Тіла обертання – тести ЗНО/НМТ – завдання з математи

Предмет: Геометрія
Розділ: Стереометрія
Тема: Тіла обертання
Кількість завдань: 87

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 87

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Арівнобедреного трикутника навколо його основи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Врівностороннього трикутника навколо його висоти».

Гпрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника $APB$ навколо його висоти $PO$, проведеної до основи.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36593

Завдання 2 з 87

Задано сферу, площа поверхні якої $768\pi$ см$^2$, і циліндр, основу якого вписано у квадрат $ABCD.$ Радіус сфери дорівнює стороні квадрата $ABCD$, а діаметр сфери – діагоналі осьового перерізу циліндра. Визначте об’єм $V$ цього циліндра. У відповіді запишіть $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

1152

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

\begin{gather*} S=768\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] 4\pi R^2=768\pi;\\[7pt] R^2=192\ \text{см}^2;\\[7pt] R=\sqrt{192\ \text{см}^2}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата $ABCD{:}$

\begin{gather*} AD=R=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою завдання, у квадрат $ABCD$ вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

\begin{gather*} d_\text{цил}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на $2{:}$

\begin{gather*} R_\text{цил}=\frac{8\sqrt{3}\ \text{см}}{2}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній $GH$, яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника $GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}$

\begin{gather*} GH=\sqrt{(EG)^2-(EH)^2}=\sqrt{(16\sqrt{3}\ \text{см})^2-(8\sqrt{3}\ \text{см})^2}=\sqrt{16^2\cdot 3\ \text{см}^2-8^2\cdot 3\ \text{см}^2};\\[7pt] GH=\sqrt{3\cdot 8\cdot 24\ \text{см}^2}=24\ \text{см};\\[7pt] h=GH=24\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо об’єм циліндра:

\begin{gather*} V=\pi\cdot (4\sqrt{3})^2\cdot 24=\pi\cdot 16\cdot 3\cdot 24=48\cdot 24\pi=1152\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Поділімо знайдений об’єм на $\pi$, як зазначено в умові завдання:

\begin{gather*} \frac{V}{\pi}=\frac{1152\pi\ \text{см}^3}{\pi}=1152 \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1152.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 761. Завдання: 36567

Завдання 3 з 87

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною $6$ см. Визначте площу $S$ (у см$^2$) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\frac{S}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра $ABCD$ є квадрат. $AB=BC=CD=AD=6$ см.

\begin{gather*} S_\text{біч}=2\pi RH,\ \text{де}\ R=\frac 12AD=3\ \text{см};\\[6pt] H=AB=6\ \text{см};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi\cdot 3\cdot 6=36\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S}{\pi}=\frac{36\pi}{\pi}=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36405

Завдання 4 з 87

Позначте формулу для обчислення об'єму $V$ циліндра, радіус основи якого $R$ дорівнює висоті.

А$V=\frac{\pi R^3}{3}$

Б$V=\pi R^3$

В$V=\frac{\pi R^2}{3}$

Г$V=\pi R^2$

Д$V=2\pi R^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\pi R^2H. \end{gather*}

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти циліндра $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] V=\pi R^2\cdot R=\pi R^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36391

Завдання 5 з 87

Яке тіло утвориться внаслідок обертання рівнобедреного трикутника навколо прямої $a$ (див. рисунок)?

Аконус

Бциліндр

Вкуля

Гзрізаний конус

Дпівкуля

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

За допомогою цього завдання перевіряють знання означення конуса як тіла обертання.

Конус – це тіло, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один із його катетів.

Оскільки пряма $a$ є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до його основи, вона ділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Унаслідок обертання такого трикутника навколо висоти, яка є спільним катетом, утворюється конус.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36348

Завдання 6 з 87

Пряма чотирикутна призма й циліндр мають рівні висоти. В основі призми лежить ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см$^2.$ Знайдіть об’єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. $AC=16$ см, $BD=12$ см.

Радіус основи ціліндра $OK=AD$, $S_\text{бічн.}=400\pi$ см$^2.$

У ромбі діагоналі $AC\ \perp\ BP$ й діляться точкою перетину $P$ навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AP^2+PD^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] AD=10\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABCD}=\frac 12AC\cdot BD=\frac 12\cdot 16\cdot 12=96\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Площа бічної поверхні циліндра $S_\text{бічн.}=2\pi RH$, де $R=OK=AD=10$ см, $H=OO_1=AA_1$ (за умовою задачі).

\begin{gather*} 2\pi\cdot 10\cdot H=400\pi,\\[7pt] H=20\ (\text{см}). \end{gather*}

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35811

Завдання 7 з 87

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$ Відстань від центра основи конуса до середини твірної дорівнює $13.$ Визначте об’єм $V$ цього конуса. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

800

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

У прямокутному $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).$ $MO$ – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: $MO=\frac 12AB.$ $MO=13$, тому $AB=26.$

\begin{gather*} \pi RL=\pi\cdot OB\cdot AB=26\pi\cdot OB=260\pi,\\[7pt] OB=10. \end{gather*}

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту $AO=H$ визначаємо з $\Delta AOB$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AO^2+OB^2,\\[7pt] AO^2=AB^2-OB^2=26^2-10^2=676-100=576,\\[7pt] AO=24,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \pi\cdot OB^2\cdot OA=\frac 13\pi\cdot 10^2\cdot 24=800\pi. \end{gather*}

Відповідь: $800.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35789

Завдання 8 з 87

Площа поверхні сфери дорівнює $300\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Радіус основи конуса дорівнює радіусу сфери. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Визначте об’єм (у см$^3$) конуса $V.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\mathbf{\pi}}.$

Впишіть відповідь:

125

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

\begin{gather*} S=4\mathbf{\pi}R^2=300\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] 4R^2=300\ \text{см}^2,\\[7pt] R^2=75\ \text{см}^2,\\[7pt] R=OC=5\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус основи конуса $O_1B=CO$ – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У $\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)$.

$$ AO_1=BO_1\operatorname{tg}\ B=5\sqrt{3}\ \text{см}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=5\ \text{см}. $$

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

\begin{gather*} R=O_1B,\\[7pt] H=AO_1,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot (5\sqrt{3}\ \text{см})^2\cdot 5=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot 25\ \text{см}\cdot 3\ \text{см}\cdot 5\ \text{см}=125\mathbf{\pi}\ \text{см}^3,\\[6pt] \frac{V}{\mathbf{\pi}}=125\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $125.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35385

Завдання 9 з 87

Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює $648\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

972

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$ – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\mathbf{\pi}R^2=648\mathbf{\pi},\\[7pt] 4R^2=648,\\[7pt] R^2=162,\\[7pt] R=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABCD}=\frac 12d^2=\frac 12\cdot (2\cdot 9\sqrt{2})^2=\frac 12\cdot 4\cdot 81\ \text{см}^2\cdot 2=324\ \text{см}^2\\[6pt] H=KO. \end{gather*}

$KP\ \perp\ DC$ – апофема піраміди (висота бічної грані). $KO\ \perp\ (ABC)$, $KP$ – похила на площину основи, $OP$ – проєкція похилої $KP.$ Звідси, $\angle KPO=45^\circ$ – це кут між прямою $KP$ і площиною основи.

