Геометрія – Тіла обертання

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

За формулою відстані між двома точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) і \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) простору:

Точка лежить усередині сфери, якщо відстань від неї до центра \(O\) менша за радіус \((OX\lt 13).\)

У всіх варіантах відповіді \(x\) та \(y\) координати збігаються з координатами центра \(O(11; -3; -5).\) Тому відстань від центра \(O\) до точки \((11; -3; z)\) обчислімо як модуль різниці аплікат:

\begin{gather*} OX=|z-(-5)|=|z+5|. \end{gather*}

Перевірмо варіанти, шукаючи той, де \(OX\lt 13{:}\)

A \((11; -3; 10){:}\ 10 + 5 = 15\gt 13\) (поза сферою).

Б \((11; -3; 6){:}\ 6 + 5 = 11\lt 13\) (усередині сфери – правильний варіант).

В \((11; -3; 19){:}\ 19 + 5 = 24\gt 13\) (поза сферою).

Д \((11; -3; 9){:}\ 9+ 5 = 14\gt 13\) (поза сферою).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної трикутної піраміди за відомими медіаною основи піраміди та твірною конуса.

Висоти конуса \((H_\text{К})\) та піраміди \((H_\text{П})\) рівні: \(H_\text{К}=H_\text{П}=H.\) Радіус основи конуса \((R)\) дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди: \(R_\text{К}=R_\text{П}=R.\) Твірна конуса \(L=12\) см.

В основі піраміди лежить правильний (рівносторонній) трикутник, медіана якого \(m=9\) см. Оскільки трикутник правильний, медіана є також і висотою (\(h=9\) см).

У правильному трикутнику точка перетину медіан (центр описаного кола) ділить медіану у відношенні \(2:1\), починаючи відлік від вершини. Тому радіус описаного кола становить \(\dfrac 23\) від довжини медіани:

\begin{gather*} R=\frac 23\cdot m=\frac 23\cdot 9=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса також \(R=6\) см. Сторона правильного трикутника:

\begin{gather*} a=R\sqrt{3}.\\[7pt] a=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника:

Розгляньмо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса \(H\), радіусом основи \(R\) і твірною \(L.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} H^2+R^2=L^2;\\[7pt] H^2+6^2=12^2;\\[7pt] H^2+36=144;\\[7pt] H^2=144-36;\\[7pt] H^2=108;\\[7pt] H=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди:

Відповідь: \(162.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних елементів циліндра.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Усі твірні циліндра за означенням паралельні його осі обертання. Оскільки дві довільні твірні циліндра паралельні тій самій прямій (осі циліндра), то за ознакою паралельності прямих у просторі вони паралельні між собою.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо хорди, що є його діаметром.

Відповідь: А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса й уміння їх застосовувати.

Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Його сторони – дві твірні конуса \(L\) і діаметр основи \(d=2R\) (де \(R\) – радіус основи конуса).

Оскільки трикутник рівносторонній:

\begin{gather*} L=2R. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(a\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a\sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Сторона трикутника \(a=2R\), а його площа \(S=27\sqrt{3}\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \frac{(2R)^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] \frac{4R^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] R^2\sqrt{3}=27\sqrt{3}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(\sqrt{3}{:}\)

\begin{gather*} R^2=27;\\[7pt] R=\sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту рівностороннього трикутника (яка водночас є висотою конуса \(H\)) обчислімо за формулою через його сторону \((a=2R){:}\)

\begin{gather*} H=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо значення \(R{:}\)

\begin{gather*} H=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\cdot 3=9\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=3\sqrt{3}\) см та \(H=9\) см:

Відповідь: \(81.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення конуса як тіла обертання.

Конус – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертається прямокутний трикутник, – висота конуса.

Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Отже, утвориться конус із радіусом основи 10 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Сторона, навколо якої відбувається обертання, стає висотою циліндра, а інша сторона, перпендикулярна до неї, – радіусом основи.

Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони утворюється циліндр.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса.

Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник \(ABC.\) Оскільки за умовою він прямокутний \((\angle A=90^\circ){:}\)
– гіпотенуза збігається з діаметром основи конуса: \(d=12.\)
– радіус основи \((R){:}\ R=\dfrac d2=\dfrac{12}{2}=6.\)

У прямокутному рівнобедреному трикутнику висота \(H\), проведена до гіпотенузи, є медіаною. За властивістю прямокутного трикутника, така медіана дорівнює половині гіпотенузи:

Важливо: Якщо осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник, то його висота завжди дорівнює радіусу основи \((H=R).\)

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=6\) та \(H=6{:}\)

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, яка містить одну з його сторін.

Оскільки квадрат — окремий випадок прямокутника, то внаслідок обертання квадрата навколо його сторони також утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін. Цю пряму називають віссю обертання, а сторону, навколо якої відбувається рух, – висотою циліндра.

Оскільки прямокутник обертається навколо прямої \(a\), що містить його сторону, утворюється циліндр. Сторона довжиною \(8\) см паралельна осі обертання \(a\). Отже, висота циліндра, що утворився, дорівнює цій стороні: \(H=8\) см.

Отримане тіло – це циліндр, висота якого дорівнює \(8\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання означення конуса як тіла обертання.

Зрізаний конус – це геометричне тіло, утворене частиною конуса, яку отримують, коли відсікають верхню частину конуса, перетнувши його площиною, що паралельна основі.

На малюнку зображено прямокутну трапецію, що обертається навколо осі, яка проходить через бічну сторону, перпендикулярну до основ.

Під час обертання:

• кожна точка трапеції описує коло;
• радіус змінюється від більшого (внизу) до меншого (вгорі);
• утворюється тіло з двома круговими основами різного радіуса.

Отже, унаслідок обертання прямокутної трапеції навколо цієї сторони утворюється зрізаний конус.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема сфери.

Сфера утворена обертанням кола навколо його діаметра.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл, зокрема конуса.

Об'єм конуса знаходиться за формулою:

Радіус основи та висота конуса дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти конуса \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра, як тіла обертання.

Циліндр — це тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін.

На малюнку зображено прямокутник, що обертається навколо своєї сторони. Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони, утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Діагональ перерізу \((AC)\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники.

1. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи:

Отже, висота циліндра \(H=CD=12\) см.

2. \(\cos A=\frac{AD}{AC}\);

Об'єм циліндра визначмо за формулою \(V=\pi R^2H{:}\)

Відповідь: \(1296.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=6\) см.

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

За допомогою цього завдання перевіряють знання означення конуса як тіла обертання.

Конус – це тіло, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один із його катетів.

Оскільки пряма \(a\) є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до його основи, вона ділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Унаслідок обертання такого трикутника навколо висоти, яка є спільним катетом, утворюється конус.

Відповідь: A.

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. \(AC=16\) см, \(BD=12\) см.

Радіус основи ціліндра \(OK=AD\), \(S_\text{бічн.}=400\pi\) см\(^2.\)

У ромбі діагоналі \(AC\ \perp\ BP\) й діляться точкою перетину \(P\) навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні циліндра \(S_\text{бічн.}=2\pi RH\), де \(R=OK=AD=10\) см, \(H=OO_1=AA_1\) (за умовою задачі).

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею \(260\pi.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У прямокутному \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).\) \(MO\) – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: \(MO=\frac 12AB.\) \(MO=13\), тому \(AB=26.\)

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту \(AO=H\) визначаємо з \(\Delta AOB\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(800.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

Радіус основи конуса \(O_1B=CO\) – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У \(\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)\).

