ТЕМА: Сила пружності. Механічні коливання. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на виявлення зв’язку між періодом коливання і параметрами коливальної системи.

Дано:
\(l_1=2l_2\)
\(T_1=T_2\)

Знайти:
\(\frac{m_2}{m_1}-?\)

Період коливань пружинного маятника визначають за формулою \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac mk}\) (1).

За умовою \(T_1=T_2,\) тож \(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac{m_1}{k_1}}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac{m_2}{k_2}}\) (2). Тоді \(\frac{m_2}{m_1} =\frac{k_2}{k_1}\) (3).

Нехай ціла пружина мала коефіцієнт жорсткості \(k\). Тоді можна уявити цю початкову пружину як послідовне з’єднання пружин 1 і 2, на які її розрізали за умовою задачі. А коефіцієнти жорсткості \(k_1\) і \(k_2\) цих пружин пов’язані з коефіцієнтом жорсткості першої пружини співвідношенням \(\frac 1k= \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\) (4).

Закон Гука описують формулами \(F_{\text{пруж}}=k|\triangle l|\) (5) і \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\sigma}=E\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\) (6), де \(E\) – модуль Юнга матеріалу, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\sigma}\) – механічна напруга, яку визначають зі співвідношення (7),
а \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\) – відносне видовження (вираз 8):

Тоді, підставивши (7) і (8) у (6) і прирівнявши вирази для сили пружності з виразів (6) і (5), можна дістати \(k|\triangle l|=SE\frac{|\triangle l|}{l}.\) Тобто \(k=\frac{SE}{l}.\)

Під час розрізання пружини на дві коротші площа перерізу й модуль Юнга не змінюються, тому: \begin{gather*} \frac{k_2}{k_1}=\frac{m_2}{m_1}=\frac{\frac{SE}{l_2}}{\frac{SE}{l_1}}=\frac{l_1}{l_2}=2. \end{gather*}

Відповідь: 2.

ТЕМА: Оптика. Лінза. Оптична сила лінзи.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати графічні задачі на зображення ходу світлових променів у системах із лінзами.

Оптична сила лінзи \(D\) пов’язана з фокусною відстанню лінзи \(F:\ D=\frac 1F.\)

Для визначення фокусної відстані лінзи потрібно проаналізувати рисунок.

Якщо вважати, що точка перетину променю з оптичною віссю зліва від лінзи – це об’єкт, а справа від лінзи – його зображення, то за формулою тонкої лінзи відстань від об’єкта до лінзи \((d)\), відстань від лінзи до зображення \((f)\) і фокусна відстань пов’язані співвідношенням \(\frac 1F=\frac 1d+\frac 1f\).

На рисунку \(d\) становить шість поділок \((6\cdot 2\ \text{см} = 12\ \text{см} = 0,12\ \text{м})\), а \(f\) – три поділки \((3\cdot 2\ \text{см} = 6\ \text{см} = 0,06\ \text{м}).\) Тобто

Відповідь: 25.

ТЕМА: Квантова фізика. Атом і атомне ядро. Ядерні реакції.

Завдання скеровано на оцінювання вміння виконувати обчислення за рівняннями ядерних реакцій.

Під час радіоактивних розпадів масове число дорівнює кількості нуклонів у ядрі, а зарядове – кількості протонів.

Схема радіоактивного розпаду така: $$ _p^n \mathrm{\boldsymbol X}=_{p-5}^{n-16}\mathrm{\boldsymbol Y}. $$ Під час альфа-розпаду масове число нукліда зменшується на чотири, а зарядове – на два за схемою: $$ _p^n \mathrm{\boldsymbol X}=_{p-2}^{n-4}\mathrm{\boldsymbol Z}+_2^4\mathrm{He}. $$ Масове число може змінюватись лише під час альфа-розпадів, тож для зменшення масового числа на 16 потрібно чотири \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\)-розпади.

Після чотирьох \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\)-розпадів утвориться нуклід \(_{p-8}^{n-16}\mathrm{\boldsymbol Z}\).

У цього нукліда масове число відповідає тому, що вказано в завданні, а зарядове – на три менше ніж в умові.

Для збільшення зарядового числа має пройти три \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\)-розпади. Схема \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\)-розпаду: \(_p^n\mathrm{\boldsymbol X}=_{p+1}^{\ \ \ \ \ n}\mathrm{\boldsymbol X}+_{-1}^{\ \ \ 0} e.\)

Відповідь: 3.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Матеріальна точка.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння межі застосовуваності моделі матеріальної точки.

Матеріальна точка – це фізична модель тіла, розмірами якого в умовах задачі можна знехтувати.

Лише розраховуючи час польоту літака ми можемо знехтувати його розмірами. Адже вони не впливають на швидкість польоту, а літак є набагато меншим за відстань, яку він долає.

Натомість розмір деталі, закріпленої у верстаті, важливий для роботи всієї системи. Вивчення рельєфу потребує знання висоти й протяжності гір. А під час виступу фігуриста важливо стежити не лише за шляхом спортсмена на льоду, а й за рухом як його кінцівок, так і тіла в цілому.

Відповідь: Г.

2

ТЕМА: Механіка. Динаміка. Рух під дією сили тяжіння.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння процесу руху кинутого горизонтально тіла, на яке діє сила тяжіння.