У $\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)$, $\angle P=45^\circ$, тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

$\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).$ $AD=DC$, $AC=18\sqrt{2}$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+DC^2=AC^2,\\[7pt] 2AD^2=(18\sqrt{2}\ \text{см})^2,\\[7pt] AD=18\ \text{см},\\[6pt] OK=OP=\frac 12AD=9\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 324\ \text{см}^2\cdot 9\ \text{см}=972\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $972.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35363

Завдання 10 з 87

Правильна чотирикутна піраміда й циліндр мають рівні висоти. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди дорівнює радіусу кола основи циліндра. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $600\mathbf{\pi}$ см$^2$, а площа його основи – $225\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

3000

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

\begin{gather*} S=225\mathbf{\pi}=\mathbf{\pi}R^2,\\[7pt] R^2=225\ \textit{см}^2,\\[7pt] R=15\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні ціліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 15H=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$, дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ $AC=30$ см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

\begin{gather*} S=\frac 12 d^2=\frac 12\cdot (30\ \textit{см})^2=450\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 450\ \textit{см}^2\cdot 20\ \textit{см}=3000\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $3000.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35341

Завдання 11 з 87

Задано сферу з площею поверхні $64\mathbf{\pi}$ см$^2$ і правильну трикутну призму. Радіус кола, уписаного в основу призми, дорівнює радіусу сфери, а висота призми дорівнює стороні її основи. Визначте об’єм (у см$^3$) призми.

Впишіть відповідь:

1152

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

$S=64\mathbf{\pi}$ см$^2$, $AA_1=AC$, $OK=O_1D.$

Площа поверхні сфери $S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}$, $R^2=16\ \textit{см}^2,$ $R=4$ см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, $OK=O_1D=4$ см.

Призма – правильна, отже $\Delta ABC$ – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де $a$ – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(8\cdot \sqrt{3}\ \textit{см})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\ \textit{см}^2\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм призми

\begin{gather*} S_\text{осн}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2,\\[6pt] H=AC=8\sqrt{3}\ \textit{см},\\[6pt] V=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2\cdot 8\sqrt{3}\ \textit{см}=1152\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1152.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35318

Завдання 12 з 87

Частиною поверхні якого з геометричних тіл є поверхня даху сцени, зображеної на рисунку?

Апіраміда

Бциліндр

Вконус

Гкуля

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35298

Завдання 13 з 87

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по $25$ см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см$^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса $AB$ й бічне ребро $CF$ дорівнюють по $25$ см. Апофема $FK=OB.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

\begin{gather*} \mathbf{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\mathbf{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

У піраміді $CF=FD=FE=25.$ $\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де $P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}$, $m=FK=20\ \textit{см}.$ $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: $900.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34415

Завдання 14 з 87

У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках $O_1$ і $O_2$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо $O_1(1; -4; 10)$, $O_2(7; 4; -14)$?

А$26$

Б$13$

В$12$

Г$10$

Д$17$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

Знаходимо відстань між точками $O_1O_2$ за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_1-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б $13$ см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за $13$ см, але менше за $26$ см.

З наведених значень – це $17$ см.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34402

Завдання 15 з 87

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $12$ см i $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Обчисліть об'єм (см$^3$) заданої призми, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см.

$AO=OC=8$ см, $BO=OD=6$ см. $AC\ \perp\ BD.$ $\Delta AOD$ – прямокутний. За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2=8^2+6^2=100\ \textit{см}^2\\[7pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Радіус основи циліндра $R=AD=10$ см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot H=400\mathbf{\pi},\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра $H=20$ см.

5. Об'єм призми

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12d_1d_2,\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ \textit{см}^2,\\[6pt] V=96\cdot 20=1920\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1920.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34393

Завдання 16 з 87

У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною $M(4; −9;\ 7).$ Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник $AMB.$ Визначте площу $S$ повної поверхні цього конуса, якщо $A(8; −12;\ 12).$ У відповіді запишіть значення $\frac{S}{\mathbf{\pi}}.$

Впишіть відповідь:

37.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.

$\Delta AMB$ – рівносторонній трикутник.

Знайдемо довжину $AB$ – сторони трикутника за формулою

\begin{gather*} AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z^2-z^1)^2}\\[7pt] AB=\sqrt{(4-8)^2+(-9-(-12))^2+(7-12)^2}=\\[7pt] =\sqrt{16+9+25}=\sqrt{2\cdot 25}=5\sqrt{2}.\\[6pt] AO=\frac 12AB=\frac{5\sqrt{2}}{2} - \text{радіус основи конуса.}\\[6pt] AM=AB=5\sqrt{2} - \text{твірна конуса}.\\[7pt] S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL,\ \text{де} R=OA,\ L=AM.\\[6pt] S_\text{б}=\mathbf{\pi}\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot 5\sqrt{2}=25\mathbf{\pi}\\[6pt] S_\text{осн}=\mathbf{\pi}R^2=\mathbf{\pi}\cdot \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{25\cdot 2}{4}\mathbf{\pi}=\frac{25}{2}\mathbf{\pi}.\\[6pt] S_\text{п}=S_\text{б}+S_\text{осн}=25\mathbf{\pi}+12,5\mathbf{\pi}=37,5\mathbf{\pi}. \end{gather*}

Відповідь: $$ \frac{S}{\mathbf{\pi}}=\frac{37,5\mathbf{\pi}}{\mathbf{\pi}}=37,5. $$

Відповідь: 37,5.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28396

Завдання 17 з 87

На рисунку зображено циліндр, прямокутник $ABCD$ – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.

А$AD$

Б$BC$

В$AC$

Г$BD$

Д$AB$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.

Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.

