Національний мультитест з математики – Варіант 34

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє знання аксіом стереометрії та взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Площина \(BB_1C_1\) – це площина бічної грані куба, яка містить чотири вершини: \(B\), \(B_1\), \(C_1\) та \(C\) (тобто це грань \(BB_1C_1C\)).

Застосуймо аксіому стереометрії: пряма лежить у площині, якщо принаймні дві її точки належать цій площині.

\(B_1C\) – діагональ бічної грані \(BB_1C_1C.\) Оскільки обидві точки \(B_1\) і \(C\) лежать у площині цієї грані, то й уся пряма \(B_1C\) лежить у площині \(BB_1C_1.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і вміння виконувати дії з дійсними числами.

Якщо в \(1\) Гб \(2^{20}\) Кб, то для обчислення кількості кілобайт у \(8\) Гб треба помножити \(8\) на кількість кілобайт в одному гігабайті:

\begin{gather*} 8\cdot 2^{20}=2^3\cdot 2^{20}=2^{3+20}=2^{23}. \end{gather*}

Застосували властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкцією точки \(A(-1; 4; 5)\) на вісь \(y\) є точка, у якої абсциса (координата по осі \(Ox\)) й апліката (координата по осі \(Oz\)) дорівнюють \(0\), а ордината (координата по осі \(Oy\)) збігається з ординатою точки \(A.\)

Серед запропонованих варіантів лише точка Б \((0; 4; 0)\) розташована на осі \(y.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^{x+1}=81;\\[7pt] 3^{x+1}=3^4. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} x+1=4;\\[7pt] x=4-1;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника.

I. Діагоналі будь-якого прямокутника є бісектрисами його кутів. Діагоналі є бісектрисами кутів лише в ромба (та квадрата). Твердження неправильне.

II. Діагоналі будь-якого прямокутника ділять його на чотири рівні трикутники. Діагоналі прямокутника ділять його на дві пари рівних трикутників. Твердження неправильне.

III. Діагоналі будь-якого прямокутника рівні. Це основна властивість прямокутника, яка відрізняє його від інших паралелограмів. Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння перетворювати графіки функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

Отже, для побудови графіка функції \(y=\dfrac{1}{x-5}\) треба перемістити графік функції \(y=\dfrac 1x\) на \(5\) одиничних відрізків вправо вздовж осі \(Ox.\)

Область визначення функції:

\begin{gather*} x-5\ne 0;\\[7pt] x\ne 5. \end{gather*}

Тому пряма \(x=5\) є вертикальною асимптотою графіка (пунктирна лінія праворуч від осі \(Oy\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -3;\\ x\le 7. \end{cases} \end{gather*}

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок \(x\in (-3; 7].\) З наведених чисел лише \(5\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з модулем дійсного числа й використовувати його властивості.

За властивістю модуля дійсного числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\(a-2\lt 0\) при \(a\lt -2.\)

Отже, \(|a-2|=-(a-2).\)

Спростімо вираз:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

Сума всіх внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\) У заданому чотирикутнику два прямі кути. Прямий кут дорівнює \(90^\circ.\) Третій кут за умовою дорівнює \(100^\circ.\) Позначмо четвертий кут як \(x.\) Отже,

\begin{gather*} 90^\circ+90^\circ+100^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] 280^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] x=360^\circ-280^\circ;\\[7pt] x=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_4 (2x-2)\lt 2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt 2\log_4 4;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 4^2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 16. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(4\gt 1\), функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-2\lt 16;\\[7pt] 2x\lt 16+2;\\[7pt] 2x\lt 18;\\[7pt] x\lt 9. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-2\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 2;\\[7pt] x\gt 1. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (1; 9). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2+2a}{2a+4}=\frac{a(a+2)}{2(a+2)}=\frac a2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника, уміння визначати площу ромба.

