Національний мультитест з математики – Варіант 39

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів.

Основою цієї піраміди є трикутник \(ABC.\) Бічні грані піраміди – це трикутники, що з’єднують вершину \(S\) із ребрами основи, тобто \(\Delta ABS\), \(\Delta BCS\) і \(\Delta CAS.\)

Варіанти \(SA\) та \(SB\) є бічними ребрами, \(ABC\) – це основа, а трикутник \(SCM\) є внутрішнім перерізом. Отже, єдиною бічною гранню серед запропонованих варіантів є \(ABS.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність події.

Для розв'язання скористаймося класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – загальна кількість усіх рівноможливих подій, а \(m\) – кількість сприятливих подій.

Усього існує \(10\) десяткових цифр: від \(0\) до \(9\), тому \(n=10\) (загальна кількість наслідків). Оскільки правильною є лише одна цифра, кількість сприятливих наслідків

\(m=1.\)

Отже, імовірність правильно визначити цифру

\begin{gather*} P=\frac{1}{10}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[6pt] 7^x\le \frac{1}{49};\\[6pt] 7^x\le 49^{-1};\\[7pt] 7x\le (7^2)^{-1};\\[7pt] 7^x\le 7^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((7)\) більша за одиницю \((7\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності

\begin{gather*} x\le -2. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -2].\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, уміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Використали властивості степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y};\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей кутів паралелограма.

I. Існує паралелограм, у якого всі кути прямі.

Прямокутник – це окремий випадок паралелограма, у якого всі чотири кути прямі \((90^\circ).\) Твердження правильне.

II. Існує паралелограм, сума двох протилежних кутів якого дорівнює \(300^\circ.\)

Протилежні кути паралелограма рівні \((\angle A=\angle C\) та \(\angle B=\angle D).\)

Сума двох тупих протилежних кутів може дорівнювати \(300^\circ.\)

\begin{gather*} \angle B+\angle D=300^\circ,\end{gather*}

тоді

 \begin{gather*} \angle B=\angle D=300^\circ:2=150^\circ. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \angle A=\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Існує паралелограм, у якого сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює \(200^\circ.\)

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони (наприклад, \(\angle A+\angle B\)), є сумою внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих, тому вона завжди дорівнює \(180^\circ.\) Тобто не може дорівнювати \(200^\circ.\) Твердження неправильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння працювати зі стандартним виглядом числа та властивостями степенів.

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), а \(m\) – ціле число.

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

А частина графіка лежить нижче від осі \(Ox\), тобто функція набуває і від’ємних значень.

Б графік не є симетричним відносно осі \(Oy\), тому функція не є парною.

В функція має дві точки екстремуму – одну точку максимуму (за \(x\approx -2\)) й одну точку мінімуму (за \(x\approx 1\)).

Г графік не є симетричним відносно початку координат \((0; 0)\), тому функція не є парною.

Д функція не лише зростає, а й спадає на проміжку між точками екстремуму.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

\begin{gather*} x\in [1; 5). \end{gather*}

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

Обчислiмо їх суму:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a=\frac{(b+c)\cdot d}{2}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівності на \(2{:}\)

\begin{gather*} 2a=(b+c)\cdot d. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(d{:}\)

\begin{gather*} \frac{2a}{d}=\frac{(b+c)\cdot d}{d};\\[6pt] b+c=\frac{2a}{d}. \end{gather*}

Віднімімо \(b\) від обох частин рівності:

\begin{gather*} c=\frac{2a}{d}-b. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

За формулою відстані між двома точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) простору:

За умовою зовнішнього дотику двох куль відстань між їхніми центрами дорівнює сумі їхніх радіусів, тобто \(R+r=26\), де \(R\) – радіус більшої кулі, а \(r\) – радіус меншої. Звідси виразімо радіус меншої кулі: \(r=26-R.\)

Оскільки радіус \(r\) є довжиною відрізка, він має бути додатним \((r\gt 0)\), тому \(26-R\gt 0\), звідки \(R\lt 26.\) Також за умовою \(R\) – радіус більшої кулі \((R\gt r)\), отже, \(R\gt 26-R\), відповідно \(2R\gt 26\), тобто \(R\gt 13.\)