З-поміж наведених – це $AB.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28357

Завдання 18 з 87

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною $8\ \text{см.}$ Визначте площу $S\ (\text{см}^2)$ бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\frac{S}{\mathbf{\pi}}$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра $ABCD$ є квадрат. $AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.$

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH,\ \ \text{де} R=\frac 12AD=4\ \text{см},\\[6pt] H=AB=8\ \text{см},\\[6pt] S_\text{б}=2\mathbf{\pi}\cdot 4\cdot 8=64\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[6pt] \frac{S}{\mathbf{\pi}}=\frac{64\mathbf{\pi}}{\mathbf{\pi}}=64. \end{gather*}

Відповідь: 64.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26844

Завдання 19 з 87

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…

Аквадрата навколо його сторони».

Бпрямокутника навколо його діагоналі».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дквадрата навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

$ABCD$ – квадрат.

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26806

Завдання 20 з 87

Об’єм конуса дорівнює $64\ \text{см}^3.$ Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Утворений переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого. Обчисліть об’єм $(\text{см}^3)$ меншого конуса.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.

Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.

Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$

Отже, об'єм меншого конуса $64:8=8\ (\text{см}).$

Відповідь: 8.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26204

Завдання 21 з 87

Об’єм циліндра дорівнює $72\pi.$ Визначте висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює $3.$

А$24$

Б$12$

В$9$

Г$8$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.

Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi \cdot 3^2}=8. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26123

Завдання 22 з 87

Визначте об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює $4\ \text{см}$, а висота – $10\ \text{см}$.

А$40\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Б$\frac{40\mathbf{\pi}}{3}\ \text{см}^3$

В$\frac{160\mathbf{\pi}}{3}\ \text{см}^3$

Г$80\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Д$160\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.

Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де $H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}$. $$ V=\mathbf{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\mathbf{\pi}\ (\text{см}^3). $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 25998

Завдання 23 з 87

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$. Діаметр основи циліндра дорівнює $d$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що відрізок $AK$ видно з точки $D$ під кутом 30°.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\mathbf{\gamma}$ між площиною $(CKA)$ і площиною нижньої основи. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання. Під час розрахунку бала за це завдання, на сайті ЗНО-онлайн використовується спеціальна формула розрахунку в залежності від якості виконання інших завдань тесту. Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

$ABCD$ - прямокутник, $\angle ACB=\mathbf{\beta},\ \ AD=BC=d$. $AK$ видно з точки $D$ під кутом $30^\circ$. Отже, $\angle ADK=30^\circ$.

1. Вписаний кут $AKD$ спирається на діаметр $AD$, тому $\angle AKD=90^\circ$.

$(CKA) \cap (AKD)=KA$. \begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} CD\perp (AKD) & \\ DK\perp AK & \end{array}\right| \rightarrow \text{за теоремою про три перпендикуляри}\ CK \perp AK. \end{gather*} Отже, $\angle CKD=\mathbf{\gamma}$ – кут між площинами $(CKA)$ i $(AKD)$.

2. У $\triangle AKD\ (\angle K=90^\circ)$. $AD=d,\ \angle D=30^\circ ,$

\begin{gather*} KD=AD\cdot \cos 30^\circ=d\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}d}{2}.\\[6pt] AB=CD=d\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\ (\text{з}\ \triangle ABC(\angle B=90^\circ ),\ BC=d,\ \angle BCA=\mathbf{\beta}),\\[6pt] \text{У}\ \triangle CKD\ (\angle D=90^\circ)\ \operatorname{tg}K=\frac{CD}{KD}= \frac{d\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\cdot 2}{\sqrt{3}d}=\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}.\\[6pt] \operatorname{tg}K=\operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}\ \ \mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}\right). \end{gather*}

Відповідь: 2. $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}\right)$.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24713

Завдання 24 з 87

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз $ABCD$.

2. Укажіть кут $\mathbf{\beta}$, що утворює пряма $AC$ із площиною верхньої основи циліндра.

3. Визначте об’єм циліндра.

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру, знаходження об’єму.

1. $ABCD$ – осьовий переріз, $AD,\ BC$ – діаметри основ, $AD=BC=d$.

2. Твірна $AB$ перпендикулярна площині основи, тому й $BC$, яка належить цій площині. $AC$ – похила до площини основи, $BC$ – проекція $AC$ на площину. $\angle ACB=\mathbf{\beta}$ – кут між $AC$ й верхньої основи циліндра.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де $R=\frac 12 BC=\frac 12 d$, $H=AB$.

\begin{gather*} \text{У}\ \triangle ABC\ (\angle B=90^\circ)\ AB=BC\cdot \operatorname{tg}C=d\cdot \operatorname{tg}\mathbf{\beta}\\[6pt] V=\mathbf{\pi} \cdot \left(\frac 12 d\right)^2\cdot d\cdot \operatorname{tg}\mathbf{\beta}=\frac{\mathbf{\pi}d^3\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{4}. \end{gather*}

Відповідь: $\frac{\mathbf{\pi}d^3\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{4}$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24712

Завдання 25 з 87

Точки $A$ та $B$ лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.

А20 см

Б100π см

В10 см

Г20π см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Відстань між точками на сфері – це хорда.

Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24684

Завдання 26 з 87

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що градусна міра дуги $\overset{\smile}{AK}$ дорівнює 90°.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\mathbf{\gamma}$ між площиною $(KBD)$ і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

1. Прямокутник $ABCD$ - осьовий переріз циліндра.

$AC=BD=d$. Точка $K$ лежить на колі нижньої основи циліндра $\overset{\smile}{AK}=90^\circ$, тому $\angle AOK=90^\circ$.

Пряма $KD$ – пряма перетину площини $(KBD)$ з площиною нижньої основи.

$\angle AKD=90^\circ$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то $AK\perp KD$.

\begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} AB\perp (AKD) & \\ BK\ -\ \text{похила на площину}\ (AKD) & \\ AK\ -\ \text{проекція похилої}\ BK &\\ AK\perp KD,\ KD \subset\ (AKD) & \end{array}\right| \rightarrow \text{за теоремою про три перпендикуляри}\ BK \perp KD. \end{gather*}

Таким чином, $\angle AKB=\mathbf{\gamma}$ – лінійний кут двогранного кута між площинами ($BKD)$ і площиною основи циліндра.

2. $\triangle AKD$ – рівнобедрений ($KO$ – медіана та висота) $AD=d\cos\mathbf{\beta}$, тому за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AK^2+KD^2=2AK^2,\\[6pt] AK^2=\frac{AD^2}{2}=\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2},\\[6pt] AK=\sqrt{\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2}}=\frac{d\cos\mathbf{\beta}}{\sqrt{2}}.\\[6pt] AB=d\sin\mathbf{\beta}.\\[6pt] \text{У}\ \triangle ABK\ (\angle A=90^\circ)\ \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{AB}{AK}, \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{d\sin\mathbf{\beta}\cdot \sqrt{2}}{d\cos\mathbf{\beta}}=\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Відповідь: 2. $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23691

Завдання 27 з 87

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз $ABCD$.

