Національний мультитест з математики – Варіант 40

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення кореня \(n\text{-го}\) степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля в розв'язуванні задач.

За властивістю арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|. \end{gather*}

За формулою:

\begin{gather*} \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|. \end{gather*}

Оскільки \(2=\sqrt{4}\), а \(\sqrt{4}\lt \sqrt{5}\), то різниця \(2-\sqrt{5}\lt 0\) (від'ємна).

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розкриймо модуль для від'ємного виразу \((|a|=-a){:}\)

\begin{gather*} |2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння визначати цілі числа, що належать заданому числовому проміжку, з урахуванням строгості знаків нерівності.

Нерівність задає числовий проміжок \((-4; 2{,}2].\)

Випишімо всі цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2. \end{gather*}

Усього таких чисел шість.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, а також ознаки паралельності прямої і площини.

Ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, що не належить площині, паралельна будь-якій прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

У заданому кубі грань \(AA_1B_1B\) утворено чотирма ребрами \((AA_1\), \(A_1B_1\), \(BB_1\), \(AB)\), а чотири інші ребра \((A_1D_1\), \(B_1C_1\), \(BC\), \(AD)\) її перетинають. Залишаються \(4\) ребра протилежної грані \(DD_1C_1C\ (DD_1\), \(CC_1\), \(D_1C_1\), \(DC)\), кожне з яких паралельне відповідному ребру грані \(AA_1B_1B\) і не належить їй, тому існує лише чотири такі прямі.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

За властивістю модуля числа:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Маємо лінійну функцію \(y=2x-3.\)

\(k=2\), отже, функція зростає.

\(b=-3\), отже, точка перетину графіка з віссю \(Oy\ (0; -3).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння обчислювати довжину середньої лінії трапеції за її периметром і відомою бічною стороною, застосовуючи властивості рівнобічної трапеції.

Периметр рівнобічної трапеції дорівнює сумі основи \(a\), основи \(b\) та двох рівних бічних сторін \(c{:}\)

\begin{gather*} P=a+b+2c. \end{gather*}

Підставмо відомі значення (\(P=60\) см, \(c=10\) см ):

\begin{gather*} 60=a+b+2\cdot 10;\\[7pt] 60=a+b+20;\\[7pt] a+b=40\ \text{см}. \end{gather*}

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} m=\frac{a+b}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, обчислювати відсоток від числа.

Для визначення маси жиру обчислімо \(2\ \%\) від загальної маси кефіру (\(900\) г).

За визначенням відсотка від числа:

\begin{gather*} m_\text{жиру}=900\cdot 0{,}02=18\ \text{г}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Перенесімо \(375\) у праву частину рівняння:

\begin{gather*} 15(x+3)^2=375. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(15{:}\)

\begin{gather*} (x+3)^2=\frac{375}{15};\\[6pt] (x+3)^2=25. \end{gather*}

Звідси \(x+3=5\) або \(x+3=-5\), отже, отримаємо корені \(x_1=5-3=2\) та \(x_2=-5-3=-8.\)

Сума коренів дорівнює:

\begin{gather*} x_1+x_2=2+(-8)=-6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата.

I. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від його вершин.

Діагоналі квадрата рівні \((AC=BD)\) й точка перетину \(O\) ділить їх навпіл. Отже, \(AO=BO=CO=DO\), тобто точка \(O\) розташована на однаковій відстані від усіх чотирьох вершин. Твердження правильне.

II. Сума довжин діагоналей квадрата дорівнює сумі довжин його сторін.

Якщо сторона квадрата дорівнює \(a\), то сума його чотирьох сторін дорівнює \(4a.\) За теоремою Піфагора з \(\Delta ABC\) діагональ \(AC=a\sqrt{2}.\) Тоді сума двох діагоналей дорівнює \(2a\sqrt{2}\), що менше за \(4a\ (2\sqrt{2}\approx 2{,}83\lt 4).\) Ці значення не дорівнюють одне одному. Твердження неправильне.

III. Діагональ квадрата ділить його на два рівновеликі трикутники.

Рівновеликими називають фігури, що мають рівні площі. Діагональ \(AC\) розбиває квадрат на два рівні прямокутні трикутники \((\Delta ABC=\Delta ADC)\), тому їхні площі однакові й дорівнюють половині площі квадрата \((S_{\Delta ABC}=S_{\Delta ADC}=\dfrac 12S_{ABCD}).\)

Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення й обчислювати значення тригонометричних виразів.