Об'єднавши отримані нерівності, маємо межі для радіуса більшої кулі: \(13\lt R\lt 26.\) Серед наведених у завданні варіантів у проміжок \((13; 26)\) потрапляє лише число \(17.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

За властивістю логарифма

\begin{gather*} \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 2^2;\\[7pt] \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 4. \end{gather*}

Оскільки основи однакові, прирівняймо підлогарифмічні вирази: \(x=4.\)

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Будь-який член цієї геометричної прогресії можна отримати, помноживши або поділивши відоме число \(6\) на знаменник \(2\) в певному цілому степені:

\begin{gather*} b_n=6\cdot 2^m, \end{gather*}

де \(m\in Z.\)

Послідовно помноживши \(6\) на \(2\), маємо ряд: \(12\); \(24\); \(48\); \(96\), а поділивши \(6\) на \(2\), маємо: \(3\); \(1{,}5\); \(0{,}75.\) Серед запропонованих відповідей у цей ряд потрапляє лише число \(48\), оскільки \(6\cdot 2^3=48.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника та прямокутного трикутника, для обчислення площі.

У прямокутному трикутнику \(\Delta KCD\ (\angle C=90^\circ)\) відрізок \(DK\) є бісектрисою, тому \(\angle KDC=45^\circ.\) Обчислімо довжину катета \(CD{:}\)

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, \(AB=CD=12\) см.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), у якому \(\angle KAB=30^\circ{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення, виконувати тотожні перетворення ірраціональних, степеневих і логарифмічних виразів.

1. \(a^6.\)

Оскільки \(\sqrt{2}=2^{\textstyle \frac 12}\), то

\begin{gather*} (\sqrt{2})^6=(2^{\textstyle \frac 12})^6=2^{\textstyle \frac 12\cdot 6}=2^3=8. \end{gather*}

Застосували властивості степенів:

Отже, 1 – Г.

2. \((a-3)(a+3).\)

Застосуймо формулу різниці квадратів \(a^2-b^2=(a-b)(a+b){:}\)

\begin{gather*} (a-3)(a+3)=a^2-9;\\[7pt] (\sqrt{2})^2-9=2-9=-7. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. \(81^{\textstyle \log_ 3a}.\)

Оскільки \(81=3^4\) і \(\sqrt{2}=2^{\textstyle \frac 12}\), то

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0;\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b \end{gather*}

і властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

1. Не має спільних точок із функцією \(y=\log_2(x-1).\)

Область визначення (ОДЗ) функції \(y=\log_2(x - 1)\) задається нерівністю

Пряма на рисунку В є вертикальною і має рівняння \(x=1\) (вертикальна асимптота). Оскільки \(x\gt 1\), графік логарифма розташований строго праворуч від цієї прямої й не перетинає її. Отже, 1 – B.

2. Є графіком функції \(y=\dfrac{2x}{3}-2.\)

Знайдемо точки перетину прямої \(y=\dfrac 23x-2\) з осями координат.

За \(x=0\) отримуємо \(y=-2\), тобто точку \((0; -2)\) на осі \(Oy.\)

За \(y=0\) маємо рівняння

Домножимо рівняння на \(3{:}\)

що дає точку \((3; 0)\) на осі \(Ox.\)

Цим двох точкам відповідає графік Д. Отже, 2 – Д.

3. Кутовий коефіцієнт прямої є від'ємним числом.

Кутовий коефіцієнт прямої \(y=kx+b\) дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до додатного напрямку осі \(Ox{:}\ k=\mathrm{tg}\ \alpha.\) Умова \(k\lt 0\) означає, що \(\mathrm{tg}\ \alpha\lt 0\), тобто кут \(\alpha\) є тупим \((90^\circ\lt \alpha\lt 180^\circ).\) Геометрично це відповідає спадній функції.

