Розділ: Числа і вирази
Тема: Відношення та пропорції. Відсотки. Текстові задачі
Кількість завдань: 83
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, уміння виконувати дії з дійсними числами.
Маса одного протона $$ 1,67\cdot 10^{-27}\ \text{кг}. $$
Маса \(100\) протонів \begin{gather*} 1,67\cdot 10^{-27}\cdot 100=1,67\cdot 10^{-27}\cdot 10^2=\\[7pt] =1,67\cdot 10^{-25}\ \text{кг}. \end{gather*}
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
Порція салату містить банани, апельсини та яблука у відношенні \(1:2:3.\) Отже, апельсини складають \(\frac 26=\frac 13\) від усіх фруктів.
Микола використав \(24\) фрукти, а це \(\frac 13\cdot 24=8\) апельсинів.
Відповідь: В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
Набір із двох ручок коштує \(10\) гривень. На \(58\) гривень можна купити \(5\) наборів. На це буде витрачень \(50\) гривень. На \(8\) гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за \(6\) гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити, \(11.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.
Плата зросла на \(161-140=21\ (\text{грн}).\)
\(21\) гривня становить від \(140\) гривень: $$ \frac{21}{140}\cdot 100\text{%}=15\text{%}. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
За \(220\ \text{грн}\) можна купити \(6\) шоколадок \((220 : 35 = 6\ \text{і}\ 10\ \text{грн остача}),\) а за кожні три шоколадки отримати по одній безкоштовно, це ще дві шоколадки \((6 : 3 = 2).\)
Отже, за \(220\ \text{грн}\) можна купити \(6\) шоколадок і ще дві шоколадки отримати безкоштовно, тобто разом \(8\) шоколадок.
Отже, правильна відповідь – Г.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.
На першому поверсі – \(6\) квартир, на другому-четвертому по \(8.\)
Отже, \(6+8*3=30\) (квартир) на перших чотирьох поверхах. Квартира №31 на п'ятому поверсі.
Відповідь: В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.
Число, \(25\text{%}\) якого дорівнює \(50,\) знаходимо \(50:25\cdot 100=200.\)
Або \begin{gather*} 25\text{%} - 50,\\[7pt] 100\text{%} - x. \end{gather*}
Отже, \begin{gather*} \frac{25}{100}=\frac{50}{x},\\[6pt] x=\frac{50\cdot 100}{25}=200. \end{gather*}
Або \(25\text{%}\) – це \(\frac 14\) від числа. Отже, число дорівнює \(50\cdot 4=200.\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, використовувати ознаки подільності чисел.
Нехай кількість бізе була \(x\) одиниць, тоді бісквітів – \(5x\) одиниць.
Отже, всього тістечок було $$ x+5x=6x. $$
Кількість тистечок може бути числом, кратним \(6\). З наведених чисел це може бути \(72.\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.
1. У 100 г морозива міститься:
| маса, г | енергетична цінність 1 г, ккал | енергетична цінність в 100 г | |
| Білки | 3,5 | 4 | 4 · 3,5=14 |
| Жири | 12 | 9 | 12 · 9=108 |
| Вуглеводи | 21 | 4 | 21 · 4=84 |
| Разом | 14+108+84=206 |
2. Морозиво, з'їдене Ладою, становило \(30\ \text{%}\) від \(500\ \text{г}\). Маса з'їденого морозива $$ 500\cdot 0,3=150\ \text{г}. $$
У \(100\ \text{г}\) морозива енергетична цінність становить \(206\ \text{ккал}\).
У \(150\ \text{г}\) морозива енергетична цінність становить \(206\cdot 1,5=309\ \text{ккал}\), тому що \(150\ \text{г}\) у \(1,5\) рази більше, ніж \(100\ \text{г}\).
Відповідь: 1. 206. 2. 309.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
Температуру породи на глибині, що на \(h\) м нижче від першого рівня, можна визначити за формулою: $$ t=12+\frac{3h}{100} $$ Початкова температура \(+12 ^\circ \mathrm{C}\).
Температура підвищується, отже, в формулі знак "\(+\)".
\(3\cdot \frac{h}{100}\) – підвищиться на \(3\ ^\circ \mathrm{C}\) кожні \(100\ \text{м}\).
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
| Поверхи | Номери квартир |
| 1 | 1–6 |
| 2 | 7–14 |
| 3 | 15–22 |
| 4 | 23–30 |
| 5 | 31–38 |
Отже, квартира №31 знаходиться на 5 поверсі.
