Національний мультитест з математики – Варіант 33

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання видів і властивостей кутів.

Розгорнутий кут поділено на \(10\) рівних частин. Обчислімо градусну міру кожного із цих кутів:

\begin{gather*} 180^\circ:10=18^\circ. \end{gather*}

Отже, градусна міра кута між двома сусідніми стрілками становить \(18^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Застосуймо основну властивість пропорції:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину вектора \(\overrightarrow{OK}\) можна визначити за формулою:

де \(O(x_1, y_1, z_1)\), \(K(x_2, y_2, z_2)\) – координати точок.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 3)\), а її ордината дорівнює \(3.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки карат дорівнює \(0{,}2\) г, то маса діаманта в \(0{,}8\) карата становить: \begin{gather*} 0{,}8\cdot 0{,}2=0{,}16\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 0{,}16\ \text{г}=\frac{0{,}16}{1000}\ \text{кг}=0{,}00016\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(4\) знаки праворуч:

\begin{gather*} 0{,}00016\ \text{кг}=1{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), a \(m\) – ціле число.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних елементів циліндра.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Усі твірні циліндра за означенням паралельні його осі обертання. Оскільки дві довільні твірні циліндра паралельні тій самій прямій (осі циліндра), то за ознакою паралельності прямих у просторі вони паралельні між собою.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників.

І. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю сторону.

За нерівністю трикутника сума будь-яких двох його сторін завжди більша за третю: \((a+b\gt c).\) Якщо сума буде меншою або рівною, геометрично неможливо буде замкнути сторони в трикутник. Твердження неправильне.

ІІ. Сума двох будь-яких кутів трикутника більша за \(90^\circ.\)

Це твердження легко спростувати контрприкладом. Візьмімо тупокутний трикутник із кутами \(100^\circ\), \(40^\circ\) і \(40^\circ.\) Сума двох найменших кутів: \(40^\circ+40^\circ=80^\circ\), що менше за \(90^\circ.\) Твердження неправильне.

ІІІ. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший кут.

Це фундаментальна теорема про співвідношення між сторонами й кутами трикутника: у будь-якому трикутнику навпроти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (ab)^x=a^x\cdot b^x.\\[6pt] 3^x\cdot 5^x\le \frac{1}{15};\\[6pt] (3\cdot 5)^x\le 15^{-1};\\[6pt] 15^x\le 15^{-1}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((15)\) більша за одиницю \((15\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(x\le -1.\)

\begin{gather*} x\in (-\infty; -1]. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

\begin{gather*} b_n=\frac{(-1)^n}{n}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_4=\frac{(-1)^4}{4}=\frac 14. \end{gather*}

Обчислімо п’ятий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_5=\frac{(-1)^5}{5}=-\frac 15. \end{gather*}

Обчислімо суму виразу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь підставленням, застосовувати основну властивість пропорції.

ОДЗ:

\begin{gather*} 2x+y\ne 0;\\[7pt] 2x\ne y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd \Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] 5\cdot x=1\cdot (2x+y);\\[7pt] 5x=2x+y;\\[7pt] 5x-2x=y;\\[7pt] 3x=y.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3x=y,\\ 4x+2=y. \end{array}\right. \end{gather*}

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють \(y.\) Прирівняймо їхні ліві частини:

\begin{gather*} 3x=4x+2;\\[7pt] 3x-4x=2;\\[7pt] -x=2;\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x=-2.\) у перше рівняння:

\begin{gather*} y=3\cdot (-2)=-6. \end{gather*}

Отже, \((-2; -6)\) – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо суму:

\begin{gather*} x_0+y_0=-2+(-6)=-8. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосували властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, то \(\angle B=90^\circ.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), у якому гіпотенуза \(AK=8\) см і \(\angle BAK=30^\circ.\)

Катет \(BK\) лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому він дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} BK=\frac 12AK=\frac 12\cdot 8=4\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину катета \(AB\) через косинус кута:

За умовою, \(AK\) – бісектриса кута \(\angle BAC.\) Оскільки \(\angle BAK=30^\circ\), то

\begin{gather*} \angle KAC=\angle BAK=30^\circ. \end{gather*}

Тоді кут

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=4\sqrt{3}\) см і гострий кут \(\angle BAC=60^\circ.\)

Обчислімо довжину катета \(BC\) через тангенс кута:

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів, визначати місце отриманих чисел на координатній прямій.

