома доповідями однакової тривалості й показали дві презентації. Показ кожної презентації тривав на 10 хвилин більше, ніж доповідь. Визначте тривалість однієї доповіді (у хв). Тривалістю пауз між доповідями й презентаціями знехтуйте.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь.

Нехай доповідь триває $x$ хвилин, тоді презентація – $(x+10)$ хвилин.
$3$ доповіді тривали $3x$ хвилин,
$2$ презентації – $2(x+10)$ хвилин.
Доповіді й презентації тривали $40$ хвилин. Отже, складемо рівняння:

\begin{gather*} 3x+2(x+10)=40,\\[7pt] 3x+2x+20=40,\\[7pt] 5x=20,\\[7pt] x=4. \end{gather*} Доповідь тривала $4$ хвилини.

Відповідь: 4.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24707

Завдання 20 з 22

Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як $3 : 4.$ Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців?

А$72$

Б$87$

В$91$

Г$95$

Д$101$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. Підприємство за рік виготовляє
$3x$ столів,
$4x$ стільців.

Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців була \begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Кількість виробів може бути числом, кратним $7.$ З наведених чисел це може бути $91.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35425

Завдання 21 з 22

Розв’яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+4\ge 0,\\ 2(3x-5)-6\lt x+8. \end{array}\right. \end{gather*}

А$\varnothing$

Б$[-4; 4{,}8)$

В$[2; 4{,}8)$

Г$(-\infty; 4{,}8)$

Д$(-\infty; -2]\cup [2; 4{,}8)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв’яжімо першу нерівність:

\begin{gather*} x^2+4\ge 0,\\[7pt] x^2\ge -4. \end{gather*}

Ця нерівність справедлива для всіх дійсних чисел $x\in R.$

Розв’яжімо другу нерівність:

\begin{gather*} 2(3x-5)-6\lt x+8,\\[7pt] 6x-10-6\lt x+8,\\[7pt] 6x-16\lt x+8,\\[7pt] 6x-x\lt 8+16,\\[7pt] 5x\lt 24,\\[7pt] x\lt 4{,}8,\\[7pt] x\in (-\infty; 4{,}8). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35437

Завдання 22 з 22

Розв’яжіть систему рівнянь $\begin{cases}\dfrac y4=2,\\ x=-2y+1.\end{cases}$

А$(-17; 8)$

Б$(-3; 2)$

В$(-15; 8)$

Г$(-5; 2)$

Д$(0; 0{,}5)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції.

Знайдемо $y$ з першого рівняння. Помножимо обидві частини рівняння на $4{:}$

\begin{gather*} y=2\cdot 4;\\[7pt] y=8. \end{gather*}

Підставимо знайдений $y=8$ у друге рівняння:

\begin{gather*} x=-2\cdot 8+1;\\[7pt] x=-16+1;\\[7pt] x=-15. \end{gather*}

Запишемо відповідь у вигляді впорядкованої пари $(x; y){:}$

\begin{gather*} (-15; 8). \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 807. Завдання: 38656

Новини

Базовий розмір грантів для бакалаврів зріс до 18,5 та 27 тисяч грн
Грантове фінансування для студентів: умови та обсяги
Завершується переведення вступників на вільні бюджетні місця бакалаврату

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
Пішки:	\(x\)	\(7\)	\(7x\)
На велосипеді:	\(x + 8\)	\(3\)	\(3(x + 8)\)

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За розкладом	\(x\)	\(\dfrac{240}{x}\)	\(240\)
Фактично	\(x-10\)	\(\dfrac{240}{x-10}\)	\(240\)

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За течією	$$x+2\mathord{,}5$$	$$\frac{48}{x+2\mathord{,}5}$$	$$48$$
Проти течії	$$x-2\mathord{,}5$$	$$\frac{18}{x-2\mathord{,}5}$$	$$18$$

Алгебра і початки аналізу – Розв’язування задач за допомогою рівнянь і систем рівнянь