Національний мультитест з математики – Варіант 46

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Призма – це многогранник, у якого дві грані рівні – многокутники, які лежать у паралельних площинах, а решта граней – паралелограми.

Загальна кількість ребер \(n\)-кутної призми складається з \(n\) ребер нижньої основи, \(n\) ребер верхньої основи й \(n\) бічних ребер, тобто її обчислюють за формулою \(3n.\)

Для чотирикутної призми \(n=4\), тому вона має \(3\cdot 4=12\) ребер.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі практичного змісту.

Щоб визначити найбільшу кількість обідів, які можна придбати, поділімо загальну суму грошей на вартість одного обіду:

\begin{gather*} \frac{600}{92{,}4}=\frac{6000}{924}\approx 6{,}49. \end{gather*}

Кількість обідів може бути лише цілим числом. Найбільше ціле число, що не перевищує отриманого значення, – це \(6.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\\[6pt] \frac{3b^2+12b}{16+8b+b^2}=\frac{3b(b+4)}{(4+b)^2}=\frac{3b}{4+b}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності і їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє знання методів розв'язування показникових рівнянь.

Використаймо властивості степенів:

\begin{gather*} (a\cdot b)^x=a^x\cdot b^x\ \text{та}\ (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[7pt] (5\cdot 20)^x=1000;\\[7pt] (100)^x=1000. \end{gather*}

Зведімо обидві частини до основи \(10{:}\)

\begin{gather*} (10^2)^x=10^3;\\[7pt] 10^{2x}=10^3;\\[7pt] 2x=3;\\[7pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Число \(1{,}5\) належить півінтервалу \([1{,}5; 2)\), оскільки квадратна дужка означає, що ліву межу \(1{,}5\) включено до цього проміжку.

Отже, \(x\in [1{,}5; 2).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між двома точками в прямокутній системі координат у просторі.

Сфера із центром у точці \(M(-9; 12; 5)\) проходить через початок координат \(O(0; 0; 0).\) Отже, її радіус дорівнює відстані між точками \(M\) і \(O{:}\)

Діаметр сфери дорівнює подвоєному радіусу:

\begin{gather*} D=2R=2\cdot 5\sqrt{10}=10\sqrt{10}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему Піфагора та властивості прямокутника для обчислення периметра.

Гіпотенуза прямокутного трикутника – спільна сторона з прямокутником.

За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи:

Отже, протилежна (нижня) сторона прямокутника також дорівнює \(10\) м.

Периметр – це сума довжин усіх зовнішніх меж фігури (внутрішня пунктирна лінія до периметра не входить):

\begin{gather*} P=8+6+7+10+7=38\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати властивості числових функцій, заданих графіком, визначати, чи належить точка графіку функції.

Графік функції \(y=3\) – це пряма, паралельна осі абсцис \((Ox)\), що перетинає вісь ординат \((Oy)\) у точці \((0; 3).\) Будь-яка точка, що належить цій прямій, має ординату \(y=3.\)

Ординату \(y=3\) має лише точка \(N(1; 3)\), отже, графік функції \(y=3\) проходить через неї.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь із двома змінними.

З першого рівняння системи визначмо змінну \(x{:}\)

\begin{gather*} \frac 8x=-2,\\[6pt] -2x=8,\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Підставмо обчислене значення \(x=-4\) в друге рівняння системи:

\begin{gather*} -4+\frac y2=0,\\[6pt] \frac y2=4;\\[6pt] y=8. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел \((-4; 8).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і статистики. Комбінаторні правила суми й добутку.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основне правило комбінаторики (правило суми) для обчислення кількості варіантів вибору одного елемента з кількох множин.

Оскільки Дмитро має вибрати одну марку з-поміж трьох різних серій (або з першої, або з другої, або з третьої), застосуймо правило суми:

\begin{gather*} N=10+20+14=44. \end{gather*}

Отже, усього є \(44\) варіанти вибору однієї марки.

Правило суми: якщо об'єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об'єкт \(B\) – \(m\) способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «\(A\) або \(B\)» можна здійснити \(n+m\) способами.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Кола, вписані в багатокутники.

Завдання перевіряє знання властивостей кіл, вписаних у трикутники й чотирикутники (ромб, трапецію).

