Тіла обертання – тести ЗНО/НМТ – завдання з математи

Предмет: Геометрія
Розділ: Стереометрія
Тема: Тіла обертання
Кількість завдань: 102

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 102

Переріз кулі площиною має площу $81\pi$ см$^2.$ Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює $15$ см.

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\begin{gather*} S_{\text{перерізу}} = 81\pi\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{перерізу}} = \pi\cdot O_1A^2 = 81\pi,\\[7pt] O_1A^2 = 81,\\[7pt] O_1A = 9\ \text{см},\\[7pt] OA = 15\ \text{см}. \end{gather*}

$OO_1$ – відстань від центра кулі точки $O$ до перерізу, тому $OO_1\ \perp\ O_1A.$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = OA^2 - O_1A^2 = 225 - 81 = 144,\\[7pt] OO_1 = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4318

Завдання 2 з 102

Установіть відповідність між фігурою (1–4) і тілом обертання (А – Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фігура

Тіло обертання

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид тіла обертання.

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – А.

Отже, 3 – В.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – В, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4322

Завдання 3 з 102

Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює $9$ см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює $12$ см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

А$3$ cм

Б$5$ cм

В$6$ cм

Г$7$ cм

Д$8$ cм

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера. Планіметрія. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл та поверхонь обертання до розв’язування стереометричних задач практичного змісту.

$OA = 12$ см, $O_1A = 9$ см.

Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається до півсфери:
$\Delta OO_1A\ (\angle O_1 = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63,\\[7pt] OO_1 = \sqrt{63}\ \text{см},\\[7pt] \sqrt{49} \lt \sqrt{63} \lt \sqrt{64},\\[7pt] 7 \lt \sqrt{63} \lt 8,\\[7pt] 7\lt OO_1 \lt 8. \end{gather*}

Найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, – $7$ см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5334

Завдання 4 з 102

Установіть відповідність між тілом обертання (1–4) та формулою (А – Д) для обчислення його об'єму $V.$

А$V=\dfrac{1}{3}\pi a^3$

Б$V=\dfrac{9}{16}\pi a^3$

В$V=\dfrac{2}{3}\pi a^3$

Г$V=\pi a^3$

Д$V=2\pi a^3$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Квадрат зі стороною $a$ обертається навколо прямої. Отримаємо циліндр з радіусом основи $a$ та висотою $a.$

\begin{gather*} V = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Прямокутний рівнобедрений трикутник з катетом $a$ обертається навколо прямої. Отримаємо конус з радіусом основи $a$ та висотою $a.$

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. Отримаємо циліндр, в якому вирізано конус з радіусом основи $a$, висотою $a.$

\begin{gather*} V_\text{ф} = V_\text{ц} - V_\text{к},\\[7pt] V_\text{ц} = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3,\\[6pt] V_\text{к} = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3,\\[6pt] V_\text{ф} = \pi a^3 - \frac{1}{3}\pi a^3 = \frac{2}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

4. $OA = \dfrac{3}{4}a$

Отримаємо кулю з радіусом $OA.$

\begin{gather*} V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot \left(\frac{3}{4}a\right)^3 = \pi\cdot \frac{4 \cdot 3^3}{3 \cdot 4^3}a^3= \frac{9}{16}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5338

Завдання 5 з 102

Прямокутник із сторонами $8$ см і $10$ см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А$360\pi$ см$^2$

Б$160\pi$ см$^2$

В$260\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$800\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі бічної поверхні циліндра.

При обертанні прямокутника навколо меншої сторони отримаємо циліндр.
$OO_1 = 8$ см – висота циліндра.

\begin{gather*} AB = OO_1 = 8\ \text{см},\\[7pt] OB = 10\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічн.}} = 2\mathbf{\pi}RH = 2\mathbf{\pi}\cdot OB\cdot OO_1 = 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot 8 = 160\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{осн.}} = \mathbf{\pi}R^2 = \mathbf{\pi}\cdot OB^2 = \mathbf{\pi}\cdot 100 = 100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{повн.}} = S_{\text{бічн.}} + 2\cdot S_{\text{осн.}} = 160\mathbf{\pi} + 2\cdot 100\mathbf{\pi} = 360\mathbf{\pi}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6085

Завдання 6 з 102

Прямокутний трикутник із катетами $9$ см і $12$ см обертається навколо більшого катета (див. рисунок). Визначте площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А$324\pi$ см$^2$

Б$216\pi$ см$^2$

В$180\pi$ см$^2$

Г$135\pi$ см$^2$

Д$81\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі поверхні конуса.

Прямокутний $\Delta CAB\ (\angle C=90^\circ)$, $AC=12$ см, $BC=9$ см.

\begin{gather*} S_{\text{біч}} = \pi Rl, \end{gather*}

де $R=BC$, $l=AB.$

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB=AC^2+BC^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AB = 15\ \text{см};\\[7pt] S_{\text{біч}} = \pi\cdot 9\cdot 15=135\pi\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{\text{осн}} = \pi R^2=\pi\cdot 9^2=81\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}} = 135\pi+81\pi=216\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6099

Завдання 7 з 102

Об'єм кулі дорівнює $36\pi$ см$^3$. Знайдіть її діаметр.

А$3$ см

Б$24$ см

В$6$ см

Г$18$ см

Д$12$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі, формули її об’єму.

Об’єм кулі знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V = \frac{4}{3}\pi R^3, \end{gather*}

де $R$ – радіус кулі.

\begin{gather*} 36\pi = \frac{4}{3}\pi R^3;\\[6pt] R^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27. \end{gather*}

$R = 3$ см. Діаметр кулі

\begin{gather*} d = 2R = 6\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6133

Завдання 8 з 102

На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об'єм.

А$9\pi$ см$^3$

Б$15\pi$ см$^3$

В$30\pi$ см$^3$

Г$36\pi$ см$^3$

Д$45\pi$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм циліндра.

Об’єм циліндра знаходимо за формулою

\begin{gather*} V = \pi R^2 H, \end{gather*}

де $R$ – радіус основи, $H$ – висота.

$R = 3$ см, $H = 5$ см.

\begin{gather*} V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6143

Завдання 9 з 102

У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною $13$ см і основами $18$ см і $8$ см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса $S_\text{бічне}$ (у см$^2$), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$. У відповіді запишіть значення $\dfrac{S_\text{бічне}}{\pi}$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників та тіл обертання, формул площ поверхонь тіл обертання.

$EABCD$ – піраміда. У піраміду вписано конус, тому висота піраміди збігається з висотою конуса $EO.$ Основа конуса – коло, вписане в трапецію. $OK\!\perp\!BC$ – радіус даного кола.

Усі бічні грані нахилені до основи під кутом $60^\circ.$ $OK$ – проекція похилої $EK$ на площину $(ABC).$ Отже, за теоремою про три перпендикуляри, $EK\!\perp\!BC$.

$(EKO)\!\perp\!BC$ (за ознакою перпендикулярності прямої та площини), тому $\angle EKO = 60^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного.

$AD = CB = 13$ см, $DC = 8$ см, $AB = 18$ см.

Проведемо висоти $DM$, $CP.$

$DC = MP = 8$ см, $AM = PB = (18 - 8) : 2 = 5$ см.

У $\Delta AMD\ (\angle M = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2 = DM^2 + AM^2;\\[7pt] DM = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції – діаметр вписаного кола. Отже,

\begin{gather*} r = \frac{DM}{2} = \frac{12}{2} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)$

\begin{gather*} EK = \frac{OK}{\cos K} = \frac{6}{\cos 60^\circ} = 12\ \text{см}.\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi rl, \end{gather*}

де $r$ – радіус основи, $l$ – твірна.

\begin{gather*} r = OK = 6\ \text{см};\\[7pt] l = EK = 12\ \text{см};\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S_{\text{біч}}}{\pi} = \frac{72\pi}{\pi} = 72. \end{gather*}

Відповідь: $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6154

Завдання 10 з 102

Обчисліть площу сфери, діаметр якої дорівнює $12$ см.

А$36\pi$ см$^2$

Б$72\pi$ см$^2$

В$144\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$576\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей сфери, формули площі поверхні сфери.

\begin{gather*} d = 12\ \text{см};\\[6pt] R = \frac 12d = \frac 12 \cdot 12 = 6\ \text{см}. \end{gather*}

Площу сфери знаходимо за формулою

\begin{gather*} S = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot 6^2 = 144\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6170

Завдання 11 з 102

Довжина кола основи конуса дорівнює $8\pi$ см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює $3$ см.

А$11$ см

Б$10$ см

В$7$ см

Г$5$ см

Д$4$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання теореми Піфагора.

Довжина кола основи конуса $C = 2\pi R = 8\pi$ см, де $R = OB = 4$ см. $AO = 3$ см – висота конуса.

У $\Delta AOB\ (\angle O = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2 = AO^2 + OB^2 = 3^2 + 4^2 = 25. \end{gather*}

$AB = 5$ см – твірна.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6174

Завдання 12 з 102

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, діагональ якого дорівнює $10$ см. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює $8$ см.

А$1$ см

Б$2$ см

В$3$ см

Г$6$ см

Д$12$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра.

Висота циліндра $OO_{1}=BA=CD=8$ см. $ABCD$ – прямокутник $AC=10$ см.

У $\Delta ACD\ (\angle D = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^{2} = AD^{2} + DC^{2};\\[7pt] AD = \sqrt{100 - 64} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

$AD = 2 \cdot AO$, $AO = 3$ см – радіус основи.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6218

Завдання 13 з 102

У скільки разів збільшиться об’єм кулі, якщо її радіус збільшити у $2$ рази?

Ау $2$ рази

Бу $4$ рази

Ву $6$ разів

Гу $8$ разів

Ду $16$ разів

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об’єму кулі, уміння застосовувати властивості кулі.

Об’єм кулі знаходиться за формулою:

\begin{gather*} V = \frac 43\pi R^{3}, \end{gather*}

де $R$ – радіус кулі.

Якщо радіус збільшити у $2$ рази, то об’єм збільшиться у $2^{3} = 8$ разів.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6223

Завдання 14 з 102

Установіть відповідність між перерізами геометричних тіл (1–4) та їхніми назвами (А – Д).

Переріз

1діагональний переріз правильної шестикутної призми

2переріз циліндра площиною, що перетинає його твірну і перпендикулярна до неї

3переріз конуса площиною, що проходить через його вершину та хорду основи

4переріз сфери площиною, що проходить через дві різні точки сфери

Назва перерізу

Акруг

Бколо

Вшестикутник

Гпрямокутник

Дтрикутник

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників та тіл обертання, уміння будувати перерізи, встановлювати їх вид.

Переріз прямокутник. Отже, 1 – Г.

Переріз круг. Отже, 2 – А.

Переріз трикутник. Отже, 3 – Д.