Оскільки точки \(K\) і \(M\) – середини сторін \(BC\) і \(CD\), відрізок \(KM\) є середньою лінією трикутника \(BCD.\) За властивістю середньої лінії: \(KM\!\parallel\!BD\) та \(KM=\dfrac 12 BD.\) Довжина \(KM=m\), тому діагональ ромба \(BD=2m.\)

Нехай \(O\) – точка перетину діагоналей ромба. Діагоналі ромба перпендикулярні \((AC\!\perp\!BD)\), тому висота трикутника \(BCD\), проведена з вершини \(C\), лежить на прямій \(AC\) (відрізок \(CO\)).  Якщо \(KM\!\parallel\!BD\) і ділить сторони навпіл, то пряма \(KM\) також ділить висоту \(CO\) навпіл. Отже, відстань від точки \(C\) до лінії \(KM\) (яка дорівнює \(6\)) – це половина відрізка \(CO.\)

\begin{gather*} CO=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Площа ромба складається з площ двох рівних трикутників \((BCD\) і \(ABD){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\)-го члена послідовності й уміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=(-1)^n\cdot n. \end{gather*}

Обчислімо сьомий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_7=(-1)^7\cdot 7=(-1)\cdot 7=-7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(m\cos x\cdot \mathrm{tg}\ x=2\sin x\), то...

Оскільки \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), то

\begin{gather*} m\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=2n\sin x. \end{gather*}

Скоротімо \(\cos x{:}\)

\begin{gather*} m\sin x=2n\sin x. \end{gather*}

Оскільки рівність має виконуватися для всіх можливих допустимих \(x\), прирівняймо коефіцієнти:

\begin{gather*} m=2n. \end{gather*}

Тоді \(n=\dfrac m2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Якщо \(\sqrt{2m^2}=n\), то…

\begin{gather*} \sqrt{2m^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{m^2}=\sqrt{2}\cdot |m|. \end{gather*}

Оскільки за умовою \(m\gt 0\), то \(|m|=m.\)

Звідси \(n=\sqrt{2}\cdot m=m\sqrt{2}.\)

Використали властивості:

\begin{gather*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\ge 0;\\[7pt] \sqrt{a^2}=|a|;\\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо \(4^{\textstyle \log_2 m}=n\), то...

Тоді \(n=m^2.\)

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b \end{gather*}

і властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Функція \(y=\lg x.\)

Це десятковий логарифм. Основа логарифма дорівнює \(10\), що є більшим за \(1\ (10\gt 1).\) Властивість: якщо основа логарифмічної функції більша за одиницю, то функція зростає на всій своїй області визначення \((0; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – A.

2. Функція \(y=\dfrac 1x.\)

Це обернена пропорційність (гіпербола). Знаменник не може дорівнювати нулю, тому \(x\ne 0.\) Тобто функція не визначена лише в одній точці \((x=0).\) Отже, правильна відповідь – Г.

3. Функція \(y=(x+1)^2.\)

Це квадратична функція (парабола). Оскільки коефіцієнт перед квадратом додатний \((a=1\gt 0)\), вітки параболи напрямлені вгору. Вершина параболи міститься в точці \(x=-1.\) Оскільки вітки напрямлені вгору, вершина є точкою екстремуму, а саме – має точку мінімуму. Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції і прямокутних трикутників.

1. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Середня лінія трапеції \(KBCD.\)

Основи трапеції \(KBCD\) – це паралельні сторони \(BC\) і \(KD\ (BC=12\) см, \(KD=4\) см\().\) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

Отже, правильна відповідь – В.

3. Відстань від точки \(B\) до сторони \(CD.\)

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного на цю пряму (тобто інша висота \((BH)\) паралелограма, проведена до сторони \(CD\)).

Площу паралелограма \(ABCD\) можна визначити двома способами \((S=a\cdot h){:}\)

Через основу \(AD\) й висоту \(BK{:}\)

\begin{gather*} S=AD\cdot BK=12\cdot 6=72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Через основу \(CD\) й висоту \(BH\) (шукана відстань):

\begin{gather*} S=CD\cdot BH. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони рівні, то \(CD=AB=10\) см. Підставмо значення у формулу площі:

\begin{gather*} 72=10\cdot BH;\\[7pt] BH=72:10=7{,}2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

За означенням (формула Ньютона – Лейбніца), визначений інтеграл від функції \(f(x)\) дорівнює приросту її первісної \(F(x)\) на заданому проміжку:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a). \end{gather*}

За умовою первісна для функції \(f(x)\) дорівнює:

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Обчислімо

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності: \(P(A)=\dfrac km\), де \(k\) – кількість потрібних місць (сприятливих подій), а \(m\) – загальна кількість місць у літаку (усіх можливих подій).