I. У будь-який ромб можна вписати коло.

У чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні. Оскільки в ромба всі сторони рівні, ця умова виконується завжди. Твердження правильне.

II. У будь-яку прямокутну трапецію можна вписати коло.

Вписати коло в трапецію можна лише за умови, що сума її основ дорівнює сумі бічних сторін. Для прямокутної трапеції ця умова виконується не завжди. Твердження неправильне.

III. У будь-якому трикутнику бісектриси кутів проходять через центр вписаного в цей трикутник кола.

Центр вписаного в трикутник кола – точка перетину бісектрис його кутів. Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Нерівність виду \(f(x)^2\lt a^2\) рівносильна подвійній нерівності

\begin{gather*} -a\lt f(x)\lt a. \end{gather*}

Оскільки \(25=5^2\), то

\begin{gather*} (2x-3)^2\lt 5^2. \end{gather*}

Отримуємо подвійну нерівність:

\begin{gather*} -5\lt 2x-3\lt 5. \end{gather*}

Додамо \(3\) до всіх частин нерівності:

\begin{gather*} -5+3\lt 2x\lt 5+3;\\[7pt] -2\lt 2x\lt 8. \end{gather*}

Поділімо всі частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} -1\lt x\lt 4. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-1; 4)\) – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

За умовою \(\alpha+\beta=90^\circ\), звідси \(\beta=90^\circ-\alpha.\)

Застосуймо формулу зведення:

\begin{gather*} \sin\beta=\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha. \end{gather*}

Оскільки \(\cos\alpha=\dfrac 14\), то

\begin{gather*} \sin\beta=\frac 14. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Планіметрія. Трикутники та чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки рівності трикутників, тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику й обчислювати площі планіметричних фігур.

Прямокутні трикутники \(\Delta ABK\) і \(\Delta DCK\) рівні \((\Delta ABK=\Delta DCK){:}\)

\(AB=CD=6\) см (бічні сторони рівнобічної трапеції);

\(\angle A=\angle D=60^\circ\) (кути при основі рівнобічної трапеції);

\(BK=CK\) (за умовою \(\Delta BKC\) – рівнобедрений).

З рівності трикутників випливає, що їхні відповідні елементи та площі однакові.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle ABK=90^\circ).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Завдання перевіряє знання формули \(n\)-го члена арифметичної прогресії і вміння застосовувати її для обчислень.

За формулою \(n\)-го члена арифметичної прогресії \(a_n=a_1+(n-1)d\) виразімо \(a_5\) та \(a_3{:}\)

\begin{gather*} a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Обчислімо різницю \(a_5-a_3{:}\)

За умовою \(a_5-a_3=4{,}8\), тому

\begin{gather*} 2d=4{,}8;\\[7pt] d=2{,}4. \end{gather*}

Виразімо \(a_6=a_1+5d\) й обчислімо значення шуканого виразу \(a_6-a_3{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тотожні перетворення числових виразів.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення виразів (логарифмічних, степеневих і виразів, що містять арифметичний квадратний корінь).

1. \(\log_2\dfrac{1}{16}.\)

Запишімо дріб \(\dfrac{1}{16}\) у вигляді степеня з основою \(2\), тобто \(\dfrac{1}{16}=2^{-4}{:}\)

Застосували логарифмічні тотожності:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b\ \text{i}\ \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(\dfrac{2}{\sqrt{0{,}25}}.\)

Обчислімо арифметичний квадратний корінь \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5{:}\)

\begin{gather*} \frac{2}{\sqrt{0{,}25}}=\frac{2}{0{,}5}=4. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

3. \((2^{-1})^2.\)

Застосуймо властивість степенів \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) i \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}{:}\)

\begin{gather*} (2^{-1})^2=2^{-1\cdot 2}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac 14. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їхні властивості.

Завдання перевіряє вміння визначати найбільше значення функції на заданому проміжку (області визначення).