Переріз кулі – круг, але сфери – коло. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Д, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6238

Завдання 15 з 102

Довжина кола основи циліндра дорівнює $18\pi$ см. Визначте площу бічної поверхні цього циліндра, якщо його висота дорівнює $7$ см.

А$126\pi$ см$^2$

Б$207\pi$ см$^2$

В$252\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$567\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$H = 7$ см, $C = 18\pi$ см – довжина кола.

За формулою $$ S_{б} = 2\pi RH, $$ де $C = 2\pi R$. Отже,

$$ S_{б} = CH = 18\pi\cdot 7 = 126\pi\ \text{см}^2. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6261

Завдання 16 з 102

Об'єм конуса дорівнює $64$ см$^3.$ Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Утворений переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого. Знайдіть об'єм меншого конуса.

А$32$ см$^3$

Б$16$ см$^3$

В$12$ см$^3$

Г$8$ см$^3$

Д$4$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса, вміння застосовувати властивості конуса.

$V_{K1} = 64\ \text{см}^3$, $SO_1 = O_1O.$

Круги з центрами $O$ та $O_1$ подібні.

Конуси з радіусами основ $r$ та $R$ подібні.

Отже, $$ \frac{r}{R} = \frac{1}{2} = k, $$ де $k$ – коефіцієнт подібності.

\begin{gather*} \frac{V_{K2}}{V_{K1}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8},\\[6pt] V_{K2} = \frac{64}{8} = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6265

Завдання 17 з 102

Діаметр основи конуса дорівнює $6$ см, а площа його бічної поверхні – $24\pi$ см$^2.$ Знайдіть довжину твірної конуса.

А$2$ см

Б$4$ см

В$6$ см

Г$8$ см

Д$12$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі бічної поверхні конуса.

$BC = 6$ см, $BO = \dfrac{1}{2}BC = 3$ см.

\begin{gather*} S_{бічної} = \pi Rl, \end{gather*}

де $R = BO = 3$ см, $l = AB.$

\begin{gather*} \pi\cdot 3 \cdot AB = 24\pi,\\[7pt] 3AB = 24,\\[7pt] AB = 8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6294

Завдання 18 з 102

Циліндр, радіус основи якого дорівнює $4$ см, висота – $12$ см, перетнули площиною, паралельною до його основи (див. рисунок 1). Утворилося два циліндри (див. рисунок 2). Визначте суму площ повних поверхонь утворених циліндрів.

А$96\pi$ см$^2$

Б$108\pi$ см$^2$

В$128\pi$ см$^2$

Г$144\pi$ см$^2$

Д$160\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули площі поверхні циліндра.

$H = 12$ см, $R = 4$ см.

Площа поверхні циліндра на рис. 1.

\begin{gather*} S_{\text{поверхні 1}} = 2\pi R(H + R) = 2\pi \cdot 4(12 + 4) = 16 \cdot 8\pi = 128\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Сума площ поверхонь утворених циліндрів відрізняється на суму площ двох кругів, які є основами циліндра.

\begin{gather*} S_{\text{основи}} = \pi R^2 = 16\pi;\\[7pt] S_{\text{поверхні 2}} = S_{\text{поверхні 1}} + 2 \cdot 16\pi = 128\pi + 32\pi = 160\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6329

Завдання 19 з 102

Навколо правильної трикутної призми описано сферу радіуса $6$ см. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут $30^\circ.$ Визначте об'єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

121.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники $ABC$, $A_1B_1C_1$ вписані у кола.

Точка $O$ – центр сфери. Проведемо $OO_1\!\perp\!(ABC)$, $ON\!\perp\!BB_1.$

Точка $O_1$ – центр кола, описаного навколо $\Delta ABC.$

$ONBO_1$ – прямокутник.

За умовою $\angle OBN=30^\circ.$ Отже, $\angle OBO_1=60^\circ.$ Точка $N$ – середина ребра $BB_1.$ $OB=6$ см.

У $\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)$,

\begin{gather*} O_1B=OB\cos 60^\circ=6\cdot \frac 12=3\ \text{см};\\[6pt] OO_1=OB\sin 60^\circ =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ O_1B=3$ см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} AB=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де $a=AB$ – сторона правильного трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] BB_1=2OO_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{осн.}\cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн.}=S_{ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] H=BB_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac{27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $121{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6344

Завдання 20 з 102

Периметр осьового перерізу циліндра дорівнює $32$ см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює $10$ см.

А$30\pi$ см$^2$

Б$60\pi$ см$^2$

В$90\pi$ см$^2$

Г$120\pi$ см$^2$

Д$360\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі поверхні циліндра.

$ABCD$ – осьовий переріз. $AB = 10$ см – висота циліндра (твірна). $P_{ABCD} = 32$ см.

\begin{gather*} 2(AB + AD) = 32;\\[7pt] AB + AD = 16;\\[7pt] 10 + AD = 16;\\[7pt] AD = 6\ \text{см – діаметр основи};\\[7pt] d = 6\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{біч} = \pi dH, \end{gather*}

де $H$ – висота, $H = 10$ см.

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6365

Завдання 21 з 102

Висота конуса вдвічі менша за діаметр його основи. Знайдіть градусну міру кута між твірною конуса та площиною його основи.

А$15^\circ$

Б$30^\circ$

В$45^\circ$

Г$60^\circ$

Д$75^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей конуса.

$AC$, $AB$ – твірна, $AO$ – висота конуса, $OB$ – радіус основи.

\begin{gather*} AO = \frac 12BC = OC. \end{gather*}

$\Delta AOC$ – рівнобедрений прямокутний.

Кут між $AC$ та площиною основи – $\angle ACO = 45^\circ$ (кут між похилою $AC$ та проекцією $CO$).

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6367

Завдання 22 з 102

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із кутом $15^\circ$. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$. Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює $6$ см. Обчисліть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

40.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди та кулі, формули об’єму піраміди, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв’язування стереометричних задач.

Дано: піраміда $DABC$, в основі якої лежить $\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)$, $\angle A = 15^\circ.$

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$, отже, основа висоти (точка $O$) – центр описаного навколо $\Delta ABC$ кола. У прямокутному трикутнику – це середина гіпотенузи $AB$.

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка $O_1$ належить висоті $DO.$

\begin{gather*} DO_1 = O_1A = O_1B = O_1C = 6\ \text{см}. \end{gather*}

$DB$, $DC$, $DA$ – похилі; $OB$, $OC$, $OA$ – їхні проекції. Отже,

\begin{gather*} \angle(DB, (ABC)) = \angle(DC, (ABC)) = \angle(DA, (ABC)) = 60^\circ.\\[7pt] \angle DBO = \angle DCO = \angle DAO = 60^\circ. \end{gather*}

У $\Delta ADB\ (\angle A = \angle B = 60^\circ).$ Отже, $\angle D = 60^\circ.$ $\Delta ADB$ – рівносторонній, точка $O_1$ – центр описаного кола ($O_1D = O_1B = O_1A = 6$ см). $AB = O_1D\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

У $\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)$, $AC = AB\cos 15^\circ = 6\sqrt{3}\cos 15^\circ.$

\begin{gather*} S_{ABC} = \frac 12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 15^\circ = \frac 12 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}\cos 15^\circ\sin 15^\circ =\\[6pt] =3 \cdot 9 \cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ= 27\sin 30^\circ = \frac{27}{2}\ \text{см}^2;\\[6pt] DO = \frac 32 \cdot DO_1 = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\ \text{см};\\[6pt] \frac{DO_1}{O_1O} = \frac 21;\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 S_{ABC} \cdot DO = \frac 13 \cdot \frac{27}{2} \cdot 9 = \frac{81}{2} = 40{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $40{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6379

Завдання 23 з 102

Об’єм циліндра дорівнює $48$ см$^3$. Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.

А$6$ см$^3$

Б$8$ см$^3$

В$16$ см$^3$

Г$24$ см$^3$

Д$36$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра та конуса, формули об’ємів тіл обертання.

\begin{gather*} V_\text{циліндра} = S_\text{осн} \cdot H = \pi R^{2}H = 48\ \text{см}^3. \end{gather*}

$R$ – радіус основи циліндра.
$H$ – висота циліндра.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13 S_\text{осн} \cdot h = \frac 13\pi r^2h. \end{gather*}

$r = R$ – радіус конуса.
$h = \dfrac 12H$ – висота конуса.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13\pi R^2 \cdot \frac 12H = \frac 16\pi R^2H = \frac 16 \cdot 48 = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6403

Завдання 24 з 102

У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює $36\pi$ см$^2$. Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом $60^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

324

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для об’єму піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$EABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат, $EO$ – висота піраміди, центр квадрата.

Побудуємо апофеми $EK\!\perp\!DC$, $EL\!\perp\!AD$, $EM\!\perp\!AB$, $EN\!\perp\!BC.$ $DK = KC = AL = LD = AM = MB = BN = NC.$

За теоремою про три перпендикуляри $OK\!\perp\!DC$, $OL\!\perp\!AD$, $OM\!\perp\!AB$, $ON\!\perp\!BC.$

$(EOK)\!\perp\!DC$, $\angle EKO$ – лінійний кут відповідного двогранного, $\angle EKO = 60^\circ.$ Аналогічно $\angle ELO = \angle EMO = \angle ENO = 60^\circ.$

Центр сфери, вписаної у піраміду, належить висоті $EO$ (точка $O_1$). У $\Delta EOK$ на катеті $EO$ виберемо точку $O_1$ так, щоб $OO_1=O_1H$, $O_1H\!\perp\! EK.$ $(EOK)\!\perp\!(EDC)$ за ознакою перпендикулярності площин. Отже, відстань від точки $O_1$ до $(EDC)$ – відрізок $O_1H.$

Аналогічно доводиться, що $(EON)\!\perp\!(BEC)$, $(EOM)\!\perp\!(AEB)$, $(EOL)\!\perp\!(AED).$ $\Delta EOK = \Delta EON = \Delta EOM = \Delta EOL$, відстані від точки $O_1$ до апофем $EL$, $EM$, $EN$, $EK$ – рівні. Отже, точка $O_1$ – рівновіддалена від бічних граней та основи. Точка $O_1$ – центр вписаної сфери. $O_1H=O_1O$ – радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\pi R^2 = 36\pi;\\[7pt] R^2 = 9;\\[7pt] R = 3\ \text{см радіус сфери.} \end{gather*}

Точка $O_1$ – рівновіддалена від сторін кута $HKO$, $KO_1$ – бісектриса кута. $\angle O_1KO = 30^\circ.$

$\Delta OO_1K\ (\angle O = 90^\circ)$, $OK = OO_1\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}$ см.