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.
Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності. Дезінфікувальний розчин містить:
\(2x\ \text{г}\) – концентрату
\(7x\ \text{г}\) – води
\(\frac{7x}{10}\ \text{г}\) – ароматичної рідини. Разом \(485\ \text{г}\)
\begin{gather*} 2x+7x+0,7x=485\\[7pt] 9,7x=485\\[7pt] x=50. \end{gather*} Концентрату потрібно $$ 2x=2\cdot 50=100\ \text{г}. $$
Відповідь: 100.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.
1. Повернуті гроші – це вартість квитка й половина вартості плацкарти. Крім того, стягнуть збір 18 грн.
2. Сума грошей \(P\) від вартості документа становить: $$ \frac{90}{240}\cdot 100\ \text{%}=37,5\ \text{%} $$
Відповідь: 1. 90. 2. 37,5.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
Атмосферний тиск \(p= 760-\frac{10h}{100}\).
На висоті \(h\) метрів атмосферний тиск знижується на 10 мм рт. ст. кожні 100 м.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
3 грн – 6 конвертів, 12 грн – \(x\) конвертів. Прямо пропорційна залежність між величинами. $$ \frac{3}{12}=\frac 6x,\ \ x=\frac{12\cdot 6}{3}=24\ (\text{конверти}). $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.
1. Ціна пального під час першого заправлення становила 20 грн за 1 л. Для другого заправлення ціна зросла на 2,5% та стала $$ 20\cdot 102,5:100=20,5\ (\text{грн}). $$
2. За два заправлення автомобіля пальним всього витрачено грошей
Відповідь: 1. 20,5. 2. 1620.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
Вартість вхідного квитка в заповідник становить 20 грн для школяра й 50 грн – для дорослого. Отже, за вхідні квитки для групи з 15 школярів та 3 дорослих необхідно $$ 20\cdot 15+3\cdot 50=300+150=450\ (\text{грн}) $$
Для провдення екскурсії необхідно орендувати автобус за 800 грн.
Отже, мінімальна сума грошей для проведення екскурсії: $$ 450+800=1250\ (\text{грн}) $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, застосовувати системи рівнянь до розв’язування текстових задач.
Нехай \(x\) грн – вартість квитка на ранковий сеанс, тоді \((x+15)\) грн – на вечірній.
\(4\) квитки на ранковий сеанс коштують \(4x\) грн, а \(6\) квитків на вечірній – \(6(x+15)\) грн.
За умовою, \begin{gather*} 6(x+15)-4x=220,\\[7pt] 6x+90-4x=220,\\[7pt] 2x=220-90,\\[7pt] 2x=130,\\[7pt] x=65. \end{gather*} \(65\) грн коштує квиток на ранковий сеанс.
Відповідь: \(65.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.
1. П'ята частина від вартості чохла – знижка. Отже, чохол буде коштувати \(\frac 45\)
від \(200\) грн. \(\frac{200\cdot 4}{5}=160\) грн.
Карта пам'яті – в подарунок. Сума грошей \(P\), які заплатить Михайло: $$ P=4500+160=4660\ \textit{грн}. $$
2. Якщо Михайло купував би не за акційними умовами, то заплатив би $$ 4500+200+300=5000\ \textit{грн}. $$ \(P\) від \(5000\) становить: $$ \frac{4660}{5000}\cdot 100\text{%}=\frac{466}{5}\text{%}=93\mathord{,}2\text{%}. $$
Відповідь: 1. \(4660.\)
2. \(93\mathord{,}2.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння знаходити неповну частку, остачу від ділення одного натурального числа на інше.
\(194\) учні можна розсадити в їдальні
\(194 : 6 = 32\) (остача \(2\)).
Таким чином, учні розсядуться по \(6\) учнів за \(32\) столи та \(2\) учні сядуть за \(33\text{-й}\) стіл.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.
Нехай власна швидкість човна \(x\) км/год.
| \(V\), км/год | \(t\), год | \(S\), км | |
| За течією | $$x+2\mathord{,}5$$ | $$\frac{48}{x+2\mathord{,}5}$$ | $$48$$ |
| Проти течії | $$x-2\mathord{,}5$$ | $$\frac{18}{x-2\mathord{,}5}$$ | $$18$$ |
Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на \(12.\) \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}
Відповідь: \(17\mathord{,}5.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.