1. \(y=\sin 4x+2\), \(x\in (-\infty; +\infty)\)

Спосіб 1

Оскільки область значень функції синус \(-1\le\sin 4x\le 1\), найбільше значення \(\sin 4x\) дорівнює \(1.\) Отже, \(y_{max}=1+2=3.\)

Спосіб 2

Область значень тригонометричної функції \(y=\sin4x\) належить відрізку \([-1; 1].\) Графік функції \(y=\sin4x+2\) утворюється внаслідок паралельного перенесення синусоїди \(y=\sin4x\) уздовж осі \(Oy\) на \(2\) одиниці вгору. Вісь коливань синусоїди зміщується з \(y=0\) на \(y=2\), область значень стає \(E(y)=[-1+2; 1+2]=[1; 3].\) А найбільше значення функції дорівнює \(y_{max}=3.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=4-x^2\), \(x\in [0; 2]\)

Спосіб 1

Оскільки \(x^2\ge 0\), значення виразу \(4-x^2\) є найбільшим, коли від'ємник \(x^2\) найменший, тобто за \(x=0.\)

Отже, \(4-0^2=4.\)

Спосіб 2

\(y_{max}=y(0)=4\)

Графік квадратичної функції \(y=-x^2+4\) – парабола. Її можна отримати з базової параболи \(y=x^2\) унаслідок дзеркального відображення відносно осі \(Ox\) (отримуємо \(y=-x^2\), вітки спрямовані донизу) і паралельного перенесення на \(4\) одиниці вгору вздовж осі \(Oy.\)

Вершина параболи розташована в точці \((0; 4).\)

На заданому проміжку \(x\in [0; 2]\) розгляньмо лише праву вітку цієї параболи. На цьому проміжку функція строго спадає (зі збільшенням \(x\) значення \(y\) зменшується від \(4\) до \(0\)). Тому свого найбільшого значення функція набуває саме у вершині – у лівому кінці проміжку за \(x=0{:}\)

\begin{gather*} y_{max} = y(0) = 4. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(y=4+\sqrt{x}\), \(x\in [0; 1]\)

Спосіб 1

Функція зростає на проміжку \([0; 1]\), тому свого найбільшого значення вона набуває в правому кінці проміжку, за \(x=1.\) Отже,

\begin{gather*} y_{max}=y(1)=4+\sqrt{1}=4+1=5. \end{gather*}

Спосіб 2

Графік цієї функції утворено внаслідок паралельного перенесення графіка \(y=\sqrt{x}\) уздовж осі \(Oy\) на \(4\) одиниці вгору. Оскільки функція \(y=\sqrt{x}\) строго зростає на всій області визначення, то й функція \(y=4+\sqrt{x}\) строго зростає на проміжку \([0; 1].\) За властивістю функції, що зростає, вона набуває найбільшого значення в правому кінці проміжку, тобто за \(x=1{:}\)

\begin{gather*} y_{max}=y(1)=5. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кутів паралелограма, трикутника й обчислювати кути на площині.

1. \(\angle ABC\)

У паралелограмі \(ABCD\) сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює \(180^\circ{:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(\angle CDM\)

Продовжмо сторону \(AD\) за точку \(D\), утворивши промінь \(DX.\)

У паралелограмі \(ABCD\) кут \(\angle ADC=\angle ABC=115^\circ\) (протилежні кути паралелограма рівні). Кут \(\angle CDX\) суміжний із кутом \(\angle ADC{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(\angle BDM\)

Кут \(\angle BDM\) утворено променями \(DB\) і \(DM\), між якими лежить промінь \(DA{:}\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Інтеграл і його застосування.

Завдання перевіряє вміння перетворювати раціональні вирази, визначати первісну функції і визначений інтеграл за формулою Ньютона – Лейбніца.

Спростімо підінтегральний вираз:

\begin{gather*} \frac{x^2+3x}{x+3}=\frac{x(x+3)}{x+3}. \end{gather*}

На проміжку інтегрування \(x\in [0; 3]\) вираз \(x+3\ne 0\), тому скоротімо дріб на \((x+3){:}\)

\begin{gather*} \frac{x(x+3)}{x+3}=x. \end{gather*}

Застосуймо формулу Ньютона – Лейбніца

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a) \end{gather*}

і правило визначення первісної:

Підставмо межі інтегрування:

\begin{gather*} \frac{x^2}{2}\Big|_0^3=\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac 92=4{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(4{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсотки.