1. \(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-\varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\) Отже, 1 – Б.

2. \((1-\sqrt{5})\cdot \varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

Застосували формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

Числу \(-2\) на прямій відповідає точка \(K.\) Отже, 2 – A.

3. \(\log_5 (2\varphi-\sqrt{5}).\)

Для спрощення виразу застосовували формулу:

\begin{gather*} \log_a 1=0. \end{gather*}

Числу \(0\) на прямій відповідає точка \(M.\) Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=-3-x^2.\)

Графік цієї функції – парабола. Оскільки коефіцієнт перед \(x^2\) від'ємний \((-1)\), вітки параболи напрямлені вниз. Вершина параболи зміщена по осі \(y\) на \(3\) одиниці вниз і має координати \((0; -3).\)

Графік повністю лежить нижче осі \(x\), тобто в III та IV чвертях.

Отже, 1 – В.

2. Функція \(y=\dfrac 3x.\)

Це обернена пропорційність, графік якої – гіпербола. Оскільки чисельник додатний \((3\gt 0)\), вітки гіперболи розташовані в I та III координатних чвертях. Графік міститься лише в I та III чвертях.

Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\mathrm{tg}\ x.\)

Графік тангенса – тангенсоїда. Це періодична функція, яка набуває і додатних, і від'ємних значень для різних значень (і додатних, і від'ємних) аргумента \(x\). Тангенсоїда складається з безлічі віток, які проходять через кожну чверть. Графік лежить у I, II, III та IV чвертях.

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. \(BO.\)

За умовою \(AK=5\) см. Точка \(K\) лежить на відрізку \(AO\), тому:

\begin{gather*} OK=AO-AK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Точка \(K\) лежить на колі, а \(O\) – його центр, тому \(OK\) – це радіус кола \((R=15\ \text{см}).\) Оскільки \(BD\) – діаметр кола, то відрізок \(BO\) також є радіусом цього кола:

\begin{gather*} BO=R=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ)\), \(AO=20\) см, \(BO=15\) см. За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи \(AB\) (сторону ромба):

Отже, 2 – Г.

3. \(BN.\)

Точка \(N\) лежить на колі, а \(BD\) – діаметр. Кут \(\angle BND\) вписаний і спирається на діаметр, тому \(\angle BND=90^\circ.\) Отже \(BN\!\perp\!CD\), тобто \(BN\) – висота ромба, опущена на сторону \(CD.\) Обчислімо висоту \(BN\) через площу ромба.

Площа ромба через діагоналі:

Площа ромба через сторону й висоту \((CD=AB=25\ \text{см}){:}\)

\begin{gather*} S=CD\cdot BN;\\[7pt] 600=25\cdot BN;\\[6pt] BN=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну лінійної функції.

Будь-яку лінійну функцію задано формулою:

\begin{gather*} y=kx+b. \end{gather*}

Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту \(k{:}\)

\begin{gather*} f'(x)=(kx+b)'=k. \end{gather*}

За умовою \(f'(x)=-5\), тому \(k=-5.\)

Тобто функція набуває вигляду:

\begin{gather*} f(x)=-5x+b. \end{gather*}

Нуль функції – це значення аргументу \(x\), за якого \(f(x)=0.\) За умовою, якщо \(x=1{,}5\), то \(f(1{,}5)=0.\)

Підставмо ці дані в рівняння, щоб обчислити \(b{:}\)

\begin{gather*} -5\cdot 1{,}5+b=0;\\[7pt] -7{,}5+b=0;\\[7pt] b=7{,}5. \end{gather*}

Отже, остаточний вигляд функції такий:

\begin{gather*} f(x)=-5x+7{,}5. \end{gather*}

Підставмо \(x=-2\) у формулу функції:

Відповідь: \(17{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми наведення статистичної інформації.

