Національний мультитест з математики – Варіант 36

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Потрібно визначити відношення кількості зелених стрічок до кількості коричневих стрічок влітку. За умовою період влітку відповідає білим стовпцям діаграми.

За даними з діаграми (білі стовпці):

• кількість зелених стрічок влітку – \(50.\)
• кількість коричневих стрічок влітку – \(20.\)

Обчислімо, у скільки разів кількість зелених стрічок більша за кількість коричневих:

\begin{gather*} \frac{50}{20}=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв'язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

• степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}

• арифметичного кубічного кореня

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Будь-яка призма завжди має дві рівні основи (верхню і нижню). Кількість бічних граней призми дорівнює кількості сторін многокутника, що лежить у її основі. Оскільки призма трикутна, у її основі лежить трикутник (\(3\) сторони), тому вона має три бічні грані. Отже, трикутна призма має дві основи й три бічні грані.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3-x=2\frac 13;\\[6pt] x=3-2\frac 13. \end{gather*}

Запишімо ціле число \(3\) у вигляді мішаного числа зі знаменником \(3{:}\)

\begin{gather*} 3=2\frac 33;\\[6pt] x=2\frac 33-2\frac 13;\\[6pt] x=\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати множину значень функції за її графіком і застосовувати правила геометричних перетворень графіків функцій.

Графік функції \(y=f(x)\) визначений на проміжку \([-4; 3].\) Множину значень \(E(f)\) визначено проєкцією графіка на вісь \(Oy{:}\)

\begin{gather*} E(f)=[-1; 2]. \end{gather*}

Щоб побудувати графік функції \(y=f(x)-2\), треба перенести графік \(y=f(x)\) уздовж осі \(Oy\) на \(2\) одиниці вниз.

Віднімання числа \(2\) від усієї функції означає паралельне перенесення графіка на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(Oy.\) Отже, від кожного значення y потрібно відняти \(2.\)

Обчислення нової області значень:

\begin{gather*} E(f-2)=[-1-2; 2-2]=[-3; 0]. \end{gather*}

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

\begin{gather*} |1-0{,}5^{-3}|=|1-8|=|-7|=7. \end{gather*}

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

I. Існує прямокутна трапеція, навколо якої можна описати коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) У прямокутній трапеції два кути при меншій бічній стороні – прямі \((90^\circ\ \text{і}\ 90^\circ).\) Отже, кути при більшій бічній стороні – гострий і тупий, але їхня сума також має бути \(180^\circ\), тобто трапеція має бути рівнобічною (а не прямокутною). Твердження неправильне.

II. Існує прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні \((a+b=c+d).\) Для прямокутної трапеції це цілком можливо (наприклад, якщо основи дорівнюють \(3\) і \(6\), а бічні сторони – \(4\) й \(5{:}\ (3+6=4+5=9\)). Твердження правильне.

III. Існує прямокутна трапеція, висота якої вдвічі менша за більшу бічну сторону.

Якщо гострий кут прямокутної трапеції дорівнює \(30^\circ\), то у прямокутному трикутнику, утвореному висотою і більшою бічною стороною, висота (катет проти кута \(30^\circ\)) удвічі менша за більшу бічну сторону (гіпотенузу). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійнi, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Нерівність виду \(f(x)^2\lt a^2\) рівносильна подвійній нерівності

\begin{gather*} -a\lt f(x)\lt a. \end{gather*}

Оскільки \(9=3^2\), то

\begin{gather*} (2x+1)^2\lt 3^2, \end{gather*}

маємо подвійну нерівність:

\begin{gather*} -3\lt 2x+1\lt 3. \end{gather*}

Віднімімо \(1\) від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -3-1\lt 2x\lt 3-1;\\[7pt] -4\lt 2x\lt 2. \end{gather*}

Поділімо всі частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} -2\lt x\lt 1. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-2; 1)\) – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати первісну тригонометричної функції.