2. Укажіть кут $\mathbf{\beta}$, що утворює пряма $AC$ із площиною нижньої основи циліндра.

3. Визначте об’єм циліндра.

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.

1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник $ABCD$) зображено на рисунку:

2. Твірна $CD$ перпендикулярна основі, $CA$ – діагональ, $AD$ – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, $\angle CAD=\mathbf{\beta}$.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де $R=OA=OD$ – радіус основи циліндра, $H=CD$ – висота.

\begin{gather*} \text{У}\ \triangle CDA\ (\angle D=90^\circ)\ AC=d,\ \angle A=\mathbf{\beta}\\[6pt] AD=d\cos\mathbf{\beta} \rightarrow AO=\frac 12 AD=\frac{d\cos \mathbf{\beta}}{2}\\[6pt] CD=d\sin \mathbf{\beta} \end{gather*}

Отже,

$$ V=\mathbf{\pi} \cdot \left(\frac{d\cos \mathbf{\beta}}{2}\right)^2\cdot d\sin \mathbf{\beta}=\frac{\mathbf{\pi}d^3\cos^2\mathbf{\beta}\cdot \sin\mathbf{\beta}}{4}. $$

Відповідь: $\frac{\mathbf{\pi}d^3\cos^2\mathbf{\beta}\cdot \sin\mathbf{\beta}}{4}$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23690

Завдання 28 з 87

Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота $h$ цієї шухлядки?

А3 см

Б6 см

В10 см

Г13 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23660

Завдання 29 з 87

Довжина кола основи конуса дорівнює $36\mathbf{\pi}$, твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).

Відрізок

1радіус основи конуса

2висота конуса

3радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}$

Б$18$

В$12\sqrt{3}$

Г$6$

Д$36$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.

1. $C=2\mathbf{\pi}R=36\mathbf{\pi}\ =>\ R=18$, отже 1 - Б.

$\angle ABO=30^\circ\ (AB\ -\ \text{твірна})$
$\triangle AOB\ (\angle O=90^\circ),\ AO=BOtg 30^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$,

отже 2 - А.

3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна $AB$.

$$ AB=\frac{OB}{\cos 30^\circ}=\frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{18\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot 2\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}, $$

отже 3 - В.

Відповідь: 1Б, 2А, 3В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22996

Завдання 30 з 87

Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.

А$55\ \text{см}^2$

Б$75\ \text{см}^2$

В$105\ \text{см}^2$

Г$115\ \text{см}^2$

Д$135\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}$.

Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.

Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.

Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, $OK=r=1\ \text{см}$.

Сторону трикутника знайдемо за формулою:

\begin{gather*} a=2\sqrt{3}r=2\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічної}}=P_{\text{основи}}\cdot H=3\cdot 2\sqrt{3}\cdot 10=60\sqrt{3}\ (\text{см}^2)\approx 60\cdot 1,73\approx 103,8 (\text{см}^2),\\[7pt] P_{\text{основи}}=P_{ACD},\ H=AB. \end{gather*}

Відповідь, найближча до точної, – $105\ \text{см}^2$.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22915

Завдання 31 з 87

Установіть відповідність між вимірами конуса (1–3) та правильним щодо нього твердженням (А – Д).

Виміри конуса

1радіус основи дорівнює $6$,
висота – $3\sqrt{3}$

2радіус основи дорівнює $3$,
висота – $3\sqrt{3}$

3радіус основи дорівнює $4$,
висота – $3$

Твердження щодо конуса

Аконус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною $6$ навколо його висоти

Бдіаметр основи конуса дорівнює $12$

Втвірна конуса дорівнює $12$

Гплоща бічної поверхні конуса дорівнює $20\mathbf{\pi}$

Доб'єм конуса дорівнює $108\sqrt{3\mathbf{\pi}}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь та об'єму конуса.

1. $R=OB=6$, $d=BC=12.$ Отже, 1 – Б.

2. $R=OB=3$, $AO=H=3\sqrt{3}.$

$\Delta AOB (\angle O=90^\circ)$ за теореою Піфагора \begin{gather*} AB^2=BO^2+AO^2=9+27=36,\\[7pt] AB=AC=BC=6. \end{gather*} Отже, 2 – A.

3. $R=OB=4$, $AO=H=3$, $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}Rl, $$ де $l=AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}\cdot 4\cdot 5=20\mathbf{\pi}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21230

Завдання 32 з 87

Укажіть формулу для визначення радіуса $R$ сфери, площа якої дорівнює $S.$

А$R=\sqrt{\frac{S}{\mathbf{\pi}}}$

Б$R=\sqrt{\frac{4\mathbf{\pi}}{S}}$

В$R=\sqrt{4\mathbf{\pi}S}$

Г$R=\sqrt{\frac{S}{4\mathbf{\pi}}}$

Д$R=\sqrt{\frac{4S}{\mathbf{\pi}}}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні кулі.

Площа сфери знаходиться за формулою: $S=4\mathbf{\pi}R^2.$ Виразимо з формули $R:$

\begin{gather*} R^2=\frac{S}{4\mathbf{\pi}};\\[6pt] R=\sqrt{\frac{S}{4\mathbf{\pi}}}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21218

Завдання 33 з 87

Площа повної поверхні циліндра дорівнює $92\mathbf{\pi}$, а площа його бічної поверхні – $56\mathbf{\pi}.$ Визначте площу основи цього циліндра.

А$6\mathbf{\pi}$

Б$18\mathbf{\pi}$

В$13\mathbf{\pi}$

Г$48\mathbf{\pi}$

Д$36\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь циліндра.

$S_\text{бічної}=56\mathbf{\pi}$, $S_\text{поверхні}=S_\text{бічної}+2S_\text{основи}=92\mathbf{\pi}.$

Отже, $92\mathbf{\pi}=56\mathbf{\pi}+2S_\text{основи}.$

$2S_\text{основи}=36\mathbf{\pi}$, $S_\text{основи}=18\mathbf{\pi}.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21212

Завдання 34 з 87

Установіть відповідність між вимірами циліндра (1–3) та правильним щодо нього твердженням (А – Д).

Виміри циліндра

1радіус основи дорівнює $6$,
висота – $4$

2радіус основи дорівнює $2$,
висота – $6$

3радіус основи дорівнює $4$,
висота – $6$

Твердження щодо циліндра

Ациліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами $4$ та $6$ навколо більшої сторони

Бплоща основи циліндра дорівнює $12\mathbf{\pi}$

Втвірна циліндра дорівнює $4$

Гплоща бічної поверхні циліндра дорівнює $24\mathbf{\pi}$

Доб'єм циліндра дорівнює $48\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.

