Національний мультитест з математики – Варіант 41

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність випадкової події за класичним означенням, зчитувати й аналізувати дані з графічних зображень (схем, планів).

Для обчислення ймовірності скористаймося класичною формулою

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – кількість усіх доступних (вільних) місць, а \(m\) – кількість сприятливих місць за барною стійкою.

Усього в кав'ярні \(25\) місць, але зайняті ті, що розташовані за двома прямокутними столиками, тобто \(2\cdot 4=8\) місць. Отже, вільними залишаються \(n=25-8=17\) місць. Оскільки за барною стійкою розташовано \(m=5\) вільних місць, імовірність опинитися на одному з них для Матвія становить

\begin{gather*} P=\frac{5}{17}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє знання формули дискримінанта квадратного рівняння.

Для обчислення дискримінанта квадратного рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0\) використаймо формулу \(D=b^2-4ac.\)

Випишімо коефіцієнти рівняння \(3x^2-2x-4=0{:}\)

\(a=3\), \(b=-2\), \(c=-4\).

Підставмо коєфіцієнти у формулу:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість гострих кутів прямокутного трикутника.

У прямокутному трикутнику, утвореному перетином прямих \(OA\), \(CD\) та \(OD\), один із кутів дорівнює \(90^\circ\) (оскільки \(OA\!\perp\!CD\)).

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \alpha+51^\circ=90^\circ;\\[7pt] \beta=90^\circ-51^\circ=39^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння тотожньо перетворювати ірраціональні числові вирази.

Розкладімо підкореневі вирази на множники, один із яких є точним квадратом, використавши властивості арифметичного кореня \(\sqrt{a^2}=a\) i \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\) \((a\ge 0\), \(b\ge 0){:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі й площини у просторі.

Завдання перевіряє знання аксіом стереометрії і взаємного розміщення площин у просторі.

Щоб визначити пряму перетину двох площин, достатньо знайти дві спільні точки, які належать обом площинам.

Площина \((BB_1C_1)\) містить грань \(BB_1C_1C\), а площина \((CDD_1)\) – грань \(CDD_1C_1.\) Обидві площини проходять через спільні вершини \(C\) та \(C_1.\) Оскільки дві різні точки задають єдину пряму, то пряма \(CC_1\) є прямою перетину цих площин.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі з практичним змістом.

Для обчислення максимальної кількості альбомів спочатку обчислімо вартість \(3\) зошитів:

\begin{gather*} 3\cdot 38=144\ \text{грн}. \end{gather*}

Віднімімо цю суму від загального бюджету, щоб дізнатися решту коштів на альбоми:

\begin{gather*} 390-114=276\ \text{грн}. \end{gather*}

Складімо нерівність для визначення кількості альбомів \(n{:}\)

\begin{gather*} 54n\le 276;\\[6pt] n\le\frac{276}{54};\\[6pt] n\le 5\frac 19. \end{gather*}

Кількість альбомів має бути цілим числом, тому найбільшим допустимим значенням є \(n=5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості функції, заданої формулою або графіком.

Підставивши \(k=0\) у формулу лінійної функції \(y=kx+b\), отримуємо \(y=0\cdot x+b\), тобто \(y=b.\) Графіком функції \(y=b\) є пряма, паралельна осі \(Ox\) (або сама вісь \(Ox\), якщо \(b=0\)). З-поміж усіх варіантів горизонтальну пряму зображено на рисунку Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} \frac{2x+10}{5}\gt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на додатне число \(5\), унаслідок цього знак нерівності не змінюється:

\begin{gather*} 2x+10\gt -20. \end{gather*}

Перенесімо \(10\) у праву частину з протилежним знаком:

\begin{gather*} 2x\gt -20-10;\\[7pt] 2x\gt -30. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} x\gt -15. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-15; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції.

I. Середня лінія трапеції проходить через середини діагоналей.

Середня лінія трапеції паралельна основам і проходить через середини обох її діагоналей (це випливає з теореми Фалеса для трикутників, утворених діагоналями й бічними сторонами). Твердження правильне.