Застосуймо правила визначення первісних для кожного доданка окремо:

Отримаємо

\begin{gather*} F(x)=3\sin x-\frac{x^{1+1}}{1+1};\\[6pt] F(x)=3\sin x-\frac{x^2}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо чотирикутник \(KBCD.\) У ньому \(BC\!\parallel\!KD\), тобто це трапеція з основами \(BC\) та \(KD.\) Відрізок \(MN\) з'єднує середини її бічних сторін \(BK\) та \(CD\), тому \(MN\) – середня лінія трапеції \(KBCD.\) За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} MN=\frac{BC+KD}{2}. \end{gather*}

Протилежні сторони паралелограма рівні \((BC=AD)\), тому

\begin{gather*} 24=\frac{AD+18}{2};\\[6pt] AD+18=48;\\[7pt] AD=30\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину відрізка \(AK{:}\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AK};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{BK}{12};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{BK}{12};\\[6pt] BK=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою площі паралелограма \(S=a\cdot h_a\) обчислімо площу \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} W=\frac{q^2}{2C}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівності на \(C\), щоб винести шукану змінну зі знаменника:

\begin{gather*} W\cdot C=\frac{q^2}{2}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(W{:}\)

\begin{gather*} C=\frac{q^2}{2W}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції

Знайдемо \(y\) з першого рівняння. Помножимо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

Підставимо знайдений \(y=8\) у друге рівняння:

Запишемо відповідь у вигляді впорядкованої пари \((x; y){:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь і вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Оскільки точка \(D\) є ортогональною проєкцією точки \(C(-1; 3; -4)\) на вісь \(Ox\), її \(x\)-координата залишається такою ж, а \(y\)- і \(z\)-координати дорівнюють нулю: \(D(-1; 0; 0).\)

Обчислімо відстань між точками \(C\) і \(D\).

За формулою відстані між двома точками у просторі:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Запишімо масу солі, яку кристалізують з літра ропи, у кілограмах.

Оскільки \(1\) кг \(=\ 1000\) г, то:

\begin{gather*} 300\ \text{г}=0{,}3\ \text{кг}. \end{gather*}

Щоб дізнатися, скільки солі можна кристалізувати з \(9000\) літрів ропи, треба помножити об'єм ропи на масу солі, яку видобувають із літра ропи:

\begin{gather*} m=9000\cdot 0{,}3=2700\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. \(\dfrac{1}{\delta}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}.\)

Звільнімося від ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз \(\sqrt{2}-1{:}\)

Два вирази називають взаємно спряженими, якщо вони різняться лише знаком між доданками.

Оскільки \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), то \(\sqrt{2}-1\approx 0{,}41\gt 0.\) Це число містить корінь, який не можна добути, тому воно ірраціональне додатне.

Отже, правильна відповідь – Г.

2.

Число \(\dfrac 12=0{,}5\) – це дріб, отже, воно є раціональним нецілим числом.

Для спрощення виразу застосовували формули:

Отже, правильна відповідь – B.

Число \(-1\) є цілим від'ємним числом.

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних і квадратичних функцій, кола.

1. Побудуймо графік рівняння \(y+x=0.\)

Перенесімо \(x\) у праву частину: \(y=-x.\)

Це лінійна функція, графіком якої є пряма, що проходить через II й IV координатні чверті (бісектриса II й IV чвертей).

Отже, 1 – Г.

2. Побудуймо графік рівняння \(y+x^2=0.\)

Виразімо \(y{:}\ y=-x^2.\)

Це квадратична функція, графіком якої є парабола. Оскільки коефіцієнт біля \(x^2\) від'ємний \((a=-1\lt 0)\), вітки параболи напрямлені вниз.

Отже, 2 – Б.

3. Побудуймо графік рівняння \(y^2+x^2=1.\)

Запишімо в канонічному вигляді: \(x^2+y^2=1^2.\)

Це стандартне рівняння кола із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=1.\)

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата, прямокутника та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба \(ABCD.\)

Периметр квадрата \(P=40\) см.

Оскільки у квадрата всі чотири сторони рівні, то сторона квадрата:

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(\Delta CDM\ (\angle D=90^\circ)\) за теоремою Піфагора шукаємо сторону \(DM{:}\)

Оскільки \(DCKM\) – прямокутник, то \(CK=DM=24\) см.

Отже, правильна відповідь – Д.