1. Твірна дорівнює $4.$

Отже, 1 – В.

2. $S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=2\mathbf{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\mathbf{\pi}.$

Отже, 2 – Г.

3. $ABCD$ – прямокутник, обертається навколо сторони $6.$

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19968

Завдання 35 з 87

Радіус основи конуса дорівнює $r$, твірна – $l.$ Твірна утворює з висотою конуса кут $60^\circ$ (див. рисунок). Визначте $\frac rl.$

А$\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Б$\frac rl=\frac 12$

В$\frac rl=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Г$\frac rl=2$

Д$\frac rl=\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

У $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$, $OB=r$, $AB=l$, $\angle A=60^\circ.$ $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19955

Завдання 36 з 87

Укажіть формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює $l$, а висота – $h.$

А$S=\frac lh$

Б$S=2lh$

В$S=lh^2$

Г$S=lh$

Д$S=\frac hl$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площі поверхні циліндра.

Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні $S=lh.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19493

Завдання 37 з 87

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $24\mathbf{\pi}$, а довжина кола його основи – $4\mathbf{\pi}.$ Визначте висоту цього циліндра.

А$2$

Б$3$

В$4$

Г$6$

Д$8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формули площі поверхні циліндра.

Площа бічної поверхні $$S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=C\cdot H$$ де $C$ – довжина кола його основи, $H$ – висота циліндра.

$$H=\frac{S_\text{бічної}}{C}=\frac{24\mathbf{\pi}}{4\mathbf{\pi}}=6.$$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18989

Завдання 38 з 87

Укажіть формулу для обчислення висоти $H$ циліндра, площа основи якого
дорівнює $S$, а об'єм – $V.$

А$H=\frac{S}{V}$

Б$H=\frac{V}{S}$

В$H=VS$

Г$H=\frac{V}{3S}$

Д$H=\frac{3V}{S}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму циліндра.

Об'єм циліндра обчислюємо за формулою

\begin{gather*} V=\mathbf{\pi}R^2H=S_\text{основи}\cdot H;\\[6pt] H=\frac VS. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17651

Завдання 39 з 87

Укажіть формулу для обчислення об'єму $V$ конуса, площа основи якого дорівнює $S$, а висота – $h.$

А $V=Sh$

Б$V=\frac{Sh}{2}$

В$V=4Sh$

Г$V=\frac{4Sh}{3}$

Д$V=\frac{Sh}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

$$V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}.$$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17066

Завдання 40 з 87

Радіус основи конуса дорівнює $4$, його висота – $h$, а твірна – $l$. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для $h$ і $l.$

А$16+h^2=l^2$

Б$4+h=l$

В$16-h^2=l^2$

Г$h^2-l^2=16$

Д$8+h^2=l^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

$OA=4$ см, $SO=h$ – висота, $SA=l$ – твірна.

У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] l^2=h^2+16. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16604

Завдання 41 з 87

У циліндр з радіусом основи $3$ см і висотою $4$ см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Площа бічної поверхні циліндра дорівнює

2Площа повної поверхні циліндра дорівнює

3Площа основи конуса дорівнює

4Площа бічної поверхні конуса дорівнює

Закінчення речення

А$9\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Б$12\mathbf{\pi}$ см$^2$.

В$15\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Г$24\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Д$42\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.

Нехай $R=OA=3$ см, $OO_1=H=4$ см.

1. $S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}RH$, де $R=3$ – радіус основи, $H=4$ см. – висота циліндра.

$S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 1 – Г.

2. $S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+2\cdot S_\text{осн.}=24\mathbf{\pi}+2\cdot \mathbf{\pi}\cdot 3^2=24\mathbf{\pi}+18\mathbf{\pi}=42\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 2 – Д.

3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.

Отже, $S_\text{осн.}=9\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 3 – A.

4. Площа бічної поверхні конуса $S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}Rl$, де $R=3$ см, $l$ – твірна $O_1A.$

У $\Delta OO_1A\ \angle O=90^\circ$, $O_1A=\sqrt{OO_1^2+OA^2}=\sqrt{16+9}=5$ см.

$S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\mathbf{\pi}$ см$^2$.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15258

Завдання 42 з 87

Площа великого круга кулі (див. рисунок) дорівнює $S.$ Визначте площу сфери, що обмежує цю кулю.

А$4S$

Б$S^2$

В$\frac{4S}{3}$

Г$2S$

Д$\frac S4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі та сфери та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площа великого круга дорівнює $S.$ За формулою $S=\mathbf{\pi}R^2$ знаходимо $$ R^2=\frac{S}{\mathbf{\pi}}. $$

Площа сфери визначається за формулою: $S=4\mathbf{\pi}R^2.$ Підставимо у формулу замість $R^2$ вираз $\frac{S}{\mathbf{\pi}}.$

Отримаємо: $$ S=4\mathbf{\pi}\cdot \frac{S}{\mathbf{\pi}}=4S. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15240

Завдання 43 з 87

Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює $25\mathbf{\pi}$ см$^2$, а його об’єм – $100\mathbf{\pi}$ см$^3.$ До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Висота циліндра дорівнює

2Висота конуса дорівнює

3Радіус основи циліндра дорівнює

4Твірна конуса дорівнює

Закінчення речення

А$4$ см

Б$5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей тіл і поверхонь обертання та їхніх елементів, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. $V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H=100\mathbf{\pi}$ см$^3$, отже $\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot H=100\mathbf{\pi}$, $H=4$ см. Висота циліндра $4$ см

Отже, правильна відповідь – A.

2. $V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2\cdot h=100\mathbf{\pi}$ см$^3$, $\frac 13\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot h=100\mathbf{\pi}$, $h=12$ см.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $S_\text{осн.цил.}=\mathbf{\pi}R^2=25\mathbf{\pi}$ см$^2$, $R^2=25$, $R=5$ см.

$R_\text{ц}=R_\text{к}=5$ см.

Отже, правильна відповідь – Б.

4. $\Delta BO_2C\ (\angle O_2=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

$BC^2=O_2C^2+O_2B^2=144+25=169$, $BC=13.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14618

Завдання 44 з 87

Укажіть формулу для обчислення об’єму $V$ півкулі радіуса $R$ (див. рисунок).

А$V=4\mathbf{\pi}R^2$

Б$V=\frac{2}{3}\mathbf{\pi}R^3$

В$V=\mathbf{\pi}R^3$

Г$V=2\mathbf{\pi}R^2$

Д$V=\frac{4}{3}\mathbf{\pi}R^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.

Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\mathbf{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому

$$ V=\left(\frac 43\mathbf{\pi}R^3\right):2=\frac{2\mathbf{\pi}R^3}{3}. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14601

Завдання 45 з 87

Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює $a$ см.

А$\frac{4}{3}\pi a^3$ см³

Б$\frac{2}{3}\pi a^3$ см³

В$\frac{1}{3}\pi a^3$ см³

Г$\frac{1}{6}\pi a^3$ см³

Д$\frac{1}{12}\pi a^3$ см³

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14542

Завдання 46 з 87

Впишіть відповідь:

1.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14338

Завдання 47 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь

Продовжити пізніше

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14330

Завдання 48 з 87

Радіус основи конуса дорівнює $r$, а твірна – $l.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то

2Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то

3Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то

4Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$, то

Закінчення речення

А$l=2r.$

Б$l=\sqrt{2}r.$

В$l=3r.$

Г$l=4r.$

Д$l=r.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}$, то $S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl$, $S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2$, $\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2$, $l=3r.$ Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то $AO=OB=r$, $\Delta AOB$ – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора $AB^2=OB^2+AO^2$, $l^2=r^2+r^2$, $l=r\sqrt{2}.$ Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то $l=2r.$ $OB$ – проекція твірної $AB$ на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$

\begin{gather*} S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+S_\text{осн.}=\mathbf{\pi}rl+\mathbf{\pi}r^2=\mathbf{\pi}r(l+r)=5\mathbf{\pi}r^2,\\[7pt] l+r=5r,\\[7pt] l=4r. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12088

Завдання 49 з 87

На рисунку зображено циліндр, радіус основи якого дорівнює $6$, а висота – $h.$ Чотирикутник $ABCD$ – осьовий переріз цього циліндра. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Периметр чотирикутника $ABCD$ дорівнює $36$, якщо

2Площа чотирикутника $ABCD$ дорівнює $42$, якщо

3Об'єм циліндра дорівнює $108\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, якщо

4Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $48\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, якщо

Закінчення речення

А$h=3.$

Б$h=3\mathord{,}5.$

В$h=4.$

Г$h=4\mathord{,}5.$

Д$h=6.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл і поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь та об'ємів тіл обертання.

$ABCD$ осьовий переріз циліндра $R=OB=6$, $OO_1=h.$

\begin{gather*} P_{ABCD}=36,\\[7pt] AB=2OB=12,\\[7pt] CB=OO_1=h.\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(12+h)=36,\\[7pt] 24+2h=36,\\[7pt] 2h=12,\\[7pt] h=6. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB\cdot CB=12\cdot h=42,\\[7pt] h=42:12=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

\begin{gather*} V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2h=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 6^2\cdot h=108\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] 36h=108,\\[7pt] h=3. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}Rh=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 6\cdot h=48\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] 12h=48,\\[7pt] h=4. \end{gather*}

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10855

Завдання 50 з 87

Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) та площею його повної поверхні (А – Д).

Геометричне тіло

1циліндр з радіусом основи $3$ та висотою $4$

2конус з радіусом основи $3$ та твірною $5$

3куб з ребром $\sqrt{3\pi}$

4куля радіуса $2\sqrt{3}$

Площа повної поверхні

А$18\pi$

Б$24\pi$

В$36\pi$

Г$42\pi$

Д$48\pi$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює $R$, а висота – $H$, обчислюється за формулою

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+2S_\text{осн.}=2\pi RH+2\pi R^2=2\pi R(H+R). $$

За умовою $R=3$, $H=4$, тоді

$$ S_\text{повн.}=2\pi\cdot 3(3+4)=42\pi. $$

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи $R$ та твірну $L\mathord{:}$

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+S_\text{осн.}=\pi RL+\pi R^2=\pi R(L+R). $$

Оскільки $R=3$, $L=5$, то

$$ S_\text{повн.}=3\pi(5+3)=24\pi. $$

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром $a=\sqrt{3\pi}$ обчислюємо за формулою

$$ S_\text{повн.}=6a^2=6(\sqrt{3\pi})^2=6\cdot 3\pi=18\pi. $$

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса $R$ визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою $R=2\sqrt{3}$, тому

\begin{gather*} S_\text{повн.}=4\pi(2\sqrt{3})^2=4\pi\cdot 12=48\pi. \end{gather*}

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9450

Завдання 51 з 87

Цукерка має форму конуса, висота якого дорівнює $3$ см, а діаметр основи – $2$ см. Маса $1$ см$^3$ шоколаду, з якого виготовлено цукерку, становить $3$ г. Визначте масу $100$ таких цукерок, якщо кожна цукерка є однорідною й не має всередині порожнин. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А$900$ г

Б$950$ г

В$1000$ г

Г$1050$ г

Д$1100$ г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання. Конус. Об'єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, тіл і поверхонь обертання до розв'язування задач практичного змісту.

Оскільки за умовою кожна цукерка є однорідною і має форму конуса, то маса однієї цукерки пропорціна об'єму конуса: $$ V=\frac 13 \pi R^2h. $$ За умовою $R=1$ см, $h=3$ см. Тоді

$$ V=\frac 13 \pi\cdot 1^2\cdot 3=\pi\ \text{см}^3. $$

Якщо маса $1$ см$^3$ цукерки становить $3$ г, то маса усієї цукерки становить $$ 3V=3\pi\ \text{г}, $$ тоді маса ста цукерок дорівнює

$$ 300\pi\approx 300\cdot 3\mathord{,}14=942\ \text{г}. $$

Серед наведених варіантів відповіді найближчою до $942$ є число $950.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9248

Завдання 52 з 87

На рисунку зображено осьовий переріз світлодіодної лампи. Активна поверхня цієї лампи, через яку відбувається випромінювання світла, є тілом обертання, утвореним обертанням відрізка $AB$ та чверті кола $BC$ навколо осі $l.$ Використовуючи зазначені на рисунку дані, обчиліть площу активної поверхні світлодіодної лампи. Виберіть відповідь, найближчу до точної.

А$39$ см$^2$

Б$42$ см$^2$

В$45$ см$^2$

Г$48$ см$^2$

Д$51$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра. Площа сфери.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє вміння знаходити площу поверхні, утвореної обертанням відрізка та чверті кола навколо заданої осі, використовуючи формули площі бічної поверхні циліндра та площі сфери.

