ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формули Томсона ‒ формули для визначення періоду власних коливань контуру.

Період \(T\) власних електромагнітних коливань у коливальному контурі, складниками якого є котушка і конденсатор, визначають за формулою Томсона $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки, \(C\) ‒ електроємність конденсатора.

Запишімо формулу для визначення періоду до змін і після них:

Отже, після змін параметрів котушки і конденсатора період власних коливань контуру збільшиться вдвічі.

Відповідь: A.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Дифракційні ґратки й використання їх для визначення довжини світлової хвилі.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття дифракційної ґратки й утворення спектрів різних порядків.

Скористаймося формулою дифракційної ґратки $$ d\sin\mathbf{\varphi}=k\mathbf{\lambda}, $$ де \(d\) ‒ період дифракційної ґратки, \(\mathbf{\varphi}\) – кут, за якого спостерігають інтерференційний максимум, \(k\) ‒ ціле число, яке вказує на порядок (номер) максимуму, \(\mathbf{\lambda}\) ‒ довжина хвилі.

Вимірюючи кут \(\mathbf{\varphi},\) за якого спостерігають інтерференційний максимум \(k\text{-го}\) порядку, і знаючи період дифракційної ґратки, можна виміряти довжину світлової хвилі, що падає на ґратку: $$ \mathbf{\lambda}=\frac{d\sin\mathbf{\varphi}}{k}. $$

Ось приклад зображення дифракційного спектру. Інтерференційні максимуми \(2\text{-го}\) і \(3\text{-го}\) порядку вже накладаються. Про такий самий випадок йде мова в умові завдання, але для максимумів \(3\text{-го}\) і \(4\text{-го}\) порядків.

Запишімо формули для визначення довжин хвиль для максимумів \(3\text{-го}\) і \(4\text{-го}\) порядків:

Дифракційна ґратка та сама, тож період однаковий. Оскільки спектри перекриваються, то $$ \mathbf{\varphi}_3\approx \mathbf{\varphi}_4. $$

Поділимо ліві і праві частини формул:

Звідси визначмо довжину хвилі в спектрі \(3\text{-го}\) порядку, на яку накладається хвиля спектра \(4\text{-го}\) порядку:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння перетворення механічної енергії під час коливального руху пружинного маятника.

У завданні описана ситуація, коли тягарець проходить якесь проміжне положення і не перебуває ні в положенні рівноваги, ні на максимальній відстані від нього, яку називають амплітудою.

Під час коливального руху тягарця потенціальна енергія деформованої пружини перетворюватиметься на кінетичну енергію руху тягарця, і навпаки. Тобто виконуватиметься закон збереження механічної енергії.

Запишімо розподіл енергії в цьому проміжному положенні. Тягарець володітиме кінетичною енергією \(E_k,\) тому що має певну швидкість (не максимальну). Потенціальна енергія \(E_p\) деформованої пружини матиме певне значення, відмінне від нуля, тому що вона розтягнута (або стиснута, але не на амплітудне значення). Повна енергія системи дорівнює сумі кінетичної і потенціальної енергій.

У крайньому положенні, тобто коли тягарець віддалений від положення рівноваги на максимальну відстань, його кінетична енергія дорівнюватиме нулю, тому що він на мить зупиняється, тобто швидкість його руху дорівнює нулю.

А потенціальна енергія розтягнутої пружини буде максимальною \(E_{pmax}\) і дорівнюватиме повній енергії системи.

Запишімо закон збереження механічної енергії:

Помножимо ліву і праву частини рівності на \(2\) й виразимо шукану величину ‒ амплітуду:

Обчислимо значення амплітуди:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати фізичні величини, які характеризують гармонічні коливання.

Гармонічними називають коливання, під час яких координата \(x\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса). Їх описують таким рівнянням у загальному вигляді: $$ x=A\cos(\mathbf{\omega}t+\mathbf{\varphi}_0), $$ де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота коливань, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза коливань.

