Національний мультитест з математики – 1 сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

Позначмо всю витрачену суму через одиницю. Якщо на сир витрачено \(\dfrac 35\) усіх грошей, то частка витрат на фрукти становить

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 25. \end{gather*}

Щоб обчислити дробову частину від загальної суми, помножмо \(240\) грн на \(\dfrac 25{:}\)

\begin{gather*} 240\cdot \frac 25=240\cdot 0{,}4=96\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) кути, прилеглі до бічної сторони, є внутрішніми односторонніми при паралельних основах \(BC\!\parallel\!AD\), тому їхня сума дорівнює \(180^\circ.\) Оскільки кути при верхній основі рівні \((\angle ABC=\angle BCD=110^\circ)\), то для кута \(BAD\) отримуємо:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x+7\gt 27;\\[7pt] 2x\gt 27-7;\\[7pt] 2x\gt 20;\\[7pt] x\gt 10. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (10; +\infty). \end{gather*}

Оскільки нерівність строга, число \(10\) не належить до множини розв'язків. Серед запропонованих варіантів умову \(x\gt 10\) задовольняють числа \(15\) та \(20\), з яких найменшим є \(15.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо діаметра.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція набуває лише від’ємних значень \((f(x)\lt 0)\) на тих проміжках, де її графік розташований строго нижче від осі абсцис \((Ox).\) На рисунку видно, що \(f(x)\lt 0\) для всіх \(x\in (1; 3).\) Оскільки проміжок \((1; 2]\) повністю належить цьому інтервалу, саме на ньому функція є строго від’ємною.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)

Загальна кількість світлин становить \(n=18\) (усі можливі наслідки).

Сприятливими в контексті завдання є світлини із зображеннями природи або будівель, тому їхня кількість дорівнює \(k=8+6=14\) (сприятливі наслідки).

Обчислімо ймовірність і скоротімо дріб на \(2{:}\)

\begin{gather*} P(A)=\frac kn=\frac{14}{18}=\frac 79. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точок у тривимірному просторі, координати вектора в просторі й відстань між точками за відомими координатами.

Якщо \(B_1(x_1; y_1; z_1)\), \(D(x_2; y_2; z_2)\) координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{DB_1}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2). \end{gather*}

Початок системи координат розташований у точці \(A(0; 0; 0).\) Точка \(D\) лежить на осі \(y\) на відстані \(3\) від початку координат \(A(0; 0; 0)\), тому \(D(0; 3; 0).\) Точка \(B_1\) розташована в площині \(xz{:}\) її координата за віссю \(x\) дорівнює \(2\), за віссю \(y-0\), а за віссю \(z-4\), тому \(B_1(2; 0; 4).\) Обчислімо координати вектора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та центральних кутів.

I. Градусна міра кута \(ABC\) дорівнює \(90^\circ.\)

Кут \(ABC\) – вписаний кут, який спирається на діаметр \(AC.\) Вписаний кут, що спирається на діаметр, завжди дорівнює \(90^\circ.\) Твердження правильне.

II. Градусна міра кута \(BOC\) вдвічі більша за градусну міру кута \(BAC.\)

Кут \(BOC\) – центральний кут, а кут \(BAC\) – вписаний. Обидва спираються на спільну дугу \(BC.\) За теоремою про вписаний кут, центральний кут удвічі більший за вписаний, що спирається на ту саму дугу \((\angle BOC=2\cdot \angle BAC).\) Твердження правильне.

III. Довжина відрізка \(AC\) вдвічі більша за довжину відрізка \(OB.\)

Відрізок \(AC\) – це діаметр кола \((D=2R)\), а \(OB\) – радіус кола \((R).\) Відповідно, довжина діаметра вдвічі більша за довжину радіуса \((AC=2\cdot OB).\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{xy}. \end{gather*}

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти їхні показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями \(x=a\), \(x=b\), графіком функції \(y=f(x)\) і віссю \(Ox\) визначмо за формулою:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника, співвідношення в прямокутному трикутнику, середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників, властивості площ геометричних фігур.