Уся кругова діаграма становить \(100\ \%.\) Віднімімо від загальної кількості відомі частки (%) інших трьох жанрів:

Отже, жанру «Хоррор» віддали перевагу \(7{,}5\ \%\) студентів.

За умовою, «Фантастику» вибрало на \(45\) осіб більше. Обчислімо різницю часток:

\begin{gather*} 10\ \% - 7{,}5\ \%=2{,}5\ \%. \end{gather*}

Це означає, що \(2{,}5\ \%\) від загальної кількості студентів – \(45\) осіб.

За правилом обчислення числа за його відсотком:

Відповідь: \(1800.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості піраміди для розв’язування стереометричних задач.

Діагональним перерізом такої піраміди є трикутник \(SAC\), де сторона \(AC\) – діагональ квадрата основи, а \(SA\) і \(SC\) – бічні ребра піраміди.

Оскільки \(\Delta SAC\) рівносторонній, то:

\begin{gather*} SA=SC=AC. \end{gather*}

Висота піраміди \(SO\) є одночасно висотою рівностороннього трикутника \(SAC.\)

Формула висоти рівностороннього трикутника зі стороною \(a{:}\)

\begin{gather*} SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Підставмо відоме значення висоти, щоб обчислити довжину сторони \(a\) (яка дорівнює діагоналі \(AC\) й бічному ребру \(SA\)):

Отже, діагональ основи \(AC=8\sqrt{2}\) см, бічне ребро \(SA=8\sqrt{2}\) см.

В основі піраміди лежить квадрат \(ABCD\) із діагоналлю \(AC=8\sqrt{2}\) см, його сторона \(AB\) дорівнює:

\begin{gather*} AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Для обчислення площі бічної поверхні потрібно знати довжину апофеми \(SF\) (висоту бічної грані \(SDC\)). Розгляньмо прямокутний трикутник \(SOF\) (де \(OF\) – радіус вписаного у квадрат кола, \(OF=\dfrac{AB}{2}=4\) см):

За теоремою Піфагора:

Обчислімо площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot P_\text{осн}\cdot SF;\\[6pt] P_\text{осн}=4\cdot AB=4\cdot 8=32\ \text{см};\\[6pt] S=\frac 12\cdot 32\cdot 4\sqrt{7}=64\sqrt{7}\ \text{см}^2. \end{gather*}

За умовою задачі у відповіді треба записати значення \(\dfrac{S}{\sqrt{7}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{64\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=64. \end{gather*}

Відповідь: \(64.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових і раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} 4x-\sqrt{4x+a}+a=0;\\[7pt] (4x+a)-\sqrt{4x+a}=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt{4x+a}=t\), де \(t\ne 0\), тоді \(4x+a=t^2.\)

Підставмо в рівняння:

\begin{gather*} t^2-t=0;\\[7pt] t(t-1)=0. \end{gather*}

Отримуємо два корені, якщо обидва задовольняють умову \(t=0.\) Отже, \(t_1=0\) i \(t_2=1.\)

1. Якщо \(t=0{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=0;\\[7pt] 4x_1=-a;\\[6pt] x_1=-\frac a4. \end{gather*}

2. Якщо \(t=1{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=1^2;\\[7pt] 4x_2=1-a;\\[6pt] x_2=\frac{1-a}{4}. \end{gather*}

Оскільки для будь-якого дійсного значення \(a\) отримуємо два різні корені, рівняння завжди має рівно два корені.

За умовою сума коренів дорівнює \(10{:}\)

\begin{gather*} x_1+x_2=10;\\[6pt] -\frac a4+\frac{1-a}{4}=10. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

\begin{gather*} -a+1-a=40;\\[7pt] -2a+1=40;\\[7pt] -2a=39;\\[7pt] a=39:(-2);\\[7pt] a=-19{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(-19{,}5.\)