Площа активної поверхні світлодіодної лампи, зображеної на рисунку, є сумою площі бічної поверхні циліндра та площі півсфери. Площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням відрізка $AB$ навколо осі $l$, обчислюємо за формулою $$ S = 2\pi Rh. $$ У нашому випадку діаметр $2R = 3$ см, отже $R = 1{,}5$ см, висота циліндра $h = 5 - 1{,}5 = 3{,}5$ см. Підставивши ці значення у формулу, маємо $$ S = 3 \cdot 3{,}5\pi = 10{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Площу півсфери, утвореної обертанням чверті кола $BC$ навколо осі $l$, обчислюємо за формулою

$$ S = \frac{1}{2}(4\pi R^2) = \frac{1}{2}\pi(2R)^2 = \frac{9}{2}\pi= 4{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Тоді площа активної поверхні лампи дорівнює

$$ 10{,}5\pi + 4{,}5\pi = 15\pi \approx 15 \cdot 3{,}14 = 47{,}1\ \text{ см}^2. $$

Отже, найближчою до точної є відповідь $48$ см$^2.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8187

Завдання 53 з 87

Визначте об'єм конуса, висота якого дорівнює $4$ см, а діаметр основи – $6$ см.

А$12\pi$ см$^3$

Б$18\pi$ см$^3$

В$24\pi$ см$^3$

Г$36\pi$ см$^3$

Д$72\pi$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм конуса.

$$ V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h, $$ де $R$ – радіус основи конуса, $h$ – висота конуса.

За умовою, діаметр основи конуса дорівнює $6$ см, відповідно радіус кола дорівнює половині його діаметра, тобто $$ R = \frac{d}{2} = 3\ \text{см}. $$

Підставимо отримані дані у формулу: $$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12\pi\ \text{см}^3. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8179

Завдання 54 з 87

Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює $50\sqrt{3}$, а периметр основи – $50.$ Визначте об'єм $V$ цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює $4.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду $SABC.$ Точка $O$ – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник $ABC$ (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна $SK = 4$, $S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}$, периметр трикутника $ABC$ дорівнює $50.$

Для обчислення об’єму $V$ конуса потрібно знати його радіус $OK$ та висоту $SO$: $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де $p$ – півпериметр трикутника $ABC$, $r = OK.$ Радіус $OK$ визначаємо за цією формулою:

$$ OK = \frac{S_{\Delta ABC}}{p} = \frac{50\sqrt{3}}{25} = 2\sqrt{3}. $$

У прямокутному трикутнику $SOK$ відома гіпотенуза $SK$ та катет $OK.$ За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

$$ SO = \sqrt{SK^{2} - OK^{2}} = \sqrt{16 - 12} = 2. $$

Тоді

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi(2\sqrt{3})^{2} \cdot 2 = 8\pi,\\[6pt] \frac{V}{\pi} = 8. \end{gather*}

Відповідь: $8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7652

Завдання 55 з 87

Лист заліза, що має форму прямокутника $ABCD$ ($AB=50$ см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки 1 i 2). Краї $AB$ i $CD$ зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює $20$ см.

Виберіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.

А$1570$ см$^2$

Б$3150$ см$^2$

В$5240$ см$^2$

Г$6300$ см$^2$

Д$1000$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра, отриманого після згортання листа заліза, обчислюємо за формулою $S_\text{бічн} = 2\pi Rh.$ У нашому випадку діаметр $d = 2R = 20$ см, висота циліндра дорівнює довжині відрізка $AB$, тому $h = 50$ см. Підставивши ці значення у формулу, маємо

$$ S_\text{бічн} = 20 \cdot 50\pi \approx 1000 \cdot 3{,}14 = 3140. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7638

Завдання 56 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7525

Завдання 57 з 87

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7197

Завдання 58 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7179

Завдання 59 з 87

Об'єм тіла, утвореного обертанням рівнобедреного трикутника навколо висоти, проведеної до його основи, дорівнює $320\pi$ см$^3$. Обчисліть довжину бічної сторони цього трикутника (у см), якщо його основа дорівнює $16$ см.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати твірну конуса за заданими його об’ємом та радіусом його основи.

Для розв’язання завдання потрібно знати властивості рівнобедреного трикутника, означення та властивості конуса, формулу об’єму конуса, теорему Піфагора.

Нехай $ABC$ – рівнобедрений трикутник, у якому $AB = CB$ (див. рисунок).

Висота $BO$ є одночасно його медіаною та бісектрисою. Результатом обертання трикутника $ABC$ навколо висоти $BO$ (або прямокутного трикутника $ABO$ навколо катета $BO$) є конус з висотою $BO$ та радіусом основи $AO.$ Трикутник $ABC$ – осьовий переріз конуса. Бічна сторона трикутника $ABC$ – твірна конуса.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $ABO$ виконується рівність $$ AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}. $$ Оскільки точка $O$ є серединою відрізка $AC$, то $$ AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\ \text{см}. $$

Для визначення висоти конуса запишемо формулу об’єму конуса: $$ V = \frac{1}{3}\pi AO^{2} \cdot BO. $$ Оскільки $AO = 8\ \text{см}$, а $V = 320\pi\ \text{см}^3$, то \begin{gather*} 320\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^{2} \cdot BO,\\[6pt] 320\cdot 3=64\cdot BO,\\[6pt] BO = \frac{320 \cdot 3}{64} = 5\cdot 3=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $$ AB^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289, $$ звідси $$ AB = \sqrt{289} = 17\ \text{см}. $$

Відповідь: $17.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7157

Завдання 60 з 87

Визначте площу сфери, діаметр якої дорівнює $12$ см.

А$36\pi$ см$^2$

Б$72\pi$ см$^2$

В$144\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$576\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа сфери.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу сфери за заданим діаметром сфери.

Якщо діаметр $d$ сфери дорівнює $12$ см, то радіус сфери $$ R = \frac{1}{2} d, $$ тобто $R = 6$ см.

Площа сфери радіуса $R$ обчислюється за формулою $$ S = 4\pi R^2. $$ Підставивши у цю формулу замість $R$ його довжину, отримаємо

$$ S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi\ \text{см}^2. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7078

Завдання 61 з 87

Через точки $A$ i $B$, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює $2$ см, а площа утвореного перерізу – $60\sqrt{2}$ см$^2.$ Визначте довжину відрізка $AB$ (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $20\sqrt{30}\pi$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Циліндр. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра, вміння будувати переріз циліндра та знаходити зазначені відстані.