Оскільки \(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((AB=BC)\) з кутом при вершині \(\angle ABC=120^\circ\), кути при основі дорівнюють

\begin{gather*} \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \end{gather*}

Проведімо висоту \(BM\!\perp\!AC.\)

У рівнобедреному трикутнику висота є медіаною, тому \(AM=MC=24:2=12\) см. З прямокутного трикутника \(ABM\) визначмо висоту \(BM{:}\)

Точки \(K\) та \(M\) – середини сторін \(AB\) й \(AC\), отже, \(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC.\)

Трикутник \(AKM\) подібний до \(\Delta ABC\) з коефіцієнтом подібності

\begin{gather*} k=\frac{AK}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{KM}{BC}=\frac 12. \end{gather*}

Відношення площ подібних трикутників дорівнює \(k^2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N.\\[6pt] 5^{-1}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підставлення.

З першого рівняння системи виразімо змінну \(y\) через змінну \(x{:}\)

\begin{gather*} y=-4-x. \end{gather*}

Підставмо цей вираз замість змінної \(y\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} x\cdot (-4-x)+(-4-x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння, використавши формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+16+8x+x^2=12;\\[7pt] 4x=12-16;\\[7pt] 4x=-4;\\[7pt] x=-1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} y=-4-(-1)=-4+1=-3. \end{gather*}

\((-1; -3)\) – розв'язок системи.

Добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-1\cdot (-3)=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x^2+2\) – квадратична функція.

Перевірмо функцію на парність:

\begin{gather*} f(-x) = (-x)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x). \end{gather*}

Умова \(f(-x)=f(x)\) виконується для будь-якого \(x\in R\), тому функція парна.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=\sin x.\)

Перевірмо належність точки \((0; 0){:}\) підставмо \(x=0\), тоді \(y=\sin 0 = 0.\) Графік функції проходить через початок координат \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=3x+2\) – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

Оскільки кутовий коефіцієнт \(k=3\gt 0\), функція строго зростає на всій області визначення \((-\infty; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. За властивістю кореня \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac ab},\) де \(a\ge 0\) i \(b\ge 0{:}\)

\begin{gather*} \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Число \(5\) належить проміжку \((3; 6].\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\log_8 200.\)

Оцінімо значення логарифма через степені основи \(8{:}\)

\begin{gather*} 8^2=64\ \text{та}\ 8^3=512. \end{gather*}

Запишімо подвійну нерівність

\begin{gather*} 64\lt 200\lt 512. \end{gather*}

Основа логарифма \(8\gt 1\), тому логарифмічна функція \(y=\log_8 x\) зростає, а знаки нерівності не змінюються:

\begin{gather*} \log_8 64\lt \log_8 200\lt \log_8 512. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_8 8^2\lt \log_8 200\lt \log_8 8^3;\\[7pt] 2\lt \log_8 200\lt 3. \end{gather*}

Значення перебуває в межах від \(2\) до \(3\), тобто належить проміжку \((0; 3].\) Отже, правильна відповідь – В.

3. \(8\cdot \cos 120^\circ.\)

Застосуймо формулу зведення

Число \(-4\) належить проміжку \((-5; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

За формулою діагоналі квадрата \(d=a\sqrt{2}\), де \(a\) – його сторона. Оскільки \(d=8\sqrt{2}\) см, маємо:

\begin{gather*} a\sqrt{2}=8\sqrt{2};\\[7pt] a=8\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань між серединами сторін \(AB\) i \(AD.\)

Точки \(M\) та \(N\) – середини сторін \(AB\) й \(AD\) відповідно. Відрізок \(MN\) є середньою лінією трикутника \(ABD.\) За її властивістю:

\begin{gather*} MN=\frac{BD}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD.\)

Радіус \(r\) вписаного у квадрат кола дорівнює половині сторони цього квадрата.

\begin{gather*} r=\frac a2=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. Довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A.\)

Медіана \(AP\) ділить сторону \(BC\) навпіл, тому

\begin{gather*} BP=\frac{BC}{2}=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABP\ (\angle B=90^\circ)\) обчислюємо довжину гіпотенузи \(AP\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого й найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну для дослідження функції.