Використаймо періодичність косинуса \(\cos (\alpha+360^\circ)=\cos \alpha\),

Оскільки тангенс є непарною функцією \(\mathrm{tg}\ (-\alpha)=-\mathrm{tg}\ \alpha\), маємо

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ (-60^\circ)=-\mathrm{tg}\ 60^\circ=-\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо ці значення у вираз:

\begin{gather*} 2\cdot 0+(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}. \end{gather*}

Оскільки \(1\lt 3\lt 4\),

\begin{gather*} \sqrt{1}\lt \sqrt{3}\lt \sqrt{4};\\[7pt] 1\lt \sqrt{3}\lt 2. \end{gather*}

Поділімо на \(-1{:}\)

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні!

\begin{gather*} -1\gt -\sqrt{3}\gt -2;\\[7pt] -2\lt -\sqrt{3}\lt -1. \end{gather*}

Отже, значення виразу належить проміжку \([-2; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Завдання перевіряє вміння обчислювати суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

\((a_n)\) – арифметична прогресія \(a_1=2\); \(a_2=1{,}4\); \(a_3=0{,}8.\)

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

обчислімо

\begin{gather*} S_{10}=\frac{2\cdot 2+(-0{,}6)\cdot (10-1)}{2}\cdot 10;\\[6pt] S_{10}=(4-0{,}6\cdot 9)\cdot 5;\\[7pt] S_{10}=(4-5{,}4)\cdot 5=-1{,}4\cdot 5=-7. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2x-5=8,\\ 2x-5=-8, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=8+5,\\ 2x=-8+5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=13,\\ 2x=-3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=6{,}5,\\ x_2=-1{,}5. \end{array}\right.\\[7pt] \end{gather*}

Рівняння має два корені. У відповіді запишімо суму коренів:

\begin{gather*} x_1+x_2=6{,}5+(-1{,}5)=5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі, а також властивостей кулі.

Обчислімо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

Якби кулі були однакового радіуса, то він дорівнював би \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус меншої кулі менший за \(13\) см.

З наведених значень – \(12\) см.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники. Подібність трикутників.

Завдання перевіряє вміння знаходити подібні трикутники та використовувати пропорційність їхніх сторін для визначення невідомих елементів трикутників.

Оскільки \(AD\!\parallel\!BC\), то \(\Delta AOL\sim \Delta COB\) за двома кутами (\(\angle AOL=\angle COB\) як вертикальні, \(\angle OAL=\angle OCB\) як внутрішні різносторонні). З подібності трикутників випливає відношення відповідних сторін:

\begin{gather*} \frac{BC}{AL}=\frac{OC}{AO};\\[6pt] \frac{BC}{3}=\frac{16}{4};\\[6pt] BC=12\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, \(AD=BC=12\) см.

Кут \(\alpha\) – це \(\angle ACD.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ACD\ (D=90^\circ)\) гіпотенуза \(AC=AO+OC=4+16=20\) см, а протилежний до кута \(\alpha\) катет – \(AD.\)

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

\begin{gather*} \sin \alpha=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}};\\[6pt] \sin \alpha=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{20}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних й ірраціональних виразів.

1. \(\log_3 27=\log_3 3^3=3\cdot \log_3 3=3.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

2. Використаймо формулу зведення:

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Запишімо ділення у вигляді множення на обернений дріб і використаймо формулу різниці квадратів \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції \(y=f(x)\) на заданих проміжках, визначати монотонність, точки екстремуму, знаки координат точок, упізнавати елементарні функції.

1. Проміжок \([-4; -2].\)

На проміжку від \(x=-4\) до \(x=-2\), якщо рухатися зліва направо, лінія графіка йде вгору, тобто значення функції зростають. Отже, 1 – А.

2. Проміжок \([-2; 2].\)

На цій ділянці графік є параболою з вершиною в точці \((0; 1)\) гілки якої напрямлені вниз. Її задано рівнянням \(y=1-x^2.\) Перевірмо ключові точки фрагмента: \((0; 1)\), \((-1; 0)\) й \((1; 0)\) належать йому. Отже, 2 – Г.