$AD = 2OK = 6\sqrt{3}\ \text{см}.$

$\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)$, $EO = OK\mathrm{tg}\ 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

\begin{gather*} V_\text{піраміди} = \frac 13S_\text{осн} \cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн} = S_{ABCD} = AD^{2} = (6\sqrt{3})^2 = 108\ \text{см}^2.\\[6pt] H = EO = 9\ \text{см}.\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 \cdot 108 \cdot 9 = 324\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $324.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6418

Завдання 25 з 102

Знайдіть об'єм конуса, якщо його радіус дорівнює $6$ см, твірна – $10$ см.

А$48\pi$ см$^3$

Б$60\pi$ см$^3$

В$96\pi$ см$^3$

Г$120\pi$ см$^3$

Д$288\pi$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра та конуса, формули об’ємів тіл обертання.

$OB = 6$ см, $AB = 10$ см.

$\Delta AOB$ – єгипетський, $AO = 8$ см – висота.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13\pi R^2 H, \end{gather*}

де $R = 6$ см, $H = AO = 8$ см.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13\cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6454

Завдання 26 з 102

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $6$. Бічне ребро піраміди нахилене до площини її основи під кутом $60^\circ$. Обчисліть площу $S$ сфери, описаної навколо піраміди. У відповідь запишіть значення $\dfrac S\pi$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для площі бічної поверхні піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$KABCD$ – правильна піраміда, $ABCD$ – квадрат, $AB = 6$ см.

Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$, отже, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей) точка $O.$

$KA = KB = KC = KD$ – похилі, $OA = OB = OC = OD$ – проекції.
$\angle KDO = \angle KCO = \angle KBO = \angle KAO = 60^\circ.$

Сфера описана навколо піраміди. Центр сфери належить висоті $KO.$ Нехай точка $M$ – центр сфери.
$MA = MB = MC = MD = MK$ – радіуси,
$BO = AO = OC = OD.$ Це доводить, що центр сфери належить висоті $KO.$

Розглянемо $\Delta BKD.$ $KB = KD$, $\angle B = \angle D = 60^\circ.$ Отже, $\angle K = 60^\circ.$ $\Delta BKD$ – рівносторонній. Точка $M$ рівновіддалена від вершин трикутника. Отже, точка $M$ – центр кола, описаного навколо трикутника.

\begin{gather*} R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \end{gather*}

де $a$ – сторона трикутника, $R$ – радіус описаного кола. $AB = 6$ см.

У $\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 2 \cdot 6^2;\\[7pt] AC = 6\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус кола

\begin{gather*} R = \frac{AC\sqrt{3}}{3} = \frac{6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{6}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа сфери

\begin{gather*} S_\text{сфери} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot (2\sqrt{6})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 = 96\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

У відповідь запишемо

\begin{gather*} \frac{S_\text{сфери}}{\pi} = \frac{96\pi}{\pi} = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $96.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6476

Завдання 27 з 102

Через точки $A$ i $B$, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює $2$ см, а площа утвореного перерізу – $60\sqrt{2}$ см$^2.$ Визначте довжину відрізка $AB$ (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $20\sqrt{30}\pi$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Циліндр. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра, вміння будувати переріз циліндра та знаходити зазначені відстані.

На рисунку зображено циліндр, точки $A$ і $B$, що лежать відповідно на колах верхньої та нижньої його основи, вісь циліндра $OO_1.$

Перерізом циліндра площиною, паралельною осі циліндра $OO_1$, є прямокутник $ALBC.$

Відстань від точки $O$ – центра нижньої основи – до заданої площини дорівнює довжині відрізка $OK$, $OK\ \perp\ BL$, де точка $K$ – середина відрізка $BL$ (оскільки радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл), за умовою $OK=2$ см. Для зручності введемо позначення: $R$ – радіус основи циліндра, $H$ – висота циліндра, $BK=\frac{1}{2}BL=a.$ Шуканий відрізок $AB$ є гіпотенузою прямокутного трикутника $BLA.$ За теоремою Піфагора: $$ AB^2=4a^2+H^2. $$

Отже, щоб знайти довжину відрізка $AB$, потрібно визначити висоту $H$ і довжину відрізка $BK.$ За умовою, площа утвореного перерізу дорівнює $60\sqrt{2}$. Врахувавши, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін, записуємо рівняння: $$ 2aH=60\sqrt{2}, $$ тобто $$ aH=30\sqrt{2}. $$ Площа бічної поверхні циліндра радіуса $R$ і висоти $H$ дорівнює $$ S=2\pi RH, $$ отже, записуємо рівняння: $$ 2\pi RH=20\sqrt{30}\pi, $$ звідки $$ RH=10\sqrt{30}. $$ Розглянемо прямокутний трикутник $BKO$, в якому відрізок $OK$ є катетом. За теоремою Піфагора запишемо співвідношення: $$ a^2+4=R^2. $$ Отже, маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

$$ \left\{\begin{array}{l} RH=10\sqrt{30},\\ aH=30\sqrt{2},\\ a^2+4=R^2. \end{array}\right. $$

У формулі для знаходження довжини відрізка $AB$ радіус $R$ не фігурує. Тому спочатку виключимо із системи змінну $R.$ Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо $$ \frac{R}{a}=\frac{1}{3}\sqrt{15}, $$ звідки $$ R=\frac{a}{3}\sqrt{15}. $$ Підставимо це значення в останнє рівняння системи: $$ a^2+4=\left(\frac{a}{3}\sqrt{15}\right)^2, $$ звідки \begin{gather*} a^2+4=\frac{5}{3}a^2,\\[6pt] a^2=6. \end{gather*} Ураховуючи друге рівняння, дістаємо \begin{gather*} H=\frac{30\sqrt{2}}{a},\\[6pt] H^2=\frac{1800}{a^2}=\frac{1800}{6}=300. \end{gather*} Таким чином,

\begin{gather*} AB^2=4a^2+H^2=4\cdot 6+300=324,\\[7pt] AB=\sqrt{324}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $18.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6904

Завдання 28 з 102

Визначте площу сфери, діаметр якої дорівнює $12$ см.

А$36\pi$ см$^2$

Б$72\pi$ см$^2$

В$144\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$576\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа сфери.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу сфери за заданим діаметром сфери.

Якщо діаметр $d$ сфери дорівнює $12$ см, то радіус сфери $$ R = \frac{1}{2} d, $$ тобто $R = 6$ см.

Площа сфери радіуса $R$ обчислюється за формулою $$ S = 4\pi R^2. $$ Підставивши у цю формулу замість $R$ його довжину, отримаємо

$$ S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi\ \text{см}^2. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7078

Завдання 29 з 102

Об'єм тіла, утвореного обертанням рівнобедреного трикутника навколо висоти, проведеної до його основи, дорівнює $320\pi$ см$^3$. Обчисліть довжину бічної сторони цього трикутника (у см), якщо його основа дорівнює $16$ см.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати твірну конуса за заданими його об’ємом та радіусом його основи.

Для розв’язання завдання потрібно знати властивості рівнобедреного трикутника, означення та властивості конуса, формулу об’єму конуса, теорему Піфагора.

Нехай $ABC$ – рівнобедрений трикутник, у якому $AB = CB$ (див. рисунок).

Висота $BO$ є одночасно його медіаною та бісектрисою. Результатом обертання трикутника $ABC$ навколо висоти $BO$ (або прямокутного трикутника $ABO$ навколо катета $BO$) є конус з висотою $BO$ та радіусом основи $AO.$ Трикутник $ABC$ – осьовий переріз конуса. Бічна сторона трикутника $ABC$ – твірна конуса.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $ABO$ виконується рівність $$ AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}. $$ Оскільки точка $O$ є серединою відрізка $AC$, то $$ AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\ \text{см}. $$

Для визначення висоти конуса запишемо формулу об’єму конуса: $$ V = \frac{1}{3}\pi AO^{2} \cdot BO. $$ Оскільки $AO = 8\ \text{см}$, а $V = 320\pi\ \text{см}^3$, то \begin{gather*} 320\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^{2} \cdot BO,\\[6pt] 320\cdot 3=64\cdot BO,\\[6pt] BO = \frac{320 \cdot 3}{64} = 5\cdot 3=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $$ AB^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289, $$ звідси $$ AB = \sqrt{289} = 17\ \text{см}. $$

Відповідь: $17.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7157

Завдання 30 з 102

Об'єм циліндра дорівнює $72\pi$ см$^3.$ Знайдіть висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює $3$ см.

А$24$ см

Б$12$ см

В$9$ см

Г$8$ см

Д$6$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм циліндра.

Це завдання перевіряє вміння визначати висоту циліндра за заданим радіусом основи та об’ємом циліндра та знання самої формули об’єму циліндра.

Об’єм циліндра обчислюється за формулою $$ V=\pi R^2H, $$ де $R$ – радіус основи, $H$ – висота. Підставимо у цю формулу дані з умови: $R=3$, $V=72\pi$ та отримаємо рівність $$ 72\pi=9\pi H. $$ Звідки $H=8$ см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7179

Завдання 31 з 102

У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут $60^\circ.$ Знайдіть об'єм піраміди (у см$^3$), якщо твірна конуса дорівнює $9$ см і нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати об’єм піраміди, вписаної в конус. Для розв’язання завдання потрібно знати формули об’єму піраміди, площі прямокутного трикутника, означення кута між прямою та площиною та двогранного кута, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Важливим кроком розв’язання практично будь-якої стереометричної задачі є побудова правильного рисунка. За означенням піраміди, вписаної в конус, вершина піраміди співпадає з вершиною конуса, а вершини основи піраміди лежать на колі основи конуса, висота конуса є висотою піраміди.

На рисунку зображено конус, у який вписано трикутну піраміду $SABC$, в основі якої лежить трикутник $ABC$ $(\angle B=90^\circ).$ Усі бічні ребра цієї піраміди є твірними конуса і нахилені до площини основи під одним кутом. Основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника $ABC$ $(\angle B=90^\circ).$ У прямокутному трикутнику центр описаного навколо нього кола є серединою гіпотенузи, тобто точка $O$ – середина гіпотенузи $AC$, $SO$ – висота піраміди.

