ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Трансформатор.

Завдання скеровано на перевірку розуміння будови трансформатора й уміння описувати його роботу аналітично, через відношення фізичних величин.

Первинна обмотка трансформатора підключена до джерела змінного струму, напруга на виході якого \(u_1.\) Під час проходження струму в обмотці виникає ЕРС (електрорушійна сила) самоіндукції \(e_1.\) Опір обмотки вважатимемо нехтовно малим. І в будь-який момент часу для діючих значень напруги й ЕРС правильною є рівність $$ U_1\approx \mathbf{\varepsilon}_1. $$

У вторинній обмотці струм не йде (вона розімкнена), тому напруга на кінцях вторинної обмотки за модулем дорівнює ЕРС індукції, отже, відповідно маємо рівність: $$ U_2=\mathbf{\varepsilon}_2. $$

Отже, у режимі холостого ходу справджується рівність \begin{gather*} \frac{U_2}{U_1}=\frac{\mathbf{\varepsilon}_2}{\mathbf{\varepsilon}_1}=\frac{N_2}{N_1}=k, \end{gather*} де \(N_1\) і \(N_2\) ‒ кількість витків у першій і другій обмотках відповідно, \(k\) ‒ коефіцієнт трансформації.

У разі підключення обмоток першим способом ЕРС індукції в першій обмотці дорівнює фактично напрузі на джерелі: \begin{gather*} \mathbf{\varepsilon}_1=U. \end{gather*}

А ЕРС індукції у вторинній обмотці за умовою дорівнює \(16\ \text{В}:\) $$ \mathbf{\varepsilon}_2=16\ \text{В}. $$

Якщо ж поміняти місцями обмотки й підключити вторинну обмотку до джерела, то \begin{gather*} \mathbf{\varepsilon}_2=U. \end{gather*}

А ЕРС індукції в первинній обмотці, яка тепер стала вторинною, за умовою дорівнює \(4\ \text{В}:\) $$ \mathbf{\varepsilon}_1=4\ \text{В}. $$

Коефіцієнт трансформації для першого способу підключення $$ k=\frac{\mathbf{\varepsilon}_2}{U}=\frac{16}{U}. $$

А для другого способу з’єднання коефіцієнт трансформації буде такий самий: $$ k=\frac{U}{\mathbf{\varepsilon}_1}=\frac U4. $$

Прирівняємо праві частини цих рівностей: $$ \frac{16}{U}=\frac U4. $$

Обчислимо напругу джерела:

Відповідь: 8.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Повне відбивання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння оптичного явища ‒ повного внутрішнього відбивання.

Явище, коли заломлення світла немає, тобто світло повністю відбивається від межі поділу із середовищем меншої оптичної густини, називають явищем повного внутрішнього відбивання.

Найменший кут падіння, починаючи з якого вся світлова енергія повністю відбивається від межі поділу двох прозорих середовищ, називають граничним кутом повного внутрішнього відбивання \(\mathbf{\alpha}_0.\) За кута падіння \(\mathbf{\alpha}=\mathbf{\alpha}_0\) кут заломлення \(\mathbf{\gamma}\) дорівнює \(90^\circ\) (див. рисунок).

За умовою завдання світло переходитиме з речовини, яка оптично густіша за повітря. На рисунку нижче зображена ситуація, коли промінь йде по межі двох середовищ. Якщо далі збільшувати кут падіння, то промінь повністю відбиватиметься в речовині, не заломлюватиметься і не виходитиме в повітря.

Оскільки промені від точкового джерела розходяться в усі боки, то виберемо з них ті, які падають під кутом \(\mathbf{\alpha}\) на межу поділу середовищ. Вони утворюватимуть конус, основою якого є коло радіуса \(40\ \text{см},\) як сказано в умові завдання. Схематично це зображено на рисунку.