3. Проміжок \([2; 5].\)

За \(x=3\) функція змінює характер монотонності: зі спадання переходить до зростання. Отже, точка \(x=3\) є точкою локального мінімуму. Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, визначати довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. Висота трапеції \(ABCD.\)

Оскільки \(ABCK\) – квадрат, то трикутник \(\Delta ABC\) – прямокутний і рівнобедрений \((AB=BC=x).\) За теоремою Піфагора для \(\Delta ABC{:}\)

\begin{gather*} AB^2+BC^2=AC^2;\\[7pt] x^2+x^2=(12\sqrt{2})^2;\\[7pt] 2x^2=144\cdot 2;\\[7pt] x^2=144;\\[7pt] x=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висотою трапеції є сторона \(AB\) (або \(CK\)), тому \(h=12\) см.

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(AD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta CKD\ (\angle CKD=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Основа \(AD=AK+KD=12+5=17\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Середня лінія трапеції \(ABCD.\)

За означенням, середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ \((BC\) й \(AD){:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

Відповідь: \(16{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Кількість проданих смартфонів по місяцях становить:

Обчислімо середню кількість проданих смартфонів за \(5\) місяців:

Порівняймо середнє значення \((250)\) з показником квітня \((200)\) й обчислімо їхню різницю:

\begin{gather*} 250-200=50. \end{gather*}

Щоб обчислити, на скільки відсотків середня кількість перевищує продаж у квітні, визначмо відношення різниці до кількості смартфонів, проданих у квітні:

\begin{gather*} \frac{50}{200}\cdot 100\ \%=25\ \%. \end{gather*}

Відповідь: \(25.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей і формул площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

За формулою площі бічної поверхні конуса \(S_\text{біч. кон.}=\pi RL.\) За умовою \(S_\text{біч. кон.}=500\) см\(^2\) та твірна \(SP=L=25\) см.

\begin{gather*} 500\pi=\pi\cdot R\cdot 25;\\[6pt] R=\frac{500}{25}=20\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса:

\begin{gather*} DM=m=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

Піраміда \(DABC\) правильна, тому її основа \(\Delta ABC\) – рівносторонній трикутник, а бічна грань \(\Delta DAB\) – рівнобедрений \((DA=DB=25\) см\().\)

Апофема \(DM\!\perp\!AB\) є висотою і медіаною \((AM=MB).\) З прямокутного \(\Delta DMA\ (\angle DMA=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Звідси сторона основи:

\begin{gather*} AB=2\cdot AM=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки в основі правильної піраміди лежить рівносторонній трикутник \(\Delta ABC\), обчислімо периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot a=3\cdot 30=90\ \text{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди

\begin{gather*} S_\text{біч. пір.}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m;\\[6pt] S_\text{біч. пір.}=\frac 12\cdot 30\cdot 20=900\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити нелінійну систему рівнянь з параметром до лінійної за допомогою заміни змінних; досліджувати кількість розв'язків системи з урахуванням множини значень показникової і квадратичної функцій.

В обох рівняннях змінна \(y\) трапляється лише у квадраті \((y^2).\) Це означає: якщо пара чисел \((x; y)\) є розв'язком, то й пара \((x; -y)\) теж обов'язково є розв'язком. Щоб розв'язок був єдиним, ці дві пари мають збігатися:

\begin{gather*} y=-y;\\[7pt] y=0. \end{gather*}

Підставмо \(y=0\) у початкову систему:

\begin{gather*} \begin{cases} 0{,}2^x=3a+12;\\ 0{,}2^{x-1}=7a+42. \end{cases} \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

Підставмо вираз для \(0{,}2^x\) з першого рівняння в друге:

\begin{gather*} 5\cdot (3a+12)=7a+42;\\[7pt] 15a+60=7a+42;\\[7pt] 15a-7a=42-60;\\[7pt] 8a=-18;\\[7pt] a=-2{,}25;\\[7pt] 0{,}2^x=3\cdot (-2{,}25)+12=5{,}25\gt 0. \end{gather*}

Оскільки \(5{,}25\gt 0\), рівняння має єдиний корінь \(x=\log_{0{,}2}(5{,}25).\) Отже, значення \(a=-2{,}25\) є відповіддю до завдання.

Відповідь: \(-2{,}25.\)