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\) – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\(KP\ \perp\ DC\) – апофема піраміди (висота бічної грані). \(KO\ \perp\ (ABC)\), \(KP\) – похила на площину основи, \(OP\) – проєкція похилої \(KP.\) Звідси, \(\angle KPO=45^\circ\) – це кут між прямою \(KP\) і площиною основи.

У \(\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)\), \(\angle P=45^\circ\), тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

\(\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).\) \(AD=DC\), \(AC=18\sqrt{2}\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

Площа бічної поверхні ціліндра

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ \(AC=30\) см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

Об'єм піраміди

Відповідь: \(3000.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

\(S=64\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(AA_1=AC\), \(OK=O_1D.\)

Площа поверхні сфери \(S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}\), \(R^2=16\ \textit{см}^2,\) \(R=4\) см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, \(OK=O_1D=4\) см.

Призма – правильна, отже \(\Delta ABC\) – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де \(a\) – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

Об'єм призми

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

Знаходимо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за \(13\) см, але менше за \(26\) см.

З наведених значень – це \(17\) см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями \(12\) см і \(16\) см.

\(AO=OC=8\) см, \(BO=OD=6\) см. \(AC\ \perp\ BD.\) \(\Delta AOD\) – прямокутний. За теоремою Піфагора

2. Радіус основи циліндра \(R=AD=10\) см.

3. Площа поверхні циліндра

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра \(H=20\) см.

5. Об'єм призми

Площу ромбу можна знайти за формулою:

Відповідь: 1920.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.

\(\Delta AMB\) – рівносторонній трикутник.

Знайдемо довжину \(AB\) – сторони трикутника за формулою

Відповідь: $$ \frac{S}{\mathbf{\pi}}=\frac{37,5\mathbf{\pi}}{\mathbf{\pi}}=37,5. $$

Відповідь: 37,5.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.

Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.

З-поміж наведених – це \(AB.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.\)

Відповідь: 64.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

\(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.

Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.

Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$

Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)

Відповідь: 8.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.

Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi \cdot 3^2}=8. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.

Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}\). $$ V=\mathbf{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\mathbf{\pi}\ (\text{см}^3). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Відстань між точками на сфері – це хорда.

Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.

1. \(C=2\mathbf{\pi}R=36\mathbf{\pi}\ =>\ R=18\), отже 1 - Б.

2.

отже 2 - А.

3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна \(AB\).

отже 3 - В.

Відповідь: 1Б, 2А, 3В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}\).

Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.

Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.

Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, \(OK=r=1\ \text{см}\).

Сторону трикутника знайдемо за формулою:

Відповідь, найближча до точної, – \(105\ \text{см}^2\).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь та об'єму конуса.

1. \(R=OB=6\), \(d=BC=12.\) Отже, 1 – Б.

2. \(R=OB=3\), \(AO=H=3\sqrt{3}.\)

\(\Delta AOB (\angle O=90^\circ)\) за теореою Піфагора \begin{gather*} AB^2=BO^2+AO^2=9+27=36,\\[7pt] AB=AC=BC=6. \end{gather*} Отже, 2 – A.

3. \(R=OB=4\), \(AO=H=3\), $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}Rl, $$ де \(l=AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\), $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}\cdot 4\cdot 5=20\mathbf{\pi}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні кулі.

Площа сфери знаходиться за формулою: \(S=4\mathbf{\pi}R^2.\) Виразимо з формули \(R:\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь циліндра.

\(S_\text{бічної}=56\mathbf{\pi}\), \(S_\text{поверхні}=S_\text{бічної}+2S_\text{основи}=92\mathbf{\pi}.\)

Отже, \(92\mathbf{\pi}=56\mathbf{\pi}+2S_\text{основи}.\)

\(2S_\text{основи}=36\mathbf{\pi}\), \(S_\text{основи}=18\mathbf{\pi}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.

1. Твірна дорівнює \(4.\)

Отже, 1 – В.

2. \(S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=2\mathbf{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\mathbf{\pi}.\)

Отже, 2 – Г.