1. За \(6\) діб норма пробігу \(6\cdot 50=300\) км. Автомобіль проїхав \(420\) км. Перевищення норми пробігу складає $$ 420-300=120\ \textit{км}. $$ За понаднормовий пробіг додаткова плата становитиме $$ P=120\cdot 6=720\ \textit{грн}. $$
2. За \(6\) діб основна плата за оренду становитиме $$ 6\cdot 400=2400\ \textit{грн}. $$ Сума \(P=720\) від \(2400\) становитиме $$ \frac{720}{2400}\cdot 100\text{%}=30\text{%}. $$
Відповідь: 1. \(720.\)
2. \(30.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
\(1\) хвилина = \(60\) секунд.
За \(4\) секунди машина робить \(3\) копії.
Отже, \(60 : 4 \cdot 3 = 45\) копій.
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.
1. Нехай вартість оренди одного велосипеда для дитини \(x\) грн, тоді вартість оренди одного велосипеда для дорослого \(1\mathord{,}5x\) грн. Отже, \begin{gather*} 2\cdot 1\mathord{,}5x+x=1200,\\[7pt] 3x+x=1200,\\[7pt] 4x=1200,\\[7pt] x=300. \end{gather*}
2. Вартість оренди одного шолома та однієї пари рукавичок \(15\text{%}\) від \(300\) грн.
Тобто, \(300\cdot 0\mathord{,}15=45\) грн.
Вартість оренди трьох шоломів та трьох пар рукавичок дорівнює
\(3\cdot 45=135\) грн.
Відповідь: 1. \(300.\)
2. \(135.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Використаємо основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac ab=\frac cd\ =\gt\ a\cdot d=b\cdot c\\[6pt] E=\frac{mv^2}{2}\\[6pt] 2E=mv^2\\[6pt] m=\frac{2E}{v^2}. \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на пропорційну залежність, відсоткові розрахунки.
1. \(800\) г борошна – \(16\mathord{,}56\) грн.
\(1\) кг борошна – ? грн.
Складемо пропорцію:
$$
\frac{800}{1000}=\frac{16\mathord{,}56}{x}
$$
(\(x\) грн – коштує \(1\) кг борошна).
2. \(1\) кг борошна фабрики "Колос" дорожчий за \(1\) кг борошна фабрики "Хлібна".
\(20\mathord{,}7-18=2\mathord{,}7\) грн.
\(2\mathord{,}7\) грн від \(18\) грн становить:
$$
\frac{2\mathord{,}7}{18}\cdot 100\text{%}=15\text{%}.
$$
Відповідь: 1. \(20\mathord{,}7.\)
2. \(15.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.
\(40\) учасників семінару мають бути забезпечені двома пляшками води. Отже, потрібно \(80\) пляшок.
Упаковка містить \(12\) пляшок води. \(80:12=6\) (остача \(8\)). Тобто, потрібно \(6\) упаковок та \(8\) пляшок води.
Отже, найменша кількість упаковок, яких вистачить для всіх учасників семінару - \(7\) шт.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгбера і початки аналізу. Текстові задачі.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.
За умовою задачі складемо таблицю:
| Назва атракціону | Марійка | Богдан |
|---|---|---|
| Веселі гірки | - | \(17\) |
| Паровозик | \(16\) | - |
| Електричні машинки | - | \(20\) |
| Карусель | \(12\) | \(12\) |
| Батут | \(15\) | \(15\) |
| Дитяча рибалка | \(8\) | \(8\) |
| Лебеді | \(13\) | \(13\) |
Максимальна вартість трьох атракціонів для Марійки становить: $$ 16+15+13=44\ \textit{грн}, $$ для Богдана: $$ 20+17+15=52\ \textit{грн}. $$
Максимальна сума коштів, що витратять батьки: $$ 44+52=96\ \textit{грн}. $$
Відповідь: 96.
ТЕМА: Алгбера і початки аналізу. Текстові задачі.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.
Швидкість зближення автобуса та таксі: $$ v=65+80=145\ \textit{км}/\text{год}. $$ За \(t\) годин вони разом проїдуть: \(145t\ \textit{км}.\)
За умовою початкова відстань між автобусом та таксі дорівнює \(340\ \textit{км}\) і через \(t\) годин після початку руху вони ще не зустрілися. Тоді відстань між ними через \(t\) годин після початку руху: $$ S=340-145t. $$
Відповідь: Д.