Згідно з умовою $$ \angle SAO=\angle SBO=\angle SCO=45^\circ. $$ Нехай грань $SBC$, що містить катет $BC$, утворює з площиною основи піраміди кут $60^\circ.$ Проведемо перпендикуляр $OK$ до $BC$, тоді за теоремою про три перпендикуляри $SK\ \perp\ BC$, отже $\angle SKO$ є лінійним кутом двогранного кута між площинами $(SBC)$ і $(ABC)$, тобто кутом між бічною гранню і площиною основи. Тоді за умовою $\angle SKO=60^\circ.$ $AB\ \perp\ BC$ за умовою, $OK\ \perp\ BC$ за побудовою, то $OK\ ||\ AB.$ Оскільки точка $O$ – середина $AC$, то за теоремою Фалеса (паралельні прямі відтинають на сторонах кута $ACB$ рівні відрізки) точка $K$ є серединою катета $BC$, а відрізок $OK$ – середньою лінією трикутника $ABC.$

З прямокутного трикутника $SOC{:}$ \begin{gather*} \sin\angle SCO=\frac{SO}{SC},\\[6pt] \cos\angle SCO=\frac{CO}{SC}, \end{gather*} звідки отримаємо: \begin{gather*} SO=SC\cdot\sin\angle SCO,\\[7pt] CO=SC\cdot\cos\angle SCO. \end{gather*} За умовою $SC=9$ см, тоді \begin{gather*} SO=9\sin 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] OC=9\cos 45^\circ=\frac{9\sqrt{2}}{2},\\[6pt] AC=2OC=9\sqrt{2}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника $SOK$ $$ \mathrm{ctg}\angle SKO=\frac{OK}{SO}, $$ звідки визначаємо катет $OK{:}$

$$ OK=SO\cdot \mathrm{ctg}\angle SKO=SO\cdot \mathrm{ctg} 60^\circ=\frac{9\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{6}}{2}. $$

Оскільки $OK$ – середня лінія трикутника $ABC$, яка паралельна стороні $AB$, то $$ AB=2OK=3\sqrt{6}. $$

З прямокутного трикутника $ABC$ за теоремою Піфагора визначаємо катет $BC{:}$

$$ BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{162-54}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}. $$

Об’єм піраміди $SABC$ визначаємо за формулою

$$ V=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot SO=\frac 13\cdot \frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot SO=\frac{1}{6}AB\cdot BC\cdot SO. $$

Таким чином,

$$ V=\frac{1}{6}\cdot 3\sqrt{6}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \frac{9\sqrt{2}}{2}=81\ \text{см}^3. $$

Відповідь: $81.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7197

Завдання 32 з 102

Свинцеву кулю радіуса $5$ см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких – $1$ см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте.

А$125$

Б$50$

В$25$

Г$10$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

Об'єм кулі радіуса $5$ см

\begin{gather*} V = \frac 43\pi R^3 = \frac 43\pi \cdot 5^3 = \frac 43\pi \cdot 125\ \text{см}^3. \end{gather*}

Об'єм кулі радіуса $1$ см

\begin{gather*} V = \frac 43\pi \cdot 1^3 = \frac 43\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже, об'єм великої кулі в $125$ разів більше об'єму маленької. Можна одержати $125$ куль.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7525

Завдання 33 з 102

Лист заліза, що має форму прямокутника $ABCD$ ($AB=50$ см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки 1 i 2). Краї $AB$ i $CD$ зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює $20$ см.

Виберіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.

А$1570$ см$^2$

Б$3150$ см$^2$

В$5240$ см$^2$

Г$6300$ см$^2$

Д$1000$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра, отриманого після згортання листа заліза, обчислюємо за формулою $S_\text{бічн} = 2\pi Rh.$ У нашому випадку діаметр $d = 2R = 20$ см, висота циліндра дорівнює довжині відрізка $AB$, тому $h = 50$ см. Підставивши ці значення у формулу, маємо

$$ S_\text{бічн} = 20 \cdot 50\pi \approx 1000 \cdot 3{,}14 = 3140. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7638

Завдання 34 з 102

Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює $50\sqrt{3}$, а периметр основи – $50.$ Визначте об'єм $V$ цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює $4.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду $SABC.$ Точка $O$ – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник $ABC$ (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна $SK = 4$, $S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}$, периметр трикутника $ABC$ дорівнює $50.$

Для обчислення об’єму $V$ конуса потрібно знати його радіус $OK$ та висоту $SO$: $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де $p$ – півпериметр трикутника $ABC$, $r = OK.$ Радіус $OK$ визначаємо за цією формулою:

$$ OK = \frac{S_{\Delta ABC}}{p} = \frac{50\sqrt{3}}{25} = 2\sqrt{3}. $$

У прямокутному трикутнику $SOK$ відома гіпотенуза $SK$ та катет $OK.$ За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

$$ SO = \sqrt{SK^{2} - OK^{2}} = \sqrt{16 - 12} = 2. $$

Тоді

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^{2} \cdot 2 = 8\pi,\\[6pt] \frac{V}{\pi} = 8. \end{gather*}

Відповідь: $8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7652

Завдання 35 з 102

Визначте об'єм конуса, висота якого дорівнює $4$ см, а діаметр основи – $6$ см.

А$12\pi$ см$^3$

Б$18\pi$ см$^3$

В$24\pi$ см$^3$

Г$36\pi$ см$^3$

Д$72\pi$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм конуса.

$$ V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h, $$ де $R$ – радіус основи конуса, $h$ – висота конуса.

За умовою, діаметр основи конуса дорівнює $6$ см, відповідно радіус кола дорівнює половині його діаметра, тобто $$ R = \frac{d}{2} = 3\ \text{см}. $$

Підставимо отримані дані у формулу: $$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12\pi\ \text{см}^3. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8179

Завдання 36 з 102

На рисунку зображено осьовий переріз світлодіодної лампи. Активна поверхня цієї лампи, через яку відбувається випромінювання світла, є тілом обертання, утвореним обертанням відрізка $AB$ та чверті кола $BC$ навколо осі $l.$ Використовуючи зазначені на рисунку дані, обчиліть площу активної поверхні світлодіодної лампи. Виберіть відповідь, найближчу до точної.

А$39$ см$^2$

Б$42$ см$^2$

В$45$ см$^2$

Г$48$ см$^2$

Д$51$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра. Площа сфери.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє вміння знаходити площу поверхні, утвореної обертанням відрізка та чверті кола навколо заданої осі, використовуючи формули площі бічної поверхні циліндра та площі сфери.

Площа активної поверхні світлодіодної лампи, зображеної на рисунку, є сумою площі бічної поверхні циліндра та площі півсфери. Площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням відрізка $AB$ навколо осі $l$, обчислюємо за формулою $$ S = 2\pi Rh. $$ У нашому випадку діаметр $2R = 3$ см, отже $R = 1{,}5$ см, висота циліндра $h = 5 - 1{,}5 = 3{,}5$ см. Підставивши ці значення у формулу, маємо $$ S = 3 \cdot 3{,}5\pi = 10{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Площу півсфери, утвореної обертанням чверті кола $BC$ навколо осі $l$, обчислюємо за формулою

$$ S = \frac{1}{2}(4\pi R^2) = \frac{1}{2}\pi(2R)^2 = \frac{9}{2}\pi= 4{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Тоді площа активної поверхні лампи дорівнює

$$ 10{,}5\pi + 4{,}5\pi = 15\pi \approx 15 \cdot 3{,}14 = 47{,}1\ \text{ см}^2. $$

Отже, найближчою до точної є відповідь $48$ см$^2.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8187

Завдання 37 з 102

Цукерка має форму конуса, висота якого дорівнює $3$ см, а діаметр основи – $2$ см. Маса $1$ см$^3$ шоколаду, з якого виготовлено цукерку, становить $3$ г. Визначте масу $100$ таких цукерок, якщо кожна цукерка є однорідною й не має всередині порожнин. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А$900$ г

Б$950$ г

В$1000$ г

Г$1050$ г

Д$1100$ г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання. Конус. Об'єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, тіл і поверхонь обертання до розв'язування задач практичного змісту.

Оскільки за умовою кожна цукерка є однорідною і має форму конуса, то маса однієї цукерки пропорціна об'єму конуса: $$ V=\frac 13 \pi R^2h. $$ За умовою $R=1$ см, $h=3$ см. Тоді

$$ V=\frac 13 \pi\cdot 1^2\cdot 3=\pi\ \text{см}^3. $$

Якщо маса $1$ см$^3$ цукерки становить $3$ г, то маса усієї цукерки становить $$ 3V=3\pi\ \text{г}, $$ тоді маса ста цукерок дорівнює

$$ 300\pi\approx 300\cdot 3\mathord{,}14=942\ \text{г}. $$

Серед наведених варіантів відповіді найближчою до $942$ є число $950.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9248

Завдання 38 з 102

Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) та площею його повної поверхні (А – Д).

Геометричне тіло

1циліндр з радіусом основи $3$ та висотою $4$

2конус з радіусом основи $3$ та твірною $5$

3куб з ребром $\sqrt{3\pi}$

4куля радіуса $2\sqrt{3}$

Площа повної поверхні

А$18\pi$

Б$24\pi$

В$36\pi$

Г$42\pi$

Д$48\pi$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює $R$, а висота – $H$, обчислюється за формулою

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+2S_\text{осн.}=2\pi RH+2\pi R^2=2\pi R(H+R). $$

За умовою $R=3$, $H=4$, тоді

$$ S_\text{повн.}=2\pi\cdot 3(3+4)=42\pi. $$

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи $R$ та твірну $L\mathord{:}$

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+S_\text{осн.}=\pi RL+\pi R^2=\pi R(L+R). $$

Оскільки $R=3$, $L=5$, то

$$ S_\text{повн.}=3\pi(5+3)=24\pi. $$

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром $a=\sqrt{3\pi}$ обчислюємо за формулою

$$ S_\text{повн.}=6a^2=6(\sqrt{3\pi})^2=6\cdot 3\pi=18\pi. $$

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса $R$ визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою $R=2\sqrt{3}$, тому

\begin{gather*} S_\text{повн.}=4\pi(2\sqrt{3})^2=4\pi\cdot 12=48\pi. \end{gather*}

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9450

Завдання 39 з 102

На рисунку зображено циліндр, радіус основи якого дорівнює $6$, а висота – $h.$ Чотирикутник $ABCD$ – осьовий переріз цього циліндра. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Периметр чотирикутника $ABCD$ дорівнює $36$, якщо

2Площа чотирикутника $ABCD$ дорівнює $42$, якщо

3Об'єм циліндра дорівнює $108\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, якщо

4Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $48\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, якщо

Закінчення речення

А$h=3.$

Б$h=3\mathord{,}5.$

В$h=4.$

Г$h=4\mathord{,}5.$

Д$h=6.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл і поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь та об'ємів тіл обертання.

$ABCD$ осьовий переріз циліндра $R=OB=6$, $OO_1=h.$

\begin{gather*} P_{ABCD}=36,\\[7pt] AB=2OB=12,\\[7pt] CB=OO_1=h.\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(12+h)=36,\\[7pt] 24+2h=36,\\[7pt] 2h=12,\\[7pt] h=6. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB\cdot CB=12\cdot h=42,\\[7pt] h=42:12=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

\begin{gather*} V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2h=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 6^2\cdot h=108\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] 36h=108,\\[7pt] h=3. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}Rh=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 6\cdot h=48\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] 12h=48,\\[7pt] h=4. \end{gather*}

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10855

Завдання 40 з 102

Радіус основи конуса дорівнює $r$, а твірна – $l.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то

2Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то

3Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то

4Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$, то

Закінчення речення

А$l=2r.$

Б$l=\sqrt{2}r.$

В$l=3r.$

Г$l=4r.$

Д$l=r.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}$, то $S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl$, $S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2$, $\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2$, $l=3r.$ Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то $AO=OB=r$, $\Delta AOB$ – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора $AB^2=OB^2+AO^2$, $l^2=r^2+r^2$, $l=r\sqrt{2}.$ Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то $l=2r.$ $OB$ – проекція твірної $AB$ на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$

\begin{gather*} S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+S_\text{осн.}=\mathbf{\pi}rl+\mathbf{\pi}r^2=\mathbf{\pi}r(l+r)=5\mathbf{\pi}r^2,\\[7pt] l+r=5r,\\[7pt] l=4r. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12088

Завдання 41 з 102

У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

А$1:\pi$

Б$2:\pi$

В$1:2$

Г$2:3$

Д$1:3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формул площ поверхонь кулі та циліндра.