3. Відстань між центром квадрата і точкою перетину діагоналей прямокутника \(ABKM.\)

Центр квадрата \(ABCD.\)

Точка перетину діагоналей квадрата знаходиться на відстані від його сторони, що дорівнює половині цієї сторони. Відстань від сторони \(AB\) до точки \(O_1{:}\)

Центр прямокутника \(ABKM.\)

Знайдемо всю основу

Відстань від центра прямокутника (точки перетину його діагоналей) до сторони \(AB\) дорівнює половині його основи \(AM.\) Відстань від сторони \(AB\) до точки \(O_2{:}\)

Оскільки відрізок \(O_1O_2\) паралельний основам \(BC\) та \(AM\), його довжина — це різниця відстаней від сторони \(AB\) до точок \(O_2\) та \(O_1{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна і визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислімо площу зафарбованої фігури за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Визначмо точку перетину графіків \(y=9\) та \(y=x^3+1.\) Для цього прирівняймо їхні вирази:

\begin{gather*} x^3+1=9;\\[7pt] x^3=9-1;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Площу \(S\) фігури, що обмежена зверху графіком \(y=9\) (верхня), знизу – \(y=x^3+1\), а зліва – прямою \(x=0\), обчислімо за допомогою визначеного інтеграла:

Застосували формулу Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де \(f(x)\) – неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати інформацію з полігона частот й обчислювати середнє значення.

З полігона частот виписуємо значення елементів \((x_i)\) й відповідні їм частоти \((n_i){:}\)

Обчислімо загальну кількість елементів (суму частот):

\begin{gather*} N=3+7+1+3+3+5=22. \end{gather*}

Середнє значення обчислімо як середнє арифметичне:

Відповідь: \(21.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей многогранників і тіл обертання, формул площ поверхонь й об'ємів многогранників і тіл обертання.

Формула площі поверхні сфери:

\begin{gather*} S=4\pi R^2. \end{gather*}

За умовою \(S=432\pi\), тому:

\begin{gather*} 4\pi R^2=432\pi. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівності на \(4\pi{:}\)

\begin{gather*} R^2=108;\\[7pt] R=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює діаметру сфери \(D{:}\)

\begin{gather*} H=D=2R=2\cdot 6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є правильний трикутник. За умовою радіус описаного навколо нього кола дорівнює радіусу сфери:

\begin{gather*} R_\text{осн}=R=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона основи \((a){:}\)

\begin{gather*} R_\text{осн}=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R_\text{осн}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа основи \((S_\text{осн}){:}\)

Формула об'єму піраміди:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння аналізувати кількість розв’язків системи двох лінійних рівнянь із двома змінними залежно від значень параметра.

Система лінійних рівнянь виду

\begin{gather*} \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \end{gather*}

не має розв'язків, якщо коефіцієнти при змінних пропорційні, але не дорівнюють відношенню вільних членів:

\begin{gather*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}. \end{gather*}

Запишімо відношення коефіцієнтів:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}\ne \frac{3}{24}. \end{gather*}

Розв'яжімо першу рівність:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}. \end{gather*}

За властивістю пропорції:

\begin{gather*} a(5a+6)=2\cdot 16;\\[7pt] 5a^2+6a-32=0. \end{gather*}

Для розв'язання квадратного рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0\) обчислімо дискримінант \(D=b^2-4ac.\)

Оскільки \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\\[6pt] a_1=\frac{-6+26}{2\cdot 5}=\frac{20}{10}=2;\\[6pt] a_2=\frac{-6-26}{2\cdot 5}=\frac{-32}{10}=-3{,}2. \end{gather*}

Перевірмо умову нерівності \(\dfrac{a}{16}\ne\dfrac{3}{24}\) \(\left(\text{де}\ \dfrac{3}{24}=\dfrac 18\right){:}\)

• якщо \(a=2,\)

\(\dfrac{2}{16}=\dfrac 18.\) Умова не виконується (за \(a=2\) система має безліч розв'язків);

• якщо \(a=-3{,}2,\)

\(\dfrac{-3{,}2}{16}=-\dfrac{32}{160}=-\dfrac 15\ne \dfrac 18.\) Умова виконується (система не має розв'язків).

Отже, система не має розв’язків лише за \(a=-3{,}2.\)

Відповідь: \(-3{,}2.\)