Перша похідна від координати за часом \(x'(t)\) дорівнює швидкості \(v:\)

А друга похідна від координати за часом або перша похідна від швидкості ‒ це прискорення \(a:\)

Зробимо заміну в рівнянні для прискорення, скориставшись першим загальним рівнянням:

У будь-який момент часу руху тіла його прискорення прямо пропорційне зміщенню і напрямлене в бік, протилежний зміщенню (тому знак «мінус»).

Визначмо циклічну частоту коливань:

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Електричний струм у напівпровідниках.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння протікання електричного струму в напівпровідниках.

Розгляньмо пряме підключення кристала зі сформованим у ньому \(p\text{-}n\text{-переходом}\) до джерела струму так, щоб \(p\text{-ділянка}\) була з’єднана з позитивним полюсом джерела, а \(n\text{-ділянка}\) − з негативним.

Електрони почнуть рух до позитивного полюса джерела струму, а дірки − до негативного. Запірний шар поповниться вільними електронами й дірками, тому його опір зменшиться. Оскільки через місце контакту рухаються основні носії струму (електрони з \(n\text{-ділянки}\), дірки з \(p\text{-ділянки}\)), яких багато, то в колі існує помітний електричний струм.

Отже, з усіх залежностей сили струму від напруги, зображених на рисунках у варіантах відповіді, вольт-амперній характеристиці напівпровідникового діода, підключеного в прямому напрямку, відповідає лише графік А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Правило Ленца.

Завдання скеровано на перевірку розуміння індукційного струму, взаємодії створеного ним магнітного поля з магнітним полем, що викликало цей струм.

Модель із кільцями, використана в завданні, дуже схожа на пристрій, сконструйований Емілем Ленцем для демонстрації однойменного правила. Але в пристрої «Кільця Ленца» одне кільце розрізане.

Якщо наближати магніт до суцільного кільця, то в кільці виникне індукційний струм \(I_i.\) Цей струм створить біля кільця магнітне поле \(\overrightarrow{B}_i,\) напрямлене проти зовнішнього поля \(\overrightarrow{B},\) тому кільце відштовхнеться від магніту.

Якщо магніт віддаляти від суцільного кільця, то кільце притягуватиметься до магніту.

У розрізаному кільці індукційний струм не міг виникнути, бо кільце не замкнене. А в моделі, про яку йдеться в умові завдання, друге кільце суцільне. Але в ньому також не може виникнути індукційний струм. Адже до другого кільця магніт не наближають, із першим кільцем воно з’єднане дерев’яним стержнем, а дерево – це діелектрик.

Отже, унаслідок унесення в кільце штабового магніту (тобто наближення магніту) кільце рухатиметься за напрямком стрілки – відштовхуватиметься від магніту.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність плоского конденсатора.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння параметрів, від яких залежить електроємність конденсатора.

Електроємність \(C\) плоского конденсатора обчислюють за формулою $$ C=\frac{\mathbf{\varepsilon}_0\mathbf{\varepsilon}S}{d}, $$ де \(\mathbf{\varepsilon}_0\) − електрична стала, \(\mathbf{\varepsilon}\) − діелектрична проникність діелектрика (текстоліту), \(S\) − площа пластини конденсатора, \(d\) − відстань між пластинами (вона ж товщина пластини текстоліту).

Виразімо з формули шукану величину – діелектричну проникність $$ \mathbf{\varepsilon}=\frac{Cd}{\mathbf{\varepsilon}_0S}. $$

Площу пластини конденсатора визначимо за формулою $$ S=\mathbf{\pi}R^2, $$ де \(R\) – радіус пластини.

Обчислімо діелектричну проникність текстоліту:

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції полів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння напруженості електричного поля, уміння застосовувати принцип суперпозиції електричних полів.