Для двох середовищ відношення синуса кута падіння \(\mathbf{\alpha}\) до синуса кута заломлення \(\mathbf{\gamma}\) дорівнює оберненому відношенню показників заломлення середовищ: $$ \frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\sin\mathbf{\gamma}}=\frac{n_\text{повітря}}{n_\text{речовини}}. $$

Показник заломлення повітря дорівнює \(1.\) Кут заломлення \(\mathbf{\gamma}\) дорівнює \(90^\circ,\) оскільки в умові розглядають явище повного відбивання. Підставимо ці значення і спростимо формулу:

Щоб визначити \(\sin\mathbf{\alpha},\) розглянемо на рисунку прямокутний трикутник \(SOA.\)

Якщо один катет $$ SO=30\ \text{см}=0,3\ \text{м}, $$ а другий катет $$ OA=40\ \text{см}=0,4\ \text{м}, $$ то гіпотенуза $$ SA=50\ \text{см}=0,5\ \text{м}, $$ як гіпотенуза єгипетського трикутника (у якого сторони відносяться як \(3:4:5\)) або за теоремою Піфагора.

Тоді \begin{gather*} \sin\mathbf{\alpha}=\frac{OA}{SA}=\frac{0,4}{0,5}=0,8. \end{gather*}

Підставимо це значення в формулу для показника заломлення і обчислимо його: $$ n_\text{речовини}=\frac{1}{0,8}=1,25. $$

Відповідь: 1,25.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна та його максимальне значення.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формул для визначення коефіцієнта корисної дії теплового двигуна.

Коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) теплового двигуна (теплової машини) можна визначити за формулою \begin{gather*} \mathbf{\eta}=\frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}, \end{gather*} де \(T_\text{н}\) - температура нагрівника; \(T_\text{х}\) ‒ температура холодильника.

За умовою нагрівником є резервуар із водою, яка кипить. Температура кипіння дорівнює \(100\ ^\circ\mathrm{C},\) тобто $$ T_\text{н}=100\ ^\circ\mathrm{C}=373\ \text{К}. $$

Холодильником є ємність із льодом, який тане. Температура танення льоду \(0\ ^\circ\mathrm{C},\) тобто \begin{gather*} T_\text{х}=0\ ^\circ\mathrm{C}=273\ \text{К}. \end{gather*}

З іншого боку коефіцієнт корисної дії теплової машини дорівнює відношенню корисної роботи \(A,\) виконуваної машиною, до кількості теплоти \(Q_\text{н},\) одержуваної від нагрівника: \begin{gather*} \mathbf{\eta}=\frac{A}{Q_\text{н}}\cdot 100\ \text{%}. \end{gather*}

Частина теплоти \(Q_\text{н}\) від нагрівника піде на виконання корисної роботи \(A,\) а залишок буде переданий холодильнику \(Q_\text{х},\) унаслідок чого розтане лід: $$ Q_\text{н}=A+Q_\text{х}. $$

Прирівняймо ці два вирази для визначення коефіцієнта корисної дії:

Порція теплоти, яка буде передана холодильнику, може розплавити лід масою \(m_\text{л}:\) $$ Q_\text{х}=\mathbf{\lambda}m_\text{л}, $$ де \(\mathbf{\lambda}\) ‒ питома теплота плавлення льоду.

Тобто \begin{gather*} \frac{T_\text{н}-T_\text{х}}{T_\text{н}}=\frac{A}{A+\mathbf{\lambda}m_\text{л}}. \end{gather*}

Підставимо числові значення величин з умови завдання і визначимо масу льоду:

Відповідь: 910.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Джоуля ‒ Ленца.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон Джоуля ‒ Ленца й тлумачити показання приладів за певної послідовності підключення їх.

Кількість теплоти \(Q,\) що виділятиметься в резисторі опором \(R\) за час \(t\) протікання в ньому електричного струму силою \(I\) від фотоелемента, визначмо за законом Джоуля ‒ Ленца: $$ Q=I^2Rt. $$

Електричний опір резистора і час протікання струму відомі, а силу струму в резисторі можна визначити за законом Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}. $$

Фотоелемент є джерелом струму. Коли до полюсів фотоелемента приєднали вольтметр (ще без навантаження ‒ резистора), вольтметр показав електрорушійну силу \(\mathbf{\varepsilon}\) фотоелемента.