II. Середня лінія трапеції більша за половину більшої основи.

Позначмо більшу основу як \(a\), а меншу як \(b\), де \(a\gt b\gt 0.\) За означенням, середня лінія

\begin{gather*} m=\frac{a+b}{2}=\frac a2+\frac b2. \end{gather*}

Оскільки довжина меншої основи додатна \((b\gt 0)\), доданок \(\dfrac b2\gt 0\), тому

\begin{gather*} \frac a2+\frac b2\gt \frac a2. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Середня лінія трапеції ділить її на дві рівновеликі трапеції.

Рівновеликі фігури мають рівні площі. Обидві утворені трапеції мають однакову висоту, але нижня трапеція має більші основи \((m\) та \(a)\), ніж верхня \((b\) та \(m).\) Отже, площа нижньої трапеції завжди більша за площу верхньої. Твердження неправильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Скористаймося формулою скороченого множення квадрат суми:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі й властивостей сфери.

За властивістю сфер, що мають внутрішній дотик: точка дотику \(A\) й центри сфер \(B\) і \(O\) лежать на одній прямій, а центр меншої сфери \(B\) належить відрізку \(AO.\) Звідси випливає, що радіус більшої сфери \(R=AO\) має бути строго більшим за радіус меншої сфери \(r=AB\), тобто \(R\gt r.\)

Обчислімо радіус меншої сфери \(r\) як відстань між точками \(A(9; -2; 4)\) та \(B(1; 7; -8).\)

Застосуймо формулу відстані між двома точками в просторі:

Оскільки \(R\gt 17\), із запропонованих варіантів відповідей \((36\), \(21\), \(17\), \(42\), \(56) \) найменшим числом, яке задовольняє цю нерівність, є \(21.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми \(n\) перших членів і різниці арифметичної прогресії.

Дано арифметичну прогресію \(a_n\), у якій перший член \(a_1=2\), а другий \(a_2=1{,}4.\)

Обчислімо різницю прогресії:

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

Формула суми перших \(n\) членів арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо значення для \(n=10{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведімо обидві частини показникового рівняння до спільної основи \(3{:}\)

Застосуймо властивість степеня:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \sqrt{3}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Отримали рівняння:

\begin{gather*} 3^{-x+7}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} -x+7=0{,}5;\\[7pt] -x=0{,}5-7;\\[7pt] -x=-6{,}5;\\[7pt] x=6{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння \(6{,}5\in (6; 7).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, середньої лінії трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Нехай \(AK=KD=x\), тоді \(BC=AD=2x.\)

Відрізок \(d\) – це середня лінія трапеції \(ABCK\) (з основами \(BC\) та \(AK\)).

\begin{gather*} d=\frac{BC+AK}{2}=\frac{2x+x}{2};\\[6pt] d=\frac{3x}{2};\\[6pt] x=\frac{2d}{3}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} AD=2x=2\cdot \frac{2d}{3}=\frac{4d}{3}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(\Delta KDC\ (\angle D=90^\circ\), \(\angle CKD=60^\circ){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами й логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac 12=0{,}5.\)

Значення \(0{,}5\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – В.

2. \(\pi \approx 3{,}14.\)

\begin{gather*} \pi-4\approx 3{,}14-4=-0{,}86. \end{gather*}

Значення \(-0{,}86\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(4^{\textstyle \log_4 \pi}=\pi\approx 3{,}14.\)

За основною логарифмічною тотожністю \((a^{\textstyle \log_a b}=b).\) Значення \(3{,}14\) належить проміжку \([2; 4).\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=\dfrac 1x-1.\)

Це – обернена пропорційність (гіпербола). Oбласть визначення \(x\ne 0\), тому перетину з віссю \(y\) немає. Для \(y=0\) отримуємо \(\dfrac 1x-1=0\), звідки \(x=1\), тобто графік перетинає лише вісь \(x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=x^2-4x+5.\)

Квадратична функція \(y=x^2-4x+5\) за \(x=0\) має значення \(y=5\), отже, перетинає вісь \(y.\) Дискримінант рівняння \(x^2-4x+5=0\) від'ємний \((D=-4)\), тому точок перетину з віссю \(x\) немає, а графік перетинає лише вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – А.