Найбільше значення функції визначмо за допомогою її похідної.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) й визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2+18x-30=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2+3x-5=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-2{,}5\) та \(x=1.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої спрямовані вгору):

На \((-\infty; -2{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-2{,}5; 1){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((1; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=-2{,}5\) знак похідної змінюється з плюса на мінус \((+\) на \(-)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою максимуму.

Критичні точки: \(-2{,}5\) та \(1.\) Точка максимуму: \(x_\text{max}=-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Однокімнатні квартири становлять \(40\ \%\) від загальної кількості \((150){:}\)

\begin{gather*} 150\cdot 0{,}4=60. \end{gather*}

Двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних (тобто вони становлять \(80\ \%\) від кількості однокімнатних):

\begin{gather*} 60\cdot 0{,}8=48. \end{gather*}

Щоб обчислити кількість трикімнатних квартир, від загальної кількості квартир віднімімо кількість однокімнатних і двокімнатних:

\begin{gather*} 150-60-48=150-108=42. \end{gather*}

Отже, в будинку \(42\) трикімнатні квартири.

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для визначення невідомих параметрів призми й обчислення її об’єму.

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

\begin{gather*} OB=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Трикутники \(SAC\) та \(SBD\) – рівнобедрені \((SA=SC\), \(SB=SD)\), тому \(SO\) є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди \((SO\!\perp\!(ABCD)).\)

З прямокутного трикутника \(SOB\) за теоремою Піфагора:

З прямокутного трикутника \(SOA\) за теоремою Піфагора:

Отже, довжина діагоналі ромба \(AC{:}\)

\begin{gather*} AC=2\cdot OA=2\cdot 7=14\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді сторони прямокутника в основі призми: \(a=20\) см та \(b=AC=14\) см.

Площа основи призми:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot b=20\cdot 14=280\ \text{см}^2. \end{gather*}

Периметр основи призми:

\begin{gather*} P=2(a+b)=2(20+14)=68\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту призми \(h\) визначмо через формулу площі бічної поверхні \((S_\text{біч}=P\cdot h){:}\)

\begin{gather*} h=\frac{S_\text{біч}}{P}=\frac{680}{68}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot h=280\cdot 10=2800\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(2800.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні й ірраціональні рівняння.

е завдання перевіряє вміння розв'язувати ірраціональні рівняння з параметрами, знання властивостей логарифмічної функції.

ОДЗ:

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо принаймні один із них дорівнює нулю, за умови, що інший множник має зміст

Спочатку обчислімо потенційні корені.

З другого множника маємо \(\log_3(x-4)-2=0\), звідки

\begin{gather*} \log_3(x-4)=2;\\[7pt] x-4=3^2;\\[7pt] x-4=9;\\[7pt] x_2=13. \end{gather*}

З першого множника отримуємо

\begin{gather*} \sqrt{2x-a}=0;\\[7pt] 2x-a=0;\\[7pt] 2x=a;\\[7pt] x_1=\frac a2. \end{gather*}

Рівняння матиме два різні розв’язки лише тоді, коли обидва корені належатимуть області допустимих значень та не збігатимуться один із одним.

Перевірмо виконання умов ОДЗ і відмінності коренів \((x_1\ne x_2).\)

Умова \(x\gt 4\) для кореня \(x_2=13\) виконується завжди, а для кореня \(x_1=\dfrac a2\) має виконуватися нерівність \(\dfrac a2\gt 4\), звідки \(a\gt 8.\)

Умова \(x\ge \dfrac a2\) для \(x_1=\dfrac a2\) виконується автоматично, а для \(x_2=13\) потребує \(13\ge \dfrac a2\), звідки \(a\le 26.\)

Щоб корені не збігалися \((x_1\ne x_2)\), значення \(\dfrac a2\ne 13\), тобто \(a\ne 26.\)

Об’єднаймо ці умови

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \((8; 26).\)

Цілими значеннями із цього проміжку є числа від \(9\) до \(25.\)

Обчислімо їхню кількість:

\begin{gather*} 25-9+1=17. \end{gather*}

Відповідь: \(17.\)