Національний мультитест з математики – Варіант 37

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати дані, наведені на графіку або в таблиці.

На горизонтальній осі час зазначено у хвилинах, тому виразимо у хвилинах час, заданий в умові:

\begin{gather*} 1\ \text{год}\ 20\ \text{хв}=60\ \text{хв}+20\ \text{хв}=80\ \text{хв}. \end{gather*}

На графіку значенню часу \(t=80\) хв відповідає заряд батареї \(70\ \%.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивості зовнішнього кута трикутника.

Кут \(\angle CBD=153^\circ\) є зовнішнім кутом трикутника \(ABD\) при вершині \(B.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle CBD=\angle CAD+\angle ADB;\\[7pt] \angle CAD=\angle CBD-\angle ADB. \end{gather*}

Підставмо відомі значення \(\angle ADB=90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \angle CAD=153^\circ-90^\circ=63^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання ознаки паралельності площин і властивостей паралелепіпеда.

У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані лежать у паралельних площинах.

Грань \(AA_1D_1D\) проходить через точки \(A_1\), \(D_1\), \(D\), а грань \(BB_1C_1C\) – через точки \(C\), \(B\), \(B_1.\)

Оскільки це протилежні грані паралелепіпеда, площини \(A_1D_1D\) й \(CBB_1\) паралельні.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число в правій частині рівняння у неправильний дріб:

\begin{gather*} -3\frac{12}{13}=-\frac{3\cdot 13+12}{13}=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Запишімо рівняння:

\begin{gather*} \frac{4}{13}x=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(13{:}\)

\begin{gather*} 4x=-51;\\[6pt] x=-\frac{51}{4}=-12,75;\\[7pt] -12{,}75\in (-55; -10). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Скористаймося формулою скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей і вміння визначати парність і непарність функцій.

Функція \(f(x)\) є парною, якщо для всіх \(x\) з області визначення виконується умова:

\begin{gather*} f(-x)=f(x). \end{gather*}

Перевірмо варіанти відповіді:

А \(y=3^{2x},\)

\(f(-x)=3^{2(-x)}=3^{-2x}\ne f(x)\) – ні парна, ні непарна.

Б \(y=\sin x +1,\)

B \(y=\dfrac 3x,\)

\(f(-x)=\dfrac{3}{-x}=-\dfrac 3x=-f(x)\) – непарна.

Г \(y=2x^4,\)

\(f(-x)=2(-x)^4=2x^4=f(x)\) – парна.

Д \(y=2x,\)

\(f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x)\) – непарна.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту трапеції \(BH\!\perp\!AD.\)

У прямокутному трикутнику \(BHO\ \angle BOH=45^\circ\), отже, трикутник \(BHO\) – рівнобедрений \((BH=HO).\)

Отже,

\begin{gather*} BH=HO=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Оскільки \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, проєкція бічної сторони

\begin{gather*} AH=\frac{AD-BC}{2}. \end{gather*}

За умовою \(AD=3BC.\)

Позначмо \(BC=x\), тоді \(AD=3x.\)

\begin{gather*} AH=\frac{3x-x}{2}=x=BC. \end{gather*}

Оскільки \(AO=AH+HO\), маємо

\begin{gather*} AO=x+\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Також

\begin{gather*} AO=\frac{AD}{2}=\frac{3x}{2}=1{,}5x. \end{gather*}

Прирівняймо вирази для \(AO{:}\)

\begin{gather*} 1{,}5x=x+\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 1{,}5x-x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 0{,}5x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] x=a\sqrt{2}. \end{gather*}

Отже, основи трапеції дорівнюють:

\begin{gather*} BC=x=a\sqrt{2};\\[7pt] AD=3x=3a\sqrt{2}. \end{gather*}

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 2(x^2-x)=x^2+3. \end{gather*}

Розкриймо дужки в лівій частині рівняння й перенесімо всі доданки в ліву частину, щоб отримати квадратне рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0.\)

\begin{gather*} 2x^2-2x-x^2-3=0;\\[7pt] x^2-2x-3=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-3.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac.\)

Формула для визначення коренів квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

Дискримінант \(D\gt 0\), обчислімо корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1;\\[6pt] x_2=\frac{2+4}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати типові задачі на відсотки, зокрема визначати число за значенням його відсотка.