Єдиною спадною прямою на малюнках є пряма Г (утворює тупий кут із додатною піввіссю \(Ox\)). Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

Оскільки прямі \(m\) і \(n\) паралельні, відстань між ними є спільною висотою \(h\) для всіх трьох фігур. Для кругового сектора ця відстань є його радіусом:

\begin{gather*} h=AB=KH=MF. \end{gather*}

1. \(AB.\)

Сектор \(ABC\) становить чверть круга з радіусом \(R=AB{:}\)

\begin{gather*} S_\text{круг}=\pi R^2;\\[6pt] S_\text{сектор}=\frac{\pi R^2}{4}=64\pi;\\[6pt] R^2=256;\\[7pt] R=16\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(DL.\)

У рівнобедреному \(\Delta DKL\ (DK=KL=20\ \text{см})\) висота \(KH\!\perp\!DL\) дорівнює \(16\) см. З прямокутного \(\Delta KHD\) за теоремою Піфагора:

Тоді вся основа

\begin{gather*} DL=2\cdot DH=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(LP.\)

Площа паралелограма дорівнює:

\begin{gather*} S=ah_a;\\[7pt] S_{LMNP}=LP\cdot MF;\\[7pt] 288=LP\cdot 16;\\[7pt] LP=\frac{288}{16}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричного та фізичного змісту похідної, а також вміння працювати з лінійною функцією.

Лінійна функція задається формулою \(f(x)=kx+b.\) Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту: \(f'(x)=(kx+b)'=k.\)

Оскільки за умовою похідна дорівнює \(8\), то \(k=8.\) Графік перетинає вісь ординат у точці з ординатою \(-4\), тобто

Запишiмо формулу функції: \(f(x)=8x-4.\) Отже,

Відповідь: \(-13{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми наведення статистичної інформації, розв'язувати текстові задачі.

Нехай \(x\) – кількість осіб, які вибрали жанр «Хоррор». Тоді жанру «Фантастика» віддали перевагу \(1{,}5x\) осіб. За умовою різниця між ними становить \(30\) осіб, тому маємо рівняння:

\begin{gather*} 1{,}5x-x=30;\\[7pt] 0{,}5x=30;\\[7pt] x=60. \end{gather*}

Отже, «Хоррор» вибрали \(60\) осіб, а «Фантастику» – \(1{,}5\cdot 60=90\) осіб. Разом ці два жанри вибрали \(60+90=150\) осіб.

Скориставшись діаграмою, обчислімо частку (%) жанрів «Фантастика» й «Хоррор» разом:

\begin{gather*} 100\ \%-(40\ \%+35\ \%)=25\ \%. \end{gather*}

Оскільки \(25\ \%\) від загальної кількості опитаних становить \(150\) осіб, обчислімо \(100\ \%\) (тобто загальну кількість):

\begin{gather*} 150:0{,}25=600\ \text{осіб}. \end{gather*}

Відповідь: \(600.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо периметр основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою

Обчислімо площу бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] S_\text{біч}=46\cdot 20=920\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь із параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження щодо області значень змінних.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=4^x\) та \(v=y^2.\)

Оскільки \(4^x\gt 0\) та \(y^2\ge 0\), маємо обмеження: \(u\gt 0\) та \(v\ge 0.\)

Перепишімо систему у вигляді:

\begin{gather*} \begin{cases} u+v=22;\\ u-v=13-3a. \end{cases} \end{gather*}

Віднімімо від першого рівняння друге:

\begin{gather*} (u+2v)-(u-v)=22-(13-3a);\\[7pt] u+2v-u+v=22-13+3a;\\[7pt] 3v=9+3a;\\[7pt] v=3+a. \end{gather*}

Підставмо \(v=3+a\) у друге рівняння:

\begin{gather*} u-(3+a)=13-3a;\\[7pt] u-3-a=13-3a;\\[7pt] u=13-3a+3+a;\\[7pt] u=16-2a. \end{gather*}

Система матиме принаймні один розв’язок \((x, y)\), якщо виконано умови для \(u\) та \(v{:}\)

З умови \(v\ge 0\) маємо: \(3+a\ge 0\Rightarrow a\ge -3.\)

З умови \(u\gt 0\) маємо: \(16-2a\gt 0\Rightarrow 2a\lt 16\Rightarrow a\lt 8.\)

Отже, \(a\in [-3; 8).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

Усього таких значень \(11.\)

Відповідь: \(11.\)