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R^2 H;\\[6pt] R_\text{ц} = R_\text{к};\\[6pt] H = 2R_\text{к}. \end{gather*}

Oб’єм циліндра:

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R_\text{к}^2 \cdot 2R_\text{к} = 2\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм кулі, об’єм води, яка вилилася зі склянки:

\begin{gather*} V_\text{к} = \frac 43\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм води, що залишилася:

\begin{gather*} V_\text{ц} - V_\text{к}=2\pi R_\text{к}^3 - \frac 43\pi R_\text{к}^3 =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3}.\\[6pt] \frac{V_\text{ц}-V_\text{к}}{V_\text{к}} =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3 \cdot 4 \cdot \pi R_\text{к}^3} = \frac 12. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14330

Завдання 42 з 102

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Впишіть відповідь:

1.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей і формул площі поверхні конуса, уміння застосовувати властивості конуса за його розгорткою.

На рисунку зображено розгортку конуса.

$AB = 15$, $OB = 6.$

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi Rl, \end{gather*}

де $R = OB$ – радіус основи, $l = AB$ – твірна.

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi \cdot 6 \cdot 15 = 90\pi;\\[7pt] S_\text{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi;\\[7pt] S_\text{поверхні} = S_\text{біч} + S_\text{осн}= 90\pi + 36\pi = 126\pi;\\[6pt] \frac{S_\text{поверхні}}{S_\text{біч}}= \frac{126\pi}{90\pi}= \frac{21}{15}= \frac 75=1\frac 25= 1{,}4. \end{gather*}

Відповідь: $1{,}4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14338

Завдання 43 з 102

Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює $a$ см.

А$\dfrac{4}{3}\pi a^3$ см$^3$

Б$\dfrac{2}{3}\pi a^3$ см$^3$

В$\dfrac{1}{3}\pi a^3$ см$^3$

Г$\dfrac{1}{6}\pi a^3$ см$^3$

Д$\dfrac{1}{12}\pi a^3$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

При обертанні круга навколо діаметра, довжина якого $a$, утвориться куля.

За формулою об'єму кулі

\begin{gather*} V=\frac 43\pi R^3, \end{gather*}

де $R$ – радіус кулі, знаходимо

\begin{gather*} R=\frac a2;\\[6pt] V=\frac 43\pi\left(\frac a2\right)^3=\frac 43\pi\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}=\frac 16\pi a^3\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14542

Завдання 44 з 102

Укажіть формулу для обчислення об’єму $V$ півкулі радіуса $R$ (див. рисунок).

А$V=4\mathbf{\pi}R^2$

Б$V=\frac{2}{3}\mathbf{\pi}R^3$

В$V=\mathbf{\pi}R^3$

Г$V=2\mathbf{\pi}R^2$

Д$V=\frac{4}{3}\mathbf{\pi}R^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.

Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\mathbf{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому

$$ V=\left(\frac 43\mathbf{\pi}R^3\right):2=\frac{2\mathbf{\pi}R^3}{3}. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14601

Завдання 45 з 102

Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює $25\mathbf{\pi}$ см$^2$, а його об’єм – $100\mathbf{\pi}$ см$^3.$ До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Висота циліндра дорівнює

2Висота конуса дорівнює

3Радіус основи циліндра дорівнює

4Твірна конуса дорівнює

Закінчення речення

А$4$ см

Б$5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей тіл і поверхонь обертання та їхніх елементів, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. $V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H=100\mathbf{\pi}$ см$^3$, отже $\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot H=100\mathbf{\pi}$, $H=4$ см. Висота циліндра $4$ см

Отже, правильна відповідь – A.

2. $V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2\cdot h=100\mathbf{\pi}$ см$^3$, $\frac 13\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot h=100\mathbf{\pi}$, $h=12$ см.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $S_\text{осн.цил.}=\mathbf{\pi}R^2=25\mathbf{\pi}$ см$^2$, $R^2=25$, $R=5$ см.

$R_\text{ц}=R_\text{к}=5$ см.

Отже, правильна відповідь – Б.

4. $\Delta BO_2C\ (\angle O_2=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

$BC^2=O_2C^2+O_2B^2=144+25=169$, $BC=13.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14618

Завдання 46 з 102

Площа великого круга кулі (див. рисунок) дорівнює $S.$ Визначте площу сфери, що обмежує цю кулю.

А$4S$

Б$S^2$

В$\frac{4S}{3}$

Г$2S$

Д$\frac S4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі та сфери та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площа великого круга дорівнює $S.$ За формулою $S=\mathbf{\pi}R^2$ знаходимо $$ R^2=\frac{S}{\mathbf{\pi}}. $$

Площа сфери визначається за формулою: $S=4\mathbf{\pi}R^2.$ Підставимо у формулу замість $R^2$ вираз $\frac{S}{\mathbf{\pi}}.$

Отримаємо: $$ S=4\mathbf{\pi}\cdot \frac{S}{\mathbf{\pi}}=4S. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15240

Завдання 47 з 102

У циліндр з радіусом основи $3$ см і висотою $4$ см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Площа бічної поверхні циліндра дорівнює

2Площа повної поверхні циліндра дорівнює

3Площа основи конуса дорівнює

4Площа бічної поверхні конуса дорівнює

Закінчення речення

А$9\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Б$12\mathbf{\pi}$ см$^2$.

В$15\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Г$24\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Д$42\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.

Нехай $R=OA=3$ см, $OO_1=H=4$ см.

1. $S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}RH$, де $R=3$ – радіус основи, $H=4$ см. – висота циліндра.

$S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 1 – Г.

2. $S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+2\cdot S_\text{осн.}=24\mathbf{\pi}+2\cdot \mathbf{\pi}\cdot 3^2=24\mathbf{\pi}+18\mathbf{\pi}=42\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 2 – Д.

3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.

Отже, $S_\text{осн.}=9\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 3 – A.

4. Площа бічної поверхні конуса $S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}Rl$, де $R=3$ см, $l$ – твірна $O_1A.$

У $\Delta OO_1A\ \angle O=90^\circ$, $O_1A=\sqrt{OO_1^2+OA^2}=\sqrt{16+9}=5$ см.

$S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15258

Завдання 48 з 102

Радіус основи конуса дорівнює $4$, його висота – $h$, а твірна – $l$. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для $h$ і $l.$

А$16+h^2=l^2$

Б$4+h=l$

В$16-h^2=l^2$

Г$h^2-l^2=16$

Д$8+h^2=l^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

$OA=4$ см, $SO=h$ – висота, $SA=l$ – твірна.

У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] l^2=h^2+16. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16604

Завдання 49 з 102

Укажіть формулу для обчислення об'єму $V$ конуса, площа основи якого дорівнює $S$, а висота – $h.$

А $V=Sh$

Б$V=\frac{Sh}{2}$

В$V=4Sh$

Г$V=\frac{4Sh}{3}$

Д$V=\frac{Sh}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

$$V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}.$$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17066

Завдання 50 з 102

Укажіть формулу для обчислення висоти $H$ циліндра, площа основи якого
дорівнює $S$, а об'єм – $V.$

А$H=\frac{S}{V}$

Б$H=\frac{V}{S}$

В$H=VS$

Г$H=\frac{V}{3S}$

Д$H=\frac{3V}{S}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання формули об'єму циліндра.

Об'єм циліндра обчислюємо за формулою

\begin{gather*} V=\mathbf{\pi}R^2H=S_\text{основи}\cdot H;\\[6pt] H=\frac VS. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17651

Завдання 51 з 102

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $24\mathbf{\pi}$, а довжина кола його основи – $4\mathbf{\pi}.$ Визначте висоту цього циліндра.

А$2$

Б$3$

В$4$

Г$6$

Д$8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формули площі поверхні циліндра.

Площа бічної поверхні $$S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=C\cdot H$$ де $C$ – довжина кола його основи, $H$ – висота циліндра.

$$H=\frac{S_\text{бічної}}{C}=\frac{24\mathbf{\pi}}{4\mathbf{\pi}}=6.$$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18989

Завдання 52 з 102

Укажіть формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює $l$, а висота – $h.$

А$S=\frac lh$

Б$S=2lh$

В$S=lh^2$

Г$S=lh$

Д$S=\frac hl$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площі поверхні циліндра.

Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні $S=lh.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19493

Завдання 53 з 102

Радіус основи конуса дорівнює $r$, твірна – $l.$ Твірна утворює з висотою конуса кут $60^\circ$ (див. рисунок). Визначте $\frac rl.$

А$\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Б$\frac rl=\frac 12$

В$\frac rl=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Г$\frac rl=2$

Д$\frac rl=\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

У $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$, $OB=r$, $AB=l$, $\angle A=60^\circ.$ $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19955

Завдання 54 з 102

Установіть відповідність між вимірами циліндра (1–3) та правильним щодо нього твердженням (А – Д).

Виміри циліндра

1радіус основи дорівнює $6$,
висота – $4$

2радіус основи дорівнює $2$,
висота – $6$

3радіус основи дорівнює $4$,
висота – $6$

Твердження щодо циліндра

Ациліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами $4$ та $6$ навколо більшої сторони

Бплоща основи циліндра дорівнює $12\mathbf{\pi}$

Втвірна циліндра дорівнює $4$

Гплоща бічної поверхні циліндра дорівнює $24\mathbf{\pi}$

Доб'єм циліндра дорівнює $48\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.

1. Твірна дорівнює $4.$

Отже, 1 – В.

2. $S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=2\mathbf{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\mathbf{\pi}.$

Отже, 2 – Г.

3. $ABCD$ – прямокутник, обертається навколо сторони $6.$

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19968

Завдання 55 з 102

Площа повної поверхні циліндра дорівнює $92\mathbf{\pi}$, а площа його бічної поверхні – $56\mathbf{\pi}.$ Визначте площу основи цього циліндра.

А$6\mathbf{\pi}$

Б$18\mathbf{\pi}$

В$13\mathbf{\pi}$

Г$48\mathbf{\pi}$

Д$36\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь циліндра.