Оскільки знижка була \(70\ \%\), покупець заплатив:

\begin{gather*} 100\ \%-70\ \%=30\ \% \end{gather*}

від початкової вартості. Тобто \(30\ \%\) становлять \(105\) грн. Складімо пропорцію:

\begin{gather*} 30\ \%\ - \ 105\ \text{грн};\\[6pt] 100\ \%\ -\ x\ \text{грн};\\[6pt] \frac{30}{100}=\frac{105\ \text{грн}}{x};\\[6pt] x=\frac{105\ \text{грн}\cdot 100}{30}=350\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

I. Будь-який ромб є паралелограмом.

За означенням ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Твердження правильне.

II. Будь-яка висота ромба, проведена з його вершини, проходить через точку перетину діагоналей ромба.

Висота, опущена з вершини ромба на протилежну сторону, у загальному випадку не проходить через точку перетину діагоналей. Через цю точку проходить лише та висота, що сполучає протилежні сторони й ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Твердження неправильне.

III. Діагональ ромба ділить його на два рівні трикутники.

Діагональ ромба ділить його на два трикутники зі спільною стороною (діагоналлю) і двома парами рівних сторін (оскільки всі сторони ромба рівні). Ці трикутники рівні за трьома сторонами (третя ознака рівності трикутників). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідні елементарних функцій, похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

Використали формули

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі}\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1};\\[6pt] (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}};\\[7pt] (u+v)'=u'+v'. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] 2^{3-x}\gt \frac 14,\\[6pt] 2^{3-x}\gt 4^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt (2^2)^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt 2^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((2)\) більша за одиницю \((2\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(3-x\gt -2.\)

Розв’яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} -x\gt -2-3;\\[7pt] -x\gt -5. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число \(-1.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; 5).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

Оскільки \(0{,}2=\dfrac{2}{10}=\dfrac 15=5^{-1}\) та \(25=5^2\), то:

Застосували властивості логарифмів:

і властивість степенів

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Центр сфери розташований у початку координат – точці \(O(0; 0; 0).\) Оскільки точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, радіус \(R\) дорівнює відстані від початку координат до точки \(A{:}\)

Рівняння сфери із центром у точці \((0; 0; 0)\) і радіусом \(R=5\) має вигляд:

\begin{gather*} x^2+y^2+z^2=25. \end{gather*}

Перевірмо запропоновані варіанти:

A \((5; 5; 5){:}\)

\(5^2+5^2+5^2=75\ne 25.\)

Б \((0; 0; 10){:}\)

\(0^2+0^2+10^2=100\ne 25.\)

B \((0; 0; 5){:}\)

\(0^2+0^2+5^2=25\) – підходить.

Г \((0; 1; 4){:}\)

\(0^2+1^2+4^2=17\ne 25.\)

Д \((5; 5; 0){:}\)

\(5^2+5^2+0^2=50\ne 25.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення й обчислювати значення виразів, а також визначати місце чисел на координатній прямій.

1. \(e\cdot \dfrac{1}{2e}=\dfrac e1\cdot \dfrac{1}{2e}=\dfrac 12=0{,}5.\)

Числу \(0{,}5\) на прямій відповідає точка \(N.\) Отже, 1 – Г.

2. \(\ln 2e-\ln 2=\ln\dfrac{2e}{2}=\ln e=1.\)

Натуральний логарифм \(\ln e\) – це логарифм за основою \(e\) від числа \(e.\) Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a \frac bc=\log_a b-\log_a c;\\[6pt] \log_a a=1;\\[7pt] \ln e=1. \end{gather*}

Числу \(1\) на прямій відповідає точка \(P.\) Отже, 2 – Д.

3. За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки \(a\approx 2{,}7\gt 1\), то \(1-e\lt 0.\)

\begin{gather*} |1-e|=-(1-e)=e-1. \end{gather*}

Підставмо у вираз:

\begin{gather*} |1-e|-e=e-1-e=-1. \end{gather*}

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(K.\) Отже, 2 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА:Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції \(y=f(x)\) на заданих проміжках, визначати монотонність, точки екстремуму, знаки координат точок і перетин із горизонтальними прямими.

1. Проміжок \([-4; -2].\)

Початкова точка графіка має координати \((-4; -6)\), а в точці \(x=-2\) значення \(y=-3.\) Оскільки на цьому проміжку функція зростає від \(-6\) до \(-3\), її графік обов'язково перетинає пряму \(y=-4{,}5.\) Отже, 1 – В.

2. Проміжок \([-2; 2].\)

У точці \(x=0\) функція змінює зростання на спадання, отже, точка \(x=0\) є точкою максимуму \((y_{max}=1)\), яка належить цьому проміжку. Отже, 2 – Б.