3. \(ABCD\) – прямокутник, обертається навколо сторони \(6.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\), \(OB=r\), \(AB=l\), \(\angle A=60^\circ.\) $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площі поверхні циліндра.

Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні \(S=lh.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формули площі поверхні циліндра.

Площа бічної поверхні $$S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=C\cdot H$$ де \(C\) – довжина кола його основи, \(H\) – висота циліндра.

$$H=\frac{S_\text{бічної}}{C}=\frac{24\mathbf{\pi}}{4\mathbf{\pi}}=6.$$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму циліндра.

Об'єм циліндра обчислюємо за формулою

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

$$V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}.$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=4\) см, \(SO=h\) – висота, \(SA=l\) – твірна.

У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.

Нехай \(R=OA=3\) см, \(OO_1=H=4\) см.

1. \(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}RH\), де \(R=3\) – радіус основи, \(H=4\) см. – висота циліндра.

\(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – Д.

3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.

Отже, \(S_\text{осн.}=9\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 3 – A.

4. Площа бічної поверхні конуса \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}Rl\), де \(R=3\) см, \(l\) – твірна \(O_1A.\)

\(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.

ТЕМА: Стереометрія. Поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі та сфери та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площа великого круга дорівнює \(S.\) За формулою \(S=\mathbf{\pi}R^2\) знаходимо $$ R^2=\frac{S}{\mathbf{\pi}}. $$

Площа сфери визначається за формулою: \(S=4\mathbf{\pi}R^2.\) Підставимо у формулу замість \(R^2\) вираз \(\frac{S}{\mathbf{\pi}}.\)

Отримаємо: $$ S=4\mathbf{\pi}\cdot \frac{S}{\mathbf{\pi}}=4S. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей тіл і поверхонь обертання та їхніх елементів, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. \(V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H=100\mathbf{\pi}\) см\(^3\), отже \(\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot H=100\mathbf{\pi}\), \(H=4\) см. Висота циліндра \(4\) см

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2\cdot h=100\mathbf{\pi}\) см\(^3\), \(\frac 13\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot h=100\mathbf{\pi}\), \(h=12\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(S_\text{осн.цил.}=\mathbf{\pi}R^2=25\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=25\), \(R=5\) см.

\(R_\text{ц}=R_\text{к}=5\) см.

Отже, правильна відповідь – Б.

4. \(\Delta BO_2C\ (\angle O_2=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.

Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\mathbf{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому

$$ V=\left(\frac 43\mathbf{\pi}R^3\right):2=\frac{2\mathbf{\pi}R^3}{3}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

При обертанні круга навколо діаметра, довжина якого \(a\), утвориться куля.

За формулою об'єму кулі

де \(R\) – радіус кулі, знаходимо

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей і формул площі поверхні конуса, уміння застосовувати властивості конуса за його розгорткою.

На рисунку зображено розгортку конуса.

\(AB = 15\), \(OB = 6.\)

де \(R = OB\) – радіус основи, \(l = AB\) – твірна.

Відповідь: \(1{,}4.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формул площ поверхонь кулі та циліндра.

Oб’єм циліндра:

Oб’єм кулі, об’єм води, яка вилилася зі склянки:

Oб’єм води, що залишилася:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо \(S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}\), то \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl\), \(S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2\), \(\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2\), \(l=3r.\) Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то \(AO=OB=r\), \(\Delta AOB\) – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора \(AB^2=OB^2+AO^2\), \(l^2=r^2+r^2\), \(l=r\sqrt{2}.\) Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то \(l=2r.\) \(OB\) – проекція твірної \(AB\) на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює \(5\mathbf{\pi}r^2\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл і поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь та об'ємів тіл обертання.

\(ABCD\) осьовий переріз циліндра \(R=OB=6\), \(OO_1=h.\)

1. 

Отже, 1 – Д.

2. 

Отже, 2 – Б.

3. 

Отже, 3 – A.