$S_\text{бічної}=56\mathbf{\pi}$, $S_\text{поверхні}=S_\text{бічної}+2S_\text{основи}=92\mathbf{\pi}.$

Отже, $92\mathbf{\pi}=56\mathbf{\pi}+2S_\text{основи}.$

$2S_\text{основи}=36\mathbf{\pi}$, $S_\text{основи}=18\mathbf{\pi}.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21212

Завдання 56 з 102

Укажіть формулу для визначення радіуса $R$ сфери, площа якої дорівнює $S.$

А$R=\sqrt{\frac{S}{\mathbf{\pi}}}$

Б$R=\sqrt{\frac{4\mathbf{\pi}}{S}}$

В$R=\sqrt{4\mathbf{\pi}S}$

Г$R=\sqrt{\frac{S}{4\mathbf{\pi}}}$

Д$R=\sqrt{\frac{4S}{\mathbf{\pi}}}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні кулі.

Площа сфери знаходиться за формулою: $S=4\mathbf{\pi}R^2.$ Виразимо з формули $R:$

\begin{gather*} R^2=\frac{S}{4\mathbf{\pi}};\\[6pt] R=\sqrt{\frac{S}{4\mathbf{\pi}}}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21218

Завдання 57 з 102

Установіть відповідність між вимірами конуса (1–3) та правильним щодо нього твердженням (А – Д).

Виміри конуса

1радіус основи дорівнює $6$,
висота – $3\sqrt{3}$

2радіус основи дорівнює $3$,
висота – $3\sqrt{3}$

3радіус основи дорівнює $4$,
висота – $3$

Твердження щодо конуса

Аконус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною $6$ навколо його висоти

Бдіаметр основи конуса дорівнює $12$

Втвірна конуса дорівнює $12$

Гплоща бічної поверхні конуса дорівнює $20\mathbf{\pi}$

Доб'єм конуса дорівнює $108\sqrt{3\mathbf{\pi}}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь та об'єму конуса.

1. $R=OB=6$, $d=BC=12.$ Отже, 1 – Б.

2. $R=OB=3$, $AO=H=3\sqrt{3}.$

$\Delta AOB (\angle O=90^\circ)$ за теореою Піфагора \begin{gather*} AB^2=BO^2+AO^2=9+27=36,\\[7pt] AB=AC=BC=6. \end{gather*} Отже, 2 – A.

3. $R=OB=4$, $AO=H=3$, $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}Rl, $$ де $l=AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}\cdot 4\cdot 5=20\mathbf{\pi}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21230

Завдання 58 з 102

Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.

А$55\ \text{см}^2$

Б$75\ \text{см}^2$

В$105\ \text{см}^2$

Г$115\ \text{см}^2$

Д$135\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}$.

Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.

Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.

Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, $OK=r=1\ \text{см}$.

Сторону трикутника знайдемо за формулою:

\begin{gather*} a=2\sqrt{3}r=2\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічної}}=P_{\text{основи}}\cdot H=3\cdot 2\sqrt{3}\cdot 10=60\sqrt{3}\ (\text{см}^2)\approx 60\cdot 1,73\approx 103,8 (\text{см}^2),\\[7pt] P_{\text{основи}}=P_{ACD},\ H=AB. \end{gather*}

Відповідь, найближча до точної, – $105\ \text{см}^2$.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22915

Завдання 59 з 102

Довжина кола основи конуса дорівнює $36\mathbf{\pi}$, твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).

Відрізок

1радіус основи конуса

2висота конуса

3радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}$

Б$18$

В$12\sqrt{3}$

Г$6$

Д$36$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.

1. $C=2\mathbf{\pi}R=36\mathbf{\pi}\ =>\ R=18$, отже 1 - Б.

$\angle ABO=30^\circ\ (AB\ -\ \text{твірна})$
$\triangle AOB\ (\angle O=90^\circ),\ AO=BOtg 30^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$,

отже 2 - А.

3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна $AB$.

$$ AB=\frac{OB}{\cos 30^\circ}=\frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{18\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot 2\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}, $$

отже 3 - В.

Відповідь: 1Б, 2А, 3В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22996

Завдання 60 з 102

Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота $h$ цієї шухлядки?

А3 см

Б6 см

В10 см

Г13 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23660

Завдання 61 з 102

Точки $A$ та $B$ лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.

А20 см

Б100π см

В10 см

Г20π см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Відстань між точками на сфері – це хорда.

Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24684

Завдання 62 з 102

Визначте об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює $4\ \text{см}$, а висота – $10\ \text{см}$.

А$40\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Б$\frac{40\mathbf{\pi}}{3}\ \text{см}^3$

В$\frac{160\mathbf{\pi}}{3}\ \text{см}^3$

Г$80\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Д$160\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.

Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де $H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}$. $$ V=\mathbf{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\mathbf{\pi}\ (\text{см}^3). $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 25998

Завдання 63 з 102

Об’єм циліндра дорівнює $72\pi.$ Визначте висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює $3.$

А$24$

Б$12$

В$9$

Г$8$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.

Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi \cdot 3^2}=8. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26123

Завдання 64 з 102

Об’єм конуса дорівнює $64\ \text{см}^3.$ Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Утворений переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого. Обчисліть об’єм $(\text{см}^3)$ меншого конуса.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.

Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.

Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$

Отже, об'єм меншого конуса $64:8=8\ (\text{см}).$

Відповідь: 8.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26204

Завдання 65 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…

Аквадрата навколо його сторони».

Бпрямокутника навколо його діагоналі».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дквадрата навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

$ABCD$ – квадрат.

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26806

Завдання 66 з 102

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною $8\ \text{см.}$ Визначте площу $S\ (\text{см}^2)$ бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\frac{S}{\mathbf{\pi}}$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра $ABCD$ є квадрат. $AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.$

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH,\ \ \text{де} R=\frac 12AD=4\ \text{см},\\[6pt] H=AB=8\ \text{см},\\[6pt] S_\text{б}=2\mathbf{\pi}\cdot 4\cdot 8=64\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[6pt] \frac{S}{\mathbf{\pi}}=\frac{64\mathbf{\pi}}{\mathbf{\pi}}=64. \end{gather*}

Відповідь: 64.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26844

Завдання 67 з 102

На рисунку зображено циліндр, прямокутник $ABCD$ – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.

А$AD$

Б$BC$

В$AC$

Г$BD$

Д$AB$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.

Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.

З-поміж наведених – це $AB.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28357

Завдання 68 з 102

У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною $M(4; −9;\ 7).$ Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник $AMB.$ Визначте площу $S$ повної поверхні цього конуса, якщо $A(8; −12;\ 12).$ У відповіді запишіть значення $\frac{S}{\mathbf{\pi}}.$

Впишіть відповідь:

37.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.

$\Delta AMB$ – рівносторонній трикутник.

Знайдемо довжину $AB$ – сторони трикутника за формулою

\begin{gather*} AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z^2-z^1)^2}\\[7pt] AB=\sqrt{(4-8)^2+(-9-(-12))^2+(7-12)^2}=\\[7pt] =\sqrt{16+9+25}=\sqrt{2\cdot 25}=5\sqrt{2}.\\[6pt] AO=\frac 12AB=\frac{5\sqrt{2}}{2} - \text{радіус основи конуса.}\\[6pt] AM=AB=5\sqrt{2} - \text{твірна конуса}.\\[7pt] S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL,\ \text{де} R=OA,\ L=AM.\\[6pt] S_\text{б}=\mathbf{\pi}\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot 5\sqrt{2}=25\mathbf{\pi}\\[6pt] S_\text{осн}=\mathbf{\pi}R^2=\mathbf{\pi}\cdot \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{25\cdot 2}{4}\mathbf{\pi}=\frac{25}{2}\mathbf{\pi}.\\[6pt] S_\text{п}=S_\text{б}+S_\text{осн}=25\mathbf{\pi}+12,5\mathbf{\pi}=37,5\mathbf{\pi}. \end{gather*}

Відповідь: $$ \frac{S}{\mathbf{\pi}}=\frac{37,5\mathbf{\pi}}{\mathbf{\pi}}=37,5. $$

Відповідь: 37,5.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28396

Завдання 69 з 102

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $12$ см i $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Обчисліть об'єм (см$^3$) заданої призми, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см.

$AO=OC=8$ см, $BO=OD=6$ см. $AC\ \perp\ BD.$ $\Delta AOD$ – прямокутний. За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2=8^2+6^2=100\ \textit{см}^2\\[7pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Радіус основи циліндра $R=AD=10$ см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot H=400\mathbf{\pi},\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра $H=20$ см.

5. Об'єм призми

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12d_1d_2,\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ \textit{см}^2,\\[6pt] V=96\cdot 20=1920\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1920.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34393

Завдання 70 з 102

У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках $O_1$ і $O_2$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо $O_1(1; -4; 10)$, $O_2(7; 4; -14)$?

А$26$

Б$13$

В$12$

Г$10$

Д$17$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

Знаходимо відстань між точками $O_1O_2$ за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б $13$ см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за $13$ см, але менше за $26$ см.

З наведених значень – це $17$ см.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34402

Завдання 71 з 102

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по $25$ см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см$^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса $AB$ й бічне ребро $CF$ дорівнюють по $25$ см. Апофема $FK=OB.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

\begin{gather*} \mathbf{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\mathbf{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

У піраміді $CF=FD=FE=25.$ $\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де $P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}$, $m=FK=20\ \textit{см}.$ $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: $900.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34415

Завдання 72 з 102

Частиною поверхні якого з геометричних тіл є поверхня даху сцени, зображеної на рисунку?

Апіраміда

Бциліндр

Вконус

Гкуля

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35298

Завдання 73 з 102

Задано сферу з площею поверхні $64\mathbf{\pi}$ см$^2$ і правильну трикутну призму. Радіус кола, уписаного в основу призми, дорівнює радіусу сфери, а висота призми дорівнює стороні її основи. Визначте об’єм (у см$^3$) призми.

Впишіть відповідь:

1152

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

$S=64\mathbf{\pi}$ см$^2$, $AA_1=AC$, $OK=O_1D.$

Площа поверхні сфери $S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}$, $R^2=16\ \textit{см}^2,$ $R=4$ см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, $OK=O_1D=4$ см.