Нехай ціна \(1\) л пального під час першого заправлення дорівнювала \(x\) грн. Оскільки ціна зросла на \(2{,}5\ \%\), вона становила:

\begin{gather*} x+0{,}025x=1{,}025x\ (\text{грн}). \end{gather*}

Щоразу в бак автомобіля заливали \(40\) л пального, а загальні витрати становили \(4860\) грн. Вартість першого заправлення – \(40x\) грн, а другого – \(40\cdot 1{,}025=41x.\)

Складімо й розв’яжімо рівняння:

\begin{gather*} 40x+41x=4860;\\[7pt] 81x=4860;\\[7pt] x=4860:81;\\[7pt] x=60. \end{gather*}

Отже, \(1\) л пального під час першого заправлення коштував \(60\) грн.

Відповідь: \(60.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Конус. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи й об'єми комбінованих просторових фігур (конуса та правильної трикутної піраміди).

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює \(x\ (x\gt 0).\) Тоді радіус основи конуса \(R=5x\), а його висота \(H_\text{К}=12x.\) За формулою об'єму конуса \(V_\text{К}=\dfrac 13\pi R^2H_\text{К}\) та умовою \(V_\text{К}=800\pi\) см\(^3{:}\)

\begin{gather*} \frac 13\cdot \pi\cdot (5x)^2\cdot 12x=800\pi;\\[6pt] \frac 13\cdot 25\cdot 12\cdot x^2\cdot x\cdot \pi=800\pi;\\[6pt] 25\cdot 4\cdot x^{2+1}\cdot \pi=800\pi;\\[7pt] 100\pi x^3=800\pi;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса: \(R=5\cdot 2=10\) см, а висота конуса:

\begin{gather*} H_\text{К}=12\cdot 2=24\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди: \(H_\text{П}=\sqrt{3}\cdot H_\text{К}=24\sqrt{3}\) см. За умовою, радіус кола, вписаного в основу піраміди (правильний трикутник), дорівнює радіусу конуса: \(r=R=10\) см.

Площу правильного трикутника через радіус вписаного кола \(r\) обчислюємо за формулою:

Відповідь: \(7200.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння з параметрами.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові й ірраціональні рівняння, що містять параметр, аналізувати область допустимих значень (ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} 7^{\textstyle 3x-2x^2}-\dfrac{1}{49}=0,\\ \sqrt{2x+5a}-4\ne 0,\\ 2x+5a\ge 0. \end{cases} \end{gather*}

Визначмо корені рівняння (із чисельника):

\begin{gather*} 7^{\textstyle 3x-2x^2}=7^{-2};\\[7pt] 3x-2x^2=-2;\\[7pt] -2x^2+3x+2=0. \end{gather*}

Помножмо рівняння на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 2x^2-3x-2=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У рівнянні \(2x^2-3x-2=0\) випишімо коефіцієнти: \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2.\)

Обчислімо дискримінант:

\begin{gather*} x_1=\frac{3-5}{4}=-0{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{3+5}{4}=2. \end{gather*}

Рівняння матиме два корені, якщо обидва значення \(x_1=-0{,}5\) та \(x_2=2\) одночасно задовольняють умови існування знаменника.

Виразімо умови для знаменника через параметр \(a{:}\)

\begin{gather*} \begin{cases} 5a\ge -2x,\\ 5a\ne 16-2x, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} a\ge -0{,}4x,\\ a\ne 3{,}2-0{,}4x. \end{cases} \end{gather*}

Перевірмо виконання умов для кожного кореня:

Для \(x_1=-0{,}5{:}\)

\begin{gather*} \begin{cases} a\ge -0{,}4\cdot (-0{,}5),\\ a\ne 3{,}2-0{,}4\cdot (-0{,}5), \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} a\ge 0{,}2,\\ a\ne 3{,}4. \end{cases} \end{gather*}

Для \(x_2=2{:}\)

\begin{gather*} \begin{cases} a\ge -0{,}4\cdot 2,\\ a\ne 3{,}2-0{,}4\cdot 2, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} a\ge -0{,}8,\\ a\ne 2{,}4. \end{cases} \end{gather*}

Об'єднаймо умови існування двох коренів:

Перетином усіх знайдених обмежень є:

Отже, найменше значення параметра \(a\), за якого рівняння має два корені, дорівнює \(0{,}2.\)

Відповідь: \(0{,}2.\)