3. Проміжок \([2; 5].\)

На цьому проміжку всі значення \(x\) додатні \((x_0\gt 0)\), а відповідні значення функції \(y\) від’ємні \((y_0\lt 0).\) Отже, добуток їхніх координат завжди від’ємний: \(x_0\cdot y_0\lt 0.\) Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

1. \(BK.\)

Оскільки периметр квадрата \(P_{ABCD}=120\) см, то сторона квадрата:

\begin{gather*} AB=BC=AD=120:4=30\ \text{см}. \end{gather*}

Точка \(K\) – середина \(BC\ (BK=KC)\), тому

\begin{gather*} BK=\frac{30}{2}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(BD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(MD.\)

Оскільки \(BK\!\parallel\!AD\), трикутники \(\Delta BKM\) і \(\Delta DAM\) подібні за двома кутами (\(\angle KBM=\angle ADM\), \(\angle BKM=\angle DAM\) як внутрішні різносторонні).

З подібності трикутників випливає співвідношення відповідних сторін:

\begin{gather*} \frac{BM}{MD}=\frac{BK}{AD}=\frac{15}{30}=\frac 12. \end{gather*}

Отже, діагональ \(BD\) ділиться точкою \(M\) у відношенні \(1:2\), тобто складається з \(1+2=3\) рівних частин. На відрізок \(M\) припадає \(2\) частини з \(3{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

Відповідь: \(50.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне зображення статистичної інформації. Статистичні характеристики рядів даних.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм, обчислювати середнє арифметичне кількох чисел.

Випишімо з графіка відповідні значення для \(2010\text{–}2014\) років:

Обчислімо середнє арифметичне цих п'яти значень:

З-поміж значень на графіку виберімо найближче до середнього \((\overline{x}=4{,}5){:}\) найближчим є значення \(4{,}6\) (для \(2010\) року).

Обчислімо модуль різниці між середнім і найближчим до нього значенням:

\begin{gather*} |4{,}5-4{,}6|=|-0{,}1|=0{,}1. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}1.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи циліндра та правильної чотирикутної піраміди для обчислення об’єму піраміди.

Формула площі основи циліндра (круга):

\begin{gather*} S_\text{осн}=\pi R^2=81\pi;\\[7pt] R^2=81;\\[7pt] R=9\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою радіус кола, описаного навколо основи піраміди, також дорівнює \(R=9\) см.

Основою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Радіус описаного навколо квадрата кола дорівнює половині її діагоналі \(\left(R=\dfrac d2\right)\), отже, діагональ

\begin{gather*} d=2R=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа квадрата (основи піраміди) через її діагональ:

Висота піраміди падає в центр описаного кола, утворюючи прямокутний трикутник із бічним ребром і радіусом \(R.\) Оскільки кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює \(45^\circ\), цей трикутник рівнобедрений, тобто \(H=R=9\) см.

Обчислімо об'єм піраміди:

Відповідь: \(486.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні й показникові рівняння, аналізувати й досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

Область допустимих значень (ОДЗ):

Вираз під знаком логарифма має бути додатним:

\begin{gather*} 3a-17x\gt 0;\\[7pt] 17x\lt 3a;\\[7pt] x\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Добуток двох виразів дорівнює нулю, коли хоча б один із них дорівнює нулю.

Оскільки \(\lg_2(3a - 17x)\ge 0\), оцінімо другий множник:

\begin{gather*} 3+\lg^2(3a-17x)\ge 3\gt 0. \end{gather*}

Отже, другий множник завжди більший за нуль, тому відповідне рівняння не має коренів.

Прирівнюємо перший множник до нуля:

\begin{gather*} 4^{x+1}+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot 4^x+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot (2^x)^2+15\cdot 2^x-4=0. \end{gather*}

Зробімо заміну \(t=2^x\ (t\gt 0){:}\)

Рівняння матиме корінь \(x=-2\), якщо він задовольняє ОДЗ:

\begin{gather*} -2\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(17{:}\)

\begin{gather*} -34\lt 3a;\\[7pt] 3a\gt -34. \end{gather*}

Поділімо на \(3{:}\)

\begin{gather*} a\gt -\frac{34}{3};\\[6pt] a\gt -11\frac 13. \end{gather*}

Найменше ціле значення \(a\), що задовольняє цю нерівність, дорівнює \(-11.\)

Відповідь: \(-11.\)