3. \(y=2\cos x.\)

Тригонометрична функція \(y=2\cos x\) парна, оскільки \(2\cos(-x)=2\cos x\), а графік будь-якої парної функції симетричний відносно осі \(y.\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв'язування трикутників.

\(NP\!\parallel\!BC.\)

1. Точка \(M\) – середина \(AK.\) За теоремою Фалеса: \(NM\!\parallel\!BC\) i \(AN=NB.\)

У \(\Delta ABK\ NM\) – середня лінія. \(BK=2NM=20\) см.

\begin{gather*} BC=BK+KC=20+1=21\ \text{см}.\\[7pt] AB=BC=21\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. У трапеції \(AKCD\ MP\) – середня лінія.

За властивістю середньої лінії:

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=21\) см, \(BK=20\) см.

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє розуміння властивостей парності й непарності функцій і вміння застосовувати їх для обчислення значень алгебричних виразів.

Оскільки \(f(x)\) – парна функція, то мінус в аргументі «зникає»:

\begin{gather*} f(-x_0)=f(x_0)=1. \end{gather*}

Оскільки \(g(x)\) – непарна функція, то мінус з аргумента виносимо наперед:

\begin{gather*} g(-x_0)=-g(x_0)=-(-3)=3. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення в початковий дріб:

Функція \(y=f(x)\) парна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Функція \(y=f(x)\) непарна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=-f(x).\)

Відповідь: \(2{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, і виконувати відсоткові розрахунки.

Обчислімо розмах ряду даних \((R)\), який є різницею між найбільшим \((26)\) і найменшим \((22)\) значеннями:

\begin{gather*} R=26-22=4. \end{gather*}

Обчислімо середнє арифметичне значення ряду \((\overline{x})\), поділивши суму всіх елементів на їхню кількість:

Обчислімо, на скільки відсотків середнє значення перевищує розмах. Порівняймо середнє значення \((\overline{x}=24)\) з розмахом \((R=4)\), який беремо за \(100\ \%.\)

Різниця між значеннями: \(24-4=20.\)

Обчислімо відсоткове відношення різниці до розмаху:

Відповідь: \(500.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної трикутної призми для обчислення об’єму призми.

Основа призми – правильний трикутник зі стороною \(a=12\) см. Радіус \(R\) описаного навколо нього кола дорівнює радіусу основи конуса:

Твірна конуса \(L=5\sqrt{3}\) см, радіус основи \(R=4\sqrt{3}\) см. З прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом і твірною конуса, за теоремою Піфагора обчислімо висоту \(H{:}\)

Оскільки висоти конуса та призми однакові, висота призми також дорівнює \(H=3\sqrt{3}\) см.

Площа правильного трикутника в основі призми:

Відповідь: \(324.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

Область допустимих значень (ОДЗ):

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід'ємним, а знаменник не повинен дорівнювати нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} x\ge 0,\\ \sqrt{x}-2\ne 0, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\ge 0,\\ x\ne 4. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x\in [0; 4)\cup (4; +\infty); \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5^{4x+2a-6}-1=0;\\[7pt] 5^{4x+2a-6}=1;\\[7pt] 5^{4x+2a-6}=5^0;\\[7pt] 4x+2a-6=0;\\[7pt] 4x=6-2a;\\[6pt] x=\frac{3-a}{2}. \end{gather*}

Рівняння матиме корінь лише тоді, коли \(x\) входить до ОДЗ.

З умови \(x\ge 0\) маємо:

\begin{gather*} \frac{3-a}{2}\ge 0;\\[6pt] 3-a\ge 0;\\[7pt] a\le 3. \end{gather*}

З умови \(x\ne 4\) маємо:

\begin{gather*} \frac{3-a}{2}\ne 4;\\[6pt] 3-a\ne 8;\\[7pt] a\ne 3-8;\\[7pt] a\ne -5. \end{gather*}

Тобто рівняння має корінь за \(a\in (-\infty; -5)\cup (-5; 3].\)

Цьому проміжку \([-8; 5]\) належать такі цілі значення параметра:

Відповідь: \(-25.\)