Загальна кількість місць у літаку \((m){:}\)

У літаку всього \(n\) рядів, і в кожному ряду по \(6\) крісел. Отже, загальна кількість місць:

\begin{gather*} m=6\cdot n. \end{gather*}

Кількість потрібних місць \((k){:}\)

Нам потрібні місця в перших трьох рядах. Оскільки в кожному ряду – \(6\) крісел, то в цих рядах загалом:

\begin{gather*} k=3\cdot 6=18. \end{gather*}

За умовою імовірність отримати таке місце дорівнює \(\dfrac{1}{14}.\) Підставмо обчислені значення у формулу ймовірності:

\begin{gather*} \frac{18}{6n}=\frac{1}{14}, \end{gather*}

cкоротімо дріб у лівій частині на \(6{:}\)

\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14}. \end{gather*}

Скористаймося основною властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} n\cdot 1=3\cdot 14;\\[7pt] n=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної трикутної піраміди за відомими медіаною основи піраміди та твірною конуса.

Висоти конуса \((H_\text{К})\) та піраміди \((H_\text{П})\) рівні: \(H_\text{К}=H_\text{П}=H.\) Радіус основи конуса \((R)\) дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди: \(R_\text{К}=R_\text{П}=R.\) Твірна конуса \(L=12\) см.

В основі піраміди лежить правильний (рівносторонній) трикутник, медіана якого \(m=9\) см. Оскільки трикутник правильний, медіана є також і висотою (\(h=9\) см).

У правильному трикутнику точка перетину медіан (центр описаного кола) ділить медіану у відношенні \(2:1\), починаючи відлік від вершини. Тому радіус описаного кола становить \(\dfrac 23\) від довжини медіани:

\begin{gather*} R=\frac 23\cdot m=\frac 23\cdot 9=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса також \(R=6\) см. Сторона правильного трикутника:

\begin{gather*} a=R\sqrt{3}.\\[7pt] a=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника:

Розгляньмо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса \(H\), радіусом основи \(R\) і твірною \(L.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} H^2+R^2=L^2;\\[7pt] H^2+6^2=12^2;\\[7pt] H^2+36=144;\\[7pt] H^2=144-36;\\[7pt] H^2=108;\\[7pt] H=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди:

Відповідь: \(162.\)

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник визначений і не дорівнює нулю.

Область допустимих значень (ОДЗ).

Для існування коренів виразу підкореневі вирази мають бути невід'ємними:

\begin{gather*} x\ge 0;\\[7pt] 3-x\ge 0;\\[7pt] x\le 3. \end{gather*}

Отже, допустимі значення змінної: \(x\in [0; 3].\)

(Зауважмо, що знаменник \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\) ніколи не перетворюється на \(0\), бо сума двох невід'ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли вони обоє одночасно дорівнюють нулю, що для \(x=0\) та \(x=3\) неможливо).

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}-\sqrt{27}=0;\\[7pt] 3^{\textstyle 2a-5x+2}=\sqrt{27}. \end{gather*}

Зведімо обидві частини до однієї основи \(3\) (зважаємо на те, що \(27=\sqrt{3^3}=3^{\textstyle \frac 32}=3^{1{,}5}\)):

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}=3^{\textstyle 1{,}5}. \end{gather*}

Показники степенів рівні:

\begin{gather*} 2a-5x+2=1{,}5;\\[7pt] 5x=2a+0{,}5;\\[6pt] x=\frac{2a+0{,}5}{5}. \end{gather*}

Рівняння матиме корені, якщо обчислене значення \(x\) задовольняє ОДЗ, тобто належить проміжку \([0; 3]{:}\)

\begin{gather*} 0\le\frac{2a+0{,}5}{5}\le 3. \end{gather*}

Помножмо всі частини нерівності на \(5{:}\)

\begin{gather*} 0\le 2a+0{,}5\le 15;\\[7pt] 0-0{,}5\le 2a\le 15-0{,}5;\\[7pt] -0{,}5\le 2a\le 14{,}5. \end{gather*}

Поділімо на \(2{:}\)

\begin{gather*} -0{,}25\le a\le 7{,}25. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in [-0{,}25; 7{,}25]. \end{gather*}

Найбільше значення \(a\), за якого рівняння має корені, дорівнює \(7{,}25.\)

Відповідь: \(7{,}25.\)