Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поступально-обертального руху.

Визначаючи лінійну швидкість верхнього кінця стержня, треба врахувати те, що сам стержень у той момент, коли його кінці ковзають із певними лінійними швидкостями відносно взаємно перпендикулярних поверхонь підлоги й стіни, здійснює обертальний рух із певною кутовою швидкістю.

Кутова швидкість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) ‒ це фізична величина, яка чисельно дорівнює куту \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) повороту радіуса за одиницю часу \(t:\) $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{t}. $$

За час, що дорівнює періоду \((t=T),\) радіус виконує один оберт \((\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}),\) тому кутову швидкість можна обчислити за формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T}. $$

Стержень довжиною \(l\) у заданий момент часу обертатиметься навколо певної миттєвої осі обертання \(O\) ‒ навколо якої стержень у цей момент часу обертається. Побудуємо її. Для цього проведемо перпендикуляри до векторів лінійних швидкостей руху \(\overrightarrow{v}_\text{н}\) і \(\overrightarrow{v}_\text{в}\) обох кінців стержня – нижнього і верхнього, і на їхньому перетині отримаємо місце розташування миттєвої осі обертання, яку позначимо точкою \(O.\)

Лінійну швидкість \(\overrightarrow{v}\) рівномірного руху тіла по колу визначаємо за періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії: $$ v=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{T} - $$ за час оберту \(t=T\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола $$ L=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R. $$

Кутова і лінійна швидкості пов’язані співвідношенням: $$ v=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}R. $$

Кутова швидкість кожної точки стержня буде та сама. Тому виразімо кутову швидкість для верхнього і нижнього кінців стержня через їхні відповідні лінійні швидкості й радіуси та прирівняємо ці вирази:

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{н}=\frac{v_\text{н}}{OA},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{в}=\frac{v_\text{в}}{OB},\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{н}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_\text{в}\Rightarrow \frac{v_\text{н}}{OA}=\frac{v_\text{в}}{OB},\\[6pt] v_\text{в}=\frac{v_\text{н}\cdot OB}{OA}. \end{gather*}

Виразімо \(OA\) і \(OB\) з прямокутного трикутника \(AOB:\)

\begin{gather*} OA=l\sin 60^\circ,\\[7pt] OB=l\cos 60^\circ. \end{gather*}

Визначмо швидкість руху верхнього кінця стержня:

Відповідь: Б.