Призма – правильна, отже $\Delta ABC$ – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де $a$ – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(8\cdot \sqrt{3}\ \textit{см})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\ \textit{см}^2\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм призми

\begin{gather*} S_\text{осн}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2,\\[6pt] H=AC=8\sqrt{3}\ \textit{см},\\[6pt] V=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2\cdot 8\sqrt{3}\ \textit{см}=1152\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1152.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35318

Завдання 74 з 102

Правильна чотирикутна піраміда й циліндр мають рівні висоти. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди дорівнює радіусу кола основи циліндра. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $600\mathbf{\pi}$ см$^2$, а площа його основи – $225\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

3000

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

\begin{gather*} S=225\mathbf{\pi}=\mathbf{\pi}R^2,\\[7pt] R^2=225\ \textit{см}^2,\\[7pt] R=15\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні ціліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 15H=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$, дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ $AC=30$ см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

\begin{gather*} S=\frac 12 d^2=\frac 12\cdot (30\ \textit{см})^2=450\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 450\ \textit{см}^2\cdot 20\ \textit{см}=3000\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $3000.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35341

Завдання 75 з 102

Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює $648\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

972

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$ – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\mathbf{\pi}R^2=648\mathbf{\pi},\\[7pt] 4R^2=648,\\[7pt] R^2=162,\\[7pt] R=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABCD}=\frac 12d^2=\frac 12\cdot (2\cdot 9\sqrt{2})^2=\frac 12\cdot 4\cdot 81\ \text{см}^2\cdot 2=324\ \text{см}^2\\[6pt] H=KO. \end{gather*}

$KP\ \perp\ DC$ – апофема піраміди (висота бічної грані). $KO\ \perp\ (ABC)$, $KP$ – похила на площину основи, $OP$ – проєкція похилої $KP.$ Звідси, $\angle KPO=45^\circ$ – це кут між прямою $KP$ і площиною основи.

У $\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)$, $\angle P=45^\circ$, тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

$\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).$ $AD=DC$, $AC=18\sqrt{2}$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+DC^2=AC^2,\\[7pt] 2AD^2=(18\sqrt{2}\ \text{см})^2,\\[7pt] AD=18\ \text{см},\\[6pt] OK=OP=\frac 12AD=9\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 324\ \text{см}^2\cdot 9\ \text{см}=972\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $972.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35363

Завдання 76 з 102

Площа поверхні сфери дорівнює $300\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Радіус основи конуса дорівнює радіусу сфери. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Визначте об’єм (у см$^3$) конуса $V.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\mathbf{\pi}}.$

Впишіть відповідь:

125

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

\begin{gather*} S=4\mathbf{\pi}R^2=300\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] 4R^2=300\ \text{см}^2,\\[7pt] R^2=75\ \text{см}^2,\\[7pt] R=OC=5\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус основи конуса $O_1B=CO$ – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У $\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)$.

$$ AO_1=BO_1\operatorname{tg}\ B=5\sqrt{3}\ \text{см}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=5\ \text{см}. $$

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

\begin{gather*} R=O_1B,\\[7pt] H=AO_1,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot (5\sqrt{3}\ \text{см})^2\cdot 5=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot 25\ \text{см}\cdot 3\ \text{см}\cdot 5\ \text{см}=125\mathbf{\pi}\ \text{см}^3,\\[6pt] \frac{V}{\mathbf{\pi}}=125\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $125.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35385

Завдання 77 з 102

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$ Відстань від центра основи конуса до середини твірної дорівнює $13.$ Визначте об’єм $V$ цього конуса. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

800

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

У прямокутному $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).$ $MO$ – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: $MO=\frac 12AB.$ $MO=13$, тому $AB=26.$

\begin{gather*} \pi RL=\pi\cdot OB\cdot AB=26\pi\cdot OB=260\pi,\\[7pt] OB=10. \end{gather*}

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту $AO=H$ визначаємо з $\Delta AOB$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AO^2+OB^2,\\[7pt] AO^2=AB^2-OB^2=26^2-10^2=676-100=576,\\[7pt] AO=24,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \pi\cdot OB^2\cdot OA=\frac 13\pi\cdot 10^2\cdot 24=800\pi. \end{gather*}

Відповідь: $800.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35789

Завдання 78 з 102

Пряма чотирикутна призма й циліндр мають рівні висоти. В основі призми лежить ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см$^2.$ Знайдіть об’єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. $AC=16$ см, $BD=12$ см.

Радіус основи ціліндра $OK=AD$, $S_\text{бічн.}=400\pi$ см$^2.$

У ромбі діагоналі $AC\ \perp\ BP$ й діляться точкою перетину $P$ навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AP^2+PD^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] AD=10\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABCD}=\frac 12AC\cdot BD=\frac 12\cdot 16\cdot 12=96\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Площа бічної поверхні циліндра $S_\text{бічн.}=2\pi RH$, де $R=OK=AD=10$ см, $H=OO_1=AA_1$ (за умовою задачі).

\begin{gather*} 2\pi\cdot 10\cdot H=400\pi,\\[7pt] H=20\ (\text{см}). \end{gather*}

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35811

Завдання 79 з 102

Яке тіло утвориться внаслідок обертання рівнобедреного трикутника навколо прямої $a$ (див. рисунок)?

Аконус

Бциліндр

Вкуля

Гзрізаний конус

Дпівкуля

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

За допомогою цього завдання перевіряють знання означення конуса як тіла обертання.

Конус – це тіло, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один із його катетів.

Оскільки пряма $a$ є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до його основи, вона ділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Унаслідок обертання такого трикутника навколо висоти, яка є спільним катетом, утворюється конус.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36348

Завдання 80 з 102

Позначте формулу для обчислення об'єму $V$ циліндра, радіус основи якого $R$ дорівнює висоті.

А$V=\frac{\pi R^3}{3}$

Б$V=\pi R^3$

В$V=\frac{\pi R^2}{3}$

Г$V=\pi R^2$

Д$V=2\pi R^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\pi R^2H. \end{gather*}

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти циліндра $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] V=\pi R^2\cdot R=\pi R^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36391

Завдання 81 з 102

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною $6$ см. Визначте площу $S$ (у см$^2$) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\frac{S}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра $ABCD$ є квадрат. $AB=BC=CD=AD=6$ см.

\begin{gather*} S_\text{біч}=2\pi RH,\ \text{де}\ R=\frac 12AD=3\ \text{см};\\[6pt] H=AB=6\ \text{см};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi\cdot 3\cdot 6=36\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S}{\pi}=\frac{36\pi}{\pi}=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36405

Завдання 82 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Арівнобедреного трикутника навколо його основи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Врівностороннього трикутника навколо його висоти».

Гпрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника $APB$ навколо його висоти $PO$, проведеної до основи.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36593

Завдання 83 з 102

Осьовий переріз циліндра – прямокутник, діагональ якого дорівнює $24$ та утворює з площиною основи кут $30^\circ.$ Визначте об'єм $V$ цього циліндра. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

1296

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Діагональ перерізу $(AC)$ ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники.

1. Катет, що лежить навпроти кута $30^\circ$, дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} CD=AC:2=24:2=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, висота циліндра $H=CD=12$ см.

2. $\cos A=\frac{AD}{AC}$;

\begin{gather*} \cos 30^\circ=\frac{AD}{24};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{24};\\[6pt] AD=\frac{\sqrt{3}\cdot 24}{2}=12\sqrt{3}\ \text{см}\ (\text{діаметр основи}\ d=AD);\\[6pt] d=2R;\\[6pt] R=\frac d2=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра визначмо за формулою $V=\pi R^2H{:}$

\begin{gather*} V=\pi\cdot (6\sqrt{3})^2\cdot 12=\pi\cdot 6^2\cdot 3\cdot 12=36\cdot 36\cdot \pi=1296\pi\ \text{см}^3.\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{1296\pi}{\pi}=1296\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1296.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37118

Завдання 84 з 102

Яке тіло утвориться внаслідок обертання прямокутника навколо однієї зі сторін (див. рисунок)?

Аконус

Бциліндр

Взрізаний конус

Гпіраміда

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра, як тіла обертання.

Циліндр — це тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін.

На малюнку зображено прямокутник, що обертається навколо своєї сторони. Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони, утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37162

Завдання 85 з 102

Визначте формулу для обчислення об'єму $V$ конуса, висота якого дорівнює радіусу $R.$

А$V=\frac{\pi R^2}{3}$

Б$V=\pi R^3$

В$V=\sqrt{2\pi R^3}$

Г$V=\frac{\pi R^3}{3}$

Д$V=\pi R^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл, зокрема конуса.

Об'єм конуса знаходиться за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Радіус основи та висота конуса дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти конуса $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m+a^n=a^{m+n};\\[7pt] V=\frac 13\pi R^2\cdot R=\frac 13\pi R^3=\frac{\pi R^3}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37172

Завдання 86 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Сфера утворена обертанням...

Акруга навколо хорди, що не є діаметром».

Бкола навколо його діаметра».

Вкола навколо хорди, що не є діаметром».

Гкруга навколо прямої, що не проходить через його центр».

Дкола навколо його дотичної».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема сфери.

Сфера утворена обертанням кола навколо його діаметра.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37357

Завдання 87 з 102

Позначте формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні циліндра, висота й радіус основи дорівнюють $R.$

А$S=\pi R^3$

Б$S=\frac{\pi R^3}{3}$

В$S=\pi R^2$

Г$S=2\pi R^2$

Д$S=\frac{\pi R^2}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{біч}=2\pi RH. \end{gather*}

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють $R.$

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37464

Завдання 88 з 102

Яке тіло обертання утвориться, якщо прямокутну трапецію обертати навколо її бічної сторони, що містить прямий кут (див. рисунок)?

Аконус

Бкуля

Взрізаний конус

Гциліндр

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання означення конуса як тіла обертання.

Зрізаний конус – це геометричне тіло, утворене частиною конуса, яку отримують, коли відсікають верхню частину конуса, перетнувши його площиною, що паралельна основі.

На малюнку зображено прямокутну трапецію, що обертається навколо осі, яка проходить через бічну сторону, перпендикулярну до основ.

Під час обертання:

кожна точка трапеції описує коло;
радіус змінюється від більшого (внизу) до меншого (вгорі);
утворюється тіло з двома круговими основами різного радіуса.

Отже, унаслідок обертання прямокутної трапеції навколо цієї сторони утворюється зрізаний конус.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37507

Завдання 89 з 102

Яке геометричне тіло утвориться внаслідок обертання прямокутника з меншою стороною $8$ см навколо прямої $a$ (див. рисунок)?

Ациліндр із діаметром основи $8$ см

Бконус із висотою $8$ см

Вконус із радіусом основи $8$ см

Гциліндр із висотою $8$ см

Дциліндр із радіусом основи $8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін. Цю пряму називають віссю обертання, а сторону, навколо якої відбувається рух, – висотою циліндра.

Оскільки прямокутник обертається навколо прямої $a$, що містить його сторону, утворюється циліндр. Сторона довжиною $8$ см паралельна осі обертання $a$. Отже, висота циліндра, що утворився, дорівнює цій стороні: $H=8$ см.

Отримане тіло – це циліндр, висота якого дорівнює $8$ см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37567

Завдання 90 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням...

Аквадрата навколо його діагоналі».

Бквадрата навколо його сторони».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, яка містить одну з його сторін.

Оскільки квадрат — окремий випадок прямокутника, то внаслідок обертання квадрата навколо його сторони також утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37683

Завдання 91 з 102

Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник із гіпотенузою $12.$ Визначте об'єм $V$ цього конуса. У відповіді запишіть значення $\dfrac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса.

Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник $ABC.$ Оскільки за умовою він прямокутний $(\angle A=90^\circ){:}$
– гіпотенуза збігається з діаметром основи конуса: $d=12.$
– радіус основи $(R){:}\ R=\dfrac d2=\dfrac{12}{2}=6.$

У прямокутному рівнобедреному трикутнику висота $H$, проведена до гіпотенузи, є медіаною. За властивістю прямокутного трикутника, така медіана дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} H=\frac d2=6. \end{gather*}

Важливо: Якщо осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник, то його висота завжди дорівнює радіусу основи $(H=R).$

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення $R=6$ та $H=6{:}$

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \pi\cdot 6^2\cdot 6=\frac 13\cdot \pi\cdot 36\cdot 6=\pi\cdot 36\cdot 2=72\pi;\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{72\pi}{\pi}=72. \end{gather*}

Відповідь: $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37702

Завдання 92 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Апрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Врівнобедреного трикутника навколо його основи».

Грівнобедреного трикутника навколо його висоти».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37744

Завдання 93 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням...

Апрямокутника навколо його сторони».

Бпрямокутника навколо його діагоналі».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дквадрата навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Сторона, навколо якої відбувається обертання, стає висотою циліндра, а інша сторона, перпендикулярна до неї, – радіусом основи.

Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони утворюється циліндр.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37833

Завдання 94 з 102

Яке геометричне тіло утвориться внаслідок обертання прямокутного трикутника з меншим катетом $10$ см навколо прямої $a$ (див. рисунок)?

Ациліндр із твірною $10$ см

Бциліндр із радіусом основи $10$ см

Вконус із твірною $10$ см

Гконус із радіусом основи $10$ см

Дконус із висотою $10$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення конуса як тіла обертання.

Конус – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертається прямокутний трикутник, – висота конуса.

Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Отже, утвориться конус із радіусом основи 10 см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38046

Завдання 95 з 102

Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює $27\sqrt{3}$ см$^2.$ Визначте об'єм $V$ (у см$^3$) конуса. У відповіді запишіть значення $\dfrac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса й уміння їх застосовувати.

Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Його сторони – дві твірні конуса $L$ і діаметр основи $d=2R$ (де $R$ – радіус основи конуса).

Оскільки трикутник рівносторонній:

\begin{gather*} L=2R. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною $a$ обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a\sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Сторона трикутника $a=2R$, а його площа $S=27\sqrt{3}$ см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \frac{(2R)^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] \frac{4R^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] R^2\sqrt{3}=27\sqrt{3}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на $\sqrt{3}{:}$

\begin{gather*} R^2=27;\\[7pt] R=\sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту рівностороннього трикутника (яка водночас є висотою конуса $H$) обчислімо за формулою через його сторону $(a=2R){:}$

\begin{gather*} H=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо значення $R{:}$

\begin{gather*} H=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\cdot 3=9\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення $R=3\sqrt{3}$ см та $H=9$ см:

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \pi\cdot (3\sqrt{3})^2\cdot 9=\frac 13\cdot \pi\cdot 3^2\cdot (\sqrt{3})^2\cdot 9=\\[6pt] =\frac 13\cdot \pi\cdot 9\cdot 3\cdot 9=9\cdot 9\cdot \pi=81\pi\ \text{см}^3;\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{81\pi}{\pi}=81. \end{gather*}

Відповідь: $81.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38158

Завдання 96 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Арівнобедреного трикутника навколо його основи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 748. Завдання: 38209

Завдання 97 з 102

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Кулю утворено обертанням...

Акруга навколо хорди, що є його діаметром».

Бкола навколо його діаметра».

Вкола навколо хорди, що не є його діаметром».

Гкруга навколо прямої, що не проходить через його центр».

Дкола навколо його дотичної».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо хорди, що є його діаметром.

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38253

Завдання 98 з 102

Дві твірні циліндра

Азбігаються

Бпаралельні

Вмимобіжні

Гперетинаються під гострим кутом

Дперпендикулярні

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних елементів циліндра.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Усі твірні циліндра за означенням паралельні його осі обертання. Оскільки дві довільні твірні циліндра паралельні тій самій прямій (осі циліндра), то за ознакою паралельності прямих у просторі вони паралельні між собою.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38373

Завдання 99 з 102

Конус і правильна трикутна піраміда мають однакові висоти. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть об’єм (см$^3$) піраміди, якщо медіана основи піраміди дорівнює $9$ см, а твірна конуса – $12$ см.

Впишіть відповідь:

162

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної трикутної піраміди за відомими медіаною основи піраміди та твірною конуса.

Висоти конуса $(H_\text{К})$ та піраміди $(H_\text{П})$ рівні: $H_\text{К}=H_\text{П}=H.$ Радіус основи конуса $(R)$ дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди: $R_\text{К}=R_\text{П}=R.$ Твірна конуса $L=12$ см.

В основі піраміди лежить правильний (рівносторонній) трикутник, медіана якого $m=9$ см. Оскільки трикутник правильний, медіана є також і висотою ($h=9$ см).

У правильному трикутнику точка перетину медіан (центр описаного кола) ділить медіану у відношенні $2:1$, починаючи відлік від вершини. Тому радіус описаного кола становить $\dfrac 23$ від довжини медіани:

\begin{gather*} R=\frac 23\cdot m=\frac 23\cdot 9=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса також $R=6$ см. Сторона правильного трикутника:

\begin{gather*} a=R\sqrt{3}.\\[7pt] a=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=9\cdot 3\cdot\sqrt{3}=27\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса $H$, радіусом основи $R$ і твірною $L.$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} H^2+R^2=L^2;\\[7pt] H^2+6^2=12^2;\\[7pt] H^2+36=144;\\[7pt] H^2=144-36;\\[7pt] H^2=108;\\[7pt] H=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди:

\begin{gather*} V_\text{П}=\frac 13S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}=9\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}=54\cdot 3=162\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $162.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38408

Завдання 100 з 102

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу із центром у точці $O(11; –3; –5).$ Точка $A(–1; 2; –5)$ належить цій сфері. Яка точка лежить усередині сфери?

А$(11; -3; 10)$

Б$(11; -3; 6)$

В$(11; -3; 19)$

Г$(11; -3; -19)$

Д$(11; -3; 9)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Якщо сфера із центром у точці $O$ проходить через точку $A$, то відстань між цими точками – радіус сфери:

За формулою відстані між двома точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ і $M_2(x_2; y_2; z_2)$ простору:

\begin{gather*} M_1M_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. \end{gather*}

Підставмо координати точок $O(11; -3; -5)$ та $A(-1; 2; -5).$

\begin{gather*} R=|OA|=\sqrt{(-1-11)^2+(2-(-3))^2+(-5-(-5))^2};\\[7pt] R=\sqrt{(-12)^2+5^2+0^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13. \end{gather*}

Точка лежить усередині сфери, якщо відстань від неї до центра $O$ менша за радіус $(OX\lt 13).$

У всіх варіантах відповіді $x$ та $y$ координати збігаються з координатами центра $O(11; -3; -5).$ Тому відстань від центра $O$ до точки $(11; -3; z)$ обчислімо як модуль різниці аплікат:

\begin{gather*} OX=|z-(-5)|=|z+5|. \end{gather*}

Перевірмо варіанти, шукаючи той, де $OX\lt 13{:}$

A $(11; -3; 10){:}\ 10 + 5 = 15\gt 13$ (поза сферою).

Б $(11; -3; 6){:}\ 6 + 5 = 11\lt 13$ (усередині сфери – правильний варіант).

В $(11; -3; 19){:}\ 19 + 5 = 24\gt 13$ (поза сферою).

Г $(11; -3; -19){:}\ -19 + 5 = -14 = 14\gt 13$ (поза сферою).

Д $(11; -3; 9){:}\ 9+ 5 = 14\gt 13$ (поза сферою).

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 806. Завдання: 38604

Завдання 101 з 102

Задано сферу з площею поверхні $432\pi$ см$^2$ і правильну трикутну піраміду. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу сфери, а висота піраміди – діаметру сфери. Визначте об’єм (см$^3$) піраміди.

Впишіть відповідь:

972

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей многогранників і тіл обертання, формул площ поверхонь й об'ємів многогранників і тіл обертання.

Формула площі поверхні сфери:

\begin{gather*} S=4\pi R^2. \end{gather*}

За умовою $S=432\pi$, тому:

\begin{gather*} 4\pi R^2=432\pi. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівності на $4\pi{:}$

\begin{gather*} R^2=108;\\[7pt] R=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює діаметру сфери $D{:}$

\begin{gather*} H=D=2R=2\cdot 6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є правильний трикутник. За умовою радіус описаного навколо нього кола дорівнює радіусу сфери:

\begin{gather*} R_\text{осн}=R=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона основи $(a){:}$

\begin{gather*} R_\text{осн}=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R_\text{осн}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа основи $(S_\text{осн}){:}$

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{18^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{324\cdot \sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Формула об'єму піраміди:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H;\\[6pt] V=\frac 13\cdot 81\sqrt{3}\cdot 12\sqrt{3}=\frac 13\cdot 81\cdot 12\cdot 3=81\cdot 12=972\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $972.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 807. Завдання: 38664

Завдання 102 з 102

Осьовим перерізом конуса з вершиною $K$ є трикутник $ABK.$ На серединах твірних $AK$ й $BK$ відповідно вибрано точки $M$ і $P.$ Обчисліть об’єм (см$^3$) конуса $V$, якщо $MK=25$ см, $MP=30$ см. У відповіді запишіть значення $\dfrac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

12000

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних властивостей конуса й уміння обчислювати його об’єм.

Оскільки $M$ і $P$ – середини твірних $AK$ і $BK$, відрізок $MP$ є середньою лінією трикутника $ABK.$ Звідси діаметр основи $AB=2\cdot MP=60$ см, а її радіус $R=AO=30$ см. Довжина всієї твірної конуса дорівнює $AK=2\cdot MK=50$ см.

З прямокутного трикутника $AOK$ за теоремою Піфагора визначмо висоту конуса:

\begin{gather*} AK^2=AO^2+KO^2;\\[7pt] H=KO=\sqrt{AK^2-AO^2}=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо об'єм конуса за формулою

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H;\\[7pt] V=\frac 13\cdot \pi\cdot 30^2\cdot 40=\frac 13\cdot \pi\cdot 900\cdot 40=\pi\cdot 300\cdot 40=12000\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже, об'єм конуса $\dfrac{V}{\pi}=12000.$

Відповідь: $12000.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38845

Новини

Вступ на бакалавра на контракт: додатковий набір
Розпочався додатковий набір студентів на контракт
Максимальні розміри освітніх грантів для вступників у 2026 році

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Геометрія – Тіла обертання