Коли ж до полюсів приєднали замість вольтметра амперметр, який за умовою є ідеальним, тобто його опір \(R_A\) майже дорівнює нулю, то фактично замкнули фотоелемент сам на себе (закоротили). За такого з’єднання амперметр показав силу струму \(I_\text{к.з.}\) короткого замикання:

Звідси визначмо внутрішній опір фотоелемента, необхідний для визначення сили струму в резисторі: $$ r=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{I_\text{к.з.}}=\frac{5\ \text{В}}{0,1\ \text{А}}=50\ \text{Ом}. $$

Обчислімо силу струму в резисторі:

Визначимо кількість теплоти, яка виділиться в резисторі:

Відповідь: 125.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону Ома для повного кола і послідовного з’єднання гальванічних елементів.

Запишімо закон Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}, $$ де \(I\) ‒ сила струму, \(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ електрорушійна сила, \(R+r\) ‒ повний опір кола: \(R\) ‒ опір зовнішньої ділянки кола, \(r\) ‒ внутрішній опір джерела.

Джерелом струму в колі є батарея з трьох з’єднаних послідовно гальванічних елементів опором \(r_1\) кожний. Визначимо загальний внутрішній опір \(r\) батареї елементів: $$ r=r_1+r_1+r_1=3r_1. $$

Електричний опір \(R\) лампи розжарювання виразімо з формули для потужності \(P:\) \begin{gather*} P=I^2R,\\[6pt] R=\frac{P}{I^2}. \end{gather*}

Гальванічні елементи однакові й з’єднані послідовно, то ж електрорушійну силу \(\mathbf{\varepsilon}\) батареї елементів обчислюють так: $$ \mathbf{\varepsilon}=\mathbf{\varepsilon}_1+\mathbf{\varepsilon}_1+\mathbf{\varepsilon}_1=3\mathbf{\varepsilon}_1. $$

Підставимо вирази для внутрішнього опору, електрорушійної сили батареї елементів й опору лампи у формулу, що відображає закон Ома для повного кола: $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r}=\frac{3\mathbf{\varepsilon}_1}{\frac{P}{I^2}+3r_1}. $$

Виразімо звідси силу струму:

Помножмо ліву і праву частини рівняння на \(I:\)

Підставимо числові значення відомих в умові величин:

Ми отримали квадратне рівняння \((ax^2+bx+c=0),\) де змінною є сила струму. Розв’яжімо його й визначимо найменшу силу струму. Обчислимо дискримінант:

Обчислимо корені рівняння:

Меншим є значення сили струму \(0,5\ \text{А}.\)

Відповідь: 0,5.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння закону додавання швидкостей у класичній механіці.

Для визначення часу, який знадобиться автомобілю, щоб проїхати від останнього до першого вагона, необхідно знати швидкість руху автомобіля відносно поїзда. Відстань, яку треба проїхати автомобілю, ‒ це довжина \(l\) поїзда. Виберемо поїзд як систему відліку. Тоді

де \(v_{\text{А(П)}}\) – швидкість руху автомобіля відносно поїзда

Тепер можна обчислити час \(t,\) за який автомобіль випередить поїзд:

Відповідь: 20.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потенціальна енергія.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону збереження механічної енергії, уміння описати аналітично рух тіла під дією кількох сил.

Перед початком руху тіло масою \(m\) було на висоті \(h,\) тобто мало певний запас пасивної механічної енергії ‒ потенціальної \(E_p:\) $$ E_p=mgh, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Отже,

Ковзаючи по похилій площині довжиною \(s,\) тіло втрачає частину енергії на виконання роботи \(A\) сили тертя ковзання \(F_\text{тер}.\) Частина потенціальної енергії переходить у внутрішню енергію тіла і похилої площини: $$ A=F_\text{тер}s\cos\mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут між вектором сили й вектором переміщення.

Сила тертя ковзання напрямлена проти руху тіла, а переміщається воно вздовж похилої площини, то ж зазначений кут становитиме \(180^\circ.\) Оскільки $$ \cos180^\circ=-1, $$ робота сили тертя ковзання від’ємна. Визначімо її модуль.

Схематично зобразимо на похилій площині й позначимо всі сили, що діють на тіло. Сила тяжіння \(m\overrightarrow{g}\) з боку Землі завжди напрямлена вертикально вниз, сила нормальної реакції \(\overrightarrow{N}\) перпендикулярна до похилої площини, сила тертя ковзання \(\overrightarrow{F}_\text{тер}\) діє проти руху тіла вздовж похилої площини.