Тіло, кинуте під кутом до горизонту, рухається під дією сили тяжіння. Сила тяжіння не змінюється протягом усього руху, й не залежить від того, у якій точці траєкторії перебуває тіло. Не залежить ця сила й від напрямку руху тіла. Тож і прискорення, якого сила тяжіння надає тілу, залишається сталим.

Це прискорення – прискорення вільного падіння \(g = 9,8\ \text{м/с}^2\). Воно збігається за напрямком із силою тяжіння (у напрямку до поверхні землі). Швидкість тіла напрямлена по дотичній до траєкторії в кожній точці, тож її напрямок не збігається з напрямком прискорення (рис. 1).

Рис. 1. Схематичне зображення напрямку в різні моменти часу
векторів: а) швидкості \(\overrightarrow{v}\); б) прискорення \(\overrightarrow{g}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу в рівноприскореному русі.

Завдання скеровано на оцінювання вміння аналізувати графіки руху тіл і визначати за ними параметри руху.

У графіку, наведеному в завданні, виокремлено п’ять частин, на кожній із яких відображено різні режими руху тіла. Швидкість руху тіла, відкладену на осі \(y\), визначають за формулою \(v_x=v_0+a_x t\) (1), де \(v_0\) – значення початкової швидкості, \(a_x\) – прискорення, \(t\) – час руху.

Вираз (1) – це рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом \(a_x\). Тоді проміжку часу, коли тіло рухається рівноприскорено зі збільшенням модуля швидкості, на графіку відповідає вгорубіжна пряма \((a_x\gt 0)\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили. Додавання сил.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення рівнодійної кількох сил.

На кульку, що піднімається вгору в повітрі, діють три сили: сила Архімеда, що виштовхує її з товщі повітря вгору, сила тяжіння, яка притягує кульку до землі, і сила опору повітря, що заважає руху кульки (рис. 1). Оскільки сила Архімеда більша за значенням від сили тяжіння, кулька рухатиметься вгору, а сила опору повітря буде напрямлена вниз.

Рис. 1. Сили, що діють на кульку

Рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) – це сила, яка здійснює на тіло таку саму дію, як декілька сил, що діють одночасно. Тоді: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_A+\overrightarrow{F}_{\text{опору}}+\overrightarrow{F}_{\text{тяж}}\ (1). $$ Для визначення рівнодійної потрібно спроєктувати всі сили, що діють на кульку, на одну вісь – вісь \(Oy\): \begin{gather*} F= F_A-F_{\text{опору}}-F_{\text{тяж}}=\\[7pt] =4Н-1Н-2Н=1Н (2). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Момент сил.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з визначення моменту сил.

Момент сили \(M\) – це фізична величина, що дорівнює добутку модуля сили \(F\), яка діє на тіло, на плече \(d\) цієї сили: $$ M = Fd\ \ (1) $$ Плече \(d\) сили \(F\) – це найменша відстань від осі обертання тіла до лінії, уздовж якої діє сила (рис. 1).

Рис. 1. Схема визначення плеча сили

Проаналізувавши рисунок 2 (його наведено в завданні), потрібно визначити плечі сил, схематично зображених на ньому.

Рис. 2. Визначення плечей сил, про які йдеться в завданні

У завданні не зазначено розмір клітинок, тож можна вважати довжину сторони клітинки умовною одиницею довжини (у. о. д.).

Згідно з виразом (1): \begin{gather*} M_1=F_1 d_1=3Н\cdot\ 5\ \text{у. о. д.}=15Н \cdot\ \text{у.о.д.;}\\[7pt] M_2=F_2 d_2=5Н\cdot\ 2\ \text{у. о. д.}=10Н\cdot\ \text{у.о.д.;}\\[7pt] M_3=F_3 d_3=12Н\cdot\ 1\ \text{у. о. д.}=12Н\cdot\ \text{у.о.д.} \end{gather*} Отже: $$ M_1\gt M_3\gt M_2. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Гідростатичний тиск.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття гідростатичного тиску й уміння застосовувати його під час розв’язування розрахункових задач.

Гідростатичний тиск \(p_{\text{гідростат}}\) – тиск нерухомого стовпчика рідини або газу. Його визначають за формулою \(p_{\text{гідростат}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh\), де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Якщо вважати, що тиск у повітряних кишенях запаяних трубок однаковий, то тиск у точці B дорівнює тиску в точці Вʹ, а тиск у точці С дорівнює тиску в точці Сʹ. Тиск однорідної рідини на однаковій висоті однаковий, тому можна визначити рівень у воді за межами трубок, який відповідає точкам В і С (рис. 1).

Тиск в точці А дорівнює атмосферному \((p_{\text{атм}})\), а в точці Вʹ і в точці Сʹ тиск дорівнює сумі атмосферного й гідростатичного тиску: $$ p = p_{\text{атм}}+p_{\text{гідростат}}. $$ Оскільки \(h_B\gt h_C,\) то \(p_{\text{гідростат B}}\gt p_{\text{гідростат C}},\) то \(p_B\gt p_C.\) Оскільки \(p_С\gt p_А,\) то \(p_B\gt p_C\gt p_А.\)

Рис. 1. Визначення гідростатичного тиску

Відповідь: A.