На рисунку зображено циліндр, точки $A$ і $B$, що лежать відповідно на колах верхньої та нижньої його основи, вісь циліндра $OO_1.$

Перерізом циліндра площиною, паралельною осі циліндра $OO_1$, є прямокутник $ALBC.$

Відстань від точки $O$ – центра нижньої основи – до заданої площини дорівнює довжині відрізка $OK$, $OK\ \perp\ BL$, де точка $K$ – середина відрізка $BL$ (оскільки радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл), за умовою $OK=2$ см. Для зручності введемо позначення: $R$ – радіус основи циліндра, $H$ – висота циліндра, $BK=\frac{1}{2}BL=a.$ Шуканий відрізок $AB$ є гіпотенузою прямокутного трикутника $BLA.$ За теоремою Піфагора: $$ AB^2=4a^2+H^2. $$

Отже, щоб знайти довжину відрізка $AB$, потрібно визначити висоту $H$ і довжину відрізка $BK.$ За умовою, площа утвореного перерізу дорівнює $60\sqrt{2}$. Врахувавши, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін, записуємо рівняння: $$ 2aH=60\sqrt{2}, $$ тобто $$ aH=30\sqrt{2}. $$ Площа бічної поверхні циліндра радіуса $R$ і висоти $H$ дорівнює $$ S=2\pi RH, $$ отже, записуємо рівняння: $$ 2\pi RH=20\sqrt{30}\pi, $$ звідки $$ RH=10\sqrt{30}. $$ Розглянемо прямокутний трикутник $BKO$, в якому відрізок $OK$ є катетом. За теоремою Піфагора запишемо співвідношення: $$ a^2+4=R^2. $$ Отже, маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

$$ \left\{\begin{array}{l} RH=10\sqrt{30},\\ aH=30\sqrt{2},\\ a^2+4=R^2. \end{array}\right. $$

У формулі для знаходження довжини відрізка $AB$ радіус $R$ не фігурує. Тому спочатку виключимо із системи змінну $R.$ Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо $$ \frac{R}{a}=\frac{1}{3}\sqrt{15}, $$ звідки $$ R=\frac{a}{3}\sqrt{15}. $$ Підставимо це значення в останнє рівняння системи: $$ a^2+4=\left(\frac{a}{3}\sqrt{15}\right)^2, $$ звідки \begin{gather*} a^2+4=\frac{5}{3}a^2,\\[6pt] a^2=6. \end{gather*} Ураховуючи друге рівняння, дістаємо \begin{gather*} H=\frac{30\sqrt{2}}{a},\\[6pt] H^2=\frac{1800}{a^2}=\frac{1800}{6}=300. \end{gather*} Таким чином,

\begin{gather*} AB^2=4a^2+H^2=4\cdot 6+300=324,\\[7pt] AB=\sqrt{324}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $18.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6904

Завдання 62 з 87

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6476

Завдання 63 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6454

Завдання 64 з 87

Впишіть відповідь:

324

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6418

Завдання 65 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6403

Завдання 66 з 87

Впишіть відповідь:

40.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6379

Завдання 67 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6367

Завдання 68 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6365

Завдання 69 з 87

Впишіть відповідь:

121.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6344

Завдання 70 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6329

Завдання 71 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6294

Завдання 72 з 87

Об'єм конуса дорівнює $64$ см$^3.$ Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Утворений переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого. Знайдіть об'єм меншого конуса.

А$32$ см$^3$

Б$16$ см$^3$

В$12$ см$^3$

Г$8$ см$^3$

Д$4$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса, вміння застосовувати властивості конуса.

$V_{K1} = 64\ \text{см}^3$, $SO_1 = O_1O.$

Круги з центрами $O$ та $O_1$ подібні.

Конуси з радіусами основ $r$ та $R$ подібні.

Отже, $$ \frac{r}{R} = \frac{1}{2} = k, $$ де $k$ – коефіцієнт подібності.

\begin{gather*} \frac{V_{K2}}{V_{K1}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8},\\[6pt] V_{K2} = \frac{64}{8} = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6265

Завдання 73 з 87

Довжина кола основи циліндра дорівнює $18\pi$ см. Визначте площу бічної поверхні цього циліндра, якщо його висота дорівнює $7$ см.

А$126\pi$ см$^2$

Б$207\pi$ см$^2$

В$252\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$567\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$H = 7$ см, $C = 18\pi$ см – довжина кола.

За формулою $$ S_{б} = 2\pi RH, $$ де $C = 2\pi R$. Отже,

$$ S_{б} = CH = 18\pi\cdot 7 = 126\pi\ \text{см}^2. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6261

Завдання 74 з 87

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6238

Завдання 75 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6223

Завдання 76 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6218

Завдання 77 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6174

Завдання 78 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6170

Завдання 79 з 87

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6154

Завдання 80 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6143

Завдання 81 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6133

Завдання 82 з 87

Прямокутний трикутник із катетами $9$ см і $12$ см обертається навколо більшого катета (див. рисунок). Визначте площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А$324\pi$ см$^2$

Б$216\pi$ см$^2$

В$180\pi$ см$^2$

Г$135\pi$ см$^2$

Д$81\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі поверхні конуса.

Прямокутний $\Delta CAB\ (\angle C=90^\circ)$, $AC=12$ см, $BC=9$ см.

\begin{gather*} S_{\text{біч}} = \pi Rl, \end{gather*}

де $R=BC$, $l=AB.$

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB=AC^2+BC^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AB = 15\ \text{см};\\[7pt] S_{\text{біч}} = \pi\cdot 9\cdot 15=135\pi\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{\text{осн}} = \pi R^2=\pi\cdot 9^2=81\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}} = 135\pi+81\pi=216\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6099

Завдання 83 з 87

Прямокутник із сторонами $8$ см і $10$ см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А$360\pi$ см$^2$

Б$160\pi$ см$^2$

В$260\pi$ см$^2$

Г$288\pi$ см$^2$

Д$800\pi$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі бічної поверхні циліндра.

При обертанні прямокутника навколо меншої сторони отримаємо циліндр.
$OO_1 = 8$ см – висота циліндра.

\begin{gather*} AB = OO_1 = 8\ \text{см},\\[7pt] OB = 10\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічн.}} = 2\mathbf{\pi}RH = 2\mathbf{\pi}\cdot OB\cdot OO_1 = 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot 8 = 160\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{осн.}} = \mathbf{\pi}R^2 = \mathbf{\pi}\cdot OB^2 = \mathbf{\pi}\cdot 100 = 100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{повн.}} = S_{\text{бічн.}} + 2\cdot S_{\text{осн.}} = 160\mathbf{\pi} + 2\cdot 100\mathbf{\pi} = 360\mathbf{\pi}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6085

Завдання 84 з 87

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5338

Завдання 85 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5334

Завдання 86 з 87

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4322

Завдання 87 з 87

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4318

Новини

Дорожня карта вступника на бакалаврат 2026 року
Вступ іноземців на бакалаврат в Україні
Коли та як реєструють електронний кабінет вступника у 2026 році

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter

Геометрія – Тіла обертання