4.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює \(R\), а висота – \(H\), обчислюється за формулою

За умовою \(R=3\), \(H=4\), тоді

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи \(R\) та твірну \(L\mathord{:}\)

Оскільки \(R=3\), \(L=5\), то

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром \(a=\sqrt{3\pi}\) обчислюємо за формулою

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса \(R\) визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою \(R=2\sqrt{3}\), тому

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання. Конус. Об'єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, тіл і поверхонь обертання до розв'язування задач практичного змісту.

Оскільки за умовою кожна цукерка є однорідною і має форму конуса, то маса однієї цукерки пропорціна об'єму конуса: $$ V=\frac 13 \pi R^2h. $$ За умовою \(R=1\) см, \(h=3\) см. Тоді

Якщо маса \(1\) см\(^3\) цукерки становить \(3\) г, то маса усієї цукерки становить $$ 3V=3\pi\ \text{г}, $$ тоді маса ста цукерок дорівнює

Серед наведених варіантів відповіді найближчою до \(942\) є число \(950.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра. Площа сфери.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє вміння знаходити площу поверхні, утвореної обертанням відрізка та чверті кола навколо заданої осі, використовуючи формули площі бічної поверхні циліндра та площі сфери.

Площа активної поверхні світлодіодної лампи, зображеної на рисунку, є сумою площі бічної поверхні циліндра та площі півсфери. Площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням відрізка \(AB\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою $$ S = 2\pi Rh. $$ У нашому випадку діаметр \(2R = 3\) см, отже \(R = 1{,}5\) см, висота циліндра \(h = 5 - 1{,}5 = 3{,}5\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо $$ S = 3 \cdot 3{,}5\pi = 10{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Площу півсфери, утвореної обертанням чверті кола \(BC\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою

Тоді площа активної поверхні лампи дорівнює

Отже, найближчою до точної є відповідь \(48\) см\(^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм конуса.

$$ V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h, $$ де \(R\) – радіус основи конуса, \(h\) – висота конуса.

За умовою, діаметр основи конуса дорівнює \(6\) см, відповідно радіус кола дорівнює половині його діаметра, тобто $$ R = \frac{d}{2} = 3\ \text{см}. $$

Підставимо отримані дані у формулу: $$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12\pi\ \text{см}^3. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду \(SABC.\) Точка \(O\) – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник \(ABC\) (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна \(SK = 4\), \(S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}\), периметр трикутника \(ABC\) дорівнює \(50.\)

Для обчислення об’єму \(V\) конуса потрібно знати його радіус \(OK\) та висоту \(SO\): $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де \(p\) – півпериметр трикутника \(ABC\), \(r = OK.\) Радіус \(OK\) визначаємо за цією формулою:

У прямокутному трикутнику \(SOK\) відома гіпотенуза \(SK\) та катет \(OK.\) За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

Тоді

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра, отриманого після згортання листа заліза, обчислюємо за формулою \(S_\text{бічн} = 2\pi Rh.\) У нашому випадку діаметр \(d = 2R = 20\) см, висота циліндра дорівнює довжині відрізка \(AB\), тому \(h = 50\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

Об'єм кулі радіуса \(5\) см

Об'єм кулі радіуса \(1\) см

Отже, об'єм великої кулі в \(125\) разів більше об'єму маленької. Можна одержати \(125\) куль.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати об’єм піраміди, вписаної в конус. Для розв’язання завдання потрібно знати формули об’єму піраміди, площі прямокутного трикутника, означення кута між прямою та площиною та двогранного кута, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Важливим кроком розв’язання практично будь-якої стереометричної задачі є побудова правильного рисунка. За означенням піраміди, вписаної в конус, вершина піраміди співпадає з вершиною конуса, а вершини основи піраміди лежать на колі основи конуса, висота конуса є висотою піраміди.