Напруженість електричного поля \(\overrightarrow{E}\) в певній точці ‒ це векторна фізична величина, яка характеризує електричне поле.

За напрямок вектора напруженості в точці електричного поля беруть напрямок сили, яка діяла б на пробний позитивний заряд, якби він був поміщений у цю точку поля. На рисунку це точка C: поле створив позитивний точковий заряд \(Q^+\) (рис. a); поле створив негативний точковий заряд \(Q^‒\) (рис. б).

Якщо ж поле утворено кількома зарядами, то результувальна сила, яка діє на пробний заряд із боку системи зарядів, є геометричною сумою сил, із якими діють ці заряди на пробний заряд:

Звідси випливає принцип суперпозиції (накладання) електричних полів: напруженість електричного поля системи зарядів у певній точці простору дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створених цими зарядами в цій точці:

Якщо ж точка \(O\) розташована на одній прямій із двома однаковими зарядами, рівновіддалена від них, то напруженість у цій точці дорівнюватиме нулю ‒ вектори напруженостей будуть однакові, але протилежно напрямлені, і сума їхня дорівнюватиме нулю (див. рисунок):

За умовою заряд рівномірно розподілений по всій довжині дротин, із яких виготовлені рамки. Дротяні фігури є симетричними, тому можна в кожній із них знайти симетричні пари точок, відносно яких за принципом суперпозиції електричних полів напруженість дорівнюватиме нулю. І таких пар точок нескінченно багато.

У рівносторонньому трикутнику, наприклад, три рівновіддалені від його центра точки. Центр рівностороннього трикутника є центром описаного і вписаного кіл. Визначаємо геометрично за правилом паралелограма суму двох векторів напруженостей (на рисунку ‒ вектор, що позначає їхню суму, напрямлений вертикально вниз). Якщо додати геометрично вектори, що на рисунку напрямлені вертикально, їхня сума дорівнюватиме нулю. І так для безлічі рівновіддалених точок.

Отже, напруженість дорівнюватиме нулю в геометричному центрі кожної дротяної фігури, про яку йдеться в умові.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Послідовне і паралельне з’єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний опір послідовного, паралельного й мішаного з’єднання провідників.

Загальний опір послідовно з’єднаних провідників \(R_\text{посл}\) дорівнює сумі опорів цих провідників (варіант відповіді В):

Це значення загального опору ділянки електричного кола набагато більше за \(6\ \text{Ом},\) таке з’єднання резисторів не задовольняє умову завдання.

Коли всі резистори з’єднано паралельно (варіант відповіді Г), загальний опір \(R_\text{пар}\) визначаємо так: величина, обернена до загального опору розгалуженої ділянки кола, дорівнює сумі величин, кожна з яких обернена до опору відповідної вітки цього розгалуження: $$ \frac{1}{R_\text{пар}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}. $$

У разі однакового опору резисторів (як в умові завдання) формулу можна спростити:

Це значення загального опору ділянки електричного кола набагато менше за \(6\ \text{Ом},\) таке з’єднання резисторів теж не задовольняє умову завдання.

Розгляньмо мішане з’єднання резисторів (варіанти відповіді А і Б).

У варіанті А два резистори з’єднано послідовно:

Паралельно до цих двох резисторів приєднано третій такий самий резистор опором \(R,\) отже, загальний опір \(R_\text{заг}\) такого мішаного з’єднання резисторів

У варіанті Б два резистори з’єднано паралельно: $$ R_\text{пар}=\frac R2=\frac 42\ \text{Ом}=2\ \text{Ом}. $$

Послідовно до цих двох резисторів приєднано третій такий самий резистор опором \(R,\) отже, загальний опір \(R_\text{заг}\) такого мішаного з’єднання резисторів

Отже, щоб отримати ділянку електричного кола з опором 6 Ом, потрібно з’єднати два резистори паралельно, а третій приєднати послідовно до них (за умови, що всі резистори однакові).

Відповідь: Б.