Запишімо другий закон Ньютона у векторній формі: $$ m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}_\text{тер}. $$

Сила тертя ковзання \(F_\text{тер}\) дорівнює добутку коефіцієнта тертя ковзання \(\mathbf{\mu}\) і сили \(N\) нормальної реакції опори: $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N. $$

Для того, щоб визначити \(N,\) запишімо другий закон Ньютона в проєкціях на вісь \(Oy:\) \begin{gather*} 0=-mg\cos\mathbf{\alpha}+N,\\[7pt] N=mg\cos\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Отже, $$ F_\text{тер}=\mathbf{\mu}N=\mathbf{\mu}mg\cos\mathbf{\alpha}. $$

Виразимо модуль переміщення тіла (довжину похилої площини) через дані в умові завдання: $$ s=\frac{h}{\sin\mathbf{\alpha}}. $$

Отже, остаточна формула для визначення роботи сили тертя ковзання набуває такого вигляду:

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівноприскорений рух.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати кінематичні рівняння для прямолінійного рівноприскореного руху.

1. Векторну фізичну величину, яка характеризує швидкість зміни швидкості руху тіла й дорівнює відношенню зміни швидкості руху тіла до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася, називають прискоренням руху тіла.

Користуючись тим, що в умові дана відстань \(l,\) яку долає кулька, і час \(t\) руху кульки, можна визначити прискорення \(a\) з формули $$ l=v_0t+\frac{at^2}{2}. $$

За умовою початкова швидкість руху кульки дорівнює нулю \((v_0=0)\) ‒ кулька вільно скочується. Тому формулу можна спростити: $$ l=\frac{at^2}{2}. $$

Учень п’ять разів виміряв час, тому необхідно визначити середнє значення часу як середнє арифметичне значення:

Виразімо й обчислимо прискорення:

Відповідь: 2.

2. Формула для визначення модуля прискорення така: \begin{gather*} a=\frac{v-v_0}{t_\text{сер}}. \end{gather*}

Тож для рівноприскореного прямолінійного руху маємо рівняння, із якого можна визначити швидкість кульки в нижній точці \(B\) похилої площини: $$ v=v_0+at_\text{сер}. $$ Оскільки \(v_0=0,\)

Відповідь: 2.

Відповідь: 1. 2. 2. 2.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти. Коефіцієнт корисної дії нагрівника.

Завдання скеровано на перевірку розуміння того, що є корисною, а що – повною кількістю теплоти, уміння застосовувати формули для обчислення кількості теплоти під час нагрівання речовини і коефіцієнта корисної дії нагрівника.

1. Кількість теплоти \(Q,\) яка поглинається під час нагрівання речовини (або виділяється внаслідок її охолодження), обчислюють за формулою $$ Q=cm(t_2-t_1), $$ де \(c\) ‒ питома теплоємність речовини; \(m\) ‒ маса речовини; \(t_2\) і \(t_1\) ‒ кінцева і початкова температури.

Обчислимо кількість теплоти, необхідної для нагрівання порції води до кипіння відповідно до умови завдання:

Відповідь: 672.

2. Коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) нагрівника ‒ це фізична величина, яка характеризує ефективність нагрівника й дорівнює відношенню корисно спожитої теплоти \(Q_\text{кор}\) до всієї теплоти \(Q_\text{повна},\) яка може бути виділена під час повного згоряння палива (або це може бути кількість теплоти, яка виділяється в провіднику зі струмом): $$ \mathbf{\eta}=\frac{Q_\text{кор}}{Q_\text{повна}}\cdot 100\ \text{%}. $$

Відповідно до умови завдання корисно спожита кількість теплоти ‒ це та кількість теплоти, яку поглинула вода під час нагрівання її до кипіння: $$ Q_\text{кор}=Q=672\ \text{кДж}. $$

Під час проходження струму в електричному чайнику протягом \(10\ \text{хв}\) виділиться повна кількість теплоти, частина якої піде безпосередньо на нагрівання води до кипіння ‒ \(Q_\text{кор},\) а частина буде витрачена на нагрівання самого чайника і навколишнього середовища: $$ Q_\text{повна}=Pt, $$ де \(P\) ‒ потужність нагрівника (чайника), \(t\) ‒ час нагрівання.

Обчислімо коефіцієнт корисної дії чайника:

Відповідь: 1. 672. 2. 56.