На рисунку зображено конус, у який вписано трикутну піраміду \(SABC\), в основі якої лежить трикутник \(ABC\) \((\angle B=90^\circ).\) Усі бічні ребра цієї піраміди є твірними конуса і нахилені до площини основи під одним кутом. Основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника \(ABC\) \((\angle B=90^\circ).\) У прямокутному трикутнику центр описаного навколо нього кола є серединою гіпотенузи, тобто точка \(O\) – середина гіпотенузи \(AC\), \(SO\) – висота піраміди.

Згідно з умовою $$ \angle SAO=\angle SBO=\angle SCO=45^\circ. $$ Нехай грань \(SBC\), що містить катет \(BC\), утворює з площиною основи піраміди кут \(60^\circ.\) Проведемо перпендикуляр \(OK\) до \(BC\), тоді за теоремою про три перпендикуляри \(SK\ \perp\ BC\), отже \(\angle SKO\) є лінійним кутом двогранного кута між площинами \((SBC)\) і \((ABC)\), тобто кутом між бічною гранню і площиною основи. Тоді за умовою \(\angle SKO=60^\circ.\) \(AB\ \perp\ BC\) за умовою, \(OK\ \perp\ BC\) за побудовою, то \(OK\ ||\ AB.\) Оскільки точка \(O\) – середина \(AC\), то за теоремою Фалеса (паралельні прямі відтинають на сторонах кута \(ACB\) рівні відрізки) точка \(K\) є серединою катета \(BC\), а відрізок \(OK\) – середньою лінією трикутника \(ABC.\)

З прямокутного трикутника \(SOC{:}\) \begin{gather*} \sin\angle SCO=\frac{SO}{SC},\\[6pt] \cos\angle SCO=\frac{CO}{SC}, \end{gather*} звідки отримаємо: \begin{gather*} SO=SC\cdot\sin\angle SCO,\\[7pt] CO=SC\cdot\cos\angle SCO. \end{gather*} За умовою \(SC=9\) см, тоді \begin{gather*} SO=9\sin 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] OC=9\cos 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] AC=2OC=9\sqrt{2}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(SOK\) $$ \mathrm{ctg}\angle SKO=\frac{OK}{SO}, $$ звідки визначаємо катет \(OK{:}\)

Оскільки \(OK\) – середня лінія трикутника \(ABC\), яка паралельна стороні \(AB\), то $$ AB=2OK=3\sqrt{6}. $$

З прямокутного трикутника \(ABC\) за теоремою Піфагора визначаємо катет \(BC{:}\)

Об’єм піраміди \(SABC\) визначаємо за формулою

Таким чином,

Відповідь: \(81.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм циліндра.

Це завдання перевіряє вміння визначати висоту циліндра за заданим радіусом основи та об’ємом циліндра та знання самої формули об’єму циліндра.

Об’єм циліндра обчислюється за формулою $$ V=\pi R^2H, $$ де \(R\) – радіус основи, \(H\) – висота. Підставимо у цю формулу дані з умови: \(R=3\), \(V=72\pi\) та отримаємо рівність $$ 72\pi=9\pi H. $$ Звідки \(H=8\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати твірну конуса за заданими його об’ємом та радіусом його основи.

Для розв’язання завдання потрібно знати властивості рівнобедреного трикутника, означення та властивості конуса, формулу об’єму конуса, теорему Піфагора.

Нехай \(ABC\) – рівнобедрений трикутник, у якому \(AB = CB\) (див. рисунок).

Висота \(BO\) є одночасно його медіаною та бісектрисою. Результатом обертання трикутника \(ABC\) навколо висоти \(BO\) (або прямокутного трикутника \(ABO\) навколо катета \(BO\)) є конус з висотою \(BO\) та радіусом основи \(AO.\) Трикутник \(ABC\) – осьовий переріз конуса. Бічна сторона трикутника \(ABC\) – твірна конуса.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника \(ABO\) виконується рівність $$ AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}. $$ Оскільки точка \(O\) є серединою відрізка \(AC\), то $$ AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\ \text{см}. $$

Для визначення висоти конуса запишемо формулу об’єму конуса: $$ V = \frac{1}{3}\pi AO^{2} \cdot BO. $$ Оскільки \(AO = 8\ \text{см}\), а \(V = 320\pi\ \text{см}^3\), то \begin{gather*} 320\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^{2} \cdot BO,\\[6pt] 320\cdot 3=64\cdot BO,\\[6pt] BO = \frac{320 \cdot 3}{64} = 5\cdot 3=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $$ AB^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289, $$ звідси $$ AB = \sqrt{289} = 17\ \text{см}. $$

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа сфери.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу сфери за заданим діаметром сфери.

Якщо діаметр \(d\) сфери дорівнює \(12\) см, то радіус сфери $$ R = \frac{1}{2} d, $$ тобто \(R = 6\) см.

Площа сфери радіуса \(R\) обчислюється за формулою $$ S = 4\pi R^2. $$ Підставивши у цю формулу замість \(R\) його довжину, отримаємо

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Циліндр. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра, вміння будувати переріз циліндра та знаходити зазначені відстані.

На рисунку зображено циліндр, точки \(A\) і \(B\), що лежать відповідно на колах верхньої та нижньої його основи, вісь циліндра \(OO_1.\)

Перерізом циліндра площиною, паралельною осі циліндра \(OO_1\), є прямокутник \(ALBC.\)

Відстань від точки \(O\) – центра нижньої основи – до заданої площини дорівнює довжині відрізка \(OK\), \(OK\ \perp\ BL\), де точка \(K\) – середина відрізка \(BL\) (оскільки радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл), за умовою \(OK=2\) см. Для зручності введемо позначення: \(R\) – радіус основи циліндра, \(H\) – висота циліндра, \(BK=\frac{1}{2}BL=a.\) Шуканий відрізок \(AB\) є гіпотенузою прямокутного трикутника \(BLA.\) За теоремою Піфагора: $$ AB^2=4a^2+H^2. $$

Отже, щоб знайти довжину відрізка \(AB\), потрібно визначити висоту \(H\) і довжину відрізка \(BK.\) За умовою, площа утвореного перерізу дорівнює \(60\sqrt{2}\). Врахувавши, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін, записуємо рівняння: $$ 2aH=60\sqrt{2}, $$ тобто $$ aH=30\sqrt{2}. $$ Площа бічної поверхні циліндра радіуса \(R\) і висоти \(H\) дорівнює $$ S=2\pi RH, $$ отже, записуємо рівняння: $$ 2\pi RH=20\sqrt{30}\pi, $$ звідки $$ RH=10\sqrt{30}. $$ Розглянемо прямокутний трикутник \(BKO\), в якому відрізок \(OK\) є катетом. За теоремою Піфагора запишемо співвідношення: $$ a^2+4=R^2. $$ Отже, маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

У формулі для знаходження довжини відрізка \(AB\) радіус \(R\) не фігурує. Тому спочатку виключимо із системи змінну \(R.\) Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо $$ \frac{R}{a}=\frac{1}{3}\sqrt{15}, $$ звідки $$ R=\frac{a}{3}\sqrt{15}. $$ Підставимо це значення в останнє рівняння системи: $$ a^2+4=\left(\frac{a}{3}\sqrt{15}\right)^2, $$ звідки \begin{gather*} a^2+4=\frac{5}{3}a^2,\\[6pt] a^2=6. \end{gather*} Ураховуючи друге рівняння, дістаємо \begin{gather*} H=\frac{30\sqrt{2}}{a},\\[6pt] H^2=\frac{1800}{a^2}=\frac{1800}{6}=300. \end{gather*} Таким чином,

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для площі бічної поверхні піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(KABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(AB = 6\) см.

Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), отже, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей) точка \(O.\)